Решеба матем 9 класс: Решебники по алгебре за 9 класс

Содержание

Решение уравнений — 9 класс

Представлены примеры для 9 класса с подробным пошаговым подходом к решению простых уравнений и уравнений со скобками и дробями. Также обсуждается проверка решений уравнения. Также включены дополнительные вопросы и их решения с подробными объяснениями.

Что такое уравнение и его решение?

Сначала мы рассмотрим концепцию уравнений и решение уравнения.
Уравнение — это выражение, выражающее равенство двух математических выражений.

Уравнение имеет знак равенства, правостороннее выражение и левостороннее выражение.

Пример 1
Это примеры уравнений с неизвестным \( x \)
\( \quad 2 x = — 6 \) , \( \quad x + 3 = 7 \) , \( \quad 2(x + 3) = — (2x+4) \)

В каждом уравнении есть знак равенства, разделяющий левую и правую части уравнения.
Левая часть уравнения \( \quad \color{red}{2 x — 6} = x + 5 \) равна \( \quad \color{red}{2 x — 6} \).
Правая часть уравнения \( \quad 2 x — 6 = \color{red}{x + 5} \) равна \( \quad \color{red}{x + 5} \).

Решением уравнения с неизвестным \(x\) является набор всех значений \(x\), которые делают уравнение верным утверждением.

Пример 2
Какое из следующих значений \( x \): \( — 4, 2\) является(ются) решением(ями) уравнения \( 2 x + 2 = x + 4 \)?

Решение примера 2
Замените \( x \) его числовым значением в левой и правой частях уравнения

а) Проверить \( \color{red}{x = — 4} \)
Оценить левую часть: \( 2 \color{red}x + 2 = 2 \color{red}{( — 4 )} + 2 = — 8 + 2 = — 6 \) ,
Оцените правую часть: \( \color{red}x + 4 = \color{red}{( — 4)} + 4 = 0 \)
Числовые значения левой и правой частей не равны, поэтому \( x = — 4 \) НЕ является решением уравнения \( 2 x + 2 = x + 4 \).

а) Проверить \( \color{red}{x = 2} \)
Оцените левую часть: \( 2 x + 2 = 2 \color{red}{(2 )} + 2 = 4 + 2 = 6 \) ,
Оцените правую часть: \( \color{red}x + 4 = \color{red}{(2)} + 4 = 6 \)
Числовые значения левой и правой сторон равны, поэтому \( x = 2 \) равно решение уравнения \( 2 x + 2 = x + 4 \).

Важные свойства для решения уравнений

Чтобы решить уравнение, нам нужны математические шаги, которые помогут получить все члены с неизвестными с одной стороны и постоянными с другой стороны.
Некоторые из наиболее важных свойств, используемых для решения уравнений, перечислены ниже.

1) Если мы прибавим или вычтем одну и ту же величину к обеим частям уравнения, мы получим уравнение, имеющее то же решение, что и исходное.
1) Если мы умножим или разделим обе части уравнения на одну и ту же величину, НЕ равную нулю, мы получим уравнение, имеющее то же решение, что и исходное.

Решение простых уравнений

Пример 3
Решите уравнение \( 2x + 1 = — 5 \) и проверьте полученное решение.

Решение примера 3
Основная идея состоит в том, чтобы все члены с неизвестным \( x \) с одной стороны и все постоянные члены с другой стороны уравнения

Оставим члены \( 2x \) слева, а постоянные члены — справа. Это можно сделать, вычитая \( 1 \) из обеих частей уравнения
\( \quad \quad 2x + 1 \color{red}{- 1} = — 5 \color{red}{- 1} \)

Упростите, чтобы получить
\( \четверка \четверка 2x = — 6 \)

Чтобы получить \( x \) из \( 2x \), мы разделим обе части приведенного выше уравнения на 2
\( \quad \quad \dfrac{2 x}{\color{red}2} = \dfrac{-6}{\color{red}2} \)

Упростить
\( \квадратный \четверный х = -3 \)

Проверить решение, полученное в исходном (заданном) уравнении
Оценить левую часть уравнения для \( x = — 3 \) : \( \quad 2x + 1 = 2(-3) + 1 = — 5 \)

Оценить левую часть уравнения для \( x = — 3 \) : \( \quad — 5 \)
Левая и правая стороны равны \( — 5 \) для \( x = — 3 \), поэтому \( x = — 3 \) является решением данного уравнения.

Пример 4
Решите уравнение \( x — 2 — 3x = — 7 — x \) и проверьте полученное решение.

