Геометрия вопросы для повторения к главе 9: ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян, Бутузов, Кадомцев. Учебник

• 1 класс
  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Музыка
  • Литература
  • Окружающий мир

• 2 класс
  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Немецкий язык
  • Информатика
  • Музыка
  • Литература
  • Окружающий мир
  • Технология

• 3 класс
  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Немецкий язык
  • Информатика
  • Музыка
  • Литература
  • Окружающий мир
  • Казахский язык

• 4 класс
  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Немецкий язык
  • Информатика
  • Музыка
  • Литература
  • Окружающий мир
  • Казахский язык

• 5 класс
  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Физика
  • Немецкий язык
  • Украинский язык
  • Биология
  • История

ГДЗ Геометрия 7-9 класс Атанасян

Седьмой класс — трудная пора

С седьмого класса школьники начинают постигать новый для себя предмет — геометрию. Он позволяет расширить пространственное мышление, а так же весьма пригодится для тех из ребят, которые в дальнейшем захотят связать свою жизнь со строительством и инженерией. По началу данная дисциплина кажется относительно простой. Что же сложного в рисовании геометрических фигур? Однако потом начинают вылезать скрытые нюансы.

Программа по учебнику

Предельного внимания требует запоминание теоретического материала, формул и теорем. Кроме того, необходимо научиться применять новообретенные знания на практике. В этом в ближайшие три года школьникам должен помочь учебник «Геометрия 7-9 класс» Атанасян, Бутузов, Кадомцев, выпущенный издательством «Просвещение» в 2017 г. За это время учащимся предстоит освоить такие темы, как:

• углы, отрезки, прямые;
• треугольники;
• параллельные прямые;
• векторы и окружности;
• площади;
• четырехугольники;
• синусы, косинусы, тангенсы;
• метод координат;
• длины и окружности.

Так же предстоит узнать и много другой информации. Сложность программы идет по нарастающей, поэтому у учеников еще есть возможность вникнуть в материал. Однако если подзапустить учебу или невнимательно относиться к ней, то потом будет трудно наверстать нужные знания.

Содержимое решебника

В наше время учителя не могут уделять много времени на разъяснение тематики, поэтому учащимся приходится самостоятельно осваивать некоторые моменты. А если это не получается, то этот процесс облегчит решебник к учебнику «Геометрия 7-9 класс» Атанасян, Бутузов, Кадомцев, в котором прописаны все необходимое для понимания предмета.

Сборник разработан с учетом всех недочетов, которые могут возникнуть у ребят во время учебы. В совокупности в нем даны исчерпывающие ответы по 1310 номерам, которые представлены в учебнике. Кроме того, в ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян включены многочисленные графики и чертежи, наглядно демонстрирующие решение некоторых задач.

В чем поможет ГДЗ

На нашем сайте собрано несколько вариантов решебников, в которых вы можете найти разнообразные варианты решений. Это пригодится на случай, если по некоторым из них вы не сможете понять все аспекты. Посмотрите следующее — там наверняка все рассказано более детально. А уж если вы списываете, вместо того, чтобы просто проверять д/з, то разнообразие явно не повредит.

Некоторым ученикам учеба дается очень сложно, или иногда возникают ситуации, когда задача крайне непонятна. Сложность материала постоянно возрастает, а требования становятся все жестче. Не многие сейчас могут позволить себе нанять репетитора. Поэтому все больше школьников начинают обращаться к ГДЗ, которые помогают сделать учебу проще. Решебник к учебнику «Геометрия 7-9 класс Атанасян» поможет:

• запомнить теорию;
• понять принцип выполнения задач;
• подтянуть знания и восполнить пробелы;
• улучшить свою успеваемость;
• качественно и быстро проверять д/з.

У решебников много положительных качеств, но чтобы это понять, надо им правильно пользоваться. А для этого всего-то и требуется — не списывать!

Есть ли польза от решебника

По многочисленным отзывам, в том числе учителей и репетиторов, учебник построен не очень профессионально. Некоторые задания расположены не от простого к сложному, а наоборот. А, главное, авторы все время объясняют действия через принцип наложения, Из-за чего у детей вообще может сложиться неверное представление о предмете. Поэтому ГДЗ элементарно поможет понять, что же именно подразумевали авторы, составляя задачи таким образом.

Мы постоянно работаем над обновлением информации и следим за ее качеством. Если вам что-то непонятно, то можете написать об этом в комментариях — мы вам обязательно ответим!

