Ответы к учебнику по алгебре 7 класс колягин: ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Учебник Решебник

Что такое алгебра 2?

Алгебра — это раздел математики, в котором буквы и символы могут использоваться для представления определенных значений / чисел в уравнениях и формулах.Алгебра 2 строится на основных принципах, которым обучают в Алгебре 1 и Базовой алгебре, исследуя комплексные числа, функции, неравенства, линейные уравнения и многое другое. В некоторых школах алгебру 2 часто называют «промежуточной алгеброй», но по сути это одно и то же.

Наши уроки по алгебре 2 основаны на подходе «алгебра 2 для чайников», так как мы уверены, что все учащиеся могут извлечь что-то из нашего содержания. Независимо от того, новичок вы или хорошо разбираетесь в алгебре, вы найдете ценную информацию и ресурсы на нашей обучающей платформе по алгебре 2.

StudyPug станет вашим личным наставником по алгебре 2 с большим количеством видеороликов, материалов для подготовки к экзаменам и ценными пособиями по пересмотру.

Сложна ли алгебра 2?

Изначально изучение алгебры 2 может быть пугающей перспективой, но как только вы прочно усвоите основы, понимание алгебры 2 может быть намного проще, и именно здесь вам на помощь придет StudyPug!

Благодаря обширной коллекции актуальных и актуальных учебных материалов по алгебре 2, мы можем предоставить простой для интерпретации набор пошаговых примеров, обеспечивающих вам лучшее понимание основных принципов и дополнительных элементов алгебры.Благодаря тысячам уроков для наблюдения и соответствующим материалам для подготовки к экзамену по алгебре, которые охватывают темы из популярных учебников алгебры, StudyPug может предложить исключительную коллекцию исправленного контента.

Наш онлайн-контент будет охватывать все, что вы можете ожидать от преподавания в классе, а также содержание учебников, не охваченных вашими учителями. Чтобы еще больше помочь вам справиться с алгеброй 2, наши ресурсы доступны в любое время, когда они вам нужны, работают вместе с вашим расписанием и предоставляют круглосуточную помощь и рекомендации, которые помогут вам лучше пересмотреть и подготовиться к предстоящим экзаменам.

Что будет после алгебры 2?

После успешного завершения курса алгебры 2 (обычно изучаемого вместе с тригонометрией) большинство студентов достаточно подготовлены для прохождения курса Precalculus. Study Pug предоставляет подробные справочные материалы и видеоролики как для тригонометрии, так и для Precalculus, чтобы вы могли с легкостью эффективно переходить от курса к курсу.

Это стало возможным благодаря структурированию нашего контента. Каждый курс учитывает содержание предыдущих курсов более низкого уровня и последующих курсов.Это гарантирует, что вы никогда не перестанете поступать на новый курс неподготовленными и неспособными извлечь максимальную пользу из содержания. Вместо этого вы будете лучше подготовлены с учетом контекста и соответствующей основы, необходимой для развития вашего уровня понимания.

Кроме того, по завершении Алгебры 2 вы можете обнаружить, что ваши навыки решения проблем вне уроков начали улучшаться. Это может быть чрезвычайно полезно, потому что, знаете ли вы об этом или нет, мы используем алгебру в нашей повседневной жизни больше, чем мы на самом деле думаем.

Какой класс по алгебре 2?

Алгебра 2 или «алгебра среднего уровня» обычно преподается ученикам 11-го класса. С учетом сказанного, вам не нужно быть учеником 11 класса, чтобы пользоваться нашим контентом. StudyPug обслуживает всех учащихся, независимо от их начальной точки. Независимо от того, учитесь ли вы в 11-м классе и нуждаетесь в помощи с тестами по алгебре 2, или возвращаетесь к учебе и нуждаетесь в краткой переподготовке, у StudyPug есть ресурсы для пересмотра.

Если вы в настоящее время изучаете алгебру 1 или «основную алгебру», подумайте об использовании наших онлайн-ресурсов для пересмотра, поскольку они не только помогут вам на предстоящих экзаменах, но и структурированы, чтобы помочь вам легко перейти к нашему содержанию по алгебре 2.

Что вы изучаете по алгебре 2?

Изучая алгебру 2, вы узнаете, как определять функции, решать уравнения абсолютных значений, определять количество решений линейных уравнений, исследовать системы неравенств, комплексные числа, радикалы умножения и многое другое.

Чтобы помочь вам лучше понять эти различные

Исключение Гаусса

Тип 2. Умножьте строку на ненулевую константу.

Тип 3. Добавьте числа, кратные одной строке, к другой строке.

