Гармония математика 3 класс истомина ответы: ГДЗ Математика Истомина 3 класс

Содержание

Урок по математике 3 класс УМК «Гармония»

Урок по математике «Решение задач»

(3 класс УМК «Гармония»)

Цель:

Закреплять умение решать составные задачи. Совершенствовать вычислительные навыки.
Развивать умение рассуждать, мыслить.
Воспитывать стремление к здоровому образу жизни, учить беречь и укреплять своё здоровье.
Оборудование:

учебник Н.Б. Истомина «Математика», 3 класс, Смоленск: Ассоциация XXI век, 2007г.;
рабочая тетрадь, Н.Б. Истомина «Математика», 4 класс, ч.1, Смоленск: Ассоциация XXI век, 2010 гг.

Орг. момент.

Встаньте ровно и красиво

Прозвенел уже звонок,

Сядьте тихо и неслышно

И скорей начнем урок.

Проверка дом. задания (с. 63 з. 191)

— Откройте учебник на стр. 63 и прочитайте условие задачи.

— Какая из двух схем соответствует условию задачи, почему? («правильную» схему открыть на доске)

(Приложение 1)

— Сколько действий получилось при решении задачи?

— Что узнали в первом действии?

— Что узнали во втором действии?

— В третьем действии?

— Как записали ответ, прочитайте?

-Кто решил правильно задачу поставьте на полях 1 очко.

Постановка цели.

Чтобы узнать тему нашего урока, вам предстоит отгадать ребусы. Отгадав ребус, откроется буква.

100рона З

про100р Д

А Ч

во100рг, А

(Открывается слово «задача»)

— Правильно, сегодняшний урок мы посвятим решению задач.

Решать задачи — это здорово!
Неинтересен урок без задач.
Задачи заставляют думать,
Анализировать и рассуждать.
Не может быть задачи без решений,
В решении не обойтись без вычислений,
И, чтобы ошибок не допускать,
Необходимо уметь вычислять.

— На уроке мы будем не только решать задачи, но и говорить о здоровом образе жизни. Как вы понимаете выражение «здоровый образ жизни»? (Ответы детей).

Девизы нашего урока:

Здоровье – энергия и радость жизни.

Так интересно жить, когда я здоров!!!

III Устный счёт.

Это ни для кого не новинка,
Перед стартом нужна «Разминка».

Нас ждёт весёлый

И серьёзный устный счёт.

Внимание, внимание!

Начнём соревнование.

(Запись ответов в тетради в строку)

1. У взрослого человека 6 л крови, а у ребёнка в 2 раза меньше. Сколько литров крови у ребёнка? (6:2=3л)

2. Аптека продала 8 упаковок ваты, а бинтов в 9 раз больше. Сколько бинтов продала аптека? (8Х9=72б.)

3. Во время футбольного матча игроки команды «Зенит» забили в ворота команды «Спартак» 8 мячей, а футболисты «Спартака» забили в ворота противника только 2 мяча. Во сколько раз больше мячей забили в ворота противника футболисты из команды «Зенит», чем игроки из футбольного клуба «Спартак»? (8 : 2 =4р.)

4. Альпинисты поднимались в гору 12 ч., а спускались на 7 часов меньше. Сколько часов альпинисты спускались с горы? (12-7=5)

5. За всё лето мальчики провели 42 игры в баскетбол, а девочки – 6 игр. Во сколько раз меньше сыграли в баскетбол девочки, чем мальчики? (42:6=7р.)

Проверка:

Карточки с числами ответов на доску: 3, 72, 4, 6, 7

— Кто допустил ошибку?

— Какая по счёту задача решена неправильно?

— Поможем разобраться.

— Кто безошибочно выполнил задание, поставьте на полях 5 очков (5)

IV Работа над темой урока

Решение задач

— Русский народ всегда уделял своему здоровью большое внимание. В устном народном творчестве много пословиц:

— Здоров будешь — всё добудешь.

— Здоровьем слаб, так и духом не герой.

— Быстрого и ловкого болезнь не догонит.

Придумывал подвижные игры, которые развивают ловкость, быстроту движений. Даже обычные прыжки со скакалкой.

