ГДЗ по алгебре для 10 класса сборник задач Арефьева И.Г.
§1. Сложная функция. Решения
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9§2. Обратная функция. Решения
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 
Решения»>
§3. Построение графиков функций у = f(|х|), у = |f(х)| с помощью преобразований графика функции у = f(x). Решения
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Решения»>
§3. Построение графиков функций у = f(|х|), у = |f(х)| с помощью преобразований графика функции у = f(x). Решения§4. Функции у = [х], у = {х} и их свойства. Решения
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5§5. Многочлены. Решения
5.
1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11§6. Единичная окружность. Градусная и радианная мера произвольного угла. Решения
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.
§7. Определение синуса и косинуса произвольного угла. Решения
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 7.
19
7.20
7.21
7.22
7.23
7.24
7.25
7.26
7.27
7.28§8. Определение тангенса и котангенса произвольного угла. Решения
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.
§9. Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла. Решения
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.
13
9.14
9.15
9.16
9.17
9.18
9.19
9.20
9.21
9.22
9.23
9.24
9.25
9.26
9.27
9.28§10. Функции у = sin х и у = cos х. Их свойства и графики. Решения
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.
8
10.9
10.10
10.11
10.12
10.13
10.14
10.15
10.16
10.17
10.18
10.19
10.20
10.21
10.22
10.23
10.24
10.25 §11. Функции у = tg х и у = ctg х. Их свойства и графики. Решения
11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.
6
11.7
11.8
11.9
11.10
11.11
11.12
11.13
11.14
11.15
11.16
11.17§12. Обратные тригонометрические функции. Решения
12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 12.10 12.11 12.12 12.
13
12.14
12.15
12.16
12.17
12.18
12.19
12.20§13. Тригонометрические уравнения. Тригонометрические неравенства. Решения
13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 13.10 13.11 13.12 13.13 13.14 13.
§14. Формулы приведения. Решения
14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.
8
14.9
14.10
14.11
14.12
14.13
14.14
14.15
14.16
14.17§15. Синус, косинус, тангенс суммы и разности. Решения
15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 15.10 15.11 15.12 15.13 15.
14
15.15
15.16
15.17
15.18
15.19
15.20
15.21
15.22
15.23§16. Формулы двойного аргумента. Решения
16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10 16.11 16.12 16.13 16.14 16.
15
16.16
16.17
16.18
16.19
16.20
16.21
16.22
16.23
16.24§17. Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение. Решения
17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 17.10 17.11 17.
12
17.13
17.14
17.15
17.16
17.17§18. Корень n-й степени из числа a (n ≥ 2, п ∈ N). Решения
18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 18.10§19. Свойства корней и-й. степени (n ≥ 2, п ∈ N). Решения
19.1 19.2 19.
3
19.4
19.5
19.6
19.7
19.8
19.9
19.10
19.11
19.12
19.13
19.14
19.15
19.16
19.17
19.18§20. Применение свойств корней и-й степени для преобразования выражений. Решения
20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6 20.
7
20.8
20.9
20.10
20.11
20.12§21. Свойства и график функции Функции y=n√x (п > 1, п ∈ N). Решения
21.1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6§22. Иррациональные уравнения. Решения
22.1 22.2 22.3 22.4 22.5 22.6 22.
7
22.8
22.9
22.10
22.11
22.12
22.13
22.14
22.15
22.16
22.17
22.18
22.19
22.20
22.21§23. Иррациональные неравенства. Решения
23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 23.9 23.
10
23.11
23.12
23.13
23.14
23.15
23.16
23.17
23.18
23.19
23.20
23.21
23.22§24. Определение производной функции. Решения
24.1 24.2 24.3§25. Правила вычисления производных. Решения
25.1 25.2 25.3 25.
4
25.5
25.6
25.7
25.8
25.9§26. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производная тригонометрических функций. Решения
26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 26.6 26.7 26.8 26.9 26.10 26.11 26.12 26.13 26.14 26.
15
26.16§27. Геометрический смысл производной. Связь между знаком производной функции и ее возрастанием или убыванием. Решения
27.1 27.2 27.3 27.4 27.5 27.6 27.7 27.8 27.9 27.10 27.11 27.12 27.13 27.14 27.15 27.16 27.17 27.18 27.
