Все ответы по геометрии 9 класс атанасян: ГДЗ по Геометрии за 7-9 класс: Атанасян. Решебник с пояснениями

Содержание

Повторение глава 1 — 4 гдз по геометрии 7‐9 класс Атанасян, Бутузов

Решебники, ГДЗ

1 Класс
- Математика
- Русский язык
- Английский язык
- Информатика
- Немецкий язык
- Литература
- Человек и мир
- Природоведение
- Основы здоровья
- Музыка
- Окружающий мир
- Технология
2 Класс
- Математика
- Русский язык
- Белорусский язык
- Английский язык
- Информатика
- Украинский язык
- Французский язык
- Немецкий язык
- Литература
- Человек и мир
- Природоведение
- Основы здоровья
- Музыка
- Окружающий мир
- Технология
- Испанский язык
3 Класс
- Математика
- Русский язык
- Белорусский язык
- Английский язык
- Информатика
- Украинский язык

Повторение глава 1 — 5 гдз по геометрии 7‐9 класс Атанасян, Бутузов

Решебники, ГДЗ

1 Класс
- Математика
- Русский язык
- Английский язык
- Информатика
- Немецкий язык
- Литература
- Человек и мир
- Природоведение
- Основы здоровья
- Музыка
- Окружающий мир
- Технология
2 Класс
- Математика
- Русский язык
- Белорусский язык
- Английский язык
- Информатика
- Украинский язык
- Французский язык
- Немецкий язык
- Литература
- Человек и мир
- Природоведение
- Основы здоровья
- Музыка
- Окружающий мир
- Технология
- Испанский язык
3 Класс
- Математика
- Русский язык
- Белорусский язык

ГДЗ Геометрия 9 класс Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк (2014) . Ответы и решения

На сегодняшний день чаще всего школьники пользуются решебниками по геометрии, особенно перейдя в девятый класс. Все дело в том, что на это время припадает очень большое количество домашних упражнений. Самые популярные ГДЗ по геометрии в наше время написанные таким автором как Атанасян Л.С. Стоит отметить, что справочники такого типа используют не только дети, но и их родители.

Главный успех решебников в их простой структуре, которая помогает легко и быстро выполнять различные задачи, а также способствует укреплению новых знаний.

Из чего состоят решебники по геометрии

Структура ГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян очень удобна и функциональна. В данные книги входит несколько главных компонентов и несколько дополнительных. В обязательном порядке решебник должен иметь процессы выполнения заданий и правильные ответы после них. Эти компоненты справочников играют очень важную роль во время изучения новых материалов и помогают эффективно справляться с большими объемами домашних упражнений. Благодаря таким частям ГДЗ, девятиклассник гарантировано будет получать высокие баллы и повышать свою успеваемость.

Как и в большинство учебников, в решебники входит содержание. С его поддержкой достаточно просто можно находить необходимые номера заданий на нашем сайте VIPGDZ. Кроме того, в книгах такого образца имеется и список литературы. Он указывает, на какие дополнительные информационные материалы по геометрии ученику стоит обратить внимание, изучая какую-то тему.

Дополнительным элементом, входящим в готовые домашние задания, считаются краткие объяснения к темам. Благодаря им школьник без проблем разберется с изучаемым правилом и научится применять его на практике.

Хочется отметить, что Вам больше не нужно беспокоиться о том, где же искать качественные ГДЗ Атанасяна. Все дело в том, что они уже поселились на нашем портале VIPGDZ.ru.

Немного о сайте VIPGDZ.ru, где обитают только качественные правильные решения

Наш образовательный ресурс VIPGDZ выделяется среди других своих соплеменников множеством преимуществ, которые он предлагает. Во-первых, все ответы по геометрии на наших страницах прошли предварительную тщательную проверку и соответствуют всем стандартам качества к данному виду учебной литературы.

Кроме того, мы позаботились о Ваших финансах и сделали доступ ко всем материалам на VIPGDZ.ru абсолютно бесплатным. Теперь Вам совершенно не нужно волноваться по поводу внесения оплаты за просмотр книг. Также Вы не обязаны проходить какие-либо регистрации, для того чтобы работать с необходимыми ГДЗ.

Сотрудничать с решебниками за 9 класс на нашем ресурсе VIPGDZ в режиме онлайн очень легко и просто. Наш сайт обладает удобным интерфейсом, благодаря которому находить нужные книги будет быстро и комфортно.

Также хочется добавить, что существует и мобильная версия VIPGDZ. Мы создали ее для того, чтобы у Вас всегда под рукой были нужные решения заданий, независимо от Вашего места положения.

Получайте удовольствие от изучения геометрии в 9 классе, используя для этого качественные ГДЗ на нашем сайте VIPGDZ.ru!

Геометрия 9 класс ГДЗ Атанасян

9 класс геометрияГДЗ все предметы SPORT

PHOTO

Главная
Глава 10 задачи
- 911
- 912
- 913
- 914
- 915
- 916
- 917
- 918
- 919
- 920
- 921
- 922
- 923
- 924
- 925
- 926
- 927
- 928
- 929
- 930
- 931
- 932
- 933
- 934
- 935
- 936
- 937
- 938
- 939
- 940
- 941
- 942
- 943
- 944
- 945
- 946
- 947
- 948
- 949
- 950
- 951
- 952
- 953
- 954
- 955
- 956
- 957
- 958
- 959
- 960
- 961
- 962
- 963
- 964
- 965
- 966
- 967
- 968
- 969
- 970
- 971
- 972
- 973
- 974
- 975
- 976
- 977
- 978
- 979
- 980
- 981
- 982
- 983
- 984
- 985
- 986
- 987
Глава 10 вопросы
- 1 вопрос 10 гл
- 2 вопрос 10 гл
- 3 вопрос 10 гл
- 4 вопрос 10 гл
- 5 вопрос 10 гл
- 6 вопрос 10 гл
- 7 вопрос 10 гл
- 8 вопрос 10 гл
- 9 вопрос 10 гл
- 10 вопрос 10 гл
- 11 вопрос 10 гл
- 12 вопрос 10 гл
- 13 вопрос 10 гл
- 14 вопрос 10 гл
- 15 вопрос 10 гл
- 16 вопрос 10 гл
- 17 вопрос 10 гл
- 18 вопрос 10 гл
- 19 вопрос 10 гл
- 20 вопрос 10 гл
- 21 вопрос 10 гл
- 22 вопрос 10 гл
- 23 вопрос 10 гл
- 24 вопрос 10 гл
Глава 11 задачи
- 1011
- 1012
- 1013
- 1014
- 1015
- 1016
- 1017
- 1018
- 1019
- 1020
- 1021
- 1022
- 1023
- 1024
- 1025
- 1026
- 1027
- 1028
- 1029
- 1030
- 1031
- 1032
- 1033
- 1034
- 1035
- 1036
- 1037
- 1038
- 1039
- 1040
- 1041
- 1042
- 1043
- 1044
- 1045
- 1046
- 1047
- 1048
- 1049
- 1050
- 1051
- 1052
- 1053
Глава 11 вопросы
- 1 вопрос 11 гл
- 2 вопрос 11 гл
- 3 вопрос 11 гл
- 4 вопрос 11 гл
- 5 вопрос 11 гл
- 6 вопрос 11 11
- 7 вопрос 11 гл
- 8 вопрос 11 гл
- 9 вопрос 11 гл
- 10 вопрос 11 гл
- 11 вопрос 11 гл
- 12 вопрос 11 гл
- 13 вопрос 11 гл
- 14 вопрос 11 гл
- 15 вопрос 11 гл
- 16 вопрос 11 гл
- 17 вопрос 11 гл
- 18 вопрос 11 гл
- 19 вопрос 11 гл
- 20 вопрос 11 гл
- 21 вопрос 11 гл
- 22 вопрос 11 гл
Глава 12 задачи
- 1078
- 1079
- 1080
- 1081
- 1082
- 1083
- 1084
- 1085
- 1086
- 1087
- 1088
- 1089
- 1090
- 1091
- 1092
- 1093
- 1094
- 1095
- 1096
- 1097
- 1098
- 1099
- 1100
- 1101
- 1102
- 1103
- 1104
- 1105
- 1106
- 1107
- 1108
- 1109
- 1110
- 1111
- 1112
- 1113
- 1114
- 1115
- 1116
- 1117
- 1118
- 1119
- 1120
- 1121
- 1122
- 1123
Глава 12 вопросы
- 1 вопрос 12 гл
- 2 вопрос 12 гл
- 3 вопрос 12 гл
- 4 вопрос 12 гл
- 5 вопрос 12 гл
- 6 вопрос 12 гл
- 7 вопрос 12 гл
- 8 вопрос 12 гл
- 9 вопрос 12 гл
- 10 вопрос 12 гл
- 11 вопрос 12 гл
- 12 вопрос 12 гл
- 13 вопрос 12 гл
Глава 13 задачи
- 1148
- 1149
- 1150
- 1151
- 1152
- 1153
- 1154
- 1155
- 1156
- 1157
- 1158
- 1159
- 1160
- 1161
- 1162
- 1163
- 1164
- 1165
- 1166
- 1167
- 1168
- 1169
- 1170
- 1171
Глава 13 вопросы
- 1-13
- 2-13
- 3-13
- 4-13
- 5-13
- 6-13
- 7-13
- 8-13
- 9-13
- 10-13
- 11-13
- 12-13
- 13-13
- 14-13
- 15-13
- 16-13
- 17-13
Глава 14 задачи
- 1184
- 1185
- 1186
- 1187
- 1188
- 1189
- 1190
- 1191
- 1192
- 1193
- 1194
- 1195
- 1196
- 1197
- 1198
- 1199
- 1200
- 1201
- 1202
- 1203
- 1204
- 1205
- 1206
- 1207
- 1208
- 1209
- 1210
- 1211
- 1212
- 1213
- 1214
- 1215
- 1216
- 1217
- 1218
- 1219
- 1220
- 1221
- 1222
- 1223
- 1224
- 1225
- 1226
- 1227
- 1228
- 1229
- 1230
- 1231
Глава 14 вопросы
- 1-14
- 2-14
- 3-14
- 4-14
- 5-14
- 6-14
- 7-14
- 8-14
- 9-14
- 10-14
- 11-14
- 12-14
- 13-14
- 14-14
- 15-14
- 16-14
- 17-14
- 18-14
- 19-14
- 20-14
- 21-14
- 22-14
- 23-14
- 24-14
- 25-14
- 26-14
Рабочая тетрадь 9 класс Атанасян
- 9 кл
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22

