Как решить задачу по математике 2 класс 2 часть школа россии: ГДЗ Математика 2 класс учебник 2 часть. Моро, Бантова, Волкова. Готовые ответы на задания, решебник

Содержание

Конспект урока по математике. Решение задач и выражений. 2 класс. Школа России.

Математика

Класс 2

Дата: 22.04.2021

Тема. Решение задач и уравнений.

Цели: закреплять умения учащихся решать задачи и выражения изученных видов, сравнивать выражения, находить периметр многоугольников; развивать вычислительные навыки, смекалку, наблюдательность.

Планируемые результаты

Предметные. Научатся умножать и делить на 10; научатся решать задачи изученных видов; отработают вычислительные навыки и умения решать уравнения.

УУД.

Регулятивные: выбирать действия в соответствии с поставленной задачей и условиями ее реализации; осуществлять итоговый и пошаговый контроль по результату.

Познавательные: строить объяснение в устной форме по предложенному плану; владеть общими приемами решения задач. Коммуникативные: аргументировать свою позицию и координировать ее с позициями партнеров

Личностные результаты. Проявляют познавательную инициативу в оказании помощи соученикам.

Ход урока

I. Мотивирование к учебной деятельности.

II. Каллиграфическая минутка.

99 88 99 88

III. Устный счет.

1. Найдите значения выражений:

4 + 8 – 7

6 + 7 – 9

76 – 9 + 3

53 – 5 – 8

62 – (32 + 8)

89 – (76 + 4)

– Расскажите, как считали.

2. Проверьте верность равенств.

4 · 6 = 6 · 4

2 · 8 = 8 · 2

10 · 4 + 10 = 10 · 5

8 · 7 = 8 · 6 + 8

IV. Сравнение и решение выражений.

1. На доске записаны выражения из задания 2 (с. 77 учебника, часть 2).

– Что хотите сказать?

– Можно ли сравнить выражения, не находя их значений?

– Сравните выражения. Как рассуждали?

2. Найдите значения выражений, записав их в столбик. Выполните проверку.

I в а р и а н т II в а р и а н т

73 – 56 57 – 39

48 + 14 64 + 16

80 – 12 90 – 13

76 + 24 36 + 15

Проверьте работу друг друга.

V. Работа над задачами.

1. – Прочитайте задачу 3 (с. 77 учебника, часть 2).

– Что в задаче известно?

– О чём спрашивается?

– Выполните рисунок к задаче.

– Как записать решение?

– Запишите решение по действиям с пояснениями и выражением.

Р е ш е н и е:

10 · 2 = 20 (л) – заготовили.

20 = 2 = 18 (л) осталось.

10 · 2 – 2 = 18

2. Учащиеся читают задачу 4 (с. 77 учебника, часть 2).

– Всё ли вам понятно в прочитанной задаче?

– Что в задаче известно?

– О чём спрашивается?

– Как записать задачу кратко?

– Можно ли сделать схему-чертёж?

– Запишите задачу кратко так, как вам это удобно.

– Решите задачу по действиям или выражением (как вам удобно).

– Проверьте работу друг друга.

3.Устно решите задачу №5.

VI. Работа с геометрическим материалом.

1. Проверка домашнего задания.

– У какой фигуры оказался самый большой периметр?

– У какой – самый маленький?

2. Нахождение периметра прямоугольника (с.77 №11)

– Начертите прямоугольник со сторонами 1 см и 10 см.

– Вспомните формулу периметра прямоугольника.

– Запишите её.

– Найдите периметр данного прямоугольника.

– Он равен 22 см?

Самостоятельная работа. Страница 77 №2, 6 (1 уравнение), 8.

VII. Выполнение задания на смекалку.

Учащиеся выполняют задание на смекалку (с. 77 учебника, поля).

Р е ш е н и е:

Из двух шариков: красный – зелёный, красный – синий, синий – зелёный; зелёный – красный, синий – красный, зелёный – синий.

Из трёх шариков: красный – синий – зелёный; синий – зелёный – красный; зелёный – красный – синий; красный – зелёный – синий; зелёный – синий – красный; синий – красный – зелёный.

VIII. Итог урока. Рефлексия

– Что нового узнали?

– Какое задание было для вас самым интересным?

– Что бы хотели изменить в уроке?

– Оцените свою работу.

IX. Домашнее задание. Подготовиться к проверочной работе. Страница 77, №9.

Конспект урока математики 2 класс УМК «Школа России» «Час. Минута. Определение времени по часам» | Начальная школа | Журнал «Педмастерство»

Автор: Чанкова Анастасия Андреевна

Организация: МБОУ «Школа № 32»

Населенный пункт: Кемеровская область, г. Прокопьевск

«Час, минута. Определение времени по часам».

Цель урока: сформировать представление о единицах времени (час, минута), уметь определять время по часам, прививать интерес к уроку математики.

Задачи урока:

обучающие: познакомить учащихся с новыми единицами времени, научить учащихся определять время по часам, уметь представлять двузначное число в виде разрядных слагаемых, уметь составлять и решать обратные задачи.

развивающие: умение делать выводы, сравнивать, анализировать, наблюдать, расширять кругозор, расширять словарный запас.

воспитательные: воспитание уважения друг к другу, умения работать в парах и в коллективе в целом, уметь признавать свои ошибки, умение слушать друг друга.

Планируемые результаты:

предметные:

— развивать у учащихся умение определять время по часам;

личностные:

— проявлять интерес к новому материалу;

— оценивать работу себя и своих одноклассников;

— устанавливать связи между целью деятельности и мотивом;

Универсальные учебные действия:

регулятивные:

— определять цель на уроке с помощью учителя;

— учиться работать по плану;

— учиться планировать свою деятельность;

— высказывать свои предположения;

— уметь адекватно воспринимать оценку;

коммуникативные:

— слушать друг друга;

— владеть речью, которая соответствует нормам русского языка;

— искать общее решение в совместной учебной деятельности с одноклассниками;

познавательные:

— ориентироваться в своей системе знаний;

— сравнивать, анализировать;

— делать выводы о результатах совместной учебной деятельности;

— ориентироваться в учебнике;

— умение искать необходимую информацию;

Тип урока: комбинированный урок

Оборудование: учебник по математике М. И. Моро 2 класс, в двух частях (первая часть), модель часов.

I. Организационный момент

-Здравствуйте, ребята! С началом нового учебного дня! И сегодня у нас очередной урок математики. И как всегда, перед началом урока, я проверяю ваше рабочее место. Ничего лишнего у вас не должно быть на партах. Учебники и тетради должны аккуратно лежать на краю стола.

-Садитесь, ребята!

— Откройте ваши тетради и запишите число. Дату мы записываем на полях, не забудьте от домашней работы отступить четыре клетки. Дальше запишем «Классная работа». Не забывайте ставить точку.

II. Минутка чистописания

— Ребята, отгадайте загадку. О какой цифре идет речь в этой загадке?

Кошка в кубики играла,
Кошка кубик потеряла.
Закружилась голова…
Было три, осталось…
(Два)

— Ребята, когда я проверяла Ваши работы, я увидела, что у многих не получается цифра 2. Давайте еще раз напишем эту цифру.

222222….

20202020…..

— Что вы хотите сказать?

— Какова роль цифры 2 в числе 2?

— Какова роль цифры 2 в числе 20?

III. Актуализация знаний

1. Устный счет

— Давайте посчитаем от 1 до 20 и обратно.

— А теперь посчитаем в пределах 100. Посчитайте все вместе числа в пределах 100, сначала в порядке возрастания, а затем в порядке убывания. Молодцы!

2. Проверка домашнего задания на с.30 (№ 6, № 7).

IV. Постановка учебной задачи

— Ребята, пожалуйста, отгадайте загадку:

Ног нет, а хожу,

Рта нет, а скажу,

Когда спать,

Когда вставать,

Когда работу начинать!

— Кто догадался, о чем мы сегодня будем говорить на уроке?

— Пожалуйста, сформулируйте тему урока.

V. Открытие нового знания

— Ребята, как вы думаете, для чего нужны часы?

— Какие часы вы знаете?

— Ребята, посмотрите на модель часов. (Учитель показывает классу заранее подготовленную модель часов). Числа, которые вы видите на часах, называются циферблатом. (Дети повторяют вместе с учителем новое слово «циферблат»). Что еще вы видите на часах? (Две стрелки).

— Ребята, а почему на часах две стрелки? Откройте, пожалуйста, учебник на с.31. Прочитайте правило, которое дано у вас в учебнике.

— Итак, расскажите мне, ребята, как называется часовая стрелка и как она выглядит? (Часовая стрелка – это самая маленькая стрелка, движется она от одной большой черточки до другой).

— А минутная? (Минутная – это большая стрелка, движется она от маленькой черточки до другой).

— Пока маленькая стрелка (часовая) подвинется от одной цифры до другой, большая (минутная) проходит весь круг.

— Ребята, сколько маленьких черточек на циферблате, посчитайте. (60)

— Расстояние от одной маленькой черточки до другой называется минута. А весь круг, который проходит маленькая стрелка, называется час.

— Ребята, скажите, сколько в одном часе минут? (60)

— Итак, ребята, запишите в своих тетрадях следующее: 1ч=60 мин. Обведите это правило в рамочку и выучите его.

— Вы сегодня тоже приготовили свои модели часов. Давайте потренируемся показывать время. Я буду вам называть время, а вы будете его показывать на часах. (три часа ровно, 8 часов ровно, девять тридцать и тд.)

Работа с моделью часов: дети определяют время.

— Найдите в учебнике № 1 на с.31 (до какого числа ты можешь посчитать в течение минуты?)

Засекается время, дети считают.

Далее выполняется упражнение в определении времени по часам. Рассматриваются рисунки в задании 2 (с. 30 учебника, часть 1).

– Какое время показывают часы?

– Как будут расположены стрелки часов, когда пройдет 1 час? (Предлагает показать на модели часов.)

– На сколько минут спешат каждые из этих часов, если на самом деле сейчас 7 часов 25 минут?

Затем дети показывают на модели часов различное время (перед тем как начать работу, учитель должен напомнить детям, что расстояние от одного большого деления до другого минутная стрелка проходит за 5 минут.

-Стр. 31 №2. (Дети проговаривают устно).

VI. Физкультминутка

Мы ходить умеем так:

Тик-так, тик-так!

Головой качаем так:

Тик-так, тик-так!

Наклоняемся вот так:

Тик-так! Тик-так!

VII. Закрепление нового материала

Учащиеся разбирают задачу № 3 на с.31 под руководством учителя.

Прочитайте задачу. (Один ученик читает, остальные внимательно следят за ним).

— Ребята, о чем говорится в этой задаче? ( О времени, которое мальчики потратили на игру в шахматы) Что такое партия? Сколько времени заняла первая партия? А вторая? Какой вопрос задачи? Что нужно найти? Это простая или составная задача? (простая, она решается одним действием, почему вы так решили?). С чего мы начинаем решать задачу? (Сначала мы пишем краткую запись). Коллективно составляется краткая запись, затем дети самостоятельно в тетради записывают решение и ответ. После проверки задачи учитель просит учащихся изменить вопрос так, чтобы задача решалась двумя действиями, то есть, чтобы она стала составной.

1 п. – 30 мин

2п. — ? на 10 мин

Измените вопрос, чтобы задачу нельзя было решить одним действием. Как изменится краткая запись? (Добавится фигурная скобка со знаком вопроса.)

1 п. – 30 мин

2п. — ? на 10 мин

30-10=20 (мин) – 2 п.
30+20=50 (мин)-всего

Ответ: 50 минут.

VIII. Самостоятельная работа

В учебнике ребята решают № 5. Вспоминают, как представить двузначное число в виде суммы разрядных слагаемых. (С последующей взаимопроверкой).

IX. Итог урока

— С какими единицами времени познакомились сегодня на уроке (час, минута)

— Сколько минут в одном часе? (60)

— Как называются стрелки на часах?