19
27.20
27.21
27.22
27.23
27.24
27.25
27.26
27.27
27.28
27.29
27.30
27.31
27.32
27.33
27.34§28. Применение производной к исследованию функций. Решения
28.1 28.2 28.3 28.4 28.5§29.
Наибольшее и наименьшее значения функции. Решения 29.1
29.2
29.3
29.4
29.5
29.6
29.7
29.8
29.9
29.10§31. Правила комбинаторного сложения и умножения. Решения
31.1 31.2 31.3 31.4 31.5 31.6 31.7 31.8 31.9 31.10 31.
11
31.12
31.13
31.14
31.15
31.16
31.17
31.18
31.19
31.20
31.21
31.22
31.23
31.24
31.25
31.26§32. Перестановки. Размещения. Решения
32.1 32.2 32.3 32.4 32.5 32.6 32.7 32.8 32.
9
32.10
32.11
32.12
32.13§33. Сочетания. Решение комбинаторных задач. Решения
33.1 33.2 33.3 33.4 33.5 33.6 33.7 33.8 33.9 33.10 33.11 33.12§34. Метод математической индукции. Решения
34.1 34.2 34.
3
34.4
34.5
34.6
34.7
34.8
34.9
34.10
34.11
34.12§35. Бином Ньютона. Решения
35.1 35.2 35.3 35.4 35.5 35.6 35.7 35.8 35.9 35.10 35.11 35.12 35.13 35.14 35.15Решебник кострикин сборник задач по алгебре | Main page
Похожие Новости
※ Download: remrimeska.
darkandlight.ru?dl&keyword=%d1%80%d0%b5%d1%88%d0%b5%d0%b1%d0%bd%d0%b8%d0%ba+%d0%ba%d0%be%d1%81%d1%82%d1%80%d0%b8%d0%ba%d0%b8%d0%bd+%d1%81%d0%b1%d0%be%d1%80%d0%bd%d0%b8%d0%ba+%d0%b7%d0%b0%d0%b4%d0%b0%d1%87+%d0%bf%d0%be+%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b5&source=bandcamp.com
Функция двух переменных Глава 9. Уравнение поверхности Глава 36. ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ……………………………………….
Определители второго и третьего порядков 39 § 10. Гельфанда, читавшихся автором в Московском государственном университете на протяжении ряда лет.
Похожие Новости
ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ ………………………………………. Множества и отображения …………………………………………………. Подсчет числа элементов … 11 § 2. Число отображений и подмножеств, биномиальные коэффициенты ……………………………………………………………………………………………………12 § 3. Арифметические пространства и линейные уравнения ……………………………………………………………………………………………………………. Системы линейных уравнений…………………………………………………………30 Глава 3.
Определители второго и третьего порядков ………………………………39 § 10. Основные свойства определителя ……………………………………………….. Разложение определителя по строке и столбцу ………………………. Определители и элементарные преобразования ………………………. Вычисление определителей специального вида…………………………48 § 15. Определитель произведения матриц ………………………………………….. Матрицы ……………………………………………………………………………………56 § 17. Обратная матрица ………………………………60 § 19. Матрицы специального вида …………………………………………………………65 Глава V. Комплексные числа в алгебраической форме ………………………….. Комплексные числа в тригонометрической форме …………………. Корни из комплексных чисел и многочлены деления круга.. Вычисления с помощью комплексных чисел………………………………75 § 24. Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости ………….. Деление с остатком и алгоритм Евклида …………………………………. Простые и кратные корни над полями нулевой характеристики …………………………………………………………………………………………………….. Разложение на неприводимые множители над R и С ……………. Многочлены над полем рациональных чисел и над конечными полями ………………………………………………………………………………………….
. Интерполяция ……………………………………………………………………………………92 § 31. Симметрические многочлены и формулы Виета…………………….. Результант и дискриминант …………………………………………………………99 § 33. Базисы ………………………………104 § 35. Подпространства ………………………………………………………………………………107 § 36. Линейные функции и отображения………………………………………………114 Глава VIII. Билинейные и квадратичные функции …………………. Общие билинейные и полуторалинейные функции …………………. Симметрические билинейные, эрмитовы и квадратичные функции ………………………………………………………………………………………………126 Глава IX. Образ, ядро, матрица линейного оператора…………………………………….. Собственные векторы, инвариантные подпространства, корневые подпространства …………………………….. Жорданова форма и её приложения. Минимальный многочлен 143 § 42. Геометрия метрических пространств …………………… 156 § 44. Сопряжённые и нормальные операторы …………………. Приведение квадратичных функций к главным осям ………………………………. Ортогональные и унитарные операторы. Полярное разложение ………………………………………………… 172 Глава XI. Симметрические и кососимметрические тензоры ………… 181 Глава ХII.
Аффинная, евклидова и проективная геометрия. Гиперповерхности второго порядка …………………….. Подгруппы, порядок элемента группы. Действие группы на множестве. Отношение сопряжённости 227 § 58. Гомоморфизмы и нормальные подгруппы. Факторгруппы, центр ………………………………………………… 233 § 59. Группы малых порядков …………. Прямые произведения и прямые суммы. Абелевы группы … 241 § 61. Порождающие элементы и определяющие соотношения…… 248 § 62. Разрешимые группы…………………………………… 252 Глава XIV. Кольца и алгебры …………………………………….. Идеалы, гомоморфизмы, факторкольца …………………. Специальные классы алгебр ……………………………. Конечные поля………………………………………… 299 Глава XV. Элементы теории представлений ………………. Представления конечных групп ………………………… 308 § 71. Групповые алгебры и модули над ними …………………. Характеры представлений……………………………… 319 § 73. Первоначальные сведения о представлениях непрерывных групп ………………………………………………… 325 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ………………………………………. Аффинная и евклидова геометрия …………………………………………………. Гипреповерхности второго порядка …………………………………………….
Тензоры ………………………………………………………………………………………………449 § V. Элементы теории представлений …………………………………………………. Список определений …………………………………………………………………………453 § VII. Сборник задач по алгебре ОНЛАЙН.
«Лекции по линейной алгебре». Симметрические билинейные, эрмитовы и квадратичные функции ………………………………………………………………………………………………126 Глава IX. «Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры». Скалярное произведение векторов Глава 32. Выложенная литература представлена исключительно для ознакомительных целей и в случае возражений. Уравнение некоторых кривых, встречающихся в математике и ее приложениях Глава 27.
Решайте уравнения, упрощайте выражения с помощью Пошагового решения математических задач
Алгебра
Секция алгебры QuickMath позволяет вам манипулировать математическими выражениями всевозможными полезными способами. На данный момент QuickMath может расширять, разлагать или упрощать практически любое выражение, отменять общие множители внутри дробей, разбивать дроби на более мелкие («частичные») дроби и объединять две или более дроби вместе в одну дробь.
На подходе более специализированные команды.
Что такое алгебра?
Термин «алгебра» используется для обозначения многих вещей в математике, но в этом разделе мы будем говорить только о том виде алгебры, с которым вы сталкиваетесь в старшей школе.
Алгебра — это раздел элементарной математики, в котором для обозначения неизвестных величин используются символы. В более общем смысле он состоит из решения уравнений или манипулирования выражениями, которые содержат символы (обычно буквы, такие как x, y или z), а также числа и функции. Хотя решение уравнений на самом деле является частью алгебры, это настолько обширная область, что для нее есть отдельный раздел в QuickMath.
Эта часть QuickMath имеет дело только с алгебраическими выражениями. Это математические операторы, которые содержат буквы, цифры и функции, но не имеют знаков равенства. Вот несколько примеров простых алгебраических выражений:
|
Расширить
Команда расширения используется в основном для перезаписи полиномов с умножением всех скобок и целых степеней и сбором всех подобных членов вместе.
В расширенном разделе у вас также есть возможность расширять тригонометрические функции, расширяя по модулю любое целое число и оставляя нетронутыми определенные части выражения, расширяя остальные.
Перейти на страницу Развернуть
Factor
Команда factor попытается переписать выражение как произведение меньших выражений. Он заботится о таких вещах, как удаление общих множителей, разложение на множители по парам, квадратичные трехчлены, разности двух квадратов, суммы и разности двух кубов и многое другое. Расширенный раздел включает в себя параметры факторизации тригонометрических функций, факторизации по модулю любого целого числа, факторизации поля целых чисел Гаусса (как раз то, что нужно для этих хитрых сумм квадратов) и даже расширения поля, в котором происходит факторизация, с вашими собственными расширениями.
Перейти на страницу Factor
Simplify
Упрощение, пожалуй, самая сложная из всех команд для описания.
То, как упрощение выполняется в QuickMath, включает просмотр множества различных комбинаций преобразований выражения и выбор той, которая имеет наименьшее количество частей. Помимо прочего, команда «Упростить» позаботится об исключении общих множителей сверху и снизу дроби и сборе одинаковых членов. Расширенные параметры позволяют упростить тригонометрические функции или дать указание QuickMath прилагать больше усилий для поиска упрощенного выражения.
Перейти на страницу упрощения
Отмена
Команда отмены позволяет исключить общие множители в знаменателе и числителе любой дроби, встречающейся в выражении. Эта команда работает путем отмены наибольшего общего делителя знаменателя и числителя.
Перейти на страницу отмены
Частичные дроби
Команда дробей позволяет разделить рациональную функцию на сумму или разность дробей. Рациональная функция — это просто частное двух многочленов. Любую рациональную функцию можно представить в виде суммы дробей, где знаменатели дробей являются степенями множителей знаменателя исходного выражения.
Эта команда особенно полезна, если вам нужно интегрировать рациональную функцию. Разбив его сначала на неполные дроби, интегрирование часто можно сделать намного проще.
Перейти на страницу «Частичные дроби»
«Соединить дроби»
Команда «Соединить дроби», по существу, выполняет обратную команду «Частичные дроби». Он перепишет ряд дробей, которые добавляются или вычитаются, как одна дробь. Знаменатель этой единственной дроби обычно будет наименьшим общим кратным знаменателей всех дробей, которые складываются или вычитаются. Любые общие множители в числителе и знаменателе ответа будут автоматически аннулированы.
Перейти на страницу объединения фракций
Понятие переписки часто встречается в повседневной жизни. Для
Например, каждой книге в библиотеке соответствует количество страниц в
книга. В качестве другого примера, каждому человеку соответствует дата рождения. К
приведите третий пример, если температура воздуха регистрируется в течение всего
сутки, то в каждый момент времени есть соответствующая температура.
Примеры соответствий, которые мы привели, включают два множества X и Y. В В нашем первом примере X обозначает набор книг в библиотеке, а Y — набор положительные целые числа. Каждой книге x в X соответствует натуральное число y, а именно количество страниц в книге. Во втором примере, если мы допустим X обозначим множество всех людей, а Y множество всех возможных дат, тогда каждому человеку x в X соответствует дата рождения y.
Иногда мы представляем соответствия диаграммами типа, показанного на рис. Рисунок 1.17, где множества X и Y представлены точками внутри областей в самолет. Изогнутая стрелка указывает, что элемент y из Y соответствует элемент x из X. Мы изобразили X и Y как разные множества. Однако X и Y могут имеют общие элементы. На самом деле мы часто имеем X = Y.
Наши примеры показывают, что каждому x в X соответствует один и только один
у в Y; то есть y уникален для данного x. Однако один и тот же элемент Y может
соответствуют разным элементам X. Например, две разные книги могут иметь
одинаковое количество страниц, у двух разных людей может быть один и тот же день рождения, и
скоро.
В большей части нашей работы X и Y будут наборами действительных чисел. Для иллюстрации пусть X и Y оба обозначают множество R действительных чисел, и каждому вещественному числу x соответствует назначьте его квадрат x 2 . Таким образом, 3 мы приписываем 9, — 5 мы присваиваем 25, а скоро. Это дает нам соответствие от R до R. Все примеры соответствия, которые мы дали, являются функциями, как определено ниже.
Определение
Функция f из множества X в множество Y является соответствием, которое присваивает каждому элемент x из X уникальный элемент y из Y. Элемент y называется образом x при f и обозначается через f(x). Множество X называется областью определения функции. Диапазон функции состоит из всех изображений элементов X.
Ранее мы ввели обозначение f(x) для элемента Y, который
соответствует х. Обычно это читается как «f of x». Мы также называем f(x) значением
ф в х. В терминах графического представления, данного ранее, мы можем теперь
нарисуйте схему, как на рис.
1.18. Изогнутые стрелки указывают на то, что элементы
f(x), f(w), f(z) и f(a) из Y соответствуют элементам x, y, z и a из X.
Повторим тот важный факт, что каждому х в X соответствует в точности
одно изображение f(x) в Y; однако различные элементы X, такие как w и z на рисунке
1.18 может иметь такое же изображение в Y.
Начинающих учеников иногда смущают символы f и f(x). Помнить что f используется для представления функции. Его нет ни в X, ни в Y. Однако, f(x) является элементом Y, а именно элементом, который f сопоставляет x. Две функции Говорят, что f и g от X до Y равны, что записывается как
для каждого x в X. для каждого x в R. Найдите f(-6) и f(a), где a — любое действительное число. Что диапазон ф?
Решение Значения f (или изображений под f) можно найти, заменив x в уравнение f(x) = x 2 . Таким образом:
Если T обозначает диапазон выключения, то по предыдущему определению T состоит из всех
числа вида f(a), где a находится в R .
Следовательно, T — множество всех
квадраты a 2 , где a — действительное число. Так как квадрат любого действительного
число неотрицательно. T содержится в множестве всех неотрицательных вещественных
числа. Более того, каждое неотрицательное действительное число c является образом ниже f, так как
. Следовательно, диапазон f — это набор всех неотрицательных действительных чисел.
Если функция определена, как в предыдущем примере, символ, используемый для переменная несущественна; то есть такие выражения, как:
и т. д., все определяют одну и ту же функцию. Это верно, потому что если a является любым число в области f, то то же самое изображение a 2 получается без независимо от того, какое выражение используется.
Пример 2 Пусть X обозначает множество неотрицательных действительных чисел, а f
функция от X до R определяется формулой
для каждого x в X. Найдите f(4)
и f (пи). Если b и c принадлежат X, найдите f(b + c) и f(b) + f(c).
Решение Как и в примере 1, поиск изображений под f — это просто вопрос подставляя подходящее число вместо x в выражении для f(x). Таким образом:
Многие формулы, встречающиеся в математике и естественных науках, определяют
функции. В качестве иллюстрации формула A = pi*r 2 для площади A
круга радиуса r присваивает каждому положительному вещественному числу r уникальное значение
А. Это определяет функцию f, где f(r) = pi*r 2 , и мы можем написать
А = f(r). Буква r, обозначающая произвольное число из домена off,
часто называют независимой переменной. Буква А, обозначающая число
из диапазона off, называется зависимой переменной, так как ее значение зависит от
номер, присвоенный тор. Когда две переменные r и A связаны таким образом,
принято использовать фразу A является функцией r. Чтобы привести другой пример,
если автомобиль движется с постоянной скоростью 50 миль в час, то
расстояние d (мили), пройденное за время t (часы), определяется как d = 50t и, следовательно,
расстояние d является функцией времени t.
Мы видели, что различные элементы области определения функции могут иметь
такое же изображение. Если изображения всегда разные, то, как и в следующем определении,
функция называется один к одному.
Решение неравенств с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»
В этой главе мы разработаем некоторые приемы, помогающие решать задачи, сформулированные словами. Эти методы включают переписывание задач в виде символов. Например, поставленная задача
«Найди число, которое при прибавлении к 3 дает 7»
можно записать как:
3 + ? = 7, 3 + n = 7, 3 + x = 1
и т. д., где символы ?, n и x представляют число, которое мы хотим найти. Такие сокращенные версии поставленных задач мы называем уравнениями или символическими предложениями. Такие уравнения, как x + 3 = 7, являются уравнениями первой степени, поскольку показатель степени равен 1. Члены слева от знака равенства составляют левый член уравнения; те, что справа, составляют правый член.
Таким образом, в уравнении x + 3 = 7 левая часть равна x + 3, а правая часть равна 7.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Уравнения могут быть истинными или ложными, так же как словесные предложения могут быть истинными или ложными. Уравнение:
3 + x = 7
будет ложным, если вместо переменной подставить любое число, кроме 4. Значение переменной, для которой уравнение верно (4 в этом примере), называется решением уравнения. Мы можем определить, является ли данное число решением данного уравнения, подставив число вместо переменной и определив истинность или ложность результата.
Пример 1 Определите, является ли значение 3 решением уравнения
4x — 2 = 3x + 1
Решение Подставим значение 3 вместо x в уравнение и посмотрим, равен ли левый член правому член.
4(3) — 2 = 3(3) + 1
12 — 2 = 9 + 1
10 = 10
Ответ. 3 это решение.
Уравнения первой степени, которые мы рассматриваем в этой главе, имеют не более одного решения.
Решения многих таких уравнений можно определить путем проверки.
Пример 2 Найдите решение каждого уравнения путем проверки.
а. х + 5 = 12
б. 4 · x = -20
Решения а. 7 является решением, так как 7 + 5 = 12,
b. -5 является решением, поскольку 4(-5) = -20.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
В разделе 3.1 мы решили некоторые простые уравнения первой степени путем проверки. Однако решения большинства уравнений не сразу очевидны при осмотре. Следовательно, нам нужны некоторые математические «инструменты» для решения уравнений.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Эквивалентные уравнения – это уравнения, имеющие одинаковые решения. Таким образом,
3x + 3 = x + 13, 3x = x + 10, 2x = 10 и x = 5
эквивалентны уравнениям, поскольку 5 является единственным решением каждого из них. Обратите внимание, что в уравнении 3x + 3 = x + 13 решение 5 не очевидно при проверке, но в уравнении x = 5 решение 5 очевидно при проверке.
При решении любого уравнения мы преобразуем данное уравнение, решение которого может быть неочевидным, в эквивалентное уравнение, решение которого легко заметить.
Следующее свойство, иногда называемое свойством сложения-вычитания , является одним из способов генерирования эквивалентных уравнений.
Если к обоим элементам добавляется или вычитается одно и то же количество уравнения, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнение.
В символах
a — b, a + c = b + c и a — c = b — c
являются эквивалентными уравнениями.
Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное
x + 3 = 7
путем вычитания 3 из каждого члена.
Решение Вычитание 3 из каждого члена дает
x + 3 — 3 = 7 — 3
или
x = 4
Обратите внимание, что x + 3 = 7 и x = 4 являются эквивалентными уравнениями, поскольку решение одно и то же. для обоих, а именно 4. Следующий пример показывает, как мы можем сгенерировать эквивалентные уравнения, сначала упростив один или оба члена уравнения.
Пример 2 Напишите уравнение, эквивалентное
4x- 2-3x = 4 + 6
, объединив одинаковые термины, а затем добавив 2 к каждому элементу.
Объединение одинаковых членов дает
x — 2 = 10
Прибавление 2 к каждому члену дает
x-2+2 = 10+2
x = 12
Чтобы решить уравнение, мы используем сложение-вычитание свойство преобразовывать данное уравнение в эквивалентное уравнение формы x = a, из которого мы можем найти решение путем проверки.
Пример 3 Решить 2x + 1 = x — 2.
Мы хотим получить эквивалентное уравнение, в котором все члены, содержащие x, находятся в одном члене, а все члены, не содержащие x, — в другом. Если мы сначала прибавим -1 к каждому элементу (или вычтем из него 1), мы получим
2x + 1- 1 = x — 2- 1
2x = x — 3
Если теперь мы прибавим -x к каждому члену (или вычтем x из него), мы получим
2x-x = x — 3 — х
х = -3
где решение -3 очевидно.
Решением исходного уравнения является число -3; однако ответ часто отображается в виде уравнения x = -3.
Поскольку каждое уравнение, полученное в процессе, эквивалентно исходному уравнению, -3 также является решением 2x + 1 = x — 2. В приведенном выше примере мы можем проверить решение, подставив — 3 вместо x в исходном уравнение
2(-3) + 1 = (-3) — 2
-5 = -5
Симметричное свойство равенства также полезно при решении уравнений. Это свойство указывает
Если a = b, то b = a
Это позволяет нам менять местами члены уравнения в любое время, не заботясь о смене знака. Таким образом,
Если 4 = x + 2, то x + 2 = 4
Если x + 3 = 2x — 5, то 2x — 5 = x + 3
Если d = rt, то rt = d
Может быть несколько различные способы применения вышеуказанного свойства сложения. Иногда один метод лучше другого, а в некоторых случаях также полезно симметричное свойство равенства.
Пример 4 Решите 2x = 3x — 9. (1)
Решение Если мы сначала прибавим -3x к каждому элементу, мы получим
2x — 3x = 3x — 9 — 3x
-x = -9
где переменная имеет отрицательный коэффициент.
Хотя при проверке мы видим, что решение равно 9, поскольку -(9) = -9, мы можем избежать отрицательного коэффициента, добавляя -2x и +9 к каждому члену уравнения (1). В этом случае получаем
2х-2х + 9 = 3х- 9-2х+ 9
9 = х
откуда решение 9очевидно. Если мы хотим, мы можем записать последнее уравнение как x = 9 по симметричному свойству равенства.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВА ДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим уравнение
3x = 12
Решением этого уравнения является 4. Также обратите внимание, что если мы разделим каждую часть уравнения на 3, мы получим уравнения
, решение которого также равно 4. В общем случае мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством деления.
Если оба члена уравнения разделить на одно и то же (отличное от нуля) полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.
В символах
эквивалентны уравнениям.
Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное
-4x = 12
, разделив каждый член на -4.
Решение Деление обоих членов на -4 дает
При решении уравнений мы используем вышеуказанное свойство для получения эквивалентных уравнений, в которых переменная имеет коэффициент 1.
Пример 2 Решить 3y + 2y = 20.
Сначала мы объединяем одинаковые члены, чтобы получить
5y = 20
Затем, разделив каждый член на 5, мы получаем
В следующем примере мы используем сложение — свойство вычитания и свойство деления для решения уравнения.
Пример 3 Решить 4x + 7 = x — 2.
Решение Сначала мы добавляем -x и -7 к каждому элементу, чтобы получить
4x + 7 — x — 7 = x — 2 — x — 1
Далее , объединение одинаковых членов дает
3x = -9
Наконец, мы делим каждый член на 3, чтобы получить
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ
Рассмотрим уравнение
Решение этого уравнения умножаем каждый член уравнения на 4, получаем уравнения
решение которых также равно 12.
В общем случае имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством умножения.
Если оба члена уравнения умножить на одну и ту же ненулевую величину, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.
В символах
a = b и a·c = b·c (c ≠ 0)
являются эквивалентными уравнениями.
Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное
, умножив каждый член на 6.
Решение Умножив каждый член на 6, получим
дроби.
Пример 2 Решить
Решение Сначала умножьте каждый член на 5, чтобы получить
Теперь разделите каждый член на 3,
Пример 3 Решите .
Решение Сначала упростим над дробной чертой, чтобы получить
Затем умножим каждый член на 3, чтобы получить
Наконец, разделив каждый член на 5, получим
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ 90 знать все методы, необходимые для решения большинства уравнений первой степени.
Нет определенного порядка, в котором следует применять свойства. Любой один или несколько из следующих шагов, перечисленных на странице 102, могут быть подходящими.Шаги для решения уравнений первой степени:
- Объедините одинаковые члены в каждом члене уравнения.
- Используя свойство сложения или вычитания, напишите уравнение со всеми членами, содержащими неизвестное в одном члене, и всеми членами, не содержащими неизвестное в другом.
- Объедините одинаковые термины в каждом элементе.
- Используйте свойство умножения для удаления дробей.
- Используйте свойство Division, чтобы получить коэффициент 1 для переменной.
Пример 1 Решите 5x — 7 = 2x — 4x + 14.
Решение Сначала мы объединяем одинаковые члены, 2x — 4x, чтобы получить
5x — 7 = -2x + 14
Затем мы добавляем +2x и +7 к каждому элементу и объединяем одинаковые члены, чтобы получить
5x — 7 + 2x + 7 = -2x + 14 + 2x + 1
7x = 21
Наконец, мы делим каждый член на 7, чтобы получить
В следующем примере мы упрощаем дробную черту перед применением свойств, которые мы изучали.
Пример 2 Решить
Решение Сначала мы объединяем одинаковые члены, 4x — 2x, чтобы получить
Затем мы добавляем -3 к каждому члену и упрощаем
Затем мы умножаем каждый член на 3, чтобы получить
Наконец, мы делим каждый член на 2, чтобы получить
РЕШЕНИЕ ФОРМУЛ
Уравнения, которые включают переменные для измерения двух или более физических величин, называются формулами. Мы можем найти любую переменную в формуле, если известны значения других переменных. Мы подставляем известные значения в формулу и находим неизвестную переменную методами, которые мы использовали в предыдущих разделах.
Пример 1 В формуле d = rt найдите t, если d = 24 и r = 3.
Решение Мы можем найти t, подставив 24 вместо d и 3 вместо r. То есть
d = rt
(24) = (3)t
8 = t
Часто бывает необходимо решать формулы или уравнения, в которых имеется более одной переменной для одной из переменных в терминах другие.