Решение примера 4
Сгруппируйте одинаковые члены в двух частях уравнения. \( x \) и \( — 3x \) подобны терминам в левой части и могут быть сгруппированы, чтобы дать
\( \четверка \четверка — 2х — 2 = — 7 — х \)

Добавьте \( 2 \) к обеим частям уравнения, чтобы исключить постоянные члены из левой части.
\( \quad \quad — 2x — 2 \color{red}{+ 2} = — 7 — x \color{red}{+ 2} \)

Упростить
\( \четверка \четверка — 2x = — x — 5 \)

Добавьте \( x \) к обеим частям уравнения, чтобы исключить члены с \( x \) из правой части.
\( \quad \quad — 2x \color{red}{+x } = — x — 5 \color{red}{+x }\)

Упростите, чтобы получить
\( \четверка \четверка — х = — 5 \)

Если мы знаем \( — x \) и нам нужно \( x \), мы умножаем обе части уравнения на \( — 1 \)
\( \quad \quad \color{red}{(-1)}(- x) = \color{red}{(-1)}(- 5) \)

Упростить
\( \квадратный \четверный х = 5 \)

Проверить решение, полученное в исходном (заданном) уравнении
Левая часть уравнения для \( x = 5 \) : \( \quad x — 2 — 3x = 5 — 2 -3(5) = — 12 \)
Правая часть уравнения для \( x = 5 \) : \( \quad — 7 — x = — 7 — (5) = — 12 \)
Левая и правая части равны \( — 12 \) для \( x = 5 \), поэтому \( x = — 3 \) является решением данного уравнения.

Решение уравнений со скобками

Пример 5
Решите уравнение \( — 2 (x — 2) + 3 = 3 (-x + 4) — 3 \) и проверьте полученное решение.

Решение примера 5
Данное уравнение
\( \quad \quad \color{red}{- 2} (x — 2) + 3 = \color{red}3 (-x + 4) — 3 \)
Используйте распределительный закон: \( \quad a(b+c) = ab + ac \quad \), который является одним из основных правил алгебры, чтобы убрать скобки. Распределите \(\color{red}{-2} \) и \(\color{red}3 \).
\( \quad \quad \color{red}{- 2} (x ) \color{red}{- 2} (- 2) + 3 = \color{red}3 (-x) + \color{red }3 (4) — 3 \)

Упростить
\( \quad \quad — 2 х + 4 + 3 = — 3 х + 12 — 3 \)

Сгруппируйте одинаковые члены в обеих частях уравнения.
\( \quad \quad — 2 x + 7 = — 3 x + 9 \)

Вычтите \( 7 \) из обеих частей уравнения, чтобы исключить постоянные члены из левой части уравнения.
\( \quad \quad — 2 x + 7 — 7 = — 3 x + 9 — 7 \)

Групповые термины
\( \квадратный \четверный — 2x = — 3x + 2 \)

Добавьте \( 3x \) к обеим частям уравнения, чтобы исключить члены в \( x \) из левой правой части уравнения.
\( \quad \quad — 2x + 3 x = — 3x + 2 + 3x \)

Сгруппируйте похожие термины и упростите
\( \квадрат \квадрат х = 2 \)

Проверить решение, полученное в исходном (заданном) уравнении
Оцените левую часть уравнения для \( x = 2 \) : \( \quad — 2 (x — 2) + 3 = — 2 ((2) — 2) + 3 = 3 \)
Оцените правую часть уравнения для \( x = 2 \) : \( \quad 3 (-x + 4) — 3 = 3 (-(2) + 4) — 3 = 3 \)

Левая и правая стороны равны 3 для \( x = 2 \), поэтому \( x = 2 \) является решением данного уравнения.

Решение уравнений с дробями

Принятый здесь метод решения уравнений с дробями заключается в том, что мы сначала избавляемся от дробей (чтобы не иметь дело с дробями) путем умножения, а затем решаем уравнение.

Пример 6
Решите уравнение \( \quad \dfrac{x}{2} = — 3 \) и проверьте полученное решение.

Решение примера 6
Чтобы исключить знаменатель \( 2 \) в \( \dfrac{x}{2} \), мы умножаем две части уравнения на знаменатель \( 2 \)

\( \quad \color{red}2 \left(\dfrac{x}{2} \right) = \color{red}2 (- 3) \)

Упростить
\( \quad x = — 6 \)

Проверить решение, полученное в исходном (заданном) уравнении
Левая часть уравнения для \( x = -6 \) : \( \quad \dfrac{x}{2} = \dfrac{-6}{2} = — 3 \)
Левая и правая стороны равны \( — 3 \) для \( x = — 6 \), поэтому \( x = — 6 \) является решением данного уравнения.

Пример 7
Решите уравнение \( \quad \dfrac{x}{3} — \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \) и проверьте полученное решение.

Решение примера 7
Теперь у нас есть две дроби со знаменателями \( 2 \) и \( 3 \) в данном уравнении. Чтобы избавиться от дробей, нам нужно умножить обе части уравнения на НОК (наименьшее общее кратное) двух разных знаменателей \(2\) и \(3\).
Найдите НОК \( 2 \) и \( 3 \), который равен \( 6 \).
Умножьте обе части уравнения на НОК, который равен \( 6 \)
\( \quad\quad \color{red}6 \left( \dfrac{x}{3} — \dfrac{1}{2} \right) = \color{red}6 \left(\dfrac{1 {3}\справа) \)

Распределить коэффициент \( 6 \)
\( \quad\quad 6 \left(\dfrac{x}{3} \right) — 6 \left(\dfrac{1}{2} \right) = 6 \left(\dfrac{1}{3) } \верно) \)

Переставить как
\( \quad\quad \left(\dfrac{6}{3} \right) x — \left(\dfrac{6}{2} \right) = \left(\dfrac{6}{3} \ верно) \)

Упростить
\( \четверка\четверка 2x — 3 = 2 \)

ПРИМЕЧАНИЕ. Чтобы избавиться от дробей, необходим один шаг, который представляет собой умножение обеих частей уравнения на НОК знаменателей, поскольку НОК кратен каждому знаменателю.

Решите приведенное выше уравнение, добавив \( 3 \) к обеим частям, и упростите, чтобы получить
\( \четверка\четверка 2 х = 5 \)

Разделить обе части на \( 2 \)
\( \quad\quad x = \dfrac{5}{2} \)

Проверить решение, полученное в исходном (заданном) уравнении
Левая часть уравнения для \( x = \dfrac{5}{2} \) : \( \quad \dfrac{x}{3} — \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3 } x — \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{5}{2}\right) — \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{ 3} \)

Левая и правая стороны равны \( \dfrac{1}{3} \) для \( x = \dfrac{5}{2} \), поэтому \( x = \dfrac{5}{2} } \) является решением данного уравнения.

Пример 8
Решите уравнение \( \quad \dfrac{2x + 1}{5} + 2 = — \dfrac{x}{3} \) и проверьте полученное решение.

Решение примера 8
Теперь у нас есть дроби со знаменателями \( 5 \) и \( 3 \) в данном уравнении. Нам нужно умножить обе части уравнения на НОК (наименьшее общее кратное) двух разных знаменателей \(5\) и \(3\).
Найдите LCM \( 5 \) и \( 3 \), которое равно \( 15 \).
ПРИМЕЧАНИЕ. Чтобы избавиться от дробей, необходим один шаг, который представляет собой умножение обеих частей уравнения на НОК знаменателей, поскольку НОК кратен каждому знаменателю.

Умножить обе части уравнения на НОК \( 15 \)
\( \quad\quad \color{red}{15} \left( \dfrac{2x + 1}{5} + 2 \right) = \color{red}{15} \left(\ — \dfrac{ х}{3} \справа) \)

Коэффициент распределения \( 15 \)
\( \quad\quad 15 \left(\dfrac{2x+1}{5} \right) + 15 (2) = 15 \left( — \dfrac{x}{3} \right) \)

Переставить как
\( \quad\quad \dfrac{15}{5}(2x+1) + 15 (2) = \dfrac{15}{3}(-x) \)

Упростить
\( \четверка\четверка 3 (2x+1) + 30 = — 5x \)

Распределить множитель \(3 \) в левой части и сгруппировать подобные термины
\( \quad\quad 6 x + 3 + 30 = — 5x \)
\( \quad\quad 6x + 33 = — 5 x \)

Вычтите \( 33 \) с обеих сторон и прибавьте \( 5x \) к обеим сторонам. (ПРИМЕЧАНИЕ: мы выполнили две операции за один шаг.)

\( \quad\quad 6x + 33 \color{red}{- 33 + 5x } = — 5 x \color{red}{- 33 + 5x } \)

Групповые термины
\( \quad\quad 11 x = — 33 \)

Разделите обе части на \( 11 \)
\( \quad\quad \dfrac{ 11 x} {11} = \dfrac{-33}{11} \)
Упростить
\( \четверка\четверка х = — 3 \)

Проверить решение, полученное в исходном (данном) уравнении
Левая часть уравнения для \( x = — 3 \) : \( \quad \dfrac{2x + 1}{5} + 2 = \dfrac{2( -3)+1}{5}+2=1\)

Правая часть уравнения для \( x = -3 \) : \( \quad — \dfrac{x}{3} = — \dfrac{-3}{3} = 1 \) Левая и правая части равны \( 1 \) для \( x = -3 \), поэтому \( x = — 3 \) является решением данного уравнения.

