«Детская школа искусств» Мошенского муниципального района

Ответы к учебнику по алгебре 7 класс колягин: ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Учебник Решебник

Содержание

ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Учебник Решебник

Решение есть!
  • 1 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
  • 2 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Технология
  • 3 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Казахский язык
  • 4 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Казахский язык
  • 5 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Физика

ГДЗ по алгебре для 7 класса Колягин

В седьмом классе школьникам непросто, так как у них добавляются новые дисциплины, в основном, математические. А именно точные науки чаще всего добавляют трудностей детям. Царица наук делится на алгебру и геометрию. Первая рассматривает все арифметические законы, но более сложные. Вторая же учит ребят чертить, доказывать, делать выводы. Для того чтобы упростить процесс обучения нужно заниматься дополнительно, в свободно время. Отличным помощником в этом будет онлайн-решебник по алгебре за 7 класс (авторы: Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И.).

Как устроен сборник и его правильное применение

Предложенный справочник состоит из 6 основных глав, которые рекомендованы к изучению, в них входят:

  • решение уравнений с одним неизвестным;
  • разложение многочлена на множители;
  • как построить график линейной функции;
  • комбинаторика, ее элементы.

Это пособие содержит в себе полноценное, качественное решение всех номеров учебника с содержанием верных ответов. Ученик спокойно сможет сверить собственную домашнюю работу с уже решенными упражнениями. Каждый пример в задачнике полностью соответствует номеру в книге Колягина. Также стоит отметить, что весь материал отвечает всем стандартам ФГОС и рабочей программе. Так, ребенок без труда сможет подготовиться к любой, даже самой сложной контрольной, проверочной работе или тесту самостоятельно. Учебно-методический комплекс пригодится тем, кому нужно восполнить пробелы в знаниях по причине непонимания или болезни. Благодаря этому не придется ходить к репетитору или на курсы. Взрослые могут также воспользоваться готовыми ответами, чтобы обновить собственные знания, а затем поучаствовать в подготовке ребенка к школе, вместе с ним делая домашнюю работу или повторяя правила.

Педагог же на основе уже имеющегося пособия по алгебре для 7 класса от Колягина может создать собственную, уникальную программу или конспект для всего класса, чтобы повысить его успеваемость. Таким образом, можно сделать вывод, что книга принесет пользу учащемуся и поможет ему получать только хорошие и отличные оценки!

ГДЗ к учебнику по алгебре за 7 класс Алимов, Колягин можно посмотреть здесь.

ГДЗ к рабочей тетради по алгебре за 7 класс Колягин Ю.М. можно посмотреть здесь.

ГДЗ к дидактическим материалам по алгебре за 7 класс Ткачёва М.В. можно посмотреть здесь.

ГДЗ к тематическим тестам по алгебре за 7 класс Ткачёва М.В. можно посмотреть здесь.

ГДЗ по алгебре 7 класс. Алимов Ш.А.

ГДЗ по алгебре 7 класс. Алимов Ш.А.

Седьмой класс дает старт новым предметам, в том числе и алгебре. Преподаватели и родители знают, как важно помочь понять семиклассникам азы этого очень сложного предмета – ведь, не поняв основы, ребенок не сможет учиться дальше. Непонимание предмета будет нарастать, как снежный ком, и в дальнейшем ученик совсем запутается.

Алгебра и ГДЗ по алгебре 7 класс?

Чтобы не допустить подобного, необходимо заниматься дополнительно. Нет, речь идет совсем не о найме дорогих репетиторов и поступлении на подготовительные курсы, которые также стоят недешево. Можно поступить гораздо проще – скачать ГДЗ по алгебре 7 класс Алимов Ш.А., где найти дополнительные рекомендации по решению заданий. В данном решебнике 7 класс раскрыты все темы, которые имеются в соответствующем учебнике, использующимся школьниками в классе. Подробно освещены такие темы, как свойства арифметических действий, все о степени с натуральным показателем, квадраты суммы и разности и так далее. Там же выведены и доказаны формула разности квадратов, показано как правильно решать уравнения с несколькими неизвестными, способы работы с алгебраическими дробями. ГДЗ 7 класс по алгебре Алимова Ш.А. научит решать любые уравнения способом подстановки, выносить за скобки общий множитель и работать с линейной функцией.

Добиваемся прекрасных результатов с решебником по алгебре!

Внимательно изучив решебник по алгебре 7 класс Алимов Ш.А., и поняв принципы решения основных заданий, можно добиться многого. Например, отлично сдать ЕГЭ, подготовиться к вступительным экзаменам в выбранный университет, если среди них есть алгебра, да и просто получать хорошие оценки в классе и похвалу учителя, согласитесь, приятно. В подготовке домашнего задания могут пригодиться и ответы онлайн, но лучше, на всякий случай, скачать электронный вариант решебника к себе на компьютер или ноутбук – вдруг не будет доступа к Интернету. ГДЗ по алгебре 7 класс Алимов Ш.А. сделал таким образом, что он пригодится и родителям, которые не особо дружат с формулами и функциями алгебры. Более того, ГДЗ по алгебре используют и самые «продвинутые» преподаватели алгебры и геометрии – альтернативные способы решения заданий, разумеется, интересны и им.

Просто списать ответы на задания из ГДЗ по алгебре 7 класс Алимова Ш.А. – это не круто. Вот самим додуматься до правильного решения, а потом лишь сверить ответы с решебником – совсем другое дело. Тогда и учителя уважать начнут, и у доски «плавать» не придется.

Логическая алгебра - курс цифровой электроники

Булева алгебра, логическая алгебра, позволяет применять правила, используемые в алгебре чисел, к логике. Он формализует правила логики. Булева алгебра используется для упрощения логических выражений которые представляют собой комбинационные логические схемы. Он сокращает исходное выражение до эквивалентного выражения с меньшим количеством терминов, что означает, что для реализации требуется меньше логических вентилей. комбинационная логическая схема.

Калькулятор логических выражений

Используйте калькулятор, чтобы найти сокращенное логическое выражение или проверить свои собственные ответы.

Ваш ответ

    Примечания:
  • Используйте ~ * + для обозначения НЕ И ИЛИ соответственно. Не пропускайте оператор * для операции И.
    • (~ AB) + (B ~ C) + (AB) вернет ошибку
    • (~ A * B) + (B * ~ C) + (A * B) в порядке
  • Логические операции следуют порядку приоритета НЕ И ИЛИ. Выражения внутри квадратных скобок () всегда оцениваются первыми, имея приоритет над порядком приоритета.
  • Пожалуйста, вводите только переменные, константы типа 0,1 не допускаются.
  • Переменные E, I, N, O, Q, S не допускаются

Упрощение логических выражений

Ниже показан пример использования алгебраических методов для упрощения логического выражения

~ (A * B) * (~ A + B) * (~ B + B)
~ (A * B) * (~ A + B) * 1 6 - Закон дополнения
~ (A * B) * (~ A + B) 5 - Закон идентичности
(~ A + ~ B) * (~ A + B) 8 - Закон ДеМоргана
~ A + ~ B * B 4 - Закон распределения
~ A + 0 6 - Закон дополнения
~ A 5 - Закон идентичности

Каждая строка дает новое выражение и правило или правила, использованные для его вывода из предыдущего.Обычно есть несколько способов достичь результата.

Законы булевой алгебры

Законы булевой алгебры используются для упрощения логических выражений.

    Основные логические законы

  1. Идемпотентный закон
  2. Ассоциативный закон
    • (A * B) * C = A * (B * C)
    • (А + В) + С = А + (В + С)
  3. Коммутативный закон
    • А * В = В * А
    • А + В = В + А
  4. Распределительное право
    • А * (В + С) = А * В + А * С
    • А + (В * С) = (А + В) * (А + С)
  5. Закон о личности
    • А * 0 = 0 А * 1 = А
    • А + 1 = 1 А + 0 = А
  6. Закон о дополнении
  7. Закон об инволюции
  8. Закон ДеМоргана
    • ~ (A * B) = ~ A + ~ B
    • ~ (А + В) = ~ А * ~ В

    Законы о резервировании

  9. Поглощение
    • А + (А * В) = А
    • А * (А + В) = А
    • (А * В) + (А * ~ В) = А
    • (А + В) * (А + ~ В) = А
    • А + (~ А * В) = А + В
    • А * (~ А + В) = А * В

Каждый закон описывается двумя частями, которые дублируют друг друга.Принцип двойственности

  • Перестановка операций + (ИЛИ) и * (И) в выражении.
  • Замена элементов выражения 0 и 1 местами.
  • Не меняет вид переменных.

Применение булевой алгебры

Проектирование комбинационной логической схемы

включает следующие этапы

  1. Из проектной спецификации найдите таблицу истинности
  2. Из таблицы истинности выведите логическое выражение «Сумма произведений».
  3. Используйте логическую алгебру, чтобы упростить логическое выражение. Чем проще логическое выражение, тем меньше логических элементов будет использоваться.
  4. Используйте логические вентили для реализации упрощенного логического выражения.

С доходов от рекламы падения, несмотря на все большее число посетителей, нам нужна ваша помощь, чтобы сохранить и улучшить этот сайт, который занимает много времени, денег и тяжелую работу. Благодаря щедрости наших посетителей, которые давали раньше, вы можете использовать этот сайт бесплатно.

Если вы получили пользу от этого сайта и можете, пожалуйста, дайте 10 долларов через Paypal . Это позволит нам продолжаем в будущее. Это займет всего минуту. Благодаря!

Я хочу дать!

© 2021 Emant Pte Ltd Co., рег. № 200210155R | Условия использования | Конфиденциальность | О нас

Викиучебников, открытых книг для открытого мира

Предисловие [править]

Эта книга требует, чтобы вы сначала прочитали Арифметика .

Алгебра - это раздел математики, посвященный изучению правил операций и отношений, а также возникающих из них конструкций и понятий, включая термины, полиномы, уравнения и алгебраические структуры.

Вас попросили купить арахис для вас и ваших друзей на футбольном матче. Вы собрали 12,50 долларов. Одна сумка стоит 2,75 доллара. Вы хотите знать, сколько сумок вы можете купить. Это проблема алгебры! Связанные с этим проблемы заключаются в том, сколько денег останется, и что вам следует купить или в каких пропорциях вы должны вернуть лишние деньги своим друзьям.

Алгебра помогает нам предсказывать то, чего мы еще не знаем, и определять отношения между тем, что мы делаем. Алгебра - это мощный и богатый раздел математики, который полезен в повседневной жизни, а также в бизнесе, инженерии и других технических областях.

Содержание [править]

Введение в математику [править]

  1. Об этой книге
    1. Что такое математика? - А какое мне дело?
    2. Кому следует прочитать эту книгу - И чего ожидать

Числа, переменные и отношения [править]

Как мы можем использовать числа и переменные, чтобы узнать неизвестную информацию?

  1. Обзор
    1. Элементарная арифметика
    2. Порядок работы
  2. Числа и переменные
    1. Алгебра и свойства действительных чисел
    2. Раздел не коммутативен
    3. Правила экспонент
    4. Корни и радикалы
    5. Переменные
    6. Наборы
  3. Уравнения с одной переменной
    1. Что такое уравнения?
    2. Решение уравнений с одной переменной
    3. Проблемы со словами
  4. Неравенства
    1. Различные типы отношений
    2. Обозначение интервалов и интервалы построения графиков
    3. Решение неравенств

Линейные функции Введение в построение графиков [править]

Math - это метод решения задач.Вы берете информацию, которую знаете, и, манипулируя ею, используя математические принципы, вы можете найти информацию, которую не знаете. Функции - это математическая основа для решения проблем. У них есть параметры, правила и способы решения. В этом разделе вы познакомитесь с общими функциями и их использованием.

  1. Введение в линейные функции
    1. Функции
    2. Графические линейные функции
      1. Координатная (декартова) плоскость
      2. Линейные уравнения и функции
      3. Пересечения по осям X и Y
      4. Склон
      5. Стандартная форма и решающий уклон
    3. Графики неравенств
    4. Теорема Пифагора и формула расстояния
    5. Абсолютное значение
    6. Системы уравнений
    7. Неравенства составных и абсолютных значений
    8. Графические системы неравенств
    9. Другие типы графов

Полиномы [править]

  1. Полиномы
    1. Факторинговые многочлены
    2. Завершение площади
      1. Квадратный корень положительный (подлежит объединению)
    3. Квадратичная формула
    4. Кубическая формула
    5. Биномиальная теорема

Графические полиномы [править]

  1. Подробнее о построении графиков
    1. Графические полиномы
    2. Инверсия функций
    3. Составные и абсолютные неравенства для многочленов
    4. Графические системы неравенств для многочленов

Последовательности и серии [править]

  1. Введение в последовательности и серии
    1. Арифметическая прогрессия (AP)
    2. Геометрическая прогрессия (GP)
    3. Гармоническая прогрессия (HP)

Конические сечения [править]

  1. Конические секции
    1. Круг
    2. Эллипс
    3. Парабола
    4. Гипербола

Комплексные числа [править]

  1. Комплексные числа
    1. Подробнее о квадратичной формуле
    2. Подробнее о полиномах.

Элементарная вероятность и статистика [править]

  1. Введение в вероятность и статистику
    1. Вероятность
    2. Статистика
    3. Точечные диаграммы

Текущая работа по объединению [править]

ДЕЛАТЬ

Исправить алгебру для вопросов и ответов в разделе "Пропорции" или "Соотношения"

Сложите задачи по умножению

Добавить текстовые задачи к разделению

Добавить текстовые задачи к показателям

Добавить задачи к корням

Добавьте проблемы со словами для возможных взаимосвязей как части неравенства

Добавить графику для умножения на 1 и -1 к описанию особого случая умножения на -1

Добавить описание для особого случая Возвращение к равенству

Пример функции половинной площади

Исправить содержимое, прояснить объяснение

Переместите Todos сюда... или заполните их

Почему использовать стандартную форму вместо формы пересечения наклона? Нужно больше контекста.

Продолжить создание ссылок между страницами.

Продолжить создание стандартного заголовка алгебры ... Продолжить до содержания

Скачок в изощренности ... Конец разговорного тона. Нужно сделать дружелюбнее, проще

Подлежит объединению / несортировано

  1. В этой книге
    1. Теория
    2. Итерация
    3. Stemplots (Мы хотим этого?)
    4. Обсуждение: Алгебра / ToInclude
    5. Арифметические / числовые аксиомы (Осиротел из-за книги, следует следить за другими)
    6. Equalities and Inequalities (Осиротел из книги)
    7. Алгебра
    8. Квадратичные функции
    9. Решение уравнений
    10. Теория уравнений
  2. Перенаправить на другую книгу (почему?)
    1. Логарифмы
  3. Закрытие

Ключ к алгебре

  • Начало
  • Создать список
  • |
  • Зарегистрироваться
  • Войти
Кэти Даффи Обзоры FacebookTwitterYouTubeFacebookTwitterYouTube
  • Домашняя школа Обзоры
    Основная программа
    • Искусство и музыка
      • Искусство
      • Музыка
    • Библия и религия
    • Библия и религия
    • Библия и религия Учебный план и запоминание Священных Писаний
    • История церкви и Библии
    • Дополнения к Библии и религии
  • Католическая учебная программа
    • Ресурсы для родителей
    • Учебный план по религии
    • Звук и чтение
    • Наука
    • Другие предметы
  • Состав и грамматика
    • Ресурсы для родителей
    • Несортированные, многоуровневые ресурсы - всеобъемлющие
    • Несортированные, многоуровневые ресурсы - грамматика
    • Несортированные, многоуровневые ресурсы - состав
    • Градуированные учебные планы по изучению языка 900 14
    • Другое
  • Дошкольное образование / Дошкольное образование
  • Экономика
  • Иностранный язык
    • Издатели, предлагающие курсы для многих языков
    • Латинский
    • Испанский
    • Другие языки и дополнительные
    • Греческий
    • Французский
    • Язык жестов
  • Рукописный ввод
    • Традиционный метод
    • Наклонный шрифт или упрощенный курсив
  • История и география
    • U.S История: Основная учебная программа
    • Дополнения по истории США
    • Всемирная история: Основная учебная программа
    • Дополнения по всемирной истории
    • География
    • Специальные темы и сроки
    • Программы, включающие историю
    • Государственная история
  • Правительство
  • Уровень оценки Пакеты и курсы
    • От дошкольного до 8 класса
    • Старшая школа
  • Математика
    • Математика PreK-K
    • Классы по математике K-6
    • Классы по математике 7-8
    • 9-12 классы по математике
  • Математика Приложения
    • Добавки по математике 4-й класс
    • Добавки по математике для всех уровней
    • Добавки по математике K - 2-й класс
    • Добавки по математике 3-й класс
    • Добавки по математике 5-й класс
    • Добавки по математике 6-й класс
    • Добавки по математике 14 классы 7-12 900
  • Phonics & Rea ding
    • Готовность к чтению
    • Акустика и программы чтения
    • Начинающие читатели
    • Рабочие тетради по акустике
    • Читатели и литература
      • Читатели и литература 1-8 классы
      • Читатели и литература 9-12 классы

Алгебра 2 Репетитор, Помощь и практика в Интернете

Не видите, что вам нужно?
Не волнуйтесь, попробуйте поискать по всем нашим темам
Искать по всему StudyPug

Что такое алгебра 2?

Алгебра - это раздел математики, в котором буквы и символы могут использоваться для представления определенных значений / чисел в уравнениях и формулах.Алгебра 2 строится на основных принципах, которым обучают в Алгебре 1 и Базовой алгебре, исследуя комплексные числа, функции, неравенства, линейные уравнения и многое другое. В некоторых школах алгебру 2 часто называют «промежуточной алгеброй», но по сути это одно и то же.

