Самостоятельные работы по алгебре 7: ГДЗ Алгебра Александрова 7 класс Самостоятельные № Вариант 1 С-26. Основные понятия, Тема 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами

Свободное владение языком без страха — YouCubed

Скачать PDF

Джо Боалер, профессор математического образования, соучредитель youcubed

С помощью Кэти Уильямс, соучредителя youcubed, и Аманды Конфер, Стэнфордский университет

Обновлено 28 января 2015 г.

Введение

Несколько лет назад британский политик Стивен Байерс допустил в интервью безобидную ошибку. Достопочтенного министра попросили дать ответ на 7 x 8, и он дал ответ 54 вместо правильных 56. Его ошибка вызвала широкомасштабные насмешки в национальных СМИ, сопровождаемые призывами сделать больший акцент на «таблице умножения». заучивание в школах. В сентябре этого года консервативный министр образования Англии, человек без опыта образования, настоял на том, чтобы все учащиеся в Англии запоминали все свои таблицы умножения до 12 x 12 к 9 годам.. Это требование теперь включено в учебную программу по математике в Великобритании и, как я предсказываю, приведет к повышению уровня беспокойства по поводу математики и к рекордному количеству учащихся, отказывающихся от математики. США движутся в противоположном направлении, поскольку новые стандарты Common Core State Standards (CCSS) принижают значение механического запоминания математических фактов. К сожалению, неправильное толкование значения слова «беглость» в CCSS является обычным явлением, и издатели продолжают делать упор на механическое заучивание, поощряя сохранение вредной практики в классе в Соединенных Штатах.

Математические факты важны, но запоминание математических фактов с помощью повторения таблицы умножения, практики и тестирования на время не нужно и вредно. Ошибка английского министра, когда его спросили 7 x 8, вызвала призывы к большему запоминанию. Это было иронично, поскольку его ошибка выявила ограничения запоминания без «чувства числа». Люди с чувством числа — это те, кто может гибко использовать числа. Когда его просят решить 7 x 8, кто-то с чувством числа может запомнить 56, но он также сможет понять, что 7 x 7 равно 49.а затем добавить 7, чтобы получить 56, или они могут получить десять семерок и вычесть две семерки (70-14). Им не придется полагаться на далекие воспоминания. Математические факты сами по себе являются небольшой частью математики, и лучше всего их усваивают, используя числа в разных ситуациях и в различных ситуациях. К сожалению, многие классы сосредотачиваются на математических фактах непродуктивным образом, создавая у учащихся впечатление, что математические факты – это суть математики, и, что еще хуже, быстрое запоминание математических фактов – это то, что значит быть сильным студентом-математиком. Обе эти идеи неверны, и очень важно, чтобы мы удалили их из классов, поскольку они играют большую роль в появлении тревожных и недовольных математикой учащихся.

Полезно запомнить некоторые математические факты. Я не останавливаюсь и не думаю об ответе на 8 плюс 4, потому что знаю этот математический факт. Но я изучал математические факты, используя их в различных математических ситуациях, а не практикуя их и проверяя их. Я вырос в прогрессивную эпоху Англии, когда начальные школы были ориентированы на «всего ребенка», и мне не давали таблицы сложения, вычитания или умножения фактов для запоминания в школе. Это никогда не останавливало меня ни в какое время и ни в каком месте моей жизни, даже несмотря на то, что я профессор математического образования. Это потому, что у меня есть чувство числа, что гораздо важнее для учащихся, и это включает в себя изучение математических фактов наряду с глубоким пониманием чисел и того, как они связаны друг с другом.

Чувство числа

В рамках критического исследовательского проекта исследователи изучали студентов, решивших числовые задачи (Gray & Tall, 1994). Учащиеся в возрасте от 7 до 13 лет были определены учителями как учащиеся с низкой, средней или высокой успеваемостью. Исследователи обнаружили важную разницу между учащимися с низкой и высокой успеваемостью: учащиеся с высокой успеваемостью использовали чувство числа, а учащиеся с низкой успеваемостью — нет. Успешные учащиеся подошли к таким задачам, как 19 + 7, изменив задачу, например, на 20 + 6. Ни один ученик, который был номинирован как слабоуспевающий, не использовал чувство числа. Когда учащимся с низкой успеваемостью давали задачи на вычитание, такие как 21–16, они считали в обратном порядке, начиная с 21 и заканчивая обратным отсчетом, что чрезвычайно сложно сделать. Учащиеся с высокими показателями использовали такие стратегии, как изменение чисел на 20–15, что намного проще. Исследователи пришли к выводу, что малоуспевающие часто являются малоуспевающими не потому, что они меньше знают, а потому, что они не используют числа гибко — они были поставлены на неверный путь, часто с раннего возраста, пытаясь запомнить методы вместо того, чтобы взаимодействовать с числами. гибко (Боалер, 2009 г.). Этот неправильный путь означает, что они часто изучают сложную математику и, к сожалению, часто сталкиваются с математическими проблемами всю жизнь.

Чувство чисел лежит в основе всей математики более высокого уровня (Feikes & Schwingendorf, 2008). Когда студенты терпят неудачу по алгебре, это часто происходит потому, что у них нет чувства числа. Когда учащиеся работают над сложными математическими задачами, такими как те, которые мы приводим в конце этой статьи, у них развивается чувство числа, а также они изучают и запоминают математические факты. Когда учащиеся сосредотачиваются на запоминании таблицы умножения, они часто запоминают факты, не имея представления о числах, а это означает, что они очень ограничены в своих возможностях и склонны совершать ошибки, например ту, которая вызвала общенациональные насмешки над британским политиком. Отсутствие чувства числа привело к более катастрофическим ошибкам, таким как телескоп Хаббл, упустивший звезды, которые он должен был сфотографировать в космосе. Телескоп искал звезды в определенном скоплении, но потерпел неудачу из-за того, что кто-то допустил арифметическую ошибку в программировании телескопа (LA Times, 1990). Чувство чисел, критически важное для математического развития учащихся, подавляется чрезмерным упором на запоминание математических фактов в классе и дома. Чем больше мы делаем упор на запоминание учащихся, тем меньше у них желания думать о числах и их отношениях, а также использовать и развивать чувство чисел (Boaler, 2009).

Мозг и чувство числа

Некоторые учащиеся не так хорошо запоминают математические факты, как другие. Это то, что нужно праздновать, это часть прекрасного разнообразия жизни и людей. Представьте, как скучно и скучно было бы, если бы учителя давали тесты по математике и все отвечали бы на них одинаково и с одинаковой скоростью, как если бы все они были роботами. В недавнем исследовании мозга ученые исследовали мозг учащихся, когда их учили запоминать математические факты. Они увидели, что некоторые ученики запоминают их гораздо легче, чем другие. Это не будет сюрпризом для читателей, и многие из нас, вероятно, предположили бы, что те, кто запоминал лучше, были более успешными или «более умными» учениками. Но исследователи обнаружили, что учащиеся, которые лучше запоминали, не имели более высоких достижений, у них не было того, что исследователи назвали более «математическими способностями», и у них не было более высоких показателей IQ (Supekar et al, 2013). Единственные различия, обнаруженные исследователями, заключались в области мозга, называемой гиппокампом, которая является областью мозга, отвечающей за запоминание фактов (Supekar et al, 2013). Некоторые учащиеся будут медленнее запоминать, но у них все еще есть исключительный математический потенциал. Математические факты составляют очень небольшую часть математики, но, к сожалению, учащиеся, которые плохо запоминают математические факты, часто приходят к выводу, что они никогда не смогут добиться успеха в математике, и отворачиваются от предмета.

Учителя в США и Великобритании просят учащихся запоминать факты умножения, а иногда и факты сложения и вычитания, обычно потому, что в учебных стандартах указано, что учащиеся должны «свободно обращаться с числами». Пэриш, опираясь на Фоснот и Долк (2001), определяет беглость как «знание того, как число может быть составлено и разложено, и использование этой информации для гибкого и эффективного решения проблем» (Пэриш, 2014, стр. 159). Независимо от того, верим мы или нет, что беглость требует большего, чем простое запоминание математических фактов, данные исследований указывают в одном направлении: лучший способ развить беглость с числами — это развить чувство числа и работать с числами по-разному, а не слепо запоминать без смысл числа.

