Дидактические материалы по математике 9 класс: ГДЗ по алгебре 9 класс дидактические материалы Потапов, Шевкин

ГДЗ по алгебре 9 класс дидактические материалы Потапов, Шевкин

Получая высокие отметки на контрольных и самостоятельных, школьники претендуют на хороший итоговый балл по предмету. Поскольку коэффициент, с которым оценки за проверочные учитываются при расчете итогов, намного выше, чем за просто ответ на уроке, проверку домашней работы и пр. Знание этого принципа формирования результата позволит иметь нужный балл в аттестате. Чтобы оценка за контрольные, самостоятельные была уверенно высокой, многие пользователи рекомендуют гдз по алгебре за 9 класс дидактический материал Потапов — для применения в регулярной практике подготовки. Главное — начать ее своевременно, желательно за несколько дней, а лучше — за пару недель до предстоящей проверки. Можно готовиться и заблаговременно — как только началось изучение темы, вынесенной на контроль.

Кто и почему использует гдз для подготовки к контрольным и самостоятельным?

В числе тех, кто системно или постоянно применяет готовые решения по алгебре за 9 класс Потапов дидактические материалы — такие пользователи:
— девятиклассники, планирующие после завершения этого года обучения поступать в техникумы, колледжи. Прием в них ведется на основе среднего балла аттестата, по конкурсу. Применение справочника позволит выдержать испытание, имея достаточный для прохождения балл;

— повторяющие материал девятого класса, готовящиеся к ЕГЭ по математике одиннадцатиклассники;
— участвующие в математических научных и конкурсных мероприятиях подростки. В том случае, когда в школе дисциплина изучается по другим учебникам, программам, ресурс позволит расширить кругозор, углубить знания, подойти к решению более обоснованно и грамотно;
— часто пропускающие школу по объективным причинам дети. Например, из-за болезни, поездок на сборы, состязания, конкурсы. Площадка даст им возможность эффективно подготовиться к контролю, восполнить пропуски объяснений материала учителем за время их отсутствия в классе;
— школьные преподаватели, которым нужно быстро завершить проверку большого количества контрольных работ девятиклассников. Нередко одновременно учителю надо выполнить и другие срочные дела, поэтому ресурс позволит им сэкономить силы и время на их решение, не рискуя качеством проверки;
— родители девятиклассников, оценивающие степень готовности к проверочным своих детей, не вникая в суть программы, особенности составления и выполнения заданий по предмету.

Какие плюсы имеет справочник по алгебре 9 класс к дидактическим материалам (авторы Потапов, Никольский)?

Хотя далеко не все родители и педагоги положительно оценивают использование еуроки ГДЗ в практике подготовки подростков, мало кто может поспорить с безусловными плюсами таких ресурсов:
— их всеобщей круглосуточной доступностью;
— экономической выгодой от применения, возможностью быть альтернативой помощи репетиторов, посещению платных подготовительных курсов;
— соответствием данных нормативам Стандартов образования, включая требования к оформлению результатов.

Применяя онлайн сборники готовых решений, подростки учатся оперативной работе с информацией. Этот важный навык необходим не только школьникам, но и всем специалистам, представителям науки и бизнеса.

ГДЗ: Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Крайнева

Алгебра 9 класс

Тип: Дидактические материалы

Авторы: Макарычев, Миндюк, Крайнева

Издательство: Просвещение

О МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Ни для кого не секрет, что каждый ученик усваивает материал по-разному. Кому-то достаточно один раз показать, как решается номер с тригонометрическим уравнением, а другим потребуется на изучение этой темы гораздо больше времени.

Есть задания, которые одинаково непросто даются всем:

• функция;
• радианная мера угла;
• извлечение корня.

Девятиклассники не успевают усвоить новые темы, но учебный процесс не стоит на месте, поэтому некоторые школьники сталкиваются с пробелами в математических знаниях.

УЧЕБНИК К РЕШЕБНИКУ АЛГЕБРЫ ЗА 9 КЛАСС

Учебник к решебнику «Алгебра 9 класс Дидактические материалы» авторов Макарычева, Миндюка и Крайневой, изданный «Просвещением», содержит упражнения для самостоятельных работ, а также предлагает тексты для контрольных работ и задания для проведения школьных олимпиад по математике. Математическое наполнение книги на высшем уровне. С помощью этой книги можно осуществлять тематический контроль знаний девятиклассников и подготовку к экзаменам.

ЛУЧШИЙ ПОМОЩНИК – ОНЛАЙН-РЕШЕБНИК

Пособие «Решебник по Алгебре за 9 класс Дидактические материалы Макарычева» содержит ответ на любой предложенный вопрос. Достаточно открыть «ГДЗ по алгебре за 9 класс Макарычев» и детально разобраться в решении непонятого номера. Теперь проверить или улучшить знания в математике можно онлайн, находясь дома, в школе или в любом другом месте. Благодаря этому решебнику, успеваемость ребёнка только улучшиться. Прекрасным итогом будут уверенность девятиклассника в своих знаниях и хорошие оценки. Использовать онлайн-помощник доступно и комфортно каждому. В авторском пособии находятся детальное и развернутое объяснение заданий, указываются все возможные схемы и формулы. С этой книгой алгебра перестаёт казаться сложной и недоступной.

Алгебра 9 класс Дидактические материалы к учебнику Алимова Ткачева

Пособие дидактических материалов 9 класса по алгебре включает 2 варианта заданий по каждому параграфу известного учебника Алимова. Все задания снабжены балловыми оценками уровня их сложности, ответами.

-Содержание-

Оглавление
Предисловие 03
Алгебраические уравнения.04
Системы нелинейных уравнений 05
Деление многочленов — 07
Решение алгебраических уравнений 07
Уравнения, сводящиеся алгебраическим… 08
Системы нелинейных уравнений … 09
Различные способы решения…. 13
Решение задач с … 124
Контрольная работа №1 17
Степень рациональным показателем. . . 18
Степень целым показателем — 19
Арифметический корень натуральной …. 20
Свойства арифметического корня 21
Степень рациональным показателем 24

Возведение в степень …. 27
Контрольная работа №2 29
Степенная функция 30
Область определения функции — 31
Возрастание — убывание функции 32
Чётность — нечётность функции 35
Неравенства и уравнения,…. 38
Контрольная работа №3 40
Прогрессии 41
Числовая последовательность — 41
Арифметическая прогрессия 42
Сумма первых членов … 44
Геометрическая прогрессия 47
Сумма первых членов …. 49
Контрольная работа №4 52
Случайные события 53
События — 56
Вероятность события 57
Решение вероятностных задач … 59
Геометрическая вероятность 62
Относительная частота …. 63
Контрольная работа №5 67
Случайные величины 68
Таблицы распределения — 70
Полигоны частот 71
Генеральная совокупность ….74
Контрольная работа №6 79
Множества. Логика 80
Множества — 83
Высказывания. Теоремы 83
Уравнение окружности 86
Уравнение прямой 88
Множества точек на … 089
Контрольная работа №7 92
Ответы 93

Скачать

 

Размер файла: 1 Мб; Формат: djvu/

Вместе с «Дидактические материалы по алгебре 9 класс Ткачева» скачивают:

29.10.2018Admin

бесплатных уроков и публикаций | Центр обучения математике

Сборники рассказов Pre-K

Класс Pre-K

Этот сборник рассказов содержит девять прекрасно иллюстрированных книг для чтения вслух, по одной для каждого блока Bridges Pre-K. В каждой книге представлены 2–4 математически насыщенных истории для конкретных тренировок Number Corner или задач и исследований.

Коробка или сумка

классы K – 2

Box It or Bag Это математическая программа для учителей K – 2, которые хотят окружить детей учебной средой, обогащенной языком, ориентированной на деятельность.Студенты получают удовольствие от практического опыта работы с различными материалами, и им предлагается учиться друг у друга, а также у учителя.

Решение проблем с помощью Story Boxes

классы K – 2

«Решение задач с помощью ящиков со рассказами» предлагает детям не только решать задачи, но и ставить их. Эти материалы, созданные для дополнения математики Box It или Bag It, также могут быть использованы для улучшения любой учебной программы K – 2.

Открывая глаза на математику

3–4 классы

«Открывая глаза на математику» знакомит детей третьего и четвертого классов с красотой и увлекательностью математики.Учащиеся используют модели, манипуляторы и визуальное мышление для изучения математики, развития понимания и решения задач.

Учимся думать математически

классы K – 5

Серия «Учимся думать математически» предоставляет родителям и преподавателям инновационные ресурсы и новые стратегии, которые помогут молодым ученикам развить мощные математические идеи и стратегии решения проблем.

Прорывы мостов

классы K – 5

Bridges Breakouts взяты непосредственно из Bridges in Mathematics First Edition, но могут использоваться независимо от учебной программы.Эти блоки и упражнения легко реализовать, и они являются идеальным дополнением к любой программе K – 5.

Практические книги

классы K – 5

Мероприятия и рабочие листы для проверки навыков, неформальной оценки с использованием бумаги и карандаша, подготовки к стандартизированному тестированию и дифференцированного обучения. Хотя изначально эти книги были написаны как дополнение к Bridges in Mathematics First Edition, их можно использовать с любой математической программой.

Математика и разум

1–12 классы

Модули

«Математика и разум» — отличный способ представить и расширить визуальные модели в 1–12 классах.Эту универсальную коллекцию можно преподавать последовательно или использовать индивидуально, при необходимости, для дополнения любой учебной программы.

Визуальная математика

5–10 классы

Визуальная математика — это инновационная программа для средней школы, которая начиналась как сборник предложений по реализации философии «Математика и мысленный взгляд» и учебной деятельности. После обширного полевого тестирования Visual Math расширилась до серии из трех однолетних курсов для учащихся 5–10 классов.

Алгебра через визуальные шаблоны

5–12 классы +

Студенты изучают алгебраические концепции, используя манипуляторы, модели и эскизы.Программа подходит для всех студентов, изучающих алгебру на первом курсе, независимо от их уровня обучения.

Дополнительные ресурсы

классы K – 12

Книги по различным математическим темам, а также руководства и сопутствующие ресурсы.

Игра чисел

Серия иллюстрированных сцен или глав, которые обеспечивают связное визуальное объяснение элементарной математики.

Учебные материалы | Делаем математику реальной

Учебные материалы для слушателей курса

Каждый продукт поддержки с инструкциями подробно описан ниже, в дополнение к Полному каталогу основных переплетов Blackline с всплывающими оглавлениями внизу страницы:

СПЕЦИАЛЬНОЕ ПРИМЕЧАНИЕ: Совершенно новая книга, Fractions III: Comparing and Ordering Fractions , является читателем предстоящего интенсивного мини-курса Comparing & Ordering Fractions , который начнется 13 февраля 2021 г. Совершенно новая книга будет отправлена ​​вам до начала занятия и включена в стоимость курса.Продолжается набор на интенсивный мини-курс. ЗАРЕГИСТРИРУЙТЕСЬ СЕГОДНЯ!

— 25 лет! НОВЫЙ продукт в серии: Making Math Real рада объявить о публикации книги Fractions III: Comparing and Ordering Fractions , которая продолжает серию книг «Making Math Real Fractions», включающую Fractions I , Fractions IIA и Фракции IIB . Эта новая книга — кульминация многолетней работы.Он обеспечивает всесторонний охват и систематическое приращение как для умственных, так и для математических приложений для развития чувства существенного числа дробей для понимания и применения величины дроби и разделен на два раздела: РАЗДЕЛ 1: Четыре стиля сравнения, упорядочивания и округления дробей мысленно, и РАЗДЕЛ 2: Восемь уровней математического сравнения и упорядочения дробей. Эти два раздела содержат:

• Наиболее эффективные структуры, мысленные и математические, для всех категорий сравнения дробей
• Полные концептуальные приложения для развития чувства числа дробей *
• Развитие отношений числитель / знаменатель: основа восприятия для понимания, применения и классификации величины дроби по соответствующим категории
• Отличная подготовка к изучению алгебры
• Развитие высшего порядка и приложения умственной гибкости и детального анализа

Кроме того, Дроби III: Сравнение и упорядочивание дробей включает:

• 181 страница конкретных возрастающих и систематических последовательностей для разработки умственных и математических приложений для сравнения, упорядочивания и округления дробей
• Комплексная практика с уровнями
• Обширная смешанная практика на протяжении
• Ключ ответа учителя для каждой страницы
• Идеально подходит для классной комнаты и / или частная практика.

* Приложения, относящиеся к дробям, представляют собой одну из самых больших областей в развитии математики K-12, поскольку дроби включены в объем и последовательность каждого класса, охватывающего детский сад, посредством исчисления; и согласно исследованиям, дроби и их применение, особенно понимание и применение дробных величин, на протяжении десятилетий оставались на уровне 80% отказов по всей стране ».

ª Жесткие уроки: почему рациональная арифметика чисел так сложна для стольких людей Роберт С. Сиглер и Хьюг Лорти-Форг, Текущие направления психологической науки, 2017, том. 26 (4) 346–351.

Дроби III: сравнение и упорядочивание дробей доступен исключительно для слушателей курса, которые завершили Делать математику действительной: Дроби, десятичные дроби и расширенное значение разряда .

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

Fractions I , первая книга из серии «Making Math Real Fractions Books», представляет основные фундаментальные структуры, которые напрямую поддерживают все будущие приложения дробей для разных классов, которые включают концептуальные приложения величины дроби, последовательности, генерирования эквивалентных дробей, упрощение эквивалентных дробей до наименьших членов и основа для успешной интеграции четырех операций с дробями.Фракции I состоят из двух разделов, в первом представлены четыре понятия дробей: 1) части целого 2) части группы 3) части сегмента 4) части чашки; а во втором разделе представлена ​​исчерпывающая последовательность и приращения для преобразования дробей с наименьшими членами в эквивалентные дроби и упрощения эквивалентных дробей до наименьших членов.

