Алгебра 2019 год макарычев 9 класс: Номер (задание) 17 — гдз по алгебре 9 класс Макарычев, Миндюк

Уравнений высших степеней. Уравнение степеней или ориентировочное уравнение 5 градусов

На канале на YouTube наш сайт, чтобы быть в курсе всех новых видеоуроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Работа № а. Само по себе встречается n раз, это выражение можно записать как a a A … a = a n

1. A 0 = 1 (A ≠ 0)

3. а н а м = а н + м

4.(а н) м = а нм

5. A N B n = (AB) N

7. А Н / Д М = А Н — М

Силовые или демонстрационные уравнения — Это уравнения, в которых переменные выражены в градусах (или индикаторах), а в основе лежит число.

Примеры ориентировочных уравнений:

В этом примере число 6 — это основа, она всегда стоит внизу, а переменная x. градус или индикатор.

Приведем еще примеры ориентировочных уравнений.
2 х * 5 = 10
16 х — 4 х — 6 = 0

Теперь разберем, как решаются демонстрационные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Этот пример можно решить даже в уме. Видно, что x = 3. Ведь так, чтобы левая и правая части были равны цифре 3 вместо x.
Теперь посмотрим, как нужно оформлять это решение:

2 х = 2 3
х = 3.

Чтобы решить такое уравнение, мы удалили тех же оснований (то есть два) и записали то, что осталось, это градусы. Получил желаемый ответ.

А теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения ориентировочного уравнения:
1. Необходимо проверить того же фундамента Ли по уравнениям справа и слева. Если базы не совпадают, ищу варианты решения этого примера.
2. После того, как основания станут такими же, равняется градусам и решите полученное новое уравнение.

А теперь перепишем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, что означает, что мы можем отклонить и приравнять их степени.

x + 2 = 4 Получилось простейшее уравнение.
х = 4-2
х = 2.
Ответ: х = 2

В следующем примере видно, что основания разные. Это 3 и 9.

3 3х — 9 х + 8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать такой же фундамент. Мы знаем, что 9 = 3 2. Воспользуемся формулой степени (a n) m = a nm.

3 3х = (3 2) х + 8

Получаем 9 х + 8 = (3 2) х + 8 = 3 2х + 16

3 3x = 3 2x + 16 Теперь понятно, что в левой и правой части основания одинаковые и равные тройке, а значит, мы можем их отбросить и приравнять степени.

3x = 2x + 16 Получено простейшее уравнение
3x — 2x = 16
x = 16.
Ответ: X = 16.

Смотрим на следующий пример:

2 2х + 4-10 4х = 2 4

Сначала смотрим на цоколь, фундаментов разные два и четыре.И нам нужно быть такими же. Преобразуем четверку по формуле (a n) m = a nm.

4 х = (2 2) х = 2 2х

А также использовать одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х + 4 = 2 2х 2 4

Добавить к уравнению:

2 2х 2 4-10 2 2х = 24

Мы привели пример по тем же причинам. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если вы видите, что ясно, что у нас есть 2 2 2, это ответ — 2 2, мы можем вынуть скобки:

2 2х (2 4-10) = 24

Вычисляем выражение в скобках:

2 4–10 = 16–10 = 6

Все уравнения Разделить на 6:

Представьте 4 = 2 2:

2 2x = 2 2 основания одинаковы, выкидываем их и приравниваем градусы.
2x = 2 Получилось простейшее уравнение. Делим его на 2
х = 1.
Ответ: х = 1.

Решающее уравнение:

9 х — 12 * 3 х + 27 = 0

Преобразуем:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Получаем уравнение:
3 2x — 12 3 x +27 = 0

Фундамент у нас одинаковый, равен трем. В этом примере видно, что первые три градуса в два раза (2x) больше, чем у второго (просто x).В этом случае можно решить замену методом . Число с наименьшей степенью заменить:

Тогда 3 2x = (3 x) 2 = T 2

Заменим в уравнении все степени полостями на T:

t 2 — 12T + 27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D = 144-108 = 36
T 1 = 9
T 2 = 3

Вернуться к переменной x. .

Возьмем Т 1:
Т 1 = 9 = 3 х

То есть

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Найден один корень.Ищем вторую, из Т 2:
Т 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте вы можете в разделе Help Resolve Decision задать вам вопросы. Мы ответим.

Присоединиться к группе

Судя по началу публикации, которую мы здесь опускаем, Текст написал Юрий Игнатьевич. И написано хорошо, и проблематика актуальна, просто так называют Россию, как Мухин…

Как бы кто ни принадлежал к антироссийской власти, Россия выше и не заслуживает оскорблений. Даже из талантливой лжи разоблачения американского агентства NASA.

*

Обращение в ТОВ. Мухин Ю.И.

Мы все ценим вашу роботизированную работу в области разоблачения Волшебников Запада, лжи Америки, лжи псевдотонной лжи, лжи либералов.Мы счастливы и приносим пользу себе и обществу, мы думаем о серьезных темах, которые вы время от времени отбрасываете, будь то меритократия или метафизика, любовь к отечественной истории или восстановление справедливости.

Однако ваши определения нашей общей родины вызывают сильное недоумение и горечь.

Впрочем, неожиданно сами: как бы вы охарактеризовали человека, который начал оскорблять своего больного и от этого временно перестала работать мать?

Но Россия, как ни назови и как бы ни была хороша или противна держава, Россия — наша Родина. Родина. За нее наши деды пролили кровь и положили свои жизни.

Следовательно, ставить его в один ряд с властью — это понижать духовное возвышенное до уровня материального, а то и низкого. Те. Вы сравниваете совершенно разные категории. Это неприемлемо для любого здравомыслящего человека.

Прошу Вас, уважаемый ТОВ. Мухин, серьезно подумай.

**

Как найти корни кубического уравнения и уравнения четвертой степени, нашли в шестнадцатом веке, но не могли найти корни уравнения пятой степени до 2016 года. Причем пробовали не обычные люди.

В шестнадцатом веке найти корни уравнения пятой степени пытался основатель символической алгебры Франсуа Виет, в девятнадцатом веке это пытался сделать основатель современной высокой алгебры французский математик Эварисе Галуа, После него найти корни уравнения пятой степени попытался норвежский математик Нильс Хенрик Абель, который, в конце концов, сдался и доказал невозможность решения уравнения пятой степени в целом.

Мы читаем в Википедии о заслугах Авеля: «Авель закончил блестящее исследование древней проблемы: доказал невозможность решения в общем виде (в радикалах) уравнения 5-й степени …

В алгебре Абель нашел необходимое условие для того, чтобы корень уравнения выражался «в корнях» через коэффициенты этого уравнения. Достаточное состояние вскоре открыл Галуа, в достижениях которого опирались на произведения Авеля.

Авель привел конкретные примеры уравнения 5-й степени, корни которого не могут быть выражены в радикалах, и, таким образом, в значительной степени закрыл древнюю проблему. «

Как видите, если теорему Пуанкаре все время пытались доказать и Перельман оказывался удачливым для других математиков, то после Абеля за пятые уравнения математики так и не брались.

А в 2014 году математика из Томска Сергей Закаков который по фото можно судить, что он уже в годах, и по этой статье о нем, что он выпускник факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета. работы, получены уравнения пятой степени.Тупик? Да, тупик! Но Сергей Заков взял его и сломал.

А в 2016 году он нашел способ решить уравнения пятой степени в общем виде! Сделал кое-что, невозможность того, что доказали математики Галуа и Абель.

Я пытался найти информацию о Сергее Борне в Википедии, но черт возьми! О математике Сергея Борне и о нахождении их решением уравнений пятой степени информации нет!

Пикантность придает то, что для математиков существует аналог Нобелевской премии — Абелева премия (Нобель запретил премию по математике и теперь выдают ее за математические фекалии, называя их «физикой»).