ГДЗ, Решебник. Геометрия 7-9 классы. Атанасян Л.С. 2010 г.

ГДЗ:Геометрия.
Автор:Атанасян Л.С.
Класс:7-9 классы.
2010 Год издания:2010

Ответы педставлены в списке ниже. Изображение ответа появляется под этой надписью.

Ответы по Геометрии за 7-9 классы. Атанасян Л.С. 2010 г.

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 379 380 381 382 383 386 387 388 389 390 391 392 394 395 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 579 580 581 582 583 585 586 587 588 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 631 632 633 634 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 719 720 721 722 723 725 726 727 728 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784

Математика, часть II Решения для класса 9 по математике, глава 1

Страница № 5:

Вопрос 1:

Найдите расстояния с помощью числовой прямой, указанной ниже.

(i) d (B, E) (ii) d (J, A) (iii) d (P, C) (iv) d (J, H) (v) г (К, О)

(vi) d (O, E) (vii) d (P, J) (viii) d (Q, B)

Ответ:

Известно, что расстояние между двумя точками получается путем вычитания меньшей координаты из большей координаты.

(i) Координаты точек B и E равны 2 и 5 соответственно. Мы знаем, что 5> 2.
∴ d (B, E) = 5 — 2 = 3

(ii) Координаты точек J и A равны −2 и 1 соответственно. Мы знаем, что 1> −2.
∴ d (J, A) = 1 — (−2) = 1 + 2 = 3

(iii) Координаты точек P и C равны −4 и 3 соответственно. Мы знаем, что 3> −4.
d (P, C) = 3 — (−4) = 3 + 4 = 7

(iv) Координаты точек J и H равны −2 и −1 соответственно.Мы знаем, что −1> −2.
∴ d (J, H) = −1 — (−2) = −1 + 2 = 1

(v) Координаты точек K и O равны −3 и 0 соответственно. Мы знаем, что 0> −3.
∴ d (K, O) = 0 — (−3) = 0 + 3 = 3

(vi) Координаты точек O и E равны 0 и 5 соответственно. Мы знаем, что 5> 0.
∴ d (O, E) = 5 — 0 = 5

(vii) Координаты точек P и J равны −4 и −2 соответственно. Мы знаем, что −2> −4.
∴ d (P, J) = −2 — (−4) = −2 + 4 = 2

(viii) Координаты точек Q и B равны −5 и 2 соответственно.Мы знаем, что 2> −5.
∴ d (Q, B) = 2 — (−5) = 2 + 5 = 7

Страница № 5:

Вопрос 2:

Если координата A составляет x , а координата B — y , найдите d (A, B).

(i) x = 1, y = 7 (ii) x = 6, y = -2 (iii) x = -3, y = 7

(iv) x = -4, y = -5 (v) x = -3, y = -6 (vi) x = 4, y = -8

Ответ:

(i) Координаты A и B: x и y соответственно. У нас есть x = 1 и y = 7. Мы знаем, что 7> 1.
∴ d (A, B) = y — x = 7 — 1 = 6

(ii ) Координаты A и B: x и y соответственно. Мы имеем x = 6 и y = −2. Мы знаем, что 6> −2.
∴ d (A, B) = x — y = 6 — (−2) = 6 + 2 = 8

(iii) Координаты A и B: x и y соответственно.У нас есть x = −3 и y = 7. Мы знаем, что 7> −3.
∴ d (A, B) = y — x = 7 — (−3) = 7 + 3 = 10

(iv) Координаты A и B: x и y соответственно. Имеем x = −4 и y = −5. Мы знаем, что −4> −5.
∴ d (A, B) = x — y = −4 — (−5) = −4 + 5 = 1

(v) Координаты A и B: x и y соответственно.Имеем x = −3 и y = −6. Мы знаем, что −3> −6.
∴ d (A, B) = x — y = −3 — (−6) = −3 + 6 = 3

(vi) Координаты A и B: x и y соответственно. Мы имеем x = 4 и y = −8. Мы знаем, что 4> −8.
∴ d (A, B) = x — y = 4 — (−8) = 4 + 8 = 12

Страница № 5:

Вопрос 3:

По информации, представленной ниже, найдите, какая точка находится между двумя другими.Если точки не лежат на одной прямой, укажите это.

(i) d (P, R) = 7, d (P, Q) = 10, d (Q, R) = 3

(ii) d (R, S) = 8, d (S, T) = 6, d (R, T) = 4

(iii) d (A, B) = 16, d (C, A) = 9, d (B, C) = 7

(iv) d (L, M) = 11, d (M, N) = 12, d (N, L) = 8

(v) d (X, Y) = 15, d (Y, Z) = 7, d (X, Z) = 8

(vi) d (D, E) = 5, d (E, F) = 8, d (D, F) = 6

Ответ:

(i) Мы имеем, d (P, R) = 7; d (P, Q) = 10; d (Q, R) = 3
Теперь, d (P, R) + d (Q, R) = 7 + 3
Или, d (P, R) + d ( R, Q) = 10
∴ d (P, Q) = d (P, R) + d (Q, R)
Следовательно, точки P, R и Q лежат на одной прямой.
Точка R находится между P и Q, т. Е. P-R-Q.