Цель этих операций — преобразовать — или уменьшить — исходную расширенную матрицу в одну из форм, где A ′ является верхним треугольником ( a _ij ′ = 0 для i> j ), любые нулевые строки появляются внизу матрицы, а первая ненулевая запись в любой строке находится справа от первой ненулевой записи в любой более высокой строке; такая матрица называется эшелон . Решения системы, представленной более простой расширенной матрицей, [ A ′ | b ′], можно найти путем осмотра нижних рядов и обратной подстановки в более высокие ряды.Поскольку элементарные операции со строками не меняют решений системы, векторы x , которые удовлетворяют более простой системе A ′ x = b ′, являются в точности теми, которые удовлетворяют исходной системе, A x = б .

Пример 3 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Расширенная матрица, которая представляет эту систему:

Первой целью является получение нулей под первой записью в первом столбце , что означает исключение первой переменной x из второго и третьего уравнений.Для этого выполняются следующие операции со строками:

Вторая цель — получить ноль ниже второй записи во втором столбце, что означает исключение второй переменной y из третьего уравнения. Один из способов добиться этого — добавить -1/5 второй строки к третьей строке. Однако, чтобы избежать дробей, есть еще один вариант: сначала поменять местами второй и третий ряды. Замена двух строк просто меняет местами уравнения, что явно не меняет решения системы:

Теперь прибавьте −5 раз вторую строку к третьей строке:

Поскольку матрица коэффициентов была преобразована в эшелонированную форму, «прямая» часть исключения Гаусса завершена.Теперь остается использовать третью строку для оценки третьего неизвестного, затем выполнить обратную подстановку во вторую строку для оценки второго неизвестного и, наконец, выполнить обратную замену в первой строке для оценки первого неизвестного.

Третья строка финальной матрицы переводится в 10 z = 10, что дает z = 1. Обратная подстановка этого значения во вторую строку, которая представляет уравнение y — 3 z = — 1, дает y = 2.Обратная подстановка обоих этих значений в первую строку, которая представляет уравнение x — 2 y + z = 0, дает x = 3. Таким образом, решение этой системы: ( x, y, z ) = (3, 2, 1).

Пример 4 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Для этой системы расширенная матрица (вертикальная линия опущена) составляет

Сначала умножьте строку 1 на 1/2:

Теперь добавление -1 первой строки ко второй строке дает нули под первой записью в первом столбце:

Перестановка второй и третьей строк дает желаемую матрицу коэффициентов верхней треугольной формы:

В третьей строке теперь указано z = 4.Обратная подстановка этого значения во вторую строку дает y = 1, а обратная подстановка обоих этих значений в первую строку дает x = −2. Следовательно, решение этой системы: ( x, y, z ) = (−2, 1, 4).

Исключение Гаусса-Джордана . Исключение по Гауссу осуществляется путем выполнения элементарных операций со строками для получения нулей ниже диагонали матрицы коэффициентов, чтобы привести ее к эшелонированной форме. (Напомним, что матрица A ′ = [ a _ij ′] имеет эшелонированную форму, когда a _ij ′ = 0 для i> j , любые нулевые строки появляются в нижней части матрицы , и первая ненулевая запись в любой строке находится справа от первой ненулевой записи в любой более высокой строке.Как только это будет сделано, проверка нижней строки (строк) и обратная подстановка в верхние строки определяют значения неизвестных.

Однако можно сократить (или полностью исключить) вычисления, связанные с обратной подстановкой, путем выполнения дополнительных строковых операций для преобразования матрицы из эшелонированной формы в сокращенную форму . Матрица находится в форме сокращенного эшелона, когда, помимо того, что она находится в форме эшелона, каждый столбец, содержащий ненулевую запись (обычно равную 1), имеет нули не только под этой записью, но и над этой записью.Грубо говоря, исключение Гаусса работает сверху вниз, чтобы создать матрицу в форме эшелона, тогда как Исключение Гаусса-Жордана продолжается с того места, где остановилось Гаусса, а затем работает снизу вверх для создания матрицы в форме сокращенного эшелона. Техника будет проиллюстрирована на следующем примере.

Пример 5 : Известно, что высота, y , подброшенного в воздух объекта задается квадратичной функцией от t (время) в форме y = at ² + bt + c .Если объект находится на высоте y = 23/4 в момент времени t = 1/2, при y = 7 во время t = 1, и при y = 2 при t = 2 , определите коэффициенты a, b и c .

Поскольку t = 1/2 дает y = 23/4

, а два других условия, y ( t = 1) = 7 и y ( t = 2) = 2, дают следующие уравнения для a, b и c :

Следовательно, цель — решить систему

Расширенная матрица для этой системы сокращается следующим образом:

На этом прямая часть исключения по Гауссу завершена, поскольку матрица коэффициентов приведена к эшелонированной форме.Однако для иллюстрации исключения Гаусса-Жордана выполняются следующие дополнительные элементарные операции со строками:

Эта окончательная матрица сразу дает решение: a = −5, b = 10 и c = 2.

