«Геометрия: самостоятельные работы на готовых чертежах: 10-11 классы», Балаян Э.Н. — Торговый Дом «Библио-Глобус»
599 ₽ в наличии
Расположение в магазине:
На 2-м уровне
Зал: 12
Секция: 07
Шкаф: 86
Полка: 10
Оформить заказв интернет-магазине
Издательство: Феникс
Год издания: 2023
ISBN: 978-5-222-39434-2
Предлагаемые самостоятельные работы по геометрии на готовых чертежах предназначены для занятий в 10-11 классах. Они ориентированы на учебник «Геометрия. 10-11 классы» Л. С. Атанасяна и др. Вместе с тем их можно использовать при работе и по другим учебникам для 10-11 классов, входящим в Федеральный перечень учебной литературы.
Дополнительная информация:
| Артикул: 3456094 |
| ISBN: 978-5-222-39434-2 |
| Тип переплета: мягкий |
| Тираж: 3500 |
| Название: Геометрия: самостоятельные работы на готовых чертежах: 10-11 классы |
| Автор: Э. Н. Балаян |
| Место издания: Ростов-на-Дону |
| Издатель: Феникс |
| Дата издания: 2023 |
| Количество страниц: 223 |
| Серия: Большая перемена |
| Высота, см.: 23,20 |
| Толщина, см: 1,00 |
| Вес в граммах: 215 |
| Возрастная категория: 0+ |
ГДЗ Геометрия Самостоятельные Работы – Telegraph
>>> ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ <<<
ГДЗ Геометрия Самостоятельные Работы
Геометрия — сложная, но очень важная и нужная учебная дисциплина . Хорошие знания по ней нужны не только для высоких отметок в дневнике . Решебники содержат в себе все задачи и задания, их решения (с объяснениями и ответами), формулы и другую полезную информацию .
Самостоятельные и контрольные работы » . Ответы к пособию «Геометрия . 7 класс . Самостоятельные и контрольные работы» . Авторы: Казаков В . В ., Казакова О . О .
Онлайн решебник и ГДЗ по геометрии для 7-го класса к учебнику 2020 года, автора Казакова, с подробными объяснениями по всем номерам . Воспользовавшись решебой по геометрии , ученик сможет постигать тонкости геометрии даже при самостоятельной работе .
ГДЗ самостоятельные и контрольные работы по геометрии 7-9 класс Иченская М .А . (к учебнику Атанасян), настоящая находка для тех, кто действительно хочет заниматься и разобраться досконально в навлении .
Самостоятельные работы по геометрии в 8 классе с ответами и решениями для УМК Атанасян и др . (3 уровня сложности по 2 варианта) . Геометрия . 7—9 классы . Учебник для общеобразовательных организаций . М .: Просвещение» . Геометрия 8 класс Самостоятельные . .
ГДЗ самостоятельные и контрольные работы по геометрии 7 класс Иченская, Атанасян Просвещение . Начала геометрии, на которую стандартной школьной программой выделяется минимум времени, для сегодняшних учеников представляют наибольшую сложность .
Геометрия 10 класс . Решебник . Предмет . Геометрия . Авторы . Латотин Л . А ., Чеботаревский И . В ., Горбунова И . В .
Поэтому ГДЗ по геометрии 7-9 класс Иченская просто необходим в учебе, а то, что пособие доступно онлайн значительно повышает Решебник к учебнику «Геометрия . Самостоятельные и контрольные работы 7-9 класс» Иченская поможет подросткам понять все нюансы новых . .
Главная Каталог 5–9 классы Геометрия . 7 класс . Самостоятельные и контрольные работы . 7 класс . Самостоятельные и контрольные работы . Рекомендовано Научно-методическим учреждением «Национальный институт образования» Министерства образования Республики . .
Геометрия 7-9 класс . Тетрадь для самостоятельных и контрольных работ . Иченская, Атанасян . Просвещение . Очень сложный момент в изучении точных наук – разделение математики на две составляющие: алгебру и геометрию . Седьмой класс – это начало периода, когда . .
Самостоятельные работы . Мордкович А .Г . Домашние задания . Развивающие и обучающие пособия в интернет-магазине «Интеграл» Геометрия за 10 минут Электронное учебное пособие по геометрии Электронная рабочая тетрадь по геометрии для 7 класса .