Дроби I обеспечивает:

• Концептуальные приложения для развития чувства числа дробей
• Перцепционные основы для понимания отношений числитель / знаменатель трехмерных, двумерных и одномерных моделей дробей
• Концептуальные и математические основы для классификации дробей как эквивалентов или наименьших термины
• Основная подготовка к сложению и вычитанию с одинаковыми и непохожими знаменателями
• Основная подготовка к перекрестному упрощению дробей при умножении и делении
• 119 страниц комплексной выровненной практики
• Обширная смешанная практика на всем протяжении
• Ключ ответов учителя для каждого страница
• Идеально подходит для занятий в классе или частной практики.

Дроби I для управляемого приложения доступны только участникам курса, которые завершили Делать математику действительной: Дроби, десятичные дроби и продвинутое значение разряда .

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

Дроби IIA — вторая книга из серии «Создание математических книг с вещественными дробями», которая представляет собой первую часть, в которой представлены управляемые приложения четырех операций с правильными и смешанными дробями. Дроби IIA продолжают концептуальные приложения, представленные в Дробях I, которые специально поддерживают сложение и вычитание правильных и смешанных дробей с одинаковыми и непохожими знаменателями: приложения студентов для создания эквивалентных дробей с наименьшими общими знаменателями.В поддержку сложных приложений сложения и вычитания с правильными и смешанными дробями с разными знаменателями, Fractions IIA обеспечивает структурированную практику для успешной интеграции всех четырех фаз от конкретного к абстрактному.

Дроби IIA обеспечивает:

• Направленный бетон в абстрактную практику для сингулярной структуры для генерации эквивалентных дробей с одинаковыми знаменателями во всех трех отношениях знаменателей
• Уровни I — IV переименования в сложении и вычитании для смешанных и правильных дробей с одинаковыми и непохожими знаменателями
• Бетон в абстрактную практику для преобразования смешанных дробей в неправильные дроби и неправильные дроби в смешанные дроби
• Дополнительная секция для сложения 3 или более дробей с одинаковыми и непохожими знаменателями
• 141 страница комплексной практики с уровнями
• Обширная смешанная практика на протяжении всей
• Ключ ответа учителя для каждого страница
• Идеально подходит для занятий в классе или частной практики.

Дроби IIA для управляемого приложения доступны только участникам курса, которые завершили Делать математику действительной: Дроби, десятичные дроби и продвинутое разложение .

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

Дроби IIB — третья книга из серии «Создание математических книг с вещественными дробями» и вторая часть, в которой представлены управляемые приложения 4 операций с правильными и смешанными дробями. Дроби IIA, первая часть из 4 операций с дробями представлена ​​ сложением и вычитанием с собственными и смешанными дробями; и Fractions IIB завершает последовательность управляемых приложений из 4 операций с умножением , и делением , собственных и смешанных дробей.Основное внимание в Fractions IIB уделяется применению концепции кросс-упрощения, мощного алгебраического математического инструмента, который неоценим во всей высшей математике, а также в математических приложениях в химии и физике. Кроме того, Fractions IIB обеспечивает комплексную смешанную практику синтеза всех 4 операций собственных и смешанных фракций.

Дроби IIB обеспечивает:

• Полные практические приложения для разработки перекрестного упрощения и дополнительного упрощения правильных и смешанных дробей
• Обширный раздел для синтеза 4 операций с правильными и смешанными дробями
• Управляемая практика для почему при делении дробей делитель равен преобразован в множитель
• Отличная подготовка к изучению алгебры
• 115 страниц комплексной практики с уровнями
• Обширная смешанная практика на протяжении
• Ключ ответа учителя для каждой страницы
• Идеально подходит для занятий в классе или частной практики

Дроби IIB , версия 3.0 доступен только для слушателей курса, которые завершили Делать математику реальной: дробей, десятичных дробей и расширенного разряда .

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

В этой увлекательной книге представлены наиболее подробные, пошаговые и всеобъемлющие наборы задач в истории, позволяющие преподавателю максимально эффективно применять предписания для всех учащихся:

• 159 страниц интенсивной предписывающей практики для всех студентов
• Продолжает полную интеграцию и применение уровней I — VIII целого числа в столбик
• Предоставляет все виды делителей для отношений дивидендов
• Специальная дополнительная функция: раздел обширной практики для преобразования десятичные делители
• Ключ ответа учителя для каждой страницы
• Идеально подходит для занятий в классе или частной практики

Десятичное и длинное деление: Уровни I-VI с однозначными и двузначными делителями доступны исключительно для слушателей курса, которые закончили Делать математику реальной : Дроби, десятичные дроби и расширенное значение разряда.

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

• 322 страницы, что в 10 раз превышает предписывающую практику по сравнению с предыдущей версией
• Интенсивная выровненная практика для каждой конфигурации фактов добавления
• Дополнительная функция: дополнительно включает расширенные разделы для совместимых номеров
• Идеально подходит для классной комнаты или частной практики

«100 дополнительных фактов» доступен исключительно участникам курса, которые завершили «Сделаем математику реальной: 4 операции и 400 математических фактов».

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

• Полностью обновлено и модернизировано
• На 90% больше страниц практики, чем в версии 2.0
• Комплексное предписание и приращение для всех уровней
• Ключ ответа учителя для каждой страницы

100 фактов вычитания доступен исключительно для участников курса, у которых есть завершено Making Math Real: Четыре операции и 400 математических фактов .

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

• 245 страниц, содержащих более 30 страниц предписывающей практики для каждой таблицы умножения
• Всесторонняя выровненная практика для разработки множителя умножения, недостающего фактора и восстанавливающих факторов
• Дополнительная функция: расширенные разделы для отображения символов в таблице 5s
• Идеально для в классе или в частной практике

«100 фактов умножения», часть A: «Визуализация таблиц умножения» доступна исключительно для слушателей курса, которые завершили «Сделать математику реальной»: The 9 Lines Intensive .

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

• 591 страница, содержащая все 27 комбинаций смешивания двух таблиц умножения
• Всесторонняя выровненная практика для развития необходимой умственной гибкости для переключения между таблицами умножения
• Дополнительная функция: вводный раздел под руководством учителя для установления нейронных путей учащихся для переключения между таблицами умножения
• Идеально подходит для занятий в классе или частной практики.

100 фактов умножения, часть B: Развитие автоматизма, доступно исключительно участникам курса, которые завершили «Сделать математику реальной»: 9 линий интенсивного курса .

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

• 145 страниц, обеспечивающих максимальную предписывающую практику для развития автоматизма с фактами деления
• Всесторонняя выровненная практика для нахождения частных, дивидендов и делителей во всех таблицах
• Использование с Make Math Real 100 Фактов умножения Части A и B для максимальной интеграции умножения и разделение фактов
• Идеально для занятий в классе или частной практики, или дома

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

The 100 Division Facts доступен исключительно для слушателей курса, которые завершили Making Math Real: The 4 Operations & 400 Math Facts .

Мастера руководств по применению, версия 2.0

• Дополнительно представляет все уровни 1–7 переименования
• Специально структурировано и упорядочено для соединения числового предложения со стандартной формой
• Объединяет все комбинации из 100 фактов сложения
• 70 страниц комплексной практики с уровнями
• Обширная смешанная практика на всем протяжении
• Ключ ответа учителя для каждой страницы
• Идеально для занятий в классе или частной практики

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

Ведущие мастера ведомостей приложений, версия 2.0

• Представляет все уровни 1-7 переименования при вычитании
• Специально структурировано и упорядочено для соединения числового предложения со стандартной формой
• Объединяет все комбинации из 100 фактов вычитания
• 70 страниц всеобъемлющей практики с уровнями
• Обширная смешанная практика на протяжении
• Ключ ответа учителя для каждой страницы
• Идеально для занятий в классе или частной практики

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

Однозначные множители: Ведущие рабочие листы приложений, версия 2.0

• Представляет все уровни 1–7 переименования при умножении для однозначных умножителей
• Специально структурировано и упорядочено для соединения числовой формы предложения со стандартной формой
• Объединяет все комбинации из 100 фактов умножения
• 72 страницы комплексной уровневой практики
• Обширная смешанная практика на протяжении всей
• Ключ ответа учителя для каждой страницы
• Идеально для занятий в классе или частной практики

∞ ЗАКАЗ

---

Однозначные делители: Ведущие рабочие листы приложений, версия 2.0

• Представляет все уровни 1–4 деления в столбик с однозначными делителями.
• Специально структурирована для соединения всех трех форм деления: стандартная форма, форма числового предложения и форма дроби.
• Объединяет все комбинации 100 фактов деления
• Включает все комбинации делителей и дивидендов
• 105 страниц комплексной выровненной практики
• Обширная смешанная практика на протяжении всей
• Ключ ответа учителя для каждой страницы
• Идеально подходит для занятий в классе или частной практики

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

• 181 страница наиболее подробных предписаний исключительно для двузначных делителей
• Всесторонне выровненные и сбалансированные наборы задач, разработанные для максимальной практики с фактами умножения и деления
• Предоставляет все виды задач двузначного делителя
• Специальная дополнительная функция : расширенный раздел практики для перехода к двузначным делителям
• Специальная добавленная функция: расширенный раздел смешанной практики, объединяющий все уровни с длинным делением 1-8
• Ответ учителя, ключ для каждой страницы
• Идеально подходит для класса или частной практики

Long Division: Levels V-VIII — Double-Digit Divisors доступен исключительно для слушателей курса, которые завершили Making Math Real: The 4 Operations & 400 Math Facts .

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

Эти головоломки Базы 10 обеспечивают единственное наиболее эффективное развитие чувства числа, доступное, помогая учащимся интегрировать исполнительные процессы, которые непосредственно поддерживают активацию и поддержание рабочей памяти для счисления. Уровни с I по V развиваются дополнительно:

• Ментальные организующие структуры для пересечения отметок значений (десятков) при прямом или обратном счете
• Существенная основа обработки для автоматизма с фактами сложения и вычитания
• Психическая гибкость (смещение множеств) и последовательная обработка

Кроме того, The Base 10 Puzzles дает:

• 269 страниц интенсивной и предписывающей практики
• Полные наборы пустых шаблонов для создания ваших собственных головоломок
• Оценочные данные для измерения исполнительной функции, рабочей памяти, определения числа, последовательности и нумерации
• Идеально подходят для занятий в классе или частной практики

Примечание: The Base 10 Puzzles заменяет предыдущую версию 100 Chart Puzzles .

The Base 10 Puzzles доступен исключительно участникам курса, которые завершили «Сделать математику реальной»: Детский сад (уровень I) и «Сделать математику реальной»: «4 операции и 400 математических фактов» (уровни II-V).

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

Making Math Real рада объявить о второй части расширенной серии книг по развитию чувства числа: Уровень VI «Базовых 10 головоломок».

Эти Base 10 Puzzles, Part 2 обеспечивают единственное наиболее эффективное развитие чувства числа, доступное, помогая учащимся интегрировать исполнительные процессы, которые напрямую поддерживают активацию и поддержание рабочей памяти для счисления.Продолжая разработку из Части 1 серии, Уровни I-V (1-99), Уровень VI (1-999) дополнительно развиваются:

• Ментальные организующие структуры для пересечения отметок значений (сотен и десятков) при счете вперед или назад: последовательное увеличение и / или уменьшение чисел на единицу, девять, десять и одиннадцать
• Существенная основа обработки для автоматизма с добавлением и Факты вычитания
• Ментальная гибкость (смещение множества) и последовательная обработка
• Расширение приложений переименования сложения и вычитания по десяткам и сотням
• Расширение приложений места и разряда

Кроме того, The Base 10 Puzzles, Part 2 предоставить:

• 326 страниц интенсивной и предписывающей практики
• Полные наборы пустых шаблонов для создания ваших собственных головоломок
• Инструмент для оценки исполнительных функций, рабочей памяти, определения числа, последовательности и нумерации
• Идеально подходит для занятий в классе или частной практики

The Base 10 Puzzles, Part 2 доступен исключительно для слушателей курса, которые завершили «Making Math Real»: Четыре операции и 400 математических фактов (уровни II-VI).

ПРИМЕЧАНИЕ: Головоломка Base 10, часть 2 , уровень VI заменяет предыдущую версию 100 головоломок с диаграммами .

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

Эти маты имеют цветовую маркировку в зависимости от места, имеют размер, подходящий для блоков base-10, и покрыты ламинатом высочайшего качества. Они прослужат всю жизнь. Коврики специально разработаны для обучения всем конкретным и полубетонным уровням 2-х и 3-х значных концепций места, разряда, а также сложения и вычитания 2 и 3 цифр с переименованием.

Все коврики MMR:

• Цветовая кодировка, ламинированная и готовая к немедленному использованию
• Идеально подходит для занятий или частной практики
• Идеально подходит по размеру для блоков base-10
• Предназначена для обучения бетонным и полубетонным кодам места, числовой стоимости, и сложение и вычитание с переименованием
• Доступно отдельно или в комплекте
• Со скидкой для наборов классов

Place Mat # 1b: Концепция двухзначных чисел для детского сада
Используется для обучения конкретным и полубетонным концепциям:

Подставка № 2: Концепция двухзначных чисел для первого класса и выше
Используется для обучения конкретным и полубетонным концепциям:

• Место для единиц и десятков
• 2-значное разрядное значение
• Готовность к сложению с переименованием: «Глупые числа»: преобразование частичных сумм в стандартные числа
• 2-значное вычитание с переименованием и без него
• Готовность к вычитанию с переименованием : «Обратные глупые числа»: преобразование стандартных чисел в частичные суммы

Подставка № 3: Концепция трехзначных чисел для второго класса и выше
Используется для обучения конкретным и полубетонным концепциям:

• Разряд сотен, десятков и единиц
• 3-значное значение разряда
• 3-значное вычитание с переименованием и без него

Подставка № 4: Понятия сложения двух цифр для первого и второго класса и выше:
Используется для обучения конкретным и полубетонным понятиям:

• Дополнение без переименования для первого класса
• Дополнение с переименованием для второго класса и выше

Щелкните изображение Place Mat выше для увеличения.