Задача 1:

— Хочу предложить вам задачу, условие которой мне подсказало стих А. Барто «Верёвочка» :

Звукозапись отрывка:

Это с нашего двора
Чемпионы, мастера.
Носят прыгалки в кармане,
Скачут с самого утра.
Во дворе и на бульваре,
В переулке и в саду,

И на каждом тротуаре

У прохожих на виду,
И с разбега, на месте,

И двумя ногами
вместе:

Примерный вариант задачи:

Во время тренировочных упражнений в прыжках со скакалкой ребята выполнили с разбега 20 прыжков, прыжков на месте в 3 раза больше, а на двух ногах на 13 прыжков меньше. Сколько прыжков на двух ногах сделали ребята??

С разбега — 20 прыжков
На месте — ? в 3раза больше
На двух ногах — ? на 13 прыжков меньше, чем на месте.

Сколько прыжков на двух ногах сделали ребята?

Работа в парах

— Выберите схему, соответствующую условию задачи.

— Объясните свой выбор

(Приложение 2)

Решите эту задачу удобным для вас способом

— Поднимите руку те, кто может решить задачу самостоятельно?

— Поднимите руку те, кому необходима моя помощь? (пригласить детей к доске, чтобы составить план решения задачи:

1) х=(пр.)

2) -=(пр.))

Проверка

Пригласить для проверки записать и объяснить задачу по действиям.

Пригласить для проверки записать задачу выражением.

-Какой ещё можно поставить вопрос к условию задачи?

(Сколько всего прыжков на скакалке выполнили дети?

На сколько больше/ меньше прыжков сделали дети на двух ногах, чем с разбега?)

-Кто решил правильно задачу поставьте на полях 2 очка

-Как мы следим за здоровьем в учебном процессе?

1) делаем по утрам зарядку;
Зарядка каждому нужна
2) посещаем уроки физкультуры;
3) посещение бассейна;

Физминутка.

С физкультурой подружись

Бегать, плавать научись,
Научись играть с мячом!
Первым быть стремись во всём!

И для этого, друзья,
Лень отбросьте навсегда!
Занимаясь физкультурой —
Будьте вы во всём культурны!

«Плавание» — очень распространённый вид спорта в нашем посёлке, укрепляет мышцы всего тела, развивает выносливость, быстроту.

— Попробуйте по предложенной схеме составить условие задачи про плавание, сформулировать вопрос к ней и решить:

Задача

(Приложение 3)

Пример:

В плавательном бассейне в группе здоровья занимались 20 человек. Из них 6 студентов, школьников начальных классов в 2 раза меньше, остальные – школьники старших классов. Сколько школьников старших классов занималось в группе здоровья?

Решение:

I способ:

6:2=3(ч.)-школьн. мл. кл.
6+3=9(ч.) – студентов и шк.мл.кл.
20-9=11(ч.) – школьн. ст. кл.

20-(6+6:2)=11(ч.)

II способ:

6:2=3(ч. )
20-6=14(ч.)
14-3=11(ч.)

20-6-6:2=11(ч.)

Проверка

— Кто правильно решил задачу, поставьте на полях тетради 3 очка

Интересно задачи решать,
Из решений можно много узнать.
У каждой задачи свой сюжет
И надо найти на вопрос ответ.

Логическая задача. (запись на доске)

В соревнованиях по бегу Валера, Гриша и Серёжа заняли три первых места.

Обозначьте римскими цифрами I, II, III, какое место занял каждый из ребят, если Гриша занял не второе и не третье, а Серёжа — не третье место.

Валера — ?

(III)

Гриша — ?

(I)

Серёжа — ?

(II)

Проверка:

(По мере определения места каждого из ребят открывать римскую цифру)

— Кто правильно решил задачу, поставьте на полях тетради 1 очко

Подведение итогов.

—Посчитайте общее количество своих очков.

-У кого 12 очков, поставьте себе отметку «5»

-У кого 10 очков, поставьте себе отметку «4»

-Все ваши работы я проверю и оценю, поставлю отметку.

Только здоровый человек по-настоящему радуется жизни.