— Как они движутся?

X. Рефлексия

Сегодня на уроке:

— мне понравилось….

— вызвало затруднения….

— было интересно выполнять….

— что было непонятно на уроке….

XI. Домашнее задание

Выучить правило на с.31, дома еще раз потренироваться показывать время на модели часов, выполнить № 4 на с.31 (решить задачи, составить и решить задачи обратные данной)

Спасибо за урок, дорогие ребята!

Список используемой литературы и источников

1. ФГОС «Школа России». Моро М.И., Бантова М.А. «Математика». Учебник для 2 класса. Часть 1,2. М., Просвещение

2. https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2014/09/18/konspekt-uroka-po-matematike-chas-minuta-opredelenie-vremeni

3. https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2018/03/10/chas-minuta-opredelenie-vremeni-po-chasam-2-klass

4. https://infourok.ru/konspekt-uroka-po-matematike-na-temu-chas-minuta-2-klass-4561749.html

Опубликовано: 09.11.2020

Задачи по математике для 2 класса, 3500 занимательных заданий с ответами и решением

Занимательная математика

Дошкольнику | 1 класс | 2 класс | 3 класс | 4 класс

Упражнения на сложение и вычитание, умножение и деление, логические задачи можно подать совершенно по-разному. Мы знаем, как увлечь ребёнка математикой!

Попробуйте развивающий курс ЛогикЛайк!

Выберите возраст для старта

Дошкольник

1 класс

2 класс

3 класс

Почему дети и родители выбирают ЛогикЛайк?

2 варианта занятий, выбор сложности

Пройдите 3 стартовые главы курса логики – и откройте доступ к разным категориям. Попробуйте «Закономерности», «Логические задачи», «Умный счёт» и другие.
Попробуйте задания разного уровня сложности: «Новичок», «Опытный», «Эксперт».

Начать занятия! Начать занятия!

На LogicLike.com дети учатся рассуждать, развивают логику, способности к математике и познавательный интерес.

Занятия логикой и математикой онлайн

В 1-2 классе особенно важно заинтересовать детей решением задач. Чтобы помочь родителям и учителям, команда опытных методистов и педагогов «ЛогикЛайк» регулярно создает новые уроки, упражнения и тесты.

Наши арифметические, логические и другие задачи повышают интерес к математике и успеваемость в школе.

У нас есть всё, что вы искали

Попробуйте полный курс ЛогикЛайк!

Математические задачи и задания

Задачи на логику

Числовые и предметные закономерности

Фигуры и развёртки, геометрические задачи

Начать курс!

В разминке будут простые вопросы. Постепенно сложность нарастает, открываются новые интересные задания.

Текстовые задачи

Вы можете начать занятия онлайн или просто посмотреть примеры заданий по математике для 2 класса.

Задача 1. Арифметика и логика

Для праздника Профессор купил голубые, красные и жёлтые воздушные шары. Всего — 39 штук. Жёлтых и голубых вместе — 20.
Красных и голубых — 31.

Сколько красных шаров купил Профессор?

Показать ответ

Ответ:

19.

Решение
Использовать все данные можно, но решение окажется длинным, нерациональным.
На самом деле, достаточно от общего количества шаров отнять количество жёлтых и голубых:
39 — 20 = 19.

Взять подсказку

В задаче есть небольшая «ловушка» — лишние данные.

Задача 2. На сравнение количества

На летних каникулах ребята делали фото насекомых. Витя сделал на 8 фото больше, чем Ян, а Сергей на 5 фото больше, чем Витя.

НА сколько больше фото сделал Сергей, чем Ян?

Узнать ответ

Ответ:

13.

Задача 3.

Составная на вычитание или деление

У Профессора на столе лежали упаковки батареек. В каждой по 12 штук. Когда Профессор взял по 9 батареек из каждой упаковки, на столе осталось всего 15 батареек.

Сколько упаковок с батарейками было на столе?

Узнать ответ

Ответ:

Решение
Когда Профессор взял из каждой упаковки по 9 батареек, осталось по 3 батарейки в каждой (12 — 9 = 3).

Вариант 1: Так как всего осталось 15 батареек, то упаковок было 5 (15 — 3 — 3 — 3 — 3 — 3 = 0).

Вариант 2: Можно решать делением: 15 ÷ 3 = 5.

Посмотрите примеры олимпиадных заданий для 2 класса или начинайте занятия.

Попробуйте полный курс занимательной математики и логики от ЛогикЛайк

Гибкий ум и уверенность! Когда дети решают задачи и головоломки на LogicLike, они тренируют «извилины» и развивают смекалку.
Фундамент для IT! Алгоритмы, закономерности, логика — всё это у нас есть. Мы учим работать с информацией, тренируем память и мышление — формируем потенциал успеха в IT-профессиях.
Повышаем успеваемость! Регулярные занятия по 20-30 минут развивают логические и математические способности. Как следствие — высокие оценки в школе, призовые места на олимпиадах и в конкурсах, повышается интерес к учёбе вообще.

Начать занятия!

Примеры в картинках

Восстанови равенство

Чтобы решать задачи, нажмите Начать занятия!

За звездочкой может быть спрятана любая цифра.

Восстанови пример, чтобы равенство стало верным.

Узнать ответ

Ответ:

58-27=31.

Решение
8-7=1
Какое число нужно отнять от 58, чтобы получить 31? Число 27.

Взять подсказку

От какого числа надо отнять 7, чтобы получить 1?

Ребус в таблице

Чтобы решать задачи, нажмите «Начать занятия»!

Одинаковые предметы имеют одинаковую цену.
Число обозначает общую стоимость предметов в столбце или в строке.

Догадайся, какое число нужно указать вместо знака вопроса.

Узнать ответ

Ответ:

180.

Решение
Кукуруза и тыква стоят столько же, сколько кукуруза и три луковицы.
Cледовательно, 3 луковицы стоят столько же, сколько 1 тыква.

Представь теперь, что в таблице вместо 3 луковиц нарисована 1 тыква и увидишь, что в нижней строке тыква и перец вместе стоят 180, а во втором столбике также стоит воображаемая тыква и тот же перец.

Сколько они будут стоить вместе — и считать не нужно.

Взять подсказку

Посмотри внимательно на картинку и определи, какие наборы овощей стоят одинаково.

Можно посмотреть примеры других арифметических ребусов на сложение и вычитание или приступить к занятиям на сайте.

Предложенные задания — часть образовательной платформы LogicLike.

Задачи на площадь и периметр

Задача 4. Ломаная линия

Чтобы решать задачи, нажмите «Начать занятия»!

Отрезки одинакового цвета имеют одинаковую длину. Какая ломаная линия самая длинная?

Узнать ответ

Ответ:

Задача 5. Периметр

Чтобы решать задачи, нажмите «Начать занятия»!

Профессор сделал 3 рамки из проволоки: треугольную, пятиугольную и прямоугольную. И попросил робота Клапана выбрать самую длинную.

Помоги Клапану справиться с задачей.

Узнать ответ

Ответ:

прямоугольник (10+2+10+2=24 см).

Задача 6. Площадь

Чтобы решать задачи, нажмите «Начать занятия»!

Иришка вырезала два одинаковых (по площади) треугольника, два одинаковых круга и два одинаковых четырёхугольника.

На какую фигуру Иришка израсходовала меньше всего бумаги?

Смотреть ответ

Ответ:

Четырёхугольники полностью помещаются и в круг, и в треугольник. Значит, площадь четырёхугольника самая маленькая.

Здесь лишь малая часть заданий, доступных ученикам образовательной платформы ЛогикЛайк.

Какой формат занятий вы ищете?

Если ваша единственная цель — отработка навыков счета, найдите арифметический тренажер в формате журнала или онлайн.

Для кого мы создали и постоянно развиваем сайт LogicLike?

Для тех, кто хочет научиться думать, рассуждать, мыслить нестандартно.
Для детей, чьи родители понимают что математика — это не только примеры и задачи (подробнее — в статье о пользе от занятий математикой).
Для всех, кто хочет научиться принимать решения не только на уроках математики, но и преуспевать в разных областях жизни.

Понравился материал? Поделитесь с друзьями!

Подключайтесь к ЛогикЛайк!

Более 150 000 ребят со всего мира уже занимаются математикой и логикой с удовольствием

Начать обучение! Начать обучение!

Мы научим ребёнка

Рассуждать и принимать решения

Решать любые логические задачи

Мыслить гибко и нестандартно

Другие категории заданий

по возрасту

Математика для детей 5 — 6 лет

Задачи для 1 класса

Задачи для 3 класса

Задачи для 4 класса

Математические программы для учащихся начальной школы

Как это работает

Маленькие дети от природы любознательны, раскованы и могут легко понять очень сложные идеи. Наша учебная программа и методология построены с учетом этого. Наши студенты учатся работать со сложными математическими концепциями и развивают аппетит.

Раннее абстрактное мышление

Учащиеся знакомятся с абстрактными математическими понятиями, в которых неизвестные представлены знакомыми элементами. Они ориентируются на решение проблем, используя рассуждения и логику.

Ментальная гибкость

Учащиеся играют с концепциями, изучая их с разных сторон, и узнают, что проблемы могут иметь несколько путей решения.

Вызов

Учащиеся регулярно сталкиваются с проблемами, решения которых не являются ни очевидными, ни простыми, учатся тому особому ощущению успеха, которое приходит с преодолением трудностей.

Окружающая среда

Ученики погружаются в нашу классную культуру разговоров, дебатов и словесного выражения своих мыслей. Они участвуют в игровой среде, где часто могут физически исследовать математические концепции вместе со своими сверстниками.

I — Ускоренный уровень

Эта учебная программа, часто лучше всего подходящая для новых учащихся, разработана для того, чтобы помочь учащимся достичь того уровня, на котором они находятся, и вывести их на уровень международных стандартов.

II — Продвинутый уровень

Большинство учащихся переходят на этот уровень, где мы предлагаем сложную учебную программу по математике, которая обеспечивает глубокое понимание, навыки рассуждения и уверенность, необходимые для успеха от начальной до средней школы с отличием и далее.

III — Уровень с отличием

В этой строгой учебной программе очень подробно рассматриваются темы, охватываемые на продвинутом уровне, и регулярно используются задачи соревновательного уровня, которые побуждают учащихся расширять границы своих способностей. Многие учащиеся с отличием также предпочитают участвовать в математических олимпиадах.

Конкурсные программы

Успех в математических олимпиадах прежде всего зависит от глубокой и широкой основы, которая лучше всего реализуется на наших основных занятиях. Для тех, кто заинтересован в более целенаправленном изучении конкурсных материалов, мы предлагаем программу выборочных соревнований, которая готовит как новичков, так и опытных участников к полному спектру национальных и международных математических соревнований.

УЗНАТЬ БОЛЬШЕ

2 часа в неделю

Наши занятия проходят от 1,5 до 2 часов в неделю, в зависимости от возраста.

Класс

Атмосфера в классе является ключом к нашей методологии. Классы состоят из 12 учеников и опытного преподавателя, который ведет интерактивный урок.

Домашнее задание

Домашнее задание задается каждую неделю, чтобы закрепить то, чему учили в классе.

Уникальная учебная программа

Наша учебная программа, совершенствовавшаяся в течение двух десятилетий нашей командой талантливых ученых, вдохновлена элитными математическими школами бывшего Советского Союза и адаптирована для образовательной среды США.

A+

Наши ученики испытывают головокружительную уверенность и высокие оценки

21k

21 000 победителей Math Kangaroo по всей стране!

4-й

Каждый 4-й студент RSM, участвовавший в программе, попал в 5% лучших на AMC8!

50 000+

Выпускники RSM поступают в лучшие университеты мира

Просмотреть все результаты

icon.openQuote

Есть одна латинская поговорка: «Non scholae sed vitae discimus», что означает «мы учимся не для школы, а для жизни». Это то, что предлагает RSM: как учиться, как понимать и как применять. Мы не могли просить больше для нашего ребенка.