Эта математическая премия в честь самого Авеля, который доказал невозможность изготовления коек . Однако самовыдвижение на эту награду не допускается. И нет кроликов-математиков и нет организаций, которые могли бы предложить его кандидатуру на эту премию.

Правда, у нас есть Академия наук, но там академики сидят не за развитие математики, а за «бабло рубят». Кому там нужен этот зайчик?

Ну для информагентств койки не Перельман! Поэтому открытие мангала для СМИ не сенсация.

Вот то, что Порошенко с дверью ошибся — это да! Это настоящая сенсация!

Томский математик решил задачу, которую не могли решить двести лет

С появлением алгебры ее основной задачи решением стали считать алгебраические уравнения. Решение уравнения второй степени было известно в Вавилоне и Древнем Египте. Такие уравнения мы передаем в школе. Помните уравнение x2 + ax + b = 0 и дискриминант?

Сергей Банес с книгой

Решение алгебраических уравнений третьей и четвертой степени было найдено в шестнадцатом веке. Но решить уравнение пятой степени не удалось. Причину нашел Лагранж. Он показал, что решение уравнений третьей и четвертой степени возможно, потому что они могут быть сведены к ранее решенным уравнениям. Уравнение третьей степени можно свести к уравнению второй степени, а четвертое уравнение — к третьему уравнению. Но пятое уравнение сводится к шестому уравнению, т.е. более сложному, поэтому традиционные решения не применимы.

Вопрос о решении уравнения пятой степени был перенесен всего двести лет назад, когда Абель доказал, что не все уравнения пятой степени можно решить в радикалах, то есть в квадратных, кубических и других корнях, известных нам еще в школе. И Галуа вскоре, то есть двести лет назад, нашел критерий, позволяющий определить, какие уравнения пятой степени можно решить в радикалах, а какие нет. Он заключается в том, что группа Галуа, разрешенная в радикалах пятого уравнения, должна быть либо циклической, либо метациклической.Но Галуа не нашел решения в радикалах тех уравнений пятой степени, которые разрешимы в радикалах. Теория Галуа очень известна, о ней написано много книг.

До сих пор существовали только частные решения для разрешимых в радикалах уравнений пятой степени. И только в этом году томский математик Сергей Заков решил задачу, которую не могли решить двести лет. Опубликовал книгу «Как решить алгебраические уравнения пятой степени в радикалах», в которой указаны решения любых пятых уравнений, разрешимых в радикалах.Банес — выпускник факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета. Нам удалось взять интервью.

— Сергей, почему вы решили эту задачу?

— Мне нужно было решение уравнения пятой степени, чтобы решить задачу из другого раздела математики. Я стал выяснять, как его найти, и выяснил, что не все они решаются радикально. Затем я попытался найти в научной литературе способ решения тех уравнений, которые разрешимы в радикалах, но нашел только критерий, по которому можно определить, какие из них разрешимы, а какие нет.Я не алгебраист, но, конечно, как выпускник ФПМК могу применять алгебраические методы. Поэтому с 2014 года я серьезно начал искать решение и нашел его сам.

Метод был найден мною два года назад, я подготовил книгу, в которой был описан не только он, но и способы решения некоторых уравнений степеней больше пятой. Но денег на ее публикацию у меня не было. В этом году я решил, что легче опубликовать только часть этой работы, и взял только ее половину, посвященную методу решения пятого уравнения в радикалах.

Я поставил себе цель опубликовать что-то вроде руководства по решению этой проблемы, понятного математикам, которым необходимо решить конкретное уравнение. Поэтому он упростил его, удалив множество длинных формул и значительную часть теории, сократив более половины, оставив только необходимое. Поэтому у меня получилось что-то вроде книги «для чайников», по которой математики, не знакомые с теорией Галуа, могут решить нужное им уравнение.

— За это спасибо Владиславу Бересневу, с которым мы знакомы много лет.Он согласовал издание книги.

— Можно ли получить премию по математике за решение этой задачи? Например, вы упомянули Авеля. Но есть ли в математике абелева премия, которая считается аналогом Нобелевской?

— Полностью исключить такую ​​возможность невозможно. Но, надеюсь, оно того не стоит.

Например, заявки на соискание премии Абеля 2019 принимаются до 15 сентября. Причем самовыдвижение не допускается.А я математик-одиночка. Нет организаций или известных математиков, которые предложили бы мою кандидатуру. Следовательно, он не будет рассматриваться независимо от того, заслуживает ли моя работа этой премии и насколько соответствует духу этой премии представление ее тем, кто продолжает работу Авеля. Но даже если он будет представлен, все зависит еще и от уровня работ других кандидатов.

Книга рассчитана на тех, кто не знаком с теорией Галуа. Основы теории Галуа даны только в той части, в которой они необходимы для решения уравнения, подробно описан метод решения, показаны приемы, упрощающие решение.Значительная часть книги посвящена примеру решения конкретного уравнения. Рецензентами книги являются доктор технических наук Геннадий Петрович Агибалов и доктор физ. мат. Наук, профессор Крылов Петр Андреевич.

Подготовлено Скирневская Анастасия

Как правило, уравнение со степенью выше 4 не может быть разрешено в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни стоящего слева многочлена в уравнении высшей степени, если представить его в виде произведения многочленов до степени не более 4-й.Решение таких уравнений основано на разложении многочленов на множители, поэтому мы советуем вам повторить эту тему, прежде чем изучать эту статью.

Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попытаться найти рациональные корни, а затем разложить многочлен на множители, чтобы преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое просто решит. В рамках этого материала мы и рассмотрим именно такие примеры.

Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами

Все уравнения вида A n x n + a n — 1 x n — 1 +.. . + a 1 x + a 0 = 0, мы можем привести к уравнению такой же степени, используя умножение обеих частей на a n n — 1 и замену переменной вида y = a n x:

a n x n + a n — 1 x n — 1 +. . . + A 1 x + a 0 = 0 Ann · xn + an — 1 · Ann — 1 · xn — 1 + … + a 1 · (AN) N — 1 · X + A 0 · (AN) N — 1 = 0 y = тревога ⇒ yn + bn — 1 yn — 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Те коэффициенты, которые в итоге получились, тоже будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить данное уравнение n-noerate с целочисленными коэффициентами, имеющими вид x n + a n x n — 1 +… + а 1 х + а 0 = 0.

Вычислить корни уравнения целиком. Если уравнение имеет целые корни, их нужно искать среди делителей свободного члена a 0. Записываем их и по очереди подставим в исходное равенство, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, мы можем записать его в виде x — x 1 · pn — 1 (x) = 0. Здесь X 1 — корень уравнения, а P n — 1 (x) — частное от деления X n + беспокойство — 1 +… + a 1 x + a 0 до x — x 1.

Подставляем оставшиеся разряженные делители в P n — 1 (x) = 0, начиная с x 1, так как корни могут повторяться. После получения тождества корень X 2 считается найденным, и уравнение можно записать в виде (x — x 1) (x — x 2) · pn — 2 (x) = 0. ПН — 2 (x) будет частным от деления P n — 1 (x) до x — x 2.

Продолжаем перебирать разделители. Находим все корни целиком и обозначаем их количество через m.После этого исходное уравнение можно представить в виде x — x 1 x — x 2 · … · x — xm · pn — m (x) = 0. Здесь pn — m (x) — многочлен N — М-степень. Для расчета удобно использовать схему горнера.

Если в нашем исходном уравнении есть целые коэффициенты, мы не можем получить дробные корни.

В итоге мы получили уравнение P n — M (x) = 0, корни которого можно найти любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или сложными.

Покажем на конкретном примере, как применяется схема решения.

Пример 1.

Условие: Найти решение уравнения x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = 0.

Решение

Начнем с выводов всего корней.

У нас бесплатный член равен минус трем. У него есть делители, равные 1, -1, 3 и -3. Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них получат тождества.

При x, равном единице, получаем 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 — 1 — 3 = 0, это означает, что единица будет корнем этого уравнения.

Теперь выполним деления многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 на (x — 1) в столбце:

Итак, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 · (- 1) 2 + 4 · — 1 + 3 = 0

У нас было тождество, это означает, что мы нашли другой корень уравнения, равный 1.

Делим многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на (x + 1) в столбце:

Получаем

x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = (x — 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x — 1) (x + 1) (x 2 + х + 3)

Подставляем следующий делитель в равенство x 2 + x + 3 = 0, начиная с — 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Полученное в итоге равенство будет неверным, это означает, что уравнение больше не имеет целых корней.

Оставшиеся корни будут корнями выражения x 2 + x + 3.

D = 1 2 — 4 · 1 · 3 = — 11

Из этого следует, что в этой квадратной тройке декалет нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x = — 1 2 ± i 11 2.

Уточним, что вместо разделения в столбце можно использовать схему Gunner. Делается это так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.

В таблице коэффициентов сразу видно коэффициенты индивида от деления многочленов, значит x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

После нахождения следующего корня, равного — 1, получаем:

Ответ: x = — 1, x = 1, x = — 1 2 ± i 11 2.

Пример 2.

Условие: Решите уравнение x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 = 0.

Решение

Свободный член имеет делители 1, — 1, 2, — 2, 3, — 3, 4, — 4, 6, — 6, 12, — 12.

Проверьте их по порядку:

1 4 — 1 3 — 5 · 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 — (- 1) 3 — 5 · (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 — 5 · 2 2 + 12 = 0

Итак, x = 2 будет корнем уравнения.Разделим x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 на x — 2, используя схему Gunner:

В результате получаем Х — 2 (х 3 + х 2 — 3 х — 6) = 0.

2 3 + 2 2-3 · 2-6 = 0

Итак, 2 снова будет корнем. Разбиваем x 3 + x 2 — 3 x — 6 = 0 на x — 2:

В результате получаем (x — 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0.

Проверять оставшиеся делители не имеет смысла, так как равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решать с помощью дискриминанта.

Квадратное уравнение Spest:

х 2 + 3 х + 3 = 0 d = 3 2 — 4 · 1 · 3 = — 3

Получаем всесторонне сопряженную пару корней: x = — 3 2 ± i 3 2.

Ответ : x = — 3 2 ± i 3 2.

Пример 3.

Условие: Найти для уравнения x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 действительных корней.

Решение

х 4 + 1 2 х 3-5 2 х — 3 = 0 2 х 4 + х 3-5 х — 6 = 0

Мы выполняем регистрацию 2 3 обеих частей уравнения:

2 х 4 + х 3 — 5 х — 6 = 0 2 4 · х 4 + 2 3 х 3 — 20 · 2 · х — 48 = 0

Заменяем переменные Y = 2 x:

2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0 y 4 + y 3 — 20 y — 48 = 0

В результате у нас получилось стандартное уравнение 4-го, которое можно решить по стандартной схеме.Проверяем делители, делим и получаем в результате, что у него 2 действительных корня y = — 2, y = 3 и два комплексных. Решение целиком здесь приводить не будем. В силу замены действительными корнями этого уравнения x = y 2 = — 2 2 = — 1 и x = y 2 = 3 2 будет x = 3 2.

Ответ: х 1 = — 1, х 2 = 3 2

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

В математике XVI века почти случайно попадались комплексные числа (см. Главу 11).ДО XVIII века Комплексные числа считались расширением области действительных чисел, но работа с ними все же приводила к ошибке четности, так как в работах Леонарда Эй, великих работ по теории «арифметических исследований» (1801 г.) избегали использование так называемых «мнимых чисел». Мне кажется, что самая важная часть этой работы — первое доказательство основной теоремы алгебры. Гаусс понял, насколько важна эта теорема, и в последующие годы создал несколько дополнительных доказательств.В 1849 году он переделал первый вариант, на этот раз используя интегрированные числа. Используя современные термины, можно сказать, что для любого конечного полиномиального уравнения с действительными или комплексными коэффициентами все его корни будут действительными или комплексными числами. Таким образом, мы получаем отрицательный ответ на давний вопрос о том, требует ли решение решения полиномиальных уравнений высокого порядка Создание чисел более высокого порядка, чем комплексные.

Одной из самых острых проблем алгебры того времени был вопрос, который решал бы алгебраическими методами, то есть с помощью конечного числа алгебраических шагов полином пятого порядка будет quintik.Сейчас в школе учат формулам решения квадратных уравнений, а с XVI века известны аналогичные методы решения уравнений третьей и четвертой степени (глава 11). Но для квинтинга не было единого метода. Может показаться, что фундаментальная теорема алгебры содержит перспективу положительного ответа, но на самом деле она просто гарантирует, что решения существуют, ничего не говорится о существовании формул, которые дают точные решения (к тому времени уже существовали приближенные числовые и графические методы) .А теперь есть два математических гения с трагической судьбой.

Нильс Хенрик Абель (1802-1829) родился в большой бедной семье, которая жила в маленькой деревне в Норвегии — стране, разрушенной многолетней войной с Англией и Швецией. Учитель, дружелюбный наставник, давал ему частные уроки, но после смерти отца, через восемнадцать лет, несмотря на юный возраст и хрупкое здоровье, Авель был вынужден содержать семью. В 1824 году он опубликовал научную статью, в которой заявил, что Quintik не будет решать алгебраические средства, как, однако, любые полиномы высшего порядка.Абель считал, что эта статья послужит пропуском в научный мир, и отправил ее Гаусс в Геттингенский университет. К сожалению, Гаусс так и не собрался разрезать страницы ножом (в те времена им приходилось иметь дело с любым читателем) и статью не прочитал. В 1826 году норвежское правительство наконец выделило Абелю инструменты для путешествий по Европе. Опасаясь, что личное общение с Гауссом не доставит ему большой радости, математик решил не посещать Геттинген и вместо этого отправился в Берлин.Там он подружился с Августом Леопольдом Креллилем (1780-1855), математиком, архитектором и инженером, который консультировал Министерство образования Пруссии по вопросам математики. Крем собирался учредить «журнал чистой и прикладной математики». Так Абель получил возможность расширить свои работы и много публиковал, особенно в первых комнатах «журнала», который сразу стал считаться очень престижным и авторитетным научным изданием. Norwegez напечатал там расширенную версию своих доказательств того, что Quintik неуместны в алгебраических методах.А потом поехал в Париж. Эта поездка была очень расстроена Абелем, поскольку он практически не получил необходимой поддержки французских математиков. Он сблизился с Огюстом Луи Коши (1789-1857), который в то время был главным математическим анализатором светильников, но имел очень сложный характер. Как сказал сам Абель: «Луч Коши, и с этим ничего нельзя поделать, хотя в настоящее время он единственный, кто способен на что-то в математике». Если попытаться найти оправдание проявлениям неуважения и пренебрежения, которые исходили от Гаусса и Коши, можно сказать, что Quintik достигла определенной известности и привлекла внимание как уважаемых математиков, так и оригиналов.Абель вернулась в Норвегию, где сильнее заболела туберкулезом. Он продолжал присылать свои работы Креллилу, но в 1829 году он умер, не зная, насколько его репутация имела репутацию в научном мире. Через два дня после смерти Абелю поступило предложение открыть научный офис в Берлине.

Абель показал, что любой многочлен выше четвертого порядка не может быть разрешен с использованием радикалов, таких как корни квадратного, кубического или более высокого порядка. Однако явные условия, при которых в частных случаях эти многочлены могли быть решены, и метод их решения сформулировал Галуа.Эваристер Галуа (1811-1832) прожил короткую и насыщенную жизнь. Он был невероятно одаренным математиком. Галуа был неумолим по отношению к тем, кого считал менее талантливым, чем он сам, и в то же время я не мог мириться с социальной несправедливостью. Он не проявлял никаких способностей к математике, пока она не прочитала работу «Начало геометрии» (изданная в 1794 году, эта книга в течение следующих ста лет была основным учебником). Затем он буквально проглотил оставшиеся работы Лаяндера, а затем и Абеля.Его энтузиазм, самоуверенность и нетерпимость привели к поистине ужасным последствиям в его отношениях с учителями и экзаменаторами. Галуа принял участие в конкурсе на поступление в политехникум — колыбель французской математики, но из-за неподготовленности провалил экзамен. Через некоторое время после знакомства с новым учителем, признавшим свой талант, ему удалось сдержать вспыльчивость. В марте 1829 года Галуа опубликовал свою первую статью о непрерывных дробях, которую он считал своей самой значительной работой.Он отправил сообщение о своих открытиях в Академию наук, и Коши обещал представить их, но забыл. Более того, он просто потерял свою рукопись.

Вторая неудача Галуа при поступлении в политехникум вошла в математический фольклор. Он так привык постоянно держать в голове сложные математические идеи, что разводили бешенство мелкие огурцы экзаменаторов. Поскольку экзаменаторы изо всех сил пытались понять его объяснения, он бросил тряпку для стирания с доски в лицо одному из них.Вскоре после этого умер его отец, покончивший с собой в результате церковных интриг. На его похоронах вспыхнул бунт. В феврале 1830 года Галуа написал следующие три статьи, отправив их в Академию наук для рассмотрения Гран-при математики. Жозеф Фурье, в то время бывший секретарь Академии умер, так и не прочитав их, а после его смерти статей среди его бумаг не обнаружилось. Такой поток разочарований годится для любого. Галуа восстал против власти собственности, потому что чувствовал: они не признавали его заслуг и хотели его отца.Он с головой окунулся в политику, став ярымским республиканцем, — не самое мудрое решение во Франции в 1830 году. В последней отчаянной попытке он послал научную статью знаменитому французскому физику и математику Симеону Дени Пуассону (1781-1840). , который в ответ потребовал дополнительных доказательств.

Это стало последней каплей. В 1831 году Галуа дважды арестовывали — первый раз якобы за убийство короля Луи Филиппа, а затем, чтобы защитить его, власти опасались республиканского восстания! На этот раз его приговорили к шести месяцам заключения по сфабрикованному обвинению в незаконном ношении формы расформированного артиллерийского дивизиона, в который он вступил.Освободившись честно, он взялся за дело, которое вызвало у него такое же отвращение, как и все остальное в жизни. В письмах к преданному другу его разочарование кажется шаловливым. 29 мая 1832 г. он вызвал на дуэль, причины которой до конца не выяснены. «Я стал жертвой нечестной кокетки. Моя жизнь заканчивается жалкой ссорой», — пишет он в «Письме ко всем республиканцам». Самая известная работа Галуа была написана в ночь перед роковой дуэлью. По полям разбросаны жалобы: «Некогда, некогда.«Он был вынужден оставить еще одно подробное изложение промежуточных шагов, которые были незначительными для понимания основной идеи. Ему нужно было выбросить основу своих открытий на бумаге — истоки того факта, который теперь называется теоремой Галуа. Он закончил свою работу. завещание, прося шеваля «обратиться к Якоби и Гауссу с просьбой публично высказать свое мнение независимо от правильности, но относительно важности этих теорем». Рано утром Галуа пошел на встречу со своим оппонентом.Они должны были сместиться с расстояния 25 шагов. Галуа был ранен и на следующее утро скончался в больнице. Ему было всего двадцать лет.

Галуа опирался на работы Лагранжа и Коша, однако разработал более общий метод. Это было чрезвычайно важным достижением в решении Квинтикова. Ученый меньше обращал внимания на исходные уравнения или графическую интерпретацию, а больше думал о природе самих корней. Чтобы упростить Галуа, рассматривались только так называемые неприводимые квинтики, то есть те, которые не могут быть разложены на многочлены в виде многочленов более низкого порядка (как мы уже говорили, для любых полиномиальных уравнений до четвертого порядка есть формулы, находящие их корнеплоды).В общем, неприводимый многочлен с рациональными коэффициентами — это многочлен, который не может быть разложен на более простые многочлены с рациональными коэффициентами. Например, (x 5-1) можно разложить на множители (x — 1) (x 4 + x 3 + x 2 + x + 1), , тогда как (x 5 — 2) неприводимо. Целью Галуа было определить условия, при которых все решения общего неприводимого полиномиального уравнения могут быть найдены в терминах радикалов.

Ключ к решению состоит в том, что корни любого неприводимого алгебраического уравнения независимы, они могут быть выражены одни через другое.Эти отношения были формализованы в группу всевозможных перестановок, так называемую корневую группу симметрии — для Quintics эта группа содержит 5! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120 элементов. Математические алгоритмы теории Галуа очень сложны, и, скорее всего, отчасти именно они сначала их поняли с большим трудом. Но после того, как уровень абстракции позволил перейти от алгебраических решений к алгебраической структуре связанных с ними групп, Галуа смог предсказать разрешимость уравнения на основе свойств таких групп.Более того, его теория также предоставила метод, позволяющий находить сами эти корни. Что касается Квинтикова, математик Жозеф Лиувилль (1809–1882), который в 1846 году опубликовал большинство работ Галуа в своем «журнале чистой и прикладной математики», отметил, что молодой ученый доказал «красивую теорему», и в целях «Неприводимое уравнение начальной степени было разрешимо в терминах радикалов, необходимо и достаточно, чтобы все его корни были рациональными функциями любых двух из них». Поскольку это невозможно для квинтки, оно не может быть решено радикалами.

За три года математический мир потерял две самые яркие новые звезды. Взаимные обвинения и переоценка ценностей Абель и Галуа добились заслуженного признания, но только посмертно. В 1829 году Карл Якоби через Лаянель узнал о «потерянной» рукописи Абеля, а в 1830 году разразился дипломатический скандал, когда норвежский консул в Париже потребовал найти статью его соотечественника. В конце концов, Каучи нашел статью, но только потом снова потерялась в редакции Академии! В том же году Абели был удостоен Гран-при по математике (вместе с Якоби) — но он уже был мертв.В 1841 г. была опубликована его биография. В 1846 году Лиувилль отредактировал некоторые рукописи Галуа для публикации и во введении выразил сожаление по поводу того, что в оригинальной Академии были работы Галуа из-за их сложности, «действительно, ясность изложения необходима, когда автор уводил читателя от проторенный путь к неизведанным диким территориям ». Он продолжает: «Галуа больше нет! Не будем впадать в бесполезную критику. Выбросим недостатки и посмотрим на достоинства!» Плод короткой жизни Галоа уместился на всех шестидесяти страницах.Редактор математического журнала для кандидатов на экзамен ecla normal и Политехнической школы так прокомментировал случай Галуа: «Кандидат с высоким интеллектом был выбран экзаменатором с более низким уровнем мышления. Барбарус HIC EGO SUM, Quia Non Intelligor Illis