Вопросы

Решите следующие уравнения и проверьте найденное решение.
1. ) \( 2x + 2 = 6 \)
2. ) \( 5у — 2 = 7у — 8 \)
3. ) \( -2x + 4 + 5x = 7 + 4x — 3 \)
4. ) \( 0,2 д + 4 = — 0,1 д — 2 \)
5. ) \(-2(2х-6) = -(х-4) \)
6. ) \( -(х+2)+4 = 2(х+3) + х \)
7. ) \( \dfrac{x}{5} = — 6 \)
8. ) \( — \dfrac{x}{3} = \dfrac{1}{2} \)
9. ) \( — \dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{2} — x \)
10. ) \( — \dfrac{x-3}{7} = \dfrac{1}{2} (- 2x + 6) \)
11. ) \( — \dfrac{1}{2} — x + 5 = \dfrac{1}{5} + 2(x-2) \)

Включены ответы на вышеуказанные вопросы.

Дополнительные справочные материалы и ссылки

Решить уравнения, системы уравнений и неравенства
Найти наименьшее общее кратное
Математика средней школы (6, 7, 8, 9 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами
Математика средней школы (10 классы, 11 и 12) — Бесплатные вопросы и задачи с ответами
Начальная математика (4 и 5 классы) с бесплатными вопросами и задачами с ответами

Математика Стратегии учащихся 9 класса при решении задач с числовыми моделями

Стратегии решения математических задач учащихся 9 класса по математике

Полный текст (PDF)

Эрика Доретея Спангенберг ¹ ^* , Aphane Koko Pithmajor ¹

Подробнее

¹ Йоханнесбургский университет, ЮАР ^* Автор, ответственный за переписку

Резюме

Многие учащиеся 9-го класса по математике сталкиваются с трудностями при решении задач на числовые закономерности из-за недостаточного знакомства со стратегиями решения таких задач.

Цель этого предварительного качественного исследования состояла в том, чтобы изучить стратегии учащихся 9-х классов по математике при решении задач с числовыми моделями. В основу исследования легла концептуальная основа решения проблем Сингера и Войки (2013), в которой выделяются четыре индикатора, а именно декодирование, представление, обработка и реализация. Девяносто 9 классдля участия были целенаправленно отобраны учащиеся из трех сельских школ (по 30 человек в каждой школе). Качественные данные были собраны посредством письменных заданий и полуструктурированных индивидуальных интервью. Исследование показало, что учащиеся используют четыре основные стратегии для решения задач с числовыми моделями, а именно (1) прямой счет; (2) прямо пропорциональная; (3) рекурсивная стратегия; и (4) репрезентация мысленных образов. Знание стратегий учащихся может помочь учителям в их педагогике при обучении задачам с числовыми моделями. Исследование дополняет исследования по решению проблем, особенно связанных с числовыми моделями.

Ключевые слова

учащиеся
математика
номер-шаблон
решение проблем
стратегии

Лицензия

Это статья с открытым доступом, распространяемая в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего цитирования оригинальной работы.

Тип статьи: исследовательская статья

ЕВРАЗИЯ J Math Sci Tech Ed, 2020, Том 16, Выпуск 7, Статья №: em1862

https://doi. org/10.29333/ejmste/8252

Дата публикации: 10 мая 2020 г.

Просмотры статьи: 2867

Загрузка статей: 2312

Открытый доступ Рекомендации Как цитировать эту статью

APA

Спангенберг, Э. Д., и Питмайор, А. К. (2020). Стратегии учащихся 9 класса по математике при решении задач на числовой образ. Eurasia Journal of Mathematics, Science and Technology Education, 16 (7), em1862. https://doi.org/10.29333/ejmste/8252

Ванкувер

Spangenberg ED, Pithmajor AK. Стратегии учащихся 9 класса по математике при решении задач на числовой образ. ЕВРАЗИЯ J Math Sci Tech Ed. 2020;16(7):em1862. https://doi.org/10.29333/ejmste/8252

AMA

Спангенберг ЭД, Питмайор А.К. Стратегии учащихся 9 класса по математике при решении задач на числовой образ. ЕВРАЗИЯ J Math Sci Tech Ed . 2020;16(7), em1862. https://doi.org/10.29333/ejmste/8252

Чикаго

Спангенберг, Эрика Доретея и Афан Коко Питмайор. «Стратегии учащихся 9-го класса по математике в решении задач с числовым образцом». Евразийский журнал математики, науки и технологий образования 2020 16 вып. 7 (2020): em1862. https://doi.org/10.29333/ejmste/8252

Гарвард

Спангенберг, Э. Д., и Питмайор, А. К. (2020). Стратегии учащихся 9 класса по математике при решении задач на числовой образ. Eurasia Journal of Mathematics, Science and Technology Education , 16(7), em1862. https://doi.org/10.29333/ejmste/8252

MLA

Spangenberg, Erica Dorethea et al.