Как решить магический квадрат (3 класс)? Пособия для студентов / Paulturner-Mitchell.com
Математических загадок существует невообразимое количество. Каждая из них по-своему уникальна, но их прелесть заключается в том, что для решения неизбежно приходится приходить к формулам. Конечно, можно попытаться решить их, что называется, тыканием, но это будет очень долго и почти безуспешно.
В этой статье пойдет речь об одной из таких головоломок, а если быть точным — о магическом квадрате. Мы подробно разберем, как решить магический квадрат. 3 класс общеобразовательная программа, конечно, идет, но может не все поняли или вообще не помнят.
Что это за загадка?
Волшебный квадрат, или, как его еще называют, волшебная таблица — это таблица, в которой количество столбцов и строк одинаково, и все они заполнены разными числами. Основная задача состоит в том, чтобы эти числа в сумме по вертикали, горизонтали и диагонали давали одинаковое значение.
Помимо магического квадрата, есть еще и полумагический.
Это означает, что сумма чисел одинакова только по вертикали и горизонтали. Магический квадрат является «нормальным» только в том случае, если для заполнения использовались натуральные числа из единицы.
Есть еще такое понятие, как симметричный магический квадрат — это когда значение суммы двух цифр равно, при этом они расположены симметрично по отношению к центру.
Также важно знать, что квадраты могут быть любой величины, кроме 2 на 2. Квадрат 1 на 1 тоже считается магическим, так как все условия соблюдены, хоть и состоит из одного числа.
Итак, с определением мы познакомились, теперь поговорим о том, как решать магический квадрат. 3-й класс школьной программы вряд ли так подробно все объяснит, как в этой статье.
Какие есть решения?
Те люди, которые умеют решать магический квадрат (точно знает третий класс), сразу скажут, что решений всего три, и каждое из них подходит для разных квадратов, но нельзя игнорировать четвертое решение, а именно «наугад».
Ведь в какой-то степени есть вероятность того, что незнающий человек все же может решить эту проблему. Но этот метод мы отбросим в долгий ящик и перейдем непосредственно к формулам и методам.
Первый способ. Когда квадрат нечетный
Этот способ подходит только для решения такого квадрата, где количество клеток нечетное, например, 3 на 3 или 5 на 5.
Так что в любом случае изначально необходимо найти магическую константу. Это число, которое получится при сумме цифр по диагонали, вертикали и горизонтали. Вычисляется по формуле:
В данном примере будем рассматривать квадрат три на три, поэтому формула будет выглядеть так (n — количество столбцов):
Итак, перед нами квадрат. Первое, что нужно сделать, это ввести цифру один в центре первой строки сверху. Все последующие цифры должны располагаться в той же клетке справа по диагонали.
Но тогда сразу возникает вопрос, как решить магический квадрат? Класс 3 вряд ли будет использовать этот метод, и у большинства возникнет проблема, как это можно сделать таким образом, если этой ячейки не существует? Чтобы сделать все правильно, нужно включить воображение и нарисовать сверху аналогичный магический квадрат и получится, что в нем в правой нижней ячейке будет цифра 2.
Итак, в нашем квадрате мы тоже ставим двойку на то же место. Это значит, что нам нужно написать числа так, чтобы они прибавляли к сумме 15.
Точно так же вяжутся следующие цифры. То есть 3 будет в центре первого столбца. А вот 4 по этому принципу ввести нельзя, т.к. на его месте уже стоит единица. В этом случае цифра 4 располагается под цифрой 3 и продолжается. Пятерка находится в центре квадрата, 6 — в правом верхнем углу, 7 — в 6-ке, 8 — в левом верхнем углу, 9 — в центре нижней строки.
Теперь вы знаете, как решить магический квадрат. Демидов 3 класс сдал, но у этого автора была задача чуть попроще, однако, зная этот метод, можно будет решить любую подобную задачу. Но это если количество столбцов нечетное. А что если у нас есть, например, квадрат 4 на 4? Об этом далее по тексту.
Второй способ. Для квадрата двойной четности
Квадрат двойной четности тот, количество столбцов которого можно разделить на 2 и 4. Теперь рассмотрим квадрат 4 на 4.
Итак, как решить магический квадрат (3 класс , Демидов, Козлов, Тонкий — задача из учебника математики), когда число ее столбцов равно 4? Это очень просто. Проще, чем в предыдущем примере.
Прежде всего, находим магическую константу по той же формуле, что приводилась в прошлый раз. В данном примере число равно 34. Теперь нам нужно построить числа так, чтобы сумма по вертикали, горизонтали и диагонали была одинаковой.
В первую очередь необходимо закрасить некоторые клетки, это можно сделать карандашом или в воображении. Закрашиваем все углы, то есть верхнюю левую ячейку и верхнюю правую, нижнюю левую и нижнюю правую. Если квадрат был 8 на 8, то надо закрасить не одну клетку в углу, а четыре, размером 2 на 2.
Теперь нужно закрасить центр этого квадрата так, чтобы его углы касались углов уже закрашенных клеток. В этом примере мы получим квадрат в центре 2 на 2.
Приступаем к заполнению. Заполнять будем слева направо, в том порядке, в котором расположены ячейки, только в заполненные ячейки впишем значение.
Получается, что мы вводим 1 в верхнем левом углу и 4 в правом углу. Затем набивается центральная 6, 7 и далее 10, 11. Нижняя левая 13 и правая-16. Думаем порядок заполнения понятен.
Остальные ячейки заполняются точно так же, только в порядке возрастания. То есть, так как последней вписанной цифрой было 16, то вверху квадрата пишем 15. Далее 14. Потом 12, 9и так далее, как показано на картинке.
Теперь вы знаете второй способ решения магического квадрата. 3-й класс согласится, что квадрат двойной четности решается намного легче, чем другие. Что ж, переходим к последнему способу.
Третий способ. Для квадрата одинарной четности
Квадратом одинарной четности называется квадрат, количество столбцов которого можно разделить на два, но не на четыре. В данном случае это квадрат 6 на 6.
Итак, вычисляем магическую константу. Оно равно 111,9.0003
Теперь нам нужно визуально разделить наш квадрат на четыре разных квадрата 3 на 3.
Получаем четыре маленьких квадрата 3 на 3 в один большой 6 на 6. Верхний левый называется А, нижний правый В, верхний правый C, а нижний левый D.
Теперь нужно решить каждый маленький квадрат, используя самый первый метод, который дан в этой статье. Получается, что в квадрате A будут числа от 1 до 9, в B от 10 до 18, в C от 19 до 27 и D от 28 до 36.
После того, как вы разгадаете все четыре квадрата, начнется работа над A и D. В квадрате A необходимо визуально или карандашом выделить три клетки, а именно: верхнюю левую, центральную и нижнюю левую. Получается, что выбраны цифры 8, 5 и 4. Аналогично надо выделить квадрат D (35, 33, 31). Все, что осталось сделать, это поменять местами выбранные цифры с D на A.
Теперь вы знаете последний способ, как можно решить магический квадрат. 3-й класс больше всего не любит квадрат одной четности. И это неудивительно, из всех представленных он самый сложный.
Заключение
Прочитав эту статью, вы узнали, как решить магический квадрат.
3 класс (Моро — автор учебника) предлагает аналогичные задания только с несколькими заполненными ячейками. Рассматривать его примеры нет смысла, так как зная все три способа, можно легко решить все предложенные задачи.
|
Эта статья цитируется в 28 научных статьях (всего в 33 статьях) Некоторые нерешенные вопросы теории дифференциальных уравнений и математической физики В. И. Арнольд , М. И. Вишик , Ю. С. Ильяшенко , A. S. Kalashnikov , V. A. Kondrat’ev , S. N. Kruzhkov , E. M. M. M. Million . , О. А. Олеиник , А. Ф. Филиппов , М. А. Шубин 3 3 3 (70289 3 .  Английский полный текстКаталожные номера: HTML DOI: https://doi.org/10.1070/RM1989v044n04ABEH002139 Русская версия: Библиографические базы данных: Тип документа: Артикул MSC: 12D10, 35Q30, 35K57, 76D05 Язык: Английский Оригинальный язык статьи: Русский Ссылка: В. И. Арнольд, М. И. Вишик, Ю. С. Ильяшенко, А. С. Калашников, В. А. Кондратьев, С. Н. Кружков, Е. М. Ландис, В. М. Миллионщиков, О. А. Олейник, А. Ф. Филиппов, М. А. Шубин, “Некоторые нерешенные вопросы теории дифференциальных уравнений и математической физики”, УМН. наук, 44:4(268) (1989), 191–202; Русская математика. Обзоры, 44: 4 (1989), 157–171 Цитирование в формате AMSBIB Варианты подключения:  mathnet.ru/rus/rm1854Эта публикация цитируется в следующих статьях:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Наук: 
~И.~Арнольд, М.~И.~Вишик, Ю.~С.~Ильяшенко, А.~ С.~Калашников, В.~А.~Кондратьев, С.~Н.~Кружков, Э.~М.~Лэндис, В.~М.~Миллионщиков, О.~А.~Олейник, А.~ Ф.~Филиппов, М.~А.~Шубин 
Эшбо, Рафаэль Д. Бенгурия, “Универсальные границы для нижних собственных значений лапласиана Неймана в $N$ измерениях”, SIAM J Math Anal, 24:3 (1993), 557 
В. Аносов, А. А. Болибрух, В. А. Васильев, А. М. Вершик, А. А. Гончар, М. Л. Громов, С. М. Гусейн-Заде, В. М. Закалюкин, Ю. С. Ильяшенко, В. В. Козлов, М. Л. Концевич, Ю. И. Манин, А. И. Нейштадт, С. П. Новиков, Ю. С. Осипов, М. Б. Севрюк, Я. Г. Синай, А. Н. Тюрин, Л. Д. Фаддеев, Б. А. Хесин, А. Г. Хованский, “Владимир Игоревич Арнольд (к 60-летию со дня рождения)”, Изв. Обзоры, 52:5 (1997), 1117–1139 
Чинен, “Оценка отношения последовательных собственных значений гиперболического лапласиана для модулярных групп”, форма, 13:5 (2001), 685 
Козлов, А. А. Коньков, С. И. Похожаев, Е. В. Радкевич, Н. Х. Розов, И. Н. Сергеев, А. Л. Скубачевский, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев, Т. А. Шапошникова, “Владимир Александрович Кондратьев. 2, 19 июля35 – 11 марта 2010 г.”, Журнал математических наук, 190:1 (2013), 1–7 