Одному мудрецу задали вопрос: «Что для человека важнее — богатство или слава?» Он ответил: «Ни то, ни другое, а здоровье. Здоровый нищий счастливее больного короля». Прислушайтесь к словам мудреца и твёрдо запомните, что надёжнее всех о своём здоровье можешь позаботиться только ты сам.

— Вспомним, под каким девизом мы с вами работали

— На доске я разместила «Пьедестал настроения».

— Поднимите руки, кто на уроке:

— Кому:

ГДЗ решебник по математике 3 класс Истомина, Горина тесты Ассоциация 21 век

Математика 3 класс

Серия: Гармония.

Тип пособия: Тестовые задания

Авторы: Истомина, Горина

Издательство: «Ассоциация 21 век»

Очень часто желание изучать математику у школьников пропадает вскоре после освоения основных навыков – складывать, вычитать, делить, умножать. Все остальные материалы кажутся сложными, скучными, и, главное, не очень нужными для дальнейшей жизни. В этом есть доля правды – интегралы и линейные функции забываются сразу за порогом школы. Но и простые математические действия, изучаемые в первые школьные годы, также требуют внимания со стороны учеников и их родителей. Ведь на основе именно этих знаний следующие учебные годы предстоит изучать не только алгебру, но и множество иных наук — физику, химию, геометрию.

Маленькому математику помогает решебник Истоминой, Гориной

Безусловно, задания из программы младшей школы сумеет выполнить любой из родителей. Но: это абсолютно разные вещи – самому разделить двузначное число «столбиком» или даже в уме, и объяснить маленькому ребенку, как именно это надо делать.

В этой ситуации взрослым и детям необходим еще один участник учебного процесса – надежный консультант, готовый в любую минуту объяснить алгоритм решения любого упражнения. И с этой задачей отлично справляется решебник к пособию «Математика 3 класс Тесты Гармония Истомина, Горина (Ассоциация 21 век)».

Из чего состоит ГДЗ

Решебник содержит тестовые упражнения по всей тематике третьего класса, на ста сорока страницах расположены шестьдесят два теста, выполнение которых поможет решить основные учебные задачи:

самостоятельно выявить и устранить пробелы в знаниях;
надежно подготовиться к контрольным работам;
с минимальными затратами времени поддерживать стабильно высокую успеваемость.

К каждому тестовому заданию предлагаются возможные варианты ответов, среди которых ученик с помощью

решебника должен выбрать правильный вариант.

Какую пользу приносит ученику тесты

Основная цель пособия — помочь не только детям непосредственно с освоением важнейшего предмета, но и родителям точно разбираться в изучаемом материале, чтобы квалифицированно приходить своему ребенку на помощь и осуществлять ненавязчивый контроль за уровнем знаний. Регулярно работая с ГДЗ, ученик сможет понять и надежно усвоить все темы и разделы основного учебника математики третьего класса:

Алгоритм решения простых уравнений.
Деление и умножение.
Работа с крупными числами — их сложение и вычитание.

Тесты для текущей проверки усвоения материала помогут ученику качественно выполнять любые домашние задания без лишних затрат времени.

Задания

cтр. 7cтр. 8cтр. 9cтр. 10cтр. 11cтр. 12cтр. 13cтр. 14cтр. 15cтр. 16cтр. 17cтр. 18cтр. 19cтр. 20cтр. 21cтр. 22cтр. 23cтр. 24cтр. 25cтр. 26cтр. 27cтр. 28cтр. 29cтр. 30cтр. 31cтр. 32cтр. 33cтр. 34cтр. 35cтр. 36cтр. 37cтр. 38cтр. 39cтр. 40cтр. 41cтр. 42cтр. 43cтр. 44cтр. 45cтр. 46cтр. 47cтр. 48cтр. 49cтр. 50cтр. 51cтр. 52cтр. 53cтр. 54cтр. 55cтр. 56cтр. 57cтр. 58cтр. 59cтр. 60cтр. 61cтр. 62cтр. 63cтр. 64cтр. 65cтр. 66cтр. 67cтр. 68cтр. 69cтр. 70cтр. 71cтр. 72cтр. 73cтр. 74cтр. 75cтр. 76cтр. 77cтр. 78cтр. 79cтр. 80cтр. 81cтр. 82cтр. 83cтр. 84cтр. 85cтр. 86cтр. 87cтр. 88cтр. 89cтр. 90cтр. 91cтр. 92cтр. 93cтр. 94cтр. 95cтр. 96cтр. 97cтр. 98cтр. 99cтр. 100cтр. 101cтр. 102cтр. 103cтр. 104cтр. 105cтр. 106cтр. 107cтр. 108cтр. 109cтр. 110cтр. 111cтр. 112cтр. 113cтр. 114cтр. 115cтр. 116cтр. 117cтр. 118cтр. 119cтр. 120cтр. 121cтр. 122cтр. 123cтр. 124cтр. 125cтр. 126cтр. 127cтр. 128cтр. 129cтр. 130cтр. 131cтр. 132cтр. 133cтр. 134cтр. 135cтр. 136cтр. 137cтр. 138cтр. 139cтр. 140cтр. 141cтр. 142