Когда учителя делают упор на запоминание фактов и дают тесты для измерения числа фактов, учащиеся страдают двумя важными способами. Примерно для трети учащихся начало тестирования на время является началом математической тревожности (Boaler, 2014). Сиан Бейлок и ее коллеги изучали мозг людей с помощью МРТ и обнаружили, что математические факты хранятся в области рабочей памяти мозга. Но когда учащиеся испытывают стресс, например, когда они отвечают на математические вопросы в условиях дефицита времени, рабочая память блокируется, и учащиеся не могут получить доступ к известным им математическим фактам (Beilock, 2011; Ramirez, et al, 2013). Когда учащиеся понимают, что они не могут хорошо выполнять тесты на время, у них начинает развиваться беспокойство, и их уверенность в математике ослабевает. Блокирование рабочей памяти и связанное с ним беспокойство особенно характерны для учащихся с более высокими показателями успеваемости и девочек. По самым скромным оценкам, по крайней мере треть учащихся испытывают сильный стресс во время тестов на время, и это не учащиеся, принадлежащие к определенной группе успеваемости или экономическому происхождению. Когда мы подвергаем учащихся этому вызывающему тревогу опыту, мы теряем учащихся из математики.

В настоящее время тревожность по поводу математики регистрируется у учащихся в возрасте от 5 лет (Ramirez, et al, 2013), и тесты на время являются основной причиной этого изнурительного, часто пожизненного состояния. Но есть и вторая, не менее важная причина, по которой нельзя использовать временные тесты — они побуждают многих учеников отворачиваться от математики. На моих занятиях в Стэнфордском университете я встречаю многих студентов, травмированных математикой, даже несмотря на то, что они являются одними из самых успевающих студентов в стране. Когда я спрашиваю их, что случилось, что привело к их отвращению к математике, многие ученики говорят о тестах на время во втором или третьем классе как о главном поворотном моменте для них, когда они решили, что математика не для них. Некоторые учащиеся, особенно женщины, говорят о необходимости глубокого понимания, что является очень полезной целью, и о том, что глубокое понимание не ценится и не предлагается, когда тесты на время стали частью урока математики. Возможно, на уроках математики они выполняли другую, более полезную работу, уделяя особое внимание осмыслению и пониманию, но тесты на время вызывают такие сильные эмоции, что учащиеся могут поверить в то, что умение быстро справляться с математическими фактами является сутью математики. Это крайне неудачно. Мы видим результат ошибочного школьного упора на запоминание и тестирование в количестве отсева из математики и математическом кризисе, с которым мы сталкиваемся в настоящее время (см. www.youcubed.org). Когда моя собственная дочь начала запоминать и тестировать таблицу умножения в возрасте 5 лет в Англии, она начала приходить домой и плакать из-за математики. Это не та эмоция, которую мы хотим, чтобы учащиеся ассоциировали с математикой, и пока мы продолжаем заставлять учащихся быстро вспоминать факты, мы не сможем избавиться от широко распространенного беспокойства и неприязни к математике, которые пронизывают США и Великобританию (Silva & White, 2013). ; National Numeracy, 2014).

В последние годы исследователи мозга обнаружили, что учащиеся, которые наиболее успешно справляются с задачами на числа, используют разные мозговые пути: один связан с числами и символами, а другой связан с более интуитивным и пространственным мышлением (Park & ​​Brannon, 2013). . В конце этой статьи мы даем множество упражнений, которые способствуют визуальному пониманию числовых фактов, чтобы задействовать важные мозговые связи. Кроме того, исследователи мозга изучали студентов, изучающих математические факты двумя способами — с помощью стратегий или запоминания. Они обнаружили, что два подхода (стратегии или запоминание) задействуют два различных пути в мозге и что оба пути идеально подходят для использования на протяжении всей жизни. Важно отметить, что исследование также показало, что те, кто учился с помощью стратегий, достигли «превосходной производительности» по сравнению с теми, кто запоминал, они решали задачи с той же скоростью и лучше переносили новые задачи. Исследователи мозга пришли к выводу, что автоматизм должен быть достигнут через понимание числовых отношений, достигаемое посредством размышлений о числовых стратегиях (Делазер и др., 2005).