(ii) Имеем d (R, S) = 8; d (S, T) = 6; d (R, T) = 4
Теперь 8 + 6 = 14, поэтому 8 + 6 ≠ 4; 6 + 4 = 10, поэтому 6 + 4 ≠ 8 и 8 + 4 = 12, поэтому 8 + 4 ≠ 6
Так как сумма расстояний между двумя парами точек не равна расстоянию между третьей парой точек точек, поэтому данные точки R, S и T неколлинеарны.

(iii) Имеем d (A, B) = 16; d (C, A) = 9; d (B, C) = 7
Теперь, d (C, A) + d (B, C) = 9 + 7
Или, d (A, C) + d ( C, B) = 16
∴ d (A, B) = d (A, C) + d (C, B)
Следовательно, точки A, C и B лежат на одной прямой.
Точка C находится между A и B, то есть A-C-B.

(iv) Имеем d (L, M) = 11; d (M, N) = 12; d (N, L) = 8
Теперь, 11 + 12 = 23, поэтому 11 + 12 8; 12 + 8 = 20, поэтому 12 + 8 11 и 11 + 8 = 19, поэтому 11 + 8 ≠ 12
Так как сумма расстояний между двумя парами точек не равна расстоянию между третьей парой точек точек, поэтому данные точки L, M и N неколлинеарны.

(v) Имеем, d (X, Y) = 15; d (Y, Z) = 7; d (X, Z) = 8
Теперь, d (X, Z) + d (Y, Z) = 7 + 8
Или, d (X, Z) + d ( Z, Y) = 15
∴ d (X, Y) = d (X, Z) + d (Z, Y)
Следовательно, точки X, Z и Y лежат на одной прямой.
Точка Z находится между X и Y, то есть X-Z-Y.

(vi) Мы имеем, d (D, E) = 5, d (E, F) = 8, d (D, F) = 6
Итак, 5 + 8 = 13, поэтому 5 + 8 6; 8 + 6 = 14, поэтому 8 + 6 5 и 5 + 6 = 11, поэтому 5 + 6 ≠ 8
Так как сумма расстояний между двумя парами точек не равна расстоянию между третьей парой точек точек, поэтому данные точки D, E и F неколлинеарны.

Страница № 5:

Вопрос 4:

На числовой прямой точки A, B и C таковы, что d (A, C) = 10, d (C, B) = 8.Найдите d (A, B), учитывая все возможности.

Ответ:

Есть только две возможности.
Случай 1: Когда точка C находится между точками A и B.

Мы имеем, d (A, C) = 10; d (C, B) = 8
Теперь d (A, B) = d (A, C) + d (C, B) = 10 + 8
∴ d (A , B) = 18
Случай 2: Когда точка B находится между точками A и C.

Имеем, d (A, C) = 10; d (C, B) = 8
Теперь, d (A, C) = d (A, B) + d (B, C)
Итак, d (A, B) = d (A, C) — d (B, C) = 10-8
∴ d (A, B) = 2

Страница № 5:

Вопрос 5:

Точки X, Y, Z коллинеарны, так что d (X, Y) = 17, d (Y, Z) = 8, найдите d (X, Z).

Ответ:

Задано, что точки X, Y и Z лежат на одной прямой.
Имеем d (X, Y) = 17; d (Y, Z) = 8.
Теперь d (X, Z) = d (X, Y) + d (Y, Z) = 17 + 8
∴ d ( X, Z) = 25

Страница № 5:

Вопрос 6:

Нарисуйте правильный рисунок и напишите ответы на следующие вопросы.

(i) Если A — B — C и l (AC) = 11, l (BC) = 6.5, то l (AB) =?

(ii) Если R — S — T и l (ST) = 3,7, l (RS) = 2,5, то l (RT) =?

(iii) Если X — Y — Z и l (XZ) = 3 7, l (XY) = 7, то l (YZ) =?

Ответ:

(i)

Имеем, l (AC) = 11; л (ВС) = 6.5.
Теперь, l (AC) = l (AB) + l (BC)
Итак, l (AB) = l (AC) — l (BC) = 11 — 6,5
∴ л (AB) = 4,5

(ii)

Имеем, л (ST) = 3,7; л (RS) = 2,5.
Сейчас, л (RT) = л (RS) + л (ST) = 3,7 + 2,5
∴ л (RT) = 5,6

(iii)

У нас, л (XZ) = 37; л (XY) = 7.
Теперь, л (XZ) = л (XY) + л (YZ)
Итак, л (YZ) = л (XZ) — л (XY) = 37-7
∴ л (YZ) = 27

Страница № 5:

Вопрос 7:

Какая фигура образована тремя неколлинеарными точками?

Ответ:

Треугольник состоит из трех сегментов, соединяющих три неколлинеарных точки.

A, B и C — три неколлинеарные точки. Когда A, B и C соединяются, мы получаем ∆ABC.

Страница № 7:

Вопрос 1:

В следующей таблице показаны точки на числовой прямой и их координаты. Решите, совпадают ли пары сегментов, приведенные под таблицей, или нет.

Точка	А	B	С	D	E
Координата	-3	5	2	-7	9

(i) сегменты DE и сегменты AB (ii) сегменты BC и сегменты AD (iii) сегменты BE и сегменты AD.

Ответ:

В данной таблице,

Точка	А	B	С	D	E
Координата	-3	5	2	-7	9

(i) Координаты точек D и E равны −7 и 9 соответственно.Мы знаем, что 9> −7.
∴ l (DE) = 9 — (−7) = 9 + 7 = 16
Координаты точек A и B равны −3 и 5 соответственно. Мы знаем, что 5> −3.
∴ l (AB) = 5 — (−3) = 5 + 3 = 8
Поскольку l (DE) ≠ l (AB), поэтому сегмент DE ≇ сегмент AB.

(ii) Координаты точек B и C равны 5 и 2 соответственно. Мы знаем, что 5> 2.
∴ l (BC) = 5 — 2 = 3
Координаты точек A и D равны −3 и −7 соответственно.Мы знаем, что −3> −7.
∴ l (AD) = −3 — (−7) = −3 + 7 = 4
Поскольку, l (BC) ≠ l (AD), поэтому сегмент BC ≇ сегмент AD.

(iii) Координаты точек B и E равны 5 и 9 соответственно. Мы знаем, что 9> 5.
∴ l (BE) = 9 — 5 = 4
Координаты точек A и D равны −3 и −7 соответственно. Мы знаем, что −3> −7.
∴ l (AD) = −3 — (−7) = −3 + 7 = 4
Поскольку, l (BE) = l (AD), поэтому сегмент BE ≅ сегмент AD.

Страница № 7:

Вопрос 2:

Точка M — это середина отрезка AB. Если AB = 8, найдите длину AM.

Ответ:

У нас есть l (AB) = 8.
Так как M является средней точкой сегмента AB, тогда
l (AM) = 12 из l (AB)
∴ l (AM) = 12 × 8 = 4
Итак, длина AM равна 4.

Страница № 7:

Вопрос 3:

Точка P — это средняя точка сегмента CD. Если CP = 2,5, найдите l (CD).

Ответ:

У нас л (CP) = 2,5.
Так как P является средней точкой сегмента CD, тогда
l (CP) = 12 из l (CD)
∴ l (CD) = 2 × l (CP) = 2 × 2.5 = 5
Итак, длина CD равна 5.

Страница № 7:

Вопрос 4:

Если AB = 5 см, BP = 2 см и AP = 3,4 см, сравните сегменты.

Ответ:

У нас л (АВ) = 5 см; л (ВР) = 2 см; l (AP) = 3,4 см
Мы знаем, что 5> 3,4> 2.
Итак, l (AB)> l (AP)> l (BP).
∴ сегмент AB> сегмент AP> сегмент BP.

Страница № 8:

Вопрос 5:

Напишите ответы на следующие вопросы со ссылкой на данный рисунок.

(i) Напишите имя противоположного луча луча RP. (ii) Напишите множество пересечений луча PQ и луча RP.
(iii) Напишите объединенное множество лучей PQ и QR.

(iv) Укажите лучи, подмножеством которых является сегмент QR.

(v) Запишите пару противоположных лучей с общей конечной точкой R.