Математика «Делаем математику реальной» доступна только участникам курса, которые завершили «Сделать математику реальной»: Детский сад (Подставка 1b) и / или «Сделать математику реальной»: «4 операции и 400 математических фактов» .

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

Напечатанные доски для сухого стирания идеально подходят для всего класса, небольшой группы и индивидуального обучения и являются ценным образовательным инструментом, обеспечивающим увлекательную, предписывающую практику для учащихся, упрощая и улучшая управление для учителей.

Белые доски с двухзначным значением разряда * для всех начальных классов, K-5, обеспечивают психологическую организацию и структуру для:

• Концепции двухзначных чисел
• Двузначные расширенные обозначения
• Частичные суммы (глупые числа)
• Двухзначное сложение с переименованием и без него
• Вычитание двухзначного числа с переименованием и без него
• Однозначные множители с и без переименования

* Доступно только для участников курса, завершивших «Реальная математика»: Детский сад и / или «Реальная математика»: «Четыре операции и 400 математических фактов»

Трехзначные белые доски * для всех начальных классов, K-5, обеспечивают психологическую организацию и структуру для:

• Принципы трехзначного числа
• Трехзначное расширенное представление
• Трехзначное сложение с переименованием и без него
• Трехзначное вычитание с переименованием и без него
• Трехзначное умножение на однозначное с переименованием и без него

* Доступно только для слушателей курса, завершивших «Сделать математику реальной»: Четыре операции и 400 математических фактов

Целое число и десятичное значение («Целые торты и куски») Белые доски * для всех классов 3–12, обеспечивают умственную организацию и структуру для:

• Увеличение и уменьшение десятичных дробей на степени 10
• Умножение и деление с десятичными знаками
• Стандартная форма, форма слова, развернутая форма и практика форм экспоненты и связи
• Преобразования дробно-десятичных процентов
• Научная нотация
• Декодирование и кодирование положительных и отрицательных показателей
• Связи дробных, десятичных и экспонент

* Доступно только для участников курса, завершивших математику в реальном выражении: Дроби, десятичные дроби и расширенное значение разряда

Продвинутая оценка места через миллиарды белых досок * для всех классов с 3 по 12, обеспечивает психологическую организацию и структуру для:

• Развитие разряда и разряда для больших чисел
• Увеличение и уменьшение целых чисел степенями 10
• Стандартная форма, словоформа, развернутая форма и форма экспоненты Практика и связи
• Научная запись
• Декодирование и кодирование степеней десятичной системы экспонент

* Доступно только для слушателей курса, завершивших Математику как действительную: Дроби, десятичные дроби и расширенное значение разряда

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

Изготовление математических карточек для реального подсчета пальцев для детского сада .

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

Представляем новую модель , сверхпрочную Making Math Real, игральные карты с пустым изображением на одной стороне для создания предписывающих математических игр:

• Идеально подходит по размеру для детских рук, двойное покрытие для долговечности и долговечности, легко перетасовывается, сохраняет и сохраняет перманентные чернила для маркера
• Доступно всем — для покупки этих полезных карточек не требуется никаких курсовых занятий!
• Коробка 450 пустых карточек: всего 40 долларов плюс налог, доставка и обслуживание

Научитесь делать математические карточные игры: Присоединяйтесь к созданию математических игр: Games! курс, чтобы научиться создавать, применять и играть в увлекательные игры для поддержки мультисенсорных структурированных методов Making Math Real.

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

Полный каталог скоросшивателя Blackline Master Series

О журнале Worksheet Masters Series: Making Math Real опубликовано 17 предписывающих и полностью дополнительных вспомогательных материалов для профессионального использования. Эти материалы являются узкоспециализированными и требуют специальных инструкций по курсу «Making Math Real», чтобы правильно их использовать. Следовательно, они доступны только участникам курса, находящимся в процессе обслуживания.Мастера руководств по применению и мастера по визуализации символов идеально подходят для дополнения любых учебников. Эти материалы предоставляют слушателю курса MMR конкретную и предписывающую практику, предназначенную для максимального успеха студента, удержания и интеграции концепции и процедуры. Все наборы задач были тщательно разработаны, чтобы включать все комбинации контента, конфигурации, приращения и уровни, чтобы обеспечить максимальное соединение и понимание.

ТОЛЬКО ДЛЯ УЧАСТНИКОВ КУРСА: Компания Making Math Real опубликовала серию инструктивных и дополнительных материалов для профессионального использования.Эти материалы являются узкоспециализированными и требуют специальных инструкций по курсу «Making Math Real», чтобы правильно их использовать. Следовательно, они доступны только участникам курса, находящимся в процессе обслуживания.

---

РАБОЧАЯ ТАБЛИЦА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ СИМВОЛОВ: Все следующие вспомогательные материалы доступны только участникам курса, которые завершили курс «Реализация математики»: Четыре операции и 400 математических фактов .Части A и B умножения доступны для слушателей курса, которые прошли курс «Making Math Real: The 9 Lines Intensive ». (Нажмите на обложку, чтобы раскрыть содержание)

100 дополнительных фактов
Symbol Imaging Worksheet Masters, версия 3.0

(Нажмите на обложку, чтобы увидеть содержание)

100 фактов вычитания
Мастер рабочего листа Symbol Imaging, версия 3.0

(Нажмите на обложку, чтобы увидеть содержание)

100 фактов умножения
Часть A: Визуализация таблиц умножения
Мастера рабочего листа Symbol Imaging, версия 3.0

(Нажмите на обложку, чтобы увидеть содержание)

100 фактов умножения
Часть B: Разработка автоматики
Мастера рабочего листа по визуализации символов, версия 3.0

(Нажмите на обложку, чтобы увидеть содержание)

The 100 Division Facts
Symbol Imaging Worksheet Masters, версия 3.0

(Нажмите на обложку, чтобы увидеть содержание)

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

УПРАВЛЯЕМЫЙ РАБОЧИЙ ЛИСТ ПРИЛОЖЕНИЯ ДЛЯ МАСТЕРОВ: Все следующие вспомогательные материалы, приведенные ниже, доступны только участникам курса, которые прошли курс «Сделаем математику реальной»: Четыре операции и 400 математических фактов . (Щелкните обложки, чтобы открыть всплывающее оглавление)

Дополнение
Уровни 1–7
Мастера руководств по применению, версия 2.0, 70 страниц, ключ ответа включен
(Нажмите на обложку, чтобы увидеть содержание)

Вычитание
Уровни 1–7
Ведущие мастера ведомостей приложений, версия 2.0, 70 страниц, ключ ответа включен
(Нажмите на обложку, чтобы увидеть содержание)

Умножение
Уровни 1–7, однозначные множители
Ведущие рабочие листы приложений, версия 2.0, 72 страницы, ключ ответа включен
(Нажмите на обложку, чтобы увидеть содержание)

Длинное деление
Уровни 1-4, однозначные делители
Ведущие ведомости управляемых приложений, версия 2.0, 105 страниц, ключ ответа включен
(Нажмите на обложку, чтобы увидеть содержание)

Длинное деление
Уровни 5-8, двузначные делители
Ведущие рабочие ведомости приложений, версия 2.0, 181 страница, ключ ответа включен
(Нажмите на обложку, чтобы увидеть содержание)

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

УПРАВЛЯЕМЫЙ РАБОЧИЙ ЛИСТ ПРИЛОЖЕНИЯ ДЛЯ МАСТЕРОВ: Все следующие вспомогательные материалы, приведенные ниже, доступны только участникам курса, которые прошли курс «Реализация математики: Дроби, десятичные дроби и продвинутое значение места».(Щелкните обложки, чтобы открыть всплывающее оглавление)

Fractions I
The Four Concepts
Самые низкие термины и эквиваленты Уровни I-VII
Ведущие рабочие листы по приложениям, версия 2.0
(Нажмите на обложку, чтобы увидеть содержание)

Дроби IIA
Сложение и вычитание с простыми дробями и уровнями I-IV смешанных дробей
Ведущее руководство по применению, версия 2.0
(Щелкните обложку, чтобы увидеть содержание)

Дроби IIB
Вторая часть из четырех операций с дробями: умножение и деление на правильные и смешанные дроби
Ведущие рабочие листы приложений, версия 3.0 [Обновлено в 2014 г.]
(Нажмите на обложку, чтобы увидеть содержание)

Fractions III
Сравнение и сортировка дробей
Ведущие рабочие листы приложений, версия 1.0
(Нажмите на обложку, чтобы увидеть содержание)

Десятичное и длинное деление
Уровни 1-6, однозначные и двузначные делители
Ведущие рабочие листы приложений, версия 2.0
(Нажмите на обложку, чтобы увидеть содержание)

∞ ЗАКАЗАТЬ

---

РАЗВИТИЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ЧИСЛА: Все следующие вспомогательные материалы доступны только участникам курса, которые завершили «Сделать математику реальной»: Детский сад (уровень I) и «Сделать математику реальной»: Четыре операции и 400 математических фактов (уровни II-VI).

Base 10 Puzzles
Уровни I-V, Развитие чувства числа
Рабочие листы Masters, версия 2.0

Эти головоломки Базы 10 обеспечивают единственное наиболее эффективное развитие чувства числа, доступное, помогая учащимся интегрировать исполнительные процессы, которые непосредственно поддерживают активацию и поддержание рабочей памяти для счисления. (Нажмите на обложку, чтобы увидеть содержание)

Пазлы Базы 10, Часть 2
Уровень VI Пазлов Базы 10
Рабочие листы Мастера, версия 2.0

Эти головоломки Базы 10 обеспечивают единственное наиболее эффективное развитие чувства числа, доступное, помогая учащимся интегрировать исполнительные процессы, которые непосредственно поддерживают активацию и поддержание рабочей памяти для нумерации. (Нажмите на обложку, чтобы увидеть содержание)

∞ ЗАКАЗАТЬ

Преподавание математики с помощью концептуальной мотивации и практического обучения

Это практический концептуальный документ, описывающий избранные средства для практического обучения и концептуальной мотивации на всех уровнях математического образования.В нем подробно описан подход, используемый авторами для разработки идей для практиков преподавания математики. В статье показано, что такой подход в математическом образовании, основанный на практическом обучении в сочетании с естественной мотивацией, проистекающей из здравого смысла, является эффективным. Кроме того, стимулирующие вопросы, компьютерный анализ (включая поиск в Интернете) и классические известные задачи являются важными инструментами мотивации в математике, которые особенно полезны в рамках практического обучения. Авторы утверждают, что вся учебная программа по математике K-20 под единым зонтом возможна, когда методы концептуальной мотивации и обучения действиям используются во всем этом широком спектре.Этот аргумент подтверждается различными примерами, которые могут быть полезны на практике школьным учителям и преподавателям вузов. Авторы нашли прагматическую причину для практического обучения в рамках математического образования практически на любом этапе академической жизни учащихся.

1. Введение

В настоящее время студентам требуется как познавательный, так и практический опыт на протяжении всего их математического образования, чтобы быть продуктивными гражданами 21 века. Происхождение этого утверждения можно проследить до работ Джона Дьюи, который подчеркивал важность образовательной деятельности, которая включает «развитие любого рода художественных способностей, особых научных способностей, эффективных гражданственности, а также профессиональных и деловых качеств». профессий »([1], с.307). Совсем недавно Биллетт [2], основываясь на своих исследованиях интеграции опыта обучения студентов высших учебных заведений в дисциплинах, связанных с сестринским уходом и подобными услугами в поддержку человеческих потребностей, предположил, что «возможно, можно полностью интегрировать практический опыт в совокупность опыта высшего образования, которая способствует развитию прочных и критических профессиональных знаний »(стр. 840). Главный аргумент данной статьи заключается в том, что в контексте математического образования практическое обучение (концепция, представленная в разделе 3) — это сам процесс передачи этого опыта в сочетании с концептуальной мотивацией (термин, введенный в разделе 2) при обучении математике. по всей учебной программе K-20.С этой целью в этом концептуальном документе, основанном на практических примерах, подробно описывается подход, использованный авторами для разработки идей для практикующих преподавателей математики, предлагается обзор избранных средств практического обучения в рамках формального континуума математического образования. В определенной степени эта статья продвигает идею обучения на практике [3] в контексте математического образования. Представлены аргументы, подтверждающие ценность практического обучения для всех участвующих лиц (на уровне колледжа, добавление к дуэту студента и преподавателя математики третьего сообщества или университетского профессионала-нематематика) (разделы 2–4).Также рассматривается интеграция компьютерной педагогики подписи (CASP) и нецифровой технологии, а также эффективное опросы с обучением действием (разделы 5 и 6).

Студенты могут с радостью получать формальное математическое образование в течение двадцати и более лет, и они могут быть мотивированы повсюду с помощью обширных учебных программ по математике. Практическое обучение в математическом образовании в сочетании с механической теорией переносит математические темы в реальный мир. Естественно, что примеры начального уровня имеют основополагающее значение, и это подкрепляется практическим обучением на вторичном уровне (разделы 4.1.1 и 4.1.2). Открытые проблемы математики часто могут быть представлены учащимся начальных, средних и высших учебных заведений (Раздел 7). Традиционно классические результаты и открытые задачи мотивируют не только студентов, но и самих педагогов. Поскольку необходимы эффективные учителя математики, практическое обучение следует использовать на всех уровнях математического образования, зная, что будущие инструкторы входят в число нынешних учащихся. Конечно, возможность участвовать в открытиях очень мотивирует всех, включая студентов и учителей математики, по крайней мере.

2. Любопытство и мотивация

Хотя необходимость изучения математики в начальной, средней и высшей школе общеизвестна, вопрос о том, как преподавать математику, остается спорным. Как более подробно описано в [4] со ссылками на [5–10], разногласия связаны с неоднородностью программ подготовки учителей, разногласиями между формализмом и смыслом между преподавателями математики и различными взглядами на использование технологий. Мы считаем, что надлежащий способ преподавания математики на всех уровнях — это делать это через приложения, а не использовать традиционные лекции, подчеркивая формализм математического аппарата.Реальные приложения поддерживают мотивацию заинтересованных людей при изучении математики. Эту естественную мотивацию можно рассматривать как зависящий от возраста процесс, простирающийся от естественного детского любопытства в начальной школе до истинного интеллектуального любопытства на уровне высшего образования. Независимо от возраста учащихся, любопытство можно рассматривать как мотивацию «приобретать или преобразовывать информацию в обстоятельствах, которые не представляют немедленной адаптивной ценности для такой деятельности» ([11], с. 76). То есть любопытство и мотивация — тесно связанные психологические черты.

Большинство исследований по развитию любознательности касается начального образования. Однако эти исследования могут помочь нам понять, как любопытство превращается в мотивацию стать высококлассным профессионалом. Например, Видлер [12] проводил различие между эпистемическим и перцептивным любопытством, которые проявляются, соответственно, «запросом о знании» и проявляются, например, когда ребенок ломает голову над какой-то научной проблемой, с которой он столкнулся… [и] повышенное внимание дается объектам в ближайшем окружении ребенка, например, когда ребенок дольше смотрит на асимметричную, а не на симметричную фигуру на экране »(стр.18). Точно так же взрослые учащиеся на высшем уровне могут быть мотивированы призывом своего учителя математики задать вопросы, касающимся информации, которой они поделились, или их опытом общения с окружающим миром, когда они пытаются интерпретировать «ткань мира … [используя] какую-то причину максимум и минимум »(Эйлер, цит. по [13], с. 121).

Связанный с высшим уровнем, Видлер [14] определил мотивацию достижения как «образец… действий… связанных со стремлением достичь некоторого усвоенного стандарта качества» (стр.67). Есть также взрослые ученики, которые «заинтересованы в совершенстве ради него самого, а не ради вознаграждения, которое оно приносит» ([14], с. 69). Биггс [15] допускает, что внутренняя мотивация в изучении математики связана с «интеллектуальным удовольствием от решения проблем независимо от каких-либо вознаграждений, которые могут быть вовлечены… [предполагая, что] цели глубокого обучения и мотивации достижений в конечном итоге расходятся» (стр. 62). Классическим примером в поддержку этого предположения является решение (столетней давности) гипотезы Пуанкаре геометром Григорием Перельманом, который после почти десятилетия «глубокого обучения» отказался от нескольких международных наград за свою работу, включая медаль Филдса («Медаль Филдса»). Нобелевская премия ») и (1 миллион долларов) Clay Millennium Prize (https: // www.Claymath.org/).

Поскольку любопытство является источником мотивации к обучению, Мандельброт [16] в пленарной лекции по экспериментальной геометрии и фракталам на 7-м Международном конгрессе по математическому образованию посоветовал аудитории, состоящей в основном из дошкольных преподавателей математики, как сосредоточиться на любопытстве, когда преподавание математики: «Мотивируйте студентов тем, что увлекательно, и надейтесь, что возникающий энтузиазм создаст достаточный импульс, чтобы продвинуть их через то, что не весело, но необходимо» (стр.86). Именно такую ​​мотивацию авторы называют концептуальной мотивацией. Более конкретно, в этой статье термин «мотивация концепции» означает стратегию обучения, с помощью которой, используя любопытство учащихся в качестве стержня, введение новой концепции оправдывается за счет ее использования в качестве инструмента в приложениях для решения реальных проблем. Например, операция сложения может быть мотивирована необходимостью регистрации увеличения большого количества объектов другой такой величиной, концепция иррационального числа может быть мотивирована необходимостью измерения периметров многоугольных ограждений на плоскости решетки ( называется геодиской на начальном уровне), или концепция интеграла может быть мотивирована необходимостью найти области криволинейных плоских фигур.

Еще один математически значимый инструмент мотивации — конкретность. Согласно Дэвиду Гильберту, математика начинается с постановки задач в контексте конкретных действий, «подсказываемых миром внешних явлений» ([17], с. 440). Мы считаем, что «конкретность» является подходящим синонимом мотивации в отношении математического образования. Сам термин бетон указывает на то, что различные ингредиенты объединяются и синтезируются. Цель изучения математики — конкретизировать как теоретические, так и прикладные понятия.Полезно иметь четкое понимание чего-либо. Люди по своей природе хотят иметь «полное» знание определенных вещей. Зная детали и конкретизируя идеи, мы уменьшаем беспокойство, связанное с описанием и использованием этих идей. Конкретность мотивирует все стороны, участвующие в математическом образовании. Даже на административном уровне существует понимание того, что «Основная учебная программа FKL [Основы знаний и обучения] предоставит вам возможность изучить множество жизненно важных областей обучения, сделав вас более осведомленными и вовлеченными в понимание проблем, которые глобальные реальности, требуемые »([18], курсив, добавлен), где мы делаем упор на« реальности ».Это мотивация для всех, поскольку все мы хотели бы использовать математическую теорию или, по крайней мере, увидеть ее применение. Следовательно, мотивация у взрослых учащихся пропорционально выше, чем у детей, которые могут не видеть «полезности» в математике. В Университете Южной Флориды преподавателей определенных курсов (например, последовательности исчисления) просят включить утверждение FKL в свои учебные планы.

До недавнего времени термины «промышленный» и «технический» имели довольно уничижительный оттенок в математическом образовании.Традиционное формальное чтение лекций по-прежнему преобладает в большинстве классных комнат. Однако при изучении математической теории часто используется некоторая «отрасль» или «техника», поэтому эти два понятия не дополняют друг друга. Трудно выделить часть огромного объема учебных программ по математике K-20, которая исключает использование теории или возможного практического применения. Кроме того, теория неявно включена в образование в области STEM из-за ее научного компонента.

В контексте подготовки учителей математики акцент на приложениях дает будущим учителям очень важную способность подавать примеры математических идей в удобных для использования формах.Затем эту способность можно передать своим ученикам. На уровне дошкольного образования можно понять, что математические знания проистекают из необходимости разрешать реальные жизненные ситуации разной степени сложности. Принцип учебной программы, выдвинутый Национальным советом учителей математики [19], включает в себя представление о том, что всем учащимся этого уровня следует предлагать опыт, «чтобы увидеть, что математика имеет мощное применение в моделировании и прогнозировании явлений реального мира» (стр. 15 -16). Этот акцент на приложениях выходит за рамки дошкольного уровня.Действительно, математика сильно развивалась и проникала во все сферы жизни, делая университетское математическое образование необходимым, но неоднозначным элементом современной культуры.

3. Обучение действиям

Многие люди прагматичны, делая то, что работает. Когда что-то не работает, человек вынужден задавать вопросы, как заставить это работать. Начиная с 1940-х годов Реджинальд Реванс начал разрабатывать концепцию обучения действием, метод решения проблем, характеризующийся действием и размышлением о результатах, в качестве педагогической педагогики для развития бизнеса и решения проблем [20, 21].С тех пор обучение действием стало описывать различные формы, которые оно может принимать, и контексты, в которых его можно наблюдать. В контексте достижения высокого качества университетского обучения «целью практического обучения является обучение отдельного учителя» ([22], с. 7). В общем контексте повышения профессиональной результативности Дилворт [23] утверждает, что практическое обучение начинается с исследования реальной проблемы, так что независимо от того, является ли проблема «тактической или стратегической… [процесс] обучения является стратегическим» (стр.36). Практическое обучение в математическом образовании можно определить как обучение через индивидуальную работу учащихся над реальной проблемой с последующим размышлением над этой работой. В большинстве случаев эту работу поддерживает «более знающий друг».

В математическом образовании практическое обучение, зародившееся в раннем детстве, имеет естественный уровень зрелости. Прежде чем мы займемся повседневными обязанностями, связанными с взрослой жизнью, мы можем свободно рассмотреть практическое обучение в игровой форме.Наша страсть к играм и изучению выигрышных стратегий переносится в более позднюю жизнь как средство развлечения и как инструмент для обучения следующего поколения детей. Мотивация к практическому обучению в математическом образовании постепенно меняется от выигрыша в играх к успеху в реальных предприятиях. Залог успеха — умение решать проблемы. Исследования показывают, что любопытство можно охарактеризовать как волнение по поводу необычных наблюдений и неожиданных явлений [24].Кроме того, «то, что будет интересно детям, во многом зависит от природы окружающего их мира и их предыдущего опыта» ([12], с. 33). Учащиеся на всех уровнях образования стремятся к конкретности, естественно интересуются реальным миром и пользуются преимуществами практического обучения, особенно когда они неоднократно используют его в математическом образовании. В частности, в программе послесреднего математического образования для нематематических специальностей проблемы должны иметь применимость к реальности. Интересно, что мы, кажется, возвращаемся к «играм», когда имеем дело с чистой теорией, поскольку мы можем искать абстрактное решение ради самого решения.

Макс Вертхаймер, один из основателей гештальт-психологии, утверждал, что для многих детей «имеет большое значение, есть ли реальный смысл вообще ставить проблему» ([25], с. 273). Он привел пример 9-летней девочки, которая не училась в школе. В частности, она не могла решать простые задачи, требующие использования элементарной арифметики. Однако, когда ей давали проблему, которая возникла из конкретной ситуации, с которой она была знакома и решение которой «требовалось ситуацией, она не сталкивалась с необычными трудностями, часто проявляя превосходный смысл» ([25], с.273-274). Другими словами, лучшая стратегия развития у студентов интереса к предмету — это сосредоточить преподавание на темах, которые находятся в их сфере интереса. Как сказал Уильям Джеймс, классик американской психологии, который первым применил это к обучению учителей, «Любой объект, не интересный сам по себе, может стать интересным, если он станет ассоциироваться с объектом, к которому интерес уже существует» ( [26], стр. 62). Интерес также можно использовать для развития мотивации в образовании, поскольку он «относится к модели выбора среди альтернатив — моделей, которые демонстрируют некоторую стабильность во времени и которые, по-видимому, не являются результатом внешнего давления» ([27], с.132).

Отражение так же важно, как и действие. Способность размышлять о выполняемых действиях составляет так называемый внутренний контроль, когда люди считают себя ответственными за свое поведение, что отличается от внешнего контроля, когда они видят, что другие или обстоятельства являются основной мотивацией индивидуального поведения [28 ]. Процесс практического обучения при решении реальной проблемы обычно начинается с трех основных вопросов. Мы спрашиваем: во-первых, что должно происходить? Во-вторых, что нам мешает это сделать? В-третьих, что мы можем сделать?

Практическое обучение (часто называемое в академических кругах практическим исследованием [29, 30]) традиционно использовалось для обучения управлению бизнесом и социальным наукам [31, 32], проведению научных исследований [33] и повышению квалификации учителей [22, 34–36].В математическом образовании [4, 37] практическое обучение как метод обучения было принято как педагогика, ориентированная на самостоятельное решение реальных проблем с последующей рефлексией. Обучение — это основная цель, даже если решение проблем реально и важно. Обучение облегчается за счет отказа от устоявшихся мировоззрений, тем самым создавая несколько незнакомую обстановку для проблемы. Теперь у нас есть методика практического обучения с использованием технологий для преподавания математики через реальные проблемы под руководством инструкторов STEM и специалистов сообщества, использующих компонент проекта [4].Цифровые технологии видны, по крайней мере, в рамках необходимой типологии рукописей. Конечно, он может пойти намного дальше и включать в себя важную утилиту (например, числовой интегратор, электронную таблицу или специализированное программное обеспечение). Наконец, действие обучение (берущее начало в бизнес-образовании [20, 21]) обеспечивает эффективный и четкий подход к математическому образованию. Этот подход был разработан на основе различных (и, как упоминалось в начале раздела 2, иногда спорных) активных методов обучения, которые повсеместно используются преподавателями математики в различных контекстах преподавания, ориентированных на конструктивизм и ориентированных на учащихся [38–41 ].

4. Практическое обучение на практике математического образования

Наша команда USF-SUNY [4] установила, что практическое обучение является положительной педагогической чертой на всех уровнях обучения (K-20). Кто-то может возразить, что, поскольку многие люди учатся на протяжении всей жизни, некоторые из нас могут использовать практическое обучение (возможно, в качестве преподавателей математики) за пределами K-20. Наша мотивация к практическому изучению математики может дать молодым ученикам возможность познакомиться с интересным, что известно о математике. Основные концепции могут быть довольно сложными, и студенты могут вернуться к идеям и развить их дальше по мере накопления опыта.Примеры практического обучения представлены в подразделах ниже по уровням обучения. Эти примеры даны с акцентом на конкретность, что, в свою очередь, мотивирует учащихся. Использование компонента проекта делает модель зонтика математики «один + два» доступной на высшем уровне (раздел 4.2.2).

4.1. Мотивация и обучение действиям на уровне начальной и средней школы

На уровне начальной школы математические концепции могут быть мотивированы с помощью надлежащим образом разработанных практических занятий, подкрепленных манипулятивными материалами.Такие действия должны объединять богатые математические идеи со знакомыми физическими инструментами. Как упоминалось выше, важным аспектом обучения действием является его ориентация на игру. Педагогической характеристикой игры в контексте обучения математике с помощью инструментов является «нестандартное мышление», то есть то, что в присутствии учителя как «более знающего другого» открывает окно для будущего обучения учащихся. Тем не менее, отсутствие опоры можно наблюдать, как выразился Видлер [12], «когда ребенок дольше смотрит на асимметричную, а не на симметричную фигуру» (стр.18) интуитивно, через любопытство восприятия, осознавая, что устойчивость фигуры зависит от ее положения. То есть перцептивное любопытство в сочетании с творческим мышлением часто выходит за рамки деятельности, предназначенной для одного уровня, и сливается с изучением более продвинутых идей на более высоком когнитивном уровне. В следующих двух разделах показано, как использование двусторонних счетчиков и квадратных плиток, физических инструментов, обычно используемых в настоящее время в классе элементарной математики, может поддерживать, соответственно, введение чисел Фибоначчи, что позволяет с помощью вычислений открыть окно. к концепции золотого сечения и связать построение прямоугольников (из плиток) с обсуждением особых числовых соотношений между их периметрами и площадями.В обоих случаях переход от начального уровня к второстепенному может быть облегчен за счет использования цифровых технологий. То есть математические идеи, рожденные в контексте практического обучения с помощью физических инструментов, могут быть расширены на более высокий уровень с помощью вычислительных экспериментов, поддерживаемых цифровыми инструментами.

4.1.1. От двусторонних счетчиков к золотому сечению посредством обучения действием

Рассмотрим следующий сценарий обучения действиям:

Определите количество различных вариантов расположения одного, двух, трех, четырех и т. Д. На двусторонних (красных / желтых) счетчиках в котором не появляются две красные фишки подряд.

Экспериментально можно сделать вывод, что один счетчик можно расположить двумя способами, два счетчика — тремя способами, три счетчика — пятью и четыре счетчика — восемью (рис. 1). В частности, на рисунке 1 показано, что все комбинации с четырьмя счетчиками могут быть подсчитаны путем рекурсивного сложения 3 + 5 = 8, поскольку их можно разделить на две группы, так что в первой группе (с мощностью три) крайний правый счетчик равен красный, а во второй группе (мощность пять) крайняя правая фишка желтая.Реализуя эту идею под руководством учителя, молодой ученик может обнаружить, что следующая итерация (пять счетчиков — 13 способов, так как 13 = 5 + 8) согласуется с описанием на рисунке 1. Увеличение для единообразия последовательность 2, 3, 5, 8, 13 двумя единицами (при условии, что пустой набор счетчиков имеет только одно расположение) позволяет описать завершение вышеупомянутого сценария обучения действиям (то есть размышления о результатах воздействия на конкретный материалов согласно определенному правилу) через последовательность 1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 13,…, (в которой первые два числа равны единице, а каждое число, начиная с третьего, является суммой два предыдущих числа) — одна из самых известных числовых последовательностей во всей математике, названная в честь Фибоначчи (1270–1350), самого выдающегося итальянского математика своего времени.В рамках размышления над сценарием юным студентам можно сказать, что, какими бы эзотерическими ни казались числа Фибоначчи, они, вероятно, столкнутся с ними снова.

Действительно, на вторичном уровне числа Фибоначчи можно исследовать в терминах отношений двух последовательных членов. С этой целью можно использовать электронную таблицу, чтобы продемонстрировать, что отношения приближаются к числу 1,61803 по мере увеличения n , независимо от первых двух членов последовательности, и. Точное значение, число, известное как золотое сечение.Это пример того, как использование компьютера может предоставить ученикам и их учителям неформальный мост, соединяющий более низкий когнитивный уровень с более высоким. Без простоты вычисления соотношений двух последовательных чисел Фибоначчи, представленных в электронной таблице, было бы гораздо труднее связать простую обучающую деятельность по конкретному расположению двусторонних счетчиков с когнитивно более сложной идеей сходимости отношения к числу, известному с древности как золотое сечение.Золотое сечение, мотивируемое компьютером, может быть обнаружено в контексте изучения специальной числовой последовательности, описывающей задачу обучения действиям, подходящую для маленьких детей. Другими словами, компьютер может естественным образом открыть окно для будущего практического обучения учащихся (см. Примечание об исследовании болезни Альцгеймера в Разделе 6 ниже).

В связи с использованием двусторонних счетчиков в контексте чисел Фибоначчи следует отметить, что многие кандидаты в учителя считают, что конкретные материалы можно использовать только на элементарном уровне, а выше этого уровня они бесполезны.Имея это в виду, авторы хотели бы утверждать, что, как и в случае с числами Фибоначчи, конкретные материалы могут быть использованы для введения довольно сложных понятий, чтобы добавить фактор конкретности в изучение абстрактных идей. В частности, двусторонние счетчики могут служить воплощением двоичной арифметики во вводном курсе информатики. Более конкретно, если записать первые 16 натуральных чисел в двоичной форме, то при поддержке двусторонних счетчиков можно увидеть следующее.Есть два однозначных числа, в которых в ряду не появляются никакие единицы (без красных жетонов подряд), три двузначных числа без единиц, стоящих подряд, пять трехзначных чисел, в которых в ряду не появляются никакие единицы, и восемь четырехзначных чисел, в которых подряд не появляются единицы. Числа 2, 3, 5 и 8 — это последовательные числа Фибоначчи, которые, таким образом, могут быть использованы в качестве фрагментов предыдущих знаний учащихся при разработке новых идей посредством практического обучения. Более подробные исследования вторичного (и третичного) уровня с числами Фибоначчи см. В [43].

Очевидно, что мотивация связана с ожидаемым будущим успехом как следствие подросткового возраста. Теперь студенты стремятся к большей конкретизации понятий. Когда учащиеся средней школы имеют сильную мотивацию к практическому обучению, они могут создавать проекты уровня бакалавриата, как описано для студентов в Разделе 4.2 ниже. Постепенное ощущение «серьезности» сопровождает «зрелую» проектную работу. Прекрасные примеры практического обучения учащихся средних школ, выступающих на уровне колледжа, можно увидеть в проекте Publix Лорен Вудбридж «Pallet Physics» ([44], v.3, 2 (8)), проект квантовых вычислений Бо Муна «Проблема суммы подмножеств: уменьшение временной сложности NP-полноты с помощью квантового поиска» ([44], т. 4, 2 (2)), ракетный проект Логана Уайта « Моделирование полета ракеты в приближении низкого трения »([44], v. 6, 1 (5)), и проект Рошана Вармана по спиновым вычислениям« Spintronic Circuits: The Building Blocks of Spin-based Computing »([44] , т. 7, 1 (1)).

4.1.2. Креативность и обучение действиям

Люди творческие, когда они мотивированы, и можно проявить больше творческих способностей после общей, формирующей конкретизации идей.Важно рано распознавать творческие способности студентов. Педагоги рассматривают творчество как «один из важнейших навыков 21 века… жизненно важный для индивидуального и организационного успеха» ([45], стр. 1). Способность учителей распознавать творческие способности своих учеников, которые могут быть скрыты за их незрелой успеваемостью в классе, имеет решающее значение для успешного преподавания и продуктивного обучения. Если скрытые творческие способности учеников не признаются и не поддерживаются учителем, они, скорее всего, останутся бездействующими, если не исчезнут [46].Следующая история, взятая из класса второго класса, поддерживает идею о том, что учителя являются главными хранителями раскрытия творческого потенциала маленьких детей.

Кандидат в учителя начальных классов, работая индивидуально с учеником второго класса (под наблюдением классного руководителя), попросил его построить все возможные прямоугольники из десяти квадратных плиток (настоящая проблема для второго класса), ожидая, что ученик Постройте два прямоугольника, 1 на 10 и 2 на 5, каждый из которых представляет собой факт умножения числа 10, что будет изучено позже (в третьем классе).Кандидат в учителя был удивлен, увидев три прямоугольника, как показано на рисунке 2. Большое количество обучающих идей для практического обучения может быть связано с принятием прямоугольника с отверстием, которое демонстрирует скрытые творческие способности ребенка. Некоторые идеи могут быть связаны со вторичной математикой. Чтобы уточнить, подумайте о том, чтобы изучить взаимосвязь между площадью и периметром этого прямоугольника с отверстием, считая как внешний, так и внутренний периметры (размышление под руководством учителя о действиях ученика с использованием конкретных материалов).Видно, что площадь составляет 10 квадратных единиц, а периметр — 20 погонных единиц. То есть численно периметр в два раза больше площади. Сравнение площадей с периметрами прямоугольников известно еще со времен Пифагора [47]. В режиме обучения действием можно исследовать следующую ситуацию: существуют ли другие прямоугольники с прямоугольными отверстиями, у которых периметр в два раза больше площади? С этой целью на уровне средней школы можно ввести четыре переменные: a , b , c и d , как длину и ширину большего и меньшего прямоугольников.Отсюда следует соотношение ab — cd = a + b + c + d . Используя Wolfram Alpha — вычислительную систему знаний, доступную бесплатно в Интернете, — можно попросить программу решить указанное выше уравнение над положительными целыми числами. В результате получится следующий результат:

Если задать a = b = 3, можно выбрать c = 1, откуда d = 1. Это дает нам квадрат с квадратным отверстием (рисунок 3).Этот пример показывает, как знание алгебры и возможности использования технологий могут помочь практикующим учителям в работе с маленькими детьми по развитию критического мышления и развитию творческих способностей. То есть, опять же, технологии служат неформальным мостом, мотивирующим связующим звеном между двумя разными классами учебной программы по математике. Принимая во внимание, что учитель может не обязательно видеть богатую среду обучения за нетрадиционным ответом ученика, сам факт того, что такой ответ был принят и похвален, будет мотивировать этого и других учеников продолжать мыслить нестандартно.

В заключение этого раздела отметим, что тройку, ученика начальной школы, классного учителя и кандидата в учителя, можно сравнить в контексте практического обучения с учеником бакалавриата, математическим факультетом и предметом. Area Adviser, как описано ниже в Разделе 4.2.2. Сходство двух сред (с разницей в несколько лет) заключается в двойном наблюдении за учеником, изучающим математику, дуэтом «более знающих других».

4.2. Бакалавриат по математике и практическому обучению

4.2.1. Понимание абстрактности с обучением на практике

Язык математики абстрактный с большей абстракцией на более высоких уровнях. Традиционно университетская математика для нематематических специальностей преподается, дистанцируясь от реальности и не имея никакого отношения к профессиональным интересам студентов. В этом контексте многие будущие профессионалы не видят важности математики в своих перспективных областях [48]. Кроме того, абстрактность в обучении часто приводит к проблемам общения.Как отмечено в [49], в связи с преподаванием инженерной математики могут быть несоответствия между терминологией и идеями, используемыми математиком-лектором, и их интерпретацией студентами. Из-за того, что математическое образование на университетском уровне слишком теоретическое, оно становится неэффективным: нематематические специальности изучают предмет «потому что они должны». Альтернативный подход к математическому образованию основан на хорошо известном и прагматичном понятии «обучение на практике» (напр.g., [50–54]), что делает возможным конструктивное взаимодействие чистых и прикладных идей. Этот подход имеет большой потенциал для внедрения экспериментального обучения в математический анализ — базовую последовательность курсов в учебной программе по высшей математике.

4.2.2. Математика Umbrella Model

Вся университетская учебная программа по математике для нематематических специальностей может извлечь выгоду из практического обучения. Было обнаружено, что, особенно на университетском уровне, следует придерживаться «середины пути» в отношении относительных весов, придаваемых теории и применению.Зонтичная группа математики (MUG) Университета Южной Флориды (USF), инициированная Аркадием Гриншпаном в 1999 году [55], занимает эту «позицию». Он устраняет разрыв между математическим образованием и приложениями, одновременно вдохновляя студентов STEM на приобретение математических навыков, необходимых для успеха в их соответствующих дисциплинах. Эта инициатива привела к разработке модели «Зонтик математики» в образовании STEM, включающей сотни междисциплинарных (прикладных математических) студенческих проектов.За десять лет, прошедших с момента сообщения о том, что программа MUG была первой организацией, которая содействовала персонализированным математическим проектам, при поддержке консультантов по математике и предметным областям, для обучения нематематических дисциплин студентам STEM [56], MUG оставалась уникальной в этом отношении. Каждый проект выполняется под двойным контролем: консультант по математике (математический факультет) и консультант по предметной области (университетский или общественный специалист), который обычно предлагает проблему [4, 48, 55, 57–59].

Отличительной чертой MUG является уловка, заключающаяся в соединении одного студента бакалавриата с как минимум двумя специалистами . Ситуация проиллюстрирована на Рисунке 4. В результате ученики получают доступ к более широкому кругу знаний, чем обычно предоставляется одному преподавателю математики.

Еще одной сильной стороной является наличие связей с сообществом, которые возможны, или междисциплинарные связи, которые, по крайней мере, имеют место за пределами математического факультета вуза.Практическое обучение привносит «реальность» в абстракции математики. Даже когда преподаватели математики пытаются решить задачи с помощью приложений, полезность не осознается из первых рук, пока студенты не начнут применять ее. Это мотивационный подход для всех участников трио. Позже студенты могут решить провести исследование в связи с их опытом работы в проекте. Кроме того, они, вероятно, сохранят задействованные концепции дольше, чем при подходе «чистой лекции».

4.2.3. Практическое обучение на курсах математического анализа верхнего уровня

Практическое обучение является сильным мотивирующим фактором для всех участников, участвующих в математической группе Umbrella. Этот фактор, кажется, является общей нитью во всем спектре практического обучения K-20. Интерес участников к практическому обучению может быть пропорционален индивидуальному опыту. Преподаватели математики потенциально могут получить наибольшую пользу, но от студентов ожидается, что они будут знать теорию достаточно, чтобы их можно было мотивировать. Что касается программ бакалавриата по математике, таких как математический анализ II и III, считается, что студентам достаточно пройти несколько небольших тестов и домашних заданий, а затем направить свою энергию на практическое обучение, а не требовать от них успешной сдачи выпускного экзамена.В частности, эта педагогика практического обучения помогает студентам, которые «незначительно преуспели», позволяя в их итоговые оценки включать компонент практического обучения, которому по праву придается значительный вес в общей оценке курса.

Чаще встречаются «успешные», которые могут быть очень продуктивными в своих проектах по обучению действиям. Есть вероятность, что работы студентов будут опубликованы или, возможно, даже отмечены [4, 57], как и многие студенты за последние два десятилетия.Это прекрасные мотиваторы для всех сторон, участвующих в практическом обучении. Поскольку действие проистекает из мотивации, важно осознавать роль «мотиваторов действия». Для студентов высших учебных заведений мощным мотиватором часто является изучение чего-то полезного и того, на чем можно построить или улучшить успешную карьеру.

Примечательно, что студенты естественным образом мотивированы успехом в изучении математики. Влияние практического обучения было проанализировано в Университете Южной Флориды на курсах инженерного исчисления, в которых участвовали тысячи студентов, прошедших эти курсы и последующие курсы с весны 2003 г. по весну 2015 г. [59].Некоторые результаты (сгруппированные по расе и этнической принадлежности) представлены на Рисунке 5 [59]. На этом рисунке показан эффект обучения действием, параллельных разделов обучения без действия и исторических (традиционных) разделов. В этой части исследования участвовали 1589 студентов, изучающих действие, и 1405 студентов, обучающихся на курсах, не использующих элемент обучения действием. Наконец, еще 2316 человек были отмечены как «исторические», что означает, что они прошли курс до весны 2003 г. (то есть до того, как было проведено различие в отношении использования или неиспользования практического обучения в своих курсах).Исследователи тщательно включили доверительные интервалы в свои результаты. Очевидно, что в этой относительно большой подгруппе из более крупного исследования все четыре категории расы / этнической принадлежности предпочитают быть участниками обучения действием. Для размышления есть много информации из [59]. Во всяком случае, этот и другие результаты демонстрируют академическое превосходство в действии над обучением без действия. Прагматический вывод состоит в том, чтобы обеспечить обучение действием, поскольку это работает.

4.2.4. Практическое обучение как универсальная образовательная концепция

Мотивация преподавателей математики возникает в результате знакомства с новым опытом практического обучения. В настоящее время зарегистрированы многие сотни проектов практического обучения, представляющих широкий круг тем. Кроме того, всегда происходит обучение тонким действиям, которое никогда не документируется. Из тех проектов, которые доступны в «Журнале бакалавриата по математическому моделированию: один + два» (UJMM) [44], очевидно, что практически во всех областях можно использовать практическое обучение.Есть проекты, посвященные очень специфическим отраслям инженерии, например, биомедицинским нанотехнологиям. Есть также много других проектов, помимо «собственно инженерной мысли», например, связанных с музыкой или даже образованием. Другие — это кросс-полевые типы, которые не поддаются четкой классификации. Типы мостов часто представляют особый интерес. Это мотивирует преподавателей увидеть, что входит в смесь и какие области могут быть связаны посредством практического обучения. Это междисциплинарные особенности, желательные для всех учебных программ (в «вселенной учебных программ», то есть в образовании).Некоторые подробности доступны на главном веб-сайте Mathematics Umbrella Group (см. Центр промышленной и междисциплинарной математики). В журнале представлена ​​избранная подгруппа из более чем 2400 студенческих проектов, представленных с 2000 года. Признак разнообразия тематики проектов и участников студенческих работ очевиден из разнообразия тем, рассматриваемых в последних изданиях UJMM ([44], v. 8 , 1-2): «Применение простых гармоник для моделирования толчка» Кая Раймонда, «Силы, действующие на парусную лодку» Келли Стукбауэр, «Оптимизация топливного элемента» Эдуардо Гинеса, «Анализ осадков в Тампе» Эми Полен, «Аппроксимация площади поверхности колеблющихся липидных листочков с использованием взвешенной сеточной мозаики» Анаф Сиддики, «Рудиментарная модель реакции глюкозы на стресс» Нашей Риос-Гусман, «Органический сельскохозяйственный анализ: эффективность общепринятой практики» Брэдли Биега, «Использование Баланс скорости энтропии для определения теплопередачи и работы во внутренне обратимом, политрофическом, установившемся процессе потока »Саванна Гриффин,« Модельная функция улучшения мирового рекорда женщин на 1500 м с течением времени »Энни Аллмарк , «Максимальная мощность солнечного модуля из поликристаллического кремния» Джейнил Патель, «Оптимизация реакции сдвига водяного газа» Али Албулуши и «Волны цунами» Саманты Пеннино.

Помимо множества опубликованных проектов бакалавриата, существуют «сценарии практического обучения», которые можно рассматривать как сочетание различных практических занятий. Этот смешанный опыт имеет несколько идеалистических проблем. Проблемы можно считать типичными для того, что может рассматриваться в проекте, а не реальными примерами. Эти сценарии мотивируют преподавателя математики включать практическое обучение в обычный теоретический курс.Этим опытом, вероятно, поделятся любые преподаватели математики, занимающие аналогичные должности в математическом образовании. Непосредственной мотивацией здесь является расширение нашего понимания взаимосвязи между теорией математики и решением актуальных проблем в реальном мире.

5. Мотивирующие вопросы как основное средство изучения математики

5.1. Вопросы как инструменты обучения

Вопросы обычно становятся более сложными по мере взросления учащихся.Преподаватели на всех уровнях математического образования используют знания и опыт, чтобы ответить на вопросы. Желательны конкретные и уверенные ответы, при этом иногда (как правило, на более высоких уровнях) вопросы могут потребовать дополнительных размышлений перед их изложением. В контексте постановки проблем и их решения важно различать два типа вопросов, которые могут быть сформулированы так, чтобы стать проблемой: вопросы, требующие информации, и вопросы, требующие объяснения полученной информации [60].Подобно двум типам знаков — символам первого порядка и символизму второго порядка [61] — можно относиться к вопросам, ищущим информацию, как к вопросам первого порядка, а те, которые требуют объяснения, как к вопросам второго порядка [46]. В то время как на вопросы первого порядка можно ответить, используя разные методы, похоже, что не все методы могут быть использованы для объяснения того, что было получено при поиске информации, то есть для предоставления ответа на вопрос второго порядка. Часто просьба о объяснении является разумным размышлением о методе предоставления информации.

Что означает, что учителя должны обладать «глубоким пониманием» математики? Зачем им нужно такое понимание? У будущих учителей есть несколько причин, по которым они должны быть тщательно подготовлены к математике, чтобы иметь положительное влияние на успеваемость молодых изучающих математику. Во-первых, в современном классе математики ожидается, что ученики всех возрастов будут задавать вопросы, и их даже поощряют. В Соединенных Штатах национальные стандарты уже для классов до K-2 предполагают, что «необходимо воспитывать естественную склонность учащихся задавать вопросы… [даже] когда ответы не сразу очевидны» ([19], с.109). Это предложение подтверждается следующим комментарием кандидата в учителя начальной школы: «Не зная ответа на вопрос — это нормально, но нельзя оставлять этот вопрос без ответа». Кандидат описывает себя как «тот педагог, который всегда будет побуждать моих учеников задавать себе некоторые из тех же вопросов, которые позволят им участвовать в глубоком размышлении».

5.2. Международный характер обучения с помощью вопросов

На границе с США министерство образования Онтарио в Канаде с помощью своей учебной программы по математике для младших классов ожидает, что учителя смогут «задавать учащимся открытые вопросы … поощряйте студентов задавать себе подобные вопросы… [и] моделируйте способы, которыми можно ответить на различные вопросы »([62], с.17). Для развития такого мастерства «учителя должны знать способы использования математических рисунков, диаграмм, материалов для манипуляций и других инструментов для освещения, обсуждения и объяснения математических идей и процедур» ([63], с. 33). В Чили учителя математики должны «использовать представления, опираться на предварительные знания, задавать хорошие вопросы и стимулировать любознательное отношение и рассуждение среди учащихся» ([64], с. 37). В Австралии учителя математики знают, как мотивировать «любопытство, бросить вызов мышлению учащихся, обсудить математический смысл и моделировать математическое мышление и рассуждения» ([65], с.4). Репертуар возможностей обучения, которые преподаватели предлагают своим ученикам, включает постоянный поиск альтернативных подходов к решению проблем, а также помощь ученикам в изучении конкретной стратегии решения проблем, с которой они боролись. В национальной учебной программе по математике в Англии используются такие термины, как «практика со все более сложными задачами с течением времени… [и] может решать задачи… с возрастающей степенью сложности» ([66], стр. 1). С этой целью учителя должны быть готовы иметь дело с ситуациями, когда естественный поиск вопросов приводит учеников к этой изощренности и усложнению математических идей.Необходимость такой подготовки учителей подтверждается кандидатом в учителя, который сформулировал это следующим образом: «Если ученик спрашивает, почему, а учитель не может объяснить, как что-то произошло, ученик теряет всякую веру и интерес к предмету и уважение к учителю ».

На уровне бакалавриата часто обсуждаются вопросы второго порядка. Преподаватели математики знают, что такие вопросы могут быть полезны для стимулирования дальнейших исследований. Возможно, правда, что математика, с которой приходится сталкиваться на уровне начальной и средней школы, должна быть безупречно понята преподавателями математики и что учащиеся могут быть «уверены» в том, что им преподают.Когда мы начинаем заниматься, скажем, теорией множеств или двумерной / трехмерной геометрией, могут быть загадочные результаты, которые действительно побуждают учащихся задуматься об изучении высшей математики. Любопытство математики — это то, что учащиеся, вероятно, сочтут привлекательным. Конечно, преподавателю математики полезно иметь глубокое понимание темы; однако в ответе могут быть детали, которые не поддаются немедленному описанию. В некоторых редких случаях ответ даже не доступен. Ожидается, что зрелость студентов позволит им признать, что на более высоких уровнях математики они не должны терять веру и уважение к преподавателю, если объяснение откладывается.На более ранних этапах математического образования учащиеся верят, что математика идеальна. Однако математика так же несовершенна, как и все остальное, изобретенное людьми. Студенты должны это знать.

6. Компьютерная сигнатурная педагогика и модель обучения и преподавания 3P

Любопытство и мотивация также могут поддерживаться использованием цифровых инструментов в качестве инструментов практического обучения. Как было показано на примерах из дошкольного математического образования, компьютеры могут способствовать переходу с одного познавательного уровня на другой (более высокий).Это согласуется с современным использованием компьютеров в математических исследованиях, когда новые результаты возникают в результате вычислительных экспериментов. Например, радость перехода от визуального к символическому, когда двухсторонние счетчики предлагались как средство рекурсивного построения чисел Фибоначчи, которые затем можно было смоделировать в электронной таблице, где, возможно, благодаря интуиции, определился определенный образец в поведении соотношений могут быть обнаружены два последовательных члена. Это открытие мотивирует формальное объяснение того, почему отношения ведут себя определенным образом.Точно так же переход от числового описания прямоугольников с точки зрения периметра и площади приводит к их формальному представлению. В то время как прямоугольник с отверстием был обнаружен путем мышления «нестандартно», наличие цифрового инструмента облегчает переход от визуального к символическому с последующим использованием последнего представления в ситуации математического моделирования.

Мощь компьютерного моделирования может служить мотивацией для разработки и последующего исследования более сложных рекуррентных соотношений, чем у чисел Фибоначчи.Как обсуждалось в [58], использование моделирования электронных таблиц может быть применено в контексте исследования болезни Альцгеймера для изучения популяции трансгенных мышей с упором на финансовую осуществимость покупки двух родительских мышей (самца и самку) и выращивания популяции мышей определенной размер. Эффективный подход к этой проблеме включает теорию рекуррентных соотношений, которые первоначально были введены на вторичном уровне через числа Фибоначчи. Результаты, полученные с помощью моделирования в электронной таблице, затем могут быть использованы для проверки теоретических результатов.Подробнее об этом проекте см. [55].