Самостоятельные и контрольные работы . 7—9 классы: учеб, пособие для общеобразоват . организаций / М . А . Иченская . — 5-е изд . Пособие содержит самостоятельные и контрольные работы , а также карточки к итоговым зачётам по курсу геометрии 7—9 классов .
ГДЗ поможет списать готовые домашние задания по Геометрии за 7-8-9 класс на Самостоятельные и контрольные работы от ГДЗ подготовлены опытными методистами таким образом, чтобы путь к правильному решению задачи был наиболее точным и помогал . .
Самостоятельные и контрольные работы . Домашняя работа (ГДЗ ) (решебник) по геометрии за 10 класс к учебнику «Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л .С . » — Рылов А .С . —
Избранное / Решебники (ГДЗ ) для школьников . ГДЗ к сборнику Ершовой, Голобородько Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 11 класса ОНЛАЙН . 21 .07 .07 .12 .2019 .
Геометрия — сложная, но очень важная и нужная учебная дисциплина . Хорошие знания по ней нужны не только для высоких отметок в дневнике . Решебники содержат в себе все задачи и задания, их решения (с объяснениями и ответами), формулы и другую полезную информацию .
Самостоятельные и контрольные работы » . Ответы к пособию «Геометрия . 7 класс . Самостоятельные и контрольные работы» . Авторы: Казаков В . В ., Казакова О . О .
Онлайн решебник и ГДЗ по геометрии для 7-го класса к учебнику 2020 года, автора Казакова, с подробными объяснениями по всем номерам . Воспользовавшись решебой по геометрии , ученик сможет постигать тонкости геометрии даже при самостоятельной работе .
ГДЗ самостоятельные и контрольные работы по геометрии 7-9 класс Иченская М .А . (к учебнику Атанасян), настоящая находка для тех, кто действительно хочет заниматься и разобраться досконально в навлении .
Самостоятельные работы по геометрии в 8 классе с ответами и решениями для УМК Атанасян и др . (3 уровня сложности по 2 варианта) . Геометрия . 7—9 классы . Учебник для общеобразовательных организаций . М .: Просвещение» . Геометрия 8 класс Самостоятельные . .
ГДЗ самостоятельные и контрольные работы по геометрии 7 класс Иченская, Атанасян Просвещение . Начала геометрии, на которую стандартной школьной программой выделяется минимум времени, для сегодняшних учеников представляют наибольшую сложность .
Геометрия 10 класс . Решебник . Предмет . Геометрия . Авторы . Латотин Л . А ., Чеботаревский И . В ., Горбунова И . В .
Поэтому ГДЗ по геометрии 7-9 класс Иченская просто необходим в учебе, а то, что пособие доступно онлайн значительно повышает Решебник к учебнику «Геометрия . Самостоятельные и контрольные работы 7-9 класс» Иченская поможет подросткам понять все нюансы новых . .
Главная Каталог 5–9 классы Геометрия . 7 класс . Самостоятельные и контрольные работы . 7 класс . Самостоятельные и контрольные работы . Рекомендовано Научно-методическим учреждением «Национальный институт образования» Министерства образования Республики . .
Геометрия 7-9 класс . Тетрадь для самостоятельных и контрольных работ . Иченская, Атанасян . Просвещение . Очень сложный момент в изучении точных наук – разделение математики на две составляющие: алгебру и геометрию . Седьмой класс – это начало периода, когда . .
Самостоятельные работы . Мордкович А .Г . Домашние задания . Развивающие и обучающие пособия в интернет-магазине «Интеграл» Геометрия за 10 минут Электронное учебное пособие по геометрии Электронная рабочая тетрадь по геометрии для 7 класса .
Самостоятельные и контрольные работы . 7—9 классы: учеб, пособие для общеобразоват . организаций / М . А . Иченская . — 5-е изд . Пособие содержит самостоятельные и контрольные работы , а также карточки к итоговым зачётам по курсу геометрии 7—9 классов .
ГДЗ поможет списать готовые домашние задания по Геометрии за 7-8-9 класс на Самостоятельные и контрольные работы от ГДЗ подготовлены опытными методистами таким образом, чтобы путь к правильному решению задачи был наиболее точным и помогал . .