RSM Родительский

Почему вас называют «русской» математической школой?

«Русский» происходит от нашего подхода, который основан на элитных математических школах бывшего Советского Союза, адаптированных к условиям США. По русской традиции изучение математики является важнейшим средством умственного развития. Мы преподаем математику таким образом, чтобы не только развивать математические способности, но и развивать интеллект и характер.

Откуда взялась ваша учебная программа?

Мы предлагаем одну непрерывную учебную программу, начиная с K-12. Наша учебная программа и методология, совершенствовавшиеся в течение 20 лет нашей командой талантливых ученых, вдохновлены элитными математическими школами бывшего Советского Союза и адаптированы к американской образовательной среде.

Насколько велики ваши классы? Каково соотношение учителей и учеников?

В нашем классе в среднем 12 человек, и с тремя уровнями в каждом классе мы можем гарантировать, что каждый ребенок будет помещен в класс, который будет достаточно сложным. Классы являются неотъемлемой частью нашей методологии и учебной программы, поскольку окружающая среда позволяет учащимся озвучивать и обсуждать свои идеи и знакомит их с различными способами мышления.

Сколько времени длятся ваши занятия? Сможет ли школьник столько сидеть?

Время занятий зависит от возраста ребенка. Начиная с 1,5 часов в детском саду до 2-4 часов в старшей школе. В младших классах мы регулярно смешиваем виды деятельности и работаем с манипуляторами, чтобы поддерживать интерес учащихся.

Сколько домашних заданий я должен ожидать?

Целью домашнего задания является закрепление того, что было изучено в классе. Наши учителя задают ровно столько, чтобы закрепить навыки, полученные в классе. Домашнее задание — отличный инструмент для оценки знаний вашего ребенка. Это должно занять примерно половину продолжительности урока вашего ребенка. Если домашнее задание занимает неоправданно много времени или слишком мало, это может быть красным флажком, указывающим на то, что ваш ребенок не находится на соответствующем уровне.

Кто ваши учителя?

Все наши учителя имеют опыт работы в области математики или смежных областях и страстно увлечены этим предметом. Они также проходят обширную подготовку, чтобы преподавать в соответствии с нашей специальной методологией и учебным планом.

В каком возрасте лучше всего присоединиться?

Требуется много лет, чтобы разработать глубокую математическую основу, а также тип мышления, на построении которого мы сосредоточены. С математикой, как с языком или спортом, чем раньше ребенок начнет, тем лучше. Наши ученики начинают рассуждать абстрактными понятиями в начальной школе, а к средней школе они не только знакомы с основными элементами алгебры, но и могут легко применять их при решении задач.

Какова ваша плата за обучение?

Для получения подробной информации об обучении посетите раздел «обучение» в выбранном вами отделении RSM.

Подходит ли ваша программа для моего ребенка?

Мы разработали несколько уровней для каждого класса специально для того, чтобы способствовать развитию каждого ребенка на основе его знаний и способностей. Мы рекомендуем запланировать бесплатную оценку, так как эти занятия позволяют нам понять потребности каждого ребенка и порекомендовать класс, который лучше всего подходит для него или нее.

Не будет ли ваша программа путать моего ребенка в школе?

Концепции, которые мы рассматриваем, являются фундаментальными, и мы изучаем их глубоко. Дети видят понятия с разных сторон. Это не приводит к путанице, а скорее расширяет возможности учащихся, углубляя их понимание. Поскольку наша учебная программа, как правило, опережает общеобразовательную школу, дети часто сначала изучают понятия в RSM. Как только они освоят их, мы обнаружим, что они могут адаптироваться к любому школьному формату.

Решение Леонарда Эйлера проблемы Кенигсбергского моста

Автор(ы):

Тео Паолетти (Колледж Нью-Джерси)

Примечание редактора

Следующий исследовательский отчет был подготовлен для класса 255 профессора Юдит Кардос по математике, который проводился в Колледже Нью-Джерси. Это был 3-кредитный вводный курс по истории математики. Этот отчет был засчитан в 30% итоговой оценки. Это пример того, какие исторические исследования студенты могут проводить с использованием вторичных источников.

Решение Леонарда Эйлера проблемы Кенигсбергского моста

Königsberg

Наша история начинается в 18 веке в причудливом городке Кенигсберг, Пруссия, на берегу реки Прегель. В 1254 году тевтонские рыцари основали город Кенигсберг под предводительством чешского короля Оттокера II после своего второго крестового похода против пруссаков. В средние века Кенигсберг стал очень важным городом и торговым центром благодаря своему расположению на берегу реки. Произведения искусства восемнадцатого века изображают Кенигсберг как процветающий город, где флотилии кораблей заполняют Прегель, а их торговля обеспечивает комфортный образ жизни как для местных купцов, так и для их семей. Здоровая экономика позволила горожанам построить семь мостов через реку, большинство из которых соединялись с островом Кнайпхоф; их расположение можно увидеть на прилагаемой картинке [источник: MacTutor History of Mathematics Archive].

Поскольку река текла вокруг Кнайпхофа, что буквально означает паб, и другого острова, она делила город на четыре отдельных района. Семь мостов назывались Мост Кузнеца, Соединительный мост, Зеленый мост, Купеческий мост, Деревянный мост, Высокий мост и Медовый мост. Согласно преданиям, жители Кенигсберга проводили воскресные дни, гуляя по своему прекрасному городу. Во время прогулки жители города решили создать для себя игру, их цель состояла в том, чтобы придумать способ, которым они могли бы ходить по городу, пересекая каждый из семи мостов только один раз. Хотя никто из жителей Кенигсберга не мог придумать маршрут, который позволил бы им пересечь каждый из мостов только один раз, но они не могли доказать, что это невозможно. К счастью для них, Кенигсберг находился недалеко от Санкт-Петербурга, где жил знаменитый математик Леонард Эйлер.

Эйлер и проблема моста

Зачем Эйлеру интересоваться проблемой, столь не связанной с областью математики? Зачем такому выдающемуся математику тратить много времени на решение тривиальной задачи вроде проблемы Кенигсбергского моста? Эйлер, очевидно, был занятым человеком, опубликовавшим за свою жизнь более 500 книг и статей. Только в 1775 году он писал в среднем одну математическую статью в неделю, а в течение своей жизни он писал на множество тем, помимо математики, включая механику, оптику, астрономию, навигацию и гидродинамику. Неудивительно, что Эйлер считал эту проблему тривиальной, заявив в письме 1736 года Карлу Леонхарду Готлибу Элеру, мэру Данцига, который попросил его решить проблему [цитируется по Hopkins, 2]:

. . . Таким образом, вы видите, благороднейший сэр, как этот тип решения имеет мало отношения к математике, и я не понимаю, почему вы ожидаете, что его даст математик, а не кто-либо другой, ибо решение основано только на разуме, и его открытие не зависит ни от какого математического принципа. Из-за этого я не знаю, почему даже вопросы, имеющие столь малое отношение к математике, математики решают быстрее, чем другие.

Несмотря на то, что Эйлер нашел проблему тривиальной, он все равно был заинтригован ею. В письме, написанном в том же году Джованни Маринони, итальянскому математику и инженеру, Эйлер сказал [цитируется по Хопкинсу, 2],

Вопрос этот так банален, но показался мне достойным внимания тем, что [ни] геометрии, ни алгебры, ни даже искусства счета не было достаточно для его решения.

Эйлер полагал, что эта проблема связана с темой, которую Готфрид Вильгельм Лейбниц когда-то обсуждал и над которой очень хотел поработать, то, что Лейбниц называл geometria situs , или геометрия положения. Эта так называемая геометрия положения — это то, что теперь называется теорией графов, которую Эйлер вводит и использует при решении этой знаменитой проблемы.

Доказательство Эйлера

26 августа 1735 года Эйлер представил статью, содержащую решение проблемы Кенигсбергского моста. Он обращается как к этой конкретной проблеме, так и к общему решению с любым количеством участков суши и любым количеством мостов. Эта статья под названием «Solutio Problematis ad geometriam situs pertinentis» была позже опубликована в 1741 г. [Hopkins, 2]. Статья Эйлера разделена на двадцать один пронумерованный абзац, и далее будет представлена упрощенная версия абзацев Эйлера.

В первых двух абзацах доказательства Эйлера он вводит проблему Кенигсбергского моста. В параграфе 1 Эйлер заявляет, что, по его мнению, эта проблема касается геометрии, но не той геометрии, которая хорошо известна его современникам и включает в себя измерения и расчеты, а нового вида геометрии, которую Лейбниц называл геометрией положения. Затем в параграфе 2 Эйлер объясняет своей аудитории, как работает проблема Кенигсберга. Эйлер набросал проблему (см. 9).0165 Рисунок Эйлера 1 ), и назвал семь различных мостов: a, b, c, d, e, f и, g. В этом абзаце он формулирует общий вопрос задачи: «Можно ли узнать, можно ли пересечь каждый мост ровно один раз?»

Рисунок Эйлера 1 из «Solutio Problematis ad geometriam situs pertinentis», Eneström 53 [источник: архив MAA Euler] нахождения решения. В параграфе 3 Эйлер говорит читателю, что для решения этой конкретной проблемы он мог бы записать все возможные пути, но этот метод занял бы много времени и не работал бы для более крупных конфигураций с большим количеством мостов и участков суши. Из-за этих проблем Эйлер решил выбрать другой метод решения этой проблемы.

В параграфе 4 он начинает упростить задачу, изобретая удобную систему для представления пересечения моста. Эйлер решает, что вместо того, чтобы использовать строчные буквы для обозначения пересечения моста, он будет писать заглавными буквами, обозначающими массивы суши. Например, ссылаясь на свой Рисунок 1 , AB будет означать путешествие, которое началось с суши A и закончилось в B. Более того, если после путешествия с суши A на B кто-то решит переместиться на сушу D, это будет просто обозначено , АБД. В параграфе 5 Эйлер продолжает свое обсуждение этого процесса, объясняя, что в ABDC, хотя есть четыре заглавных буквы, было пересечено только три моста. Эйлер объясняет, что сколько бы ни было мостов, будет еще одна буква для обозначения необходимого перехода. Из-за этого вся проблема Кенигсбергского моста требовала пересечения семи мостов и, следовательно, восьми заглавных букв.

В параграфе 6 Эйлер продолжает объяснять детали своего метода. Он говорит читателю, что если есть более одного моста, который можно пересечь при переходе с одного участка суши на другой, не имеет значения, какой мост используется. Например, даже если есть два моста, a и b, которые могут привести путешественника из A в B, в системе обозначений Эйлера не имеет значения, какой мост будет взят. В этом абзаце Эйлер также обсуждает конкретную проблему, с которой он имеет дело. Он объясняет, используя свой исходный рисунок, что в задаче Кёнигсберга требуется ровно восемь букв, где пары (A, B) и (A, C) должны стоять рядом друг с другом ровно два раза, независимо от того, какая буква появляется первой. Кроме того, пары (A,D), (B,D) и (C,D) должны встречаться вместе ровно один раз, чтобы путь, пересекающий каждый мост один и только один раз, существовал.

Рисунки Эйлера 2 и 3 из «Solutio Problematis ad geometriam situs pertinentis», Eneström 53 [источник: Архив Эйлера MAA]

последовательность букв, которая удовлетворяет задаче, или ему нужно доказать, что такой последовательности не существует. Прежде чем сделать это для проблемы Кенигсбергского моста, он решает найти правило, чтобы выяснить, существует ли путь для более общей задачи. Он делает это в параграфе 8, рассматривая гораздо более простой пример массивов суши и мостов. Эйлер рисует Рисунок 2 , и он начинает оценивать ситуации, в которых проходит область А. Эйлер утверждает, что если мост а пройден один раз, то путь А либо начинался, либо заканчивался, и поэтому использовался только один раз. Если все мосты a, b и c пройдены один раз, A используется ровно дважды, независимо от того, является ли он начальным или конечным местом. Точно так же, если пять мостов ведут к А, участок суши А будет встречаться на пути ровно три раза. Эйлер утверждает, что «в общем случае, если количество мостов равно любому нечетному числу и если его увеличить на единицу, то количество вхождений A составляет половину результата». Другими словами, если существует нечетное количество мостов, соединяющих A с другими массивами суши, добавьте один к количеству мостов и разделите его на два, чтобы узнать, сколько всего раз A должно быть использовано на пути, где каждый мост используется один и только один раз (т. е. общее количество вхождений A, где A имеет нечетное количество мостов = (количество мостов — 1) / 2 ).

Используя этот факт, Эйлер решает задачу Кенигсбергского моста в параграфе 9. В этом случае, поскольку есть пять мостов, ведущих к А, это должно произойти три раза (см. его рис. 1 выше). Точно так же B, C и D должны появиться дважды, так как все они имеют три моста, ведущих к ним. Следовательно, 3 (для A) + 2 (для B) + 2 (для C) + 2 (для D) = 9, но Эйлер уже заявил, что для семи мостов должно быть только восемь вхождений. Это противоречие! Поэтому по мостам в городе Кёнигсберг нельзя проехать один и только один раз. Конец или нет? В то время как жители Кенигсберга могут быть довольны этим решением, великий математик Леонард Эйлер не был удовлетворен. Эйлер продолжает свое доказательство, чтобы иметь дело с более общими ситуациями.

Обобщение Эйлера

В параграфе 10 Эйлер продолжает свое обсуждение, отмечая, что если ситуация включает все массивы суши с нечетным числом мостов, то можно сказать, можно ли совершить путешествие по каждому мосту только один раз. Эйлер утверждает, что если сумма количества раз, которое должна появиться каждая буква, на единицу больше, чем общее количество мостов, путешествие можно совершить. Однако, если количество вхождений более чем на один больше, чем количество мостов, путешествие невозможно, как в задаче о Кенигсбергском мосту. Это потому, что правило, которое Эйлер дает для нечетного числа мостов, используя свой рисунок 2, верно для общей ситуации, есть ли только один другой массив суши или более одного.

В абзацах 11 и 12 Эйлер рассматривает ситуацию, когда к региону прикреплено четное число мостов. Эта ситуация не возникает в кенигсбергской задаче и поэтому до сих пор игнорировалась. В ситуации с массивом суши X с четным числом мостов могут возникнуть два случая. Первый случай, когда X является отправной точкой путешествия. В этом случае X появится дважды, один раз как начальная точка и еще раз как конечная точка. В другом случае X не является отправной точкой. Если бы это произошло, X появился бы только один раз, так как путешествие должно было бы начинаться через один мост и немедленно выходить через единственный другой доступный мост. Точно так же, если к X подключено четыре моста, количество вхождений X зависит от того, является ли он начальной точкой. Если путешествие начинается в X, оно должно появиться три раза, но если оно не начинается в X, оно появится только дважды. Таким образом, в общем, если к X подключено четное количество мостов, то, если путешествие не начинается в X, X появляется в половине случаев как мосты (т.е. Вхождения X, где X четное, а не начальная точка = (# мостов) / 2). Если путешествие действительно начинается в X, то X появляется в половине случаев в виде мостов плюс один (т. е. число вхождений X, где X четно, а начальная точка = ((количество мостов) / 2) + 1).

В абзацах с 13 по 15 Эйлер объясняет, как выяснить, существует ли путь, использующий каждый мост один и только один раз, и представляет свой собственный пример, чтобы показать, как это работает. Эйлер сначала объясняет свой простой шестишаговый метод решения любой общей ситуации с массивами суши, разделенными реками и соединенными мостами. Первый Эйлер обозначает каждый массив суши с заглавной буквы. Во-вторых, он берет общее количество мостов, добавляет один и записывает это над таблицей, которую собирается составить. Далее он берет заглавные буквы, ставит их в столбик, а рядом пишет количество мостов. В-четвертых, он указывает звездочками участки суши, на которых имеется четное число мостов. Затем рядом с каждым четным числом он пишет ½ числа, а рядом с каждым нечетным числом ставит ½ числа плюс один. Наконец, Эйлер складывает числа, записанные в крайнем правом столбце, и если сумма на единицу меньше или равна количеству мостов плюс один, то требуемое путешествие возможно. Однако важно отметить, что если сумма на один меньше, чем количество мостов плюс один, то путешествие должно начинаться с одного из участков суши, отмеченных звездочкой. Если сумма равна количеству мостов плюс один, путешествие должно начинаться в регионе, не отмеченном звездочкой.

Примеры

Использование задачи Конигсберга в качестве своего первого примера Эйлера показывает следующее:

Количество мостов = 7, количество мостов плюс один = 8

Региональные мосты. 2

C 3 2

D 3 2

Однако 3 + 2 + 2 + 2 = 9, что больше 8 невозможно, поэтому путешествие невозможно.

Поскольку этот пример довольно простой, Эйлер решает создать собственную ситуацию с двумя островами, четырьмя реками и пятнадцатью мостами. Ситуацию, созданную Эйлером, можно увидеть на его Рис. 3 выше. Теперь Эйлер пытается выяснить, существует ли путь, позволяющий пройти по каждому мосту один и только один раз. Эйлер следует тем же шагам, что и выше, называя пять различных областей заглавными буквами и создавая таблицу, чтобы проверить это, если это возможно, например:0005

Количество мостов = 15, количество мостов плюс один = 16

Область мостов.0005

E 5 3

F*6 3

Кроме . Поскольку сумма равна количеству мостов плюс один, путешествие должно начинаться либо в D, либо в E. Теперь, когда Эйлер знает, что путешествие возможно, все, что ему нужно сделать, это указать, каким будет путь. Эйлер выбирает путь EaFbBcFdAeFfCgAhCiDkAmenApBoElD, где он указывает, какие мосты пересекаются между буквами, представляющими массивы суши. Хотя эта информация является лишней, поскольку точный мост не имеет значения для понимания того, что путешествие возможно, она полезна при выборе пути. Это хороший пример, показывающий метод, которым воспользовался бы Эйлер при решении любой задачи такого рода.

Выводы Эйлера

В следующих нескольких абзацах Эйлер предлагает еще один способ выяснить, можно ли совершить путешествие по любому набору участков суши, мостов и рек. В параграфе 16 Эйлер указывает, что сумма чисел, перечисленных непосредственно справа от суши, в сумме в два раза превышает общее количество мостов. Позже этот факт станет известен как лемма о рукопожатии. По сути, лемма о рукопожатии утверждает, что каждый мост считается дважды, по одному разу для каждого участка суши, к которому он прикреплен. В параграфе 17 Эйлер продолжает утверждать, что сумма всех мостов, ведущих в каждую область, четна, поскольку половина этого числа равна общему количеству мостов. Однако это невозможно, если есть нечетное количество участков суши с нечетным количеством мостов. Таким образом, Эйлер доказывает, что если есть нечетные числа, связанные с массивами суши, то должно быть четное количество этих массивов суши.

Однако этого недостаточно, чтобы доказать, когда существует путь, на котором каждый мост используется один и только один раз, поскольку в задаче о Кенигсбергском мосту есть четное количество массивов суши с нечетным количеством мостов, ведущих к ним. Из-за этого Эйлер добавляет дополнительные ограничения в параграфах 18 и 19. Эйлер объясняет, что, поскольку общее количество мостов, прикрепленных к каждому массиву суши, равно удвоенному количеству мостов (как видно из леммы о рукопожатии), поэтому, если вы добавьте два к этой сумме, а затем разделите на два, вы получите общее количество мостов плюс один. Этот номер такой же, как тот, который использовался ранее, и используется, чтобы сказать, возможен ли путь. Если все числа четные, то сумма в третьем столбце таблицы будет на единицу меньше, чем общее количество мостов плюс один.

Затем Эйлер объясняет, что очевидно, что если есть два массива суши с нечетным числом мостов, то путешествие всегда будет возможно, если путешествие начинается в одном из регионов с нечетным числом мостов. Это потому, что если четные числа разделить пополам, а каждое из нечетных увеличить на единицу и разделить пополам, то сумма этих половинок будет на единицу больше, чем общее количество мостов. Однако если имеется четыре или более массивов суши с нечетным числом мостов, то пути быть не может. Это потому, что сумма половин нечетных чисел плюс один вместе с суммой всех половинок четных чисел сделает сумму третьего столбца больше, чем общее количество мостов плюс один. Следовательно, Эйлер только что доказал, что может быть не более двух участков суши с нечетным числом мостов.

После этого Эйлер может сделать выводы относительно более общих форм проблемы Кенигсбергского моста. В параграфе 20 Эйлер дает три рекомендации, которые можно использовать, чтобы выяснить, существует ли путь, использующий каждый мост один и только один раз. Во-первых, он утверждал, что если существует более двух участков суши с нечетным числом мостов, то такое путешествие невозможно. Во-вторых, если количество мостов нечетно ровно для двух участков суши, то путешествие возможно, если оно начинается на одном из двух участков суши с нечетными номерами. Наконец, Эйлер утверждает, что если нет регионов с нечетным количеством суши, то путешествие можно совершить, начав с любого региона. Установив эти три факта, Эйлер завершает свое доказательство параграфом 21, в котором просто говорится, что после того, как кто-то выяснил, что путь существует, он все равно должен приложить усилия, чтобы написать работающий путь. Эйлер считал, что метод достижения этого тривиален, и не хотел тратить на него много времени. Однако Эйлер действительно предлагал сконцентрироваться на том, как добраться с одного массива суши на другой, вместо того, чтобы сначала концентрироваться на конкретных мостах.

Доказательство Эйлера и теория графов

Читая оригинальное доказательство Эйлера, можно обнаружить относительно простую и понятную математическую работу; однако не фактическое доказательство, а промежуточные шаги делают эту проблему известной. Великое нововведение Эйлера заключалось в том, что он рассматривал проблему Кенигсбергского моста абстрактно, используя линии и буквы для представления более крупной ситуации с массивами суши и мостами. Он использовал заглавные буквы для обозначения массивов суши и строчные буквы для обозначения мостов. Это был совершенно новый тип мышления для того времени, и в своей статье Эйлер случайно запустил новую область математики, названную теорией графов, где граф — это просто набор вершин и ребер. Сегодня путь в графе, который содержит каждое ребро графа один и только один раз, называется эйлеровым путем из-за этой проблемы. С тех пор, как Эйлер решил эту проблему, и до сегодняшнего дня теория графов стала важным разделом математики, лежащим в основе наших представлений о сетях.

Проблема с Кенигсбергским мостом — вот почему Биггс заявляет [Biggs, 1],

Истоки теории графов скромны, даже легкомысленны… Проблемы, которые привели к развитию теории графов, часто были не более чем головоломками, предназначенными для проверки изобретательности, а не для стимулирования воображения. Но, несмотря на кажущуюся тривиальность таких головоломок, они привлекли внимание математиков, в результате чего теория графов стала предметом, богатым теоретическими результатами удивительного разнообразия и глубины.

Как следует из заявления Биггса, эта проблема настолько важна, что упоминается в первой главе каждой книги по теории графов, которую просматривали в библиотеке.

После открытия Эйлера (или изобретения, в зависимости от того, как на это смотрит читатель) теория графов бурно развивалась благодаря значительным вкладам, внесенным такими великими математиками, как Огюстен Коши, Уильям Гамильтон, Артур Кэли, Густав Кирхгоф и Джордж Полиа. Все эти люди внесли свой вклад в раскрытие «практически всего, что известно о больших, но упорядоченных графах, таких как решетка, образованная атомами в кристалле, или гексагональная решетка, созданная пчелами в улье [9].0157 ScienceWeek, 2]. Другие известные задачи теории графов включают в себя поиск способа выхода из лабиринта или лабиринта или поиск порядка ходов коня на шахматной доске, при котором каждое поле попадает только один раз, а конь возвращается на место, с которого он начал. [ ScienceWeek, 2]. Некоторые другие проблемы теории графов оставались нерешенными на протяжении столетий [ ScienceWeek, 2].

Судьба Кенигсберга

В то время как теория графов расцвела после того, как Эйлер решил проблему Кенигсбергского моста, у города Кенигсберга была совсем другая судьба. В 1875 году жители Кенигсберга решили построить новый мост между узлами B и C, увеличив количество соединений этих двух массивов суши до четырех. Это означало, что только два массива суши имели нечетное количество связей, что давало довольно простое решение проблемы. Создание дополнительного моста могло быть или не быть подсознательно вызвано желанием найти путь, чтобы решить известную проблему города.

Однако новый мост не решил всех будущих проблем Кенигсберга, так как город не ожидал еще в девятнадцатом веке «печальной и истерзанной войной судьбы, которая ждала его как место проведения одного из самых ожесточенных сражений Второй мировой войны. ” В течение четырех дней августа 1944 года британские бомбардировщики уничтожили как старый город, так и северную часть Кенигсберга. В январе и феврале 1945 года район Кенигсберга окружен русскими войсками. Немецкое гражданское население начинает эвакуацию из города, но слишком поздно. Тысячи людей гибнут, пытаясь бежать на лодках и пешком по ледяным водам Куршского залива. 19 апреля45 года Красная Армия захватывает Кенигсберг, около девяноста процентов старого города лежат в руинах.

Текущая карта улиц Кенигсберга представлена ниже [источник: MacTutor History of Mathematics Archive]. Эта карта показывает, насколько сильно изменился город. Многие мосты были разрушены во время бомбардировок, и город больше не может задавать тот же интригующий вопрос, что и в восемнадцатом веке. Наряду с принципиально иной планировкой город Кенигсберг носит новое название Калининград, а река Прегель переименована в Преголю [Гопкинс, 6]. В то время как судьба Кенигсберга ужасна, старая кофейная проблема горожан пройти каждый из своих старых семи мостов ровно по одному разу привела к формированию совершенно нового раздела математики, теории графов.

Ссылки

Биггс, Норман Л., Э. К. Ллойд и Робин Дж. Уилсон. Теория графов: 1736-1936 . Оксфорд: Clarendon Press, 1976.

Данэм, Уильям. Эйлер: Повелитель всех нас . Вашингтон: Математическая ассоциация Америки, 1999.

Эйлер, Леонхард, «Solutio Problematis ad Geometriam situs pertinentis» (1741), Eneström 53, MAA Euler Archive.

«История математики: о Леонарде Эйлере (1707–1783)». ScienceWeek (2003 г. ). 6 ноября 2005 г.

Хопкинс, Брайан и Робин Уилсон. «Правда о Кенигсберге». College Mathematics Journal (2004), 35, 198–207.

«Кенигсбергские мосты». Архив истории математики MacTutor:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Miscellaneous/other_links/Konigsberg.html

Примечание редактора: Эта статья была первоначально опубликована в Конвергенция, Том 3 (2006 г.).

Тео Паолетти (Колледж Нью-Джерси), «Решение Леонардом Эйлером проблемы Кенигсбергского моста», Convergence (май 2011 г.)

Математика / Учебный план средней школы

Уровень	4 класс	5 класс	6 класс	7 класс	8 класс	9 класс	10 класс	11 класс	12 класс
М4+	Элементарная математика 5-го класса	Высшая математика 6	Продвинутая предварительная алгебра	Продвинутая алгебра 1	Геометрия с отличием	Алгебра с отличием 2	Награды за предварительное исчисление с помощью тригонометрии	AP Исчисление BC AP Исчисление AB Почетное исчисление Факультативы по математике
М4	Элементарная математика 4 класса	Элементарная математика 5-го класса	Высшая математика 6	Продвинутая предварительная алгебра	Продвинутая алгебра 1	Геометрия с отличием	Алгебра с отличием 2	Награды за предварительное исчисление с помощью тригонометрии	AP Исчисление BC AP Исчисление AB Вычисление с отличием Математика по выбору
М3	Элементарная математика 4 класса	Элементарная математика 5-го класса	Академическая математика 6	Академическая предварительная алгебра	Академическая алгебра 1	Академическая геометрия	Академическая алгебра 2	Академическое предварительное исчисление с тригонометрией	Основы исчисления (академический)
М3	Элементарная математика 4 класса	Элементарная математика 5-го класса	Академическая математика 6	Академическая предварительная алгебра	Академическая алгебра 1	Академическая геометрия	Академическая алгебра 2	Академическая алгебра 3	Награды за предварительное исчисление с помощью тригонометрии Тригонометрия с функциями Математика по выбору
М3						Академическая алгебра 1	Академическая геометрия	Академическая алгебра 2	Предварительное исчисление с отличием с тригонометрией Тригонометрия с функциями Математика по выбору
М2			Основы математики 6	Основы Предварительная алгебра	Основы алгебры 1 (часть 1)	Основы алгебры 1 (часть 2)	Основы геометрии	Основы алгебры 2, часть 1	Основы алгебры 2, часть 2

Математика для шестого класса

Полный год/полная занятость

Основы курса 2 (6M2)

Учащиеся, зачисленные на этот курс, будут проходить программу The Big Ideas Math, которая соответствует всем стандартам 6-го класса, изложенным в основных стандартах штата Пенсильвания. Учащиеся получат прочную основу для умножения и деления десятичных и дробных чисел, понимания смысла чисел с целыми и целыми числами, площади двумерных фигур, площади поверхности и объема призмы, а также работы с выражениями, уравнениями и неравенствами, которые являются необходимые понятия, необходимые для успеха в предварительной алгебре. В программе используется сбалансированный подход к обучению, основанный на исследованиях, который включает как обучение на основе запросов, так и уроки прямого обучения.

Академический курс 2 (6M3)

Учащиеся, зачисленные на этот курс, будут проходить программу The Big Ideas Math, которая соответствует всем стандартам 6-го класса, изложенным в основных стандартах PA. Учащиеся получат прочную основу для умножения и деления десятичных и дробных чисел, понимания смысла чисел с целыми и целыми числами, площади двумерных фигур, площади поверхности и объема призмы, а также работы с выражениями, уравнениями и неравенствами, которые являются необходимые понятия, необходимые для успеха в предварительной алгебре. Этот курс заложит основу исчисления, связанного с изменением и тем, как изменение одной величины влияет на другие величины: нахождение среднего значения, медианы, моды и диапазона данных, создание и интерпретация столбцов, линий, кругов и гистограмм, написание, сравнение и решение проблем с использованием соотношений, ставок и процентов, определение вероятности с использованием результатов, древовидных диаграмм и принципов подсчета.

Программа использует сбалансированный подход к обучению, основанный на исследованиях, который включает как обучение на основе запросов, так и уроки прямого обучения.

Продвинутый курс 2 (6M4)

Темп курса также будет быстрее академического курса. Наконец, оценки будут разработаны для измерения усвоения учащимися материала на уровне синтеза и применения.

Математика седьмого класса — предварительная алгебра

Полный год/полная занятость

Основы предварительной алгебры (7M2)

Учащиеся, зачисленные на этот курс, будут обучаться с использованием программы Big Ideas Math, которая соответствует всем стандартам 7-го класса, изложенным в основных стандартах штата Пенсильвания. В этой программе используется сбалансированный подход к обучению, основанный на исследованиях, который включает как обучение на основе запросов, так и уроки прямого обучения. Эта программа также знакомит учащихся с очень мотивирующими и актуальными проблемами, которые связаны с подготовкой к карьере и подготовкой к поступлению в колледж. Студенты получат прочную основу в алгебраических понятиях.

Параметр меньшего класса используется для обеспечения более индивидуального обучения и исправления. Дополнительное внимание уделяется помощи учащимся в изучении более абстрактных тем. Цель этого курса — удовлетворить потребности студентов, нуждающихся в дополнительной помощи, и предоставить им возможность вернуться к академической карьере. В седьмом классе Pre-Algebra учащиеся развивают понятия, необходимые для подготовки к алгебре 1. Учебная программа Pre-Algebra обеспечивает прочную основу в алгебре, а также готовит учащихся к будущему изучению в областях геометрии, вероятности и анализа данных. Учебная программа уделяет большое внимание алгебраическим понятиям и рассуждениям, решению уравнений и неравенств, а также геометрии.

Академическая предварительная алгебра (7M3)

Учащиеся, зачисленные на этот курс, будут обучаться с использованием программы Big Ideas Math, которая охватывает все стандарты 7-го класса, изложенные в основных стандартах PA. В этой программе используется сбалансированный подход к обучению, основанный на исследованиях, который включает как обучение на основе запросов, так и уроки прямого обучения. Эта программа также знакомит учащихся с очень мотивирующими и актуальными проблемами, которые связаны с подготовкой к карьере и подготовкой к поступлению в колледж. Студенты получат прочную основу в алгебраических понятиях.

Акцент будет сделан на темы, которые считаются основой курса академической алгебры 1. В седьмом классе Pre-Algebra учащиеся развивают понятия, необходимые для подготовки к алгебре 1. Учебная программа Pre-Algebra обеспечивает прочную основу в алгебре, а также готовит учащихся к будущему изучению в областях геометрии, вероятности и анализа данных. Учебная программа уделяет большое внимание алгебраическим понятиям и рассуждениям, решению уравнений и неравенств, а также геометрии.

Advanced Pre-Algebra (7M4)

Этот курс предназначен для перехода к продвинутому курсу алгебры 1, а затем к последовательности с отличием и продвинутому уровню по математике на уровне средней школы. Следовательно, содержание курса будет содержательным и более строгим, чем академический курс. Темп курса также будет значительно быстрее, чем академический курс. Также будет преподаваться дополнительный контент (радикалы, целые показатели степени, решение линейных уравнений и неравенств, а также продвинутая работа с пропорциональными отношениями и вероятностями). Наконец, оценки будут разработаны для измерения усвоения учащимися материала на уровне синтеза и применения.

Математика для восьмого класса

Полный год/полная занятость

Основы алгебры 1 (8M2)

Учащиеся, зачисленные на этот курс, будут использовать программу «Основы алгебры 1», которая охватывает все содержание, изложенное в PA Core Стандарты. Эта программа использует основанный на исследованиях подход к обучению, который включает как обучение на основе запросов, так и уроки прямого обучения. Эта программа знакомит учащихся с основами алгебры 1.

: Параметр меньшего класса используется для обеспечения более индивидуального обучения и исправления. Дополнительное внимание уделяется помощи учащимся в изучении более абстрактных тем. Целью этого курса является удовлетворение потребностей студентов, которым требуется дополнительная помощь. Содержание Алгебры 1 организовано вокруг семейств функций с особым акцентом на линейные функции. Когда учащиеся узнают о каждом семействе функций, они научатся представлять их несколькими способами. Они также научатся моделировать ситуации из реальной жизни, используя функции для решения проблем, возникающих в этих ситуациях.

Академическая алгебра 1 (8M3)

Академическая алгебра 1 — это первый формально структурированный курс академической последовательности. Содержание организовано вокруг семейств функций с особым акцентом на линейные и квадратичные функции, а также на представление функций различными способами посредством обучения на основе запросов в реальных ситуациях. В дополнение к содержанию алгебры курс предлагает уроки по вероятности и анализу данных, а также многочисленные примеры и упражнения, связанные с математическими связями с геометрией. Алгебра 1 предоставляет инструкции и практику по стандартным тестовым вопросам в различных форматах, включая множественный выбор, краткий ответ и расширенный ответ.

Продвинутый курс алгебры 1 (8M4)

Продвинутый курс алгебры 1 — это первый официально структурированный курс последовательности с отличием. Содержание организовано вокруг семейств функций с особым акцентом на линейные и квадратичные функции, а также на представление функций различными способами посредством обучения на основе запросов в реальных ситуациях. В дополнение к содержанию алгебры курс предлагает уроки по вероятности и анализу данных, а также многочисленные примеры и упражнения, связанные с математическими связями с геометрией. Алгебра 1 предоставляет инструкции и практику по стандартным тестовым вопросам в различных форматах, включая множественный выбор, краткий ответ и расширенный ответ.

Этот курс предназначен для подготовки к курсу геометрии с отличием, а затем к последовательности с отличием и продвинутому уровню по математике на уровне средней школы. Следовательно, содержание курса будет содержательным и более строгим, чем академический курс. Темп курса также будет значительно быстрее, чем академический курс. Наконец, оценки будут разработаны для измерения усвоения учащимися материала на уровне синтеза и применения.

Геометрия с отличием

Это строгий курс для учащихся, которые прошли курс Advanced Algebra 1 в 6, 7 или 8 классах. Это второй год последовательности по математике с отличием. В этом курсе учащиеся будут развивать навыки мышления и решения проблем в областях конгруэнтности, подобия, свойств линий, свойств треугольников, свойств четырехугольников и свойств окружностей. Курс также будет включать в себя работу с преобразованиями, периметром, площадью, окружностью, площадью поверхности и объемом для решения реальных задач. Помимо содержания геометрии, этот курс включает в себя многочисленные примеры и упражнения, связанные с алгеброй и тригонометрией. Honors Geometry предлагает обучение на основе запросов и практику на стандартизированных тестовых вопросах в различных форматах, включая множественный выбор, краткий ответ и расширенный ответ. Технологическая поддержка будет использоваться как для изучения геометрии, так и для подготовки к стандартизированным тестам.

‎Фотоматематика в App Store

Описание

Получите математическое приложение, которое поможет вам! Photomath — самая полезная в мире платформа для изучения математики, на которой миллионы учащихся всех уровней ежемесячно проверяют домашние задания, готовятся к тестам и совершают новые математические открытия.

Основные этапы решения и объяснения абсолютно БЕСПЛАТНЫ, но если вы готовы к совершенно новому миру обучения, Photomath Plus предоставляет вам доступ к: задачи на слова и геометрию! Учитесь в своем собственном темпе с материалами, одобренными одними из лучших учителей математики в мире.

МУЛЬТИМЕДИЙНОЕ ОБУЧЕНИЕ
С подробными анимациями искусственного интеллекта и словесными пояснениями, которые помогут вам визуализировать и понять математику так, как это подходит для вашего стиля обучения.

MATH INSIGHTS
Повысьте уровень своего обучения, понимая, «как» и «почему» решаются математические задачи, или получайте напоминания о забытых терминах и понятиях с помощью нашего встроенного глоссария.

Итак, изучаете ли вы основы арифметики или занимаетесь сложной геометрией, мы поможем вам в этом вместе. Один шаг за раз.

ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
• Бесплатные пошаговые объяснения
• Инструкции по решению задач в формате Word
• Интерактивные графики
• Видеообучение
• Несколько методов решения
• Усовершенствованный научный калькулятор Вещественные и комплексные числа
— Сравнение действительных чисел
— Идентификация чисел
ФУНКЦИИ
— Графики функций (линейные, квадратичные, экспоненциальные и т. д.)
— Свойства функций (область определения, асимптоты и т. д.)
АЛГЕБРА
— Упрощение, разложение на множители и вычисление алгебраических выражений
— Упрощение алгебраических дробей и разложение на неполные дроби
— Решение уравнений и неравенств (линейных, квадратных, экспоненциальных и т. д.)
— Системы уравнений
— Полиномиальное деление
— Биномиальная теорема , Факториалы
— Комбинации, перестановки и вариации
— Матрицы и матричные уравнения
— Детерминанты
— Математическая индукция
ТРИГОНОМЕТРИЯ И УГЛЫ
— Преобразование углов между градусами и радианами
— Преобразование углов между десятичной и DMS формой
— Период тригонометрических функций
— Проверка тригонометрических тождеств
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
— Идентификация последовательностей
— Ряд
— Рекурсивная и явная форма
— Тесты на сходимость 9017
— Пределы
— Производные
— Интегралы
— Площадь под кривой
— Идентификация коник
— Вращение коник
— Параметризация кривых
— Идентификация квадратных поверхностей
— Дифференциальные уравнения
— Касательные линии
— Преобразование между координатами

«Ответ — это не все, что вы получите от этого бесплатного приложения. Photomath также предоставляет пошаговое руководство по решению каждой проблемы». — Huffington Post

«Пошаговое руководство полезно для учащихся, у которых нет доступа к репетитору и у которых возникают проблемы с решением математических задач». — Forbes

«Вирусное видео о новом приложении выглядит как воплощение мечты для всех, у кого проблемы с математикой». — Время
___________________________________________

• Оплата будет снята с вашей учетной записи Apple ID при подтверждении покупки.
• Подписка продлевается автоматически, если она не будет отменена по крайней мере за 24 часа до окончания текущего расчетного периода.
• С вашего счета будет взиматься плата за продление в течение 24 часов до окончания текущего периода.
• Управляйте подпиской или отмените ее в настройках своей учетной записи в App Store после покупки.
• Предложения и цены могут быть изменены без предварительного уведомления.

Предложения или вопросы? Напишите нам по адресу support@photomath. com

Веб-сайт: www.photomath.com
TikTok: @photomath
Instagram: @photomath
Facebook: @Photomathapp
Twitter: @Photomath

Условия использования: https://photomath.com /en/termsofuse
Политика конфиденциальности: https://photomath.com/en/privacypolicy

25 сент. 2022 г.

Версия 8.12.0

Воздух становится немного прохладнее, или это просто полярные координаты, которые мы теперь можем помочь вам преобразовать? Когда вы закончите заказывать пару осенних ботинок, мы научим вас, как проверить, является ли заказанная пара решением уравнения! И хотя мы не можем выпустить новый альбом Тейлор Свифт быстрее, теперь мы можем помочь вам использовать расширение Тейлора. В приложении вас ждет так много *НОВОГО* — нам не терпится увидеть, чему вы научитесь!

Рейтинги и обзоры

16,5 тыс. оценок

Спасатель жизни

Я пошел на Photomath не потому, что это был короткий путь, а потому, что я мог учиться. Мне нужно было делать домашнее задание, и я не понимал его. Через полтора часа я обратился к своему последнему средству: Photomath. Я узнал ответ, и у него было четкое объяснение того, как они это сделали! После этого он продвинул мои математические знания. Это чудотворец. Если вы столкнулись с проблемой, которую камера не может решить, и вы знаете, как это сделать, но это занимает много времени; Фотомат в помощь! Калькулятор может решить так много уравнений и может писать дроби, индексы, алгебру и дает вам правильный ответ. Изменения в математике. Я рекомендую это студентам и людям, которым нужна небольшая помощь с математикой в их работе. Теперь я знаю вещи, предназначенные для людей на годы старше меня! Обязательное образовательное приложение: лучше, чем у лучшего учителя математики в мире: мистера Хегарти. Академия Хана не могла победить это.

Здравствуйте! Большое спасибо за то, что поделились с нами своими отзывами, мы ценим это! В настоящее время мы формируем пул пользователей, которые считают наше приложение особенно полезным, поскольку мы часто получаем запросы на отзывы от СМИ. Хотели бы вы присоединиться к этому пулу и в конечном итоге получить шанс дать показания для прессы? Напишите нам по адресу [email protected], если у вас есть какие-либо вопросы или если вы рады принять участие.

Фантастика, но одно 🏆

Мне очень понравилось это приложение, оно очень помогло мне в сложных вопросах, которые я сначала не понимал, а теперь понимаю! Но только одна проблема, которая не так уж важна для таких, как я, но для других, вероятно, будет! Если вы зададите простой вопрос, такой как умножение, он просто даст вам ответ, а не то, как это сделать, и единственный способ узнать, как легко ответить на вопрос, — это заплатить за 7-дневную пробную версию, а затем вы будете платить ежемесячно. Кроме того, это очень интересное и умное приложение, и теперь я буду его часто использовать! Спасибо, что отметили создателей этого приложения!

Цена за полное объяснение слишком высока

Раньше мне нравилось это приложение, математика раньше вызывала у меня много беспокойства, но Photomath очень помог мне с домашним заданием, особенно потому, что объяснял основные принципы и в целом улучшал мое понимание математики. Однако теперь вы больше не можете получить все объяснения бесплатно. Это означает, что я могу видеть только определенные шаги по решению проблемы, но не то, как использовать первые принципы для ее решения. Чтобы получить доступ к (раньше бесплатным) подробным объяснениям, я должен платить около 10 фунтов стерлингов в месяц. Я понимаю, что приложению нужен доход, чтобы продолжать работать, но цена слишком высока для того, что большинство людей использует время от времени раз в неделю для выполнения домашних заданий или случайных проблем. Особенно когда 3 месяца в году я не в школе занимаюсь математикой. Теперь выхожу из фотомата с кратким ответом и не менее запутанным, чем раньше 😔

Мы стараемся сделать Photomath бесплатным, насколько это возможно, основные вещи, такие как решение задач на основе уравнений, с пошаговыми инструкциями. Но по мере того, как мы растем как компания и добавляем больше функций, таких как учебные пособия по искусственному интеллекту, контекстные подсказки, решения текстовых задач в настоящее время платные. Свяжитесь с нами по адресу [email protected], если у вас есть другие вопросы

Разработчик, Photomath, Inc., указал, что политика конфиденциальности приложения может включать обработку данных, как описано ниже. Для получения дополнительной информации см. политику конфиденциальности разработчика.

Данные, не связанные с вами

Могут быть собраны следующие данные, но они не связаны с вашей личностью:

Покупки
Расположение
Контактная информация
Пользовательский контент
Идентификаторы
Данные об использовании
Диагностика
Другие данные

Методы обеспечения конфиденциальности могут различаться в зависимости, например, от используемых вами функций или вашего возраста. Узнать больше

Информация

Провайдер: Фотомат, ООО
Размер: 32,5 МБ
Категория: Образование
Возрастной рейтинг: 4+
Цена: Бесплатно

Сайт разработчика
Тех. поддержка
Политика конфиденциальности

Раздел учебной программы / Описание курсов

Курсы, предлагаемые в некоторых школах: компактная математика 7–8, количественное мышление, статистика через социальную справедливость, статистика AP, CSCC Int Coll Bridge, курсы IB.
Учащиеся могут пройти несколько курсов по математике 4 (предварительное исчисление, расширенное количественное мышление и т. д.).
Учащиеся могут проходить курсы CCP в любое время после сдачи вступительного экзамена в школу. В 2022–2023 учебном году курс
«Финансовая грамотность по математике» будет заменен курсом «Расширенное количественное мышление».

Математика 6
Предварительное условие: Успешное завершение MATH 5.

Учебное время должно быть сосредоточено на четырех критических областях:

подключение отношения и скорости к целочисленному умножению и делению и использование понятий отношения и скорости для решения задач;
, дополняющее понимание деления дробей и расширяющее понятие числа на систему рациональных чисел, включающую отрицательные числа;
написание, интерпретация и использование выражений и уравнений;
развивает понимание статистического мышления. Учащиеся в математике 6 также строят свою работу с площадью, рассуждая о взаимосвязях между формами, чтобы определить площадь, площадь поверхности и объем.

Математика 7
Предварительные условия: Успешное завершение МАТЕМАТИКА 6.

Учебное время должно быть сосредоточено на четырех важнейших областях:

развитие понимания и применение пропорциональных отношений;
развитие понимания операций с рациональными числами и работы с выражениями и линейными уравнениями;
решение задач, связанных с чертежами в масштабе и неформальными геометрическими построениями, а также работа с двух- и трехмерными формами для решения задач, связанных с площадью, площадью поверхности и объемом;
делает выводы о популяциях на основе выборок.

Математика 8
Предпосылки: Успешное завершение курса МАТЕМАТИКА 7. Этот курс также можно изучать одновременно с курсом МАТЕМАТИКА 7 при поступлении в программу ускоренного обучения математике средней школы.

Учебное время должно быть сосредоточено на трех важнейших областях:

формулирование и рассуждение о выражениях и уравнениях, включая моделирование связи двумерных данных с линейным уравнением и решение линейных уравнений и систем линейных уравнений;
понимание концепции функции и использование функций для описания количественных отношений;
анализ двух- и трехмерного пространства и фигур с использованием расстояния, угла, подобия и конгруэнтности, а также понимание и применение теоремы Пифагора.

Compacted Math 7-8

Курс 8 класса, пройденный в 7 классе.

Этот курс включает стандарты по математике 7 и математике 8, объединенные в один курс. В соответствии с критическими областями внимания темы включают рациональные числа, показатели степени, пропорциональность, линейные отношения, выборку и вывод, а также геометрические фигуры.

Алгебра 1
1 Кредит по математике
8-9 классы
Предварительные требования: Математика 8

Учащиеся будут изучать отношения между величинами, рассуждения с помощью уравнений, линейные и экспоненциальные отношения, описательную статистику, квадратичные функции и моделирование. Студенты будут создавать и решать уравнения, линейные неравенства и системы уравнений, включающие квадратные уравнения. Они будут использовать такие технологии, как Desmos, чтобы помочь в решении проблем. Они будут использовать модель GAISE в контексте реальных приложений и будут интерпретировать арифметические последовательности как линейные функции, а геометрические последовательности как экспоненциальные функции. Они будут интерпретировать функции графически, численно, символически и словесно, используя обозначения функций.

Алгебра 1. Часть 1
1 кредит по математике
9 класс
Предварительные требования: математика 8

Этот курс предназначен для учащихся, изучающих алгебру 1 в течение двух лет. Темы, охваченные в первый год, включают выражения и количества, уравнения с одной переменной, отношения и функции, линейные и нелинейные функции, создание линейных уравнений и неравенств, а также показатели степени. Учащиеся получат один математический кредит за этот курс и один математический кредит за следующий курс, Алгебра 1 – Часть 2. NCAA признает только один математический кредит за Алгебру 1 – Часть 1 и 2.

Алгебра 1. Часть 2
1 Кредит по математике
10 класс
Предпосылки: Алгебра 1. Часть 1

Этот курс предназначен для учащихся, изучающих алгебру 1 в течение двух лет. Темы, охватываемые в течение второго года, включают: системы уравнений и неравенств, экспоненциальные функции, многочлены, факторинг, квадратные уравнения и статистику. NCAA признает только один кредит по алгебре 1 — части 1 и 2.

Геометрия

1 Кредит по математике
9–10 классы
Предварительные требования: Алгебра 1 (или сданная в том же году)

Учащиеся используют языки теории множеств, чтобы расширить свои возможности вычисления и интерпретации теоретических и экспериментальных вероятностей сложных событий, обращая внимание на взаимоисключающие события, независимые события и условная вероятность. Они используют конгруэнтность треугольников как известную основу для разработки формальных и неформальных доказательств. Учащиеся доказывают теоремы, используя различные форматы, и применяют их при решении задач о треугольниках, четырехугольниках и других многоугольниках. Они определяют критерии подобия треугольников, используют их как привычную основу для разработки неформальных и формальных доказательств, решения задач и приложений к подобиям прямоугольных треугольников. Это поможет в дальнейшем развитии тригонометрии прямоугольных треугольников, уделяя особое внимание специальным прямоугольным треугольникам, прямоугольным треугольникам с одной стороной и одним острым углом и теореме Пифагора. Учащиеся применяют геометрические концепции для решения реальных задач проектирования и моделирования. Учащиеся доказывают основные теоремы об окружностях, такие как касательная перпендикулярна радиусу, теорема о вписанном угле и теоремы о хордах, секущих, а также изучают отношения между отрезками хорд, секущими и касательными в качестве применения подобия. Учащиеся используют формулу расстояния, чтобы написать уравнение окружности, зная радиус и координаты ее центра.

Алгебра 2
1 кредит по математике
9–12 классы
Предпосылки: кредит, полученный за алгебру 1 (или часть 1 и часть 2) и геометрию предыдущие курсы математики, содержание которых сгруппировано в четыре критические области, организованные в блоки. Учащиеся применяют методы вероятности и статистики, чтобы делать выводы и выводы на основе данных. Они расширяют свой набор функций, включая полиномиальные, рациональные и радикальные функции. Стандарты математической практики вместе со стандартами содержания обеспечивают связный, полезный и логичный математический опыт, помогающий учащимся разобраться в проблемных ситуациях. Учащиеся объединяют весь свой опыт работы с функциями и геометрией для создания моделей и решения контекстуальных задач. Этот курс соответствует требованиям по алгебре II или эквивалентному кредиту для окончания учебы. Критические области внимания включают в себя:

Выводы и выводы из данных
Полиномы, рациональные и радикальные отношения
Тригонометрия общего треугольника и тригонометрические функции
Моделирование с помощью функций

CSCC Integrated College Bridge Math III
1 Зачет по математике
10–12 классы
Предпосылки: Зачет за алгебру 1 (или часть 1 и часть 2) и геометрию плюс рекомендации учителя

Этот годовой курс объединяет традиционное обучение в классе (под руководством учителя) с цифровым модульным онлайн-подходом к мастерству (ALEKS), когда учащиеся учатся с некоторым элементом контроля над временем и темпом. Учащиеся, успешно окончившие этот курс, имеют право подать заявку на получение курсовой работы по математике на уровне колледжа в Columbus State Community College. Этот курс позволяет учащимся выполнить требования по математике III и готовит их к возможному доступу к математике на уровне колледжа до окончания средней школы. Изучаемые темы включают уравнения и неравенства, линейные отношения и функции, системы уравнений и неравенств, многочлены, а также статистику и вероятность. За этот курс не засчитывается кредит колледжа.

Предварительное исчисление
1 Зачет по математике
10–12 классы
Предпосылки: Зачет за алгебру 1 (или часть 1 и часть 2), геометрию, алгебру 2

Предварительное исчисление расширяет понимание учащимися функций и фундаментальных понятий, изученных математические курсы. Темы будут включать: полиномиальные, степенные, рациональные, экспоненциальные, кусочные и тригонометрические функции; параметрические, полярные и тригонометрические уравнения. Используя технологии и различные представления, учащиеся будут исследовать и исследовать математические идеи для анализа сложных ситуаций, которые создают значимые связи с реальным мировым опытом. Этот курс может считаться четвертым кредитом по математике.

Финансовая грамотность Математика

Прекращено в 2022 г.
1 кредит по математике
10–12 классы
Предпосылки: зачет за алгебру 1 (или часть 1 и часть 2), геометрию, финансовую грамотность в области 2

Математика включает в себя источники дохода, составление бюджета, банковское дело, потребительский кредит, кредитные законы и права, личное банкротство, страхование, расходы, налоги, инвестиционные стратегии, сберегательные счета, взаимные фонды и фондовый рынок, покупку автомобиля и аренду в сравнении с покупкой. дом. Курс будет сосредоточен на изучении математики и формул, необходимых при решении задач. Это курс математики 4.

Количественное рассуждение из ODE
1 кредит по математике
11–12 классы
Предпосылки: кредит, полученный за алгебру 1 (или часть 1 и часть 2), геометрию, алгебру 2

Количественное мышление, решение задачи — решение и моделирование с помощью тематических блоков, ориентированных на математические практики, при одновременном усилении и расширении содержания в числах и количествах, алгебре, функциях, статистике и вероятности и геометрии. Это годовой пилотный курс ODE, который преподается с использованием педагогики, ориентированной на учащихся. Учителя будут посещать занятия по повышению квалификации летом и в течение учебного года. Доступно для выбора пилотных школ. Этот курс может считаться четвертым кредитом по математике.

Продвинутое количественное мышление

Новинка 2022-2023

1 Кредит по математике
Классы 12
Предварительное условие: Кредиты, полученные по алгебре 1, геометрии и алгебре 2, будут предоставлены учащимся для использования знаний, полученных на уроках

5 90 предыдущие математические курсы для продолжения обучения математическим навыкам, решению задач, статистическим навыкам и количественной грамотности с использованием соответствующих технологий и контекстов реальной жизни. Студенты будут работать с кусочными функциями, регрессиями, пределами, экспоненциальными функциями, линейными/квадратичными системами, уделяя особое внимание выбранным темам продвинутой математики и навыкам решения задач. Этот курс может считаться четвертым кредитом по математике.

Статистика через социальную справедливость
1 зачет по математике
12 класс
Предварительные требования: зачет за INTEGRATED MATHEMATICS III или его эквивалент

Используя статистику в качестве основы, учащиеся изучат проблемы социальной, политической и экономической несправедливости в обществе на свободе и в своей жизни. Учащимся будут предоставлены возможности использовать математику для лучшего понимания причин и следствий этих проблем, а также возможности разработать математически обоснованные решения. Студенты будут руководствоваться пониманием своей собственной силы в качестве активных граждан в построении демократического общества и будут готовы играть активную роль, используя математику в качестве ресурса. Доступно в некоторых школах. Этот курс может считаться четвертым кредитом по математике.

Наука о данных Математика

1 кредит по математике
11–12 классы
Требования: алгебра 1, геометрия

Этот курс учит учащихся рассуждать и критически относиться к данным во всех формах. Учебные стандарты Огайо по математике, относящиеся к науке о данных, преподаются вместе с требованиями к данным, предъявляемыми к гражданам в 21 веке. Хотя этот курс все еще находится в разработке, он может включать такие вещи, как описание больших данных; удобство использования и полезность данных; структурированные и неструктурированные данные; методы извлечения данных; хранилище данных; вопросы конфиденциальности; и интеллектуальный анализ данных. Доступно для выбора школ, участвующих в пилотном проекте ODE.

В некоторых школах могут предлагаться и другие курсы. Другие курсы включают Calculus AB/BC, AP Statistics, IB Math и курсы, предлагаемые местными колледжами.

Обновлено 20.05.2022

Обзор учебного плана для 2 класса | Somerville Public Schools

Родители и опекуны

В этом руководстве представлен обзор того, что ваш ребенок будет изучать во втором классе . Он основан на Common Core Standards, Massachusetts Frameworks и подходах к учебным программам, которые были приняты государственными школами Somerville. Подробные рамки Массачусетса доступны по адресу: http://www.doe.mass.edu/frameworks/.

Академические стандарты важны. Они гарантируют, что все учащиеся, независимо от того, где они начинают, готовы к успеху в следующем классе, колледже и своей карьере. Четко определяя стандарты, мы стремимся помочь семьям и учителям работать вместе, чтобы обеспечить успех учащихся. Некоторым учащимся потребуется дополнительная поддержка, чтобы соответствовать стандарту. Другим учащимся потребуется более сложная работа, чтобы выйти за рамки стандарта. Учителя разрабатывают свои повседневные занятия в классе, основываясь на стандартах, индивидуальных потребностях учащихся и уникальных характеристиках своих школ и сообщества.

Как я могу поддержать обучение моего ребенка дома?

Расскажите своему ребенку о том, чему он учится в школе
Обращайтесь к учителю вашего ребенка с любыми вопросами или опасениями и посещайте собрания родителей с учителями
Каждый вечер проверяйте папку и/или ежедневник вашего ребенка
Предоставьте ребенку место и определенное время для выполнения домашнего задания

English Language Arts

Государственные школы Somerville используют сбалансированный подход к обучению грамоте, чтобы наилучшим образом удовлетворить потребности всех учащихся. Этот подход включает мини-уроки по ключевым навыкам чтения, частые и подробные обсуждения, знакомство с высококачественной литературой и научно-популярными текстами, а также чтение книг на собственном уровне каждого учащегося. В классах Сомервилля также используется учебная программа Fundations в классах K-2 для развития фонематических навыков и фонетических навыков, а также учебная программа «Письмо без слез» для обучения навыкам письма.

Чтение. В течение года учащиеся будут работать над:

Использованием нескольких стратегий (визуализация, установление связей, предсказание, использование базовых знаний) для чтения и понимания художественных текстов
Демонстрация понимания персонажей, обстановки и сюжета посредством пересказа истории
Понимание проблемы в истории и действия персонажа для решения проблемы
Распознавание различий во взглядах персонажей
Задавать и отвечать на такие вопросы, как кто, что, где, когда, почему и как в рамках чтения текстов
Использование нескольких стратегий (задавать вопросы и отвечать на них, предварительный просмотр, использование фоновых знаний, предсказание, отслеживание мышления) для чтения и понимания документального текста
Понимание разницы между темой и основной идеей
Выявление основной идеи и ключевых деталей в научно-популярных текстах
Использование различных текстовых функций (например, заголовков, жирного шрифта, подзаголовков, глоссариев, указателей) для поиска информации
Замечать, что в стихах используются биты, рифмы и повторяющиеся строки для создания ритма и смысла
Сравнение нескольких текстов по одной теме для получения информации и объяснения того, что они узнали, своими словами
Пересказ историй из разных культур вместе с уроком, который преподает история
Рассказ о том, чем похожи и чем отличаются две версии одной и той же истории (например, Золушка)
Использование нескольких стратегий для определения незнакомых слов (фонические навыки с помощью Fundations, контекста, иллюстраций, повторного чтения)
Бегло читать рассказы и стихи вслух, не останавливаясь, чтобы понять, что означает каждое слово
Участие в беседах и дискуссиях с соблюдением правил (например, говоря по очереди, слушая других), опираясь на комментарии других и задавая вопросы для дальнейшего разъяснения

Письмо. В программе Somerville, посвященной письму, особое внимание уделяется предоставлению учащимся множества возможностей писать каждый день по разным предметам. Как пишут в течение года, ученики второго класса будут работать над:

Написание абзаца, который представляет идею и поддерживает ее подробностями
Написание идей в порядке, понятном читателю
Использование слов времени для обозначения порядка события (во время, тем временем, до, вскоре, после)
Использование прилагательных, чтобы сделать письмо ясным и интересным для читателя (например, огромный, туманный, сложный )
Начало предложений по-разному
Соединение двух идей в одно предложение (сложное предложение) с помощью и, а, или так
Использование запятых для разделения слов в ряду
Проверка согласования существительных и глаголов (например, собака сидит на кровати; две собаки сидят)
Правильное написание слов уровня класса с использованием ресурсов, если это необходимо
Использование заглавных имен собственных имен (например, Somerville , John )

В течение года учащиеся выполнят три вида письма: повествовательное (рассказ), информативное и авторское. Примеры этого во втором классе могут включать: Написание книги о члене семьи, написание мнения о герое рассказа или написание другого конца сказки.

Как я могу поддержать обучение моего ребенка грамоте дома?

Читайте ребенку ежедневно
Поощряйте ребенка ежедневно читать и обсуждать книги, которые он читает
Когда ваш ребенок делится своим мнением или мыслями о книге, спросите его почему? и пусть они используют доказательства из книги
Поощряйте ребенка писать, ведя дневник или отправляя благодарственное письмо или письмо члену семьи или другу

Математика

Адаптировано из Общего основного руководства PTA и Критических областей Массачусетской учебной программы. Пожалуйста, ознакомьтесь с Massachusetts Frameworks для получения более подробной информации о стандартах и навыках.

В течение года учащиеся второго класса будут работать над:

Счетом 5, 10, 100
Определение четности числа или нечетности
Решение сложных задач на сложение и вычитание за один или два шага
Быстрое и точное сложение с суммой 20 или меньше (например, 11 + 8)
Быстрое и точное вычитание из числа до 20 (например, 16–9)
Понимание того, что означают цифры в трехзначных числах ( разрядное значение ) — (например, 857 — это 8 сотен + 5 десятков + 7 единиц)
Сравнение трехзначных чисел с помощью <, > и =
Мысленное прибавление или вычитание 10 или 100 из числа (например, 757 + 10, 837 — 100)
Использование понимания разрядности и различных стратегий сложения и вычитания до трехзначных чисел (например, 811–367)
Решение задач на сложение и вычитание с использованием денег или длины
Оценка длины объектов в дюймах, футах, сантиметрах и метрах
Использование линеек для измерения объектов в сантиметрах и дюймах
Время произнесения и записи с точностью до 5 минут
Распознавание различных 2D- и 3D-фигур (треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и кубы) и объяснение их различий (например, количество сторон, граней, углов)
Рисование простой гистограммы или графического изображения и решение проблемы путем чтения графика
Разбиение кругов и прямоугольников на равные половины, трети и четверти

Как я могу помочь ребенку в изучении математики дома?

Укажите примеры использования математики в повседневной жизни, такие как измерение комнаты или оценка стоимости товаров в магазине
Практикуйте с ребенком недавно приобретенные навыки дома, чтобы повысить уверенность в себе (например, математические факты, сложение, вычитание)

Наука, технологии и инженерия

В течение года учащиеся второго класса узнают:

Различные типы материалов имеют разные свойства и могут быть классифицированы по их текстуре, твердости, цвету или гибкости
Что, когда кусок материала разрезается или разбивается на куски, каждый кусок остается тем же самым материалом, каким бы маленьким ни был каждый кусок
Что некоторые изменения в материалах можно обратить вспять при нагревании или охлаждении, а некоторые нельзя обратить вспять
Как различные растения и животные зависят от своего окружения и других живых существ, чтобы удовлетворить свои потребности в местах, где они живут
Что разные виды животных и растений живут в разных районах
Как нанести на карту формы и типы рельефа и водоемов в районе
Как дуновение ветра и текущая вода могут перемещать земные материалы из одного места в другое и изменять форму рельефа
Для сравнения нескольких решений, разработанных для замедления или предотвращения изменения формы земли ветром или водой

Обществознание

В течение года учащиеся 2-х классов изучают:

О правах и обязанностях граждан
Чтобы найти и назвать континенты, океаны, крупные реки и основные горные хребты
Навыки карты и глобуса
Чтобы найти континенты, регионы и страны, из которых приехали учащиеся, родители, бабушки и дедушки и предки
Чтобы найти примеры традиций или обычаев других стран, существующих в Америке сегодня
О лицах, признанных за достижения во всех областях

Социальные/эмоциональные

Начальные годы – это важное время для воспитания социально-эмоциональной компетентности и развития базовых навыков обучения. Государственные школы Сомервилля используют учебную программу «Второй шаг», основанную на фактических данных программу, которая включает в себя все, что нужно школам для интеграции социально-эмоционального обучения в свои классы и во всю школу. Учебная программа предназначена для содействия школьным успехам, саморегуляции, а также чувству безопасности и поддержки.

Классные руководители несут ответственность за реализацию Второго шага. Школьные консультанты и другой вспомогательный персонал помогают учителям и учащимся работать над достижением целей учебной программы. Сотрудники школы, в которой учится ваш ребенок, могут предоставить вам более подробную информацию о последовательности обучения навыкам и о том, как преподаются социальные/эмоциональные навыки.

Уроки 2-го класса:
БЛОК 1 Навыки обучения 1. Уважительное отношение 2. Фокусировка внимания и Прослушивание 3. Использование разговора с самим собой 4. Быть настойчивым	БЛОК 2 Эмпатия 5. Определение чувств 6. Узнайте больше о Чувства 7. Чувство уверенности 8. Уважение к другим Предпочтения 9. Проявление сострадания 10. Предсказание чувств
БЛОК 3 Управление эмоциями 11. Знакомство с эмоциями Менеджмент 12. Управление Смущение 13. Обращение с изготовлением Ошибки 14. Управление тревогой Чувства 15. Управление гневом 16. Завершение задач	БЛОК 4 Решение проблем 17. Решение задач, часть 1 18. Решение задач, часть 2 19. Взять на себя ответственность 20.Ответ на Исключение для детской площадки 21. Честная игра на детской площадке 22. Повторение навыков второго шага

Специалисты: Государственные школы Somerville предоставляют каждому учащемуся 40 минут в неделю занятий по общей музыке, библиотеке/медиа, искусству и физическому воспитанию. Специалисты в каждой школе могут предоставить вам более подробную информацию о конкретных навыках, которые рассматриваются.

Оценка: Мы считаем, что существует несколько способов точной оценки успеваемости учащихся. К ним относятся не только стандартные измерения, такие как DIBELS (классы K-3), MCAS (классы 3-10) и MAP (классы 2-8), но и более неформальные оценки, включая общие оценки в конце модуля, конференции по чтению/письму. , участие в классе, классные проекты и письменные задания.

Краткий обзор математики и английского языка для 2

^nd Класс:

Обратите внимание, что этот календарь является приблизительным.

Конспект урока по математике. Решение задач и выражений. 2 класс. Школа России.

Конспект урока математики 2 класс УМК «Школа России» «Час. Минута. Определение времени по часам» | Начальная школа | Журнал «Педмастерство»

Задачи по математике для 2 класса, 3500 занимательных заданий с ответами и решением

Занятия логикой и математикой онлайн

У нас есть всё, что вы искали

Популярные категории заданий

Текстовые задачи

Задача 1. Арифметика и логика

Задача 2. На сравнение количества

Задача 3.

Примеры в картинках

Восстанови равенство

Ребус в таблице

Задачи на площадь и периметр

Задача 4. Ломаная линия

Задача 5. Периметр

Задача 6. Площадь

Какой формат занятий вы ищете?

Мы научим ребёнка

Другие категории заданий

Математические программы для учащихся начальной школы

Как это работает

Раннее абстрактное мышление

Ментальная гибкость

Вызов

Окружающая среда

I — Ускоренный уровень

II — Продвинутый уровень

III — Уровень с отличием

Конкурсные программы

2 часа в неделю

Класс

Домашнее задание

Уникальная учебная программа

Почему вас называют «русской» математической школой?

Откуда взялась ваша учебная программа?

Насколько велики ваши классы? Каково соотношение учителей и учеников?

Сколько времени длятся ваши занятия? Сможет ли школьник столько сидеть?

Сколько домашних заданий я должен ожидать?

Кто ваши учителя?

В каком возрасте лучше всего присоединиться?

Какова ваша плата за обучение?

Подходит ли ваша программа для моего ребенка?

Не будет ли ваша программа путать моего ребенка в школе?

Решение Леонарда Эйлера проблемы Кенигсбергского моста

Примечание редактора

Решение Леонарда Эйлера проблемы Кенигсбергского моста

Königsberg

Эйлер и проблема моста

Доказательство Эйлера

Обобщение Эйлера

Примеры

Выводы Эйлера

Доказательство Эйлера и теория графов

Судьба Кенигсберга

Ссылки

Математика / Учебный план средней школы

Математика для шестого класса

Основы курса 2 (6M2)

Академический курс 2 (6M3)

Продвинутый курс 2 (6M4)

Математика седьмого класса — предварительная алгебра

Основы предварительной алгебры (7M2)

Академическая предварительная алгебра (7M3)

Advanced Pre-Algebra (7M4)

Математика для восьмого класса

Основы алгебры 1 (8M2)

Академическая алгебра 1 (8M3)

Продвинутый курс алгебры 1 (8M4)

Геометрия с отличием

‎Фотоматематика в App Store

Описание

Рейтинги и обзоры

Спасатель жизни

Фантастика, но одно 🏆

Цена за полное объяснение слишком высока

Данные, не связанные с вами

Информация

Вам также может понравиться

Раздел учебной программы / Описание курсов