Во-первых, вторая страница этого произведения не обременена именами, фамилиями, описаниями положения в обществе, титулами и элегиями в честь некоего скупого принца, кошелек которого откроется с помощью этих Фимиами. — с угрозой закрыть его, когда хвалы будут закончены.Вы не увидите здесь почтительных похвал, написанных буквами в три раза большими, чем сам текст, адресованный тем, кто занимает высокое положение в науке, некоему мудрому покровителю — что-то обязательное (я бы сказал, неизбежное) для человека в возрасте двадцати лет, который хочет написать что-нибудь. Я никому здесь не говорю, что я обязан их советом и поддержкой всего хорошего, что есть в моей работе. Я не говорю этого, потому что это было бы ложью. Если бы мне пришлось упомянуть кого-либо из великих деятелей общества или науки (в настоящее время разница между этими двумя классами людей почти незаметна), клянусь, это не было бы знаком благодарности.Я обязан тому, что опубликовал первую из этих двух статей так поздно, и тем, что я написал все это в тюрьме — в месте, которое вряд ли можно считать подходящим для научных размышлений, и меня часто поражала моя сдержанность и умение сдерживать ваши мысли. рот на Замке по отношению к тупой и злой зоилась. Мне кажется, я могу употреблять слово «Зойла», не опасаясь обвинений в дискомфорте, потому что просто у меня есть свои оппоненты. Я не собираюсь здесь писать о том, как и почему меня посадили в тюрьму, но должен сказать, что мои рукописи чаще всего просто теряются в Господних папках членов Академии, хотя, по правде говоря, я не могу представить себе такую ​​несостоятельность со стороны Людей, на совести которых погиб Авель.На мой взгляд, любому хочется, чтобы его сравнивали с этим гениальным математиком. Достаточно сказать, что моя статья по теории уравнений была отправлена ​​в Академию наук в феврале 1830 г., которую прислали оттуда в феврале 1829 г., и при этом из нее ничего не напечатано, да и рукопись невозможно было распечатать. возвращение.

Класс: 9

Основные цели:

1. Обеспечьте концепцию целого рационального уравнения.
2. Сформулируйте основные методы решения уравнений высших степеней (N > 3).
3. Обучить основным методам решения уравнений высших степеней.
4. Научите типа уравнения определять наиболее эффективный метод Его решений.

Формы, методы и педагогические приемы, используемые учителем на уроке:

• Лекционно-семинарская система обучения (лекции — объяснение нового материала, семинары — решение задач).
• Информационно-коммуникационные технологии (фронтальный опрос, устная работа с классом).
• Дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы.
• Использование в обучении метода исследования, направленного на развитие математического аппарата и умственных способностей каждого конкретного ученика.
• Печатный материал — индивидуальное краткое изложение урока (основные понятия, формулы, утверждения, материал лекций сжат в виде схем или таблиц).

План урока:

1. Организация времени.
   Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить содержание урока.
2. Актуализация знаний студентов.
   Цель этапа: актуализировать знания студентов по ранее связанным темам
3. Изучение новой темы (лекция). Цель этапа: Сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (N > 3)
4. Подведение итогов.
   Цель этапа: еще раз выделить ключевые моменты изучаемого на уроке материала.
5. Домашнее задание.
   Цель этапа: Сформулировать домашнее задание для учащихся.

Конспект урока

1. Организационный момент.

Формулировка темы урока: «Уравнения высших степеней. Методы их решения».

2. Актуализация знаний студентов.

Теоретический обзор — беседа. Повторите часть ранее изученной информации из теории. Студенты формулируют основные определения и формулируют необходимые теоремы.Образцы даются, демонстрируя уровень ранее полученных знаний.

• Понятие уравнения с одной переменной.
• Понятие корня уравнения, решение уравнения.
• Понятие линейного уравнения С одной переменной, понятие квадратного уравнения с одной переменной.
• Понятие эквивалентности уравнений, уравнений исследования (понятие инородных корней), переход не является следствием (случай потери корней).
• Концепция целого рационального выражения с одной переменной.
• Понятие целого рационального уравнения Н. — Даже. Стандартная форма всего рационального уравнения. Приведенное целочисленное рациональное уравнение.
• Переход к совокупности уравнений младших степеней путем разложения исходного уравнения на множители.
• Понятие многочлена п. — степень от х. . Теорема косить. Следствие из теоремы о манте.Корневые теоремы ( Z. -Korni I. Q. -Korny) целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами (соответственно заданными и неоплаченными).
• Схема Горнера.

3. Изучение новой темы.

Рассмотрим целое рациональное уравнение n. — степень стандартного вида от одной неизвестной переменной x: pn (x) = 0, где P n (x) = тревога + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0 — полином п. — степень от х., г. а. N ≠ 0. Если a. n = 1 Это уравнение называется получившимся целым рациональным уравнением n. — Даже. Рассмотрим такие уравнения при разных значениях n. и перечислим основные методы их решения.

н. = 1 — линейное уравнение.

н. = 2 — квадратное уравнение. Дискриминантная формула. Формула для вычисления корней. Теорема Виета. Выделение полной площади.

н. = 3 — кубическое уравнение.

Метод группировки.

Пример: x 3 — 4X 2 — X + 4 = 0 (x — 4) (x 2 — 1 ) = 0 х. 1 = 4, x 2 = 1, X. 3 = -1.

Возвращает кубическое уравнение вида aX. 3 + bX. 2 + bX. + а. = 0. Решаем, комбинируя члены с одинаковыми коэффициентами.

Пример: x. 3-5 х. 2-5 х. + 1 = 0 ( x. + 1) ( x. 2-6 x. + 1) = 0 х. 1 = -1, х. 2 = 3 + 2, х. 3 = 3–2.

Выбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что брутфорс в данном случае является конечным, и корни мы отбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Z. -Corces of a дано целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами.

Пример: X. 3 — 9 x. 2 + 23 х. — 15 = 0. Уравнение приведено. Пейте бесплатный член-разделитель (+ 1; + 3; + 5; + пятнадцать). Применяем схему наводчика:

Получаем ( x. — 1) ( x. 2-8 x. + 15) = 0 х. 1 = 1, х. 2 = 3, х. 3 = 5.

Уравнение с целыми коэффициентами. Выбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что в этом случае финал и корни мы выбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Q. — Берега не являются целочисленным рациональным уравнением с целыми коэффициентами.

Пример: 9. x. 3 + 27 х. 2 — х. — 3 = 0. Уравнение не холостое. Пейте бесплатный член-разделитель (+ 1; + 3). Пейте делители коэффициентов со старшей степенью неизвестности. ( + 1; + 3; + 9) Следовательно, корни будут искать среди значений ( + 1; + ; + ; + 3).Применяем схему наводчика:

Получаем ( х. — ) (9 х 2 + 30 х. + 9) = 0 х. 1 = , х. 2 = — , х. 3 = -3.

Для удобства подсчета при выборе Q -Korny Может быть удобно заменить переменную, перейти к данному уравнению и выбрать Z Korni. .

Формула Кардано. Существует универсальный метод решения кубических уравнений — это формула Кардано. Эта формула связана с именами итальянских математиков Джероламо Кардано (1501–1576), Николо Тарталия (1500–1557), Сципиона дель Ферро (1465–1526). Эта формула выходит за рамки нашего курса.

н. = 4 — уравнение четвертой степени.

Метод группировки.

Пример: X. 4 + 2 x. 3 + 5 х. 2 + 4 х. — 12 = 0 ( x. 4 + 2 x. 3) + (5 x. 2 + 10 x. ) — (6 х + 12) = 0 ( x + 2) ( x 3 + 5 x — 6) = 0 ( x. + 2) ( x. — 1) ( x. 2 + x. + 6) = 0 х. 1 = -2, х. 2 = 1.

Метод замены переменной.

• Уравнение Бикета типа aX. 4 + bX. 2 + S. = 0 .

Пример: x. 4 + 5 х. 2 — 36 = 0. Замена г. = х. 2. Отсюда г. 1 = 4, г. 2 = -9. поэтому х. 1,2 = + 2.

Решаем, комбинируя элементы с одинаковыми коэффициентами заменой типа

• Обобщенное уравнение доходности четвертой степени представления aX. 4 + bX. 3 + cX. 2 + кБХ + к 2. а = 0,.

Пример 3. . Замена общего типа (следует из вида конкретного уравнения).

н. = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней н. = 3.

Общая формула. Существует универсальное решение уравнений четвертой степени.Эта формула связана с именем Луи Феррари (1522-1565). Эта формула выходит за рамки нашего курса.

н. > 5 — уравнения пятой и более высоких степеней.

Уравнение с целыми коэффициентами. Выбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен приведенному выше для n. = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Выбор Q-корней На основе теоремы. Схема Горнера.Алгоритм аналогичен приведенному выше для n. = 3.

Симметричные уравнения. Любое уравнение возврата нечетной степени имеет корень x. = -1 и после разложения на множители получаем, что одна вещь имеет вид ( х. + 1), а вторая фабрика — уравнение возврата четной степени (ее степень на единицу меньше степени исходное уравнение). Любое обратное уравнение четной степени вместе с корнем вида x = φ. Содержит корень представления.Используя эти утверждения, решаем задачу, понижая степень исследуемого уравнения.

Метод замены переменной. Использование однородности.

Не существует общей формулы для решения целых уравнений пятой степени (ее показали итальянский математик Паоло Руффини (1765-1822) и норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802-1829)) и более высоких степеней (это показал французский математик Эваристер Галуа (1811-1832)).

• Напомним еще раз, что на практике можно использовать комбинаций перечисленных выше методов.К агрегатным уравнениям младших степеней удобно перейти путем декомпозиции исходного уравнения на множители .
• Помимо нашего сегодняшнего обсуждения оставалось широко используемым на практике. графических методов решений уравнений I. методов приближенного решения Уравнений высших степеней.
• Бывают ситуации, когда уравнение имеет R-корни.
Тогда решение сводится к тому, чтобы показать, что корневое уравнение не имеет.Для доказательства проанализируем поведение рассматриваемых функций на интервалах монотонности. Пример: уравнение x. 8 — х. 3 + 1 = 0 не имеет корней.
• Используйте свойства однообразия функций
. Бывают ситуации, когда использование различных свойств функций позволяет упростить задачу.
Пример 1: Уравнение x. 5 + 3 х. -4 = 0 имеет один корень х. = 1. Других корней для однообразия анализируемых функций других корней нет.
Пример 2: Уравнение x. 4 + ( x. — 1) 4 = 97 имеет корни x. 1 = -2 и х. 2 = 3. Проанализировав поведение соответствующих функций на интервалах монотонности, делаем вывод, что других корней нет.

4. Подведение итогов.

Резюме: На данный момент мы освоили основные методы решения различных уравнений высших степеней (для n > 3). Наша задача — научиться эффективно использовать перечисленные выше алгоритмы.В зависимости от вида уравнения нам нужно будет узнать, как определить, какой метод решения в этом случае является наиболее эффективным, а также правильно применяемый метод.

5. Домашнее задание.

: P.7, p. 164-174, №№ 33-36, 39-44, 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Возможные темы докладов или тезисов по теме:

• Формула Кардано
• Графическое решение решения уравнений. Примеры решений.
• Методы приближенного решения уравнений.

Анализ усвоения материала и интереса студентов к теме:

Опыт показывает, что интерес студентов в первую очередь вызывает возможность выбора Z. -Korny I. Q. -Уравнения Корни с довольно простым алгоритмом с использованием горной схемы. Также студентов интересуют различные стандартные типы переменных, которые позволяют значительно упростить тип задания.Особый интерес обычно вызывают графические способы решения. В этом случае вы можете дополнительно разобрать задачи по графическому способу решения уравнений; Обсудите график общего вида для многочлена 3, 4, 5 степеней; Анализируйте как количество корней уравнения 3, 4, 5 степени с учетом соответствующего графика. Ниже приведен список книг, в которых вы можете найти дополнительную информацию по этой теме.

Библиография:

1. Виленкин Н.Я. и другие. «Алгебра. Учебник для школьников 9 классов с углубленным изучением математики» — М., Просвещение, 2007 г. — 367 с.
2. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. «За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. 10-11 класс» — М., Просвещение, 2008 г. — 192 с.
3. Доходный М.Я. «Справочник по математике» — М., АСТ, 2010 г. — 1055 с.
4. Галицкий М.Л. «Сборник задач по алгебре.Учебник Для 8-9 классов с углубленным изучением математики »- М., Просвещение, 2008 г. — 301 с.
5. Звавич Л.И. et al. «Алгебра и начало анализа. 8-11 кл. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики» — М., Капля, 1999 г. — 352 с.
6. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. «Задания по математике для подготовки к письменному экзамену в 9 классе» — М., Просвещение, 2007 г. — 112 с.
7. Иванов А.А., Иванов А.П. «Тематические тесты для систематизации знаний по математике» Часть 1 — М., Физматкнига, 2006 — 176 с.
8. Иванов А.А., Иванов А.П. «Тематические тесты для систематизации знаний по математике» Часть 2 — М., Физматкнига, 2006 — 176 с.
9. Иванов А.П. «Контрольные работы I. Контрольные работы по математике. Учебное пособие». — М., Физматкнига, 2008 — 304 с.
10. Leibson K.L. «Сборник практических заданий по математике.Часть 2-9 класс »- М., МЦНМО, 2009 г. — 184 с.
.
11. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. «Алгебра. Дополнительные главы для школьного учебника 9 класса. Учебное пособие для школьников и классов с углубленным изучением математики». — М., Просвещение, 2006 — 224 с.
12. Мордкович А.Г. «Алгебра. Углубленное изучение. 8 класс. Учебное пособие» — М., Мнемозина, 2006 г. — 296 с.
13. Савин А.П. «Энциклопедический словарь юной математики» — М., Педагогика, 1985 — 352 с.
14. Сурвило Г.С., Симонов А.С. «Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углубленным изучением математики» — М., Просвещение, 2006 г. — 95 с.
15. Чулков П.В. «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Лекции 1-4» — М., первое сентября 2006 г. — 88 с.
16. Чулков П.В. «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Лекции 5-8» — М., первое сентября 2009 г. — 84 с.

Знакомство с общим решением систем равенств и неравенств. Система неравенства

Эта статья содержит начальную информацию о системах неравенства. Здесь дается определение системы неравенств и определение решения системы неравенств. А также перечислены основные типы систем, с которыми чаще всего работают на уроках алгебры в школе, и приведены примеры.

Страница навигации.

Что такое система неравенства?

Системы неравенства удобно определять аналогично тому, как мы ввели определение системы уравнений, то есть в соответствии с типом записи и смыслом, вложенным в нее.

Определение.

Система неравенств — Это запись, которая представляет собой определенное количество неравенств, записанных друг в друге, объединенных в левой фигурной скобке и обозначающих множество всех решений, которые одновременно являются решениями для каждого системного неравенства.

Приведем пример системы неравенства. Возьмем два произвольных, например 2 · x-3> 0 и 5 — x≥4 · X-11, запишем их друг под другом
2 · x-3> 0,
5-x≥4 · X-11
и объединяем знак системы — фигурную скобку, в результате получаем систему неравенств такого типа:

Аналогично дается представление о неравенствах в школьных учебниках. Стоит отметить, что определения даны более узко: для неравенств с одной переменной или с двумя переменными.

Основные виды неравенств

Понятно, что различных неравенств можно составить бесконечно много. Чтобы не потеряться в этом многообразии, их желательно рассматривать в группах, имеющих свои особенности. Все неравенства можно разделить на группы по следующим критериям:

• по количеству неравенств в системе;
• по количеству переменных, участвующих в записи;
• в соответствии с самим неравенством.

В числе включенных в статью неравенств различают две, три, четыре системы и т. Д. Неравенства. В предыдущем абзаце мы привели пример системы, которая представляет собой систему двух неравенств. Покажем еще один пример системы четырех неравенств.

Отдельно скажем, что нет смысла говорить о системе одного неравенства, в данном случае, по сути, речь идет о самом неравенстве, а не о системе.

Если вы посмотрите на количество переменных, существует система неравенств с единицей, двумя, тремя и т. Д.переменные (или, как и везде, неизвестны). Посмотрите на последнюю систему неравенства, зафиксированную двумя абзацами выше. Это система с тремя переменными x, y и z. Обратите внимание, что его два первых неравенства не содержат всех трех переменных, а содержат только одну из них. В контексте этой системы их следует понимать как неравенства с тремя переменными вида X + 0 · Y + 0 · Z≥-2 и 0 · X + Y + 0 · Z≤5 соответственно. Отметим, что в школе основное внимание уделяется неравенствам с одной переменной.

Осталось обсудить, какие типы неравенства задействованы в записях систем. В школе в основном рассматриваются системы двух неравенств (реже — трех, еще реже — четырех и более) с одной или двумя переменными, а сами неравенства обычно составляют целые неравенства Первая или вторая степень (реже — более высокие степени). или дробно-рациональное). Но не удивляйтесь, если в материалах подготовки встретятся системы неравенств, содержащие иррациональные, логарифмические, индикативные и другие неравенства.В качестве примера приведем систему неравенств, из которой она взята.

Что называется решением системы неравенства?

Введем еще одно определение, связанное с системами неравенств — определение решения системы неравенств:

Определение.

Путем решения системы неравенств с одной переменной Это называется такое значение переменной, которое добавляет каждое из неравенств системы к точному, другими словами, которое является решением каждого системного неравенства.

Поясним на примере. Возьмем систему двух неравенств с одной переменной. Примем значение переменной x равным 8, это решение нашей системы неравенств по определению, так как ее подстановка в системное неравенство дает два точных числовых неравенства 8> 7 и 2-3 · 8≤0. Напротив, единица не является решением системы, так как при ее замене вместо переменной x первое неравенство превратится в неправильное числовое неравенство 1> 7.

Аналогично можно ввести определение решения системы неравенств с двумя, тремя и большим числом переменных:

Определение.

Решением системы неравенств с двумя, тремя и т. Д. Переменными называются парные, тройные и т. Д. Значения этих переменных, которые одновременно являются решением каждого системного неравенства, то есть, сводит каждое системное неравенство к правому числовому неравенству.

Например, пара значений x = 1, y = 2 или другая запись (1, 2) является решением системы неравенств с двумя переменными, как 1 + 2

Системы неравенства могут не иметь решений, могут иметь конечное число решений и может иметь бесконечно много решений.Часто говорят о множестве решений системы неравенств. Когда в системе нет решений, значит, есть пустой набор ее решений. Когда решений является конечным числом, то множество решений содержит конечное число элементов, а когда решений бесконечно много, то множество решений состоит из бесконечного числа элементов.

В некоторых источниках вводятся определения частного и общего решения системы неравенств, как, например, в учебниках Мордковича.Под частным решением системы неравенств понимаю ее одно отдельное решение. В свою очередь общее решение системы неравенства — это все ее частные решения. Однако в этих терминах это имеет смысл только тогда, когда необходимо подчеркнуть, что ясно, что такое решение, но обычно это ясно из контекста, поэтому гораздо чаще они говорят просто «решение системы неравенства».

Из введенных в статье определений неравенств и решений следует, что решение системы неравенств является пересечением множеств решений всех неравенств этой системы.

Библиография.

1. Алгебра: занятий. Для 8 кл. общее образование. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворов]; Эд. С. А. Теликовский. — 16-е изд. — М .: Просвещение, 2008. — 271 с. : IL. — ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Алгебра: 9 класс: учеб. Для общего образования. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворов]; Эд. С. А. Теликовский. — 16-е изд. — М .: Просвещение, 2009.- 271 с. : IL. — ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 сорт. По 2 ч. Л. 1. Учебное пособие для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Мордкович, П. В. Семенов. — 13-е изд., Чет. — М .: Мнемозина, 2011. — 222 с .: Ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Мордкович А.Г. Алгебра и начало математического анализа. 11 класс. По 2 ч. Л. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Мордкович, П. В. Семенов.- 2-е изд., Чед. — М .: Мнемозина, 2008. — 287 с .: Ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. ЕГЭ -2013. Математика: Типовые экзамены: 30 вариантов / под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В. — М .: Издательство «Народное просвещение», 2012. — 192 с. — (ЕГЭ-2013. ШКОЛА ФИПИ).

Рассмотрим на примерах, как решить систему линейных неравенств.

4x + 29 \ КОНЕЦ (Массив) \ Вправо. \\] «Заголовок =» (! Lang: Rendered by QuickTex.com «>!}

Для решения системы необходима каждая из составляющих ее неравенств.Только решение принимается не отдельно, а вместе, соединяя их фигурной скобкой.

В каждом из неравенств системы неизвестным лицам передать один путь, известный друг другу с противоположным знаком:

Заголовок = «(! Lang: Rendered by QuickTextEx.com»>!}

После упрощения обеих частей неравенства необходимо разделить число, стоящее перед ix. Первое неравенство делится на положительное число, поэтому знак неравенства не меняется.Второе неравенство делится на отрицательное число, поэтому знак неравенства необходимо поменять на противоположный:

Заголовок = «(! Lang: Rendered by QuickTextEx.com»>!}

Решение неравенств примечание на числовых строках:

В ответ записываем пересечение решений, то есть ту часть, где штриховка находится на обеих прямых.

Ответ: X∈ [-2; 1).

В первом неравенстве мы избавляемся от братства.Для этого обе части умножаем на наименьший общий знаменатель 2. При умножении на положительное число неравенство не меняется.

Во втором неравенстве раскрываем скобки. Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений. В правой части — квадрат разницы двух выражений.

Заголовок = «(! Lang: Rendered by QuickTextEx.com»>!}

Неизвестные пересадят в одну сторону, знакомую друг другу с обратным знаком и упрощают:

Обе части неравенства делятся на число перед ix.В первом неравенстве делим отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. Во втором — делим на положительное число, знак неравенства не меняется:

Заголовок = «(! Lang: Rendered by QuickTextEx.com»>!}

Оба неравенства со знаком «меньше» (не обязательно, чтобы один знак был строго «меньше», а другой не мешал, «меньше или равно»). Мы не можем отмечать оба решения и использовать правило «». Little равно 1, поэтому система сводится к неравенству

Мы отмечаем его решение о числовом прямом:

Ответ: x∈ (-∞; 1].

Открытые брекеты. В первом неравенстве -. Он равен количеству кубиков этих выражений.

Во втором — работа суммы и разности двух выражений, которая равна разнице в квадратах. Поскольку здесь стоит знак «минус», есть лучший знак раскрытия в два этапа: сначала используйте формулу, и только потом раскрывайте скобки, меняя знак каждой дополнительной на противоположный.

Переход неизвестен в одну сторону, известен — в другую с обратным знаком:

Заголовок = «(! Lang: Отрисовано QuickTextEx.com «>!}

Оба подписывают «еще». Используя более длинное правило, мы сводим систему неравенств к одному неравенству. Две большие цифры 5 в соответствии с

Заголовок = «(! Lang: Rendered by QuickTextEx.com»>!}

Решение неравенства отметьте на числовом прямом и запишите ответ:

Ответ: x∈ (5; ∞).

Так как алгебра линейных неравенств встречается не только как самостоятельные задачи, но и при решении разного рода уравнений, неравенств и т. Д., важно вовремя изучить эту тему.

В следующий раз мы рассмотрим примеры решения линейных неравенств в частных случаях, когда одно из неравенств не имеет решений или решением для него является любое число.

Система неравенства.
Пример 1. . Найдите область выражения
Решение. Под знаком квадратного корня должно стоять неотрицательное число, что означает, что два неравенства должны выполняться одновременно: В таких случаях говорят, что задача сводится к решению системы неравенств

Но с Такой математической модели (системы неравенства) мы еще не встречали.Итак, решение примера не доводить до конца.

Неравенства, образующие систему, объединены фигурной скобкой (то же самое и в системах уравнений). Например, запись

означает, что неравенства 2x — 1> 3 и zh — 2

Иногда это используется для записи системы неравенств в виде двойного неравенства. Например, систему неравенств

можно записать в виде двойного неравенства 3

В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы двух неравенств.

Рассмотрим систему неравенства

Можно выбрать несколько ее частных решений, например x = 3, x = 4, x = 3,5. Фактически при x = 3 первое неравенство принимает вид 5> 3, а второе — тип 7 ​​

При этом значение x = 5 не является решением системы неравенств. При x = 5 Первое неравенство принимает вид 9> 3 — правильное числовое неравенство, а второе — мнение 13 Решить систему неравенств — значит найти все ее частные решения.Понятно, что угадывание, продемонстрированное выше, не является методом решения системы неравенств. В следующем примере мы покажем, как обычно рассуждают при решении системы неравенств.

Пример 3. Решите систему неравенств:

Решение.

а) Решая первое неравенство системы, находим 2x> 4, x> 2; Решая второе неравенство системы, находим SK б) Решая первое неравенство системы, находим X> 2; Решая второе неравенство системы, находим Эти промежутки по одной координате напрямую, используя верхнюю штриховку для первого промежутка, а для второго — нижнюю штриховку (рис.23). Решением системы неравенств будет пересечение решений системы неравенств, т.е. промежуток, на котором совпали обе штриховки. В этом примере мы получаем луч

in) Решая первое неравенство системы, находим x

Обобщая аргументы, приведенные в рассмотренном примере. Предположим, нам необходимо решить систему неравенств

Пусть, например, интервал (A, B) является решением неравенства Fx 2> G (x), а интервал (C, D) является решением выполняется неравенство F 2 (x)> S2 (x).Отметим эти промежутки на одной и той же прямой координате, используя верхнюю штриховку для первого промежутка, а для второго — нижнюю штриховку (рис. 25). Решением системы неравенств является пересечение решений системного неравенства, т.е. промежуток, на котором совпали обе штриховки. На рис. 25 Это интервал (C, B).

Теперь мы можем легко решить систему неравенств, которая была получена выше, в Примере 1:

Решая первое неравенство системы, находим x> 2; решая второе неравенство системы, находим x

Конечно, система неравенств не должна состоять из линейных неравенств, как это было до сих пор; Могут быть любые рациональные (и не только рациональные) неравенства.Технически работа с системой рациональных нелинейных неравенств, конечно, сложнее, но принципиально нового (по сравнению с линейными неравенствами) здесь нет ничего.

Пример 4. Решите систему неравенств

Решение.

1) Решаю неравенство
Обращаем внимание на точки -3 и 3 на числовой прямой (рис. 27). Они разбиваются прямо на три промежутка, и на каждом промежутке выражение p (x) = (x- 3) (x + 3) сохраняет постоянный знак — эти знаки перечислены на рис.27. Нас интересуют зазоры, на которых выполняется неравенство p (x)> 0 (они заштрихованы на рис. 27), и точки, в которых выполняется равенство p (x) = 0, т.е. точки x = -3, x = 3 (они отмечены на рис. 2 7 темными кружками). Таким образом, на рис. 27 представлена ​​геометрическая модель решения первого неравенства.

2) Решаем неравенство
Отметим точки 0 и 5 на числовой прямой (рис. 28). Они разбиваются прямо на три промежутка, и в каждом интервале выражение O (заштриховано на рис.28), и точки, в которых выполняется равенство G (x), т.е. точки x = 0, x = 5 (они отмечены на рис. 28 темными кружками). Таким образом, на рис. 28 представлена ​​геометрическая модель решения второго неравенства системы.

3) Отметим найденные решения первого и второго неравенств системы по одной координате прямой, используя верхнюю штриховку для решений первого неравенства, а для решений второй штриховки — нижнюю штриховку (рис. 29). Решением системы неравенств будет пересечение решений системы неравенств, т.е.е. Промежуток, на котором совпали обе штриховки. Этот разрыв — сегмент.

Пример 5. Решите систему неравенств:

Решение:

а) Из первых неравенств находим X> 2. Рассмотрим второе неравенство. Квадрат три половины x 2 + x + 2 не имеет действительных корней, а его старший коэффициент (коэффициент при x 2) положительный. Это означает, что при всех выполняется неравенство x 2 + x + 2> 0, а значит, второе неравенство системы не имеет решений.Что это означает для системы неравенства? Это означает, что в системе нет решений.

б) Из первых неравенств находим X> 2, а второе неравенство выполняется при любых значениях x. Что это означает для системы неравенства? Это означает, что его решение имеет вид x> 2, т.е. совпадает с решением первого неравенства.

О Т в Э Т:

а) решений нет; б) X> 2.

Этот пример является иллюстрацией для следующего полезного.

1. Если одно неравенство не имеет решений в системе нескольких неравенств с одной переменной, то система не имеет решений.

2. Если одно неравенство выполняется в системе двух неравенств с одной переменной, при любых значениях переменной, то решением системы является решение второго неравенства системы.

Выполняя этот абзац, вернитесь к заданному в начале заданию заданному числу и решите его, как говорится, по всем правилам.

Пример 2. (См. Стр.29). Интегрирован с натуральным числом. Известно, что если его прибавить к квадрату намеченного числа 13, то сумма будет больше, чем произведение намеченного числа и числа 14. Если к квадрату намеченного числа 45 прибавить 45, то сумма будет будет меньше работы предполагаемого числа и числа 18. Какой номер предназначен?

Решение.

Первый этап. Составление математической модели.
Задуманное число x, как мы видели выше, должно удовлетворять системе неравенства

Вторая фаза. Работа с математической моделью. Формируем первое неравенство системы в виду
x2- 14x + 13> 0.

Находим корни трехвыстрелов x 2 — 14x + 13: x 2 = 1, x 2 = 13. с помощью параболы y = x 2 — 14x + 13 (рис.30) заключаем, что интересующее нас неравенство выполняется с x 13.

Преобразуем второе неравенство системы к виду x2 — 18 2 + 45

Графический метод.. 3

Симплекс-метод .. 6

Метод искусственного основания .. 8

Принцип двойственности .. 10

Список использованной литературы … 12

Индивидуальные свойства линейных неравенств рассматривались в первой половине XIX века в связи с некоторыми задачами аналитической механики. Систематическое изучение линейных неравенств началось в самом конце XIX века, но о теории линейных неравенств можно было говорить только в конце двадцатых годов XX века, когда по ним было получено достаточное количество результатов. уже накоплено.

Теперь теорию конечных систем линейных неравенств можно рассматривать как выросшую из нее ветвь линейной алгебры с дополнительным требованием упорядоченности поля коэффициентов.

Линейные неравенства особенно важны для экономистов, потому что с помощью линейных неравенств можно моделировать производственные процессы и находить наиболее выгодные планы производства, транспортировки, размещения ресурсов и т. Д.

В данной статье представлены основные методы решения линейных неравенств применительно к конкретным задачам.

Графический метод состоит в построении набора допустимых решений ZLP и нахождении в заданной множественной точке, соответствующей целевой функции MAX / MIN.

В связи с ограниченными возможностями визуального графического представления этот метод применим только для линейных неравенств с двумя неизвестными и системами, которые могут быть даны в этой форме.

Для наглядной демонстрации графического метода необходимо следующее задание:

На первом этапе необходимо построить зону допустимых решений.Для этого примера удобно выбрать X2 по оси абсцисс, а x1 по ординате и записать неравенства в следующем виде: