Петерсон математика 1 класс 1 часть решебник ответы 2019: ГДЗ решебник по математике 1 класс Петерсон

Содержание

ГДЗ 1 класс

Главная
ГДЗ
1 класс

По предмету:

Русский язык Математика Окружающий мир Литературное чтение

Русский язык 1 класс. Канакина, Горецкий. Учебник

Литературное чтение 1 класс. Климанова, Горецкий. Учебник часть 1

Литературное чтение 1 класс. Бойкина, Виноградская. Рабочая тетрадь

Литературное чтение 1 класс.

Климанова, Горецкий. Учебник часть 2

Русский язык 1 класс. Канакина, Горецкий. Рабочая тетрадь

Русский язык 1 класс. Климанова, Макеева. Учебник

Русский язык 1 класс. Климанова. Рабочая тетрадь

Русский язык 1 класс. Полякова. Учебник

Русский язык 1 класс. Чуракова. Учебник

Русский язык 1 класс. Бунеев, Бунеева, Пронина. Учебник

Русский язык 1 класс. Евдокимова, Кузнецова, Иванов. Учебник

Математика 1 класс. Моро, Волкова. Учебник

Математика 1 класс. Моро, Волкова. Рабочая тетрадь

Математика 1 класс Волкова проверочные работы

Математика 1 класс. Петерсон. Учебник

Окружающий мир 1 класс. Плешаков. Учебник

Окружающий мир 1 класс. Плешаков. Рабочая тетрадь

По предмету:

Русский язык Математика Окружающий мир Литературное чтение

ГДЗ часть 2 Урок 41 математика 3 класс Петерсон – Telegraph

>>> ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ <<<

ГДЗ часть 2 Урок 41 математика 3 класс Петерсон

Подробное решение часть 2 № Урок 41 по математике для учащихся 3 класса Перспектива , авторов Петерсон .

Главная > 3 класс > Математика > Петерсон . Часть 1 (учебник) Урок 1 . Множество и его элементы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Урок 2 . Задание множества перечислением и свойством: 1 ГДЗ и решебник по математике за 3 класс к учебнику Петерсона часть 1, 2, 3 . .

Подробный решебник (ГДЗ ) по Математике за 3 (третий ) класс — готовый ответ часть 2 урок 41 — 2 . Авторы учебника: Петерсон . Издательство: Бином 2019 .

ГДЗ по математике за 3 класс , рабочая тетрадь «Учусь учиться», Петерсон, «Ювента» исключит совершение школьником даже самой незначительной ошибки . Решебник был создан для того, чтобы третьеклассник мог качественно подготовиться к более сложным темам по . .

ГДЗ по математике 3 класс Петерсон Л . Г . Перспектива . Тип: Учебник . Учебник по математике для 3 класса под авторством Петерсон Л .Г . подходит для более углубленного изучения предмета . качественней готовиться к урокам, глубже изучить и понять материал . .

ГДЗ к рабочей тетради по математике за 3 класс Петерсон Л . Г . (Учусь учиться) можно скачать здесь . ГДЗ к части 2 . Страницы учебника .

Математика 3 класс . Учебник . Петерсон . 1, 2, 3 . Учусь учиться . Часть 2 . Урок №1 . Умножение на однозначное число .

Убедись в правильности решения задачи вместе с ГДЗ по Математике за 3 класс Петерсон Л . Г . часть 1, 2, 3 . Ответы сделаны к книге 2019 года от Ювента ФГОС . ГДЗ к рабочей тетради по математике за 3 класс Петерсон Л .Г . (Учусь учиться) Часть 2 . Готовые решения . Урок 1 . 1 .

Ответы к учебнику по математике для 3 класса Петерсон . Добавить книги в список » По зосу «» не найдено ни одной книги . Математика . 3 класс . Петерсон Л . Г .

ГДЗ учебник по математике 3 класс Л .Г .Петерсон . авторы: Л .Г . Петерсон . издательство: «Ювента» год . Задачи . ЧАСТЬ 1 . 1 урок . Множество и его элементы .

Рабочая тетрадь по математике автора Петерсон состоит из трех частей, которые предлагают ученику работу с упражнениями различной степени сложности по всему курсу математики третьего класса . Часть 2 . Урок №1 . Умножение на однозначное число (с . 3-4) .

Классы 1 Класс 2 класс 3 класс 4 класс 5 класс 6 Класс 7 Класс 8 класс 9 класс 10 класс . Авторы: Петерсон Л .Г . Ваш ребёнок перешёл в 3-й класс , а математика осталась для него Ответы . Часть 1 . Урок 1 . Множество и его элементы: 1 2 . Урок 2 . Задание множества . .

2 класс . На этой странице размещены все ГДЗ к учебнику по математике за 3 класс автора Л .Г . Петерсон года издания часть 1, 2 , 3 . Все задания данного решебника подробно рассмотрены и решены авторами, ученикам остается только списывать и забыть о домашних . .

ГДЗ 3 класс Математика Петерсон . Математика 3 класс . Тип: Рабочая тетрадь . Авторы: Петерсон . Издательство: Ювента . Дополнительным учебным пособием для третьего класса является рабочая тетрадь Л .Г . Петерсона . Часть 2 . Урок 41 . Формула деления с остатком (стр . 62) .

ГДЗ по математике Петерсон Л .Г . за 3 класс 2 часть , решебник включает ответы к основным заданиям учебника . Для таких детей решебник ко 2 части учебника Петерсон за 3 класс станет незаменимым помощником: у учащихся появится больше свободного времени на . .