Самостоятельные и контрольные работы . Домашняя работа (ГДЗ ) (решебник) по геометрии за 10 класс к учебнику «Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л .С . » — Рылов А .С . —
Избранное / Решебники (ГДЗ ) для школьников . ГДЗ к сборнику Ершовой, Голобородько Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 11 класса ОНЛАЙН . 21 .07 .07 .12 .2019 .
ГДЗ По Русскому Рыбченков 5
ГДЗ Математика Учебник 5 Класс Дорофеев 241
ГДЗ По Физике Учебник 10 Класс Пурышева
ГДЗ Тетради Окружающий Мир Плешаков Крючкова
Рамзаева 3 Класс Решебник
Старлинг 7 Класс Учебник ГДЗ
ГДЗ Школа России Четвертый Класс
ГДЗ Алгебра Г П Бевз 2020
Скачать Новый ГДЗ
Физика Пурышева Решебник
ГДЗ Окружающий Мир
ГДЗ По Львовой 6 Класс
Решебник Английский 10 11 Кузовлев
Скачать ГДЗ Геометрия Атанасян 7
ГДЗ П Русскому Языку 1 Класс
Решебник Рабочая Тетрадь 2 Класс Кремнева
Литературное Чтение 1 2 Класс Решебник
ГДЗ По Математике 5 Класс Винтана Граф
Мордкович 8 Углубленный ГДЗ
Химия 11 Класс Новошинский ГДЗ Углубленный Уровень
Решебник 9 Класс Английский Workbook
ГДЗ По Русскому Языку 7 Бархударов
Решебник По Литературному Чтению 3
ГДЗ Биология 9 Захаров
ГДЗ По Русскому 8 Класс Ладыженская 23
Решебник Учебник 1 Класс 2 Часть
ГДЗ П Геометрии 7 9
ГДЗ Математика Атанасян
ГДЗ Учебник Афанасьева Михеева 3
Ладыженская 7 1 Часть ГДЗ
ГДЗ По Английскому Языку Демченко
ГДЗ По Химии 8 Гара Задачник
Алгебра 7 Класс Бунимович Кузнецова Минаева ГДЗ
ГДЗ По Русскому Языку Восьмой Класс Купалова
Решебник Физика Степанова 2005 Года
ГДЗ Путина По Химии 8 Класс Габриелян
ГДЗ По Биологии 9 Класс Учебник Захаров
ГДЗ По Миру Рабочая Тетрадь
ГДЗ По Математике 6 Козлова
ГДЗ По Английскому 6 Часть
Лексико Грамматический Практикум 4 Афанасьева ГДЗ
Чернова Решебник История России 2 Часть
ГДЗ По Биологии 5 Тетрадь Пасечник
ГДЗ По Французскому 6 Класс 1 Часть
ГДЗ 5 7 Класс
ГДЗ По Русскому Языку 8 Пичугов
Учебник 6 Класса Баранов ГДЗ
Решебник По Английскому Языку Workbook 9
ГДЗ По Английскому Языку 9 Класс Смирнов
Решебник Задач Сканави Втузы
ГДЗ По Английскому 8 Класс Sity Star
ГДЗ По Русскому 5 Класс Шанский
ГДЗ Окружающий 3 Класс Поглазова
ГДЗ По Математике Мерзляков Мегарешеба
ГДЗ По Алгебре 9 2014
Независимые события — определение, формула, решенные примеры, часто задаваемые вопросы
Эндрю внимательно наблюдает за жонглером в цирке. У него есть несколько цветных булав для жонглирования: 1 красная, 2 зеленые и остальные 3 синие. Внезапно он совершает ошибку. Одна из булав для жонглирования падает и снова поднимается. Теперь из его руки выпадает и вторая дубинка для жонглирования. Какова вероятность того, что первая клюшка для жонглирования синяя, а вторая клюшка для жонглирования зеленая? Ответ может быть довольно запутанным. Клубы, которые может выбрать Эндрю, не зависят от каких-либо предыдущих инцидентов, и поэтому клубы могут быть любого цвета. Такие события называются независимыми событиями, и на них не влияют предыдущие события. Итак, давайте узнаем о таких событиях.