Задания: cтр.

Условие

Решебник №1

Решебник №2

В полной гармонии | plus.maths.org

Сентябрь 2000

Введение

В школьной математике изучаются два элементарных ряда:

арифметический ряд, например

геометрические ряды, например

Существует такой же элементарный ряд, называемый гармоническим рядом :

Несмотря на элементарную форму, гармонический ряд содержит много интересной математики, несколько сложных олимпиадных задач, несколько удивительных приложений и даже известную нерешенную задачу. Есть ряд вопросов о гармоническом ряду, ответы на которые изначально оскорбляют нашу интуицию и, следовательно, имеют особое значение для преподавания и изучения математики.

Почему сериал называется «Гармонический»?

Пятые

Название произошло от греков, у которых, как мы знаем, были слова для многих вещей. Пифагор первым изучил ноты, издаваемые щипковыми струнами разной длины. Если струну, которая издает среднее до при перещипывании, сократить до двух третей своей длины, она издаст ноту соль (музыканты называют интервал от до до соль 9).0043 пятый ). Если длина строки уменьшится вдвое, то будет излучать верхнее C, на октаву выше. Эти ноты лежат в основе пифагорейской теории гармонии, и соответствующие длины струн

1 2/3 1/2

считаются в гармонической прогрессии , где 2/3 гармонического среднего

от 1 и 1/2. Теперь обратные значения этих чисел

1 3/2 2

образуют арифметическую прогрессию, поэтому говорят, что последовательность чисел, обратные числа которой находятся в арифметической прогрессии, находится в гармонической прогрессии.

Куб и октаэдр

Пифагор смешал свою математику и физику с щедрой порцией мистической чепухи. Он отметил, например, что куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер. Поскольку 6, 8 и 12 находятся в гармонической прогрессии, для Пифагора куб был «гармоническим» телом. Существуют ли другие «гармонические» тела? Есть октаэдр с 8 гранями, 12 ребрами и 6 вершинами. Есть ли другие? Это достаточно простой вопрос, но я не видел, чтобы его задавали раньше. Задача нахождения всех гармонических тел требует знания формулы Эйлера для многогранников и уравнения Пелла для ее решения.

Сумма гармонического ряда

Для суммы

простой формулы, аналогичной формулам сумм арифметического и геометрического рядов, не существует

Тем не менее, мы можем ответить на вопрос: какова сумма «до бесконечности» гармонического ряда?

Можно извинить вас за то, что вы думаете, что сумма до бесконечности гармонического ряда является некоторым конечным числом, потому что по мере того, как вы добавляете все больше и больше членов, к промежуточной сумме добавляется все меньше и меньше. В самом деле, если вы попросите свой дружественный карманный калькулятор или домашний компьютер просуммировать ряд, вы получите конечную сумму. Это потому, что ваш обычный калькулятор обрабатывает числа только до определенного размера. (обычно 10 ¹⁰⁰ ), а 1/(10 ¹⁰⁰ +1) будет считаться нулем. Такой калькулятор скажет вам, что сумма гармонического ряда составляет около 230, если вы позволите ему работать достаточно долго.

Однако на самом деле гармонический ряд расходится — сумма неограниченно возрастает. Этот удивительный результат впервые доказал средневековый французский математик Николь Орем, живший более 600 лет назад. Он отметил, что если заменить ряд

рядом меньших членов

и заключите термины в скобки, как показано, тогда последний ряд будет просто

, сумма которых, очевидно, может быть сделана сколь угодно большой.