Подробное решение часть 2 № Урок 41 по математике для учащихся 3 класса Перспектива , авторов Петерсон .

ГДЗ к рабочей тетради по математике за 3 класс Петерсон Л .Г . (Учусь учиться) можно скачать здесь . ГДЗ к части 2 . Страницы учебника .

Математика 3 класс . Учебник . Петерсон . 1, 2, 3 . Учусь учиться . Часть 2 . Урок №1 . Умножение на однозначное число .

ГДЗ учебник по математике 3 класс Л . Г .Петерсон . авторы: Л .Г . Петерсон . издательство: «Ювента» год . Задачи . ЧАСТЬ 1 . 1 урок . Множество и его элементы .

ГДЗ часть 1. страница 89 английский язык 7 класс rainbow Афанасьева, Михеева
ГДЗ 5 глава 5.121 химия 8 класс задачник Кузнецова, Левкин
ГДЗ параграф 23 23.19 геометрия 7 класс Мерзляк, Поляков
ГДЗ § 1 12 алгебра 9 класс Мерзляк, Поляков
ГДЗ часть 2. страница 46 английский язык 3 класс рабочая тетрадь Starlight Баранова, Эванс
ГДЗ Учебник 2019 / часть 1 45 (45) математика 5 класс Виленкин, Жохов
ГДЗ самостоятельная работа / С-11 В1 математика 5 класс Cамостоятельные и контрольные работы Ершова, Голобородько
ГДЗ часть 1. страница 99 английский язык 6 класс rainbow Афанасьева, Михеева
ГДЗ часть №1 / упражнение 40 русский язык 2 класс Климанова, Бабушкина
ГДЗ 11 класс / тема 5 / дополнительное задание 41 химия 10‐11 класс дидактический материал Радецкий
ГДЗ упражнение 86 математика 5 класс рабочая тетрадь Бунимович, Кузнецова
ГДЗ глава 6 35 русский язык 7 класс Шмелев, Флоренская
ГДЗ § 53. Духовная жизнь России 5 история 9 класс Данилов, Косулина
ГДЗ упражнение 44 русский язык 5 класс Ладыженская, Баранов
ГДЗ задача для повторения 62 алгебра 11 класс Никольский, Потапов
ГДЗ тетрадь №2 93 русский язык 2 класс рабочая тетрадь Байкова, Малаховская
ГДЗ часть 2 (страницы) 84 окружающий мир 1 класс Виноградова
ГДЗ страница 168 химия 9 класс рабочая тетрадь Габриелян, Сладков
ГДЗ упражнение 104 русский язык 5 класс Ладыженская, Баранов
ГДЗ упражнение 369 английский язык 5‐9 класс ГолицынскийБ
ГДЗ § 2 2.12 алгебра 8 класс Мерзляк, Поляков
ГДЗ учебник 2015. упражнение 896 (47) математика 5 класс Виленкин, Жохов
ГДЗ часть 2. страница 45 математика 3 класс Дорофеев, Миракова
ГДЗ упражнение 44 русский язык 10‐11 класс Гольцова, Шамшин
ГДЗ часть 2 180 математика 1 класс Истомина
ГДЗ упражнение 466 геометрия 7 класс Мерзляк, Полонский
ГДЗ Учебник 2019 / часть 1 61 (61) математика 5 класс Виленкин, Жохов
ГДЗ часть 1 / упражнение 127 русский язык 2 класс Чуракова
ГДЗ номер 331 алгебра 7 класс Алимов, Колягин
ГДЗ номер 667 математика 5 класс Мерзляк, Полонский
ГДЗ контрольные работы / КР-1. вариант 1 алгебра 9 класс контрольно-измерительные материалы Мартышова
ГДЗ номер 242 математика 6 класс Мерзляк, Полонский
ГДЗ упражнение 602 русский язык 5 класс Бунеев, Бунеева
ГДЗ упражнение 224 математика 6 класс сборник задач и упражнений Гамбарин, Зубарева
ГДЗ параграф 15 9 геометрия 7‐9 класс Погорелов
ГДЗ номер 1378 физика 7‐9 класс Сборник задач Перышкин
ГДЗ часть 2. страница 62 английский язык 8 класс rainbow Афанасьева, Михеева
ГДЗ §45 45.10 алгебра 10‐11 класс Учебник, Задачник Мордкович, Семенов
ГДЗ страница 93 английский язык 8 класс student’s book Кузовлев, Лапа
ГДЗ unit 4 / section 1-5 81 английский язык 6 класс Enjoy English Биболетова, Денисенко
ГДЗ Рабочая тетрадь 160 информатика 6 класс Босова, Босова
ГДЗ учебник 2015. упражнение 1417 (568) математика 5 класс Виленкин, Жохов
ГДЗ номер 23 математика 6 класс Дорофеев, Шарыгин
ГДЗ упражнение 16 математика 5 класс Арифметика. Геометрия. Бунимович, Дорофеев
ГДЗ часть 1 244 математика 1 класс Истомина
ГДЗ вариант 4 127 математика 6 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
ГДЗ § 12. Географическая долгота. Географические координаты 7 география 6 класс Герасимова, Неклюкова
ГДЗ тетрадь 2 325 математика 5 класс рабочая тетрадь Лебединцева, Беленкова
ГДЗ вправа 350 алгебра 7 класс Цейтлiн
ГДЗ упражнение 384 русский язык 7 класс Рыбченкова, Александрова

ГДЗ По Географии Максаковский

ГДЗ По Алгебре 7 Теляковского Учебник 2013

ГДЗ По Алгебре 7 Класс Мордкович 1.11

Домашняя ГДЗ 6 Класс

Решебник 11 Класс 2 10

Все, что вам нужно для освоения математики в одной большой толстой тетради: полное учебное пособие для средней школы от Альтаира Петерсона

1 марта 2017 г.

Название: Все, что вам нужно для освоения математики в одной большой тетради В этой книге вы найдете разные единицы в каждой главе, в которых упоминается важная единица математики. Действие происходит в математическом классе средней школы писателя, где писатель делает заметки о том, что он / она изучает. Различные единицы: единица 1: система счисления, единица 2: отношения, пропорции и проценты, единица 3: выражения и уравнения, единица 4: геометрия, единица 5: статистика и вероятность, единица 6: координатное место и функции. Точка зрения писателя состоит в том, чтобы помочь другим детям средней школы, таким же, как он, сдать ACE (сдать) по математике и передать эту тетрадь другим, чтобы помочь им сдать класс. Я не нашел главных персонажей, но есть много словесных задач с разными людьми в мировых проблемах.

На мой взгляд, книга очень хорошая и понятная. Рисунок, цвета, изображения и определения были очень полезны и сделали книгу интересной, а также дали мне много советов, которые нужно помнить, особенно когда я делал домашнее задание по математике. Я использовал эту книгу, чтобы вернуться и вспомнить основные математические правила. В каждом разделе упоминается важный раздел математики, который мы наблюдаем в настоящее время и что мы увидим в следующих триместрах в 6-м классе. В каждом блоке были очень интересные советы.
Моим любимым юнитом был юнит 1, он позволил мне вспомнить многие математические правила, которые я забыл. Я знаю, что для многих детей математика — не самый сильный предмет, и именно поэтому я бы порекомендовал эту книгу любому новому шестикласснику, чтобы получить преимущество в математике и действительно получить от нее удовольствие, как и я.

-Carlos

Лия

640 отзывов86 подписчиков

Буквально все, что вам нужно, чтобы стать лучшим по математике в средней/начальной школе. Там есть даже математика для 9 класса.

Отличная книга, очень хорошо объясненная и иногда занимательная. Отличные примеры и упражнения.

Я только что понял, что буквально в тот день мне потребовался 1 год, чтобы закончить эту книгу, потому что я продолжал откладывать ее и читать другие книги, и что мне было лень изучать математику, лол, но я рад, что сделал это! 🙂

владелец книги

Сара

1700 отзывов42 подписчика

Ладно, признаю, я большой ботаник. Я один из тех людей, которым действительно нравится математика (или математика, как говорят британцы). Поэтому я нашел это всеобъемлющее учебное пособие захватывающим. Из-за этого я почти пропускаю уроки математики. Эта книга полна полезной информации, представленной в сжатой и эффективной форме.

детский-школьный-детский-серия-педагогический

га. Это могло бы легко быть моим рецензентом, если бы оно все еще существовало в мои школьные годы.

Благодаря этому у меня не было бы проблем, если бы я не переписал уроки, полученные в классе, на другой бумаге.

Но я должен сказать, что креативный шаблон этой книги заслуживает от меня плюса. Кроме того, моим братьям и сестрам это слишком нравилось, чтобы это были их так называемые «другие тетради».

Шерил

9 159 отзывов397 подписчиков

стр. 195, и я понял, как сильно скучаю по обзорам юнитов. Конечно, каждые несколько стр. у нас есть тест, и я в порядке, но не все знания основаны на других, и поэтому я теряю материал. Кроме того, здесь, на экспонентах, мы потеряли словесные задачи… очевидно, это не те вещи, которые мы используем в повседневной жизни (что, честно говоря, по моему опыту, в основном верно, поскольку они являются математическими сокращениями для огромных или крошечные числа).

Итак, в любом случае, у меня есть несколько заморочек с этой книгой, но это пока единственная книга, которую я не считаю ни смехотворно легкой, ни слишком сложной для меня. Мне нужно повторить то, что я должен был выучить в старшей школе, но я начну здесь. Пока (стр. 195) так просто а там посмотрим….
—
р. 248 — Наконец-то словесные задачи, и я, наконец, возьму карандаш и бумагу вместо того, чтобы просто заниматься ментальной арифметикой.
—
Хорошо, этот раздел был на самом деле слишком простым. Затем геометрия, которая была одним из моих любимых предметов в HS, потому что у меня был текст на тему Алисы в Стране чудес и хороший учитель, так что это было легко

Теперь я занимаюсь статистикой, что должно быть легко, потому что я использую этот материал регулярно. Тем не менее, это очень плохо написанная глава.

Сначала он вводит более сложные концепции, затем отступает и почти не обсуждает новую для меня концепцию «двусторонних таблиц», за исключением предостережения «читать внимательно» (но затем не говорит, как читать их). Это портит цветовое кодирование.

И, что хуже всего, в кратком разделе, посвященном выборке, в примерах даже не рассматривалось, как убедиться, что вы получаете адекватно репрезентативную выборку. .. что, как мы все теперь знаем, является огромной проблемой (это касается не только белых мужчин). у кого сердечные приступы, ребята!).
—
Подтвердить! Я получил несколько страниц, чтобы прочитать раздел «Коробка и бакенбарды». Первый и единственный пример имеет 10 точек данных, которые, как утверждается, помещаются в квартили. Хорошо… мы можем признать, что данные из небольших выборок не всегда хорошо подходят…. Но затем он говорит, что две самые большие точки, которые находятся в верхнем квартиле, составляют 25% от общего числа. ! Я просто хотел бы, чтобы ученик сказал, что 2/10 = 25% в любое время в классе, даже сейчас!

Будем надеяться, что когда мы перейдем к графикам разброса и вероятности, автор не забыл допустить к материалу редактора или хотя бы бета-ридера перед публикацией.
—
Хорошо, я наконец закончил. Да, я мог бы продолжать собирать гниды. И еще пару приятных вещей могу сказать. Но в итоге, если это единственная книга в своем роде, используйте ее в качестве дополнения к заданному тексту. Если вы можете найти похожую книгу, используйте ее вместо или в дополнение к этой.

Я не чувствую обогащения, которого лично ожидал. И поэтому я определенно приветствовал бы другие предложения. Кто-нибудь из вас знает какие-нибудь популярные учебники по математике для средних и младших классов средней школы?

Зои

48 отзывов

Супер информативно и полезно. Прекрасная книга со всех сторон, особенно если вам нужна помощь с математикой! 🙂

в стороне

Отлично!

Просто, но сложно. Быстро, но представляет основы.

math

Rohaan

1 отзыв2 подписчика

Я думаю, что это замечательная книга, потому что в ней рассказывается о различных методах, советах и приемах, помогающих решать математические задачи. Я рекомендую эту книгу для тех, кто ходит в среднюю школу и находится в средней школе. Я считаю, что основная доска этой книги — IB, потому что это приемы, которые я сейчас изучаю на доске IB. Я чувствую, что эта книга полезна во многих отношениях, потому что вы можете вернуться и просмотреть ее, и это простые методы, которые, я думаю, вы можете запомнить. Я чувствую, что это улучшило мою математику и мой математический словарный запас. Я определенно вижу изменения во мне, поэтому я надеюсь, что вы попробуете это, потому что мой главный предмет — математика и естественные науки, поэтому я думаю, что даже если вы много знаете, это может помочь вам во многих отношениях, поэтому я надеюсь, что вы попробуете эту книгу, и она поможет вам стать умнее. студент математики, я думаю, вы увидите изменения в себе, если прочтете это правильно и поймете. Я думаю, что это не сборник рассказов, поэтому я думаю, что одной или двух глав в день будет достаточно, потому что обязательно практикуйте то, чему научились, чтобы стать лучше. и формат этой книги великолепен, потому что он показывает диаграммы и изображения, которые могут помочь понять это быстрее, это полезно, потому что это не просто слова, но и визуальные эффекты. надеюсь вы прочтете и вам понравится

спасибо

В этой книге есть все виды заметок, которые могут понадобиться в средней школе для изучения математики. Это помогло моей дочери так много улучшить, изучая одну главу в день и просматривая ее в поисках заметок, когда она делает домашнее задание. Она ненавидит домашнюю работу. Но ей нравится эта книга. Это просто, пошаговые заметки, 10 вопросов в конце каждой главы и ответы на обратной стороне. Сидни нравится, что она может проверить свои ответы после решения задач и найти свой собственный ответ, она чувствует себя учителем 🤓📑
Я настоятельно рекомендую эти книги людям, у которых есть дети, у которых есть проблемы с любым предметом, который у них есть: этот, американская история, естествознание и некоторые другие. Эти книги очень помогают!!

Это отличная книга для тех, кто плохо разбирается в математике или просто хочет продвинуться вперед. Он включал четкие объяснения по различным предметам, которые были разделены на такие блоки, как геометрия. Он не охватывает всего, что вам нужно знать по темам, хотя, например, при изучении неравенств в книге он не охватывает большую часть двухшаговых неравенств или использование отрицательных чисел в неравенстве. Несмотря на это, в целом это очень информативная книга для всех, кто учится в средней школе, чтобы лучше разбираться в математике.

Этот справочник по математике очень полезен! Он включает в себя рисунки, диаграммы и пояснения, а также форматы заметок, которые аналогичны классной тетради, что упрощает понимание математики.
Кроме того, в конце каждой темы будет небольшая викторина, чтобы закрепить ваши знания.
Недостатком этой книги является то, что она не совсем соответствует учебной программе по математике в Гонконге, а терминология иногда может быть очень запутанной, но в целом мне очень понравилось читать эту книгу, поскольку она служит мне руководством по изучению математики. .

Математика — это предмет, в котором нужно практиковаться, чтобы добиться успеха, поэтому эта книга помогла мне узнать много новых идей. Начало книги начинается с основ математики, целых чисел и числовых рядов. После этого книга начинает углубляться в алгебру и содержит некоторые задачи по определенной теме.

ОТЛИЧНО для изучения математики!
Это хорошая книга для изучения математики, особенно в средней школе, и она помогла мне с графиками (прямоугольная диаграмма с усами) и с математическими стратегиями. Это также хорошо, если вы просто хотите просмотреть или проверить свои знания по математике. Рекомендация: отличная обучающая книга для детей старше 4 класса, если вы понимаете дроби, диаграммы и графики. Спасибо за прочтение!

Тиффани

143 отзыва1 подписчик

Эта книга точно иллюстрирует математику, которую я выучил в средней школе. Это действительно возвращает воспоминания и то, как я любил математику тогда (до колледжа, когда числа считались редкостью, везде переменные). Мне нравится, как красиво оформлена каждая страница, как будто это чьи-то заметки, а тут и там профессиональные советы. Идеальный справочник для среднего школьника, так что, если вы один из них, берите эту книгу.

Отличный учебник для начинающих, чтобы вспомнить все, что вы забыли о математике.

Отличный способ повторить математические концепции средней и старшей школы. Веселые и простые иллюстрации с викторинами в конце каждой главы. Мне понравилось, теперь хочу посмотреть другие из этой серии.

научно-популярная математика по академической математике

Я рекомендую все эти книги, если вы учитесь на дому или просто хотите добавить дополнительное время для учебы.

Лично у меня нет проблем с математикой, но я обнаружил, что эта книга — отличный способ оставаться на практике с математикой, я также обнаружил, что могу помочь своей сестре с математикой, используя эту книгу!

Хорошо написано, но мне явно нужно пройти курс геометрии.

Очень понравилось. Мы используем эту книгу в качестве основы для наших детей, обучающихся на дому, и просто добавляем к ней дополнительные дополнительные материалы.

Хороший инструмент для детей. Это очень помогло мне с математикой груди.

Учитывая то, как обычно происходит изучение математики, я считаю, что этот том может быть полезен одним из двух способов. Во-первых, это может быть удобно в качестве обзора перед тестированием по конкретной теме. Учащийся вряд ли выучит математику, просто прочитав эту тетрадь, но она может послужить полезным обзором вместе с собственным учебником и конспектами. Во-вторых, это была бы достойная ссылка на некоторые основные математические понятия, которые студент мог бы забыть к тому времени, когда они снова столкнутся с ними на курсе высшей математики. Уверенному студенту-математику это, вероятно, не принесет пользы, но студенту-математику, испытывающему затруднения, нежное напоминание будет очень полезно.

Все, что вам нужно, чтобы стать лучшим … Книги серии — отличное наглядное пособие для учащихся и взрослых. Если у вас проблемы с математикой в средней школе, взгляните на это (вы можете взять его в библиотеке), и оно поможет. Она написана с причудливым уклоном, поэтому иллюстрации забавны, но точны.

Книга иногда хорошо объясняет. Возьмем, к примеру, раздел 5 книги, они отлично объясняли, как вычислить площадь треугольника и квадрата, но когда дело доходило до линейных уравнений, они замалчивали важные вещи, которые без посторонней помощи я бы не понял. Несмотря на все недостатки, я думаю, что книга была полезной, и я рад, что прочитал ее.

Lia P

86 отзывов2 подписчика

Умный ребенок дает вам свой блокнот, мне это нравится
Эта книга рекламируется для учащихся средних классов, я бы посоветовал не слушать эту рекламу. Я мог использовать эту книгу для колледжа и работы, а также, если это было необходимо. Полезно, что вы можете выполнять разные задания. Вы просто должны убедиться, что знаете название темы, которую вы делаете.

Я использовал это, чтобы освежить свои знания по арифметике в средней школе. Это лучший ресурс, чем «Большие толстые тетради» по истории США и мира (очевидно, что в школьной математике не так уж много субъективизма, так что это помогает), хотя я бы порекомендовал математические курсы в Академии Хана.

математика

Несмотря на то, что у меня уже очень высокий балл по математическим тестам, я плохо помню какую-либо математическую терминологию. Мне было неловко, когда кто-то подходит и просит помочь с домашним заданием по математике. С этой (записной) книгой я уверен, что смогу учить других людей, если они в этом нуждаются.

Отличная книга по математике для начинающих

Это очень краткая, информативная книга с великолепными иллюстрациями. Это здорово для тех, кто пытается снова начать свое математическое путешествие. Отличная книга, чтобы делать заметки.

Неявное умножение? – The Math Doctors

Я хочу завершить эту серию темой, которая постоянно возникает как в классах, так и в социальных сетях: как вы оцениваете выражение типа \(a\div bc\) или \(8\div 4( 3-1)\), где умножение указано без специального символа? Есть несколько причин, по которым можно интерпретировать это иначе, чем правило, которое мы обсуждали, согласно которому умножение и деление выполняются слева направо. Сначала мы рассмотрим это с точки зрения студентов и преподавателей, а затем (в следующий раз) исследуем некоторые исторические вопросы, чтобы завершить серию.

Два способа оценки ax÷by

Давайте сначала рассмотрим один из предыдущих вопросов, которые у нас были по этой проблеме, в 1999 году, чтобы подготовить почву:

 Порядок действий
Проблема была представлена так:
   а = 1,56
   б = 1,2
   х = 7,2
   у = 0,2
   топор / по = ?
Вот два способа, которыми я это решил:
1) Сначала я переписал задачу как [1.56(7.2)/1.2](0.2). Во-вторых, а умножается на х. Продукт был 11,232. Затем, поскольку скобок не было, я следовал порядку операций и разделил 11,232 на b, что равнялось 1,2. Частное было 9.36. Затем я умножил 9,36 на y, что составило 0,2. Окончательный ответ был 1,872.
2) С другой стороны, первое, что я сделал, это умножил а на х. Продукт, который был 11,232, пока отложили. Затем b умножили на y, что дало произведение 0,24. Теперь проблема была решена путем деления 11,232 (или ax) на 0,24 (или на), чтобы получить окончательный ответ 46,8.
Скажите, пожалуйста, какой ответ правильный и почему?

(Обратите внимание, что в то время единственным способом ввести деление в нашей электронной почте было использование косой черты \(a/b\), которая, как я обычно полагаю, представляет собой выражение, на самом деле написанное как \(a\div b\) , Я буду время от времени вставлять обелус, ÷, где мы сделали грубые попытки смоделировать его.

Первый способ следует за PEMDAS буквально, как обычно учат и как я представил его здесь, вычисляя слева направо как \(a\cdot x\div b\cdot y = ((a\cdot x)\div б)\cdot у\).

Второй видит это как \(ax\div by = (ax)\div (by)\). Это не объясняется тем, что вы следуете какому-то изучаемому правилу, а просто делаете то, что выглядит правильно, либо потому, что деление читается, как если бы это была дробная черта, либо просто потому, что « на » выглядит так, как будто оно принадлежит друг другу как единое целое. Мы увидим несколько причин, по которым учащиеся сделали это.

Хотя я был с Спросите доктора Математики меньше года, это был уже знакомый вопрос, на который я хотел подробно ответить ради архива:

 Вы не одиноки, задаваясь этим вопросом. У нас было несколько других вопросов о выражениях, подобных вашему, от сбитых с толку учителей и учеников, которые обнаружили, что разные книги или учителя дают разные ответы, и даже калькуляторы расходятся во мнениях.

Обратите внимание, что не только ученики делают то, что им кажется правильным, но и некоторые учебники и калькуляторы следуют второму методу.

Новое правило или то, что кажется правильным?

Я подробно остановился на двух методах, приняв версию PEMDAS за правильную (хотя у меня есть некоторые сомнения по этому поводу):

 Как написано, ваше выражение
    топор / по
следует вычислить  слева направо  : a умножить на x, разделить на b, умножить на y. Умножение не выполняется перед делением, но оба выполняются в том порядке, в котором они появляются. Ваше первое решение верное.
  Некоторые тексты составляют правило  , как во втором решении, , что умножение без символа («подразумеваемое умножение») должно выполняться перед любыми другими операциями в выражении    [кроме возведения в степень], включая «явное умножение» с использованием символа. Следуя этому правилу, вы должны умножить a на x, затем умножить b и y, а затем разделить одно на другое.  В некоторых (вероятно, в большинстве) текстов такое правило не упоминается, но  некоторые из них могут использовать его, не говоря об этом, что гораздо хуже  .

Кажется, я придумал термин « подразумевает или неявно умножает », когда я ответил на свой первый вопрос по этой теме за несколько месяцев до этого, чтобы сослаться на умножение, обозначенное простым помещением двух чисел, переменных или выражений в скобках друг рядом с другом — « сопоставление », как это называют другие — как \( ab\) или \( 2b\) или \( a(b+c)\), в отличие от явного написания \( a\times b\) или \( a\cdot b\).

Мы видели несколько вопросов от студентов, чьи учебники учили только обычному PEMDAS, но оценивали второй способ в примерах или решениях без комментариев. Возможно, это произошло из-за того, что ответы в конце были написаны кем-то другим, а не автором, но это непростительное несоответствие.

Зачем автору вводить это дополнительное правило? В разное время у меня были разные мнения о том, является ли это правило хорошей идеей, но я всегда признавал, что это не то, чему обычно учат:

 Я не знаю общего правила среди математиков, согласно которому умножение следует выполнять до явное умножение.  Насколько я понимаю, все умножения помещаются в одно и то же место в порядке операций.  Однако это не является необоснованным правилом  , так как кажется, что подразумеваемое умножение более тесно связывает операнды вместе,  хотя бы визуально   ; но идея Порядка Операций (или приоритета, как его называют в компьютерном мире) должна гарантировать, что все будут одинаково интерпретировать двусмысленное выражение — так , если некоторые тексты изменят правила, или если люди делай то, что кажется естественным, цель потеряна  .

Правило, которое не является правилом, бесполезно, каким бы разумным оно ни было. Да, «новое правило» — это естественный способ чтения \(ax\div by\), потому что \(by\) выглядит как единое целое; но пока этому не научат все, мы не можем этого делать и ожидать, что нас поймут все читатели.

В частности, многие студенты предполагают, что оно представляет собой горизонтальную версию \(\displaystyle\frac{ax}{by}\):

 Проблема здесь в том, что выражение выглядит так, как будто оно должно быть
     топор
    ----
     к
В часто задаваемых вопросах доктора математики о написании математики в электронной почте одна из наших рекомендаций состоит в том, чтобы 
  использовать круглые скобки везде, где это возможно, чтобы избежать двусмысленности  , даже там, где правила должны прояснять это, потому что в некоторых ситуациях их можно легко забыть.  .
Поэтому в электронной почте мы бы написали это так:
    ax/(by) или (ax/b)*y
в зависимости от того, что задумано.

Используя круглые скобки, мы можем избежать написания того, что люди, которых учили другим правилам или которые игнорируют правила, которым их учили, могли бы воспринять иначе, чем мы предполагали.

Проблемы с калькулятором

 В моем исследовании для другого «пациента» доктора математики я обнаружил, что некоторые калькуляторы экспериментировали с этим правилом. Калькуляторы имеют несколько иные потребности, чем математики, поскольку они должны вводить данные линейно, один символ за другим, поэтому они вынуждены принимать решение об этом. На веб-сайте TI я узнал, что они преднамеренно добавили эту «функция» в TI 82, а затем убрали ее из TI 83, вероятно, потому, что решили, что это не стандартное правило и оно будет путать людей.

Связь там давно вышла из строя; но когда в 2008 году возник конкретный вопрос о калькуляторе, я процитировал слова TI из их базы знаний:

Подразумеваемое умножение и калькуляторы TI.
...
Решение 11773. Подразумеваемое умножение по сравнению с явным умножением в графических калькуляторах TI.
Имеют ли подразумеваемое умножение и явное умножение одинаковый приоритет в графических калькуляторах TI?
Подразумеваемое умножение имеет более высокий приоритет, чем явное умножение , чтобы пользователи могли вводить выражения таким же образом, как они были бы написаны. Например, TI-80, TI-81, TI-82 и TI-85 оценивают 1/2X как 1/(2*X), в то время как другие продукты могут оценивать то же выражение как 1/2*X слева направо. верно. Без этой функции было бы необходимо группировать 2X в круглых скобках, что обычно не делается при написании выражения на бумаге.
Этот порядок приоритета был изменен для семейства TI-83, семейства TI-84 Plus, семейства TI-89, TI-92 Plus, Voyage™ 200 и портативного устройства TI-Nspire™ в режиме TI-84 Plus. Неявное и явное умножение имеют одинаковый приоритет.

Это ясно показывает, что разработчики калькуляторов должны устанавливать свои собственные правила, которые не обязательно должны совпадать с правилами письма на бумаге; но педагоги, кажется, убедили их оставить все как можно более одинаковым ради учеников.

В заключение (назад к ответу 1999 года):

 Итак, отвечая на ваш вопрос, я думаю  оба ответа можно считать правильными  - это значит, конечно, что  сам вопрос неверен  . Я предпочитаю стандартный способ (ваш первый ответ) в общении со студентами, , если их собственный текст не содержит правила «сначала неявное умножение»  ; но на практике, если бы я встретил это выражение, я, вероятно, сначала проверил бы, откуда оно взялось, чтобы увидеть, могу ли я сказать, что имелось в виду. Главный урок, который нужно усвоить, заключается не в том, какому правилу следовать, а в том, как избежать двусмысленности в том, что вы пишете сами.  Не доставляй другим людям таких хлопот.

Впоследствии у нас было еще много вопросов по этому поводу; Я просто процитирую несколько уникальных фрагментов из некоторых из этих ответов.

Старомодная математика?

Вот типичный пример школьного конфликта, начиная с 2000 года:

 Порядок Операции Спор
Задача гласит: N ÷ ml, где n=12, m=6 и l=3.  Я считаю, что правильный ответ должен быть 0,6666, так как 12 разделить на 18 равно этому. Мой муж согласен со мной.
Мой сын пришел домой очень расстроенный из школы, с запиской от учителя, что ответ был неправильным. Она указала, что я должен был разделить 6 (m) на 12 (n), прежде чем разделить 3 (l) на уравнение. Ее ответ был 6.
Мой сын очень расстроен мной; его учитель сказал ему, что я занимаюсь "старомодной математикой". Мне нужно вернуться в школу?

Проблема в \(N\div ml\), и родители сначала выполняют умножение. Я частично ответил:

 Я могу сообщить вам хорошие и плохие новости. Во-первых, плохие новости: в соответствии с обычным порядком выполнения правил, которые сейчас изучаются, ваш ответ неверен. ...

Я объяснил стандартные правила и добавил:

 НО...
Вы не одиноки в своем мнении. Эта часть правила — совместное выполнение умножения и деления — вероятно, является последним правилом, которое стабилизировалось; Я знаю, что в 1920-х, по крайней мере, договоренности не было.  Кажется, соглашение сложилось, но сейчас оно рушится, как я слышал от многих студентов, чьи тексты отвечают на подобные вопросы так же, как и вы. Похоже, что они добавляют  неустановленное правило, которое кажется вполне разумным в данном контексте  , что подразумеваемое умножение (обозначаемое простым помещением двух переменных или выражений вместе, как в «ml») должно быть выполнено первым. Конечно,  выглядит так, как будто это должно означать . Проблема в том, что, хотя я слышал, что это правило равно  часто следовал за , я почти никогда не слышал, чтобы  учили , поэтому эти тексты не следуют их собственным установленным правилам.

В следующий раз я расскажу больше об истории.

 Так как этот тип выражения настолько двусмыслен, люди расходятся во мнениях по поводу правил, а правила легко упустить из виду, я считаю, что  ни ваш ответ, ни ответ учителя неверны: вопрос неверен  . Ни один ответственный математик не стал бы писать такое выражение; мы бы просто сказали
     н
    ---
    м л
так что не было бы вопроса о его значении.  В конце концов, цель правил — позволить нам ясно общаться, а не помогать нам обманывать учеников и устраивать ссоры между семьями.
Так что на самом деле вы можете быть «старомодным»; или вы можете быть на переднем крае. В любом случае, боюсь, вам просто нужно узнать, как они это делают в классе, и следовать за ними. Не должно быть больше таких проблем, о которых нужно беспокоиться.

В последнее время драки, как правило, происходят в социальных сетях!

Неправильное использование свойства дистрибутива

Я закончу последним архивным обсуждением. Этот вопрос от 2017 года:

 Еще больше о порядке операций
Мне любопытно узнать, какой ответ на это:
   8/4(3 - 1)
Строго следуя PEMDAS, ответ равен 4:
   8/4(2)
   2*2
   4
Однако, если вы будете следовать дистрибутивному свойству, вы получите 1:
   8/((4*3) - (4*1))
   8/(12 - 4)
   8/8
   1
Какой из них будет правильным и почему?
   
Оба варианта действительны, поэтому я не уверен, какой ответ будет правильным. 
Это должно быть правильно или неправильно, а не два разных ответа.

Я ответил набором своих стандартных ответов на такого рода вопросы; даже мой первый заархивированный ответ на эту тему в 1999 году был в значительной степени стандартным ответом, который я давал другим раньше. Здесь я просто рассмотрю несколько сделанных мною замечаний, которые не были полностью освещены выше.

Сначала я подытожил происходящее:

 Проблема не в конфликте между PEMDAS и дистрибутивом; дело в том, что  строгая интерпретация  PEMDAS противоречит  естественному впечатлению  значения выражения, так что вы неосознанно применяете альтернативную интерпретацию, когда думаете, что просто применяете распределительное свойство.

Если вы вспомните более ранние заявления о том, что PEMDAS (а) находится в гармонии со свойствами операций и (б) соответствует визуальному впечатлению от наших обозначений, то некоторые тревожные звоночки уже должны звучать!

 Когда вы распространяли, вы ПРЕДПОЛАГАЛИ, что это 4, а не 8/4 умножает (3 - 1).  При этом вы нарушали правила и всего  делал то, что считал правильным  . Если бы вы следовали правилам И распространяли, вы бы получили это:
   (((8/4)*3) - ((8/4)*1))
   ((2*3) - (2*1))
   6 - 2
   4

На самом деле не свойство распределения привело к «неправильному» результату, а тот факт, что при распределении 4 рассматривалось как множитель.

Те, кто говорят, что вы должны распространять сначала , ставят телегу впереди лошади: вы не можете применять трюки для вычисления выражения, прежде чем вы сначала не узнаете, что оно ЗНАЧИТ, но они думают, что свойство распределения влияет на значение. (На самом деле свойство дистрибутивности здесь — пустая трата времени, потому что оно заставляет вас делать два умножения там, где нужно только одно!) Смысл определяется порядком действий. Умножение должно производиться до или после деления? 92\div 4b + c\):

 На самом деле есть несколько разных причин, которые люди приводят (это очень популярный вопрос), некоторые из которых лучше, чем другие. 
Как утверждает ваш друг, правила, как обычно учат, говорят нам выполнять все умножения и деления слева направо (в пределах любого их кластера) и не делать исключений, из-за которых 4b будет оцениваться первым. Многие из нас здесь согласятся с этим и покончат с этим.
Некоторые люди сначала оценили бы 4b из-за неправильного понимания PEMDAS, , думая, что это означает, что умножение должно быть выполнено до деления . Я думаю, вы знаете, что они ошибаются.
Еще одна неправильная причина, примененная к несколько иному виду выражения, — это неправильное понимание скобок : правило, согласно которому скобки «предшествуют» всему остальному, приводит их к мысли, что в выражении вроде 12/4(4-1) умножение 4 (4-1) должно быть сделано первым. Но правило о скобках на самом деле говорит только о том, что то, что находится ВНУТРИ скобок, должно быть оценено в первую очередь; результат обрабатывается как любое другое число. (Я иногда называю это " липкие скобки  "вид. )
Другая причина, связанная с этим вторым типом выражений, заключается в том, что распределительное свойство 90 196 90 197 вынуждает вас сначала выполнять умножение, потому что сначала вычисляется 4(4-1) = 4*4-4*1 = 12, а затем разделять; но это вызывает вопрос, потому что единственная причина, по которой они взяли 4, а не 12/4, как множитель слева, заключается в том, что им это показалось именно так. И, конечно же, свойство дистрибутивности — это всего лишь способ, которым вы можете, если хотите, переписать выражение так, чтобы оно давало то же самое значение; это вне вопроса о том, что само по себе ЗНАЧИТ это выражение.
В конце концов, большинство людей, вероятно, делают это всего лишь , потому что это кажется правильным  : 4b выглядит ближе друг к другу, поэтому мы, естественно, хотим сделать это в первую очередь. Но они не могут указать ни на одно правило, оправдывающее это; и поскольку математика — это доказательство и то, что вы ЗНАЕТЕ правильно, а не только то, что кажется правильным, это нехорошо.

Пример «липких скобок» см. в разделе

 Связана ли цифра 2 с числами в скобках?

Пример отображения знака деления в виде дробной черты (и долгое обсуждение того, как не поддаваться влиянию внешнего вида) см. в разделе 9.0003

 Порядок операций и дробей

Назад к ответу 2017 года …

Избегание — лучшая политика

 В книгах и рукописной математике за пределами элементарного уровня мы почти никогда не используем символ горизонтального деления, вместо этого используем дроби, которые не оставляет двусмысленности. В результате математическому сообществу никогда не приходилось делать выбор в этой ситуации!  По сути, он остался неопределенным  , и именно авторы учебников придумали явные «правила» для описания того, что на самом деле является просто языком, который развивался органически,  основано не на тщательно сформулированных правилах, а на молчаливом соглашении  .
Так что «правильный» способ прочтения такого выражения зависит от того, какие правила действуют в конкретном сообществе (математический класс, журнал и т.