Все это приводит к понятию компьютерной сигнатурной педагогики (CASP), когда побуждает размышлять и поддерживать анализ действий, предпринимаемых учеником в контексте практического обучения, обеспечивает CASP глубинную (а не поверхностную) структуру обучения . [67] нанят учителем как «более знающий друг». Точно так же в более ранней публикации Биггс [15] проводил различие между поверхностной и глубокой структурой подходов студентов к обучению , описывая первый подход в терминах студента, «вкладывающего минимальное время и усилия, чтобы соответствовать требованиям… [ тогда как последний подход] основан на интересе к предмету задачи; стратегия максимального понимания »(стр.6). Адаптировав модель обучения в классе, предложенную Данкином и Биддлом [68], Биггс [15] представил теперь известную 3P модель обучения студентов, основанную на представлениях студентов об обучении в целом и их текущей учебной среде (прогноз), студенческий подход к обучению (процессу) и результат обучения студента (продукт). Исследование того, как первый P модели влияет на второй P и, как следствие, на третий P, было проведено Лиццио, Уилсоном и Саймонсом [69], которые выдвинули семь теоретических положений.Одно из этих предположений было основано на аргументе о том, что если студенты университетов воспринимают преподавание курсов их профессорами как надежное, то они с большей вероятностью выберут глубокий подход к обучению. Авторы пришли к выводу, что этот аргумент верен не только для учебных курсов по высшей математике, но и для курсов по методам математики для будущих школьных учителей. В современном преподавании математики правильное использование технологий является важной характеристикой учебной среды.В частности, в контексте студенческого подхода к обучению в глубокой структуре под эгидой CASP, можно расширить использование единого цифрового инструмента, такого как электронная таблица, другими современными технологиями, такими как Wolfram Alpha. С этой целью CASP, структурированный на основе глубоких подходов к преподаванию и обучению, может включать использование так называемых интегрированных электронных таблиц [70], которые поддерживают преподавание математики на всех образовательных уровнях с вычислительной надежностью обучения учащихся.

7.Проблемы и догадки, которые вдохновляют и мотивируют

Студент, изучающий математику (на любом уровне образования), скорее всего, столкнется с «тщетностью» математического совершенства. В математике есть легко выражаемые вопросы (предположения), на которые нет ответов (доказательство). Это похоже на принцип неопределенности Гейзенберга, где есть «пределы точности», например, при нахождении как положения, так и импульса. Важное понятие состоит в том, что не всегда есть «стандартные» решения математических задач.Зная это, учащиеся могут продолжить изучение математики для решения некоторых задач. В этих случаях действует «нестандартное» обучение действиям. Первоначальные размышления носят в основном теоретический характер, но в конечном итоге приложение будет вызвано. Заметьте, что проблему даже не нужно решать, многое предстоит узнать в этой попытке. Это мотивационный процесс. Кроме того, размышление привносит конкретность в концепции проблемы и относится к общей «природе» проблем и решению проблем.

Реальные приложения математики в значительной степени стимулируют различные виды исследований в предметной области, в которых участвуют как профессиональные математики, так и студенты разных специальностей. Это не означает, что прикладная математика является единственным значимым источником развития математической мысли. Действительно, в самой математике есть много проблем, которые раньше мотивировали и продолжают мотивировать тех, кто стремится в полной мере оценить математику как фундаментальную науку.Некоторые из этих задач (иногда называемых предположениями) можно рекомендовать для включения в учебную программу по математике для не математических специальностей, а также для кандидатов в учителя. Опыт авторов показывает, что теоремы и предположения, берущие начало как в чистой, так и в прикладной математике, могут запустить воображение и мыслительный процесс тех, чей ум открыт для оспаривания.

Например, формулировки и исторические подробности таких захватывающих проблем, как Великая теорема Ферма, доказанная Эндрю Уайлсом [71], и гипотеза Бибербаха, доказанная Де Бранжем [72] (см. Также [73]), могут быть включены в некоторые базовые курсы математики. для нематематических специальностей.Доказательства этих теорем требуют не только элементарных средств, но и чрезвычайно сложны. Однако, как заметил Стюарт [74], «тот факт, что доказательство важно для профессионального математика, не означает, что преподавание математики данной аудитории должно ограничиваться идеями, доказательства которых доступны этой аудитории» (стр. 187). . Давайте посмотрим на них.

Последняя теорема Ферма утверждает, что уравнение не имеет ненулевых целочисленных решений для x, y и z при .В частности, эта теорема может быть представлена ​​различным группам студентов-математиков как способ ответить на вопрос: Можно ли расширить интерпретацию троек Пифагора как разделение квадрата на сумму двух квадратов, чтобы включить аналогичные представления для более высоких степеней ? Как подробно описано в [75], использование электронной таблицы со второстепенными кандидатами в учителя позволяет визуализировать Великую теорему Ферма путем моделирования несуществующих решений вышеуказанного уравнения для почти таким же образом, как и для.Точно так же вполне возможно, что с помощью технологий или других средств естественный мост между утверждением Великой теоремы Ферма и некоторыми геометрическими свойствами модульных эллиптических кривых в доказательстве Уайлса станет доступным для будущих студентов-математиков.

Гипотеза Бибербаха утверждает, что для каждой аналитической функции, взаимно однозначной в единичном круге, неравенство выполняется. Один только этот легендарный результат с его ошеломляющими данными (см., Например, [76]) может вызвать у студентов интерес к изучению таких важных математических понятий, как взаимно однозначные функции, степенные ряды, сходимость и коэффициенты Тейлора, которые, в частности, являются целесообразно обсудить с инженерами-майорами.Здесь также стоит упомянуть о глубоких геометрических корнях гипотезы Бибербаха. Например, его доказательство для основано на представлении плоской заданной области как контурного интеграла и, таким образом, доступно для нематематических специальностей, зачисленных на курс исчисления верхнего уровня.

Существует также известная гипотеза Гольдбаха [77], которая утверждает, что каждое четное число больше двух может быть записано как сумма двух простых чисел (возможно, более чем одним способом). Было бы чудом, если бы эта гипотеза оказалась ложной.Пока встречных примеров не найдено. Хотя поиск противоположного примера кажется бесплодным, эмпирически было показано, что гипотеза Гольдбаха верна для всех четных чисел больше двух и меньше некоторого известного числа, состоящего из 17 цифр.

Другой известной, но простой для понимания проблемой является гипотеза палиндрома [78]. Он имеет дело со свойством палиндромов (т. Е. Целых чисел, которые читаются так же, как вперед и назад) привлекать целые числа в соответствии со следующей процедурой: начать с любого целого числа, перевернуть его цифры и сложить два числа; повторите процесс с суммой и продолжайте видеть, что это приводит к палиндрому.Примечательно, что эта «игра с числами» недавно была упомянута как одна из двенадцати нерешенных проблем современной математики [79]. Именно эта проблема и, как отмечено в Принципах и стандартах школьной математики [19], ее образовательный потенциал для учащихся средних школ «ценить истинную красоту математики» (стр. 21) побудил кандидата в учителя средней школы работать с один из авторов по разработке вычислительных обучающих сред для учебных презентаций и экспериментов с большим классом развлекательных задач, как решенных, так и нерешенных [80].Как сказал Гаусс, «в арифметике самые элегантные теоремы часто возникают экспериментально в результате более или менее неожиданной удачи, в то время как их доказательства лежат настолько глубоко погруженными в темноту, что опровергают самые острые вопросы» (цитируется в [81]. ], стр. 112).

Похоже, что использование технологий для значимых экспериментов с числами под эгидой CASP может вдохновить и мотивировать студентов уже на уровне дошкольного образования к новым открытиям в элементарной теории чисел.Каким-либо образом расширяя наше понимание математики, мы потенциально расширяем нашу способность «процветать». Это неотъемлемая ценность и мотивация для обучения действиям. Предполагается, что вся математика может иметь приложения. Нам нужно только иметь мотивацию для разработки этих приложений.

8. Заключение

В этой статье, используя опыт авторов в преподавании математики и надзоре за применением предмета в практике государственных школ и промышленности, представлена ​​структура совместного использования практического обучения и концептуальной мотивации в контексте К-20 математического образования.Были представлены различные примеры практического обучения — индивидуальная работа над реальной проблемой с последующим размышлением под наблюдением «более знающего другого». Такой надзор может включать в себя «дуэт других» — классного учителя и кандидата в учителя в школе K-12, а также преподавателя математики и советника по предметной области в университете. В статье показано, что практическое изучение математики идет рука об руку с концептуальной мотивацией — методикой обучения, при которой введение математических концепций мотивируется (соответствующими классу) реальными приложениями, которые могут включать в себя действия учащихся над объектами, приводящие к формальному описанию этого. действие через символику математики.Этот подход основан на важных рекомендациях математиков [5, 16, 17] и педагогических психологов [1, 25, 26, 61].

Главный вывод статьи состоит в том, что за счет многократного использования концептуальной мотивации и практического обучения на всех уровнях математического образования общий успех учащихся имеет большой потенциал для улучшения. Это сообщение подкрепляется примерами творческого мышления молодых учащихся в классе, основанного на всестороннем сотрудничестве школьных учителей и преподавателей университета (в духе Группы Холмса [82]).Точно так же это сообщение было подкреплено примерами интереса студентов к изучению математического анализа посредством практического обучения в реальной жизни. Похоже, что растущий интерес студентов к математике связан с практическим обучением и концептуальной мотивацией, которые использовались для исправления широко распространенного формализма в преподавании математики, который, в частности, стал препятствием на пути к успеху STEM-образования [4, 7, 8] . Когда учащиеся имеют опыт практического изучения математики в школьные годы, они, вероятно, продолжат изучение предмета в том же духе, тем самым избежав многих препятствий на пути перехода от среднего образования к высшему.Как упоминалось в разделе 4.2.3, исследование по внедрению практического обучения инженерному исчислению с участием тысяч студентов Университета Южной Флориды [4, 59] показывает, что, хотя интерес студентов к практическому обучению может быть пропорционален индивидуальному опыту в этом случае их результаты обучения демонстрируют академическое превосходство практического обучения над другими педагогическими средствами проведения расчетов.

На начальном этапе формального математического образования школьники должны начать знакомство с педагогикой практического обучения и концептуальной мотивации, усиленной, в зависимости от обстоятельств, задаванием вопросов и ответами на них, а также обучением использованию технологий.Как было показано в документе, не только учебные программы по математике K-12 во многих странах поддерживают обучение учащихся, задавая вопросы, но и их будущие учителя ценят такой вид математического обучения. Аналогичным образом, компьютерная сигнатурная педагогика [37] может использоваться для максимального понимания учащимися математики и поощрения их глубокого подхода к обучению [15]. У студентов университетов больше мотивации, чем у школьников, чтобы справляться с обязанностями взрослой жизни. Тем не менее, обе группы студентов все еще могут быть мотивированы своим естественным «бросающим вызов возрасту» любопытством.В этом отношении стимулирующие вопросы, склонность к использованию компьютеров и известные классические задачи являются важными инструментами мотивации при изучении математики. Объединение всей учебной программы по математике K-20 в единую систему возможно, когда методы концептуальной мотивации и обучения действиям используются во всем этом образовательном спектре. Наконец, очевидно, что есть прагматическая причина для того, чтобы знакомить учеников с радугой обучения действием, и это потому, что среди сегодняшних учеников есть завтрашние учителя.Процесс должен и дальше развиваться.

Доступность данных

Данные, использованные для подтверждения результатов этого исследования, включены в статью.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Ознакомьтесь со стандартами | Common Core State Standards Initiative

Основываясь на лучших из существующих государственных стандартов, Common Core State Standards ставит четкие и последовательные цели обучения, чтобы помочь студентам подготовиться к колледжу, карьере и жизни.Стандарты четко демонстрируют, что ученики должны изучать на каждом уровне обучения, чтобы каждый родитель и учитель могли понять и поддержать их обучение.

Стандарты:

1. Исследования и доказательства
2. Ясный, понятный и последовательный
3. Соответствует ожиданиям от колледжа и карьеры
4. Основан на строгом содержании и применении знаний посредством навыков мышления более высокого порядка
5. Создан на основе сильных сторон и уроков действующих государственных стандартов.
6. Информирован другими странами с высокими показателями, чтобы подготовить всех студентов к успеху в нашей глобальной экономике и обществе

Согласно наиболее достоверным имеющимся данным, владение каждым стандартом необходимо для успеха в колледже, карьеры и жизни в современной глобальной экономике.

Когда учащиеся, родители и учителя находятся на одной странице и работают вместе для достижения общих целей, мы можем гарантировать, что учащиеся каждый год добиваются успехов и заканчивают среднюю школу, готовыми к успеху в колледже, карьере и жизни.

Стандарты сосредоточены на основных концепциях и процедурах, начиная с младших классов, что дает учителям время, необходимое для их обучения, и дает учащимся время, необходимое для их усвоения.

Стандарты основаны на наиболее важных международных моделях, а также на исследованиях и материалах из многочисленных источников, включая педагогов от детского сада до колледжа, государственных департаментов образования, ученых, разработчиков оценивания, профессиональных организаций, родителей и студентов, а также представителей общественности. .

Поскольку их дизайн и содержание были усовершенствованы посредством последовательных проектов и многочисленных раундов обратной связи с государством, стандарты представляют собой синтез лучших элементов работы, связанной со стандартами, во всех штатах и ​​других странах на сегодняшний день.

Для классов K-8 существуют стандарты обучения английскому языку по искусству / грамотности и математике. Для 9-12 классов стандарты сгруппированы в группы оценок: стандарты 9-10 классов и стандарты 11-12 классов.

Хотя стандарты устанавливают цели для каждого класса, они не определяют, как следует преподавать стандарты или какие материалы следует использовать для поддержки учащихся.Штаты и округа признают, что потребуется ряд мер поддержки, чтобы гарантировать, что все учащиеся, включая учащихся с особыми потребностями и изучающих английский язык, смогут овладеть стандартами. Штатам надлежит определить полный спектр поддержки, подходящей для этих студентов.

Ни один набор стандартов для конкретных классов не может полностью отразить большое разнообразие способностей, потребностей, темпов обучения и уровней успеваемости учащихся в любом отдельно взятом классе. Важно отметить, что стандарты обеспечивают четкие ориентиры на пути к цели подготовки к колледжу и карьеры для всех студентов.

Математика

Студенты лучше всего изучают математику, когда у них есть возможность «заниматься математикой». Студенты должны работать над сложными проблемами, делиться своими мыслями с другими и использовать свое мышление для построения и углубления понимания. Этот процесс предоставит нашим студентам навыки, необходимые для поступления в колледж или более подготовленной работы.

Стандарты обучения

Стандарты изучения математики нового поколения штата Нью-Йорк представляют собой установленные руководящие принципы того, что каждый ученик должен знать и уметь делать по математике с классов K-12.Узнайте больше о стандартах математики. Чтобы узнать больше об основной учебной программе г. Нью-Йорка, см. Оценки ниже:

Ресурсы для семьи

Вот несколько занятий, которые можно попробовать дома:

Готовка

Следующие шаги, использование дробей и соотношений и измерение количеств — это всего лишь некоторые навыки, которые мы используем, чтобы приготовить даже базовые рецепты. А когда вы готовите вместе, вы вместе с ребенком можете приготовить вкусные блюда!

Покупки

Во время покупок поощряйте детей обращать внимание на размеры, вес, вместимость и измерения жидкости.Попросите ребенка:

• найти самый большой контейнер с молоком и объяснить, почему он вмещает больше, чем другие контейнеры
• сравните размер и стоимость двух или более предметов, чтобы определить наилучшее значение
• подсчитайте количество предметов в вашем cart
• оцените стоимость предметов
• определите, сколько денег можно ожидать в обмен на сдачу

Повседневная жизнь

Проведите беседы, относящиеся к повседневной жизни, и включите математические вопросы.Во время путешествия используйте вопрос «Когда мы туда доберемся?» Как возможность посчитать:

• посчитайте количество съездов и / или остановок, прежде чем вы доберетесь до пункта назначения
• поговорите о милях до пункта назначения
• спросите, как быстро вы едете, чтобы ваш ребенок мог ответить

В повседневной жизни вы всегда можете задавать «удивительные» вопросы, например:

• Какого роста это дерево?
• Сколько мест в этой комнате?
• Сколько людей стоят перед нами на этой линии?

Обдумайте эти вопросы вместе и попросите ребенка рассказать вам, о чем они думали, чтобы получить свои ответы.

Числа и фигуры

Числа и формы окружают нас повсюду! Найдите числа и формы в окружающей среде (адреса, спортивная статистика, прогноз погоды, номерные знаки, цены, знаки) и обсудите, что они означают и как используются.

Сколько времени это займет?

Изучите время, попросив ребенка оценить, а затем измерить, сколько времени требуется для выполнения различных действий. Какие из оценок вашего ребенка были близки к реальному времени? Какие были дальше всего? Попросите их назвать занятие, которое, по их мнению, займет менее пяти минут, затем попробуйте его и посмотрите, насколько точным было их предположение.Не забывайте отмечать время начала и окончания каждого действия, чтобы увидеть, как долго оно длилось; это поможет детям понять ход времени.

Пазлы и оригами

Пазлы помогают развивать пространственные навыки. Умение замечать формы и узоры в пазлах позволит вашему ребенку легко усвоить концепции геометрии, которым его обучают в школе.

Оригами (японское искусство складывания бумаги) укрепляет понимание формы и симметрии, а также требует от детей следовать указаниям в последовательном порядке.

Сыграть в игры

Настольные игры, такие как «Монополия», «Улика», «Желоба и лестницы» и многие другие, дают возможность попрактиковаться в математических навыках, вычислениях и логических рассуждениях. Карточные игры, такие как Twenty-One и Hearts, дадут вашему ребенку возможность попрактиковаться в базовых вычислениях.

Ресурсы для преподавателей

Учителя и другие преподаватели могут найти учебную программу и учебные материалы на сайте We Teach NYC.

Непрерывность обучения — математика

Непрерывность обучения по области содержания

Учитывая исключительные обстоятельства, вы можете принять во внимание следующую информацию, приведенную ниже, при разработке образовательных программ для ваших учеников по математике.Есть также примеров, различных способов подхода к асинхронному обучению, которые мы могли бы назначить нашим собственным ученикам и детям в разных классах вместе с соответствующими вспомогательными ссылками. Дополнительные ресурсы для поддержки преподавания и обучения можно найти на веб-странице DOE Continuity of Learning.

Обратите внимание, что этот сайт в настоящее время находится в стадии разработки. Вернитесь для получения дополнительной информации.

Блог по математике Национального научного фонда: 7 способов помочь детям с домашним заданием по математике

Идеи, не требующие / не требующие высоких технологий — в настоящее время строятся

Обучение с MOOSE — Интегрированные проектные модули PK-12

Что нужно иметь в виду для

учащихся классов PK-2:

• Время для исследований и игр — важный компонент обучения для младших школьников.
• Присылайте игры и / или печатные материалы, относящиеся к учебной программе, которые семьи могут использовать вместе со своими детьми для поощрения и поддержки обучения.
• Поощряйте семьи (если позволяют состояние здоровья и погодные условия) выходить на улицу и исследовать природу и предоставлять возможности как для структурированной, так и для неструктурированной игры. Пусть они вместе сделают фотографии своей деятельности и поделятся ими.
• Предлагайте идеи для практических проектов или поделок, которые семьи могут выполнять вместе. Подумайте о том, чтобы дать им формат игровой доски (BINGO или Tic-Tac-Toe), который они могут заполнить вместе, а учащиеся смогут поделиться, когда вернутся.
• Предлагайте занятия, связанные со стратегиями релаксации и внимательности … в эти дни могут быть очень подавляющими и неопределенными для маленьких детей и их опекунов.
• Прежде всего… выражайте важность разговора с детьми и взаимодействия с ними в течение дня.
• Подумайте о создании досок для выбора, которые побуждают семьи принимать решения и изменять занятия.

Что нужно иметь в виду для

Учащиеся 3-5 классов:

• Важное значение имеет анализ обучения и знакомство с ожиданиями.
• Предоставляет различные материалы для различных режимов, включая цифровые и печатные.
• Разработайте расписание с перерывами и последовательным планом.
• Дайте четкое представление об учебных ожиданиях и инструкциях как для учащихся, так и для родителей.
• Учитывайте простоту и разнообразие стилей обучения.
• Имейте место, где нет отвлекающих факторов для работы / учебы.
• Держите линии связи открытыми — задавайте вопросы и уточняйте.
• Беседа и игра по-прежнему являются важными частями обучения — поддерживайте значимое взаимодействие.
• Подумайте о создании досок для выбора, которые побуждают семьи принимать решения и изменять занятия.

Что нужно иметь в виду для

Учащиеся 6–12 классов:

• Береги себя.
• Проверьте свою электронную почту и другие средства связи.
• Планируйте свое время каждый день и делайте перерывы.
• Имейте место, где нет отвлекающих факторов для работы / учебы.
• Сосредоточьтесь на стилях обучения, которые лучше всего подходят вам.
• Ознакомьтесь с технологиями и инструментами, необходимыми для выполнения поставленных задач.
• Сотрудничайте с другими в цифровом / виртуальном режиме.

Что нужно помнить учителям

• Береги себя!
• Сосредоточьтесь на том, что лучше всего подходит ВАШИМ ученикам в зависимости от возраста, контента и доступа к технологиям.
• Создайте асинхронное обучение.
• Меньше больше на количество заданий и инструкций.
• Предложите различные варианты и возможности для персонализации обучения.
• Дайте четкие инструкции и ожидайте время.
• Укажите ожидания учащихся и родителей.
• Будьте чуткими и гибкими по отношению к обстоятельствам.
• Общайтесь постоянно и постоянно.
• Ознакомьтесь с технологиями и инструментами, необходимыми для участия в работе, и придерживайтесь их.
• Расписание онлайн в «рабочее время».
• Поощряйте сотрудничество между вашими учениками в цифровом / виртуальном формате.
• Свяжитесь с другими преподавателями и DOE для цифровой / виртуальной поддержки.

Что нужно помнить родителям

• Берегите себя и семью!
• Проверьте свою электронную почту и общайтесь.
• Помогите своему ребенку планировать каждый день и делать перерывы.
• Создайте для вашего ребенка место, свободное от отвлекающих факторов, чтобы он мог работать / учиться.
• Ознакомьтесь с технологиями и инструментами, необходимыми вашему ребенку для участия в работе.
• Сотрудничайте и общайтесь с учителями вашего ребенка (детей) в цифровом / виртуальном формате.
• Сотрудничайте и общайтесь с другими родителями в цифровом / виртуальном формате.
• Расслабьтесь! Вы не учитель, и не знать содержания — это нормально. От вас не ждут, что вы будете преподавать новый контент.

Примеры / Ресурсы

Таблица математических ресурсов

ПК-2 Примеры:

• Используя колоду карт, вытащите лицевые карты и по очереди переворачивайте карты для сравнения.Человек с большим номером на карте оставляет обе карты (все карты). Можно играть с двумя и более.
• Используйте расписание и работайте над определением времени.
• Готовьте вместе и работайте над измерением.

классы 3-5 Примеры:

• Используя колоду карт, вытащите лицевые карты и по очереди переворачивайте по 2 карты на игрока и умножайте их для сравнения. Человек с большим продуктом (ответом) сохраняет все карточки для этого раунда. Можно играть с двумя и более.
• Играйте в семейные игры, такие как «Монополия», где студенты учатся считать деньги.
• Выполняйте художественные и ремесленные проекты, в которых учащиеся строят или создают, используя определенные формы или размеры.

классы 6–8 Примеры:

• Используя наводящий вопрос «Каким был бы ваш мир без вклада (открытия) вашего математика?», Попросите учащихся написать небольшую статью, описывающую, как бы их мир отличался без математики от их математика.
• Создайте квадрат для квилтинга (10×10 или 8×8) из бумаги или других материалов, используя различные цвета и формы. Попросите учащихся математически описать квадрат своего лоскутного одеяла. В одном абзаце попросите учащихся описать квадрат лоскутного одеяла с использованием дробей, десятичных знаков и процентов. Во втором абзаце попросите учащихся описать узор с помощью фигур. Когда учащиеся вернутся в школу, попросите их принести свой квадрат лоскутного одеяла и описание и создать классное лоскутное одеяло.
• Используя программу для трехмерного дизайна, такую ​​как Google Sketch-Up, попросите учащихся создать масштабную модель своего дома.

классы 9–12 Примеры:

• Попросите учащихся рассчитать уклон различных лестниц в их домах (подъем / спуск) и сравнить. По каким лестницам легче всего подниматься?
• Используйте деятельность Desmos. учитель.desmos.com
• Попросите учащихся помочь младшим братьям и сестрам в их математической работе или в играх с братьями и сестрами.

6 способов помочь учащимся понять математику

Конечная цель обучения математике состоит в том, чтобы учащиеся понимали представленный материал, применяли навыки и вспоминали концепции в будущем.Мало пользы от того, что студенты вспомнят формулу или процедуру для подготовки к завтрашнему экзамену, а к следующей неделе забывают основную идею. Учителям необходимо сосредоточиться на том, чтобы ученики понимали материал, а не просто запоминали процедуры.

Вот шесть способов научить понимать в классе математики:

1. Создайте эффективный вводный курс.

Первые пять минут урока задают тон всему уроку.В идеале учителя должны начать с того, что поделятся повесткой дня урока, чтобы учащиеся знали, чего ожидать от того, что будет происходить. Затем учителя могут разместить и сформулировать цель обучения или основной вопрос классу, чтобы учащиеся знали цель и в конце урока могли самостоятельно оценить, была ли цель для них достигнута. Наконец, вводный курс может включать в себя одну или несколько задач для разминки как способ проверить и оценить предыдущие знания учащихся при подготовке к ознакомлению с новым материалом.В этом видеоролике показано начало урока седьмого класса по прямоугольным призмам:

видео

2. Представляйте темы, используя несколько представлений.

Чем больше типов представлений вы можете представить учащимся, обращаясь к их различным стилям обучения, тем с большей вероятностью они действительно поймут представляемую концепцию. Различные представления могут включать использование манипуляторов, показ изображения, рисование проблемы и предложение символического представления. Например, представляя линейные отношения с одним неизвестным, проиллюстрируйте учащимся ту же задачу, что и уравнение, на числовой прямой, словами и картинками.Учащиеся, которые подвергаются воздействию и могут распознать одни и те же отношения, представленные в различных режимах представления, с большей вероятностью будут иметь концептуальное понимание отношений и лучше справляться с оценками (PDF).

3. Решайте проблемы разными способами.

В лучшей обстановке в классе учитель может показать разные способы решения одной и той же проблемы и побудить учеников придумывать свои собственные творческие способы их решения. Чем больше стратегий и подходов используют студенты, тем глубже становится их концептуальное понимание темы.Предоставление учащимся возможности создавать собственные методы решения проблем может заставить учителя нервничать. Что, если мы не будем следовать их логике? Что, если они неверны? Тем не менее, стоит рискнуть, чтобы они исследовали. После того, как один, пара или небольшая группа учеников завершат решение классной задачи одним методом, предложите им поискать альтернативные способы найти такое же правильное решение. Когда учащиеся разрабатывают свои собственные методы, а затем делятся с классом правильными шагами, это очень мощный учебный опыт.На видео ниже показано, как учитель предлагает ученикам несколько способов решить одну и ту же задачу на прямоугольных призмах:

видео

4. Покажите приложение.

В идеальном мире мы всегда сможем продемонстрировать, как каждая концепция может быть применена к реальному миру — и, когда это возможно, это поможет улучшить понимание учащимися. Когда концепция не может быть применена таким образом, мы все равно можем рассказать, как ее можно применить в математике или другой предметной области. Другой вариант — показать, как эта концепция развивалась на протяжении истории математики.Выделите минутку из каждого урока, чтобы показать своим ученикам, где и как математику можно увидеть или использовать в жизни за пределами класса.

5. Предложите учащимся изложить свои соображения.

Студенты должны объяснять свои рассуждения при решении задач.