Повторение глава 9 — 11 гдз по геометрии 7‐9 класс Атанасян, Бутузов

Решебники, ГДЗ

• 1 Класс
  • Математика
  • Русский язык
  • Английский язык
  • Информатика
  • Немецкий язык
  • Литература
  • Человек и мир
  • Природоведение
  • Основы здоровья
  • Музыка
  • Окружающий мир
  • Технология
• 2 Класс
  • Математика
  • Русский язык
  • Белорусский язык
  • Английский язык
  • Информатика
  • Украинский язык
  • Французский язык
  • Немецкий язык
  • Литература
  • Человек и мир
  • Природоведение
  • Основы здоровья
  • Музыка
  • Окружающий мир
  • Технология
  • Испанский язык
• 3 Класс
  • Математика
  • Русский язык
  • Белорусский язык
  • Английский язык
  • Информатика
  • Украинский язык
  • Французский язык
  • Немецкий язык
  • Литература
  • Человек и мир

Ответы на вопросы для повторения к главе 9 геометрия Атанасян 8 класс

Ответы на вопросы к главе 9 геометрия Атанасян

Вопросы для повторения к главе 9 учебника геометрии для 8 класса автор Атанасян, издательство Просвящение 2019 год.

Вопросы для повторения к главе IX

1 Приведите примеры векторных величин, известных вам из курса физики.

2 Дайте определение вектора. Объясните, какой вектор называется нулевым.

3 Что называется длиной ненулевого вектора? Чему равна длина нулевого вектора?

4 Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы а и Ь и противоположно направленные векторы c и d.

5 Дайте определение равных векторов.

6 Объясните смысл выражения: «Вектор а отложен от точки А». Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

7 Объясните, какой вектор называется суммой двух векторов. В чём заключается правило треугольника сложения двух векторов?

8 Докажите, что для любого вектора а справедливо равенство а + 0 = а.

9 Сформулируйте и докажите теорему о законах сложения векторов.

10 В чём заключается правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов?

11 В чём заключается правило многоугольника сложения нескольких векторов?

12 Какой вектор называется разностью двух векторов? Постройте разность двух данных векторов.

13 Какой вектор называется противоположным данному? Сформулируйте и докажите теорему о разности векторов.

14 Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?

15 Чему равно произведение ka, если: а) а = 0; б) & = 0?

16 Могут ли векторы а и ka быть неколлинеарными?

17 Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.

18 Приведите пример применения векторов к решению геометрических задач.

19 Какой отрезок называется средней линией трапеции?

20 Сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапеции.

Важные вопросы по математике CBSE Class 9 Глава 3 Координатная геометрия

• • БЕСПЛАТНАЯ ЗАПИСЬ КЛАСС
  • КОНКУРСНЫЕ ЭКЗАМЕНА
    • BNAT
    • Классы
      • Класс 1-3
      • Класс 4-5
      • Класс 6-10
      • Класс 110003 CBSE
        • Книги NCERT
          • Книги NCERT для класса 5
          • Книги NCERT, класс 6
          • Книги NCERT для класса 7
          • Книги NCERT для класса 8
          • Книги NCERT для класса 9
          • Книги NCERT для класса 10
          • NCERT Книги для класса 11
          • NCERT Книги для класса 12
        • NCERT Exemplar
          • NCERT Exemplar Class 8
          • NCERT Exemplar Class 9
          • NCERT Exemplar Class 10
          • NCERT Exemplar Class 11
          9plar
          • RS Aggarwal
            • RS Aggarwal Решения класса 12
            • RS Aggarwal Class 11 Solutions
            • RS Aggarwal Решения класса 10
            • Решения RS Aggarwal класса 9
            • Решения RS Aggarwal класса 8
            • Решения RS Aggarwal класса 7
            • Решения RS Aggarwal класса 6
          • RD Sharma
            • RD Sharma Class 6 Решения
            • RD Sharma Class 7 Решения
            • Решения RD Sharma класса 8
            • Решения RD Sharma класса 9
            • Решения RD Sharma класса 10
            • Решения RD Sharma класса 11
            • Решения RD Sharma Class 12
          • PHYSICS
            • Механика
            • Оптика
            • Термодинамика
            • Электромагнетизм
          • ХИМИЯ
            • Органическая химия
            • Неорганическая химия
            • Периодическая таблица
          • MATHS
            • Статистика
            • 9000 Pro Числа
            • Числа
            • 9000 Pro Числа Тр Игонометрические функции
            • Взаимосвязи и функции
            • Последовательности и серии
            • Таблицы умножения
            • Детерминанты и матрицы
            • Прибыль и убытки
            • Полиномиальные уравнения
            • Деление фракций
          • Microology
          0003000
        • FORMULAS
          • Математические формулы
          • Алгебраные формулы
          • Тригонометрические формулы
          • Геометрические формулы
        • КАЛЬКУЛЯТОРЫ
          • Математические калькуляторы
          0003000
          • 000 CALCULATORS
          • 000
          • 000 Калькуляторы по химии 900 Образцы документов для класса 6
          • Образцы документов CBSE для класса 7
          • Образцы документов CBSE для класса 8
          • Образцы документов CBSE для класса 9
          • Образцы документов CBSE для класса 10
          • Образцы документов CBSE для класса 1 1
          • Образцы документов CBSE для класса 12
        • Вопросники предыдущего года CBSE
          • Вопросники предыдущего года CBSE, класс 10
          • Вопросники предыдущего года CBSE, класс 12
        • HC Verma Solutions
          • HC Verma Solutions Класс 11 Физика
          • HC Verma Solutions Класс 12 Физика
        • Решения Лакмира Сингха
          • Решения Лакмира Сингха класса 9
          • Решения Лахмира Сингха класса 10
          • Решения Лакмира Сингха класса 8
        9000 Класс
        9000BSE 9000 Примечания3 2 6 Примечания CBSE
      • Примечания CBSE класса 7
      Примечания
      • Примечания CBSE класса 8
      • Примечания CBSE класса 9
      • Примечания CBSE класса 10
      • Примечания CBSE класса 11
      • Примечания 12 CBSE
    • Примечания к редакции 9000 CBSE 9000 Примечания к редакции класса 9
    • CBSE Примечания к редакции класса 10
    • CBSE Примечания к редакции класса 11
    • Примечания к редакции класса 12 CBSE
  • Дополнительные вопросы CBSE
    • Дополнительные вопросы по математике класса 8 CBSE
    • Дополнительные вопросы по науке 8 класса CBSE
    • Дополнительные вопросы по математике класса 9 CBSE
    • Дополнительные вопросы по математике класса 9 CBSE Вопросы
    • CBSE Class 10 Дополнительные вопросы по математике
    • CBSE Class 10 Science Extra questions
  • CBSE Class
    • Class 3
    • Class 4
    • Class 5
    • Class 6
    • Class 7
    • Class 8 Класс 9
    • Класс 10
    • Класс 11
    • Класс 12
  • Учебные решения
• Решения NCERT
  • Решения NCERT для класса 11
    • Решения NCERT для класса 11 по физике
    • Решения NCERT для класса 11 Химия
    • Решения NCERT для биологии класса 11
    • Решение NCERT s Для класса 11 по математике
    • NCERT Solutions Class 11 Accountancy
    • NCERT Solutions Class 11 Business Studies
    • NCERT Solutions Class 11 Economics
    • NCERT Solutions Class 11 Statistics
    • NCERT Solutions Class 11 Commerce
  • NCERT Solutions for Class 12
    • Решения NCERT для физики класса 12
    • Решения NCERT для химии класса 12
    • Решения NCERT для биологии класса 12
    • Решения NCERT для математики класса 12
    • Решения NCERT, класс 12, бухгалтерия
    • Решения NCERT, класс 12, бизнес-исследования
    • NCERT Solutions Class 12 Economics
    • NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 1
    • NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 2
    • NCERT Solutions Class 12 Micro-Economics
    • NCERT Solutions Class 12 Commerce
    • NCERT Solutions Class 12 Macro-Economics
  • NCERT Solut Ионы Для класса 4
    • Решения NCERT для математики класса 4
    • Решения NCERT для класса 4 EVS
  • Решения NCERT для класса 5
    • Решения NCERT для математики класса 5
    • Решения NCERT для класса 5 EVS
  • Решения NCERT для класса 6
    • Решения NCERT для математики класса 6
    • Решения NCERT для науки класса 6
    • Решения NCERT для класса 6 по социальным наукам
    • Решения NCERT для класса 6 Английский язык
  • Решения NCERT для класса 7
    • Решения NCERT для математики класса 7
    • Решения NCERT для науки класса 7
    • Решения NCERT для социальных наук класса 7
    • Решения NCERT для класса 7 Английский язык
  • Решения NCERT для класса 8
    • Решения NCERT для математики класса 8
    • Решения NCERT для науки 8 класса
    • Решения NCERT для социальных наук 8 класса ce
    • Решения NCERT для класса 8 Английский
  • Решения NCERT для класса 9
    • Решения NCERT для класса 9 по социальным наукам
  • Решения NCERT для математики класса 9
    • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 1
    • Решения NCERT для математики класса 9, глава 2
    Решения NCERT
    • для математики класса 9, глава 3
    • Решения NCERT для математики класса 9, глава 4
    • Решения NCERT для математики класса 9, глава 5
    Решения NCERT
    • для математики класса 9, глава 6
    • Решения NCERT для математики класса 9, глава 7
    Решения NCERT
    • для математики класса 9, глава 8
    • Решения NCERT для математики класса 9, глава 9
    • Решения NCERT для математики класса 9, глава 10
    Решения NCERT
    • для математики класса 9, глава 11
    Решения
    • NCERT для математики класса 9 Глава 12
    Решения NCERT
    • для математики класса 9 Глава 13
    • NCER Решения T для математики класса 9 Глава 14
    • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 15
  • Решения NCERT для науки класса 9
    • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 1
    • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 2
    • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 3
    • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 4
    • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 5
    • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 6
    • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 7
    • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 8
    • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 9

CBSE Class 9 Maths | Координатная геометрия Вопросы и ответы с несколькими вариантами ответов PDF

Мы предлагаем здесь вопросы с несколькими вариантами ответов (MCQ) по математике класса 9 CBSE, Глава 3: Координатная геометрия. На все эти вопросы есть ответы. Используйте эти вопросы в качестве практического теста для подготовки к экзамену по математике. Вы также получите представление о том, как можно задавать вопросы MCQ на экзамене.

Найдите ниже MCQ из CBSE Class 9 Maths, Глава 3 Координатная геометрия:

1. Точки (–4, –8) лежат в:

а) Первый квадрант

б) Второй квадрант

в) Третий квадрант

г) Четвертый квадрант

Ответ: (d)

2. Точка (0, –5) лежит:

a) На оси x —

б) На оси и —

в) В первом квадранте

d) Ничего из вышеперечисленного

Ответ: (б)

Последний * CBSE Class 9th Science Важные MCQ для ежегодного экзамена 2020

3. Ордината всех точек на оси x :

а) 0

б) 1

в) –1

г) Любое натуральное число

Ответ: (а)

4. Очки (1, -2), (1, -3), (-4, 5), (0, 0), (3, -3)

а) Лежать в III квадранте

б) Лежать во II квадранте

в) Лежать в IV квадранте

г) Не лежите в одном квадранте

Ответ: (d)

5. Если координата x точки равна нулю, то эта точка лежит:

a) Во II квадранте

б) В квадранте I

c) По оси x

d) По оси Y

Ответ: (d)

6. Если перпендикулярное расстояние точки P от оси x составляет 7 единиц, а основание перпендикуляра лежит в отрицательном направлении оси x , то точка P имеет:

a) y -coordinate = 7 или только –7

б) y -координата = 7 только

c) y -координата = только –7

d) x — координата = –7

Ответ: (а)

Новый образец экзамена по математике класса 9 CBSE для ежегодного экзамена 2020

7. При построении диаграммы P (–3, 8), Q (7, –5), R (–3, –8) и T (–7, 9) наносятся на миллиметровую бумагу, затем точки на третьем квадрант:

а) П и Т

б) Q и R

c) Только R

d) P и R

Ответ: (c)

8. Если координаты двух точек равны P (–7, 5) и Q (–6, 9), то (абсцисса P) — (абсцисса Q) равна

а) –3

б) 1

в) –2

г) –1

Ответ: (d)

9. Абсцисса точки положительна в:

а) I и II квадранты

б) I и IV квадранты

c) только I квадрант

d) только II квадрант

Ответ: (б)

10. Точка с ординатой 8, лежащая на оси y -оси:

а) (0, 8)

б) (8, 0)

в) (5, 8)

г) (8, 5)

Ответ: (а)

11. Координаты любой точки на оси y имеют вид (0, k), где | k | расстояние до точки от:

a) y — ось

b) x — ось

в) (0, 1)

г) (1, 0)

Ответ: (б)

CBSE Class 9 Maths Solved Practice Paper for Annual Exam 2020

12. Зеркало точки (3, 4) по оси y :

а) (3, 4)

б) (–3, 4)

в) (3, –4)

г) (–3, –4)

Ответ: (б)

13. Расстояние между точками (5, 0) и (–3, 0) от оси x составляет:

а) –3

б) 5

в) 0

г) 2

Ответ: (c)

14. Перпендикулярное расстояние точки P (5, 8) от оси y составляет:

а) 5

б) 8

в) 3

г) 13

Ответ: (а)

15. Точка ( x + 2, x + 4) лежит в первом квадранте, зеркальное отображение которого для оси x равно (5, –7). Какое значение имеет x ?

а) (–5, –7)

б) (–5, 7)

в) (5, –7)

г) (5, 7)

Ответ: (d)

Перейдите по следующей ссылке, чтобы загрузить все приведенные выше вопросы MCQ в формате PDF:

Также проверьте:

CBSE Class 9 Maths Важные MCQ по главе 1

CBSE Class 9 Maths Важные MCQ по главе 2

Ресурсы для подготовки к ежегодному экзамену CBSE класса 9 2020

Ознакомьтесь со следующими статьями, чтобы подготовиться к 9-му ежегодному экзамену CBSE и получить хорошие оценки:

MCQ класса 9 CBSE по математике, естественным наукам, общественным наукам и экзамену по английскому языку 2020

Программа CBSE Class 9 для ежегодного экзамена 2020

CBSE Class 9 Science Exam Pattern 2020

CBSE Class 9 Social Science Exam Pattern 2020

Книга и решения по науке NCERT класса 9 PDF

Математика класса 9 Книга и решения NCERT PDF

Решения NCERT для математики класса 9 Глава 5 Геометрия Евклида PDF

Решения NCERT для математики класса 9 Глава 5

9-я математика Глава 5 Решения на английском и хинди Средний

Решения NCERT для математики 9-го класса Глава 5 Упражнение 5. 1 и 5.2 на хинди и английском Medium можно бесплатно использовать ОНЛАЙН или загрузить в виде PDF-формы, чтобы использовать ОНЛАЙН. Решения CBSE NCERT для класса 9 обновлены к академической сессии 2020-21. Посетите дискуссионный форум, чтобы поделиться своими знаниями с другими пользователями.

• Девятое упражнение по математике 5.1 Решения

• Девятое упражнение по математике 5.2 Решения

• Учебный материал

Математическое задание 9 класса1 и 5.2 Решения на видео

Математика для класса 9 Упражнение 5.1 Решения на видео Математические решения для класса 9 Упражнение 5. 2 на видео

Что такое постулат Евклида?

Постулат Евклида:
Постулат 1: Прямая линия может быть проведена из любой точки в любую другую точку.
Постулат 2: Линия с терминированием может производиться бесконечно.
Постулат 3: Круг можно нарисовать с любым центром и любым радиусом.
Постулат 4: Все прямые углы равны друг другу.
Постулат 5: Если прямая линия, падающая на две прямые, делает внутренние углы на одной стороне, вместе взятые, меньше, чем два прямых угла, то две прямые линии, если они образуются бесконечно, пересекаются на той стороне, на которой сумма angles меньше двух прямых углов.

Приведите две эквивалентные версии пятого постулата Евклида.

Эквивалентные версии пятого постулата Евклида:
1. «Для каждой прямой l и для каждой точки P, не лежащей на l, существует уникальная прямая m, проходящая через P и параллельная l».
1. Две различные пересекающиеся прямые не могут быть параллельны одной и той же прямой.

Важные замечания по девятой математике Глава 5

Аксиомы Евклида:

• Аксиома 1: Вещи, которые равны одним и тем же вещам, равны друг другу.
• Аксиома 2: Если равные складываются с равными, то все равно.
• Аксиома 3: Если равные вычитаются из равных, то остатки равны.
• Аксиома 4: Вещи, которые совпадают друг с другом, равны друг другу.
• Аксиома 5: Целое больше части.
• Аксиома 6: Вещи, которые дублируют одни и те же вещи, равны друг другу.
• Аксиома 7: Вещи, которые являются половинками одного и того же, равны друг другу.

Важные вопросы по девятой математике Глава 5

Почему аксиома 5 в списке аксиом Евклида считается «универсальной истиной»?

Аксиома 5:
Целое больше части.

Поскольку это верно для всего в любой части мира, это универсальная истина.

आप यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को किस प्रकार लिखेंगे ताकि वह सरलता से समझी जा सके?

यदि दो रेखाओं को कोई तीसरी रेखा इस है कि एक ही ओर बने आंतरिक योग 180 ° से कम हो, तो दोनों रेखाएँ को प्रतिच्छेद हैं।

क्या यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा से समांतर रेखाओं के अस्तित्व का औचित्य निर्धारित होता है? स्पष्ट कीजिए।

हाँ, यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा से समांतर रेखाओं के अस्तित्व का औचित्य निर्धारित होता है। क्योंकि यदि दो रेखाओं को कोई तीसरी रेखा कटती है कि एक ही ओर बने आंतरिक कोणों का 180 ° से कम हो, तो दोनों रेखाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं। परन्तु यदि कोणों का योग 180 ° हो तो रेखाएँ परस्पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं अर्थात समांतर होती हैं।

Каковы пять постулатов Евклида?

Постулаты Евклида были:
Постулат 1: Прямая линия может быть проведена из любой точки в любую другую.
Постулат 2: Линия с терминированием может производиться бесконечно.
Постулат 3: Круг можно нарисовать с любым центром и любым радиусом.
Постулат 4: Все прямые углы равны друг другу.
Постулат 5: Если прямая линия, падающая на две прямые, делает внутренние углы на одной стороне, взятые вместе, меньше, чем два прямых угла, то две прямые, если они образуются бесконечно, пересекаются на той стороне, на которой сумма углов меньше двух прямых
углов.

Каковы эквивалентные версии пятого постулата Евклида?

Две эквивалентные версии пятого постулата Евклида:
(i) «Для каждой прямой l и для каждой точки P, не лежащей на l, существует уникальная прямая m, проходящая через P и параллельная l».
(ii) Две разные пересекающиеся прямые не могут быть параллельны одной и той же прямой.

Что такое аксиомы Евклида?

Вот некоторые из аксиом Евклида:
(1) Вещи, которые равны одному и тому же, равны друг другу.
(2) Если равные складываются с равными, целые равны.
(3) Если равные вычитаются из равных, остатки равны.
(4) Вещи, которые совпадают друг с другом, равны друг другу.
(5) Целое больше, чем часть.
(6) Вещи, которые дублируют одни и те же вещи, равны друг другу.
(7) Вещи, которые являются половинками одного и того же, равны друг другу.

Центроиды в треугольниках — вопросы по геометрии

2. Образование
3. Математика
4. Геометрия
5. Центроиды в треугольниках — вопросы по геометрии

Аллен Ма, Янтарь Куанг

Центроиды в геометрии треугольник — это точка пересечения медиан.Следующие практические вопросы просят вас найти координаты центроида в треугольнике и найти расстояние от одной из вершин до центроида, учитывая среднюю длину.

Практические вопросы

Используйте данную информацию для решения практических вопросов.

1. Точка C представляет собой центр тяжести треугольника RST . Если SD = 21, найдите SC .

2. Вершины треугольника: (0, –2), (4, 0) и (2, 8).Найдите координаты центра тяжести треугольника.

Ответы и пояснения

1. 14

   Центроид треугольника делит каждую среднюю часть треугольника на сегменты с соотношением 2: 1. Вы не знаете длины ни одного из сегментов медианы, поэтому используйте соотношение x , чтобы обозначить более короткую длину.

   Вам дано, что SD = 21; следовательно,

2. (2, 2)

   Вы найдете центр тяжести треугольника, усреднив координаты x и координаты y всех трех вершин треугольника.Среднее значение координат x равно

   .

   Среднее значение координат y равно

   Следовательно, центр тяжести треугольника равен (2, 2).

Об авторе книги

Аллен Ма и Эмбер Куанг — учителя математики в средней школе Джона Ф. Кеннеди в Беллморе, Нью-Йорк. Аллен, который преподавал геометрию в течение 20 лет, является тренером математической команды и бывшим координатором математических исследований с отличием.Эмбер преподавала все уровни математики, от алгебры до исчисления, в течение последних 14 лет.

ответов на вопросы математических рассуждений

Приключения в математических рассуждениях

А

Иногда в некоторых сложных музыкальных композициях есть красивые, но легкие партии — партии настолько простые, что новичок мог бы их сыграть. То же самое и с математикой.В высшей математике есть некоторые открытия, которые не зависят от специальных знаний, даже от алгебры, геометрии или тригонометрии. Вместо этого они могут включать, самое большее, небольшую арифметику , например, «сумма двух нечетных чисел четна» и здравый смысл. Каждая из восьми глав этой книги иллюстрирует это явление. Каждый может понять каждый шаг в рассуждениях.

В мышлении каждой главы используется самое большее только элементарная арифметика, а иногда и не она.Таким образом, у всех читателей будет возможность принять участие в математическом опыте, оценить красоту математики и познакомиться с ее логическим, но интуитивным стилем мышления.

В

Одна из моих целей при написании этой книги — дать читателям, которые не имели возможности увидеть и насладиться настоящей математикой, шанс оценить математический образ мышления. Я хочу раскрыть не только некоторые захватывающие открытия, но, что более важно, их доводы.В этом отношении эта книга отличается от большинства книг по математике, написанных для широкой публики.

Некоторые представляют жизни ярких математиков. Другие описывают важные приложения математики. Третьи углубляются в математические процедуры, но предполагают, что читатель владеет алгеброй.

С

Я надеюсь, что эта книга поможет преодолеть тот пресловутый разрыв, который разделяет две культуры: гуманитарные науки и естественные науки, или, лучше сказать, правое полушарие (интуитивное) и левое полушарие (аналитическое, числовое). Как будет показано в главах, математика не ограничивается аналитическими и численными расчетами; интуиция играет значительную роль. Предполагаемый разрыв может быть сокращен или полностью преодолен кем угодно, отчасти потому, что каждый из нас далек от того, чтобы полностью использовать возможности любой стороны мозга. Чтобы проиллюстрировать наш человеческий потенциал, я цитирую инженера-строителя, который является художником, инженера-электрика, который является оперным певцом, оперного певца, опубликовавшего математические исследования, и математика, который публикует рассказы

Д

Другие ученые написали книги, чтобы объяснить свои области неученым, но им обязательно пришлось опустить математику, хотя она обеспечивает основу их теорий.

Читатель должен оставаться соблазненным зрителем, а не вовлеченным участником, поскольку подходящим языком для описания деталей в большей части науки является математика, независимо от того, идет ли речь о расширяющейся Вселенной, субатомных частицах или хромосомах. Хотя в общих чертах научная теория может быть набросана интуитивно, когда, наконец, понимается часть физической вселенной, ее описание часто выглядит как страница в математическом тексте.

E

Тем не менее, читатель, не занимающийся математикой, может далеко уйти в понимании математических рассуждений.В этой книге представлены детали, иллюстрирующие математический стиль мышления, который включает в себя последовательный пошаговый анализ, эксперименты и выводы. Вы будете перелистывать эти страницы гораздо медленнее, чем при чтении романа или газеты. Приготовьте карандаш и бумагу для проверки заявлений и проведения экспериментов .

Факс

Как я уже писал, я имел в виду два типа читателей: тех, кто увлекался математикой до тех пор, пока их не отвратил неприятный эпизод, обычно около пятого класса, и поклонников математики, которые найдут в книге много нового.

Эта книга также предназначена для читателей, которые просто хотят отточить свои аналитические навыки. Многие профессии, такие как юриспруденция и медицина, требуют расширенного и точного анализа. В каждой главе предлагается практика в следовании устойчивой и аргументированной линии мысли. То, что математики могут развить этот навык, показывают эти два отзыва:

г

Врач написал, что дисциплина аналитического мышления [в математике] очень хорошо подготовила меня к медицинской школе.В медицине человек сталкивается с проблемой, которую необходимо тщательно проанализировать, прежде чем будет найдено решение. Процесс аналогичен математике ».

Юрист сказал то же самое: «Хотя у меня не было юридического образования — даже одного курса политологии, — я хорошо учился в одной из лучших юридических школ. Я объясняю свой успех там во многом благодаря изучению математики и, в частности, теорем , , как анализировать сложные принципы.Юристы, изучавшие математику, могут освоить юридические принципы так, как не могут большинство других ».

Я надеюсь, что вы разделите мое восхищение, наблюдая, как простые, даже наивные вопросы приводят к замечательным решениям, а чисто теоретические открытия находят неожиданное применение.

Вопросы 1-8

Читальный пассаж состоит из семи частей, A-G .

В каком разделе содержится следующая информация?

Напишите правильное письмо, A-G , в графах 1-8 на листе для ответов.

NB Вы можете использовать любую букву более одного раза .

1 ABCDEFG Ссылка на книги, предполагающие отсутствие математических знаний
Ответ: D Найдите

2 ABCDEFG То, как это не типичная книга по математике
Ответ: B Найдите

3

Практические вопросы по координатной геометрии — Hitbullseye

Q. 1. Найдите площадь треугольника, образованного вершинами (4, 5), (10, 12) и (-3, 2).

Ответ и объяснение

Sol: Option D
Площадь треугольника, вершины которого обозначены как P ( x ₁ , y ₁ ), Q ( x ₂ , y ₂ ) а R ( x ₃ , y ₃ ) задается как
1/2 [x _{1 (y 2 — y 3 ) + x 2 (y 3 — y 1 ) + x 3 (y 1 — y 2 )]
= 1/2 [4 (12 + 2) + 10 (-2-5) + (-3) (5 -12)] = 1/2 [4.14 — 10,7 + (-3) (- 7)] = 1/2 [56 — 70 + 21] = 3,5
Следовательно, решением является вариант D}

Q.2. Найдите уравнение прямой, проходящей через (2, 3) и перпендикулярной прямой 3x + 2y + 4 = 0.

A. y = 5 / 3x- 2

Б. 3Y = 2x + 5

C. 3Y = 5x-2

D. Ни одного из этих

Ответ и объяснение

Sol: Опция B
Данная линия равна 3x + 2y + 4 = 0 или y = -3x / 2 — 2
Любая прямая, перпендикулярная ей, будет иметь наклон = 2/3
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через (2, 3), а наклон 2/3 равен
(y — 3) = 2/3 (x — 2)
3y — 9 = 2x — 4
3y — 2x — 5 = 0.

Q.3. Найдите координаты точки, которая будет разделять линию, соединяющую точки (3, 5) и (11, 8) снаружи в соотношении 5: 2.

А. (5/3, 1/3)

Б. (3/49, 1/10)

с. (49/3, 10)

D. Ни одного из этих

Ответ и объяснение

Sol: Опция C
Для случая внешнего деления будет использоваться формула
x = (mx2 — nx1) / (m — n)
y = (my2 — ny1) / (m — n)
где m: n — 5: 2 в нашем случае.
Вставив значения, вы получите баллы (49/3, 10).