В этой статье мы узнаем о независимых событиях и о том, как найти вероятность как зависимых, так и независимых событий. Оба эти события являются частью вероятности и во многом связаны между собой. Мы также исследуем разницу между независимыми и зависимыми событиями и подход к ним. Вы можете ознакомиться с решенными примерами, чтобы узнать больше об уроке, и попробовать свои силы в решении нескольких интересных практических вопросов о независимых событиях в конце страницы.
| 1. | Что такое независимые события? |
| 2. | Разница между независимыми событиями и зависимыми событиями |
| 3. | Определение вероятности независимых событий |
| 4. | Метод определения независимого события |
| 5. | Решенные примеры для независимых событий |
| 6. | Практические вопросы по независимым событиям |
| 7. | Часто задаваемые вопросы о независимых мероприятиях |
Что такое независимые события?
Два события называются независимыми, если исход одного события не влияет на исход другого. Или мы можем сказать, что если одно событие не влияет на вероятность другого события, оно называется независимым событием. Независимые события по вероятности отражают события реальной жизни. Чтобы понять это, мы можем привести несколько примеров, например, хорошие оценки на экзамене не влияют на то, что делают соседи. Точно так же поездка на такси на рынок никак не повлияет на поиск любимого фильма на YouTube. Другими словами, независимое событие не зависит от того, произойдет ли другое событие раньше.
Какие существуют типы независимых событий? В вероятности есть два типа событий, которые часто классифицируются как зависимые события или независимые события. Изучим их отличие.
Разница между независимыми событиями и зависимыми событиями
Разница между независимыми и зависимыми событиями указана в таблице ниже.
| Независимые события | Зависимые события |
| 1. Относится к наступлению одного события, не влияющему на вероятность другого события. | 1. Относится к возникновению одного события, влияющего на вероятность другого события. |
2.Пример: а) Кататься на велосипеде и смотреть любимый фильм на ноутбуке. | 2.Пример: а) Несвоевременное пополнение счета за телефон и приостановка обслуживания звонков. б) Покупка нескольких лотерейных билетов и выигрыш в лотерею. Чем больше билетов мы купили, тем выше наши шансы на победу. c) Предположим, у вас есть коробка, содержащая 10 зеленых яблок и 5 красных яблок. Если мы возьмем красное яблоко и съедим его правильно, у нас будет условие, что мы не можем снова заменить его другими яблоками, которые находятся в коробке, поэтому, не заменяя его, вероятность получить другое красное яблоко во второй попытке сильно изменится, потому что ты достал красное яблоко в первый раз. |
3. Формулу можно записать так: P(A и B) = P(A)×P(B)P(A и B) = P(A)×P(B) | 3. Формулу можно записать так: P(B и A)=P(A)×P(B после A) |
Определение вероятности независимых событий
Для нахождения вероятности независимых событий мы должны воспользоваться формулой условной вероятности, которая приведена ниже: Если вероятность событий А и В равна Р(А) и Р(В) соответственно, то условная вероятность события B такое, что событие A уже произошло, называется P(A/B). Формула условной вероятности представлена ниже.
\[ P\left( \dfrac AB \right)=\dfrac {P(A \cap B)}{P(B)} \text {или} \dfrac {P(B \cap A)}{ P(B)}\]
Дано, P(A) должно быть больше 0. P(A) меньше 0 означает, что событие A невозможно. В \(P(A \cap B)\) пересечение обозначает сложную вероятность события.
Давайте подробно найдем вероятность независимых событий на примере. Предположим, у нас есть коробка, в которой 10 игрушек, из которых 7 разноцветных и 3 синих. На основании этого мы знаем, что вероятность нарисовать одну разноцветную игрушку равна 7 к 10, или 0,7, а вероятность нарисовать синюю игрушку 3 к 10, или 0,3·9.0003
Метод идентификации независимых событий
Прежде чем применять формулы вероятности, необходимо определить независимое событие. Несколько шагов для проверки того, относится ли вероятность к зависимым или независимым событиям:
Шаг 1 : Проверьте, могут ли события происходить в любом порядке? Если да, перейдите к шагу 2 или к шагу 3. Если да, перейдите к шагу 4 или перейдите к шагу 3 9.0089 Шаг 3 : Событие независимое. Используйте формулу независимых событий и получите ответ.
Шаг 4: Событие зависит. Воспользуйтесь формулой зависимого события и получите ответ.
- Вероятность
- Формула условной вероятности
- Экспериментальная вероятность
- Калькулятор вероятности события
Советы и рекомендации по независимым мероприятиям
Вы можете использовать приведенные ниже советы и рекомендации для решения проблем на независимых мероприятиях.
- Вероятность независимых событий, происходящих последовательно, может быть найдена путем перемножения результатов.
- Если вероятность одного события не влияет на вероятность другого события, события независимы.
- Если вероятность одного события влияет на вероятность другого события, события являются зависимыми.
Часто задаваемые вопросы о независимых мероприятиях
Примеры независимых событий?
Независимые события — это события, возникновение которых не зависит ни от какого другого события. Например, если мы подбрасываем монету в воздухе и получаем результат «Орел», то снова, если мы подбрасываем монету, но на этот раз мы получаем результат «Решка». В обоих случаях возникновение обоих событий не зависит друг от друга.
Как узнать, является ли событие независимым?
События A и B независимы, если верно равенство P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Вы можете использовать это уравнение, чтобы проверить, являются ли события независимыми; умножьте вероятности двух событий вместе, чтобы увидеть, равны ли они вероятности того, что они оба произошли вместе.
Каково правило для независимых событий?
Если вероятность событий A и B равна P(A) и P(B) соответственно, то эти два события независимы, если выполняется любое из следующих условий: P(A|B)=P(A), P( B|A)=P(B) и P(A и B)=P(A)⋅P(B)
Как определить, является ли событие независимым или зависимым?
Два события A и B называются независимыми, если факт возникновения одного события не влияет на вероятность появления другого. Также, если возникновение одного события влияет на вероятность возникновения другого события, два события называются зависимыми.
Может ли событие быть взаимоисключающим и независимым?
Взаимоисключающими в математике являются наборы событий, которые не могут произойти одновременно. Например: при подбрасывании монеты может выпасть либо орел, либо решка, но не то и другое одновременно. Это, конечно, означает, что взаимоисключающие события не являются независимыми, а независимые события не могут быть взаимоисключающими.
Непересекающиеся ли независимые события?
Два непересекающихся события никогда не могут быть независимыми, за исключением случая, когда одно из событий равно нулю. События считаются непересекающимися, если они никогда не происходят одновременно. Например, быть первокурсником и быть второкурсником можно было бы считать непересекающимися событиями. Независимые события — это несвязанные события.
Умножаете ли вы вероятность независимых событий?
Чтобы использовать правило, нам нужно знать вероятности каждого из независимых событий. Учитывая эти события, правило умножения утверждает, что вероятность возникновения обоих событий находится путем умножения вероятностей каждого события.
Объяснение урока: Зависимые и независимые события
В этом объяснении мы узнаем, как рассчитать вероятности зависимых и независимых событий и как проверить, являются ли два события независимыми.
Начнем с напоминания следующего определения.
Определение: независимые и зависимые события
События 𝐴 и 𝐵 являются независимыми, если появление 𝐴 не влияет на вероятность появления 𝐵. То есть, 𝑃(𝐵∣𝐴)=𝑃(𝐵), где 𝑃(𝐵∣𝐴) представляет вероятность события 𝐵 при условии, что событие 𝐴 произошло.
Если условие выше не выполняется, то мы говорим, что 𝐴 и 𝐵 являются зависимыми событиями. Например, если мы дважды бросаем игральную кость, то выпадение четного числа при первом броске и выброс 4 при втором броске являются независимыми событиями, потому что тот факт, что мы бросили четное число при первом броске, не увеличивает и не уменьшает вероятность выпадения.
Рассмотрим несколько сценариев в первом примере и проверим, описывают ли они зависимые или независимые события с помощью определения.
Пример 1: определение сценариев, представляющих независимые события
В каком из следующих сценариев 𝐴 и 𝐵 независимые события?
- Ученик выходит из дома по дороге в школу. Событие 𝐴 означает, что они вовремя прибывают на автобусную остановку, чтобы успеть на автобус, а событие 𝐵 означает, что они вовремя приходят в школу.
- Брошена игральная кость. Событие 𝐴 выбрасывает четное число, а событие 𝐵 — простое число.
- Бросается игральная кость и подбрасывается монета. Событие 𝐴 — выпадение 6 на кубике, а событие 𝐵 — выпадение монеты один на один.
- Ребенок наугад берет две конфеты из мешочка, в котором лежат жевательные и хрустящие леденцы.
Событие 𝐴 означает, что сначала они берут жевательную конфету, а событие 𝐵 — то, что они берут хрустящую конфету во вторую очередь. - Учитель случайным образом выбирает двух учеников из группы, состоящей из пяти мальчиков и пяти девочек. Событие 𝐴 — учитель сначала выбирает мальчика, а событие 𝐵 — учитель выбирает девочку во вторую очередь.
Ответ
Напомним, что события 𝐴 и 𝐵 независимы, если появление 𝐴 не влияет на вероятность появления 𝐵. Чтобы установить, являются ли 𝐴 и 𝐵 независимыми или зависимыми, мы должны проверить, изменяется ли вероятность 𝐵, когда мы предполагаем, что 𝐴 уже произошло. Рассмотрим каждый сценарий, используя определение.
- Событие 𝐴 означает, что учащийся приходит на автобусную остановку вовремя, чтобы успеть на автобус, а событие 𝐵 — это то, что учащийся приходит в школу вовремя. Можно предположить, что вероятность прийти в школу вовремя значительно возрастает, если ученик успевает на автобус, поскольку вероятность опоздания ученика в школу выше, если он опоздает на автобус. Таким образом, возникновение события 𝐴 влияет на вероятность возникновения события 𝐵, а это означает, что эти два события являются зависимыми.
- Событие 𝐴 выбрасывает четное число {2,4,6}, а 𝐵 выбрасывает простое число {2,3,5}. Вероятность выпадения простого числа равна 𝑃(𝐵)=12, потому что есть 3 простых числа из 6 равновероятных исходов. С другой стороны, если мы предположим, что уже выбросили четное число, то выпадение должно быть 2, чтобы оно было простым числом. Другими словами, событие 𝐵 при задании 𝐴 равнозначно получению 2 из {2,4,6}. Итак, 𝑃(𝐵∣𝐴)=13. Поскольку 𝑃(𝐵∣𝐴)≠𝑃(𝐵), эти два события зависимы.
- Событие 𝐴 — выпадение 6 на кубике, а событие 𝐵 — выпадение монеты один на один. Скажем, мы уже выбросили 6 на кубике. Изменяется ли вероятность выпадения монеты орлом вверх? Нет, вероятность такого события по-прежнему равна 12 независимо от того, что мы получим при броске кубика. Таким образом, 𝐴 и 𝐵 независимы.
- Событие 𝐴 — ребенок первым берет жевательную конфету, а событие 𝐵 — ребенок берет хрустящую конфету вторым. Чтобы определить, являются ли два события независимыми, нам нужно знать, отличается ли вероятность того, что событие 𝐵 произойдет, в зависимости от того, произошло ли уже событие 𝐴. Допустим, пакет начинается с одной жевательной конфеты и одной хрустящей конфеты. Если ребенок берет жевательную конфету при первом выборе, то мы говорим, что произошло событие 𝐴. Поскольку они не будут класть эту конфету в пакет и будут выбирать из того, что осталось в пакете, они обязательно выберут хрустящие конфеты при втором выборе, поэтому 𝑃(𝐵∣𝐴)=1. Если ребенок первым берет хрустящую конфету, то мы говорим, что событие 𝐴 не произошло, и в этом случае он не может взять хрустящую конфету вторым, потому что в мешочке осталась только жевательная конфета, поэтому 𝑃( 𝐵∣𝐴)=0. Поскольку вероятность возникновения 𝐵 различна, когда 𝐴 произошло, и когда 𝐴 не произошло, то событие 𝐵 зависит от события 𝐴. 𝐴 и 𝐵 не являются независимыми событиями.
- Этот сценарий аналогичен сценарию D, и вероятность выбора девочки второй зависит от того, мальчик или девочка были выбраны первыми, так как состав группы, оставшейся для второго выбора, будет разным в зависимости от того, мальчик или девочка был выбран первым. Если произошло событие 𝐴, то для второго выбора будет доступно 4 мальчика и 5 девочек, а 𝑃(𝐵∣𝐴)=59. Однако, если событие 𝐴 не произошло, то для второго выбора будет доступно 5 мальчиков и 4 девочки, а 𝑃(𝐵∣𝐴)=49. Эти два события являются зависимыми.
Следовательно, правильный ответ C.
В следующем примере мы будем использовать диаграмму дерева вероятностей, чтобы решить, являются ли события независимыми.
Пример 2. Использование диаграмм дерева вероятностей для определения независимости событий
В мешочке 5 красных и 4 синих леденца. Я беру один наугад, отмечаю его цвет и ем. Затем я делаю то же самое для другой конфеты. На рисунке ниже показано дерево вероятностей, связанное с этой проблемой. Являются ли события «получение синей конфеты первым» и «получение красной конфеты вторым» независимыми?
Ответ
Напомним, что события 𝐴 и 𝐵 независимы, если появление 𝐴 не влияет на вероятность появления 𝐵. Чтобы установить, являются ли 𝐴 и 𝐵 независимыми, мы должны проверить, изменяется ли вероятность 𝐵 в зависимости от результата 𝐴.
Если мы сначала возьмем синюю конфету, вероятность получения красной конфеты второй определяется нижними ветвями диаграммы дерева вероятностей.
Тогда у нас есть, 𝑃(∣)=58.получение красной конфеты второй получение синей конфеты первой
С другой стороны, вероятность получить красную конфету второй, независимо от того, что было выбрано первой, такая же, как и вероятность получить красную конфету первой. Это связано с тем, что порядок выбора не влияет на его вероятность, если только мы не принимаем условие из предыдущего выбора. Вероятность получить красную конфету первой указана ниже.
Это равно вероятности получить красную конфету в секунду, поэтому мы имеем 𝑃()=59.gettingaredcandysecond
Это дает нам 𝑃(∣)≠𝑃().получение красной конфеты во вторую очередьполучение синей конфеты в первую очередьполучение красной конфеты в секунду
Поскольку вероятность «получить красную конфету второй» изменяется, когда мы предполагаем, что сначала получаем синюю конфету, эти два события не являются независимыми.
Напомним, что условная вероятность вычисляется по уравнению
| 𝑃(𝐵∣𝐴)=𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐴). | (1) |
Мы также знаем, что 𝑃(𝐵∣𝐴)=𝑃(𝐵) для независимых мероприятий. Подставляя это в уравнение выше и переставляя, мы получаем 𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴∩𝐵).
Это приводит к следующей теореме.
Теорема: Правило умножения для независимых событий
События 𝐴 и 𝐵 независимы тогда и только тогда, когда где 𝐴∩𝐵 — событие, при котором события 𝐴 и 𝐵 происходят одновременно.
В следующем примере мы воспользуемся этой теоремой, чтобы показать, что любые два взаимоисключающих события с ненулевыми вероятностями не могут быть независимыми.
Пример 3: Взаимоисключающие события и независимые события
Если 𝑃(𝐴)=0,3 и 𝑃(𝐵)=0,25 и 𝐴∩𝐵=∅, являются ли 𝐴 и 𝐵 независимыми?
Ответ
Напомним, что если 𝐴 и 𝐵 — независимые события, то 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵).
Нам дано, что 𝐴∩𝐵=∅, а это значит, что они взаимоисключающие. Другими словами, два события не могут произойти одновременно. Напомним, что вероятность пустого множества равна нулю, поэтому
𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(∅)=0.
С другой стороны, мы можем вычислить 𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵)=0,3×0,25=0,075.
Поскольку 𝑃(𝐴∩𝐵)≠𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵), 𝐴 и 𝐵 зависимы.
Приведенный выше пример демонстрирует более общий факт: два взаимоисключающих события с ненулевыми вероятностями не могут быть независимыми. Эвристически это имеет смысл, потому что если 𝐴 и 𝐵 являются взаимоисключающими событиями, то 𝐴 и 𝐵 не могут происходить одновременно. Итак, если мы предположим, что событие 𝐴 уже произошло, то это исключает возможность того, что 𝐵 может произойти. Другими словами, результат 𝐴 влияет на результат 𝐵, делая их зависимыми.
В следующем примере мы будем использовать вероятности, данные на диаграмме Венна, чтобы решить, являются ли два события независимыми.
Пример 4. Использование вероятностей на диаграмме Венна для определения независимости событий
В пространстве выборок 𝑆 показаны вероятности возникновения комбинаций событий 𝐴 и 𝐵. Являются ли 𝐴 и 𝐵 независимыми событиями?
Ответ
Напомним, что события 𝐴 и 𝐵 независимы, если 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵).
Вероятность пересечения 𝐴∩𝐵 отмечена ниже.