Почему к математике относятся по-разному?

Чтобы научиться хорошо изучать английский язык, читать и понимать романы или поэзию, учащиеся должны запомнить значения многих слов. Но ни один изучающий английский язык не скажет и не подумает, что изучение английского языка — это быстрое запоминание и быстрое припоминание слов. Это потому, что мы учим слова, используя их в самых разных ситуациях — в разговоре, чтении и письме. Учителя английского языка не дают учащимся сотни слов для запоминания, а затем проверяют их в заданных условиях. Все предметы требуют запоминания некоторых фактов, но математика — единственный предмет, по которому учителя считают, что их нужно проверять в условиях времени. Почему мы так относимся к математике?

У математики уже есть огромная проблема с изображениями. Студенты редко плачут по другим предметам, и при этом они не верят, что все остальные предметы связаны с запоминанием или скоростью. Использование методов обучения и воспитания, которые подчеркивают запоминание математических фактов, является основной причиной того, что учащиеся отключаются от математики. Многие люди будут утверждать, что математика отличается от других предметов, и она просто должна быть такой — что математика — это получение правильных ответов, а не интерпретация или смысл. Это еще одно заблуждение. Ядром математики является рассуждение — размышление о том, почему методы имеют смысл, и обсуждение причин использования различных методов (Boaler, 2013). Математические факты — это небольшая часть математики и, вероятно, наименее интересная часть. Конрад Вольфрам из Wolfram-Alpha, одной из ведущих мировых компаний в области математики, публично говорит о широте математики и о необходимости перестать рассматривать математику как расчет. Ни Вольфрам, ни я не утверждаем, что в школах не следует обучать счету, но необходимо изменить баланс, и учащиеся должны учиться считать с помощью чувства чисел, а также уделять больше времени слаборазвитым, но важным частям математики, таким как решение задач. и рассуждения.

Важно, обучая учащихся смыслу чисел и фактам чисел, никогда не подчеркивать скорость. На самом деле это верно для всей математики. В математике распространено распространенное и вредное заблуждение — представление о том, что сильные ученики-математики — это быстрые ученики. Я работаю со многими математиками, и я замечаю в них одну вещь: они не особенно быстры в работе с числами, на самом деле некоторые из них довольно медленны. Это неплохо, они медлительны, потому что глубоко и тщательно думают о математике. Лоран Шварц, выдающийся математик, написал автобиографию о своих школьных годах и о том, как его заставляли чувствовать себя «глупым», потому что он был одним из самых медлительных математических мыслителей в своем классе (Schwartz, 2001). Ему потребовалось много лет ощущения себя неадекватным, чтобы прийти к заключению, что «быстрота не имеет точного отношения к интеллекту». Важно глубоко понимать вещи и их отношения друг к другу. Вот где кроется интеллект. Факт быстрого или медленного на самом деле не имеет значения». (Schwartz, 2001) К сожалению, уроки математики, основанные на скорости и тестах, заставляют многих медленно мыслящих и глубоких учеников, таких как Шварц, поверить, что они не могут быть хороши в математике.

Математика «Свободное владение» и учебная программа

В США новая учебная программа Common Core включает беглость речи в качестве цели. Беглость возникает, когда учащиеся развивают чувство числа, когда они математически уверены, потому что понимают числа. К сожалению, слово «свобода» часто неправильно истолковывается. Учебная программа Engage New York, которая становится все более популярной в США, неправильно интерпретирует беглость речи следующим образом:

Свободное владение языком: Ожидается, что учащиеся будут иметь скорость и точность с простыми расчетами; учителя структурируют время занятий и/или домашнее задание, чтобы учащиеся запоминали посредством повторения основные функции, такие как таблицы умножения, чтобы они могли лучше понимать и манипулировать более сложными функциями . (Задействовать Нью-Йорк)

У этой директивы много проблем. Скорость и запоминание — два направления, от которых нам срочно нужно отойти, а не навстречу. Столь же проблематично «Вовлечение Нью-Йорка» связывает запоминание числовых фактов с пониманием учащимися более сложных функций, что не подтверждается данными исследований. Исследования говорят нам, что учащиеся понимают более сложные функции, когда у них есть чувство числа и глубокое понимание числовых принципов, а не слепое запоминание или быстрое припоминание (Boaler, 2009).). В настоящее время я работаю с аналитиками PISA в ОЭСР. Команда PISA не только выпускает международные тесты по математике каждые 4 года, но и собирает данные о математических стратегиях учащихся. Их данные, полученные от 13 миллионов 15-летних подростков по всему миру, показывают, что ученики с самой низкой успеваемостью — это те, кто сосредотачивается на запоминании и считает, что запоминание важно при изучении математики (Boaler & Zoido, в печати). Эта идея зарождается рано в классах, и нам нужно ее искоренить. Самые высокие достижения в мире — это те, кто сосредотачивается на больших идеях в математике и связях между идеями. У учащихся развивается связанное представление о математике, когда они работают над математикой концептуально, а слепое запоминание заменяется осмыслением.

В Великобритании директивы имеют аналогичный потенциал вреда. В новом национальном учебном плане говорится, что все учащиеся должны «заучить свои таблицы умножения до 12 включительно» к 9 годам, и хотя учащиеся могут запоминать факты умножения до 12 x 12 с помощью насыщенных увлекательных занятий, эта директива побуждает учителей Дайте учащимся таблицу умножения, чтобы они запомнили ее, а затем проверили. Ведущая группа в Великобритании, возглавляемая детским писателем и поэтом Майклом Розеном, сформировалась, чтобы привлечь внимание к ущербу, наносимому нынешней политикой в ​​школах, и количеству детей младшего школьного возраста, которые теперь ходят в школу в слезах из-за стресса, в котором они находятся, вызванного чрезмерным — тестирование (Гарнер, The Independent, 2014). Математика является основной причиной беспокойства и страха учащихся, а ненужное сосредоточение внимания на заученных математических фактах в ранние годы является одной из главных причин этого.

Упражнения для развития числовых фактов и числового смысла

Учителя должны помогать учащимся развивать математические факты, не подчеркивая факты ради фактов или используя «тесты на время», а поощряя учащихся использовать числа, работать с ними и исследовать их. По мере того, как учащиеся работают над осмысленными числами, они будут запоминать математические факты одновременно с пониманием чисел и математики. Они будут наслаждаться и изучать важную математику, а не запоминать, бояться и бояться математики.

Телефонные разговоры

Одним из лучших методов одновременного обучения чувству чисел и математическим фактам является обучающая стратегия под названием «Разговоры о числах», разработанная Рут Паркер и Кэти Ричардсон. Это идеальное краткое учебное задание, с которого учителя могут начинать уроки, а родители могут выполнять дома. Он включает в себя постановку абстрактной математической задачи, такой как 18 x 5, и просьбу учащихся решить ее в уме. Затем учитель собирает различные методы и смотрит, почему они работают. Например, учитель может поставить 18 x 5 и обнаружить, что ученики решают задачу разными способами:

Студенты любят предлагать свои различные стратегии и обычно полностью вовлечены и очарованы различными возникающими методами. Учащиеся изучают математику в уме, у них есть возможность запоминать математические факты, а также они развивают концептуальное понимание чисел и арифметических свойств, которые имеют решающее значение для успеха в алгебре и не только. Родители могут использовать аналогичную стратегию, спрашивая о методах своих детей и обсуждая различные методы, которые можно использовать. Две книги, одна Кэти Хамфрис и Рут Паркер (в печати), а другая Шерри Пэриш (2014 г.), иллюстрируют множество различных разговоров о числах, над которыми можно работать со учащимися средней и начальной школы соответственно.

Исследования говорят нам, что лучшие классы математики — это те, в которых учащиеся изучают числовые факты и смысл чисел посредством увлекательных занятий, которые сосредоточены на математическом понимании, а не на механическом запоминании. Следующие пять видов деятельности были выбраны для иллюстрации этого принципа; Приложение к этому документу содержит более широкий спектр заданий и ссылок на другие полезные ресурсы, которые помогут учащимся развивать чувство числа.

Добавление фактов

Snap It: Это задание, над которым дети могут работать в группах. Каждый ребенок составляет поезд из соединяющихся кубиков определенного числа. По сигналу «Щелк» дети разбивают свои поезда на две части и держат одну руку за спиной. Дети по очереди ходят по кругу, показывая оставшиеся кубики. Остальные дети отрабатывают полную комбинацию чисел. Например, если у меня есть 8 кубиков в моем числовом поезде, я могу сломать его и положить 3 за спину. Я покажу своей группе оставшиеся 5 кубиков, и они смогут сказать, что трех не хватает и что 5 и 3 составляют 8.

Сколько прячется? В этом задании у каждого ребенка одинаковое количество кубиков и чашек. Они по очереди прячут несколько своих кубиков в чашку и показывают остатки. Другие дети отрабатывают ответ на вопрос «Сколько спряталось» и называют полное числовое сочетание.

Пример: У меня есть 10 кубиков, и я решил спрятать 4 в своей чашке. Моя группа видит, что у меня всего 6 кубиков. Учащиеся должны быть в состоянии сказать, что я прячу 4 кубика и что 6 и 4 дают 10.

Действия по умножению фактов

Насколько близко к 100? В эту игру играют напарники. Двое детей делят пустую сетку 100. Первый партнер бросает два кубика с числами. Выпадающие числа — это числа, которые ребенок использует для создания массива в сетке 100. Они могут разместить массив в любом месте сетки, но цель состоит в том, чтобы заполнить сетку настолько, насколько это возможно. После того, как игрок нарисовал массив на сетке, он записывает числовое предложение, описывающее сетку. Игра заканчивается, когда оба игрока бросили кубики и больше не могут размещать на сетке ряды. Как близко к 100 вы можете получить?

Пицца Пепперони: В этой игре дети дважды бросают кубик. Первый бросок говорит им, сколько пицц нужно вытянуть. Второй рулон говорит им, сколько пепперони положить на КАЖДУЮ пиццу. Затем они пишут числовое предложение, которое поможет им ответить на вопрос: «Сколько всего пепперони?»

Например, я бросаю кости и получаю 4, поэтому я вытягиваю 4 большие пиццы. Я переворачиваю снова, и у меня получается 3, поэтому я кладу по три пепперони на каждую пиццу. Затем я пишу 4 x 3 = 12, и это говорит мне о том, что всего 12 пепперони.

Математические карточки

Многие родители используют «карточки для запоминания» как способ поощрения изучения математических фактов. К ним обычно относятся 2 бесполезные практики — заучивание без понимания и цейтнот. В нашем задании «Математические карточки» мы использовали структуру карточек, которая нравится детям, но мы сместили акцент на смысл чисел и понимание умножения. Цель игры — сопоставить карточки с одним и тем же числовым ответом, показанным в разных изображениях. Положите все карточки на стол и попросите детей брать их по очереди; выберите столько, сколько они найдут с тем же ответом (показанным через любое представление). Например 9и 4 можно показать с моделью области, наборами объектов, таких как домино, и числовым предложением. Когда учащиеся сопоставляют карточки, они должны объяснить, откуда они знают, что разные карточки эквивалентны. Эта деятельность поощряет понимание умножения, а также повторение математических фактов. Полный комплект карт приведен в Приложении А.

Вывод: знание — сила

Упражнения, приведенные выше, являются иллюстрациями игр и заданий, в которых учащиеся изучают математические факты одновременно с работой над тем, что им нравится, а не над тем, чего они боятся. Различные упражнения также сосредоточены на понимании сложения и умножения, а не на слепом запоминании, и это очень важно. В Приложении A представлены другие предлагаемые виды деятельности и ссылки.

Как преподаватели, мы все разделяем цель поощрения сильных учеников в области математики, которые тщательно обдумывают математику, а также бегло используют числа. Но учителя и составители учебных программ часто не имеют доступа к важным исследованиям, и это означает, что непродуктивные и контрпродуктивные методы работы в классе продолжаются. Эта короткая статья иллюстрирует ущерб, причиняемый практиками, которые часто сопровождают преподавание математических фактов — давление скорости, тестирование на время и слепое запоминание, — а также обобщает результаты исследований чего-то совсем другого — чувства чисел. Успевающие учащиеся используют чувство числа, и очень важно, чтобы учащиеся с более низкими достижениями вместо того, чтобы работать над упражнениями и запоминанием, также научились использовать числа гибко и концептуально. Запоминание и проверка на время мешают восприятию чисел, создавая у учащихся впечатление, что осмысление не имеет значения. Нам необходимо срочно переориентировать наше преподавание первых чисел и их смысла в нашем преподавании математики в Великобритании и США. Если мы этого не сделаем, то показатели отказов и отсева – уже достигшие рекордно высокого уровня в обеих странах (National Numeracy, 2014; Silva & White, 2013) – возрастут. Когда мы придаем особое значение запоминанию и тестированию во имя беглости, мы наносим вред детям, мы рискуем будущим нашего вечно количественного общества и угрожаем дисциплине математики. У нас есть исследовательские знания, необходимые для того, чтобы изменить это и дать возможность всем детям хорошо учиться математике. Теперь пришло время использовать его.

Каталожные номера

Бейлок, С. (2011). Дроссель: что раскрывают секреты мозга о том, как сделать все правильно, когда вам нужно . Нью-Йорк: Свободная пресса.

Боалер, Дж. (2015). При чем здесь математика? Как учителя и родители могут помочь преобразовать обучение математике и вдохновить на успех. Нью-Йорк: Пингвин.

Боалер, Дж. (2014). Исследования показывают, что тесты на время вызывают математическую тревогу. Обучение детей математике, 20 (8).

Боалер, Дж. (2013, 12 ноября 2013 г.). Стереотипы, которые искажают то, как американцы преподают и изучают математику. Атлантический океан.

Боалер, Дж. и Зойдо, П. (в печати). Влияние стратегий обучения математике на достижения: тщательный анализ данных Пизы.

Делазер М., Ишебек А., Домахс Ф., Замариан Л., Коппельштеттер Ф., Сидентопф С.М. Кауфманн; Бенке, Т., и Фелбер, С. (2005). Обучение с помощью стратегий и обучение с помощью упражнений — данные исследования фМРТ. НейроИзображение. 839-849

Задействовать Нью-Йорк. https://schools.nyc.gov/NR/rdonlyres/9375E046-3913-4AF5-9FE3-D21BAE8FEE8D/0/CommonCoreInstructionShifts_Mathematics.pdf

Фейкес, Д. и Швингендорф, К. (2008). Важность сжатия в обучении детей математике и обучении учителей преподаванию математики. Средиземноморский журнал исследований в области математического образования 7 (2).

Фоснот, К., Т. и Долк, М. (2001). Молодые математики за работой: построение умножения и деления. Хайнеманн:

Гарнер, Р. (3 октября 2014 г.). Независимый. (ссылка на статью)

Грей, Э., и Талл, Д. (1994). Двойственность, двусмысленность и гибкость: «процептуальный» взгляд на простую арифметику. Журнал исследований в области математического образования, 25 (2), 116-140.

Хамфрис, Кэти и Паркер, Рут (в печати). Как сделать так, чтобы разговоры о числах имели значение: развитие математических навыков и углубление понимания, 4–10 классы. Портленд, Мэн: Стенхаус.

LA Times (1990) https://articles.latimes.com/1990-05-10/news/mn-1461_1_math-error

Приход, С. (2014). Разговоры о числах: помощь детям в построении умственной математики и вычислительных стратегий, классы K-5, дополнены общими основными связями. Математические решения.

Парк, Дж. и Браннон, Э. (2013). Обучение приблизительной системе счисления улучшает математические способности. Ассоциация психологических наук, 1-7

Рамирес, Г., Гундерсон, Э., Левин, С., и Бейлок, С.