Пример 6 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Расширенная матрица для этой системы —

Кратные значения первой строки добавляются к другим строкам, чтобы получить нули под первой записью в первом столбце:

Затем −1 раз вторая строка добавляется к третьей строке:

В третьей строке теперь указано 0 x + 0 y + 0 z = 1, уравнение, которому не могут удовлетворять никакие значения x, y и z .Процесс останавливается: у этой системы нет решений.

Предыдущий пример показывает, как исключение Гаусса выявляет противоречивую систему. Небольшое изменение этой системы (например, изменение постоянного члена «7» в третьем уравнении на «6») проиллюстрирует систему с бесконечно большим числом решений.

Пример 7 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Те же операции, которые применялись к матрице дополнений системы в Примере 6, применяются к матрице дополнений для данной системы:

Здесь третья строка переводится в 0 x + 0 y + 0 z = 0, уравнение, которому удовлетворяют любые x, y и z .Поскольку это не накладывает ограничений на неизвестные, на неизвестные нет трех условий, а только два (представленных двумя ненулевыми строками в окончательной расширенной матрице). Поскольку имеется 3 неизвестных, но только 2 константы, 3–2 = 1 неизвестных, скажем, z , произвольно; это называется свободной переменной . Пусть z = t , где t — любое действительное число. Обратная подстановка z = t во вторую строку (- y + 5 z = −6) дает

Обратная подстановка z = t и y = 6 + 5 t в первую строку ( x + y — 3 z = 4) определяет x :

Следовательно, каждое решение системы имеет вид

, где t — любое действительное число.Существует бесконечно много решений, поскольку каждое действительное значение t дает отдельное конкретное решение. Например, выбор t = 1 дает ( x, y, z ) = (−4, 11, 1), а t = 3 дает ( x, y, z ) = (4, — 9, −3) и так далее. Геометрически эта система представляет три плоскости в R ³ , которые пересекаются по линии, и (*) является параметрическим уравнением для этой линии.

Пример 7 дает иллюстрацию системы с бесконечным множеством решений, как возникает этот случай и как записывается решение.Каждая линейная система, имеющая бесконечно много решений, должна содержать хотя бы один произвольный параметр (свободная переменная). После того, как расширенная матрица была приведена к эшелонированной форме, количество свободных переменных равно общему количеству неизвестных минус количество ненулевых строк:

Это согласуется с теоремой B выше, которая утверждает, что линейная система с меньшим количеством уравнений, чем неизвестных, если она согласована, имеет бесконечно много решений. Условие «меньше уравнений, чем неизвестных» означает, что количество строк в матрице коэффициентов меньше количества неизвестных.Следовательно, приведенное выше уравнение в рамке подразумевает, что должна быть по крайней мере одна свободная переменная. Поскольку такая переменная по определению может принимать бесконечно много значений, система будет иметь бесконечно много решений.

Пример 8 : Найдите все решения для системы

Во-первых, обратите внимание, что есть четыре неизвестных, но только три уравнения. Следовательно, если система непротиворечива, гарантировано, что у нее будет бесконечно много решений, а это состояние характеризуется хотя бы одним параметром в общем решении.После построения соответствующей расширенной матрицы исключение Гаусса дает

Тот факт, что в эшелонированной форме расширенной матрицы остаются только две ненулевые строки, означает, что 4-2 = 2 переменных свободны:

Следовательно, выбрав y и z в качестве свободных переменных, пусть y = t ₁ и z = t ₂ . Во второй строке сокращенной расширенной матрицы следует

, а первая строка дает

Таким образом, решения системы имеют вид

, где t ₁ t ₂ могут принимать любые реальные значения.

Пример 9 : Пусть b = ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ) ^T и пусть A будет матрицей

При каких значениях b ₁ , b ₂ и b ₃ будет ли система A x = b согласованной?

Расширенная матрица для системы A x = b читает

, который гауссовский элиминатин сокращает следующим образом:

В нижней строке теперь подразумевается, что b ₁ + 3 b ₂ + b ₃ должен быть равен нулю, чтобы эта система была согласованной.Следовательно, в данной системе есть решения (фактически бесконечно много) только для тех векторов-столбцов b = ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ) ^T , для которых b ₁ + 3 b ₂ + b ₃ = 0.