Это дает нам 𝑃(𝐴∩𝐵)=519.
Вероятность 𝐴 определяется как сумма двух вероятностей, отмеченных ниже.
Это дает нам 𝑃(𝐴)=419+519=919.
Наконец, мы можем рассчитать вероятность 𝐵, найдя сумму двух вероятностей, отмеченных ниже.
Это дает нам 𝑃(𝐵)=519+519=1019.
Используя эти значения, мы можем проверить условие 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵): 𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵)=919×1019=
, что не равно 𝑃(𝐴∩𝐵)=519.Значит, нет; 𝐴 и 𝐵 не являются независимыми событиями.
В нашем следующем примере мы применяем правило умножения для независимых событий, чтобы вычислить вероятность пересечения.
Пример 5. Определение вероятности пересечения независимых событий
В банке с шариками находятся 4 синих, 5 красных, 1 зеленый и 2 черных шарика. Из банки случайным образом выбирается шарик. После его замены выбирается второй шарик. Найдите вероятность того, что первый будет синим, а второй красным.
Ответ
Нам нужно найти вероятность того, что первый шарик синий, а второй красный. Пусть 𝐴 — событие, что первый шарик синий, а 𝐵 — событие, что второй — красный. Используя обозначение вероятности, нам нужно определить 𝑃(𝐴∩𝐵).
Обратите внимание, что первый шарик заменяется перед тем, как будет выбран второй шарик. Это означает, что условие выбора второго шарика идентично условию выбора первого шарика. Исход первого выбора не влияет на вероятность второго выбора, поэтому события 𝐴 и 𝐵 независимы. Нарисуем древовидную диаграмму, описывающую этот пример.
Заметим, что второй набор ветвей имеет те же вероятности, что и соответствующий первый набор ветвей. Это связано с тем, что первый выбранный шарик помещается обратно в пул до того, как будет выбран второй, восстанавливая исходное значение пространства вероятностей.
Напомним, что если 𝐴 и 𝐵 — независимые события, правило умножения утверждает, что 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵).
Найдем 𝑃(𝐴) и 𝑃(𝐵) из дерева вероятностей.
Итак, мы получаем 𝑃(𝐴)=412=13 и 𝑃(𝐵)=512. Мы можем применить правило умножения, чтобы получить 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵)=13×512=536.
Следовательно, вероятность того, что первый шарик синий, а второй красный, равна 536.
Если 𝐴 и 𝐵 являются зависимыми событиями, то применяется немного другая версия правила умножения. Мы можем получить эту версию, переписав уравнение (1).
Теорема: Общее правило умножения
Если 𝐴 и 𝐵 являются зависимыми событиями, то 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐵∣𝐴)×𝑃(𝐴).
В нашем последнем примере мы применим общее правило умножения для вычисления вероятности пересечения.
Пример 6. Определение вероятности пересечения двух зависимых событий
В мешке 18 белых и 9 черных шаров. Какова вероятность того, что второй шар будет черным, а первый белым, если последовательно вынуть 2 шара без замены?
Ответ
Нам нужно найти вероятность того, что первый шар белый, а второй черный. Пусть 𝐴 — событие, что первый шар белый, а 𝐵 — событие, что второй — черный. Используя обозначение вероятности, нам нужно определить 𝑃(𝐴∩𝐵).
Заметим, что второй шар выбран без замены первого шара . В связи с этим условие для выбор второго мяча отличается от выбора первого. Иными словами, результат первое событие влияет на распределение вероятностей второго события. Итак, события 𝐴 и 𝐵 зависимы.
Напомним, что если 𝐴 и 𝐵 являются зависимыми событиями, общее правило умножения гласит, что 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐵∣𝐴)×𝑃(𝐴).
Найдем 𝑃(𝐴) и 𝑃(𝐵∣𝐴).
В начале в банке 18 белых шаров из 27, поэтому вероятность выбрать первым белый шар равна 𝑃(𝐴)=1827=23.
Далее рассмотрим 𝑃(𝐵∣𝐴). Если мы предположим, что произошло 𝐴, мы предполагаем, что белый шар был взят из мешка до того, как был выбран второй шар. Остается 17 белых шаров и 9черные шары в мешке для второго выбора. Затем, 𝑃(𝐵∣𝐴)=926.
Мы можем нарисовать диаграмму дерева вероятностей с этими двумя значениями.