(vi) Запишите любые два луча с общей конечной точкой S.

(vii) Запишите набор пересечений луча SP и луча ST.

Ответ:

(i) Ray RS или Ray RT

(ii) Ray PQ

(iii) Ray QR

(iv) Ray QR, Ray RQ и т. Д.

(v) Ray RQ и Ray RT и т. Д.

(vi) Ray ST и Ray SR и т. Д.

(vii) Точка S

Страница № 8:

Вопрос 6:

Отвечайте на вопросы с помощью заданной фигуры.

(i) Укажите точки, которые равноудалены от точки B.

(ii) Напишите пару точек, равноудаленных от точки Q.

(iii) Найдите d (U, V), d (P, C), d (V, B), d (U, L).

Ответ:

(i) Координаты точек B и C равны 2 и 4 соответственно. Мы знаем, что 4> 2.
∴ d (B, C) = 4 — 2 = 2
Координаты точек B и A равны 2 и 0 соответственно.Мы знаем, что 2> 0.
∴ d (B, A) = 2 — 0 = 2
Поскольку d (B, A) = d (B, C), то точки A и C равноудалены. от точки B.
Координаты точек B и D равны 2 и 6 соответственно. Мы знаем, что 6> 2.
∴ d (B, D) = 6 — 2 = 4
Координаты точек B и P равны 2 и −2 соответственно. Мы знаем, что 2> −2.
∴ d (B, P) = 2 — (−2) = 2 + 2 = 4
Поскольку d (B, D) = d (B, P), то точки D и P равноудалены из пункта Б.

(ii) Координаты точек Q и U равны −4 и −5 соответственно. Мы знаем, что −4> −5.
∴ d (Q, U) = −4 — (−5) = −4 + 5 = 1
Координаты точек Q и L равны −4 и −3 соответственно. Мы знаем, что −3> −4.
∴ d (Q, L) = −3 — (−4) = −3 + 4 = 1
Так как d (Q, U) = d (Q, L), то точки U и L равноудалены от точки Q.
Координаты точек Q и R равны −4 и −6 соответственно. Мы знаем, что −4> −6.
∴ d (Q, R) = −4 — (−6) = −4 + 6 = 2
Координаты точек Q и P равны −4 и −2 соответственно. Мы знаем, что −2> −4.
∴ d (Q, P) = −2 — (−4) = −2 + 4 = 2
Так как d (Q, R) = d (Q, P), то точки R и P равноудалены от точки Q.

(iii) Координаты точек U и V равны −5 и 5 соответственно. Мы знаем, что 5> −5.
∴ d (U, V) = 5 — (−5) = 5 + 5 = 10
Координаты точек P и C равны −2 и 4 соответственно.Мы знаем, что 4> −2.
∴ d (P, C) = 4 — (−2) = 4 + 2 = 6
Координаты точек V и B равны 5 и 2 соответственно. Мы знаем, что 5> 2.
∴ d (V, B) = 5 — 2 = 3
Координаты точек U и L равны −5 и −3 соответственно. Мы знаем, что −3> −5.
∴ d (U, L) = −3 — (−5) = −3 + 5 = 2

Страница № 11:

Вопрос 1:

Напишите следующие утверждения в форме «если-то».

(i) Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны.

(ii) Диагонали прямоугольника совпадают.

(iii) В равнобедренном треугольнике сегмент, соединяющий вершину и среднюю точку основания, перпендикулярен основанию.

Ответ:

(i) Если четырехугольник является параллелограммом, то противоположные углы этого четырехугольника равны.

(ii) Если четырехугольник является прямоугольником, то диагонали этого четырехугольника совпадают.

(iii) Если треугольник равнобедренный, то отрезок, соединяющий вершину и среднюю точку основания, перпендикулярен основанию.

Страница № 11:

Вопрос 2:

Напишите обратное следующих утверждений.

(i) Чередующиеся углы, образованные двумя параллельными линиями и их поперечными линиями, совпадают.

(ii) Если пара внутренних углов, образованных трансверсалью двух прямых, являются дополнительными, то эти прямые параллельны.

(iii) Диагонали прямоугольника совпадают.

Ответ:

(i) Если чередующиеся углы, образованные трансверсалью с двумя линиями, совпадают, то линии параллельны.

(ii) Если две параллельные прямые пересекаются трансверсалью, то пара внутренних углов является дополнительной.

(iii) Если диагонали четырехугольника совпадают, то этот четырехугольник является прямоугольником.

Страница № 11:

Вопрос 1:

Выберите правильный вариант из ответов на вопросы, приведенные ниже.

(i) Сколько средних точек у сегмента?

(A) только один (B) два (C) три (D) много

(ii) Сколько точек находится на пересечении двух различных прямых?

(A) бесконечно (B) два (C) один (D) ни один

(iii) Сколько линий определяется тремя разными точками?

(A) два (B) три (C) один или три (D) шесть

(iv) Найдите d (A, B), если координаты A и B равны — 2 и 5 соответственно.

(А) -2 (Б) 5 (В) 7 (Г) 3

(v) Если P — Q — R и d (P, Q) = 2, d (P, R) = 10, то найдите d (Q, R).
(А) 12 (В) 8 (В) 96 (Г) 20

Ответ:

(i) Каждый сегмент имеет одну и только одну среднюю точку.
Следовательно, правильный ответ — вариант (А).

(ii) Известно, что две разные прямые пересекаются в одной точке.
Следовательно, правильный ответ — вариант (С).

(iii) Рассмотрим 3 разные точки как P, Q и R.
Предположим, что точки P, Q и R лежат на одной прямой.

Итак, только одна линия определяется точками P, Q и R.
Предположим, что точки P, Q и R не лежат на одной прямой.

Итак, по точкам P, Q и R. можно определить три линии.
Следовательно, правильный ответ — вариант (C).

(iv) Координаты точек A и B равны -2 и 5 соответственно. Мы знаем, что 5> -2.
∴ d (A, B) = 5 — (−2) = 5 + 2 = 7
Следовательно, правильный ответ — вариант (C).

(v) Принято, что точка Q находится между точкой P и точкой R.

Мы имеем, d (P, Q) = 2; d (P, R) = 10
Теперь, d (P, R) = d (P, Q) + d (Q, R)
∴ d (Q, R) = d (P, R) — d (P, Q) = 10-2 = 8
Следовательно, правильный ответ — вариант (B).

Страница № 11:

Вопрос 2:

На числовой прямой координаты P, Q, R равны 3, — 5 и 6 соответственно.Обоснованно укажите, верны ли следующие утверждения или нет.

(i) d (P, Q) + d (Q, R) = d (P, R)
(ii) d (P, R) + d (R, Q) = г (P, Q)

(iii) d (R, P) + d (P, Q) = d (R, Q)

(iv) d (P, Q) — d (P, R) = d (Q, R)

Ответ:

Координаты точек P и Q равны 3 и −5 соответственно.Мы знаем, что 3> −5.
Теперь d (P, Q) = 3 — (−5) = 3 + 5 = 8
Координаты точек Q и R равны −5 и 6 соответственно. Мы знаем, что 6> −5.
Теперь d (Q, R) = 6 — (−5) = 6 + 5 = 11
Координаты точек P и R равны 3 и 6 соответственно. Мы знаем, что 6> 3.
Итак, d (P, R) = 6-3 = 3

(i) d (P, Q) + d (Q, R) = 8 + 11 = 19; d (P, R) = 3
Итак, d (P, Q) + d (Q, R) ≠ d (P, R)
Следовательно, данное утверждение неверно.

(ii) d (P, R) + d (R, Q) = d (P, R) + d (Q, R) = 3 + 11 = 14; d (P, Q) = 8
Итак, d (P, R) + d (R, Q) ≠ d (P, Q)
Следовательно, данное утверждение неверно.

(iii) d (R, P) + d (P, Q) = d (P, R) + d (P, Q) = 3 + 8 = 11; d (R, Q) = d (Q, R) = 11
Итак, d (R, P) + d (P, Q) = d (R, Q)
Следовательно , данное утверждение верно.

(iv) d (P, Q) — d (P, R) = 8 — 3 = 5; d (Q, R) = 11
Итак, d (P, Q) — d (P, R) ≠ d (Q, R)
Следовательно, данное утверждение неверно.

Страница № 11:

Вопрос 3:

Координаты некоторых пар точек приведены ниже. Следовательно, найдите расстояние между каждой парой.

(i) 3, 6

(ii) — 9, — 1

(iii) — 4, 5

(iv) x, — 2
(v) x + 3, x- 3
(vi) -25, -47
(vii) 80, — 85

Ответ:

(i) Пусть координаты A и B равны 3 и 6 соответственно.Мы знаем, что 6> 3
d (A, B) = 6 — 3 = 3

(ii) Пусть координаты C и D равны −9 и −1 соответственно. Мы знаем, что −1> −9
d (C, D) = −1 — (−9) = −1 + 9 = 8

(iii) Пусть координаты E и F равны −4 и 5 соответственно. Мы знаем, что 5> −4
d (E, F) = 5 — (−4) = 5 + 4 = 9

(iv) Пусть координаты P и Q равны x и −2 соответственно. Предположим, что x > 0, тогда x > −2.
d (P, Q) = x — (−2) = x + 2

(v) Пусть координаты R и S равны x + 3 и x — 3 соответственно. Предположим, x > 0, тогда x + 3> x — 3
d (R, S) = ( x + 3) — ( x — 3) = x + 3 — x + 3 = 2x

(vi) Пусть координаты L и M равны −25 и −47 соответственно. Мы знаем, что −25> −47
d (L, M) = −25 — (−47) = −25 + 47 = 22

(vii) Пусть координаты G и H равны 80 и — 85 соответственно.Мы знаем, что 80> −85
d (G, H) = 80 — (−85) = 80 + 85 = 165

Страница № 12:

Вопрос 4:

Координата точки P на числовой прямой -7. Найдите на числовой прямой координаты точек, находящихся на расстоянии 8 единиц от точки P.

Ответ:

Координаты точки P на числовой прямой равны −7.Теперь на числовой прямой будут две точки, одна слева от точки P, а другая справа от точки P на числовой прямой, которые находятся на расстоянии 8 единиц от точки P.
Пусть точка R находится справа от точка P и точка Q находятся слева от точки P, каждая на расстоянии 8 единиц от точки P.
Координата точки R будет больше, а координата точки Q будет меньше по сравнению с координатой. ордината точки P.
Теперь, d (P, R) = 8
Итак, координата R — координата P = 8
∴ координата R = 8 + координата P = 8 + (−7) = 8-7 = 1
Также, d (Q, P) = 8
Итак, координата P — координата Q = 8
∴ координата Q = координата -координата P — 8 = −7 — 8 = −15

Следовательно, координаты требуемых точек на числовой прямой, которые находятся на расстоянии 8 единиц от точки P, равны 1 и −15.

Страница № 12:

Вопрос 5:

Ответьте на следующие вопросы.

(i) Если A — B — C и d (A, C) = 17, d (B, C) = 6,5, то d (A, B) =?

(ii) Если P — Q — R и d (P, Q) = 3,4, d (Q, R) = 5,7, то d (P, R) =?

Ответ:

(i)

Имеем, d (A, C) = 17; d (B, C) = 6.5
Теперь, d (A, C) = d (A, B) + d (B, C)
Итак, d (A, B) = d (A, C) — d (B, C) = 17 — 6,5
∴ d (A, B) = 10,5

(ii)

Имеем, d (P, Q) = 3,4; d (Q, R) = 5,7
Теперь d (P, R) = d (P, Q) + d (Q, R) = 3,4 + 5,7
∴ d (P , R) = 9,1

Страница № 12:

Вопрос 6:

Координата точки A на числовой прямой равна 1.Каковы координаты точек на числовой прямой, которые находятся на расстоянии 7 единиц от A?

Ответ:

Координаты точки A на числовой прямой равны 1. Теперь будут две точки, одна слева от точки A, а другая справа от точки A на числовой прямой, которые находятся на расстоянии 7. единиц от точки A.
Пусть точка C находится справа от точки A, а точка B находится слева от точки A, каждая на расстоянии 7 единиц от точки A.
Координата точки C будет больше, а координата точки B будет меньше по сравнению с координатой точки A.
Теперь, d (A, C) = 7
Итак, координата ордината C — координата A = 7
∴ координата C = 7 + координата A = 7 + 1 = 8
Также, d (B, A) = 7
Итак, координата ордината A — координата B = 7
∴ координата B = координата A — 7 = 1-7 = −6

Следовательно, координаты искомых точек на числовой прямой, находятся на расстоянии 7 единиц от точки А равны 8 и −6.

Страница № 12:

Вопрос 7:

Запишите следующие утверждения в условной форме.

(i) Каждый ромб представляет собой квадрат.

(ii) Углы в линейной паре являются дополнительными.

(iii) Треугольник — это фигура, образованная тремя сегментами.

(iv) Число, имеющее только два делителя, называется простым числом.

Ответ:

(i) Если данный четырехугольник квадрат, то он должен быть ромбом.
(ii) Если данные два угла образуют линейную пару, то они являются дополнительными.
(iii) Если данная фигура представляет собой треугольник, то она состоит из трех сегментов.
(iv) Если данное число имеет только два делителя, то это простое число.

Страница № 12:

Вопрос 8:

Напишите обратное для каждого из следующих утверждений.

(i) Если сумма углов на фигуре равна 180 ⁰, то фигура представляет собой треугольник.

(ii) Если сумма измерений двух углов равна 90 ⁰, то они дополняют друг друга.

(iii) Если соответствующие углы, образованные трансверсалью двух прямых, совпадают, то эти две прямые параллельны.

(iv) Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3.

Ответ:

(i) Если данная фигура представляет собой треугольник, то сумма его углов равна 180 ⁰.

(ii) Если данные два угла дополняют друг друга, то сумма измерений двух углов равна 90 ⁰.

(iii) Если данные две прямые параллельны, то соответствующие углы, образованные трансверсалью двух прямых, конгруэнтны.

(iv) Если данное число делится на 3, то сумма цифр числа делится на 3.

Страница № 12:

Вопрос 9:

Запишите антецедент (данную часть) и консеквент (часть, которую необходимо доказать) в следующих утверждениях.

(i) Если все стороны треугольника равны, то все его углы равны.

(ii) Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.

Ответ:

(i) Антецедент: все стороны треугольника конгруэнтны.
Следствие: все углы совпадают.

(ii) Утверждение можно записать в условной форме следующим образом: «Если данный четырехугольник является параллелограммом, то его диагонали делят друг друга пополам.
Антецедент: Данный четырехугольник является параллелограммом.
Следствие: его диагонали пересекают друг друга.

Страница № 12:

Вопрос 10:

Нарисуйте помеченный рисунок, показывающий информацию в каждом из следующих утверждений, и запишите антецедент и следствие.

(i) Два равносторонних треугольника подобны.

(ii) Если углы в линейной паре конгруэнтны, то каждый из них является прямым углом.

(iii) Если высоты, начерченные на двух сторонах треугольника, совпадают, то эти две стороны совпадают.

Ответ:

(i) Данное утверждение может быть записано в условной форме следующим образом: «Если данные два символа равносторонние, то они подобны».
Антецедент: Данные два треугольника равносторонние.
Следствие: они похожи.

Здесь ∆ABC и ∆PQR — равносторонние треугольники, поэтому они похожи друг на друга.

(ii) Антецедент: углы в линейной паре конгруэнтны.
Следствие: Каждый из них представляет собой прямой угол.

Здесь ∠AOC и ∠BOC, образующие линейную пару, конгруэнтны друг другу, поэтому каждый из них представляет собой прямой угол.

(iii) Антецедент: высоты, нарисованные на двух сторонах треугольника, совпадают.
Следствие: эти две стороны совпадают.

Здесь BL и CM — высоты, нарисованные на двух сторонах AC и AB соответственно ∆ABC, и они конгруэнтны, поэтому сторона AB конгруэнтна стороне AC.

Просмотреть решения NCERT для всех глав класса 9

Geometry: Answer Key

Answer Key

Здесь представлены ответы и решения для задания «Поместите меня, тренер!». ящики для упражнений, организованные по секциям.

Снятие бремени доказательств

Да
Теорема 8.3: Если два угла дополняют один и тот же угол, то эти два угла конгруэнтны.

∠A и ∠B дополняют друг друга, а ∠C и ∠B дополняют друг друга.

Дано: A и ∠B дополняют друг друга, а ∠C и ∠B дополняют друг друга.

Докажите: ∠A ~ = ∠C.

	Заявления	Причины
1.	∠A и ∠B дополняют друг друга, а ∠C и ∠B дополняют друг друга.	Дано
2.	m∠A + m∠B = 90º, m∠C + m∠B = 90º	Определение дополнительного
3.	m∠A = 90 º — m∠B, m∠C = 90º — m∠B	Свойство вычитания равенства
4.	m∠A = m∠C	Замена (этап 3)
5.	∠A ~ = ∠C	Определение ~ =

Доказательство взаимосвязи сегмента и угла

Если

915 E находится между D и F, тогда DE = DF — EF.

E находится между D и F.

Дано: E находится между D и F

Доказательство: DE = DF — EF.

	Заявления	Причины
1.	E находится между D и F	Дано
2.	D, E и F являются коллинеарными точками, а E находится на ¯DF	Определение между
3.	DE + EF = DF	Постулат добавления сегмента
4.	DE = DF — EF	Свойство вычитания равенства

2. Если → BD делит ABC на два угла, ∠ABD и ∠DBC, тогда m∠ABC = m∠ABC — m∠DBC.

→ BD делит ABC на два угла, ∠ABD и ∠DBC.

Дано: → BD делит ABC на два угла, ∠ABD и ∠DBC

Докажите: m∠ABD = m∠ABC — m∠DBC.

	Заявления	Причины
1.	→ BD делит ∠ABC на два угла, ∠ABD и ∠DBC	Дано
м∠2	м∠16 DBC = m∠ABC	Постулат сложения углов
3.	m∠ABD = m∠ABC — m∠DBC	Свойство вычитания равенства

3.Биссектриса угла уникальна.

∠ABC с двумя биссектрисами: → BD и → BE.

Дано: ∠ABC с двумя биссектрисами: → BD и → BE.

Доказательство: m∠DBC = 0.

906 ~ = ∠DBC и ∠ABE ~ = ∠EBC

	Утверждения	Причины
1.	→ BD и → BE пополам ∠ABC	Дано
Определение биссектрисы ангела
3.	m∠ABD = m∠DBC и m∠ABE ~ = m∠EBC	Определение ~ =
4.	m∠ABD + m∠DBE + m∠EBC = m∠ABC	Угол Постулат сложения
5.	m∠ABD + m∠DBC = m∠ABC и m∠ABE + m∠EBC = m∠ABC	Постулат сложения угла
6.	2m∠ABD = m∠ABC и 2m∠EBC = m∠ABC	Замена (шаги 3 и 5)
7.	m∠ABD = ^m∠ABC/₂ и m∠EBC = ^m∠ABC/₂	Алгебра
8.	^m∠ABC/₂ + m∠DBE + ^m∠ABC/₂ = m∠ABC	Замена (шаги 4 и 7)
9.	m∠ABC + m∠DBE = m∠ABC	Алгебра
10.	m∠DBE = 0	Свойство равенства вычитания

4. Дополнением к прямому углу является прямой угол.

∠A и ∠B — дополнительные углы, а ∠A — прямой угол.

Дано: ∠A и ∠B — дополнительные углы, а ∠A — прямой угол.

Докажите: ∠B — прямой угол.

	Заявления	Причины
1.	∠A и ∠B — дополнительные углы, а ∠A — прямой угол	Дано
2. 906A + 906 m∠B = 180º	Определение дополнительных углов
3.	m∠A = 90º	Определение прямого угла
4.	90º + m∠B = 180º	Замена (шаги 2 и 3)
5.	м∠B = 90º	Алгебра
6.	∠B — прямой угол	Определение прямого угла

Доказательство взаимосвязи между линиями

м∠6 = 105º 8 = 75º
Теорема 10.3: Если две параллельные прямые пересекаются трансверсалью, то чередующиеся внешние углы совпадают.

l ‌ ‌ m разрезать поперечно t.

Дано: l ‌ ‌ m с поперечным разрезом t.

Докажите: ∠1 ~ = ∠3.

	Утверждения	Причины
1.	l ‌ м, разрезанный поперечно t	Учитывая
2.	Углы 9015 1 и 6 по вертикали составляют вертикальных углов
3.	∠2 и ∠3 — соответствующие углы	Определение соответствующих углов
4.	∠2 ~ = ∠3	Постулат 10.1
5.	∠1 ~ = ∠2	Теорема 8.1
6.	∠1 ~ = ∠3	Транзитивное свойство 3.

3. Теорема 10.5: Если две параллельные прямые разрезаны a transversal, то внешние углы на той же стороне трансверсали являются дополнительными углами.

l ‌ ‌ m разрезать поперечно t.

Дано: l ‌ ‌ m с поперечным разрезом t.

Доказательство: 1 и ∠3 являются дополнительными.

	Заявление	Причины
1.	l ‌ ‌ м, разрезанный поперечно t	Дано
2.	∠1 и ∠2 — дополнительные углы, а m∠1 + m∠2 = 180º	Определение дополнительных углов
3.	∠2 и ∠3 — соответствующие углы	Определение соответствующих углов
4.	∠2 ~ = ∠3	Постулат 10.1
5.	м∠2 ~ = мÀ3	Определение ~ =
6.	m∠1 + m∠3 = 180º	Замена (шаги 2 и 5)
7.	∠1 и ∠3 являются дополнительными	Определение дополнительных

Top 3D Принтеры

Заинтересованы в 3D-печати?

Мы изучили основные моменты, которые следует учитывать при покупке 3D-принтера, и выбрали лучшие принтеры 2020 года в соответствии с вашими потребностями.

4.Теорема 10.9: Если две прямые пересекаются трансверсалью так, что чередующиеся внешние углы совпадают, то эти прямые параллельны.

Линии l и m нарезаны поперечной t.

Дано: Прямые l и m пересекаются трансверсалью t, причем ∠1 ~ = ∠3.

Доказательство: l ‌ ‌ m.

Переходное свойство ~ =.

	Заявление	Причины
1.	Линии l и m разрезаны поперечным t, с ∠1 ~ = ∠3	Дано
2.	∠1 и ∠2 — вертикальные углы	Определение вертикальных углов
3.	∠1 ~ = ∠2	Теорема 8.1
4.	∠2 ~ = ∠15616
5.	∠2 и ∠3 — соответствующие углы	Определение соответствующих углов
6.	l ‌ ‌ m	Теорема 10.7

5. Теорема 10.11: Если две прямые пересекаются трансверсалью так, что внешние углы на одной стороне трансверсали являются дополнительными, то эти прямые параллельны.

Линии l и m нарезаны t поперечной t.

Дано: Прямые l и m пересекаются трансверсалью t, ∠1 и ∠3 — дополнительные углы.

Доказательство: l ‌ ‌ m.

	Заявление	Причины
1.	Линии l и m пересечены поперечным t, а ∠1 — дополнительные углы ∠3	Дано
2.	∠2 и ∠1 — дополнительные углы	Определение дополнительных углов
3.	∠3 ~ = ∠2	Пример 2
4.	∠3 и ∠2 — соответствующие углы	Определение соответствующих углов
5.	л ‌ м	Теорема 10.7

Компания двух. Тройка — это треугольник

Равнобедренный тупой треугольник
Острые углы прямоугольного треугольника дополняют друг друга.

ΔABC — прямоугольный треугольник.

Дано: ΔABC — прямоугольный треугольник, а ∠B — прямой угол.

Докажите: ∠A и ∠C — дополнительные углы.

	Заявление	Причины
1.	ΔABC — прямоугольный треугольник, а ∠B — прямоугольный угол	Учитывая
2.	906 м∠B = Определение прямого угла
3.	m∠A + m∠B + m∠C = 180º	Теорема 11.1
4.	m∠A + 90º + m∠C = 180º	Замена (шаги 2 и 3)
5.	m∠A + m∠C = 90º	Алгебра
6.	∠A и ∠C — дополнительные углы	Определение дополнительных углов

3. Теорема 11.3: Мера внешнего угла треугольника равна сумме мер двух несмежных внутренние углы.

ΔABC с внешним углом ∠BCD.

	Заявление	Причины
1.	ΔABC с внешним углом ∠BCD	Учитывая
2.	∠DCA представляет собой прямой угол, и	Определение прямого угла
3.	m∠BCA + m∠BCD = m∠DCA	Постулат сложения угла
4.	m∠BCA + m∠BCD = 180º	Замена ( шаги 2 и 3)
5.	m∠BAC + m∠ABC + m∠BCA = 180º	Теорема 11.1
6.	m∠BAC + m∠ABC + m∠BCA = m∠BCA + m∠BCD	Замена ( шаги 4 и 5)
7.	m∠BAC + m∠ABC = m∠BCD	Свойство вычитания равенства

4. 12 единиц ²

5. 30 единиц ²

6. Нет, треугольник с такими длинами сторон нарушил бы неравенство треугольника.

Конгруэнтные треугольники

1.Отражающее свойство: ΔABC ~ = ΔABC.

Симметричное свойство: Если ΔABC ~ = ΔDEF, то ΔDEF ~ = ΔABC.

Переходное свойство: Если ΔABC ~ = ΔDEF и ΔDEF ~ = ΔRST, то ΔABC ~ = ΔRST.

2. Доказательство: Если ¯AC ~ = ¯CD и ∠ACB ~ = ∠DCB, как показано на рисунке 12.5, то ΔACB ~ = ΔDCB.

~ BC6 ¯BC

	Заявление	Причины
1.	¯AC ~ = ¯CD и ∠ACB ~ = ∠DCB	Дано
2.	Отражающее свойство ~ =
3.	ΔACB ~ = ΔDCB	Постулат SAS

3. Если ¯CB ⊥ ¯AD и ∠ACB ~ = DCB, как показано на рисунке 12.8, то ΔACB ~ = ΔDCB.

	Заявление	Причины
1.	¯CB ⊥ ¯AD и ∠ACB ~ = ∠DCB	Даны
2.	D — прямые углы	Определение ⊥
3.	m∠ABC = 90º и m∠DBC = 90º	Определение прямых углов
4.	m∠ABC = m∠DBC	Замена (шаг 3)
5.	∠ABC ~ = ∠DBC	Определение ~ =
6.	¯BC ~ = ¯BC	Отражающее свойство ~ =
7.	ΔACB ~ = ΔDCB	Постулат ASA

4. Если ¯CB ⊥ ¯AD и ∠CAB ~ = ∠CDB, как показано на рисунке 12.10. тогда ΔACB ~ = ΔDCB.

	Заявление	Причины
1.	¯CB ⊥ ¯AD и ∠CAB ~ = ∠CDB	Дано
2.	∠ABC и ∠DBC — прямые углы	Определение ⊥
3.	м 90º и m∠DBC = 90º	Определение прямых углов
4.	m∠ABC = m∠DBC	Замена (шаг 3)
5.	∠ABC ~ = ∠DBC	Определение ~ =
6.	¯BC ~ = ¯BC	Отражающее свойство ~ =
7.	ΔACB ~ = ΔDCB	Теорема AAS

5. Если ¯CB ⊥ ¯AD и ¯AC ~ = ¯CD, как показано на рисунке 12.12, то ΔACB ~ = ΔDCB.

	Заявление	Причины
1.	¯CB ⊥ ¯AD и ¯AC ~ = ¯CD	Дано
2.	ΔBC	ΔBC правые треугольники и	ΔBC Определение прямоугольного треугольника
3.	¯BC ~ = ¯BC	Отражающее свойство ~ =
4.	ΔACB ~ = ΔDCB	HL Теорема для прямоугольных треугольников

6. Если ∠P ~ = ∠R и M — средняя точка ¯PR, как показано на рисунке 12.17, то ∠N ~ = ∠Q.

906 Улыбающиеся треугольники

x = 11
x = 12
40º и 140º
Если ∠A ~ = ∠D, как показано на рисунке 13.6, то ^BC/_AB = ^CE/_DE.

	Заявление	Причины
1.	∠P ~ = ∠R, а M — средняя точка ¯PR	Дано
2.	¯PM	Определение средней точки
3.	∠NMP и ∠RMQ — вертикальные углы	Определение вертикальных углов
4.	∠NMP ~ = ∠RMQ	Теорема 8.1
5.	ΔPMN ~ = RMQ	Постулат ASA
6.	∠N ~ = ∠16	CPOC

906

Заявление

Причины

∠A ~ = ∠D

Дано

∠BCA и ∠DCE — вертикальные углы

Определение вертикальных углов

∠BCA ~16

Теорема 906 8.1

ΔACB ~ ΔDCE

AA Теорема подобия

^BC/_AB = ^CE/_{000 DE}

150 футов.

Открывающиеся двери с похожими треугольниками

Если линия параллельна одной стороне треугольника и проходит через середину второй стороны, то она пройдет через середину третьей стороны.

¯DE ‌ ‌ ¯AC, а D — средняя точка ¯AB.

Дано: ¯DE ‌ ‌ ¯AC, а D — средняя точка ¯AB.

Докажите: E — середина ¯BC.

₂

	Заявление	Причины
1.	¯DE ‌ ‌ ¯AC, а D — средняя точка ¯AB.	Дано
2.	¯DE ‌ ‌ ¯AC и разрезано поперечно ↔AB	Определение поперечного
3.	∠BDE и ∠BAC — соответствующие углы	углы
4.	∠BDE ~ = ∠BAC	Постулат 10,1
5.	∠B ~ = ∠B	Отражательная способность ~ =
6.	ΔABC ~ ΔDBE	AA Теорема подобия
7.	^DB/_AB = ^BE/_BC	CSSTAP
CSSTAP
Теорема 9.1
9.	^DB/_AB = ¹/₂	Алгебра
1014617 914 925 926 914 926 914 926 BE /_BC	Замена (шаги 7 и 9)
11.	BC = 2BE	Алгебра
12.	BE + EC = BC	Постулат добавления сегмента
13.	BE + EC = 2BE	Замена 906 (шаги 11 и 12)
14.	EC = BE	Алгебра
15.	E — средняя точка ¯BC	Определение средней точки

2. AC = 4√3, AB = 8√, RS = 16, RT = 8√3

3.AC = 4√2, BC = 4√2

Размещение четырехугольников на переднем плане

AD = 63, BC = 27, RS = 45
¯AX, ¯CZ и ¯DY

Трапеция ABCD с ее XB CY показаны четыре высоты.

3. Теорема 15.5: В воздушном змее одна пара противоположных углов конгруэнтна.

Воздушный змей ABCD.

Дано: Воздушный змей ABCD.

Докажите: ∠B ~ = ∠D.

	Заявление	Причины
1.	ABCD — воздушный змей	Дано
2.	¯AB ~ = ¯AD и ¯BC ~ = ¯DC	Определение воздушного змея
3.	¯AC ~ = ¯AC	Отражательная способность ~ =
4.	ΔABC ~ = ΔADC	Постулат SSS
5.	∠B ~ = ∠D	CPOCTAC

4. Теорема 15.6: Диагонали воздушного змея перпендикулярны, а диагонали противоположны. другую диагональ рассекает пополам.

Воздушный змей ABCD.

Дано: Воздушный змей ABCD.

Докажите: ¯BD ⊥ ¯AC и ¯BM ~ = ¯MD.

906 прямой угол

	Заявление	Причины
1.	ABCD — воздушный змей	Дано
2.	¯AB ~ = ¯AD и ¯BC6 ~ = ¯AD и ¯BC6 ~ ¯ воздушного змея
3.	¯AC ~ = ¯AC	Отражательное свойство ~ =
4.	ΔABC ~ = ΔADC	Постулат SSS
5.	∠BAC ~ = ∠DAC	CPOCTAC
6.	¯AM ~ = ¯AM	Отражательная способность ~ =
7.	ΔABM ~ 16 906 906 906 906 AABM ~ = Δ615 906
8.	¯BM ~ = ¯MD	CPOCTAC
9.	∠BMA ~ = ∠DMA	CPOCTAC
10.	m∠BMA	m∠BMA 906 of ~ =
11.	∠MBD — прямой угол, а m∠BMD = 180º	Определение прямого угла
12.	m∠BMA + m∠DMA = m∠BMD	Постулат сложения углов
13.	m∠BMA + m∠DMA = 180º	Замена (шаги 9 и 10)
14.	2m∠BMA = 180º	Замена (шаги 9 и 12)
15.	m∠BMA = 90º	Алгебра
16.	∠BMA — прямой угол
17.	¯BD ⊥ ¯AC	Определение ⊥

5.Теорема 15.9: Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны.

Параллелограмм ABCD.

Дано: Параллелограмм ABCD.

Докажите: ∠ABC ~ = ∠ADC.

964644 шт. ²

7. 180 шт. ²

8. Kite ABCD имеет площадь 48 шт. ².

Параллелограмм ABCD имеет площадь 150 единиц ².

Прямоугольник ABCD имеет площадь 104 единицы ².

Ромб ABCD имеет площадь ³⁵/₂ шт. ².

Анатомия круга

Окружность: 20π футов, длина ˆRST = ¹⁵⁵/₁₈ π футов
9π футов ²
15π футов ²
15π футов ²
Круг

³/_√34 = ^3√34/₃₄
¹/_√3 = ^√3/₃

	Заявление	Причины
1.	Параллелограмм ABCD имеет диагональ ¯AC.	Дано
2.	ΔABC ~ = ΔCDA	Теорема 15.7
3.	∠ABC ~ = ∠ADC	CPOCTAC000

отношение тангенса

/₃, коэффициент синуса = ^√40/₇

коэффициент касания = ⁵/_√56 = ^5√56/₅₆, коэффициент косинуса = ^√56/₉

Выдержки из Полное руководство для идиотов по геометрии © 2004 Дениз Сечей, Ph.D .. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.

Чтобы заказать эту книгу непосредственно у издателя, посетите веб-сайт Penguin USA или позвоните по телефону 1-800-253-6476. Вы также можете приобрести эту книгу на Amazon.com и Barnes & Noble.

PPT — Презентация PowerPoint по геометрии для 9-го класса, скачать бесплатно

Геометрия для 9-го класса Урок 10-5: Касательные

Основная идея • Используйте свойства касательных! • Решение задач, связанных с описанными многоугольниками. Новый словарь • Касательная • Любая прямая, касающаяся кривой ровно в одном месте • Точка касания • Точка пересечения кривой и линии

Теорема 10.9 • Если прямая касается окружности, то она перпендикулярна радиусу, проведенному до точки касания. • Пример: если RT — касательная, ИЛИ RT T R O

Пример: Найти длины АЛГЕБРАСЫ касаются Q в точке R. Найдите y. S 20 16 Q P R y Поскольку радиус перпендикулярен касательной в точке касания, QRSR. Это делает SRQ прямым углом, а SRQ — прямоугольным треугольником. Используйте теорему Пифагора, чтобы найти QR, который составляет половину длины y.

Пример: найти длины (SR) 2 + (QR) 2 = (SQ) 2 Теорема Пифагора 162 + (QR) 2 = 202 SR = 16, SQ = 20 256 + (QR) 2 = 400 Упростить ( QR) 2 = 144 Вычтите 256 из каждой стороны QR = +12 Извлеките квадратный корень из каждой стороны Поскольку y — это длина диаметра, игнорируйте отрицательный результат. Таким образом, y является двойным QR или y = 2 (12) = 24 Ответ: y = 24

Пример CD является касательной к B в точке D.Найди. • 15 • 20 • 10 • 5 C a B A D 40 25

Теорема 10.10 • Если прямая перпендикулярна радиусу окружности в ее конечной точке на окружности, то прямая касается окружности. • Пример: Если OR RT, RT является касательной. RTO

Пример: Определить касательные Определить, является ли BC касательным к AC 7 9 7 AB 7 Сначала определите, является ли ABC прямоугольным треугольником, используя обратную теорему Пифагора

Пример: Определите касательные ( AB) 2 + (BC) 2 = (AC) 2 Обратное к теореме Пифагора 72 + 92 = 142AB = 7, BC = 9, AC = 14 130 ≠ 196 Упростить Поскольку обратное утверждение теоремы Пифагора не подтвердилось в этом случае, ABC не является прямоугольным треугольником Ответ: Итак, BC не касается A.? ?

Пример: Определить касательные Определите, является ли WE касательной к D. E 16 24 10 DW 10 Сначала определите, является ли EWD прямоугольным треугольником, используя обратную теорему Пифагора

Пример: Определите касательные (DW) 2 + (EW) 2 = (DE) 2 Обращение к теореме Пифагора 102 +242 = 262DW = 10, EW = 24, DE = 26 676 = 676 Упростим. Поскольку верно обратное теореме Пифагора, EWD — прямоугольный треугольник, а EWD — прямой угол.Ответ: Таким образом, DW WE, делая WE касательной к D.? ?

Quick Review Определите, является ли ED касательной к QA Да B. Нет C. Не может быть определено D √549 18 QE 15

Quick Review Определите, является ли XW касательной к VA Да B. Нет C. Невозможно определить W 10 17 10 VX 10

Теорема 10.11 • Если два сегмента из одной и той же внешней точки касаются окружности, то они совпадают • Пример: AB ≈ AC BCA

Пример: конгруэнтные касательные АЛГЕБРА Найдите x.Предположим, что сегменты, которые кажутся касательными к окружностям, касаются друг друга. ED и FD нарисованы из одной и той же внешней точки и касаются S, поэтому ED ≈ FD. DG и DH проводятся из одной и той же внешней точки и касаются T, поэтому DG ≈ DH H x + 4 F y DG y — 5 E 10

Пример: конгруэнтные касательные ED = FD Определение конгруэнтных сегментов 10 = y Замена Используйте значение y, чтобы найти x. DG = DH Определение конгруэнтных сегментов 10 + (y — 5) = y + (x + 4) Замена 10 + (10-5) = 10 + (x + 4) y = 10 15 = 14 + x Упростить.1 = x Вычтите 14 с каждой стороны Ответ: 1

Quick Review Найдите. Предположим, что сегменты, которые кажутся касательными к окружностям, касаются друг друга. • 6 • 4 • 30 • -6 30 N b 6 — 4a RA

Пример: треугольники, описанные вокруг круга Треугольник HJK описан около G. Найдите периметр HJK, если NK = JL +29 HN 18 KLM 16 J

Пример: треугольники, описанные вокруг круга Используйте теорему 10.11, чтобы определить равные меры: JM = JL = 16, JH = HN = 18 и NK = MK Нам дано, что NK = JL + 29, поэтому NK = 16 + 29 или 45 Тогда MK = 45 P = JM + MK + HN + NK + JL + LH Определение периметра = 16 + 45 + 18 + 45 + 16 + 18 или 158 Ответ на замену: Периметр HJK составляет 158 единиц.

Quick Review Треугольник НЕ ограничен около M.

Добавить комментарий Отменить ответ

Комментарий *

Имя *

Email *

Сайт