Пример 10 : Решите следующую систему (сравните с Примером 12):

Такая система, как эта, где постоянный член в правой части каждого уравнения равен 0, называется однородной системой .В матричной форме он читается как A x = 0 . Поскольку каждая гомогенная система непротиворечива — поскольку x = 0 всегда является решением, — однородная система имеет либо ровно одно решение (простое решение , x = 0 ) или бесконечно много. Уменьшение строки матрицы коэффициентов для этой системы уже было выполнено в примере 12. Нет необходимости явно увеличивать матрицу коэффициентов столбцом b = 0 , поскольку никакая элементарная операция со строкой не может повлиять на эти нули.То есть, если A ‘является эшелонированной формой A , то операции элементарной строки преобразуются [ A | 0 ] в [ A ′ | 0 ]. По результатам Примера 12,

Поскольку последняя строка снова подразумевает, что z можно принять как свободную переменную, пусть z = t , где t — любое действительное число. Обратная подстановка z = t во вторую строку (- y + 5 z = 0) дает

и обратная подстановка z = t и y = 5 t в первую строку ( x + y -3 z = 0) определяет x :

Следовательно, каждое решение этой системы имеет вид ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t, t ), где t — любое действительное число.Существует бесконечно много растворяющих веществ, поскольку каждое действительное значение t дает уникальное частное решение.

Обратите внимание на разницу между набором решений для системы в Примере 12 и здесь. Хотя у обоих была одна и та же матрица коэффициентов A , система в примере 12 была неоднородной ( A x = b , где b ≠ 0 ), а здесь — соответствующая однородная система, A x = 0 .Помещая свои решения рядом,

общее решение для Ax = 0 : ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t , t )

общее решение для Ax = b : ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t , t ) + (−2, 6, 0)

Теорема C . Общие решения для согласованной неоднородной лиенарной системы, A x = b , равны общему решению соответствующей однородной системы, A x = 0 , плюс частное решение неоднородная система.То есть, если x = x _h представляет собой общее решение A x = 0 , то x = x _h + x представляет общее решение A x + b , где x — любое конкретное решение (согласованной) неоднородной системы A x = b .

[Техническое примечание: теорема C, которая касается линейной системы , имеет аналог в теории линейных дифференциальных уравнений .Пусть L — линейный дифференциальный оператор; то общее решение разрешимого неоднородного линейного дифференциального уравнения, L (y) = d (где d ≢ 0), равно общему решению соответствующего однородного уравнения, L (y) = 0 плюс частное решение неоднородного уравнения. То есть, если y = y _h повторно отображает общее решение L (y) = 0, то y = y _h + y представляет собой общее решение L (y ) = d , где y — любое частное решение (решаемого) неоднородного линейного уравнения L (y) = d .]

Пример 11 : Определить все решения системы

Запишите расширенную матрицу и выполните следующую последовательность операций:

Поскольку в этой финальной (эшелонированной) матрице остаются только 2 ненулевые строки, есть только 2 ограничения, и, следовательно, 4-2 = 2 из неизвестных, например y и z , являются свободными переменными. Пусть y = t ₁ и z = t ₂ .Обратная подстановка y = t ₁ и z = t ₂ во второй строке ( x — 3 y + 4 z = 1) дает

Наконец, обратная замена x = 1 + 3 t ₁ — 4 ₂ , y = t ₁ и z = t ₂ в первый строка (2 w — 2 x + y = −1) определяет w :

Следовательно, каждое решение этой системы имеет вид

, где t ₁ и t ₂ — любые действительные числа.Другой способ написать решение:

, где t ₁ , t ₂ ∈ R .

Пример 12 : Определите общее решение

, который является однородной системой, соответствующей неоднородной в примере 11 выше.

Так как решение неоднородной системы в примере 11 —

Теорема C означает, что решение соответствующей однородной системы имеет вид (где t ₁ , t ₂ ∈ R ), которое получается из (*), просто отбрасывая конкретное решение, x = (1 / 2,1,0,0) неоднородной системы.

Пример 13 : Докажите теорему A. Независимо от ее размера или количества неизвестных, содержащихся в ее уравнениях, линейная система не будет иметь решений, ровно одно решение или бесконечно много решений.

Доказательство . Пусть данная линейная система записана в матричной форме A x = b . Теорема действительно сводится к следующему: если A x = b имеет более одного решения, то на самом деле их бесконечно много.Чтобы установить это, пусть x ₁ и x ₂ будут двумя разными решениями A x = b . Теперь будет показано, что для любого действительного значения t вектор x ₁ + t ( x ₁ — x ₂ ) также является решением A x = b ; поскольку t может принимать бесконечно много различных значений, из этого следует желаемый вывод.Поскольку A x ₁ = b и A x ₂ ,

Следовательно, x ₁ + t ( x ₁ — x ₂ ) действительно является решением A x = b , и теорема доказана.