По алгебре номер: ГДЗ по алгебре

Контрольная работа по алгебре 7 класс мерзляк номер 1 2 3 4 5 6 7 с ответами

Скачиваем контрольные работы по алгебре в седьмом классе  по стандарту ФГОС 

 2019 — 2020 год + ОТВЕТЫ

 

 

 7 контрольных (проверочных ) работ по предмету АЛГЕБРА в 7 классе по темам включая ответы

---

• Контрольная № 1 по теме — Линейное уравнение с одной переменной
• Контрольная № 2 по теме — Степень с натуральным показателем. Одночлены. Многочлены
• Контрольная № 3 по теме — Умножение одночлена на многочлен. Умножение многочлена на одночлен. Разложение многочленов на множители
• Контрольная № 4 по теме —  Формулы сокращенного умножения
• Контрольная № 5 по теме — Сумма и разность кубов двух выражений. Применение способов разложения многочленов на множите
• Контрольная № 6 —  Функции
• Контрольная № 7 по теме — Системы линейных уравнений с двумя переменными 

  ---

 Все контрольные по алгебре 7 класс под авторством Мерзляка Полонского и  Якира представленны на данной страгице исключитнльно в ознакомительных целях для постоянного пользования даннвми работами их необходимо купить

---

 

 

Бильбао — самый большой город Страны Басков на севере Испании, на Бискайском заливе. Населен более 350 000 жителей. Город развивается очень динамично во всех отношениях. Это важный культурный, но также промышленный и экономический центр.

История

Бильбао был основан в 1300 году магнатом Диего Лопес де Аро, на другой стороне реки напротив рыбацкой деревни. Первоначально он состоял из трех улиц: Somera, Artekale и Tendera, но постепенно развивался. Начало было трудным. Три наводнения и сильный пожар уничтожили город. Несмотря на это, Бильбао был очень важным портовым центром Испании, особенно во времена империи. В 1602 году он стал столицей региона Бискайя. Обмен товарами с другими портами стал чрезвычайно важным. Город рос в силе и богатстве. К сожалению, в конце XVI века его развитие несколько замедлилось. Девятнадцатый век оказался новаторским для Бильбао. С началом промышленной революции город возродился. Судостроение, металлургия и горное дело стали новым источником дохода. С приходом начала 20-го века Бильбао стал самым богатым городом Испании.

Достопримечательности

Самые старые здания в Бильбао включают Базилику де Бегона. Ее строительство началось в 15 веке и не было завершено до 1620 года. Во время вооруженных конфликтов она сильно пострадал и была восстановлена в девятнадцатом веке. Две другие церкви — церковь св. Николаса, жемчужина архитектуры барокко Испании и Катедраль-де-Сантьяго, построенная в начале четырнадцатого века, представляет собой своеобразную смесь архитектурных стилей с преобладанием готики. Помимо церквей заслуживает внимания крепость Кастильо-де-Бутрон, расположенная в 20 километрах от центра города, в окружении зеленых зон, с мощными оборонительными башнями и Кастильо-де-Мунатонес, чуть более поврежденным средневековым зданием. Также заслуживает внимания Киоско де Ареналь — это своеобразный концертный зал под открытым небом, а также Бискайский мост, внесенный в список памятников ЮНЕСКО.

Современная архитектура

Наиболее интересным и, вероятно, наиболее характерным для Бильбао является знаменитый музей Гуггенхайма. Привлекателен он, однако, не из-за экспонатов, собранных там, но из-за самого здания, которое считается самым красивым в мире. Конечно, красота — вещь относительная, но факт остается фактом: здание, спроектированное всемирно известным архитектором Фрэнком Гери, является единственным в своем роде.

 

Алгебра: уроки, тесты, задания.

Алгебра: уроки, тесты, задания.

1. Информация о разделе

2. 1. Числовые и алгебраические выражения

   2. Что такое математический язык

   3. Что такое математическая модель

   4. Линейное уравнение с одной переменной

   5. Координатная прямая

3. 1. Координатная плоскость

   2. Линейное уравнение с двумя переменными и его график

   3. Линейная функция y = kx + m и её график

   4. Линейная функция y = kx

   5. Взаимное расположение графиков линейных функций

4. 1. Основные понятия

   2. Метод подстановки

   3. Метод алгебраического сложения

   4. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными как математические модели реальных ситуаций

5. 1. Что такое степень с натуральным показателем

   2. Таблица основных степеней

   3. Свойства степени с натуральным показателем

   4. Умножение и деление степеней с одинаковым показателем

   5. Степень с нулевым показателем

6. 1. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена

   2. Сложение и вычитание одночленов

   3. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень

   4. Деление одночлена на одночлен

7. 1. Основные понятия

   2. Сложение и вычитание многочленов

   3. Умножение многочлена на одночлен

   4. Умножение многочлена на многочлен

   5. Формулы сокращённого умножения

   6. Деление многочлена на одночлен

8. 1. Что такое разложение на множители

   2. Вынесение общего множителя за скобки

   3. Способ группировки

   4. Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения

   5. Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приёмов

   6. Сокращение алгебраических дробей

   7. Тождества

9. 1. Квадратичная функция и её график

   2. Графическое решение уравнений

   3. Что означает в математике запись у = f(x)

1. 1. Основные понятия

   2. Основное свойство алгебраической дроби

   3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с равными знаменателями

   4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

   5. Умножение, деление и возведение в степень алгебраических дробей

   6. Преобразование рациональных выражений

   7. Первые представления о решении рациональных уравнений

2. 1. Функция y = kx², её свойства и график

   2. Функция y = k/x, её свойства и график

   3. Как построить график функции у = f(x + l), если известен график функции у = f(x)

   4. Как построить график функции у = f(x) + m, если известен график функции у = f(x)

   5. Как построить график функции y = f(x + l) + m, если известен график функции y = f(x)

   6. Функция y = ax² + bx + c, её свойства и график

   7. Графическое решение квадратных уравнений

3. 1. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа

   2. Функция квадратного корня, его свойства и график

   3. Рациональные числа

   4. Свойства квадратных корней

   5. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня

4. 1. Основные понятия

   2. Формулы корней квадратного уравнения

   3. Рациональные уравнения

   4. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

   5. Ещё одна формула корней квадратного уравнения

   6. Теорема Виета

   7. Иррациональные уравнения

5. 1. Основные понятия

   2. Иррациональные числа

   3. Множество действительных чисел

   4. Модуль действительного числа

   5. Приближённые значения действительных чисел

   6. Степень с отрицательным целым показателем

   7. Стандартный вид числа

6. 1. Числовые промежутки

   2. Свойства числовых неравенств

   3. Решение линейных неравенств

   4. Решение квадратных неравенств

   5. Исследование функций на монотонность

7. Международная оценка образовательных достижений учащихся (PISA)

1. 1. Линейные и квадратные неравенства

   2. Рациональные неравенства

   3. Множества и операции над ними

   4. Системы рациональных неравенств

2. 1. Основные понятия

   2. Методы решения систем уравнений

   3. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

3. 1. Определение числовой функции и способы её задания

   2. Свойства функций

   3. Чётные и нечётные функции

   4. Степенная функция с натуральным показателем

   5. Степенная функция с отрицательным целым показателем

   6. Функция кубического корня

4. 1. Числовые последовательности

   2. Арифметическая прогрессия

   3. Геометрическая прогрессия

5. 1. Комбинаторные задачи

   2. Статистика — дизайн информации

   3. Простейшие вероятностные задачи

   4. Экспериментальные данные и вероятности событий

1. 1. Натуральные числа

   2. Рациональные числа

   3. Иррациональные числа

2. 1. Обратная функция

   2. Периодические функции (профильный)

3. 1. Числовая окружность

   2. Синус и косинус. Тангенс и котангенс

   3. Тригонометрические функции числового аргумента

   4. Тригонометрические функции углового аргумента

   5. Свойства функции y = sinx и её график

   6. Свойства функции y = cosx и её график

   7. Периодичность тригонометрических функций, чётность, нечётность

   8. График гармонического колебания (профильный)

   9. Функции y = tgx, y = ctgx, их свойства и график

   10. Обратные тригонометрические функции (профильный)

4. 1. Арккосинус и решение уравнения cos х = a

   2. Арксинус и решение уравнения sin x = a

   3. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнения tg x = a, ctg x = a

   4. Методы решения тригонометрических уравнений

5. 1. Синус и косинус суммы и разности аргументов

   2. Тангенс суммы и разности аргументов

   3. Формулы приведения

   4. Формулы двойного аргумента

   5. Формулы понижения степени (профильный)

   6. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение

   7. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы

   8. Преобразование выражения A sin x + B cos x к виду C sin (x + t) (профильный)

6. 1. Числовые последовательности и их свойства

   2. Предел числовой последовательности

   3. Cумма бесконечной геометрической прогрессии

   4. Предел функции

   5. Определение производной

   6. Вычисление производных

   7. Уравнение касательной к графику функции

   8. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы

   9. Построение графиков функции

   10. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших величин

1. 1. Понятие корня n-й степени из действительного числа

   2. Функция корня n-й степени

   3. Свойства корня n-ой степени

   4. Преобразование выражений, содержащих радикалы

   5. Понятие степени с любым рациональным показателем

   6. Степенные функции, их свойства и графики

2. 1. Показательная функция, её свойства и график

   2. Показательные уравнения

   3. Показательные неравенства

   4. Понятие логарифма

   5. Логарифмическая функция

   6. Свойства логарифмов

   7. Логарифмические уравнения

   8. Логарифмические неравенства

   9. Переход к новому основанию

   10. Системы показательных и логарифмических уравнений

   11. Системы логарифмических и показательных неравенств

   12. Дифференцирование показательной и логарифмической функции

3. 1. Первообразная

   2. Интеграл

   3. Вычисление площадей с помощью интегралов

4. 1. Правило суммы

   2. Правило произведения

   3. Перестановки

   4. Размещения

   5. Сочетания и их свойства

   6. Бином Ньютона

5. 1. События

   2. Комбинации событий. Противоположные события

   3. Вероятность события

   4. Сложение вероятностей

   5. Независимые события. Умножение вероятностей

   6. Статистическая вероятность

6. 1. Случайные величины

   2. Центральные тенденции

   3. Меры разброса

   4. Гаусcова кривая. Закон больших чисел

7. 1. Равносильность уравнений

   2. Общие методы решения уравнений

   3. Решение неравенств с одной переменной

   4. Уравнения и неравенства с двумя переменными

   5. Системы уравнений

   6. Уравнения и неравенства с параметрами

1. Коллекция интерактивных моделей

ГДЗ по алгебре

ГДЗ по алгебре

7 класс

Алгебра, 7 класс, Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Федорова Н.Е.

Алгебра, 7 класс, Макарычев Ю.А., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.

8 класс

Алгебра, 8 класс, Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В.

Алгебра, 8 класс, Макарычев Ю.А.

9 класс

Алгебра, 9 класс, Алимов Ш.А.

Алгебра, 9 класс, Макарычев Ю.А.

Алгебра 9 класс. Задачник. Часть 2. Мордкович А.Г., Мишустина Т.Н., Тульчинская Е.Е.

10 класс

Алгебра и начала анализа, 10-11 класс, Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В.

Алгебра и начала анализа, 10-11 класс, Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П.

Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса, Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И.

Алгебра и начала анализа. Задачник 10-11 класс, Мордкович А.Г.

Сборник задач по математике для поступающих в вузы под редакцией М.И.Сканави. Группа В, 10-11 кл., М.И.Сканави

11 класс

Алгебра и начала анализа, 10-11 класс, Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В.

Алгебра и начала анализа, 10-11 класс, Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П.

Алгебра и начала анализа. Задачник 10-11 класс, Мордкович А.Г.

Сборник задач по математике для поступающих в вузы под редакцией М.И.Сканави. Группа В, 10-11 кл., М.И.Сканави

Алгебра 7 Контрольные Макарычев | КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Контрольные работы по алгебре в 7 классе, УМК Макарычев и др.

Алгебра 7 Контрольные Макарычев (ДМ Звавич) — это контрольные работы (цитаты) в 4-х вариантах из пособия для учащихся «Алгебра. Дидактические материалы. 7 класс / Л.И. Звавич, Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова — М.: Просвещение, 2012».

Цитаты из указанного учебного пособия использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ): цитаты переработаны в удобный формат , что дает экономию денежных средств учителю и образовательному учреждению в использовании бумаги и ксерокопирующего оборудования.

При постоянном использовании данных контрольных работ по математике в 7 классе рекомендуем купить книгу: Алгебра. Дидактические материалы. 7 класс / Л.И. Звавич, Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова — М.: Просвещение, в которой кроме контрольных работ есть еще много самостоятельных работ по каждой теме. Контрольно-измерительные материалы используются в комплекте с учебным пособием «Алгебра. Учебник для 7 класса / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под редакцией С.А. Теляковского — М.: Просвещение».

---

Алгебра 7 Контрольные Макарычев
(задания + решения + ответы):

Контрольная № 1. Проверяемые темы: § 1. Выражения. § 2. Преобразование выражений.

К-1. Вариант 1 К-1. Вариант 2 К-1. Вариант 3 К-1. Вариант 4

 

Контрольная № 2. Проверяемые темы: § 3. Уравнения с одной переменной.

К-2. Вариант 1 К-2. Вариант 2 К-2. Вариант 3 К-2. Вариант 4

 

Контрольная № 3. Проверяемые темы: § 5. Функции и их графики. § 6. Линейная функция.

К-3. Вариант 1 К-3. Вариант 2 К-3. Вариант 3 К-3. Вариант 4

 

Контрольная № 4. Проверяемые темы: § 7. Степень и её свойства. § 8. Одночлены.

К-4. Вариант 1 К-4. Вариант 2 К-4. Вариант 3 К-4. Вариант 4

 

Контрольная № 5. Темы: § 9. Сумма и разность многочленов. § 10. Произведение одночлена и многочлена.

К-5. Вариант 1 К-5. Вариант 2 К-5. Вариант 3 К-5. Вариант 4

 

Контрольная № 6. Проверяемые темы: § 11. Произведение многочленов.

К-6. Вариант 1 К-6. Вариант 2 К-6. Вариант 3 К-6. Вариант 4

 

Контрольная № 7. Темы: § 12. Квадрат суммы и квадрат разности. § 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов.

К-7. Вариант 1 К-7. Вариант 2 К-7. Вариант 3 К-7. Вариант 4

 

Контрольная № 8. Проверяемые темы: § 14. Преобразование целых выражений.

К-8. Вариант 1 К-8. Вариант 2 К-8. Вариант 3 К-8. Вариант 4

 

Контрольная № 9. Темы: § 15. Линейные уравнения с двумя переменными и их системы. § 16. Решение систем линейных уравнений.

К-9. Вариант 1 К-9. Вариант 2 К-9. Вариант 3 К-9. Вариант 4

 

ИК-1. Итоговая контрольная работа № 1

ИК-1. Вариант 1 ИК-1. Вариант 2 ИК-1. Вариант 3 ИК-1. Вариант 4

 

ИК-2. Итоговая контрольная работа № 2

ИК-2. Вариант 1 ИК-2. Вариант 2 ИК-2. Вариант 3 ИК-2. Вариант 4

 

---

Смотрите также Решебник к новому учебнику «Алгебра 7 класс Макарычев 2018» (решения и ответы):

 ГДЗ Алгебра 7 Макарычев

 

---

Алгебра 7 Контрольные Макарычев (ДМ — Звавич) — контрольные работы (цитаты) в 4-х вариантах из пособия для учащихся «Алгебра. Дидактические материалы. 7 класс / Л.И. Звавич, Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова — М.: Просвещение, 2012». Контрольно-измерительные материалы используются в комплекте с учебным пособием «Алгебра. Учебник для 7 класса / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под редакцией С.А. Теляковского — М.: Просвещение».

Mathway | Решение задач алгебры

Хотя мы занимаемся очень широким кругом проблем, в настоящее время мы не можем помочь с этой конкретной проблемой. Я разговаривал со своей командой, и мы учтем это для будущих тренировок. Есть ли другая проблема, для решения которой вам нужна дополнительная помощь?

Mathway в настоящее время не поддерживает эту тему.Мы более чем рады ответить на любой математический вопрос, который может у вас возникнуть по этой проблеме.

Mathway в настоящее время не поддерживает «Спросите эксперта в прямом эфире по химии». Если это то, что вы искали, обратитесь в службу поддержки.

Mathway в настоящее время вычисляет только линейные регрессии.

Мы здесь, чтобы помочь вам с математическими вопросами. Если у вас возникнут проблемы с вводом ответов в онлайн-задание, вам потребуется помощь вашей школы.

Поддержка по телефону доступна с понедельника по пятницу с 9:00 до 22:00 по восточному времени.Вы можете поговорить с членом нашей службы поддержки клиентов по телефону 1-800-876-1799.

Алгебра: комплексные числа

Комплексные числа были изобретены, чтобы расширить набор действительных чисел и сделать возможным, чтобы каждое квадратное уравнение имело корень. Арифметика операций сложения, вычитания, умножения и деления были введены в набор комплексных чисел таким образом, чтобы они согласовывались и распространяет эти операции на действительные числа.Прекрасное геометрическое представление комплексных чисел действительно существует, а также красивый геометрический интерпретация арифметических операций. Даже усиление власти и укоренение возможно в сложной области. Замечательный факт , что каждое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень. Более того, каждое полиномиальное уравнение имеет ровно n корней, , где n — степень уравнения, и все эти корни являются комплексными числами.Это основная теорема алгебры. На рисунке на справа показана плоскость комплексных чисел с выделенными основными игроками: вещественных 1 (красный) и мнимых и (синий). Уроки по этой теме познакомят вас с миром комплексных чисел. Добро пожаловать! Плоскость комплексных чисел 4 математических и алгебраических калькулятора 32 урока, написанные волонтерами Задать вопрос бесплатным преподавателям 4 калькулятора по математике и алгебре 32 урока, написанные волонтерами Задать вопрос бесплатным преподавателям Алгебра.Com — это народный математический сайт. Он полагается на таких добровольцев, как вы, которые создают наш бесплатный контент. Создавать уроки очень просто! Ищите другие уроки и нажмите «просмотреть источник». Все, что вам нужно знать на самом деле, — это математика. Репетиторы отвечают на ваши вопросы о комплексных числах (БЕСПЛАТНО) Старые решения: 1..45, 46..90, 91..135, 136..180, 181..225, 226..270, 271..315, 316..360, 361..405, 406 ..450, 451..495, 496..540, 541..585, 586..630, 631..675, 676..720, 721..765, 766..810, 811..855, 856..900, 901..945, 946..990, 991. .1035, 1036..1080, 1081..1125, 1126..1170, 1171..1215, 1216..1260, 1261..1305, 1306..1350, 1351..1395, 1396..1440, 1441. .1485, 1486..1530, 1531..1575, 1576..1620, 1621..1665, 1666..1710, 1711..1755, 1756..1800, 1801..1845, 1846..1890, 1891. 1935, 1936..1980, 1981..2025, 2026..2070, 2071..2115, 2116..2160, 2161..2205, 2206..2250, 2251..2295, 2296..2340, 2341. .2385, 2386..2430, 2431..2475, 2476..2520, 2521.0,2565, 2566..2610, 2611..2655, 2656..2700, 2701..2745, 2746..2790, 2791..2835, 2836..2880, 2881..2925, 2926..2970, 2971. .3015, 3016..3060, 3061..3105, 3106..3150, 3151..3195, 3196..3240, 3241..3285, 3286..3330, 3331..3375, 3376..3420, 3421. .3465, 3466..3510, 3511..3555, 3556..3600, 3601..3645, 3646..3690, 3691..3735, 3736..3780, 3781..3825, 3826..3870, 3871. .3915, 3916..3960, 3961..4005, 4006..4050, 4051..4095, 4096..4140, 4141..4185, 4186..4230, 4231..4275, 4276..4320, 4321. .4365, 4366..4410, 4411..4455, 4456..4500, 4501..4545, 4546..4590, 4591..4635, 4636..4680, 4681..4725, 4726..4770, 4771..4815, 4816..4860, 4861. .4905, 4906..4950, 4951..4995, 4996..5040, 5041..5085, 5086..5130, 5131..5175, 5176..5220, 5221..5265, 5266..5310, 5311. .5355, 5356..5400, 5401..5445, 5446..5490, 5491..5535, 5536..5580, 5581..5625, 5626..5670, 5671..5715, 5716..5760, 5761. .5805, 5806..5850, 5851..5895, 5896..5940, 5941..5985, 5986..6030, 6031..6075, 6076..6120, 6121..6165, 6166..6210, 6211. .6255, 6256..6300, 6301..6345, 6346..6390, 6391..6435, 6436..6480, 6481..6525, 6526..6570, 6571..6615, 6616..6660, 6661..6705, 6706..6750, 6751. 0,6795, 6796..6840

Комплексные или мнимые числа — Полный курс алгебры

30

Квадратный корень отрицательного числа

Определяющее свойство и

Полномочия и

Алгебра с комплексными числами

Реальная и мнимая составляющие

Комплексные конъюгаты

КАК НАСЧЕТ квадратного корня отрицательного числа? ?

Это не может быть 2, потому что 2 в квадрате равно +4, и не может быть -2, потому что -2 в квадрате также +4.На самом деле не существует числа, положительного или отрицательного, квадрат которого отрицательный.

Однако — если мы хотим сказать, что есть решение этого уравнения,

х ² + 4 = 0

, то мы должны сказать, что это номер . Для этого уравнения реализует

x ² = −4,

x = ±.

не является действительным числом. Мы называем это комплексным или мнимым числом.

Таким образом, символы, такие как,, и так далее — квадратные корни из отрицательных чисел — мы теперь будем называть комплексными числами. Мы знаем это число, возведение которого в квадрат дает −3. И поэтому ничто не мешает нам использовать эти числа и использовать их в расчетах. Они будут подчиняться всем правилам, которые мы обычно связываем с числами. Мы можем их складывать, вычитать, умножать и так далее.

Теперь, если a — положительное число, тогда — a = −1 · ​​ a .Следовательно, по теореме:

= =.

Квадратный корень отрицательного числа всегда приводит к множителю. Следовательно, будет удобно положить равным и .

= и .

Звоним и в комплексное подразделение.

Это фундаментальное алгебраическое свойство i .

Пример 1. 3 i · ​​ 4 i = 12 i ² = 12 (−1) = −12.

Пример 2. −5 i · ​​ 6 i = −30 i ² = 30.

Мы видим:

Фактор i ² меняет знак продукта.

Проблема 1. Оцените следующее.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

а)	я 2 = -1		б)	i · ​​ 2 i = 2 i 2 = 2 (−1) = −2
в)	(3 i ) 2 = 3 2 i 2 = −9		г)	−5 i · ​​ 4 i = −20 i 2 = 20

Квадратный корень из — a равен i , умноженному на квадратный корень из a .

Задача 2. Выразите каждое из следующих выражений в виде i .

Примечание. Чтобы умножить комплексные числа, мы должны сначала выразить их в виде i .

= i · ​​ i = -.

Правило не выполняется, если оба значения a и b отрицательны.

Полномочия и

Начнем с i ⁰ , что равно 1.(Любое число с показателем 0 равно 1.) Каждую степень i можно получить из предыдущей степени, умножив ее на i . У нас:

i 0	=	1
i 1	=	и
i 2	=	-1
i 3	=	−1 · ​​ i = — i
i 4	=	— i · ​​ i = — i 2 = — (- 1) = 1

Поскольку мы вернулись к 1, цикл полномочий повторится.Любая мощность i будет либо

1, i , −1 или — i

—в соответствии с остатком от деления показателя n на 4.

Пример 4.

i 9	=	i , потому что при делении 9 на 4 остаток равен 1.
i 9 = i 1 .
i 18	=	−1, потому что при делении 18 на 4 остаток равен 2.
i 18 = i 2 .
i 35	=	— i , потому что при делении 35 на 4 остаток равен 3.
i 35 = i 3 .
i 40	=	1, потому что при делении 40 на 4 остаток равен 0.
i 40 = i 0 .

Примечание: Четные степени i будут либо 1, либо -1, в зависимости от того, как показатель степени кратен 4 или 2 больше, чем кратное 4.В то время как нечетные степени будут либо i , либо — i .

Задача 3. Оцените каждую степень и .

a) i 3 = — i		б) i 4 = 1		c) i 6 = я 2 = -1
d) i 9 = i 1 = i		e) i 12 = i 0 = 1		f) i 17 = i 1 = i
г) i 27 = i 3 = — i		ч) i 30 = я 2 = -1		i) i 100 = i 0 = 1

Проблема 4.

Алгебра с комплексными числами

Комплексные числа подчиняются тем же правилам, что и действительные числа. Например, чтобы умножить

(2 + 3 и ) (2–3 и )

ученик должен распознать форму ( a + b ) ( a — b ), которая даст разницу в два квадрата.Следовательно,

(2 + 3 i ) (2-3 i )	=	4–9 i 2
	=	4–9 (-1)
	=	4 + 9
	=	13.

Снова множитель i ² меняет знак члена.

Задача 5. Умножить.

a) (1 + i ) (1 — i ) = 1-2 i ² = 1 + 2 = 3

б) (3- и ) 2	=	9–6 i + 2 i 2 ,	после возведения двучлена в квадрат,
	=	9 — 6 i — 2
	=	7–6 i

c) (2 + 3 i ) (4-5 i )	=	8 — 10 i + 12 i — 15 i 2
	=	8 + 2 и + 15
	=	23 + 2 и

Проблема 6.( x + 1 + 3 i ) ( x + 1-3 i )

а) Какую форму это произведет? Разница в два квадрата.

Урок 19.

.

б) Умножить.

( x + 1 + 3 i ) ( x + 1-3 i )	=	( x + 1) 2 — 9 i 2
	=	x 2 + 2 x + 1 + 9
	=	x 2 + 2 x + 10

в)	( x — 2 — и ) ( x — 2 + i )	=	( x — 2) 2 — 2 i 2
		=	x 2 — 4 x + 4 + 2
		=	x 2 — 4 x + 6

Реальная и мнимая составляющие

Вот то, что сейчас называется стандартной формой комплексного числа:

а + би .

Это действительное число a плюс комплексное число.

Например,

3 + 2 и .

a — то есть 3 в примере — называется реальной составляющей (или реальной частью). b (2 в примере) называется мнимой составляющей (или мнимой частью).

Компоненты настоящие.

Задача 7. Назовите реальный компонент a , а мнимый компонент b .

а)	3-5 i a = 3, b = −5.		б)	1 + i a = 1, b =.
в)	i a = 0, b = 1.		г)	−6 a = −6, b = 0.

Комплексные конъюгаты

Комплексное сопряжение a + bi равно a — bi . Суть сопряженной пары в том, что при их умножении —

( a + bi ) ( a — bi )

— произведение является положительным вещественным числом. Эта форма представляет собой разницу двух квадратов:

( a + bi ) ( a — bi ) = a ² — b ² i ² = a ^{2 90 b151 2}

Произведение комплексно-сопряженной пары
равно сумме квадратов компонентов.

Задача 8. Вычислить положительное действительное число, полученное в результате умножения каждого из следующих чисел на его комплексное сопряжение.

а) 2 + 3 и

(2 + 3 i ) (2-3 i ) = 2 ² + 3 ² = 4 + 9 = 13.

б) 3 — и .

(3 — i ) (3 + i ) = 3 ² + () ² = 9 + 2 = 11.

c) u + iv . ( u + iv ) ( u — iv ) = u ² + v ² .

г) 1 + и . (1 + i ) (1 — i ) = 1 ² + 1 ² = 2.

д) — и . (- и ) ( и ) = — i ² = 1.

Следующий урок: прямоугольные координаты

Содержание | Дом

---

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.

© 2020 Лоуренс Спектор

.

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Введение в алгебру | SkillsYouNeed

Многие люди думают, что уравнений и алгебра им недоступны — мысль о необходимости работать с уравнениями наполняет их страхом.Однако не стоит бояться уравнений.

Хорошая новость заключается в том, что уравнения на самом деле являются относительно простыми концепциями, и с небольшой практикой и применением некоторых простых правил вы можете научиться управлять ими и решать их.

Эта страница предназначена для ознакомления вас с основами алгебры и, надеюсь, с тем, чтобы вы чувствовали себя более комфортно при решении простых уравнений.

Что такое уравнение?

---

Уравнение — это два выражения по обе стороны от символа, указывающего на их взаимосвязь.

Это отношение может быть равно (=), меньше (<) или больше (>), или может иметь некоторую комбинацию. Например, меньше или равно (≤), или даже не равно (≠) или приблизительно равно (≈). Они известны как , равенство символов.

Таким образом, простые уравнения включают 2 + 2 = 4 и 5 + 3> 3 + 4.

Однако, когда большинство людей говорят об уравнениях, они имеют в виду алгебраические уравнения.

Это уравнения, в которых используются как буквы, так и числа.Буквы используются для замены некоторых чисел, если числовое выражение было бы слишком сложным или где вы хотите обобщить, а не использовать конкретные числа. Их также можно использовать, когда вы знаете значения в части уравнения, но другие значения неизвестны, и вам нужно их вычислить.

Алгебраические уравнения решаются путем определения чисел, которые обозначают буквы.

Мы можем превратить два простых уравнения выше в алгебраические, подставив \ (x \) вместо одного из чисел:

2 + 2 = \ (\ boldsymbol {x} \)

Мы знаем, что 2 + 2 = 4, а это означает, что \ (x \) должно быть равно 4.Таким образом, решение уравнения: \ (\ boldsymbol {x} \) = 4 .

5 + 3> 3 + \ (\ boldsymbol {x} \)

Мы знаем, что 5 + 3 = 8. Уравнение говорит нам, что 8 больше, чем (>) 3 + \ (x \).

Нам нужно переставить уравнение так, чтобы \ (x \) находился с одной стороны, а все числа — с другой, иначе мы не сможем найти значение \ (x \). Правило перестановки уравнений : что вы делаете с одной стороной, вы также должны делать с другой .Подробнее об этом ниже.

Возьмите по 3 с обеих сторон (8-3 = 5), тогда уравнение станет

5> \ (\ boldsymbol {x} \)

Мы видим, что \ (x \) должно быть меньше 5 ( \ (x \) <5 ).

Мы не можем сказать более точно, что такое \ (x \) с информацией, которую нам дают. Однако в исходном уравнении, которое мы использовали в качестве нашего примера, мы заменили 4 на \ (x \), что действительно меньше 5.

Нет никакого волшебства в использовании фигурной буквы «x» (\ ({x} \)).Вы можете использовать любую понравившуюся букву, хотя \ ({x} \) и \ ({y} \) обычно используются для обозначения неизвестных элементов уравнений.

Переменные и константы

---

Буква, используемая для замены числа в алгебре, называется переменной , потому что она означает разные числа каждый раз, когда вы ее используете.

Это отличается от конкретной буквы, которая всегда используется для замены одного и того же числа, например \ (\ pi \) (pi), которое всегда равно 3.142. Такая буква называется константой .

В алгебраическом уравнении любые заданные числа также являются константами, потому что они всегда остаются неизменными.

Если вам нужно решить уравнение, содержащее константу, вам всегда сообщат ее значение.

---

Члены уравнения

Член — это часть уравнения, которая отделена от других частей обычно символом сложения (+) или вычитания (-).

Группа терминов называется выражением, скорее как математическое предложение или описание.Некоторые математические выражения могут выглядеть довольно устрашающе, полные цифр и букв, некоторые из которых могут быть даже греческими. Однако главное — рассматривать каждый термин отдельно и разбивать его на вещи, которые вам известны или которые вы можете решить. Если вы сделаете это, вы начнете понимать, что это не всегда так сложно, как вы сначала думали.

Термины могут быть просто числами, или они могут быть просто буквами, или они могут быть комбинацией букв и цифр, например 2 \ (\ boldsymbol {x} \), 3 \ (\ boldsymbol {xy} \) или 4 \ (\ boldsymbol {x} \) ² .

В термине, состоящем из букв и цифр, число известно как коэффициент , а буква — это переменная . Коэффициент — это просто «множитель» — он говорит вам, сколько чего-то (переменной) у вас есть в этом термине.

Термины, которые имеют точно такую ​​же переменную, называются , как и термины , и вы можете складывать, вычитать, умножать или делить их, как если бы они были простыми числами. Например:

Уравнение 2 \ (x \) + 3 \ (x \) равно 5 \ (x \), просто 2 лота \ (x \) плюс 3 лота \ (x \), чтобы получить 5 лотов \ (х \) (5 \ (х \)).2 $$

Вы, , не можете складывать или вычитать «непохожие термины». Однако вы можете умножать их, комбинируя переменные и умножая коэффициенты вместе.

Так, например, 3 \ (y \) × 2 \ (x \) = 6 \ (xy \) (потому что 6 \ (xy \) просто означает 6 раз \ (x \) раз \ (y \)) .

Вы можете разделить непохожие члены, превратив их в дроби и сократив их. Начните с цифр, затем с букв.

Так, например:

\ (\ large {6xy ÷ 3x} \)

$$ \ frac {6xy} {3x} $$	=	$$ \ frac {2xy} {x} $$	=	$$ \ frac {2y} {1} $$	=	$$ 2г $$
Разделить верхний и нижний на 3		Разделить верхний и нижний на x		1 можно игнорировать , потому что все, что делится на на 1, само по себе

---

Перестановка и решение уравнений

Во многих случаях для решения уравнения вам, вероятно, потребуется переставить его .Это означает, что вам нужно переместить термины так, чтобы в итоге вы получили только термины, содержащие \ (x \) с одной стороны символа равенства (например, =,> или <), и все числа с другой.

Этот процесс иногда называют изолирующим \ (x \) .

Вы можете переставлять уравнения с помощью набора простых правил:

1. Что бы вы ни делали с одной стороной уравнения, вы должны сделать то же самое с другой. Таким образом вы сохраните отношения между ними.Неважно, что вы делаете, убираете ли вы 2, прибавляете 57, умножаете на 150 или делите на \ (x \). Пока вы делаете это с обеих сторон, уравнение остается правильным. Можно представить себе уравнение как набор весов или качелей, которые всегда должны балансировать.

2. На нашей странице Дополнение объясняет, что не имеет значения, в каком порядке вы добавляете, ответ все тот же. Это означает, что вы можете переставить выражение, чтобы объединить подобных терминов и упростить сложение.Это относится и к вычитанию , если вы помните из нашей страницы, посвященной положительным и отрицательным числам , что вычитание аналогично сложению отрицательного числа . Так, например, 10-3 = 10 + (-3).

3. Уравнения также работают в соответствии с BODMAS , поэтому не забывайте выполнять вычисления в правильном порядке.

4. Всегда приводите уравнение к простейшей возможной форме: умножайте скобки, делите вниз, сокращайте дроби и складывайте / вычитайте все подобные члены.

Рабочих примеров:

Попытайтесь решить эти уравнения для \ (x \), щелкайте по квадратам, чтобы увидеть работу и ответы.

$$ \ large {x + 3 = 5 × 4} $$

• Как и при любом вычислении, сначала произведите умножение. 5 × 4 = 20
• Итак \ (x \) + 3 = 20
• Следующий шаг — убрать по три с обеих сторон
• \ (х \) + 3 — 3 = 20 — 3
• 20 — 3 = 17.

Это оставляет вам ответ: \ (x \) = 17

$$ \ large {5 + x + 21 = 3 + 6 × 5} $$

• Сначала выполните вычисления с правой стороны, потому что в нем нет букв.Скобок нет, поэтому сначала умножение, затем сложение.
• 6 × 5 = 30 и 30 + 3 = 33.
• Вычисление слева является сложением, поэтому вы можете перемещать члены, пока не соберете все числа вместе:
  5 + \ (x \) + 21 = \ (x \) + 5 + 21
  и 5 + 21 = 26.
  
• Итак, теперь у вас есть 26 + \ (x \) = 33
• Теперь можно убрать 26 с обеих сторон
• 26 + \ (х \) — 26 = \ (х \) = 33 — 26
• И 33 — 26 = 7.2 + 5 = 13 — 4} $$
  • Переставьте так, чтобы все числа были на одной стороне, убрав по пять с каждой стороны.
  • Теперь у вас
    \ (x \) ² = 13-4-5, поэтому
  • \ (х \) ² = 4
  • Теперь вам нужно извлечь квадратный корень из обеих частей, потому что вы хотите найти значение \ (x \), а не \ (x \) ² .
  • Вы знаете, что 2 × 2 = 4, что означает, что квадратный корень из 4 = 2

  \ (х \) = 2

  
  

  ---

  Уравнения и графики

  Любое уравнение, в котором существует связь только между двумя переменными, \ (x \) и \ (y \), можно нарисовать в виде линейного графика, где \ (x \) идет вдоль горизонтальной оси (иногда называемой x- ось) и \ (y \) по вертикальной оси (иногда называемой осью y).

  Вы можете вычислить точки на вашем графике, решив уравнение для конкретных значений \ (x \).

  Примеры:

  \ (\ large {y = 2x + 3} \)

  \ (х \)	0	1	2	3	4	5	6
  выч	2 (0) + 3	2 (1) + 3	2 (2) + 3	2 (3) + 3	2 (4) + 3	2 (5) + 3	2 (6) + 3
  \ (у \)	3	5	7	9	11	13	15

  Преимущество построения графика уравнения состоит в том, что затем вы можете использовать его для вычисления значения \ (y \) для любого заданного значения \ (x \) или, действительно, \ (x \) для любого заданного значения. \ (y \), глядя на график.2 + х + 4} \)

  Когда \ (x \) = 0, \ (y \) = 0 + 0 + 4 = 4
  , когда \ (x \) = 1, \ (y \) = 1 + 1 + 4 = 6
  , когда \ ( x \) = 2, \ (y \) = 4 + 2 + 4 = 10
  и так далее …

  \ (х \)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
  \ (у \)	4	6	10	16	24	34	46	60	76	94	114

  
  

  Экстраполировать

  ---

  Еще одно преимущество построения уравнения на графике состоит в том, что вы можете экстраполировать свои данные (числовую информацию), чтобы получить большие значения \ (x \) или \ (y \).Экстраполяция означает, что вы расширяете свой график, продолжая линию, которую вы нарисовали из своих данных, чтобы оценить значения \ (x \) и \ (y \) за пределами диапазона данных, которые у вас уже есть.

  В первом примере уравнение дает прямую линию, поэтому экстраполировать этот график несложно. Однако при экстраполяции графика, который не является прямой линией, как во втором примере, требуется осторожность.

  ---

  Заключение

  На этой странице объясняется, как решать простые уравнения, а также взаимосвязь между уравнениями и графиками, что дает вам альтернативный способ решения уравнений.

  Теперь вы готовы перейти к более сложным уравнениям, включая одновременные уравнения и квадратные уравнения.

  ---

  Учебник по матричной алгебре

  Это руководство представляет собой краткое, легкое для понимания введение в матричную алгебру, акцентируя внимание на матричных методах, широко используемых в статистике и математика. > Начать урок 1

  Об учебнике

  После прохождения этого руководства вы познакомитесь с номенклатурой и обозначения, используемые матричной алгеброй.И вы сможете:

  • Выполнять стандартные операции с матрицами (сложение, вычитание, умножение, и т.д.).
  • Определить ранг матрицы (т.е. отличить сингулярное от несингулярного матрицы).
  • Найдите определитель и обратную величину для любой квадратной матрицы.
  • Используйте матричную алгебру для решения одновременных линейных уравнений.
  • Вычисления и системы уравнений в компактном формате.
  • И многое другое …

  Темы представлены в виде коротких, простых для понимания модулей. Каждый урок охватывает одну тему, и большинство уроков включают один или несколько обзорных вопросов для закрепления знаний.

  Это руководство предназначено для студентов и исследователей, которые имеют некоторое представление о вводной статистике (например, курс статистики средней школы или Расширенная статистика размещения).

  Как использовать это руководство

  Индивидуальные уроки доступны через оглавление, которое можно находится в вертикальном столбце в левой части страницы.Если вы уже знакомы с матричной алгеброй, вы можете выбрать любое занятие наугад и работать эффективно.

  Индивидуальные уроки доступны через оглавление, которое можно доступ к нему можно получить, нажав кнопку «Матричная алгебра: оглавление» вверху страницы. Если вы уже знакомы с матричной алгеброй, вы можете выбрать любое занятие наугад и работать эффективно.

  Однако, если вы новичок в этой теме, вы должны проработать уроки в том порядке, в котором они появляются; потому что каждый урок основан на предыдущие уроки.

  Алгебра действительных чисел

  Алгебра начинается с систематического изучения операций и правил арифметики. Операции сложения, вычитания, умножения и деления служат основой для всех арифметических вычислений. Чтобы добиться общности, буквы алфавита используются в алгебре для обозначения чисел. Такие буквы, как $$ x, y, a, $$ или $$ b $$, могут обозначать конкретное число (известное или неизвестное) или вообще любое число.Буква, представляющая произвольное число, называется переменной .

  Сумма, разность, произведение и частное двух чисел, $$ x $$ и $$ y $$, могут быть записаны как $$ x + y $$, $$ x — y $$, $$ x \ times. y $$ и $$ x \ div y $$.

  В алгебре обозначение $$ x \ times y $$ для произведения $$ x $$ и $$ y $$ нечасто используется из-за возможной путаницы буквы $$ x $$ со знаком умножения. $$ \ times $$. Предпочтительное обозначение — $$ x \ cdot y $$ или просто $$ xy $$.n} $$, мы называем $$ x $$ базой и $$ n $$ показателем или степенью , до которой возводится база. Когда показатель степени отрицательный, мы должны предполагать, что основание отличное от нуля, чтобы избежать нуля в знаменателе. Записав его со знаком равенства ($$ = $$) между двумя алгебраическими выражениями, мы получим уравнение или формулу , в которой говорится, что два выражения представляют одно и то же число.