Геометрия 9 класс Атанасян Учебник
Ознакомительная версия с цитатами из учебника для принятия решения о покупке книги: Геометрия. 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина — М.: Просвещение. Нажмите на изображение обложки книги, чтобы перейти в Интернет-магазин!
Содержание учебника «Геометрия 9 класс» УМК Атанасян позволяет достичь планируемых результатов обучения, предусмотренных ФГОС основного общего образования. Учебник включает трёхступенчатую систему задач, а также исследовательские задачи, темы рефератов, список рекомендуемой литературы, что позволит учащимся расширить и углубить свои знания по геометрии.
Специально для родителей и только у нас даны ОТВЕТЫ и РЕШЕНИЯ на задачи из учебника (ГДЗ).
Глава X. Метод координат.§ 1. Координаты вектора (89. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
90. Координаты вектора)
Задачи №№ 911 — 928 с ответами
§ 2. Простейшие задачи в координатах (91. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца. 92. Простейшие задачи в координатах)
Задачи №№ 929 — 958 с ответами
§ 3. Уравнения окружности и прямой (93. Уравнение линии на плоскости. 94. Уравнение окружности. 95. Уравнение прямой. 96. Взаимное расположение двух окружностей)
Задачи №№ 959 — 987 с ответами
Вопросы для повторения к главе X.
Дополнительные задачи
§ 1. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла (97. Синус, косинус, тангенс, котангенс. 98. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения. 99. Формулы для вычисления координат точки)
§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника (100. Теорема о площади треугольника. 101. Теорема синусов. 102. Теорема косинусов. 103. Решение треугольников. 104. Измерительные работы)
§ 3. Скалярное произведение векторов (105. Угол между векторами. 106. Скалярное произведение векторов. 107. Скалярное произведение в координатах. 108. Свойства скалярного произведения векторов)
Вопросы для повторения к главе XI.
Дополнительные задачи
§ 1. Правильные многоугольники (109. Правильный многоугольник. 110. Окружность, описанная около правильного многоугольника. 111. Окружность, вписанная в правильный многоугольник. 112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности. 113. Построение правильных многоугольников)
§ 2. Длина окружности и площадь круга (114. Длина окружности. 115. Площадь круга. 116. Площадь кругового сектора)
Вопросы для повторения к главе XII.
Дополнительные задачи
Движения.§ 1. Понятие движения (117. Отображение плоскости на себя. 118. Понятие движения. 119*. Наложения и движения)
§ 2. Параллельный перенос и поворот (120. Параллельный перенос. 121. Поворот)
Вопросы для повторения к главе XIII.
Дополнительные задачи
§ 1. Многогранники (122. Предмет стереометрии. 123. Многогранник. 124. Призма. 125. Параллелепипед. 126. Объём тела. 127. Свойства прямоугольного параллелепипеда. 128. Пирамида)
§ 2. Тела и поверхности вращения (129. Цилиндр. 130. Конус. 131. Сфера и шар)
Вопросы для повторения к главе XIV.
Дополнительные задачи.
Задачи повышенной трудности (Задачи к главе X. Задачи к главе XI. Задачи к главе XII. Задачи к главе XIII. Задачи к главе XIV).
Вы смотрели: Ознакомительная версия с цитатами из учебника для принятия решения о покупке книги: Геометрия. 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина — М.: Просвещение.
Геометрия 9 Атанасян Учебник ОГЛАВЛЕНИЕ:
Глава X. Метод координат.
Глава XI. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.
Глава XII. Длина окружности и площадь круга.
Глава XIII. Движения.
Глава XIV. Начальные сведения из стереометрии.
Повторение теории и решение типовых задач на
На этом уроке мы повторим пройденную теорию и продолжим решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости.
Сначала повторим теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости. И тогда мы будем решать проблемы, используя эту функцию.
Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей
Урок: Повторение теории и решение типовых задач на
перпендикулярность прямой и плоскости (продолжение)
В этом уроке мы повторим пройденную теорию и продолжим решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости .
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Пусть дана плоскость α. В этой плоскости две прямые. стр и q, пересекаются в точке O (рис. 1). Прямая
3. Сайт репетитора по математике()
1. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
2. Дана окружность с центром в точке О . Прямая ПН перпендикулярна плоскости окружности. Докажите, что прямая МО перпендикулярна любому радиусу окружности.
3. В треугольнике ABC проведена высота CH . Прямая MA перпендикулярна плоскости ABC . Линия перпендикулярна? CH самолет AMV ?
4. Прямая MA перпендикулярно плоскости квадрата ABC D . Найдите длину отрезка МС, МБ , MD , если сторона квадрата равна а, AM = b .
Назад вперед
Внимание! Слайды предварительного просмотра предназначены только для информационных целей и могут не отражать весь объем презентации. Если вас заинтересовала эта работа, пожалуйста, скачайте полную версию.
Класс: 10.
Базовый учебник: Геометрия 10-11: базовый и профильный уровни / Л.С. Атанасян и др. – М.: Просвещение, 2009.
Урок сопровождается презентацией, тестом, выполненным в Microsoft Excel для компьютерной проверки знаний обучающихся ( Приложение 1 ), учебным модулем Федерального центра информационно-образовательных ресурсов ( Приложение 2 ), состоящим из 5 заданий разного уровня сложности. Все задачи этого модуля параметризованы, что позволяет создавать индивидуальные задачи. Задания предназначены для развития навыков решения задач с использованием признака перпендикулярности прямой и плоскости. Для работы с обучающим модулем необходимо установить специальную программу, она есть в
Тип урока: урок творческого применения знаний.
Форма проведения: семинар по решению ключевых проблем.
Затраты времени: 45 минут.
Место проведения занятия в секции : 4 урок.
Цели:
Учебники:
- «открыть» понятия перпендикулярного и наклонного к плоскости;
- навыков сборки:
см. конфигурации, отвечающие заданным условиям;
применять к задачам на доказывание определение прямой, перпендикулярной плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости; - развивать навыки решения основных задач на перпендикулярность прямой и плоскости.
Проявление:
- развивать пространственное воображение, логическое мышление;
- развивать самостоятельность учащихся и творческое отношение к выполнению заданий;
- организовать осмысление результатов изучения темы и способов их достижения.
Образовательные:
- воспитывать:
воля и настойчивость для достижения конечного результата при решении задач;
информационная культура и культура общения.
Методы: частично разведочные, исследовательские.
Формы организации деятельности: фронтальная, групповая, индивидуальная, самостоятельная работа.
Оборудование: компьютерный класс, мультимедийный проектор, экран, компьютерная презентация по теме, тест (приложение 1), карточки для индивидуальной работы (Слайд 9), карточки с вопросами по теории, ЭОР с практическим параметризованным заданием (приложение 2).
Организационный момент — проверка готовности класса к уроку.
I. Мотивационно-ориентировочная часть.
1. Актуализация знаний.
— Сегодня продолжаем работу по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости». На прошлых уроках мы «открыли» определение прямой, перпендикулярной плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости, разобрали простейшие задачи. В качестве домашнего задания каждый из вас получил лист с вопросами по теории, вам было предложено подготовить ответы на эти вопросы.
Давайте проверим, как вы справились с этой задачей.
Проходит очный опрос. (слайды 6-8).
Вопросы :
|
Подводятся итоги устной работы, оцениваются ответы студентов.
2. Постановка учебного задания.
Сегодня мы продолжим формировать умение применять известные утверждения в задачах доказывания и при решении типовых задач.
1. Следующий этап работы – к доске вызываются двое учащихся для индивидуальной работы по карточкам, с остальными учащимися проводится фронтальная работа по готовым рисункам. Карточек для индивидуальной работы:
Задания для устной работы по готовым рисункам:
Дано: M ABC , MBCD — прямоугольник. Докажите: прямо CD ⊥ ABC | Дано: ABCD — параллелограмм. Докажи: прямо МО ⊥ ABC |
Дано: М Азбука , ABCD — ромб. Докажите: прямо BD ⊥ AMC | Дано: AH ⊥α, AB — наклонный. Найти AB . |
Дано: AH ⊥α, AB — наклонный. Найти | Дано: AH ⊥α, AB и AC — косой. AB = 12, HC = 6√6 . Найдите AC . |
— Ребята, в заданиях 4-6 речь идет о наклонной плоскости. Как вы думаете, что имеется в виду?
Есть ли здесь аналогия с понятиями перпендикуляра и наклона к прямой, изучаемыми в планиметрии?
Студентам предлагается изучить слайд 10 презентации и решить эти задачи.
2. Работа в парах — задачи решаются по готовым чертежам.
Решения обсуждаются. Оцениваются индивидуальные ответы учащихся.
Следующим этапом занятия является выполнение практического задания на компьютере, работа с ЭОР.
III. Рефлексивно-оценочная часть.
1. Результатом работы на уроке является проверка в виде теста.
Подведены итоги урока, выставлены оценки.
2. Домашнее задание: № 130, 131, 145, 148. (Обозначение: использовать знак перпендикулярности прямой и плоскости).
М.: 2014. — 80 с.
Пособие составлено в виде таблиц и содержит более 350 заданий. Задания каждой таблицы соответствуют определенной теме школьного курса геометрии для 10-11 классов и расположены внутри таблицы в порядке возрастания сложности.
Учитель математики, работающий в средней школе, хорошо знает, как трудно научить учащихся делать наглядные и правильные рисунки для стереометрических задач.
Из-за отсутствия пространственного воображения стереометрическая задача, для которой нужно сделать рисунок самостоятельно, часто становится непосильной для школьника.
Именно поэтому использование готовых чертежей для стереометрических задач значительно увеличивает объем рассматриваемого на уроке материала, повышает его эффективность.
Предлагаемое пособие является дополнительным сборником задач по геометрии для учащихся 10-11 классов общеобразовательной школы и ориентировано на учебник А.В. Погорелова «Геометрия 7-11». Является продолжением аналогичного пособия для учащихся 7-9 классов.
Формат: pdf(2014, 80с.)
Размер: 1,2 МБ
Часы, скачать: drive.google ; Призрак
Формат: djvu(2006, 80-е гг.)
Размер: 1,3 МБ
Скачать: drive.google
Содержание
Предисловие 3
Повторение курса планиметрии 5
Таблица 1. Решение треугольников 5
Таблица 2. Площадь треугольника 6
Таблица 3. Площадь четырехугольника 7
Таблица 4. Площадь четырехугольника 8
Стереометрия. 10 класс 9
Таблица 10. 1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия… 9
Таблица 10.2. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия. десять
Таблица 10.3. Параллельность линий в пространстве. Перечеркнутые линии 11
Таблица 10.4. Параллельность прямых и плоскостей 12
Таблица 10.5. Знак параллельных плоскостей 13
Таблица 10.6. Свойства параллельных плоскостей 14
Таблица 10.7. Изображение пространственных фигур на плоскости 15
Таблица 10.8. Изображение пространственных фигур на плоскости 16
Таблица 10.9. Перпендикулярность прямой и плоскости 17
Таблица 10.10. Перпендикулярность прямой и плоскости 18
Таблица 10.11. Перпендикулярные и косые 19
Таблица 10.12. Перпендикулярные и косые 20
Таблица 10.13. Теорема о трех перпендикулярах 21
Таблица 10.14. Теорема о трех перпендикулярах 22
Таблица 10.15. Теорема о трех перпендикулярах 23
Таблица 10.16. Перпендикулярность плоскости 24
Таблица 10.17. Перпендикулярность плоскости 25
Таблица 10. 18. Расстояние между линиями пересечения 26
Таблица 10.19. Декартовы координаты в пространстве 27
Таблица 10.20. Угол между скосами 28
Таблица 10.21. Угол между прямой и плоскостью 29
Таблица 10.22. Угол между плоскостями 30
Таблица 10.23. Площадь ортогональной проекции многоугольника 31
Таблица 10.24. Векторы в пространстве 32
Стереометрия. 11 класс 33
Таблица 11.1. Двугранный угол. Угол трехгранный 33
Таблица 11.2. Прямая призма 34
Таблица 11.3. Правильная призма 35
Таблица 11.4. Правильная призма 36
Таблица 11.5. Наклонная призма 37
Таблица 11.6. Параллелепипед 38
Таблица 11.7. Построение сечений призмы 39
Таблица 11.8. Правильная пирамида 40
Таблица 11.9. Пирамида 41
Таблица 11.10. Пирамида 42
Таблица 11.11. Пирамида. Усеченная пирамида 43
Таблица 11.12. Разделение пирамиды 44
Таблица 11.13. Цилиндр 45
Таблица 11.14. Конус 46
Таблица 11.15. Конус. Усеченный конус 47
Таблица 11.16. Шар 48
Таблица 11.17. Вписанная и описанная сфера 49
Таблица 11.18. Объем параллелепипеда 50
Таблица 11.19. Призма Объем 51
Таблица 11.20. Пирамида Том 52
Таблица 11.21. Пирамида Том 53
Таблица 11.22. объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды 54
Таблица 11.23. Объем и площадь боковой поверхности цилиндра..55
Таблица 11.24. Объем и площадь боковой поверхности конуса 56
Таблица 11.25. Объем конуса. Объем усеченного конуса. Площадь боковой поверхности конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса 57
Таблица 11.26. Объем мяча. Площадь поверхности мяча 58
Ответы, инструкции, решения 59
В этой статье мы поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Сначала дается определение прямой, перпендикулярной плоскости, дается графическое изображение и пример, а также указывается обозначение перпендикулярной линии и плоскости. После этого формулируется признак перпендикулярности прямой и плоскости. Далее получаются условия, позволяющие доказать перпендикулярность прямой и плоскости, когда прямая и плоскость задаются некоторыми уравнениями в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. В заключение показаны подробные решения типовых примеров и задач.
Навигация по страницам.
Перпендикуляр и плоскость — основная информация.
Мы рекомендуем вам сначала повторить определение перпендикулярных линий, так как определение прямой, перпендикулярной плоскости, дается через перпендикулярность линий.
Определение.
Говорят, что прямая перпендикулярна плоскости , если она перпендикулярна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.
Можно также сказать, что плоскость перпендикулярна прямой, или прямая и плоскость перпендикулярны.
Для обозначения перпендикулярности используйте значок вида «». То есть, если линия с перпендикулярна плоскости , то можно кратко написать .
В качестве примера прямой, перпендикулярной плоскости, можно привести прямую, по которой пересекаются две смежные стены комнаты. Эта линия перпендикулярна плоскости и плоскости потолка. Скакалка в тренажерном зале также может рассматриваться как прямая линия, перпендикулярная плоскости пола.
В заключение этого пункта статьи отметим, что если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается девяносто градусов.
Перпендикулярность прямой и плоскости — признак и условия перпендикулярности.
На практике часто возникает вопрос: «Перпендикулярны ли данные прямая и плоскость?» Для ответа на него существует достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости , то есть такое условие, выполнение которого гарантирует перпендикулярность прямой и плоскости. Это достаточное условие называется признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Сформулируем его в виде теоремы.
Теорема.
Чтобы данная прямая была перпендикулярна плоскости, достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости можно посмотреть в учебнике геометрии для 10-11 классов.
При решении задач на установление перпендикулярности прямой и плоскости часто используют также следующую теорему.
Теорема.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая также перпендикулярна плоскости.
В школе рассматривается множество задач, для решения которых используется признак перпендикулярности прямой и плоскости, а также последняя теорема. Здесь мы не будем на них останавливаться. В этом разделе статьи мы сосредоточимся на применении следующего необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Это условие можно переписать в следующем виде.
Позвольте является направляющим вектором прямой линии a , и является нормальным вектором плоскости . Для перпендикулярности прямой а и плоскости необходимо и достаточно, чтобы и : , где t — некоторое действительное число.
Доказательство этого необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости основано на определениях направляющего вектора прямой и вектора нормали к плоскости.
Очевидно, это условие удобно использовать для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, когда координаты направляющего вектора прямой и координаты вектора нормали плоскости в фиксированном трехмерном пространстве легко найденный. Это справедливо для случаев, когда заданы координаты точек, через которые проходят плоскость и прямая, а также для случаев, когда прямая определяется некоторыми уравнениями прямой в пространстве, а плоскость задается уравнениями какое-нибудь уравнение плоскости.
Давайте рассмотрим несколько примеров.
Пример.
Докажите, что прямые перпендикулярны и являются плоскостями.
Раствор.
Мы знаем, что числа в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой.