Математика решебник часть 1: ГДЗ Математика 1 класс. Моро, Волкова, Степанова. Учебник часть 1

| математика | Britannica

Matrix , набор чисел, расположенных в строках и столбцах, чтобы сформировать прямоугольный массив. Числа называются элементами или элементами матрицы. Матрицы находят широкое применение в технике, физике, экономике и статистике, а также в различных областях математики.Исторически первым распознаванием была не матрица, а определенное число, связанное с квадратным массивом чисел, называемое определителем. Лишь постепенно возникла идея матрицы как алгебраической сущности. Термин матрица был введен английским математиком 19 века Джеймсом Сильвестром, но именно его друг, математик Артур Кэли, разработал алгебраический аспект матриц в двух статьях 1850-х годов. Кэли впервые применил их к изучению систем линейных уравнений, где они до сих пор очень полезны.Они также важны, потому что, как признал Кэли, определенные наборы матриц образуют алгебраические системы, в которых действуют многие из обычных законов арифметики (например, ассоциативные и распределительные законы), но в которых действуют другие законы (например, закон коммутативности). недействительно. Матрицы также нашли важное применение в компьютерной графике, где они использовались для представления поворотов и других преобразований изображений.

Если имеется m строк и n столбцов, матрица называется матрицей « m на n », записанной « m × n .Например,

— это матрица 2 × 3. Матрица с n строками и n столбцами называется квадратной матрицей порядка n . Обычное число можно рассматривать как матрицу размером 1 × 1; таким образом, 3 можно рассматривать как матрицу [3].

В общепринятых обозначениях заглавная буква обозначает матрицу, а соответствующая строчная буква с двойным нижним индексом описывает элемент матрицы.Таким образом, a _ij — это элемент в строке i и j -м столбце матрицы A . Если A — это матрица 2 × 3, показанная выше, то a ₁₁ = 1, a ₁₂ = 3, a ₁₃ = 8, a ₂₁ = 2, a ₂₂ = −4 и a ₂₃ = 5. При определенных условиях матрицы можно складывать и умножать как отдельные объекты, что дает начало важным математическим системам, известным как матричные алгебры.

Матрицы естественным образом встречаются в системах одновременных уравнений. В следующей системе для неизвестных x и y ,

массив чисел

представляет собой матрицу, элементы которой являются коэффициентами при неизвестных. Решение уравнений полностью зависит от этих чисел и от их конкретного расположения. Если бы 3 и 4 поменяли местами, решение было бы другим.

Две матрицы A и B равны друг другу, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов и если a _ij = b _ij для каждый i и каждый j .Если A и B являются двумя матрицами m × n , их сумма S = A + B представляет собой матрицу m × n , элементы которой s _ij = a _ij + b _ij . То есть каждый элемент S равен сумме элементов в соответствующих позициях A и B .

Матрица A можно умножить на обычное число c , которое называется скаляром. Продукт обозначается как cA или Ac и представляет собой матрицу, элементы которой равны ca _ij .

Умножение матрицы A на матрицу B для получения матрицы C определяется только тогда, когда количество столбцов первой матрицы A равно количеству строк второй матрицы B .Чтобы определить элемент c _ij , который находится в строке i и j -м столбце продукта, первый элемент в строке i -й строки A умножается на первый элемент в j -м столбце B , второй элемент в строке — вторым элементом в столбце и так далее, пока последний элемент в строке не умножится на последний элемент столбца; сумма всех этих произведений дает элемент c _ij .В символах для случая, когда A имеет м, столбцов и B, имеет м строк,

Матрица C имеет столько же строк, сколько A и столько же столбцов, сколько B .

В отличие от умножения обычных чисел a и b , в котором ab всегда равно ba , умножение матриц A и B не является коммутативным. Однако оно ассоциативно и распределительно по сравнению с сложением.То есть, когда операции возможны, всегда выполняются следующие уравнения: A ( BC ) = ( AB ) C , A ( B + C ) = AB + AC и ( B + C ) A = BA + CA . Если матрица 2 × 2 A со строками (2, 3) и (4, 5) умножается сама на себя, то произведение, обычно записываемое как A ² , имеет строки (16, 21) и ( 28, 37).

Матрица O со всеми ее элементами 0 называется нулевой матрицей. Квадратная матрица A с единицами на главной диагонали (вверху слева направо вниз) и нулями во всех остальных местах называется единичной матрицей. Он обозначается I или I _n , чтобы показать, что его порядок составляет n . Если B — любая квадратная матрица, а I и O — единичная и нулевая матрицы одного порядка, всегда верно, что B + O = O + B = B и BI = IB = B .Следовательно, O и I ведут себя как 0 и 1 в обычной арифметике. Фактически, обычная арифметика — это особый случай матричной арифметики, в которой все матрицы имеют размер 1 × 1.

С каждой квадратной матрицей связано A — это число, известное как определитель A , обозначаемое det A . Например, для матрицы 2 × 2

det A = ad — bc . Квадратная матрица B называется невырожденной, если det B ≠ 0.Если B неособое, существует матрица, обратная B , обозначенная B ^-1 , так что BB ^-1 = B ^-1 B = Я . Уравнение AX = B , в котором A и B — известные матрицы, а X — неизвестная матрица, может быть решено однозначно, если A — невырожденная матрица, тогда A ⁻¹ существует, и обе части уравнения можно умножить слева на него: A ⁻¹ ( AX ) = A ⁻¹ B .Теперь A ⁻¹ ( AX ) = ( A ⁻¹ A ) X = IX = X ; следовательно, решение будет X = A ^-1 B . Систему линейных уравнений m с неизвестными n всегда можно выразить в виде матричного уравнения AX = B , в котором A — это матрица коэффициентов неизвестных m × n , X — это матрица неизвестных n × 1, а B — это матрица n × 1, содержащая числа в правой части уравнения.

Задача, имеющая большое значение во многих областях науки, заключается в следующем: по квадратной матрице A порядка n, найти матрицу n × 1 X, , называемую вектором размерности n , так что AX = cX . Здесь c — это число, называемое собственным значением, а X — собственным вектором. Существование собственного вектора X с собственным значением c означает, что определенное преобразование пространства, связанное с матрицей A , растягивает пространство в направлении вектора X на коэффициент c .

Математика | Государственный университет Среднего Теннесси

Департамент математических наук предлагает курсы, предназначенные для студентов: со знаниями в математических науках, которые необходимы для работы и успеха во все более сложном технологическом мире. В частности, отдел обслуживает студенты, которые планируют (1) изучать математику, информатику или другие дисциплины с требованиями по математике; (2) поступать в аспирантуру или профессиональные школы медицины или инженерии; (3) преподают в начальной, средней или средней школе или в младших колледжах; или (4) сделать карьеру в бизнесе, промышленности или правительстве.

программ кафедры приводят к получению степени бакалавра наук по специальности Математика. Студенты выбирают одну из следующих концентраций: профессиональная математика, математика Образование, приложения математики или актуарные науки. Несовершеннолетние предлагаются в Математика; по математике для управленческих, социальных наук и наук о жизни; и в статистике.

Дополнительно кафедра предлагает программы магистратуры, ведущие к получению степени магистра наук. (MS) по специальности математика, магистр педагогических наук (MST) по специальности по математике и второстепенное по математике в аспирантуре.Пять концентраций предлагаются в рамках магистратуры: актуарные науки, общая математика, промышленная математика, Математическое образование и подготовка к исследованиям. Предлагаются две концентрации под MST: математика для средних классов и средняя математика. Отделение также предлагает курсы по программе магистра профессиональных наук (MSPS) в какие студенты могут выбрать концентрацию по биостатистике.

Нажмите здесь, чтобы узнать о вакансиях в МТСУ