Умножение на ноль – основное правило
Как вы думаете, какую из этих сумм можно заменить произведением?
Давайте рассуждать так. В первой сумме слагаемые одинаковые, цифра пять повторяется четыре раза. Таким образом, мы можем заменить сложение на умножение. Первый фактор показывает, какой термин повторяется, второй фактор показывает, сколько раз этот термин повторяется. Заменяем сумму произведением.
Запишем решение.
Во второй сумме условия другие, поэтому ее нельзя заменить произведением. Складываем члены и получаем ответ 17.
Запишем решение.
Можно ли заменить произведение суммой тех же условий?
Рассмотрим работы.
Давайте действовать и делать выводы.
1*2=1+1=2
1*4=1+1+1+1=4
1*5=1+1+1+1+1=5
Мы можем сделать вывод: всегда количество единиц измерения равно числу, на которое единица умножается.
Значит, умножение единицы на любое число дает одно и то же число.
1 * а = а
Считай работает.
Эти произведения нельзя заменить суммой, так как сумма не может иметь один член.
Продукты во втором столбце отличаются от продуктов в первом столбце только порядком факторов.
Это означает, что для того, чтобы не нарушать свойство перестановочности умножения, их значения также должны быть равны, соответственно, первому множителю.
Подведем итоги: При умножении любого числа на единицу получается число, которое было умножено.
Запишем этот вывод в виде равенства.
a * 1= a
Решите примеры.
Подсказка: не забывайте выводы, которые мы сделали на уроке.
Проверь себя.
Теперь посмотрим на произведения, у которых один из множителей равен нулю.
Рассмотрим продукты, у которых первый множитель равен нулю.
Заменим произведения суммой одинаковых слагаемых. Давайте действовать и делать выводы.
0*3=0+0+0=0
0*6=0+0+0+0+0+0=0
0*4=0+0+0+0=0
Количество нулевых членов всегда равно числу, на которое умножается ноль.
Значит, Когда вы умножаете ноль на число, вы получаете ноль.
Запишем этот вывод в виде равенства.
0 * а = 0
Рассмотрим продукты, у которых второй множитель равен нулю.
Эти произведения нельзя заменить суммой, так как сумма не может иметь нулевых членов.
Сравним произведения и их значение.
0*4=0
Произведения второго столбца отличаются от произведений первого столбца только порядком множителей.
Это означает, что для того, чтобы не нарушать свойство коммутативности умножения, их значения также должны быть равны нулю.
Подведем итог: Умножение любого числа на ноль дает ноль.
Запишем этот вывод в виде равенства.
a * 0 = 0
Но на ноль делить нельзя.
Решите примеры.
Подсказка: не забывайте выводы, сделанные на уроке. При вычислении значений второго столбца будьте внимательны при определении порядка операций.
Проверь себя.
Сегодня на уроке мы познакомились с частными случаями умножения на 0 и 1, потренировались умножать на 0 и 1.
Библиография
- М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. — М.: «Просвещение», 2012.
- М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2 ч., ч. 2. — М.: «Просвещение», 2012.
- М.И. Моро. Уроки математики: Методические указания для учителей. 3 класс – М.: Просвещение, 2012.
- Нормативный документ. Мониторинг и оценка результатов обучения. — М.: «Просвещение», 2011.
- «Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.
- Волков С.И. Математика: Контрольная работа. 3 класс – М.: Просвещение, 2012.
- В.Н. Рудницкая. Тесты. — М.: «Экзамен», 2012.
- Nsportal.ru ().
- Просв.ру ().
- Do.gendocs.ru ().
Домашнее задание
1.
Найдите значение выражений.
2. Найдите значение выражений.
3. Сравните значения выражений.
(56-54)*1 … (78-70)*1
4. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.
Евгений Ширяев, преподаватель и заведующий Лабораторией математики Политехнического музея , рассказал АиФ.ру о делении на ноль:
1. Юрисдикция вопроса
Согласитесь, запрет придает особую провокативность правилу . Как это невозможно? Кто запретил? А как же наши гражданские права?
