%d0%b3%d0%b5%d0%be%d0%bc%d0%b5%d1%82%d1%80%d0%b8%d1%8f в турецкий
Когда в 80-х годах люди якудзы увидели, как легко брать ссуды и «делать» деньги, они создали компании и занялись операциями с недвижимым имуществом и куплей-продажей акций.
Yakuza 80’li yıllarda kredi almanın ve bu sayede para kazanmanın ne kadar kolay olduğunu fark edince, firmalar kurdu; gayrimenkul ve hisse senedi spekülasyonu işine atıldı.
jw2019
Да что ты понимаешь, в 80-ых это движение было пределом мечтаний любого мужика.
Bu hareket 80‘lerde beni bitirirdi.
OpenSubtitles2018.v3
Через 4 года предполагаемая капитализация достигнет 80 миллиардов долларов.
Dört sene içinde, 80 milyar doların üstünde olacağı tahmin ediliyor.
ted2019
Итак, в США с появлением лечения в середине 1990- х годов число ВИЧ- инфицированных детей снизилось на 80%.
Amerika’daki…… 1990 ́ların ortalarında ki tedavilerin ilerleyişinden bu yana…… HIV enfeksiyonlu çocukların sayısında…… yüzde 80 ́lik bir düşüş var.
QED
Мы отвечали за территорию, которая простиралась от демилитаризованной зоны между Северным и Южным Вьетнамом до Дананга и еще 80 километров на юг.
Kuzey Vietnam ile Güney Vietnam arasındaki DMZ (askerden arındırılmış bölge)’den, Da Nang kentinin yaklaşık 80 kilometre güneyine dek olan bölgeden sorumluyduk.
jw2019
Это клональная колония осинообразного тополя, растущего в Юте, ему буквально 80 тысяч лет.
Bu da Utah’da bulunan 80, 000 yıllık eşeysiz çoğalan titrek kavak kolonisi.
QED
Я оставил тебе 80 кг зерна.
Size 10 şinik ayırdım.
OpenSubtitles2018.v3
Этот отчисленный ученик умер в 82 года, в здравом уме, будучи основателем и первым директором Еврейского университета в Иерусалиме и основателем издательства Шокен Букс.
Это популярное издательство в дальнейшем было поглощено издательским домом Рандом Хаус.
Bu liseden terk 82 yaşında öldüğünde, müthiş bir entelektüel, Kudüs İbrani Üniversitesi’nin kurucu ortağı ve ilk genel müdürü ve Schocken Books’un, ki ileride Random House tarafından satın alınan alkışlanacak bir markanın kurucusuydu.
ted2019
Мы облетим эти два пульсара на минимальном расстоянии в 80 миллионов километров.
İki pulsarı minimum 80 milyon km mesafeden çembere aldık.
OpenSubtitles2018.v3
Девочки, мне уже почти 80.
Kızlar, neredeyse 80 yaşındayım.
OpenSubtitles2018.v3
И потому что оставшиеся
Kalan% 80 boşanmadan sonra alacağınız paranın yüzlerce misliydi.
OpenSubtitles2018.v3
У одной женщины 80-ти лет в детстве было видение.
80’li yaşlarında bir bayan çoçuk gözünden bir görüntü gördü.
OpenSubtitles2018.v3
82-летний мужчина, диабетик, похищен около своего маленького милого дома среди бела дня.
82 yaşında şeker hastası adam, günün ortasında güzel ve küçük evinin önünden kaçırılıyor.
OpenSubtitles2018.v3
80-проводные кабели, введённые для UDMA4, лишены указанных недостатков.
80 telli kablolar UDMA4 ile kullanılmak için çıktıklarında bu detaylar değişti.
WikiMatrix
▪ Ежедневно в ЮАР осуждаются 82 ребенка за «изнасилование или словесное оскорбление других детей».
▪ Tüm Güney Afrika’da günde 82 çocuk “başka çocuklara tecavüz etmek veya saldırmak” suçundan mahkemeye çıkıyor.
jw2019
И типа, IQ у этого парня был сколько, 80?
Üstelik adamın zeka seviyesi 80 falan.
OpenSubtitles2018.v3
Среднемесячная же заработная плата в этом районе составляет лишь около 80 долларов!
Bu bölgede aylık ortalama ücret yaklaşık 80 dolardır!
jw2019
Мы говорим здесь о волне высотой в 80 метров.
Seksen metrelik devasa bir dalgadan bahsediyoruz!
OpenSubtitles2018.v3
Это шоу слишком прекрасно для
Bu şov 80 sandalye için çok iyi.
OpenSubtitles2018.v3
Ориентировочная стоимость центра составляет 80 млн. $.
Merkezin tahmini maliyeti 80 milyon dolardır.
WikiMatrix
Я родилась в Корее — родине кимчи, выросла в Аргентине, где я съела так много стейков, что сама стала коровой на 80%. Я получила образование в США, где пристрастилась к арахисовому маслу.
Kimchi diyarı olan Kore’de doğmuştum, yüzde 80’imin inek olmasına sebep olacak kadar fazla biftek yediğim Arjantin’de büyüdüm, ve fıstık ezmesine bağımlı hale geldiğim Amerika’da eğitim aldım.
ted2019
В составленном Калифорнийским университетом (Сан-Франциско) списке самых кассовых фильмов, снятых в период с 1991 по 1996 год, 80 процентов главных героев-мужчин курят.
San Francisco’daki California Üniversitesi’nin 1991 ve 1996 yılları arasında en fazla hasılat yapan filmlerle ilgili bir araştırmasında, başrolde oynayan erkeklerin yüzde 80’inin sigara içen karakterleri canlandırdığı görüldü.jw2019
82 7 Иметь детей — ответственность и награда
79 7 Çocuklar Bir Sorumluluk ve Bir Mükâfat
jw2019
В большинстве стран более 80 процентов опрошенных сказали, что вера в Бога делает человека лучше, а среди британцев это число составило лишь 56 процентов.
Çoğu ülkede nüfusun yüzde 80’i bir Tanrı’ya inanmanın kişiyi daha iyi biri yaptığına inanırken, Britanya’da buna katılanların oranı sadece yüzde 56.
jw2019
Хотите, чтобы мы игнорировали то, что она потеряла
Derisinin% 80‘inini kaybettiğini görmezden gelmemizi mi istiyorsun?
OpenSubtitles2018.v3
| Four pages of history five pages of geometry six pages of chemistry ten pages of botany and a thesis on the love life of a plover. | Четыре страницы по истории пять страниц по геометрии шесть страниц по химии десять страниц по ботанике и доклад о сексуальной жизни ржанки. |
| «Geometry, 90. | «Геометрия, 90. |
| He’s good in school. Except in geometry. | Он хорошо учится,только вот по геометрии отстает. |
| In geometry. | По геометрии. |
| Geometry? Do you draw graphs? | Строите графики? |
| Howa bout «Analytical Geometry«, published in 1936? | Хорошо. А «Аналитическая геометрия», 1936 год издания? |
| It’s all solid geometry to you. | Нет. Это для тебя лишь стереометрия, не так ли. |
| Odd geometry! | Любопытная математика. |
| My late husband taught me to be thorough. He was a teacher of geometry. He always said, «You must consider every angle.» | Мой покойный муж научил меня все просчитывать, он был учителем геометрии, он всегда говорил: |
| Who’s better at geometry here than me? Laurent? | Кто из вас сильнее меня в геометрии? |
| The whitewashed walls of the house with the blue geometry of the doors. and a few windows. | Дома имеют плоские белёные стены, на которых выделяются фигурные двери и немногочисленные окна. |
She reminds me too much of a geometry mistress. | Она мне очень напоминает знакомую преподавательницу геометрии. |
| I’ve always suspected your geometry, Betty. | Мне всегда была подозрительна ваша геометрия, Бетти. |
| from which we can learn to truly know ourselves and enrich ourselves with thoughts worth more than the whole of geometry. | с помощью чего мы можем научиться в действительности узнать себя и обогатиться мыслями более стоящими, чем вся геометрия. |
| Now, what matters in mathematics or in geometry is to discover the relationship of equality between two terms. | Теперь, что значит в математике или в геометрии открыть связь равенства между двумя элементами. |
This discovery must be made known far and wide to prove that you know more than the skeptics in matters of geometry, and if you follow a faith, it’s not out of ignorance. | Это открытие должно быть распространено везде, в доказательство того, что ты знаешь больше, чем скептики, в вопросах геометрии, и, если ты сдержишь данное слово, оно не останется в неведении. |
| I thought if I’d had money, I would buy books and Father Gautier’s full course on reading, writing, arithmetic, geometry, geography, history, music, French, Latin and Italian for a total of 60 francs. | Я подумал, что если бы у меня были деньги, я бы купил книги и полный курс аббата Готье по чтению, письму, арифметике, геометрии, географии, истории, музыке, французскому, латыни и итальянскому, |
| Comrades, what does maths, and in particular Euclidean geometry, teach us about the shortest distance between two points? | Товарищи, чему нас учит математика, а точнее, Евклидова геометрия, говоря о кратчайшем расстоянии между двумя точками? |
As a teacher you know everything about geometry, but as a new councillor very little about our problems. | Как учитель, вы всё знаете о геометрии, но как новоиспечённый член совета, очень мало о наших проблемах. |
| Euclidian geometry… | Евклидова геометрия … |
| Because the whole system is so perfectly aligned by the most exquisite exercise in gravitational geometry that every system is balanced out within itself. | Вся система отлично согласовывается с учением гравитационной геометрии о том, что каждая система уравновешивает себя в своих пределах. |
| How’s your interspatial geometry? | Что у тебя с пространственной геометрией? |
| It’s all to do with interspatial geometry. | Это все заморочки с межпространственной геометрией. |
| -No, I was never any good at geometry. | — Нет, никогда особо не соображала в геометрии. |
Canals, roads, circular irrigation patterns all suggest intelligent life with a passion for Euclidean geometry and territoriality. | Каналы, дороги, круговые оросительные системы — всё это предполагает наличие разумной жизни, обладающей страстью к евклидовой геометрии и территориальности. |
| And it was in geometry that he thought he glimpsed the image of perfection. | Именно в геометрии он уловил, как ему казалось, картину совершенства. |
| «Geometry existed before the Creation. | «Геометрия существовала до дня Творения. |
| Geometry provided God with a model for the Creation. | Геометрия дала Богу модель творения. |
| Geometry is God himself.» | Геометрия — это и есть Бог.» |
| Could a similar geometry relate the orbits of the other planets? | Может ли подобная геометрия связывать орбиты и других планет? |
Гдз по геометри 11 клас
Скачать гдз по геометри 11 клас txt
Избранное / Решебники (ГДЗ) для школьников.
ГДЗ к сборнику Ершовой, Голобородько Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 11 класса ОНЛАЙН. Решебник к сборнику задач «Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 11 класса». Рукопись. — В решебнике представлены подробные решения задач из сборника «Ершова А.П., Годобододько В.В.
Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 11 класса.— М.: Илекса, — с» Решены задачи двух уровней сложности: А и Б. Решебник поможет Вам проверить пр. ГДЗ и решебники. 1 класс. Английский язык. Информатика. ГДЗ решебник по геометрии 11 класс. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г., ГДЗ Решебник по Геометрии 11 класс. Погорелов А.В., ГДЗ дидактические материалы по геометрии 11 класс. Зив Б.Г., © Торгу.Нет — не торгуйся, учись!. Сборник готовых домашних заданий (ГДЗ) по Геометрии за 10‐11 класс, решебник Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г.
лучшие ответы от allmythic.
ru ГДЗ к контрольно-измерительным материалам по геометрии за 10 класс Рурукин А.Н. можно скачать здесь.
ГДЗ к контрольно-измерительным материалам по геометрии за 11 класс Рурукин А.Н. можно скачать здесь. Готовые домашние задания онлайн.
Решебники по Алгебре, Геометрии, Математике для классов. ГДЗ. Класс Геометрия. Л.С.Атанасян. ГДЗ по геометрии 11 класс — Л.С.Атанасян. Геометрия 11 класс. Л.С.Атанасян. Автор: Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Домашняя работа по геометрии за 11 класс. Учебник: К учебнику «Геометрия, класс». Учебник для общеобразовательных учреждений. Издательство: М.: Просвещение, год.
В учебниках по геометрии 11 класса ученики познакомятся с методами координат в пространстве, как они могут двигаться.
Что такое геометрические фигуры, и какое отношение у них к плоскости. Умеете ли вы, ученики, вычислять объемы и площади тел? Авторы и здесь подумали о вас. На этот счет ученикам предлагаются пособия разных авторов: Решебник (ГДЗ) А.В.
Погорелова года выпуска; Решебник (ГДЗ) Б.Г.Зив год; Решебник (ГДЗ) Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев ( год). По популярности наиболее часто используют учебники и пособия Атанесяна Л.С.
Именно этот автор особо актуален. Но выбор всегда остается за вами! Мы рекомендуем — вы выбираете!.
В ГДЗ по геометрии за 11 класс содержатся не только готовые ответы, но и подробно разобранные решения к каждому номеру из учебников и рабочих тетрадей. Также на нашем сайте вы найдете ответы к задачам из дидактических материалов, сборников задач и других дополнительных книг по предмету.
Просто выберите издание любого автора: Атанасян, Глазков, Погорелов, Александров, Зив или Мерзляк. Теперь «пятерка» будет твоей заслуженной оценкой за знания.
В 11 классе на геометрии нужны ГДЗ и решебники. Некоторые ученики хорошо разбираются в математике, физике. Кто-то хорошо знает обществознание и историю. Кому-то очень нравятся иностранные языки. В одиннадцатом классе приходит время, когда нужно выбирать профессию.
Выбирают её, конечно же, исходя из собственных интересов, мыслей, талантов и предрасположенностей. Но никто не может знать даже самый свой любимый предмет идеально, без единого промаха, ошибки или изъяна. Смотрите любимые видео, слушайте любимые песни, загружайте собственные ролики и делитесь ими с друзьями, близкими и целым миром.
Похожее:
Как выставляются отметки в аттестат по математике и истории (дополнение 2019)
Читать статью в редакции 2017 годаПочему молчит департамент?
Школам дали свободу действий, в соответствии с 273-ФЗ, а она не знает, что с ней теперь делать.
На самом деле департамент дал свои рекомендации еще в прошлом году:
В соответствии с Приказом Минобрнауки России от 14.02.2014 No115 «Об утверждении Порядка заполнения, учета и выдачи аттестатов об основном общем и среднем общем образовании и их дубликатов». Аттестат об основном общем образовании и приложение к нему выдаются лицам, завершившим обучение по образовательным программам основного общего образования и успешно прошедшим государственную итоговую аттестацию. Итоговые отметки за 9 класс по русскому языку и математике определяются как среднее арифметическое годовой и экзаменационной отметок выпускника и выставляются в аттестат целыми числами в соответствии с правилами математического округления. Итоговые отметки за 9 класс по другим учебным предметам выставляются на основе годовой отметки выпускника за 9 класс. Итоговые отметки по алгебре и геометрии выставляются на основе годовых отметок выпускника за 9 класс.
С учетом того, что пункт про учет отметок по математике и русскому языку в приказе не изменился, то и это письмо продолжает быть актуальным, а следовательно нет никаких оснований делать напоминание об этом.
Аналогичная ситуация с историей России и всеобщей историей.
Справедливо ли это?
Мы добрались до самого интересного! Справедливым решением учащиеся и родители, обычно считают только то, что работает в их пользу. Но тут сразу отметается принцип объективности. Что справедливо для одних, далеко несправедливо для других. Кто-то хочет учета экзамена, а кто-то нет.
Давайте обратимся к рекомендованным и утвержденным шкалам оценивания по математике.
ФИПИ рекомендует:
Рекомендуемый минимальный результат выполнения экзаменационной работы, свидетельствующий об освоении Федерального компонента образовательного стандарта в предметной области «Математика», – 8 баллов, набранные в сумме за выполнение заданий всех трёх модулей, при условии, что из них не менее 3 баллов по модулю «Алгебра», не менее 2 баллов по модулю «Геометрия» и не менее 2 баллов по модулю «Реальная математика»
РЦОИ Москвы утвердил шкалу оценивания:
Общий балл по предмету: | Отметка по пятибалльной шкале | |||
| «2» | «3» | «4» | «5» | |
| Русский язык | 0-14 | 15-24 | 25-33* | 34-39** |
| Математика | 0-7 | 8-14 | 15-21 | 22-32 |
* Из них не менее 4 баллов за грамотность (по критериям ГК-1 – ГК-4).
Если по критериям ГК1–ГК4 обучающийся набрал менее 4 баллов, выставляется отметка «3».
**Из них не менее 6 баллов за грамотность (по критериям ГК-1 – ГК-4). Если по критериям ГК1–ГК4 обучающийся набрал менее 6 баллов, выставляется отметка «4».
Если по критериям ГК1–ГК4 обучающийся набрал менее 4 баллов, выставляется отметка «3».Получается, что для математики в этом году сняты минимальные требования по модулям «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика» (поправьте в комментариях, если не прав)
А официальной интерпретации баллов по отдельным модулям на этот год я вообще не нашел.
Пример:
Возьмем шкалу оценивания 2016 года из Интернета с любого профильного сайта
Шкала пересчета суммарного балла за выполнение заданий, относящихся к разделу «Алгебра» в отметку по алгебре
- 0—4 баллов — отметка «2»
- 5—10 баллов — отметка «3»
- 11—15 баллов — отметка «4»
- 16—20 баллов — отметка «5»
Шкала пересчета суммарного балла за выполнение заданий, относящихся к разделу «Геометрия» в отметку по геометрии
- 0—2 баллов — отметка «2»
- 3—4 баллов — отметка «3»
- 5—7 баллов — отметка «4»
- 8—12 баллов — отметка «5»
Ученик набирает 15 баллов на модуле алгебра, 0 – геометрия, 0 – реальная математика.
Итоговая отметка по математике 4 (хорошо), что дает ему основание получить аттестат.
При этом модуль «Алгебра» – 4 (хорошо), а «Геометрия» – 2 (неудовлетоворительно). И тут же ученик попадает под действие ст. 59 закона об образовании 273-ФЗ. Неудовлетворительные результаты на итоговой аттестации не позволяют получить аттестат об основном общем образовании.
Остается добавить, что по состоянию на 2018 год по рекомендациям ФИПИ нет разделения отметки по математике на алгебру и геометрию, есть только рекомендованное условие, что в сумму баллов должно включаться не менее 2х по геометрии. Но окончательная шкала перевода формируется региональными центрами обработки информации при сопровождении ОГЭ.
P.S. Надеюсь, что дал исчерпывающий, обоснованный и объективный ответ по этому сложному вопросу.
Что учитывать в аттестате решать самой школе, ей же нести ответственность за свое решение.
ГДЗ решебник по Геометрии 7, 8, 9 класс
Спиши ГДЗ•7 класс•Геометрия•АтанасянГДЗ по геометрии за 7, 8 и 9 класс Атанасян – это онлайн-решебник ответов по учебнику Л.
С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева и др. Если задачи по геометрии ставят вас в тупик, то подробные решения сборника помогут разобраться с алгоритмом выполнения заданий и их оформлением, развить абстрактное мышление, усвоить теоретический материал.
Решебник по геометрии Атанасяна – развиваем абстрактное мышление
Даже если выучить наизусть все теоремы геометрии, решать задачи без затруднений вряд ли удастся. Нужно четко запомнить алгоритм их выполнения и развить в себе абстрактное мышление.
Помогут в этом непростом деле ГДЗ по геометрии за 7-9 класс Атанасян, который раскроет практическую сторону планиметрии. В нем собраны выполненные упражнения по таким темам:
- прямая, отрезок, угол, луч – измерение и пересечение на плоскости;
- признаки равенства треугольников;
- медианы, биссектрисы и высоты;
- соотношения между сторонами и углами треугольника;
- трапеции, параллелограммы, ромбы, квадраты, прямоугольники;
- расчет площадей четырехугольников и теорема Пифагора;
- признаки подобия треугольников;
- окружность, вписанные и описанные углы, касательные;
- векторы, действия с векторами, скалярное произведение векторов;
- параллельный перенос и поворот.
В решебнике по геометрии за 7-9 класс Атанасян приводятся не только задачи, но и построение фигур на плоскости по ним. Если не бездумно списывать ответы в надежде на пятерку, а разобраться в решении, то школьнику гарантирован успех на контрольных и экзаменах.
Разберись в геометрии со СПИШИ ГДЗ
Из всех школьных дисциплин геометрию часто называют одним из самых сложных предметов. Для ее понимания недостаточно усердно читать учебник и учить формулы – нужные живые примеры. На СпишиГдз.Ру их можно отыскать в один клик: заходите на страницу решебников и кликаете номер задания в таблице. Экономия времени налицо.
В числе дополнительных преимуществ:
- доступ с телефона, планшета, компьютера;
- обновление базы решебников на регулярной основе;
- освобождение пользователей от необходимости смотреть рекламные ролики.
Все ответы и решения открыты для школьников и их родителей: они доступны бесплатно, без регистрации, в круглосуточном режиме.
Экономия денег налицо. Кроме того, при правильном использовании готовых заданий можно обойтись без репетиторов и дополнительных занятий.
Відповіді до задач геометрія 11 класс
Скачать відповіді до задач геометрія 11 класс doc
ГДЗ по геометрии 11 класс – выбор того, кто хочет восполнить пробелы в знаниях и подготовиться к сдаче ЕГЭ самостоятельно. Решебник имеет удобную структуру, в нем вы обязательно найдете нужную задачу! Геометрия в 11 классе является одним из основополагающих курсов, которые подытоживают изучение математики в старшей школе. ГДЗ по геометрии за 11 класс помогут ученику разобраться в программе, которая включает в себя изучение таких важных блоков, как окончательное понимание понятия вектора и его скалярного произведения.
Также сюда относится получение системных знаний о цилиндре, конусе и шаре, уточнение данных об объемах тел и получение конечных для школьной программы знаний по стереометрии. Решебник по геометрии за 11 класс помогут школьнику быстрее освоиться в сложной программе обучения, кот.
Готові домашні завдання (ГДЗ): Геометрія 11 клас. Кращі ГДЗ з геометрії для 11 класу нова програма читати онлайн безкоштовно в електронному вигляді з мобільного телефону, комп’ютера (ПК), планшета. Готова домашня робота онлайн.
Геометрія 11 клас Мерзляк Геометрія 11 клас Апостолова. Геометрія 11 клас Бевз (Академічний, профільний рівень). Збірник задач і контрольних робіт Геометрія 11 клас Мерзляк. Геометрія 11 клас Бевз Тест-контроль Алгебра + Геометрія 11 клас. Геометрія клас Погорєлов. ГДЗ для 11 класу. 2 класс 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс Все учебники. Математика. 2 класс. ГДЗ Готовые домашние задания за 11 класс по Геометрии. Геометрия ОГН Солтан 11 класс Авторы: Солтан Г., Солтан А., Жумадилова А.
Издательство: Келешек Задачи ЕГЭ. Цилиндр. 1.Радиус основания цилиндра равен 7, высота равна Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на.
2.Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире.
Найдите отношение объема второй кружки к объему первой. 3.В цилиндрический сосуд налили см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 10 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.
В ГДЗ по геометрии за 11 класс содержатся не только готовые ответы, но и подробно разобранные решения к каждому номеру из учебников и рабочих тетрадей. Также на нашем сайте вы найдете ответы к задачам из дидактических материалов, сборников задач и других дополнительных книг по предмету.
Просто выберите издание любого автора: Атанасян, Глазков, Погорелов, Александров, Зив или Мерзляк. Теперь «пятерка» будет твоей заслуженной оценкой за знания.
Учебники. «Геометрия класс Атанасян», где задания имеют чёткую структуру, краткое и понятное изложение школьного материала, а так же доступность. Задачи имеются к каждому параграфу, именно в них заложен главный принцип развивающего характера. Решебники.
«ГДЗ по геометрии 11 класс» снабжены верными и готовыми онлайн-ответами ко всем номерам учебника. ГДЗ поможет справиться с выполнением домашней работы и качественно подготовиться к различным проверкам на уроке. Дополнительные пособия, такие как рабочие тетради, задачники, различные дидактические материалы.
ГДЗ по Геометрии для 11 класса решебник. Драйвера. Программы и игры Драйвера DLL. Готовые домашние задания, учебники по Геометрии для 11 класса. ГДЗ к учебнику по Геометрии, классы Задачи к урокам геометрии Зив Б.Г. Размер: 6Mb, Категория: Геометрия. ГДЗ к учебнику по Геометрии, класс Погорелов А.В. Размер: 4Mb, Категория: Геометрия. ГДЗ к учебнику по Геометрии, класс Погорелов А.В.
Размер: 3Mb, Категория: Геометрия. ГДЗ к учебнику по Геометрии, класс Шарыгин И.Ф. Размер: 3Mb, Категория: Геометрия. ГДЗ к учебнику по Геометрии, классы (профильный уровень) Калинин А.Ю., Терёшин Д.А. Размер: 10Mb, Категория: Геометрия.
txt, EPUB, txt, djvuПохожее:
IV.
Великолепная пятерка . Геометрическая рапсодияВ огромном саду геометрии каждый может подобрать себе букет по вкусу… И ныне наглядное понимание играет первенствующую роль в геометрии.
Давид Гильберт
«Греки — это не способные школьники или хорошие студенты, но скорее «коллеги из другого колледжа», — писал профессор Джон Инденсор Литлвуд, один из крупнейших современных английских математиков. Поверим ему и не станем с насмешливым превосходством судить Платона за то, что он считал, будто атомы четырех элементов, из которых строится мир (огня, земли, воздуха и воды), имеют форму правильных выпуклых многогранников — тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра, а весь мир в целом построен в форме додекаэдра. (На 73-й странице книги пять Платоновых тел сопоставлены с гравюрами Эсхера «Фейерверк», «Итальянский пейзаж. 1923», «Россано, Калабрия», «Второй день творения» и «Другой мир. 1947».) Воздержимся от саркастической улыбки и читая о «пятой сущности», или, по-латыни, «квинтэссенции» алхимиков, хотя их «колледж» чужд нам по духу. Подумаем лучше, почему именно додекаэдр, как показали раскопки в Монте Лоффа под Падуей, был любимой игрушкой этрусских детей 2500 лет назад? И почему он же до наших дней остается излюбленной побрякушкой для взрослых, которые делают из него календарь — по месяцу на каждый из двенадцати его граней (одно из изделий такого рода — брелок для ключей, изготовленный нашим «Автоэкспортом»)?
Куб (или гексаэдр) и правильная пирамида (или тетраэдр) тоже верно служили большим и малым людям — и их созидательной тяге к строительству, и их разрушительной страсти азарта. Свидетельство тому — детские кубики и пирамидки, а также вся архитектура конструктивизма. Но почему же не куб и не пирамида, а совсем другой правильный многогранник — икосаэдр — хранится в Египетском зале Британского музея, и удивленный посетитель может узнать, что это — игральная кость династии Птолемеев? И почему октаэдр — «пространственный ромб» — от древних времен до наших дней неизменно служит светильником, хотя «начинка» его прошла путь от скоротечной плошки до почти вечной йодной лампы?
И наконец, главный вопрос: почему Платоновых тел (это математический термин) именно пять? Постарайтесь придумать шестое: выпуклый многогранник, каждая грань которого — один и тот же правильный многоугольник, то есть фигура с равными сторонами и равными углами между ними. Когда попытки ваши кончатся безрезультатно, попробуйте найти способ доказать себе и другим известное любому математику утверждение Евклида: существует только пять правильных выпуклых многогранников. И вне зависимости от успеха этого предприятия вы, вероятно, с большим пониманием, чем прежде, отнесетесь к словам профессора Литлвуда. И вне сомнения, с большим, чем в первый раз, интересом станете рассматривать гравюру Эсхера «Звезды», на которой среди прочих тел легко найти всю нашу «великолепную пятерку».
«Различные ветви геометрии находятся в тесных и часто неожиданных взаимоотношениях друг с другом» — такими словами Давид Гильберт предваряет одну из своих книг. Любой, в том числе и этот, рассказ о геометрии служит подтверждением их правдивости.
Леонардо да Винчи любил изготовлять из дерева каркасные модели многогранников. Когда его друг фра Лука Пачоли издал в 1509 году в Венеции книгу «О божественной пропорции», иллюстрациями к ней послужили пятьдесят девять рисунков, сделанных Леонардо со своих моделей. (Впрочем, Пачоли не остался в долгу: он подсчитал для великого скульптора количество металла, потребного для изготовления статуи всадника, — задача по тем временам нешуточная.)
Что же божественного нашел в простых геометрических фигурах Лука Пачоли — человек, живший спустя два тысячелетия после Платона? Или это отзвук, прошедший через века и народы, приписываемой ему Плутархом крылатой фразы: «Бог всегда действует геометрически»?
Нет, фра Лука — монах Пачоли — мыслил реалистичнее: бог — геометр не всегда, но в некоторых случаях. А именно когда речь идет о «золотом сечении» — о таком делении отрезка на две неравные части, чтобы отношение большей части к меньшей равнялось отношению всего отрезка к большей его части. Завяжите простым узлом узкую полоску бумаги и осторожно распрямите его (12). Вы получите правильный пятиугольник, а его диагонали как раз и делят друг друга «в среднем и крайнем отношении» — так еще по-другому называют «золотое сечение». Пачоли нашел, что есть тринадцать «эффектов» этой «божественной» пропорции — «ради нашего спасения», как утверждал он. Он искал эти «божественные эффекты» в самых совершенных созданиях математики — пяти Платоновых телах, строил их из стеклянных плиток, а затем раздавал «для коллекций разных вельмож». В главе «О двенадцатом, почти сверхъестественном свойстве» речь идет о правильном икосаэдре — платоновом теле, ограниченном двадцатью правильными треугольниками.
Вглядитесь повнимательнее в эту древнейшую игральную кость (13). К каждой вершине сбегаются пять треугольников, свободные стороны которых образуют уже знакомый нам правильный пятиугольник. Если же соединить между собой любые два противоположные ребра икосаэдра, то получится прямоугольник, тоже имеющий прямое отношение к «божественной» пропорции, — его большая сторона так относится к меньшей, как сумма сторон — к большей. И именно икосаэдр связан с математической знаменитостью — проблемой «целующихся сфер», которая возникла в споре Исаака Ньютона с оксфордским астрономом Дэвидом Грегори (4).
Наконец, в самые последние годы это звучное греческое слово вновь замелькало в научных статьях: выяснилось, что структура кристаллического бора — идеальный икосаэдр. И даже вирусы, которые раньше так и назывались «сферическими» — например, вирус полиомиелита, — и то, как удалось обнаружить, имеют форму икосаэдра. Но об этом чуть позже.
«Евклид вовсе и не собирался выпускать систематический учебник геометрии. он задался целью написать сочинение о правильных многогранниках, рассчитанное на начинающих, в силу чего ему пришлось изложить все необходимые сведения» — шутка известного английского естествоиспытателя и геометра д’Арси Томпсона, как и всякая хорошая острота, содержит зерно истины. Ведь согласно Проклу, Евклид считал венцом всех тринадцати книг своих «Начал» предложенные им способы построения пяти Платоновых тел — недаром он поместил их в последнюю, тринадцатую книгу. Строить, в его понимании, значило начертить, пользуясь только циркулем и линейкой.
Но прежде чем браться за правильные пространственные тела, Евклиду пришлось «изложить все необходимые сведения» о правильных плоских фигурах.
В первой книге «Начал» он учит, как строить правильный треугольник, а в четвертой — квадрат, пяти-, шести- и пятнадцатиугольник с равными сторонами и углами при вершине. Но вот правильный семиугольник ни Евклиду» ни его последователям построить не удалось, а пытались многие, потому что семиугольная звезда играла определенную роль в астрологии. Однако только в 1796 году Карл Фридрих Гаусс сумел выяснить, какие именно правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки, а какие — никогда. Ему было тогда всего 19 лет, и он готовился стать филологом. Открытая закономерность произвела на Гаусса такое сильное впечатление, что он не только забыл и думать о филологии, и не только с головой ушел в математику, но и всю жизнь, уже став великим ученым, гордился своим юношеским успехом. И геттингенцы поставили ему памятник, в пьедестале которого правильный 17-угольник. Сограждане великого математика достойно почтили его память. Установленный Гауссом закон связывает между собой две самые могучие ветви математического древа — геометрию и теорию чисел. («Математика — царица наук, теория чисел — царица математики», — писал Гаусс.) Закон этот гласит: циркулем и линейкой можно построить правильный n-угольник в том и только в том случае, если число его сторон n разлагается на простые множители, каждый из которых является так называемым «простым числом Ферма», и вдобавок множители эти не повторяются. (Единственное исключение — числа, кратные 2. Они могут, конечно, входить в состав множителей n — ведь нетрудно сколь угодно раз удвоить число сторон уже построенного многоугольника.
«Простые числа Ферма» выражаются простой формулой, придуманной Ферма: 22k+1. Вот первые пять таких чисел: 3, 5, 17, 257 и 65 537. Семерка не входит в их число, и потому астрологам придется самим строить свой символ.
В «Математической смеси», переведенной на русский язык книге Литлвуда, есть такая миниатюра:
«Один слишком навязчивый аспирант довел своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65 537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением». Это не совсем анекдот: некто О. Гермес действительно потратил десять лет на такой бессмысленный труд. Рукопись его, заключенная в большой ящик, до сих пор хранится в Геттингенском университете — памятником титанической усидчивости.
Счастье, что руководитель остановился на пятом простом числе Ферма. Возьми он шестое (а вычислить его не так уж трудно: 225+1 = 232+1 = 4 294 967 297), бедняга аспирант до конца своих дней не оторвался бы от чертежей. И дело не в гигантской величине числа сторон. Оказалось, что Ферма ошибался: «шестое простое число Ферма» не постое, а составное: оно разлагается на множители.