Если используется для обозначения суммы членов гармонического ряда, то аргумент Орема показывает, что

Так ползет все медленнее к бесконечности, увеличиваясь все меньшими и меньшими шагами. Интересно наблюдение, что после , никогда больше не оказывается целое число. Я встречал эту задачу более чем в одной олимпиадной работе по математике, и ее решение, красивое рассуждение, заслуживает описания.

Отсутствие трещин

Предположим, что . Выберите целое число такое, что . Затем рассмотрим наименьшее общее кратное . Это число будет иметь вид , где — нечетное целое число. Теперь умножьте обе части уравнения на это число, чтобы получить 9.0003

Теперь при умножении все члены слева будут целыми числами, кроме одного:

не является целым числом, так как является нечетным. Таким образом, левая часть не является целым числом, а значит, и правая часть не является целым числом. Это означает, что это не целое число.

Рекордное количество осадков

Как часто бьются рекорды погоды? Гармонический ряд дает ответ.

Предположим, у нас есть список данных об осадках за сто лет. Как вы думаете, сколько рекордных дождей выпало за этот период? Мы предполагаем, что количество осадков является случайным в том смысле, что количество осадков в любой год не влияет на количество осадков в любой последующий год.

Первый год, несомненно, был рекордным. Во второй год количество осадков с одинаковой вероятностью могло быть больше или меньше, чем количество осадков в первый год. Так что есть вероятность, что второй год был рекордным. Таким образом, ожидаемое количество учетных лет в первые два года ведения учета равно . Переходим на третий год. Вероятность того, что третье наблюдение выше, чем первые два, равна 1/3, поэтому ожидаемое количество рекордных осадков за три года равно .

Продолжая эту линию рассуждений, мы приходим к выводу, что ожидаемое количество записей в списке наблюдений равно 9.0003

Как вы думаете, какое количество осадков выпало за сто лет, если вы храните данные об осадках? Если бы это было 5, вы были бы почти правы, так как сумма первых сотен членов гармонического ряда равна 5,19.

Даже после рекордного количества осадков никто не будет отрицать, что рекорд будет побит когда-то в будущем — возможно, уже в следующем году. Количество рекордных лет в бесконечности наблюдений явно бесконечно. Здесь у нас есть интуитивная причина полагать, что гармонический ряд расходится.

Спортивные записи не следуют той же схеме, поскольку они не случайны в том смысле, в каком случайны записи об осадках. Спортсмены всегда стараются побить текущий рекорд, а методы тренировок постоянно совершенствуются. Никто ничего не делает для улучшения погоды.

Для записи, в обоих смыслах, вот некоторые значения:

n	1	5	10	50	100	500	1000
Н(н)	1	2,28	2,93	4,50	5,19	6,79	7,49

Транспортный поток

Плотный трафик

В однополосном движении, без обгона, за медленным автомобилем будет следовать группа машин, которые хотят ехать быстрее, но не могут этого сделать. Если автомобили тронутся в путь, сколько сгустков получится? Это то же самое, что спросить, сколько рекордно низких скоростей будет наблюдаться, и мы знаем ответ: поскольку сгустки последовательно замедляются, они будут располагаться все дальше друг от друга. Это объясняет, почему автомобили у выхода из длинного туннеля, как правило, движутся быстрее и в меньших группах более далеко друг от друга, чем автомобили у входа в туннель.

Испытание на уничтожение

Предположим, у вас есть сотня одинаковых деревянных балок и вы хотите найти их минимальное разрушающее усилие. Вы строите простую машину, которая прикладывает постепенно возрастающую силу к центру балки, в то время как ее концы поддерживаются в горизонтальном положении. Увеличивая силу до тех пор, пока балка не сломается, вы можете найти разрывную деформацию каждой балки. Предположим, что мы обозначаем разрушающую деформацию th балки через .

Испытание на разрушение, проводимое таким образом, имеет один существенный недостаток. В конце вы знаете точное значение для каждого, но уничтожили все лучи в процессе. Однако на самом деле нам нужно не точное значение для каждого , а только минимальное значение для . Вместо того, чтобы испытывать каждую балку на разрушение, вы действуете следующим образом.

Испытать первую балку на разрушение и записать ее деформацию при разрушении (). Теперь проверьте вторую балку, постепенно увеличивая усилие до , но не больше. Если балка уцелеет, вы знаете, что ее разрывная деформация больше . Если он сломается, вы запишите его разрывную нагрузку. Теперь проверьте третью балку, увеличив усилие до или , в зависимости от того, что меньше. Если он сломается, запишите его разрывную нагрузку. Если он выживет, идите на следующий луч.

Эта процедура последовательно находит рекордные минимальные разрывные деформации. При испытании разрушаются только балки с рекордно низкой деформацией разрушения. Из ста лучей вы рассчитываете уничтожить 5.19этим последовательным испытанием до разрушения. Если бы у вас была тысяча лучей для проверки, вы бы рассчитывали уничтожить только 7,49.

Перетасовка карт

Почти самый простой (с математической точки зрения) способ перетасовки карт называется «Тасовка сверху в случайном порядке». Верхняя карта карточной колоды карт удаляется и вставляется в колоду случайным образом. Сколько раз нужно повторить эту перетасовку, прежде чем мы сможем считать колоду «случайной»?

Проследим за ходом карты, которая изначально находится внизу колоды. Эта карта (обозначьте ее ) остается внизу до тех пор, пока под ней не будет вставлена другая карта. Поскольку есть места, куда может попасть карта, взятая сверху, вероятность того, что она окажется ниже, равна , и, следовательно, в среднем она будет перетасовываться «сверху наугад» до того, как карта будет помещена ниже . Теперь вероятность того, что карта, взятая сверху и вставленная случайным образом в колоду, окажется внизу, равна , поскольку теперь внизу есть два места, и ожидаемое количество перетасовок, необходимых для получения второй карты внизу, равно . Таким образом, ожидаемое количество перетасовок, необходимых для получения двух карт ниже, равно . Таким образом, ожидаемое количество перетасовок, необходимых для получения двух карт ниже, равно . Обратите внимание, что на данном этапе карты ниже расположены в случайном порядке. Продолжая в том же духе, мы видим, что ожидаемое количество случайных перетасовок, необходимых для того, чтобы оказаться наверху колоды, равно 9.0003

На этом этапе карты ниже находятся в случайном порядке, и для рандомизации колоды требуется еще одна тасовка, которая случайным образом кладет ее в колоду. Таким образом, общее количество необходимых перетасовок равно

Пересечение пустыни

Эта небольшая проблема привлекла к себе большое внимание во время последней войны — настолько, что, по слухам, она была изобретена немцами и сброшена с парашютом в Великобританию, чтобы отвлечь британских ученых от военных действий.

Вам предстоит пересечь пустыню на джипе. В пустыне нет источников горючего, а в джипе не возьмешь столько горючего, чтобы переправиться за один раз. У вас нет времени устанавливать топливные склады, но у вас есть большой запас джипов. Как пересечь пустыню, используя минимальное количество топлива?

Измерим расстояние, которое может проехать джип с полным баком топлива. Один джип сам по себе может проехать расстояние в один полный бак. Если два джипа отправляются в путь вместе, они проезжают 1/3 полного бака, тогда джип 2 передает 1/3 своего бака джипу 1 и возвращается на базу на оставшейся 1/3 полного бака. Таким образом, джип 1 может проехать в общей сложности 1+1/3 заправки.

С тремя джипами остановитесь, проехав 1/5 полного бака, и перелейте 1/5 полного бака из джипа 3 в каждый из джипов 1 и 2, которые теперь полны. У джипа 3 теперь 2/5 бака, джипы 1 и 2 теперь продолжают движение, как и раньше, а джип 2 возвращается с пустым баком к джипу 3. Между ними у них достаточно топлива, чтобы вернуться на базу. Между тем, Jeep 1 проехал в общей сложности 1+1/3+1/5 заправок.

Те же рассуждения показывают, что на четырех джипах можно проехать 1+1/3+1/5+1/7 заправок, а на джипах можно проехать через пустыню на джипе, что составляет

Здесь мы имеем новый ряд, тоже гармонический (обратные числа в арифметической прогрессии), а также расходящийся, ибо явно

Тот факт, что ряд расходится, показывает, что, используя систему перекачки топлива, вы можете осуществить переход произвольной длины, если у вас достаточно джипов. Можно добавить: пока пустыня достаточно широка, чтобы вместить все эти джипы!

Другой ряд

Мы только что видели, что ряд, полученный из исходного гармонического ряда удалением каждого второго члена, по-прежнему расходится. Как насчет серии

где первый член и все члены с составными (не простыми) знаменателями были удалены? Поскольку все остальные знаменатели являются простыми, а простые числа разбросаны очень тонко, действительно удивительно, что ряды, обратные простым числам, все еще расходятся.

Доказательство этого факта слишком сложно, чтобы приводить его здесь (хотя это только уровень первого курса университета), так что я оставлю вас, чтобы вы попытались найти его самостоятельно. Когда вы доказали, что этот ряд расходится, вы можете сделать вывод, что существует бесконечно много простых чисел, хотя есть более простой способ доказать этот факт.

Вместо того, чтобы удалять все члены с составными знаменателями, давайте удалим все члены, у которых в знаменателе ноль. Похоже, что удаляется примерно каждый десятый член исходного гармонического ряда. Таким образом, кажется разумным предположение, что оставшийся ряд расходится, и для вашей интуиции может быть шоком узнать, что ваше предположение неверно.

Рассмотрим сначала все члены оставшегося ряда с одной цифрой в знаменателе. Их ровно 9, и все они меньше 1. Таким образом, их сумма меньше 9.

Теперь посмотрим на члены этого ряда, в знаменателе которых ровно две цифры. Их 81, все меньше 1/10. Их сумма меньше .

В общем случае есть члены ряда с ровно цифрами в знаменателе, и каждый меньше . Таким образом, их сумма меньше . Таким образом, сумма членов ряда меньше 9.0003

, который представляет собой геометрический ряд, сумма которого до бесконечности равна 90. Таким образом, гармонический ряд без членов, содержащих нулевые цифры, сходится. Можно провести более тщательный анализ, чтобы показать, что сумма этого ряда равна 23,10345 с точностью до пяти знаков после запятой.

Логарифмическая связь

Вернемся теперь к доказательству Орема расходимости гармонического ряда, которое было получено путем демонстрации того, что . Это неравенство предполагает логарифмическую связь.

Вы, наверное, помните, что Пифагор заметил, что нота, издаваемая струной, поднимается на одну квинту, если струна укорачивается на 2/3 ее длины. Он также отметил, что интервал четверти был получен путем сокращения струны до 3/4 ее длины. Разница между квартой и квинтой составляет тон, отношение которого (8/9) получается путем деления 2/3 на 3/4. Это, вероятно, первое проявление логарифмического закона.

Связь между гармоническим рядом и логарифмами еще более тесная. Более тщательный анализ неравенства Орема, который требует небольшого расчета, показывает, что увеличивается с той же скоростью, что и натуральный логарифм . Анализ показывает, что разница

сходится к постоянному значению, обычно обозначаемому , так как стремится к бесконечности. Это постоянная Эйлера, названная в честь известного швейцарского математика Леонарда Эйлера. Было рассчитано, что значение приблизительно равно 0,577, но очень мало известно о природе . Неизвестно даже, рационально это или иррационально. Мгновенная слава ждет вас, если вы сможете решить эту известную нерешенную проблему.

Об авторе

Джон Х. Уэбб родился в Кейптауне и изучал математику в Кейптаунском университете. Он выиграл стипендию в Кембридже, где получил докторскую степень. Вернувшись в Кейптаунский университет, его карьера математика-исследователя в конечном итоге уступила место интересам к математике. образования, уделяя особое внимание популяризации математики, а также выявлению и стимулированию перспективных учащихся.

Он редактирует «Математический дайджест», ежеквартальный журнал для средних школ, проводит соревнования по математике для школ Кейптауна и руководит общенациональной программой «Поиск математических талантов» — программы решения задач по переписке, которая отбирает и обучает южноафриканские команды для Международная математическая олимпиада.