Ни конституция РФ, ни УК, ни даже устав вашей школы не возражают против интересующей нас интеллектуальной деятельности. Это означает, что запрет не имеет юридической силы, и ничто не мешает прямо здесь, на страницах АиФ.ру, попытаться что-то поделить на ноль. Например, тысяча.
2. Разделить, как учили
Помните, когда вы впервые научились делить, первые примеры решались путем проверки умножением: результат, умноженный на делитель, должен был совпадать с делимым.
Не совпало — не решил.
Пример 1 1000:0 =…
Забудем на минуту о запретном правиле и сделаем несколько попыток угадать ответ.
Неверный чек обрывается. Переберите варианты: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Для каждого из них тест даст одинаковый результат:
100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10 000 0 = 0
Ноль при умножении превращает все в себя и никогда в тысячу. Вывод легко сформулировать: ни одно число не пройдет тест. То есть никакое число не может быть результатом деления ненулевого числа на ноль. Такое деление не запрещено, но просто не имеет результата.
3. Нюанс
Чуть не упустил одну возможность опровергнуть бан. Да, мы признаем, что ненулевое число не будет делиться на 0. А может быть, сам 0 может?
Пример 2 0:0 = …
Ваши предложения для частного? 100? Пожалуйста: частное от 100, умноженное на делитель 0, равно кратному 0.
Еще варианты! один? Также подходит. И -23, и 17, и все-все-все.
В этом примере результат проверки будет положительным для любого числа. И если честно, то решение в этом примере надо называть не числом, а набором чисел. Каждый. И не нужно много времени, чтобы согласиться с тем, что Алиса не Алиса, а Мэри-Энн, и обе они — мечта кролика.
4. А высшая математика?
Задача решена, нюансы учтены, точки расставлены, все понятно — никакое число не может быть ответом для примера с делением на ноль. Решение таких проблем безнадежно и невозможно. Так интересно! Дубль два.
Пример 3 Разобраться, как разделить 1000 на 0.
Но никак. Но 1000 можно легко разделить на другие числа. Ну давайте хотя бы делать то, что работает, пусть и изменим задачу. А там, глядишь, увлечемся, и ответ появится сам собой. Забудьте на минуту о нуле и разделите на сто:
Сотня далеко не ноль. Сделаем шаг к нему, уменьшив делитель:
1000:25=40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000:8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000:1 = 1000.
Очевидная динамика: чем ближе делитель к нулю, тем больше частное. Тенденцию можно наблюдать дальше, переходя к дробям и продолжая уменьшать числитель:
Остается заметить, что мы можем приближаться к нулю сколь угодно близко, делая частное сколь угодно большим.
В этом процессе нет ни нуля, ни последнего частного. Движение к ним мы обозначили заменой числа последовательностью, сходящейся к интересующему нас числу:
Отсюда следует аналогичная замена делимого:
1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,… }
Стрелки двусторонние не просто так: некоторые последовательности могут сходиться к числам. Тогда мы можем связать последовательность с ее числовым пределом.
Давайте посмотрим на последовательность частных:
Он растет бесконечно, не стремясь ни к чему и превосходя всех. Математики добавляют символы к числам ∞ чтобы иметь возможность поставить двустороннюю стрелку рядом с такой последовательностью:
Сравнение номеров последовательностей с пределом позволяет предложить решение третьего примера:
Разделение последовательности, сходящейся к 1000, поэлементно последовательностью положительных чисел, сходящейся к 0, получим последовательность, сходящуюся к ∞.
5. А вот и нюанс с двумя нулями
Какой результат получится при делении двух последовательностей положительных чисел, сходящихся к нулю? Если они одинаковые, то идентичный блок. Если последовательность-делимое сходится к нулю быстрее, то в конкретной последовательности с нулевым пределом. А когда элементы делителя убывают гораздо быстрее, чем делимое, то частное будет сильно расти:
Неопределенная ситуация. Так и называется: неопределенность вида 0/0 . Когда математики видят последовательности, попадающие под такую неопределенность, они не спешат делить два одинаковых числа друг на друга, а выясняют, какая из последовательностей быстрее стремится к нулю и как. И на каждый пример будет свой конкретный ответ!
6. В жизни
Закон Ома связывает ток, напряжение и сопротивление в цепи. Его часто записывают в такой форме:
. Пренебрежем точным физическим пониманием и формально рассмотрим правую часть как частное двух чисел. Представьте, что мы решаем школьную задачу по электричеству.
Условие задается напряжением в вольтах и сопротивлением в омах. Вопрос очевиден, решение в одно действие.
Теперь давайте посмотрим на определение сверхпроводимости: это свойство некоторых металлов иметь нулевое электрическое сопротивление.
Ну что, решим задачу на сверхпроводящую схему? Скажем так: R= 0 не получается, физика подкидывает интересную задачу, за которой, очевидно, стоит научное открытие. А люди, сумевшие в этой ситуации поделить на ноль, получили Нобелевскую премию. Полезно уметь обходить любые запреты!
Класс: 3
Презентация к уроку
Назад вперед
Внимание! Предварительный просмотр слайдов предназначен только для информационных целей и может не отражать весь объем презентации. Если вас заинтересовала эта работа, пожалуйста, скачайте полную версию.
Цель:
- Ввести специальные случаи умножения с 0 и 1.
- Закреплять значение умножения и перестановочное свойство умножения, развивать вычислительные навыки.
- Развивать внимание, память, мыслительные операции, речь, творческие способности, интерес к математике.
Оборудование: Слайд-презентация: Приложение1.
Во время занятий
1. Организационный момент.
Сегодня у нас необычный день. На уроке гости. Радуйте меня, друзья, гости своими успехами. Откройте тетради, запишите число, классная работа. На полях отметьте свое настроение в начале урока. Слайд 2.
Устно весь класс повторяет таблицу умножения на карточках с проговариванием вслух (Неправильные ответы дети отмечают хлопками).
Физкультминутка («Гимнастика мозга», «Шапочка для размышлений», для дыхания).
2. Постановка учебного задания.
2.1. Задания на развитие внимания.
На доске и на столе у детей двухцветная картинка с цифрами:
— Чем интересны написанные цифры? (Написано разными цветами; все «красные» числа четные, а «синие» — нечетные.
)
Какое лишнее число? (10 круглое, а остальные нет; 10 двузначное, а остальные однозначные; 5 повторяется дважды, а остальные по одному.)
— Закрою число 10. Есть ли лишнее среди других номеров? (3 — у него нет пары меньше 10, а у остальных есть.)
– Найдите сумму всех «синих» чисел и запишите ее в синий квадрат. (23.)
Насколько больше 30, чем 23? (На 7.)
На сколько 23 меньше 30? (Также в 7.)
Какое действие вы искали? (Вычитание.) Слайд 3.
2.2. Задания на развитие памяти и речи. Обновление знаний.
а) — Повторите по порядку слова, которые я назову: член, член, сумма, уменьшенное, вычтенное, разность. (Дети пытаются воспроизвести порядок слов.)
Какие компоненты действия были названы? (Сложение и вычитание.)
Какое действие вам знакомо? (Умножение, деление.
)
— Назовите компоненты умножения. (Множитель, множитель, произведение.)
Что означает первый множитель? (Равные члены в сумме.)
Что означает второй множитель? (Количество таких терминов.)
Запишите определение умножения.
а + а +… + а =
б) Посмотрите на записи. Какое задание вы будете выполнять?
12 + 12 + 12 + 12 + 12
33 + 33 + 33 + 33
а + а + а
(Замените сумму произведением.)
Что произойдет? (В первом выражении 5 слагаемых, каждое из которых равно 12, значит оно равно 12 5. Аналогично — 33 4 и 3)
в) Назовите обратную операцию. (Заменить произведение суммой.)
– Заменить произведение суммой в выражениях: 99 2. 8 4. б 3. (99 + 99, 8 + 8 + 8 + 8, б +б+б) . 4 слайд – 17 + 17 – 17 = 17 5
Картинки ставятся рядом с каждым равенством.
Животные лесной школы выполняли задание.
Правильно ли они сделали?
Дети устанавливают, что слон, тигр, заяц и белка ошиблись, объясняют, в чем их ошибки. д) Сравните выражения: 8 5 = 5 8, так как сумма не меняется от перестановки слагаемых;
5 6 > 3 6, так как слева и справа по 6 слагаемых, но слагаемых слева больше;
34 9 > 31 2. так как слагаемых слева больше и сами слагаемые больше;
а 3 = а 2 + а, так как слева и справа по 3 слагаемых, равных а.)
Какое свойство умножения использовалось в первом примере? (Смещение.) Салазки 6.
2.3. Постановка задачи. Постановка целей.
Верны ли равенства? Почему? (Правильно, так как сумма 5 + 5 + 5 = 15. Тогда сумма становится еще одним слагаемым 5, и сумма увеличивается на 5.)
5 3 = 15
5 4 = 20
5 5 = 25
5 6 = 30
– Продолжайте по этой схеме вправо. (5 7 = 35; 5 8 = 40…)
— Теперь продолжайте движение налево. (5 2 = 10; 5 1 = 5; 5 0 = 0.)
— Что означает выражение 5 1? 50? (? Задача!)
Итог обсуждения:
Однако выражения 5 1 и 5 0 не имеют смысла.
Можно согласиться считать эти равенства истинными. Но для этого нам нужно проверить, не нарушаем ли мы свойство коммутативности умножения.
Итак, цель нашего урока определить, можем ли мы посчитать равенства 5 1 = 5 и 5 0 = 0 правильно?
Задача урока! Слайд 7.
3. «Открытие» детьми новых знаний.
а) — Выполните действия: 1 7, 1 4, 1 5.
Дети решают примеры с комментариями в тетради и на доске:
1 7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7
1 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
1 5 = 1 + 1 + 1 + 1 +1 = 5
— Сделать вывод: 1 а -? (1 a = a.) Открыта карта: 1 a = a
b) — Имеют ли смысл выражения 7 1, 4 1, 5 1? Почему? (Нет, так как сумма не может иметь один член.)
– Чему они должны быть равны, чтобы не нарушать свойство перестановочности умножения? (7 1 также должно равняться 7, поэтому 7 1 = 7.)
4 1 = 4; 5 1 = 5.
— Сделайте вывод: а 1 =? (a 1 = a.)
Карта открыта: a 1 = a.
Первая карта накладывается на вторую: а 1 = 1 а = а.
— Наш вывод совпадает с тем, что мы получили на числовом луче? (Да.)
– Переведите это равенство на русский язык. (При умножении числа на 1 или 1 на число получается одно и то же число.)
— Молодец! Итак, будем считать: а 1 = 1 а = а. слайд 8.
2) Аналогично изучается случай умножения на 0. Вывод:
— при умножении числа на 0 или 0 на число получается нуль: а 0 = 0 а = 0. слайд 9.
— Сравните оба равенства: что вам напоминают 0 и 1?
Дети высказывают свое мнение. Вы можете обратить их внимание на изображения:
1 — «зеркало», 0 — «страшный зверь» или «шапка-невидимка».
Молодец! Таким образом, умножение на 1 дает то же число. (1 — «зеркало») , а при умножении на 0 получаем 0 ( 0 — «шапка-невидимка»).
4. Физкультура (для глаз — «круг», «вверх-вниз», для рук — «замок», «кулачки»).
5. Первичное крепление.
На доске записаны примеры:
23 1 =
1 89 =
0 925 =
364 1 =
156 0 =
0 1 =
Дети решают их в тетради и на доске. полученные правила в громкой речи, например:
3 1 = 3, так как при умножении числа на 1 получается то же число (1 — «зеркало») и т. д.
а) 145 х = 145 ; б) х 437 = 437.
— При умножении 145 на неизвестное число получилось 145. Значит, умножили на 1 х = 1. И т. д.
а) 8 х = 0; б) х 1 = 0.
— Умножение 8 на неизвестное число получилось 0. Значит, умножить на 0 х = 0. И так далее.
6. Самостоятельная работа с классной проверкой . слайд 10.
Дети самостоятельно решают записанные примеры. Затем закончили
проверяют свои ответы с произношением в громкой речи, отмечают плюсом правильно решенные примеры, исправляют допущенные ошибки. Допустившие ошибки получают аналогичное задание на карточке и работают над ним индивидуально, пока класс решает задания на повторение.
7. Задания на повторение. (Работать в парах). Слайд 11.
а) — Хотите узнать, что вас ждет в будущем? Узнать это можно, расшифровав запись:
Г – 49:7 о – 9 8 н – 9 9 в – 45:5 й – 6 6 д – 7 8 с – 24:3
| 906:50 | |||||||
| 81 | 72 | 5 | 8 | 36 | 7 | 72 | 56 |
«Так что же нас ждет?» (Новый год.)
б) — «Я придумал число, отнял от него 7, прибавил 15, потом прибавил 4 и получил 45. Какое число я придумал?»
Обратные операции необходимо проделать в обратном порядке: 45 — 4 — 15 + 7 = 31.
8. Результат урока. слайд 12.
Какие новые правила?
Что понравилось? Что было сложно?
Можно ли применить эти знания в реальной жизни?
На полях можно выразить свое настроение в конце урока.
Заполните таблицу самооценки:
Я хочу знать больше
Хорошо, но я могу лучше
Пока я в беде
Спасибо за вашу работу, вы проделали отличную работу!
9. Домашнее задание
стр. 72–73 Правило № 6.
Ноль сам по себе очень интересное число. Само по себе оно означает пустоту, отсутствие смысла, а рядом с другим числом увеличивает свое значение в 10 раз. Любые числа в нулевой степени всегда дают 1. Этот знак использовался еще в цивилизации майя, и им также обозначалось понятие «начало, причина». Даже календарь начинался с нулевого дня. И эта цифра связана со строгим запретом.
Еще со школьных лет мы все четко усвоили правило «на ноль делить нельзя». Но если в детстве многое принимаешь на веру и слова взрослого редко вызывают сомнения, то со временем иногда все же хочется разобраться в причинах, понять, почему были установлены те или иные правила.
Почему нельзя делить на ноль? Хотелось бы получить четкое логическое объяснение этому вопросу. В первом классе учителя не могли этого сделать, потому что в математике правила объясняются с помощью уравнений, а мы в том возрасте понятия не имели, что это такое. А теперь пора разобраться и получить четкое логическое объяснение, почему нельзя делить на ноль.
Дело в том, что в математике независимыми признаны только две из четырех основных операций (+, -, x, /) с числами: умножение и сложение. Остальные операции считаются производными. Рассмотрим простой пример.
Скажите, сколько получится, если из 20 вычесть 18? Естественно, в голове сразу возникает ответ: будет 2. И как мы пришли к такому результату? Кому-то этот вопрос покажется странным — ведь и так все ясно, что получится 2, кто-то объяснит, что из 20 копеек взял 18 и получил две копейки. Логически все эти ответы не вызывают сомнений, но с точки зрения математики эту задачу следует решать иначе. Напомним еще раз, что основными операциями в математике являются умножение и сложение, и поэтому в нашем случае ответ заключается в решении следующего уравнения: х + 18 = 20.
Из которого следует, что х = 20 — 18, х = 2 Казалось бы, зачем так подробно все расписывать? Ведь все так просто. Однако без этого трудно объяснить, почему нельзя делить на ноль.
Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если мы захотим разделить 18 на ноль. Снова составим уравнение: 18:0 = x. Так как операция деления является производной от процедуры умножения, то путем преобразования нашего уравнения получаем x*0=18. Вот тут и начинается тупик. Любое число вместо х при умножении на ноль даст 0 и получить 18 у нас не получится. Теперь становится предельно ясно, почему нельзя делить на ноль. Сам ноль можно разделить на любое число, а вот наоборот — увы, нельзя.
Что происходит, когда ноль делится сам на себя? Это можно записать в такой форме: 0:0 = x, или x * 0 = 0. Это уравнение имеет бесконечное число решений. Так что конечный результат — бесконечность. Поэтому операция в этом случае также не имеет смысла.
Деление на 0 лежит в основе многих воображаемых математических шуток, которые при желании могут озадачить любого несведущего человека.
Например, рассмотрим уравнение: 4*х — 20 = 7*х — 35. В левой части вынесем за скобки 4, а в правой — 7. Получаем: 4*(х — 5) = 7*(х — 5). Теперь умножаем левую и правую части уравнения на дробь 1/(х — 5). Уравнение примет следующий вид: 4 * (х — 5) / (х — 5) = 7 * (х — 5) / (х — 5). Уменьшаем дроби на (х — 5) и получаем, что 4 = 7. Отсюда можно сделать вывод, что 2 * 2 = 7! Конечно, загвоздка здесь в том, что оно равно 5 и сокращать дроби было нельзя, так как это приводило к делению на ноль. Поэтому при сокращении дробей всегда нужно проверять, чтобы ноль случайно не оказался в знаменателе, иначе результат получится совершенно непредсказуемым.
Как вы думаете, какую из этих сумм можно заменить произведением?
Давайте рассуждать так. В первой сумме слагаемые одинаковые, цифра пять повторяется четыре раза. Таким образом, мы можем заменить сложение на умножение. Первый фактор показывает, какой термин повторяется, второй фактор показывает, сколько раз этот термин повторяется.
Заменяем сумму произведением.
Запишем решение.
Во второй сумме условия другие, поэтому ее нельзя заменить произведением. Складываем члены и получаем ответ 17.
Запишем решение.
Можно ли заменить произведение суммой тех же условий?
Рассмотрим работы.
Давайте действовать и делать выводы.
1*2=1+1=2
1*4=1+1+1+1=4
1*5=1+1+1+1+1=5
Мы можем сделать вывод: всегда количество единичных слагаемых равно числу, на которое умножается единица.
Значит, умножение единицы на любое число дает одно и то же число.
1 * a = a
Считай работает.
Эти произведения нельзя заменить суммой, так как сумма не может иметь один член.
Продукты во втором столбце отличаются от продуктов в первом столбце только порядком факторов.
Это означает, что для того, чтобы не нарушать свойство перестановочности умножения, их значения также должны быть равны, соответственно, первому множителю.
Подведем итоги: При умножении любого числа на единицу получается число, которое было умножено.
Запишем этот вывод в виде равенства.
a * 1= a
Решите примеры.
Подсказка: не забывайте выводы, которые мы сделали на уроке.
Проверь себя.
Теперь посмотрим на произведения, у которых один из множителей равен нулю.
Рассмотрим продукты, у которых первый множитель равен нулю.
Заменим произведения суммой одинаковых слагаемых. Давайте действовать и делать выводы.
0*3=0+0+0=0
0*6=0+0+0+0+0+0=0
0*4=0+0+0+0=0
Количество нулевых членов всегда равно числу, на которое умножается ноль.
Значит, Когда вы умножаете ноль на число, вы получаете ноль.
Запишем этот вывод в виде равенства.
0 * a = 0
Рассмотрим продукты, у которых второй множитель равен нулю.
Эти произведения нельзя заменить суммой, так как сумма не может иметь нулевых членов.
Сравним произведения и их значения.
0*4=0
Произведения второго столбца отличаются от произведений первого столбца только порядком множителей.
Это означает, что для того, чтобы не нарушать свойство коммутативности умножения, их значения также должны быть равны нулю.
Подведем итог: Умножение любого числа на ноль дает ноль.
Запишем этот вывод в виде равенства.
a * 0 = 0
Но на ноль делить нельзя.
Решите примеры.
Подсказка: не забывайте выводы, сделанные на уроке. При вычислении значений второго столбца будьте внимательны при определении порядка операций.
Проверь себя.
Сегодня на уроке мы познакомились с частными случаями умножения на 0 и 1, потренировались умножать на 0 и 1.
Библиография
- М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. — М.: «Просвещение», 2012.
- М.