Q.4. Найти координату точки, которая будет разделять линию, соединяющую точки (2,4) и (7,9) внутри в соотношении 1: 2?

А. (5/3, 1/3)

Б. (3/8, 3/11)

С. (8/3, 11/3)

Д. (11/3, 17/3)

Ответ и объяснение

Sol: опция D
Для внутреннего деления используется формула (mx2 + nx1) / (m + n)
y = (my2 + ny1) / (m + n).
Итак, точка становится (11/3, 17/3).

Q.5. Каков наклон прямой, проходящей через точки J (-2, 3) и (2, 7)?

А. 1

Б. 2

C. & redic; 2

D. 4. & redic; 3

Ответ и объяснение

Sol: опция A
[(y ₂ — y ₁ ) / (x ₂ — x ₁ )] = [(7-3) / (2 — (- 2) )] = 4/4 = 1
Следовательно, ответ — вариант A

Необходимо прочитать статьи о координатной геометрии

• Координатная геометрия: практические вопросы

Q.6. Найдите уравнение прямой, наклон которой равен 3, а точка пересечения оси Y равна — 4.

A. y = 2x — 3

Б. Y = 3x + 4

С. Y = 3x- 4

D. 4.y = √3x-2

Ответ и объяснение

Sol: Вариант C
Дано m = 3 и c = — 4. Подставляя значения в y = mx + c, мы получаем y = 3x — 4.
Следовательно, решение — вариант C

Q.7. Найдите уравнение прямой, проходящей через (2, -1) и параллельной прямой 2x — y = 4.

A. y = 2x — 5

Б. Y = 2x + 6

С. Y = √2x +7

D. 4. y = 2x + 5

Ответ и объяснение

Sol: Option A
Данная линия имеет вид 2x — y = 4 ⇒ y = 2x — 4 (преобразование в форму y = mx + c)
Ее наклон = 2. Наклон параллельной прямой должен также будет 2.
Следовательно, для искомой строки
m = 2 и (x1, y1) = (2, -1).
Уравнение = y — y ₁ / x — x ₁ = y ₂ — y ₁ / x ₂ — x ₁
⇒ y — y ₁ / x — x ₁ = m
⇒ y — y1 = m (x — x1) ⇒ y — (- 1) = 2 (x — 2)
⇒ y = 2x — 5.

Q8. Найдите уравнение прямой, параллельной прямой, проходящей через (5,7) и (2,3) и имеющей точку пересечения с x равной -4.

A. 3y = 4x -16

Б. 4у = 3х-16

C. 3y = 4x +16

D. 4y = 3x + 16

Ответ и объяснение

Sol: опция C
Наклон данной линии = (7 — 3) / (5 — 2) = 4/3.
Значит, наклон требуемой линии тоже 4/3. Одна точка в этой строке — (-4, 0).Следовательно, уравнение прямой:
y — 0 = 4/3 (x + 4) ⇒ 3y = 4x +16.

Q9. Найдите координаты центра описанной окружности треугольника с вершинами (0, 0), (8,0) и (0,6). Найдите также Круговой радиус.

А. (4, 3), 6

Б. (3,4), 5

с. (4, 3), 5

Д. (4, 3), 3

Ответ и объяснение

Sol: Опция B
Центр окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров трех сторон треугольника.
Пусть S (x, y) — центр описанной окружности.
SA = SB = SC. ∴ & redic; (x ² + y ² ) = & redic; (x-8) ² + (y-2)) ² .
& redic; (x ² + y ² ) = & redic; (x-0) ² + (y-6)) ² .
Возведение в квадрат x ² + y ² = x ² -16 x + 64 + y ² . Таким образом, x = 4.
Также x ² + y ² = x ² + y ² -12 y + 36.
Итак, y = 3. Следовательно, координаты центра описанной окружности равны (4, 3).
Круговой радиус = SA = & redic; x ² + y = & redic; 16 + 9 = 5.

Q10. Найдите уравнение прямой, проходящей через (2, -1) и перпендикулярной прямой 2x — y = 4.

А. х + 2у = 0

Б. Y = 5x-2

С. Y = 2x-5

D. Ни одного из этих

Ответ и объяснение

Sol: Option A
Наклон данной линии равен 2.При сравнении с y = mx + c
У перпендикулярных линий произведение их наклонов = (-1)
Таким образом, наклон новой прямой будет (-1/2)
Уравнение прямой будет y = mx + c
M = -1 / 2
Итак, мы получаем y = (-1/2) x + k
Нам дана точка (2, -1), которая будет удовлетворять этой строке.
Подставляя эти координаты, мы получаем k = 0, и линия принимает вид = x + 2y = 0

.