Доказать это удалось Леонарду Эйлеру.
«Эйлер… не проглядел ничего в современной ему математике, хотя последние 17 лет своей жизни он был совершенно слепым», — писал один известный историк математики. Не проглядел Эйлер и проблемы многогранников. Если бы Евклид и в самом деле хотел написать многотомное сочинение о Платоновых телах, ом все равно не мог бы сделать этого, не зная формулы Эйлера, с которой мы уже встречались. А ведь она даже проще, чем знаменитый «Понст асинорум» — «Мост для ослов», не преодолев который, нельзя, по мнению Евклида, считать себя разумным человеком (перейдите ради самоутверждения через него и вы: докажете, что углы при основании равнобедренного треугольника равны)! «Некоторые из его простейших открытий таковы, — писал про Эйлера Г. С. М. Коксетер, один из крупнейших современных геометров, — что можно представить себе дух Евклида, вопрошающий: «Почему при жизни на Земле я не додумался до этого?» Но когда слышишь именно эту формулу, то досада «почему не я?!» Невольно берет любого.
Послушайте:
«В любом простом выпуклом многограннике число вершин плюс число граней и минус число ребер равно двум».
Проверьте (еще раз):
на тетраэдре, кубе, октаэдре, на любой фигуре, которую способно измыслить ваше воображение, — с прямо- или криволинейными ребрами, с какими угодно гранями (только без «дыр» — это и значит «простой» многогранник).
Убедитесь (окончательно):
формула Эйлера В+Г-Р = 2 справедлива в любом случае.
12
Эта прославленная формула не связана, как мы имели случай увериться, ни с расстояниями, ни с углами, она предельно наглядна. Она буквально видна в прозрачном воздухе геометрического сада. Но эта простота и наглядность — отражение фундаментальных свойств нашего трехмерного пространства. Именно из-за своей фундаментальности формула эта стала основой для двух математических дисциплин — топологии и теории графов.
Заставим же ее поработать и на нас — выясним, наконец, почему Платоновых тел пять, а не три или восемь.
«В геометрию нет царского пути!» — услышал Птолемей I, когда потребовал, чтобы Евклид обучил его своей науке как-нибудь побыстрее. А уж в наше время и вовсе нет иного способа понять некоторые геометрические вещи, кроме пристального размышления над ними. В этом и объяснение и оправдание тех крайне, впрочем, простых формул, к которым нам придется прибегнуть, чтобы ответить на только что поставленный вопрос. «Понимание математики не приобретается только безболезненно развлекательными способами», — писал Рихард Курант, крупный американский ученый, иностранный член нашей Академии наук, эмигрировавший в Америку из Германии, когда там к власти пришел Гитлер.
Правильный многогранник тем и правилен, что каждая грань его правильный р-угольник и в каждой вершине сходится одно и то же число q таких граней. (Математики обозначают это обстоятельство символом Шлефли — {p, q}) Отсюда следует, что число всех ребер, которые составляют «каркас» платонова тела (иными словами, число планок, которые пришлось заготовить Леонардо да Винчи для каждой из своих моделей), можно подсчитать двояким путем. Оно равно произведению числа всех вершин на число сходящихся к каждой из них ребер q, поделенному пополам, — ведь при таком подсчете мы каждое ребро учитываем дважды, по одному разу каждый его конец. Но, с другой стороны, те же ребра можно пересчитать Платонову телу и по-другому, помножив число его граней на число сторон каждой грани р и опять — по той же причине — разделив эту цифру на Два. Если подставить теперь полученные соотношения в формулу Эйлера и несколько поразмыслить над получившимся результатом, то мы как раз и докажем утверждение Евклида: Платоновыми телами могут быть лишь многогранники, символы Шлефли которых — {3,3}; {4,3}; {3, 4}; {5,3} и {3,5}. Итого-пять! Четыре из них Мауриц Эсхер соединил в удивительную конструкцию, внутреннюю часть которой составляет куб с прошедшим сквозь него октаэдром, а наружная «оболочка» — это взаимопроникшие икосаэдр (светлые треугольные грани) и додекаэдр (его грани более темные, пятиугольные). Называется эта конструкция «Стереометрические фигуры». Отсутствующий на ней тетраэдр художник изобразил на гравюре «Двойной планетоид». Там их даже целых два: один прошел сквозь другой, причем первый «цивилизован», а второй остался в первозданном, диком виде.
13
«Только забавляясь и учатся», — считал Анатоль Франс. Известный ирландский ученый сэр Уильям Роуэн Гамильтон в 1859 году занялся математическим бизнесом: выпустил в продажу головоломку, состоящую из деревянного додекаэдра, в каждую из двадцати вершин которого вбит гвоздь с большой шляпкой, чтобы не соскакивала обернутая вокруг него веревка. Под каждым гвоздем стояло название крупного города — Дели, Филадельфия, Брюссель… Надо было продолжить веревочный маршрут, проходящий через все центры цивилизации точно по одному разу.
Очевидно, новый товар не вызвал ажиотажа на рынке, а изготовлять правильный двенадцатигранник не так просто, и потому Гамильтон предложил другой вариант игры — технологически намного упрощенный. Роль додекаэдра, пространственного тела, играло его плоское изображение — так называемый граф, то есть фигура, составленная из вершин, соединенных ребрами. (Все многоугольники, все мозаики, что мы рассматривали и еще только будем рассматривать, — это, несмотря на свой простецкий вид, типичные графы.)
Граф, заменяющий собой многогранник, повторяет его архитектуру — столько же вершин, столько же ребер и граней, тот же способ соединения их друг с другом. (Потому формула Эйлера, справедливая для многогранников, верна также и для графов.) Вот один из способов получить такой граф: надо спроецировать весь многогранник на плоскость одной из его граней, а центр проекции выбрать недалеко от ее середины. Тогда для пяти Платоновых тел получаются графы (см. 73-ю страницу книги). Они называются диаграммой Шлегеля. Таким нам увиделся бы гигантский многогранник, если бы мы удалили одну его грань, забрались в образовавшуюся дыру и стали рассматривать его изнутри. Диаграммы эти очень удобны — они позволяют на листе бумаги производить манипуляции с объемным телом, чем и воспользовался Гамильтон, чтобы упростить свою нерентабельную головоломку.
Математика сохранила память о его поучительной игрушке — до сих пор линия, проходящая по одному разу через все вершины графа, называется гамильтоновой. Но и сейчас никто не может сказать, существует ли для того или иного графа гамильтонова линия или нет. А это весьма обидно, ибо жизнь часто требует ответа на подобный вопрос. Например, знаменитая «задача о странствующем торговце» состоит в том, что он должен посетить несколько городов и как можно скорее вернуться домой. В общем виде эта транспортная проблема не решена. Можно, конечно, перебрать все варианты и выбрать наилучший порядок обхода городов, но если их много, за дело без мощных вычислительных машин лучше не браться. Впрочем, кое-какие задачи подобного типа все-таки решены — например, найдена кратчайшая авиалиния, проходящая по всем главным городам Америки.
«Со времен древнегреческих философов правильные многогранники считались не более, чем игрушкой для математиков, не имеющей никакого практического значения. весьма замечательно, что как раз эти фигуры оказались в центре внимания биологов в их яростных спорах относительно точной формы вирусов», — замечает в своей превосходной книге «Нить жизни» крупнейший специалист в области структуры белка Джон Кендрью — тот самый, который сумел определить пространственную конфигурацию молекулы миоглобина, за что и получил Нобелевскую премию. В этой книге помещена чрезвычайно любопытная фотография вируса, поражающего комара-долгоножку, так называемого иридесцентного вируса Tipula (14). До того, как его сфотографировали под электронным микроскопом, на вирус этот с двух разных сторон направляли атомы металла. Поэтому позади него образовались своего рода «тени». И вот этот метод двойного напыления позволил разглядеть на фотографии, что тени имеют острые Углы! Значит, вирус не может быть совершенно кругам, как считалось ранее. Чтобы установить точную его форму, брали различные многогранники и направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов металла на частицу вируса. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень. Имя его — икосаэдр.
14
Послушайте Джона Кендрью:
«Вы можете спросить: а почему обязательно правильный многогранник? И почему именно икосаэдр? По-видимому, тут все дело в экономии — экономии генетической информации. Вирусная частица должна весь обмен клетки-хозяина перевернуть вверх дном; она должна заставить зараженную клетку синтезировать многочисленные ферменты и другие молекулы, необходимые для синтеза новых вирусных частиц. Все эти ферменты должны быть закодированы в вирусной нуклеиновой кислоте. Но количество ее ограничено. Поэтому для кодирования белков собственной оболочки в нуклеиновой кислоте вируса оставлено совсем мало места. Что же делает вирус? Он просто использует много раз один и тот же участок нуклеиновой кислоты для синтеза большого числа стандартных молекул — строительных белков, объединяющихся в процессе автосборки вирусной частицы. В результате достигается максимальная экономия генетической информации. Остается добавить, что по законам математики для построения наиболее экономичным способом замкнутой оболочки из одинаковых элементов нужно сложить из них икосаэдр, который мы наблюдаем у вирусов».
Так «решают» вирусы сложнейшую (ее называют «изопиранной») задачу: найти тело наименьшей поверхности при заданном объеме и притом состоящее из одинаковых и тоже простейших фигур. Вирусы, мельчайшие из организмов, настолько простые, что до сих пор неясно — относить их к живой или неживой природе, — эти самые вирусы справились с геометрической проблемой, потребовавшей у людей более двух тысячелетий! Все так называемые «сферические вирусы», в том числе такой страшный, как вирус полиомиелита, представляют собой икосаэдры, а не сферы, как думали раньше.
Эта внушительная и в то же время удивительно целесообразная конструкция, состоящая из двадцати простейших одинаковых деталей — правильных треугольников — и заключающая внутри себя наибольший возможный объем, вновь наталкивает на мысль об изначальной простоте Природы. Она строит все свое богатство и разнообразие из простейших блоков. Недаром же Джон Кендрью назвал вирусы «живой архитектурой». В свете последних научных достижений платоновский четырехэлементный мир не кажется больше таким уже абсурдным. И вслед за Адельбертом Шамиссо, немецким поэтом и ученым, хочется повторить полушутливые слова: «Во мгле веков перед нашим взором блеснула истина. Она, как теорема Пифагора, до наших дней еще верна».
15
Истина эта, как стало ясно в последнее время, связана с так называемым экстремальным свойством правильных многогранников. То есть с их способностью ограничивать собою объем больший, чем любое другое тело с тем же числом граней. Или же, что то же самое, иметь наименьшую поверхность среди всех тел с тем же объемом и числом сторон. Правильные многогранники в некотором смысле самые «выгодные» фигуры. Природа пользуется этим фактом шире, чем нам думалось.
«На разных этапах развития математики вплоть до настоящего времени геометры возвращались к теории выпуклых многогранников и открывали в ней новые фундаментальные факты», — писал Лазарь Аронович Люстерник, член-корреспондент нашей Академии наук. Один из таких глубоких фактов и есть экстремальное свойство правильных многогранников. Проблема эта уходит корнями в седую древность.
…Финикийская царица Дидона отличалась невероятной прозорливостью — она предугадывала, что Марку Катону Старшему надо будет чем-то заканчивать каждую из своих речей в сенате, и ради этого решила основать Карфаген. Кроме того, Дидона была еще жадной и тщеславной, поэтому ей хотелось, чтобы новый город занимал как можно больше места на земле. Но она же вдобавок обладала хитростью и поразительной геометрической интуицией, и только благодаря этому удался ее честолюбивый замысел. В обмен на ничтожные безделушки Дидона выторговала у вождей племен, населявших север Африки, право владеть «клочком земли, который покроет воловья шкура». Коварная финикийская царица и не думала класть шкуру на землю — нет, она разрезала ее на тонкие ремни, связала их вместе и этой длинной веревкой вознамерилась огородить свое будущее владение. И тут перед ней — впервые за всю человеческую историю — встала задача, которую много веков спустя назовут изопериметрической: какую форму должна иметь замкнутая линия, чтобы площадь, заключенная внутри нее, получилась наибольшей?
Догадалась ли Дидона, что искомая фигура — круг? Кто знает… Известно лишь, что легендарная царица и на этот раз сумела урвать лишний кусок — она выбрала свой участок на берегу моря, так что вся морская граница досталась ей даром. За этой женщиной придется признать крупный геометрический талант: ведь изопериметрическая задача строго была решена лишь в прошлом веке швейцарским геометром Якобом Штейнером, а ее «карфагенский вариант» — с учетом того, что часть замкнутой кривой представляет собой прямую линию «побережья», — и того позже.
Штейнер доказал — притом сразу пятью разными способами, — что именно круг охватывает самую большую площадь при данной длине замкнутой линии. Вслед за этим удалось выяснить, что следующее слово за правильными многоугольниками: они «выгоднее» любой другой фигуры с тем же числом сторон. Так была окончательно решена задача, которой, кроме легендарной Дидоны, занимались реальные ученые — например, Зенодор и Архимед. Но тут же возникла новая: а какое пространственное тело может ограничить наибольший объем при той же поверхности? Или же какую форму должна иметь наименьшая поверхность, заключающая в себе данный объем? Ответ на оба вопроса почти очевиден: шар. Но что дальше? Кто следующий претендент на решение изопиранной (так она называется) задачи?
Да, правильные многогранники. Они обладают — среди всех прочих фигур с тем же числом граней — экстремальными свойствами. Это предположение тоже принадлежит Штейнеру.
Но правильные многогранники разные: тетраэдр, октаэдр и икосаэдр составлены из треугольных граней, куб ограничен квадратами, додекаэдр — пятиугольниками. У тетраэдра — всего четыре грани, у куба — шесть, октаэдра — восемь, додекаэдра — двенадцать, а у икосаэдра — все двадцать.
Значит, среди самих Платоновых тел существует конкуренция? Да, и фаворит в ней «многосторонний» икосаэдр. Вот его-то исключительностью среди всех пяти героев нашего рассказа и воспользовались вирусы.
«Живые источники математического творчества неотделимы от интереса к познанию природы и задачам управления природными явлениями», — утверждает академик Андрей Николаевич Колмогоров. «Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир» — так переработал пифагорианскую мудрость, избавив ее от идеалистического звучания, Иоган Вольфганг Гёте. Мысль о том, что в первооснове вещей лежат некие простые математические соотношения, крепко пустила корни на нашей планете и часто являлась в гениальные головы, перелетая через тысячелетия и континенты.
Кристаллы в виде кубов, тетраэдров и октаэдров, вирусы, ныне обретшие икосаэдрическую форму, — все это, очевидно, далеко не последние шаги наглядных математических представлений в глубины нашего мира.
Впрочем, почему только «в глубины»? Почему речь все время идет лишь о свойствах вещества? Зачем забывать о додекаэдре — платоновском символе Вселенной, «пятой сущности» алхимиков?[4] Если справедлив платоновский принцип: «геометрия приближает разум к истине», то он верен не только в микро-, но и в макрокосмосе. Числа все-таки должны править миром — описывать законы движения Вселенной.
«Геометрия древних греков стала краеугольным камнем новой астрономии» — это известное изречение больше всего относится к астрогеометрическим экспериментам Иоганна Кеплера. Открыв основные законы движения планет нашей Солнечной системы, он задался следующим вопросом: а почему они находятся на том или ином расстоянии от Солнца? И тут сказалась приверженность Кеплера к «чистой геометрии». «Если бы небесные движения были произведениями разума, можно было бы с основанием заключить, что орбиты планет — совершенные круги… сам Господь, который был слишком благ, чтобы оставаться праздным, затеял игру в символы, посылая знаки своего подобия в мир. Поэтому и я осмеливаюсь думать, что вся природа и благословенное небо записаны на языке искусства геометрии». Ясно, что человек с такой идеологией должен видеть торжество геометрии во всем, в том числе и во Вселенной. Кеплер пытался найти смысл в расположении планетных орбит, вписывая правильные многоугольники в окружности, а сферы — в кубы, последовательно, одну за другой, все уменьшая их размер. Но никакой аналогии с распределением планет на небесах не возникало.
И вдруг Кеплера осенило. Планет всего шесть и, следовательно, промежутков между ними — пять. Но и Платоновых тел тоже пять — не больше и не меньше. Не может быть, чтобы это совпадение оказалось случайным! И Кеплер стал лихорадочно вставлять один правильный многогранник в другой, по-разному комбинируя их и вписывая в каждый сферу, — математический прообраз планетных орбит. К его радости, эти построения, легшие в основу его книги «Тайна Вселенной» (в других переводах — «Космографическая тайна» и «Тайна мироздания»), обнаружили определенное сходство с небесным порядком, каким он виделся астрономам в те годы. «Несравненное удовольствие, которое я испытал от этого открытия, невозможно выразить словами», — писал он. В книге Иоганна Кеплера есть чертеж (15), из которого видно, каким он представлял себе механизм, ведающий размещением планет. Вокруг Солнца описан самый большой шар, по нему движется Сатурн. Теперь в него надо вписать куб, а в куб этот — снова шар, который определит собой орбиту Юпитера. Если в этот меньший шар вписать тетраэдр, а в него опять шар, то получится орбита Марса. Так, следуя Кеплеру, и надо продолжать вписывать в шары правильные многогранники, а в них — снова шары. Между Марсом и Землей окажется додекаэдр, между Землей и Венерой — икосаэдр, а Венеру и Меркурий разделит октаэдр. Точные значения орбит у Кеплера не получались, но он считал, что есть разница между «мыслимой идеей круга и действительным путем планеты», поскольку «небесные движения — произведения не разума, а природы». Поэтому ему пришлось подправлять свою модель — шары на его чертеже имеют различную толщину. Но все это было бы ничего, если бы не открыли новые планеты, а запас Платоновых тел, разумеется, не пополнился: их как было, так и осталось пять.
«Погоня за идеей — занятие столь же захватывающее, как и погоня за китом», — писал Генри Норрис Рассел. Он не мог, конечно, сбросить со счетов те случаи, когда кит срывается с гарпуна. Построение Кеплера рухнуло, но сами поиски геометрической целесообразности устройства мира не становятся от этого менее привлекательными. В саду геометрии все видно, все наглядно — ветви в нем не спрятаны под листвой недоступных формул и абстрактных идей.
Но они переплетены. Вписывая, по-кеплеровски, правильные многогранники в сферу, мы не только создаем красивое построение, но и вторгаемся в новую область нашей «многогранной» темы. О том, что случается, когда правильный многогранник вписывают в сферу — о сферических мозаиках, о математических мозаиках вообще, которые есть не что иное, как вырожденные многогранники, — речь пойдет дальше. А пока — лишь один взгляд на гравюру М. К. Эсхера «Колючий цветок»: его лепестки так же переплетены, как и геометрические проблемы, очередь которых впереди.
Мой дорогой отец!.. Как поживают травы, кустарники и деревья? Коровы, овцы, лошади, собаки и люди?.. Я сделал тетраэдр, додекаэдр и еще два эдра, для которых не знаю правильного названия.
Джеймс Клерк Максвелл
прямоугольник Фалеса | Британника
Фалес Милетский процветал около 600 г. до н.э., и ему приписывают многие из самых ранних известных геометрических доказательств. В частности, ему приписывают доказательство следующих пяти теорем: (1) окружность делится пополам на любой диаметр; (2) углы основания равнобедренного треугольника равны; (3) противоположные («вертикальные») углы, образованные пересечением двух прямых, равны; (4) два треугольника равны (одинаковой формы и размера), если два угла и сторона равны; и (5) любой угол, вписанный в полукруг, является прямым углом (90 °).
Хотя ни одно из оригинальных доказательств Фалеса не сохранилось, английский математик Томас Хит (1861–1940) предложил то, что сейчас известно как прямоугольник Фалеса ( см. рисунок) в качестве доказательства (5), которое согласовывалось бы с то, что было известно в эпоху Фалеса.
Начиная с ∠ A C B , вписанного в полукруг диаметром A B , проведите линию из C через центр соответствующего круга O так, чтобы она пересекала круг в точке D .Затем завершите четырехугольник, проведя линии A D и B D . Во-первых, обратите внимание, что линии A O , B O , C O и D O равны, поскольку каждая из них является радиусом r окружности. Затем обратите внимание, что вертикальные углы, образованные пересечением линий A B и C D , образуют два набора равных углов, на что указывают отметки.Применяя известную Фалесу теорему, теорему SAS (два треугольника конгруэнтны, если две стороны и включенный угол равны) дает два набора конгруэнтных треугольников: △ A O D ≅ △ B O C и △ D O B ≅ △ C O A . Поскольку треугольники совпадают, их соответствующие части равны: ∠ A D O = ∠ B C O , ∠ D A O = ∠ C C B O , B D O = ∠ A C O и т. Д.Поскольку все эти треугольники равнобедренные, их базовые углы равны, а это означает, что есть два набора из четырех равных углов, как указано галочками. Наконец, поскольку каждый угол четырехугольника имеет одинаковую композицию, четыре угла четырехугольника должны быть равны — результат, который возможен только для прямоугольника. Следовательно, ∠ A C B = 90 °.
Узнайте больше в этих связанных статьях Britannica:
Высокомерная геометрия популяционных ответов в зрительной коре
Барлоу, Х. Б. в Сенсорная коммуникация (изд. Розенблит, В.) 217–234 (MIT Press, 1961).
Атик, Дж. Дж. И Редлих, А. Н. К теории ранней визуальной обработки. Нейронные вычисления . 2 , 308–320 (1990).
Артикул Google Scholar
Симончелли, Э. П. и Ольсхаузен, Б. А. Статистика естественных изображений и нейронное представление. Annu. Ред. Neurosci . 24 , 1193–1216 (2001).
CAS Статья Google Scholar
ДиКарло, Дж. Дж., Зокколан, Д. и Раст, Н. С. Как мозг распознает визуальные объекты? Нейрон 73 , 415–434 (2012).
CAS Статья Google Scholar
Rigotti, M. et al. Важность смешанной избирательности в сложных познавательных задачах. Природа 497 , 585–590 (2013).
ADS CAS Статья Google Scholar
Чанг, С., Ли, Д. Д., Сомполинский, Х. Классификация и геометрия общих перцептивных многообразий. Phys. Ред. X 8 , 031003 (2018).
CAS Google Scholar
Каннингем, Дж. П. и Ю, Б. М. Снижение размерности для крупномасштабных нейронных записей. Nat. Neurosci . 17 , 1500–1509 (2014).
CAS Статья Google Scholar
Machens, C.K., Romo, R. & Brody, C.D. Функциональное, но не анатомическое разделение «что» и «когда» в префронтальной коре. Дж. Neurosci . 30 , 350–360 (2010).
CAS Статья Google Scholar
Кобак, Д.и другие. Демиксированный анализ главных компонент данных нейронной популяции. eLife 5 , e10989 (2016).
Артикул Google Scholar
Арчер Э. У., Костер У., Пиллоу Дж. У. и Макке Дж. Х. Низкоразмерные модели активности нейронной популяции в сенсорных корковых цепях. В Proc. 27-я Международная конференция по системам обработки нейронной информации (ред. Гахрамани, З. и др.) 343–351 (Curran, 2014).
Sadtler, P. T. et al. Нейронные ограничения на обучение. Природа 512 , 423–426 (2014).
ADS CAS Статья Google Scholar
Чапин, Дж. К. и Николелис, М. А. Анализ главных компонентов активности нейронального ансамбля выявляет многомерные соматосенсорные представления. J. Neurosci. Методы 94 , 121–140 (1999).
CAS Статья Google Scholar
Бателлиер Б., Буль Д. Л., Акколла Р. и Карлтон А. Динамическое ансамблевое кодирование запаха в обонятельной луковице млекопитающих: сенсорная информация в различных временных масштабах. Нейрон 57 , 586–598 (2008).
CAS Статья Google Scholar
Churchland, M. M. et al. Динамика нейронной популяции при достижении. Nature 487 , 51–56 (2012).
ADS CAS Статья Google Scholar
Мант В., Сусилло Д., Шеной К. В. и Ньюсом В. Т. Контекстно-зависимые вычисления с помощью рекуррентной динамики в префронтальной коре. Nature 503 , 78–84 (2013).
ADS CAS Статья Google Scholar
Шадлен, М. Н. и Ньюсом, В. Т. Переменный разряд корковых нейронов: значение для связи, вычислений и кодирования информации. Дж. Neurosci . 18 , 3870–3896 (1998).
CAS Статья Google Scholar
Райх Д. С., Мехлер Ф. и Виктор Дж. Д. Независимая и избыточная информация в близлежащих корковых нейронах. Наука 294 , 2566–2568 (2001).
ADS CAS Статья Google Scholar
Gao, P. et al. Теория мультинейронной размерности, динамики и измерения.Препринт на https://www.biorxiv.org/content/early/2017/11/12/214262 (2017).
Pachitariu, M. et al. Suite2p: более 10 000 нейронов при стандартной двухфотонной микроскопии. Препринт на https://www.biorxiv.org/content/early/2017/07/20/061507 (2016).
Deng, J. et al. Imagenet: крупномасштабная база данных иерархических изображений. В конференции IEEE по компьютерному зрению и распознаванию образов 248–255 (IEEE, 2009).
Vinje, W.Э. и Галлант, Дж. Л. Естественная стимуляция неклассического рецептивного поля увеличивает эффективность передачи информации в V1. Дж. Neurosci . 22 , 2904–2915 (2002).
CAS Статья Google Scholar
Рингач, Д. Л. Пространственная структура и симметрия рецептивных полей простых клеток в первичной зрительной коре макак. Дж. Нейрофизиол . 88 , 455–463 (2002).
Артикул Google Scholar
Niell, C. M. & Stryker, M. P. Высокоселективные рецептивные поля в зрительной коре головного мозга мышей. Дж. Neurosci . 28 , 7520–7536 (2008).
CAS Статья Google Scholar
Softky, W. R. & Koch, C. Крайне нерегулярная активация корковых клеток несовместима с временной интеграцией случайных ВПСП. Дж. Neurosci . 13 , 334–350 (1993).
CAS Статья Google Scholar
Cossell, L. et al. Функциональная организация возбуждающей синаптической силы в первичной зрительной коре. Природа 518 , 399–403 (2015).
ADS CAS Статья Google Scholar
Смит Д., Уиллмор Б., Бейкер Г. Э., Томпсон И. Д. и Толхерст Д. Дж. Организация рецептивного поля простых клеток в первичной зрительной коре головного мозга хорьков при естественной стимуляции сцены. Дж. Neurosci . 23 , 4746–4759 (2003).
CAS Статья Google Scholar
Carandini, M. et al. Знаем ли мы, что делает ранняя зрительная система? Дж. Neurosci . 25 , 10577–10597 (2005).
CAS Статья Google Scholar
Дэвид, С. В. и Галлант, Дж. Л. Предсказание нейронных ответов во время естественного зрения. Netw.Comput. Neural Syst 16 , 239–260 (2005).
Артикул Google Scholar
Touryan, J., Felsen, G. & Dan, Y. Пространственная структура сложных рецептивных полей клеток, измеренная с помощью естественных изображений. Нейрон 45 , 781–791 (2005).
CAS Статья Google Scholar
de Vries, S.E.J. et al. Крупномасштабное стандартизованное физиологическое исследование выявило кодирование более высокого порядка во всей зрительной коре головного мозга мыши.Препринт на https://www.biorxiv.org/content/early/2018/06/29/359513 (2018).
Филд Д. Дж. Связь между статистикой естественных изображений и характеристиками отклика корковых клеток. J. Opt. Soc. Являюсь. А 4 , 2379–2394 (1987).
ADS CAS Статья Google Scholar
Рудерман Д. Л. и Биалек В. Статистика естественных изображений: масштабирование в лесу. В Достижения в системах обработки нейронной информации 551–558 (1994).
Тао, Т. Эпсилон комнаты, I: Реальный анализ 1.12.3 (Американское математическое общество, 2010).
Szegedy, C. et al. Интригующие свойства нейронных сетей. Препринт на http://arxiv.org/abs/1312.6199 (2013).
Гудфеллоу И. Дж., Шленс Дж. И Сегеди К. Объяснение и использование примеров противоборства. Препринт на http://arxiv.org/abs/1412.6572 (2014).
Stringer, C. et al.Спонтанное поведение стимулирует многомерную активность мозга. Наука 364 , eaav7893 (2019).
CAS Статья Google Scholar
Пологруто Т. А., Сабатини Б. Л. и Свобода К. ScanImage: гибкое программное обеспечение для работы с лазерными сканирующими микроскопами. Biomed. Англ. Онлайн 2 , 13 (2003).
Артикул Google Scholar
Chen, T.-W. и другие. Сверхчувствительные флуоресцентные белки для визуализации активности нейронов. Природа 499 , 295–300 (2013).
ADS CAS Статья Google Scholar
Фридрих, Дж., Чжоу, П. и Панински, Л. Быстрая интерактивная деконволюция данных визуализации кальция. PLoS Comput. Биол . 13 , e1005423 (2017).
ADS Статья Google Scholar
Пачитариу М., Стрингер К. и Харрис К. Д. Устойчивость спайковой деконволюции для визуализации нейронального кальция. Дж. Neurosci . 38 , 7976–7985 (2018).
CAS Статья Google Scholar
Стрингер, К., Пачитариу, М., Карандини, М. и Харрис, К. Ответы десяти тысяч нейронов на 2800 естественных изображений. Figshare https://doi.org/10.25378/janelia.6845348.v3 (2018).
Jun, J. J. et al. Полностью интегрированные кремниевые зонды для записи нейронной активности с высокой плотностью записи. Nature 551 , 232–236 (2017).
ADS CAS Статья Google Scholar
Pachitariu, M., Steinmetz, N. A., Kadir, S. N., Carandini, M. & Harris, K. D. Быстрая и точная сортировка спайков зондов с большим количеством каналов с помощью kilosort. В Достижения в системах обработки нейронной информации 4448–4456 (2016).
Allen, W. E. et al. Жажда регулирует мотивированное поведение посредством модуляции динамики нейронной популяции мозга. Наука 364 , eaav3932 (2019).
CAS Статья Google Scholar
Изенман, А. Дж. Регрессия пониженного ранга для многомерной линейной модели. J. Многомерный анализ . 5 , 248–264 (1975).
MathSciNet Статья Google Scholar
Schwartz, O. & Simoncelli, E.P. Статистика естественных сигналов и контроль сенсорного усиления. Nat. Neurosci . 4 , 819–825 (2001).
CAS Статья Google Scholar
Коули, Б. Р., Смит, М. А., Кон, А. и Ю, Б. М. Управляемые стимулами модели популяционной активности в первичной зрительной коре макак. PLoS Comput. Биол . 12 , e1005185 (2016).
ADS Статья Google Scholar
Gallego, J. A. et al. Активность корковой популяции в сохраненном нервном многообразии лежит в основе множественного моторного поведения. Nat. Коммуна . 9 , 4233 (2018).
ADS Статья Google Scholar
Уточнения на пятом уровне: геометрия и измерение
В различных контекстах учащиеся будут думать математически и статистически. Они решают проблемы и моделируют ситуации, требующие от них:
Измерение
GM5- 1: Выберите и используйте соответствующие метрические единицы для длины, площади, объема и вместимости, веса (массы), температуры, угла и времени. , зная, что измерения являются приблизительными.
Это означает, что, получив задание на измерение, учащиеся будут определять и использовать соответствующую метрическую единицу. Это включает в себя выбор атрибута (например, длины, площади, температуры), соответствующего проблеме, выбор подходящего измерительного инструмента и выбор единицы измерения, соответствующей задаче, например, миллиметры необходимы для измерения длины твердого тела. материал для строительства. Задачи измерения должны включать ряд атрибутов и размеров единиц, например, измерение объема классной комнаты в кубических метрах, измерение площади листа бумаги в квадратных сантиметрах.
Студенты будут знать, что измерения неточны. На точность измерения может повлиять как человеческая ошибка, так и точность единиц измерения, например, два человека могут дать немного разные значения ширины хвоста раков. Это связано с концепцией округления с желаемой точностью. Студенты должны понимать, что любая мера включает в себя число (количество) и единицу измерения. Оба определяют размер меры, например 1,80 метра представляют собой меру, которая больше или равна 179.5 см и менее 180,5 см. Вспомогательные учебные ресурсы.GM5- 2: преобразование метрических единиц с использованием десятичных знаков.
Это означает, что учащиеся будут применять свои знания о десятичном разряде для преобразования между единицами измерения одного и того же атрибута, например между единицами измерения веса. Они должны знать значение префиксов, используемых в метрической системе, которые действуют как «скаляры» в базовых единицах, например, «кило» означает одну тысячу, «санти» означает одну сотую.
Учащиеся могут переводить единицы измерения одного и того же атрибута (например, объема, массы) с более чем одним десятичным знаком, например 0.125 кг = 125 г, или 17,5 см = 0,175. Вспомогательные учебные ресурсы.GM5- 3: Выведите и используйте формулы для определения периметров и площадей многоугольников и объемов призм.
Учащиеся должны создавать формулы для периметров и площадей многоугольников, обращая внимание на особенности этих многоугольников. Для периметров они должны распознавать равные длины сторон и использовать мультипликативные стратегии, а не аддитивные. Например, чтобы вычислить периметр параллелограмма, ученик должен удвоить длину двух смежных сторон, для правильного пятиугольника он должен умножить длину одной стороны на пять.
Учащиеся должны связать формулы для нахождения площадей параллелограммов, треугольников и трапеций с формулой для площади прямоугольника, используя разбиение и повторную сборку фигур. Учащиеся должны уметь находить периметры и области фигур, где длины сторон являются простыми десятичными знаками, чтобы понять, что эта область, в частности, не ограничивается дискретными ситуациями, когда единицы измерения могут быть подсчитаны индивидуально. Вспомогательные учебные ресурсы.GM5- 4: Найдите периметры и площади окружностей и составных форм, а также объемы призм, включая цилиндры.
Это означает, что учащиеся должны найти отношение диаметра круга к его периметру (π), измерив несколько кругов и найдя взаимосвязь.
Они должны понимать, что формулу длины окружности можно выразить двумя способами:
C = 2πr (2 раза в пи, умноженное на радиус), или
C = πD (пи, умноженное на диаметр)
Они должны применяться формула для определения длины окружности любого круга, например окружности велосипедной шины.Учащиеся должны найти формулу площади круга, разрезав несколько кругов на все более мелкие секторы и заново собрав их так, чтобы получились прямоугольники, A = πr 2 (пи, умноженный на квадрат радиуса). Они должны применить эту формулу для определения площади любого круга.
Учащиеся найдут периметры составных фигур, сложив длины сторон вместе. На пятом уровне составные формы состоят из обычных многоугольников (например, прямоугольников, треугольников, полукругов).Учащиеся найдут площадь составных фигур, вычислив площади частей и сложив их вместе. Учащиеся найдут объем призм, умножив площадь их поперечного сечения на их длину, например, для цилиндра умножьте площадь круга на длину цилиндра. Вспомогательные учебные ресурсы.Щелкните, чтобы загрузить PDF-файл материала второго уровня, относящегося к измерениям уровня 5 (207 КБ)
Форма
GM5-5 : Определите угловые свойства пересекающихся и параллельных линий и угловые свойства многоугольников и примените эти свойства .
Это означает, что учащиеся будут знать и применять угловые свойства, относящиеся к пересекающимся и параллельным линиям.
Угловые свойства линий:
- Вертикально противоположные углы равны, например a = d, b = c
- Смежные углы складываются с 180 o, например a + b = 180 o , a + c = 180 o
- Соответствующие углы равны, например a = e, b = f, c = g, d = h
- Внутренние углы добавляют к 180 o , например c + e = 180 o , d + f = 180 o
- Альтернативные углы равны, c = f, d = e
Учащиеся должны применять свойства пересекающихся и параллельных линий к таким задачам, как построение прямоугольных и перекошенных рамок изображений.
Учащиеся должны найти и применить угловые свойства многоугольников. Они могут найти формулу для внутренних углов правильных многоугольников (равных углов), измеряя и создавая таблицу результатов или рассуждая, разрезая многоугольники на треугольники. Эти свойства углов:
- Внутренние углы многоугольника с n сторонами равны ((n-2) x 180 o ) / n.
- Внешние углы любого многоугольника добавить к 360 o .
Вспомогательные учебные ресурсы.
GM5-6 : Создавайте точные сети для простых многогранников и соединяйте трехмерные тела с различными двумерными представлениями.
Это означает, что учащиеся будут использовать соответствующее оборудование для создания точных сетей для простых многогранников. Многогранники — это трехмерные формы, связанные многоугольниками, например, куб состоит из 6 квадратов, тетраэдр состоит из 4 равносторонних треугольников, октаэдр состоит из 8 равносторонних треугольников. Диапазон многогранников должен включать платоновы тела, кубоиды, прямоугольные призмы и пирамиды.Для более сложных многогранников ученики должны научиться сосредотачиваться на многоугольниках вокруг каждой вершины (угла) и симметрии многогранника, например, сетка для икосаэдра или додекаэдра может быть сформирована из двух половин.
Учащиеся будут формировать трехмерные фигуры, нарисованные в виде планов, изометрических проекций или сетей. Для этого им понадобится доступ к таким материалам, как лего или строительные кубики. Учащиеся также смогут представлять модели трехмерных форм, используя виды в плане изометрических проекций или сетки, где это необходимо.Вспомогательные учебные ресурсы.Положение и ориентация
GM5-7 : Постройте и опишите простые локусы.
Геометрическое место — это набор точек, удовлетворяющих заданному условию. На пятом уровне простые точки — это линии, представленные линейными и простыми квадратными уравнениями на числовых плоскостях или кругах и эллипсах посредством физического построения.
Это означает, что студенты будут рисовать график линейных и простых квадратных уравнений. Они также смогут определить линейное уравнение для графика данного простого локуса.
Они также описывают общие свойства точек на окружности или эллипсе и распознают окружность как частный случай эллипса.
Все точки на окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра. Это расстояние и есть радиус.
Все точки эллипса имеют общую сумму расстояний до двух фокусов. По мере закрытия фокусов эллипс «превращается» в круг. Вспомогательные учебные ресурсы.GM5-8 : Расшифровка точек и линий на координатных плоскостях, включая масштабы и пеленги на картах.
Это означает, что учащиеся будут использовать оси координат, включая положительные и отрицательные целые числа и десятичные дроби. Прямые линии будут описаны с использованием уравнений или пар координат, например y = x + 4, или «линия, которая проходит через (-4, 0,5) и (2, 1,5)».
Учащиеся интерпретируют точки и линии на карте, вычисляя расстояния с использованием масштабов карты и направлений с использованием компаса, например, 210 o . На пятом уровне учащиеся должны использовать мультипликативные и пропорциональные стратегии для интерпретации шкал и интерпретации пеленгов компаса с учетом углов.Например, они должны быть в состоянии определить приблизительное местоположение человека на карте с учетом двух ориентиров на этого человека по заданным ориентирам. Вспомогательные учебные ресурсы.Преобразование
GM5-9 : Определите и используйте преобразования и опишите неизменные свойства фигур и объектов при этих преобразованиях.
Это означает, что учащиеся точно опишут преобразование, которому подверглась фигура или объект, и опишут неизменные свойства.На пятом уровне это будет включать угол и центр вращения, расстояние и направление перемещения, величину и центр увеличения (включая частичные изменения, например, 1 1/2) и линию отражения. Студенты также будут рисовать результаты преобразований на объектах.
Учащиеся смогут описать, какие свойства форм изменяются при каждом преобразовании:
- При повороте длины, площади, углы не меняются, а ориентация меняется.
- При длине отражения, площади и углы не меняются, но ориентация меняется.
- При переводе длины, площади, углы и ориентация не меняются.
- При положительном увеличении углы и ориентация не изменяются, а длина и площадь — изменяются.
Вспомогательные учебные ресурсы.
GM5-10 : Примените тригонометрические отношения и теорему Пифагора в двух измерениях.
Это означает, что учащиеся будут применять тригонометрические соотношения, чтобы найти углы и длины сторон прямоугольных треугольников. Учащимся необходимо распознать две особенности тригонометрических соотношений:
- Для аналогичных прямоугольных треугольников соотношение длин сторон одинаковое, например
Для обоих треугольников соотношение сторон, противоположных и смежных с углом A, равно 6 / 8 = 0.75. Для любого подобного треугольника это также верно. Это отношение является тангенсом угла A, поэтому A = 37 °.
- Тригонометрические отношения можно найти, используя прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной единице, и применить к любому другому подобному прямоугольному треугольнику путем масштабирования.
Тригонометрические отношения:
- sin θ = сторона, противоположная θ / гипотенуза,
- cos θ = сторона, прилегающая к θ / гипотенуза,
- tan θ = сторона, противоположная θ / сторона, прилегающая к θ
Эти отношения часто вспоминаются с помощью мнемонического выражения SOH CAH TOA.
Студенты будут использовать теорему Пифагора (a 2 + b 2 = c 2 ), чтобы найти длины сторон прямоугольных треугольников.
Вспомогательные учебные ресурсы.
5 причин, почему оригами улучшает навыки учащихся
Что общего между коробками для пиццы, бумажными пакетами и модными салфетками? Что ж, вы уже догадались — оригами.
Оригами, древнее искусство складывания бумаги, возвращается. Хотя некоторые из самых старых произведений оригами были найдены в древнем Китае, а самые глубокие корни уходят в древнюю Японию, оригами может оказать влияние и на сегодняшнее образование.Этот вид искусства привлекает студентов и незаметно улучшает их навыки, в том числе улучшенное пространственное восприятие, а также логическое и последовательное мышление.
Художественная форма для всех предметов
Не верите? Исследователи обнаружили несколько способов, с помощью которых оригами может сделать уроки увлекательными, но при этом дать учащимся необходимые им навыки. (Думайте об этом как о овощах, смешанных с соусом для спагетти.) Вот несколько способов использования оригами в вашем классе для улучшения ряда навыков:
Геометрия
По данным Национального центра статистики образования в 2003 году, геометрия была одним из слабое место среди американских студентов.Было обнаружено, что оригами укрепляет понимание геометрических концепций, формул и этикеток, оживляя их. Вот как использовать его в своем классе (PDF). Обозначая структуру оригами длиной, шириной и высотой, учащиеся узнают ключевые термины и способы описания формы. Вы можете использовать оригами, чтобы определить площадь, применив формулу к реальной структуре.
Навыки мышления
Оригами вдохновляет и другие формы обучения. Было показано, что он улучшает навыки пространственной визуализации с помощью практического обучения.Такие навыки позволяют детям понимать, характеризовать и строить свой собственный язык для окружающего мира. В своем классе найдите оригами или геометрические фигуры в природе, а затем опишите их геометрическими терминами.
Дроби
Концепция дробей пугает многих студентов. Складывающая бумага позволяет тактильно демонстрировать дроби. В своем классе вы можете использовать оригами, чтобы проиллюстрировать концепции половины, одной трети или одной четверти, складывая бумагу и спрашивая, сколько складок потребуется учащимся, чтобы сделать определенную форму.Акт складывания бумаги пополам и еще раз пополам и так далее также можно использовать для демонстрации концепции бесконечности.
Решение проблем
Часто в заданиях есть один комплексный ответ и один способ добраться до него. Оригами дает детям возможность решить то, что не предписано, и дает им шанс подружиться с неудачами (то есть методом проб и ошибок). В своем классе покажите фигуру и попросите учащихся придумать способ ее изготовления. Они могут получить решение с помощью различных подходов.Помните, нет неправильного ответа.
Fun Science
Оригами — это интересный способ объяснить концепции физики. Тонкий лист бумаги не очень прочный, но если сложить его гармошкой, то будет. (Посмотрите на картонную коробку для доказательства.) Мосты основаны на этой концепции. Кроме того, оригами — это интересный способ объяснить молекулы. Многие молекулы имеют форму тетраэдров и других многогранников.
Бонус: Just Plain Fun!
Надеюсь, мне не нужно объяснять веселье.Вот несколько занятий (с диаграммами), которые помогут этим молодым умам и рукам работать.
Не оклеивать преимущества оригами
Дети любят оригами, о чем свидетельствует их влюбленность в свой первый бумажный самолетик, бумажную шляпу или бумажный кораблик. И хотя мы не всегда можем думать об этом, оригами нас окружает — от конвертов, бумажных вееров и складок рубашек до брошюр и модных полотенец. Оригами нас окутывает (простите за каламбур). Было обнаружено, что оригами улучшает не только трехмерное восприятие и логическое мышление (PDF), но также фокус и концентрацию.
Исследователи обнаружили, что учащиеся, использующие оригами в математике, успевают лучше. В некотором смысле это неиспользованный ресурс, дополняющий инструкции по математике, и его можно использовать для геометрического построения, определения геометрических и алгебраических формул и повышения ловкости рук на этом пути. Помимо математики, оригами — отличный способ объединить науку, технологии, инженерию, искусство и математику: STEAM.
Оригами — это двигатель STEAM
В то время как школы все еще догоняют идею оригами как двигателя STEAM (слияние этих дисциплин), оригами уже используется для решения сложных технологических проблем.Художники объединились с инженерами, чтобы найти правильные складки для подушки безопасности, которая будет храниться в небольшом пространстве, чтобы ее можно было развернуть за доли секунды. Кроме того, Национальный научный фонд, одно из крупнейших правительственных финансовых агентств, поддержал несколько программ, которые связывают инженеров и художников с целью использования оригами в дизайне. Идеи варьируются от медицинских пинцетов до складных пластиковых солнечных батарей.
И оригами продолжает удивлять ученых своим присутствием в природе.У многих жуков крылья больше их тела. На самом деле они могут быть в два-три раза больше. Как им это удается? Их крылья разворачиваются в виде узоров оригами. Не только насекомые. Почки листьев сложены сложным образом, что тоже напоминает искусство оригами. Оригами окружает нас повсюду и может быть источником вдохновения как для детей, так и для взрослых.
Итак, как бы вы его ни сложили, оригами — это способ вовлечь детей в математику, улучшить их навыки и побудить их больше ценить окружающий мир.Когда дело доходит до увлекательных уроков, оригами всегда на высоте.
Визуальная дифференциальная геометрия и формы: математическая драма в пяти действиях (мягкая обложка)
63,00 долл. США
Доступен к отправке со склада — Доставка через 3-6 дней.
Описание
Привлекательный, интуитивно понятный и наглядный Исследование дифференциальной геометрии и форм
Визуальная дифференциальная геометрия и формы выполняет две основные задачи.В первых четырех действиях Тристан Нидхэм возвращает геометрию в дифференциальную геометрию . Используя 235 нарисованных от руки диаграмм, Нидхэм применяет геометрические методы Ньютона для получения геометрических объяснений классических результатов. В пятом акте он предлагает первое для студентов введение в дифференциальные формы, в котором сложные темы рассматриваются интуитивно и геометрически. Уникальные особенности первых четырех актов включают в себя: четыре различных геометрических доказательства фундаментально важной Глобальной теоремы Гаусса-Бонне, обеспечивающие потрясающую связь между локальной геометрией и глобальной топологией; простое геометрическое доказательство знаменитой теоремы Гаусса Egregium; полное геометрическое рассмотрение тензора кривизны Римана n -многообразия; и подробное геометрическое рассмотрение уравнения поля Эйнштейна, описывающего гравитацию как искривленное пространство-время (общая теория относительности), вместе с ее последствиями для гравитационных волн, черных дыр и космологии.В заключительном акте освещаются такие темы, как объединение всех интегральных теорем векторного исчисления; элегантная переформулировка уравнений электромагнетизма Максвелла в терминах 2-форм; когомологии де Рама; дифференциальная геометрия через метод подвижных систем Картана; и вычисление тензора Римана с использованием 2-форм кривизны. Шесть из семи глав пятого акта можно прочитать совершенно независимо от остальной части книги. Требуя только базового исчисления и геометрии, Visual Differential Geometry and Forms провокационно переосмысливает то, как следует рассматривать и преподавать эту важную область математики.Об авторе
Тристан Нидхэм — профессор математики Университета Сан-Франциско. Он является автором «Визуального комплексного анализа».
Что такое геометрия? — Определение, факты и примеры
Учитесь с помощью полной программы обучения математике K-5
Что такое геометрия?
Геометрия — это раздел математики, изучающий размеры, формы, углы расположения и размеры предметов.
Плоские формы, такие как квадраты, круги и треугольники, являются частью плоской геометрии и называются 2D-фигурами.Эти формы имеют только 2 измерения: длину и ширину.
Примеры двумерных форм в плоской геометрии
Твердые объекты также известны как трехмерные объекты, имеющие третье измерение высоты или глубины.
Примеры трехмерных форм в твердотельной геометрии
Угол :
Вершина фигуры, в которой встречаются два ребра, образуют угол. Различные геометрические формы имеют разные размеры углов.
Например, :
Треугольник — это 3-сторонняя форма, размер трех внутренних углов которого составляет 180 °.
Квадрат, прямоугольник или четырехугольник имеют четырехугольную форму, а их внутренние углы измеряются 360 °.
Другие многоугольники, такие как пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник, имеют 5, 6, 7, 8 сторон соответственно и разные углы.
Примеры различных многоугольников с их углами и сторонами
Мы изучаем различные аспекты форм, такие как измерение углов, длины сторон, площади, объема и т. Д. В геометрии.
Сходство и соответствие — два важных аспекта геометрии.
Сходство : Сходство — это когда две формы одинаковы, но их размеры могут различаться.
Конгруэнтность : Конгруэнтность — это когда две формы абсолютно одинаковы по форме и размеру.
Координатная плоскость :
Координатная плоскость — это двумерная поверхность, образованная двумя числовыми линиями, пересекающими друг друга под прямым углом.
Горизонтальная числовая линия — это ось x, а вертикальная числовая линия — ось y.
Пересечение двух осей — координата (0,0).
Используя координатную плоскость, мы наносим точки, линии и т. Д. Соединяя различные точки на координатной плоскости, мы можем создавать формы.
Мы используем формулу и теоремы для решения геометрических задач.
Формула — это математическое уравнение для решения геометрической задачи, а теорема — это утверждение, которое доказывается с использованием ранее известных фактов.
Например, «Теорема Пифагора » доказала, что a2 + b2 = c2 для прямоугольного треугольника, где a и b — стороны прямоугольного треугольника, а c — гипотенуза.
Однако a2 + b2 = c2 — это формула для нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника.
Интересные факты |
Платоновы тела — почему пять?
Платоново твердое тело — это трехмерная фигура, в которой:
- каждая грань представляет собой одинаковый правильный многоугольник
- одинаковое количество многоугольников пересекаются в каждой вершине (углу)
Их всего пять… Зачем?
Простейшая причина: углы при вершине
Самая простая причина того, что Платоновых Тел всего 5:
В каждой вершине встречаются как минимум 3 грани (может быть, больше).
Когда мы складываем внутренние углы, которые встречаются в вершине,
должно быть меньше 360 градусов .
Потому что под углом 360 ° форма становится плоской!
И, поскольку все грани Платонового Тела — это одинаковые правильные многоугольники, мы получаем:
Правильный треугольник имеет внутренние углы 60 °, поэтому мы можем иметь:
| |
Квадрат имеет внутренние углы 90 °, поэтому имеется только:
| |
Правильный пятиугольник имеет внутренние углы 108 °, поэтому имеется только:
| |
Обычный шестиугольник имеет внутренние углы 120 °, но 3 × 120 ° = 360 °, что не работает. , потому что при 360 ° форма выравнивается. Итак, правильный пятиугольник — это так далеко, насколько мы можем. |
И вот результат:
Что-нибудь еще имеет 360 ° или более в вершине, что невозможно. Пример: 4 правильных пятиугольника (4 × 108 ° = 432 °) не подойдут. И 3 правильных шестиугольника (3 × 120 ° = 360 °) тоже не подойдут.
И это самая простая причина.
Другая причина (с использованием топологии)Ради интереса, давайте посмотрим на другую (немного более сложную) причину.
В двух словах: невозможно иметь более 5 платоновых тел, потому что любая другая возможность нарушает простые правила о количестве ребер, углов и граней, которые мы можем иметь вместе.
Оно начинается с формулы Эйлера …
Формула Эйлера
Знаете ли вы о формуле Эйлера?
Он говорит: для любого выпуклого многогранника (который включает Платоновы тела) Число граней плюс Число вершин (угловые точки) минус Число ребер всегда равно 2
Написано: F + V — E = 2
Попробуй на кубе:
Куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер,
так:
6 + 8 — 12 = 2
Чтобы понять, почему это работает, представьте, что вы берете куб и добавляете ребро Получаем дополнительную грань, плюс дополнительную грань: 7 + 8- 13 = 2 | |
Точно так же, когда мы включаем еще одну вершину 6 + 9 — 13 = 2. | |
| «Независимо от того, что мы делаем, мы всегда получаем 2» (Но только для этого типа многогранников… читайте дальше!) |
Faces Meet
Затем подумайте о типичном платоновом теле. Какие у него грани и сколько пересекаются в углу (вершине)?
| Грани могут быть треугольниками (3 стороны), квадратами (4 стороны) и т. Д. | |
| Назовем это « s «, количество идей s , которое имеет каждая грань. | |
| Кроме того, сколько лиц встречается на каждом углу? В каждом углу куба встречаются 3 грани.У октаэдра четыре грани встречаются в каждом углу. | |
| Назовем это « м » (сколько граней м на углу). | |
(Этих двух на самом деле достаточно, чтобы показать, что это за твердое тело)
Взрывающиеся твердые тела!
А теперь представьте, что мы разрываем твердое тело на части, освобождая каждую грань.
Мы получаем все эти маленькие плоские формы. И ребер вдвое больше (потому что мы разрезаем по каждому краю).
Пример: разрезанный куб теперь представляет собой шесть маленьких квадратов.
И каждый квадрат имеет 4 ребра, что в сумме дает 24 ребра (по сравнению с 12 ребрами, когда они соединяются в куб).
Итак, сколько ребер? В два раза больше, чем исходное количество ребер «E», или просто 2E
Но это то же самое, что считать все края маленьких фигур. s (количество сторон на грань) умноженное на F (количество граней) .
Это можно записать как sF = 2E
Точно так же, когда мы разрезаем его, то, что было , теперь один угол будет несколько углов . В случае куба углов в три раза больше. |
- Новое количество углов: количество граней, которые встречаются в углу ( м ), умноженное на количество вершин исходного твердого тела ( V ), что составляет мВ
- Новое количество ребер: вдвое больше, чем у исходного твердого тела, которое составляет 2E
Это можно записать как мВ = 2E
Объедините уравнения
Это все уравнения, которые нам нужны, давайте используем их вместе:
sF = 2E , поэтому F = 2E / s
мВ = 2E , поэтому V = 2E / m
Теперь поместим их в «F + V-E = 2»:
F + V — E = 2
2E / с + 2E / м — E = 2
Далее немного переставляем… разделить лот на «2E»:
1 / с + 1 / м — 1/2 = 1 / E
Теперь «E», количество ребер, не может быть меньше нуля, поэтому «1 / E» не может быть меньше 0:
1 / с + 1 / м — 1/2 > 0
Или проще:
1 / с + 1 / м > 1/2
Итак, все, что нам нужно сделать сейчас, это попробовать разные значения:
- « s » (количество сторон каждой грани, не может быть меньше 3) и
- « м » (количество граней, сходящихся на углу, не может быть меньше 3),
и готово!
Возможности!
Возможные ответы:
Результат : Работают всего 5! Все остальное просто невозможно в реальном мире.Пример:
с = 5 , м = 51 / с + 1 / м — 1/2 = 1 / E становится
1/5 + 1/5 — 1/2 = 1 / E
-0,1 = 1 / E
, что делает E (количество ребер) = −10, и у нас не может быть отрицательного числа ребер!
Реальный?
И последний шаг — проверить, настоящие ли эти твердые тела:
Итак, всего 5, и все они существуют.