Наши уроки по алгебре 2 основаны на подходе «алгебра 2 для чайников», так как мы уверены, что все учащиеся могут извлечь что-то из нашего содержания. Независимо от того, новичок вы или хорошо разбираетесь в алгебре, вы найдете ценную информацию и ресурсы на нашей обучающей платформе по алгебре 2.

StudyPug станет вашим личным наставником по алгебре 2 с большим количеством видеороликов, материалов для подготовки к экзаменам и ценными пособиями по пересмотру.

Сложна ли алгебра 2?

Изначально изучение алгебры 2 может быть пугающей перспективой, но как только вы прочно усвоите основы, понимание алгебры 2 может быть намного проще, и именно здесь вам на помощь придет StudyPug!

Благодаря обширной коллекции актуальных и актуальных учебных материалов по алгебре 2, мы можем предоставить простой для интерпретации набор пошаговых примеров, обеспечивающих вам лучшее понимание основных принципов и дополнительных элементов алгебры.Благодаря тысячам уроков для наблюдения и соответствующим материалам для подготовки к экзамену по алгебре, которые охватывают темы из популярных учебников алгебры, StudyPug может предложить исключительную коллекцию исправленного контента.

Наш онлайн-контент будет охватывать все, что вы можете ожидать от преподавания в классе, а также содержание учебников, не охваченных вашими учителями. Чтобы еще больше помочь вам справиться с алгеброй 2, наши ресурсы доступны в любое время, когда они вам нужны, работают вместе с вашим расписанием и предоставляют круглосуточную помощь и рекомендации, которые помогут вам лучше пересмотреть и подготовиться к предстоящим экзаменам.

Что будет после алгебры 2?

После успешного завершения курса алгебры 2 (обычно изучаемого вместе с тригонометрией) большинство студентов достаточно подготовлены для прохождения курса Precalculus. Study Pug предоставляет подробные справочные материалы и видеоролики как для тригонометрии, так и для Precalculus, чтобы вы могли с легкостью эффективно переходить от курса к курсу.

Это стало возможным благодаря структурированию нашего контента. Каждый курс учитывает содержание предыдущих курсов более низкого уровня и последующих курсов.Это гарантирует, что вы никогда не перестанете поступать на новый курс неподготовленными и неспособными извлечь максимальную пользу из содержания. Вместо этого вы будете лучше подготовлены с учетом контекста и соответствующей основы, необходимой для развития вашего уровня понимания.

Кроме того, по завершении Алгебры 2 вы можете обнаружить, что ваши навыки решения проблем вне уроков начали улучшаться. Это может быть чрезвычайно полезно, потому что, знаете ли вы об этом или нет, мы используем алгебру в нашей повседневной жизни больше, чем мы на самом деле думаем.

Какой класс по алгебре 2?

Алгебра 2 или «алгебра среднего уровня» обычно преподается ученикам 11-го класса. С учетом сказанного, вам не нужно быть учеником 11 класса, чтобы пользоваться нашим контентом. StudyPug обслуживает всех учащихся, независимо от их начальной точки. Независимо от того, учитесь ли вы в 11-м классе и нуждаетесь в помощи с тестами по алгебре 2, или возвращаетесь к учебе и нуждаетесь в краткой переподготовке, у StudyPug есть ресурсы для пересмотра.

Если вы в настоящее время изучаете алгебру 1 или «основную алгебру», подумайте об использовании наших онлайн-ресурсов для пересмотра, поскольку они не только помогут вам на предстоящих экзаменах, но и структурированы, чтобы помочь вам легко перейти к нашему содержанию по алгебре 2.

Что вы изучаете по алгебре 2?

Изучая алгебру 2, вы узнаете, как определять функции, решать уравнения абсолютных значений, определять количество решений линейных уравнений, исследовать системы неравенств, комплексные числа, радикалы умножения и многое другое.

Чтобы помочь вам лучше понять эти различные

Исключение Гаусса

Тип 2. Умножьте строку на ненулевую константу.

Тип 3. Добавьте числа, кратные одной строке, к другой строке.

Цель этих операций - преобразовать - или уменьшить - исходную расширенную матрицу в одну из форм, где A ′ является верхним треугольником ( a ij ′ = 0 для i> j ), любые нулевые строки появляются внизу матрицы, а первая ненулевая запись в любой строке находится справа от первой ненулевой записи в любой более высокой строке; такая матрица называется эшелон . Решения системы, представленной более простой расширенной матрицей, [ A ′ | b ′], можно найти путем осмотра нижних рядов и обратной подстановки в более высокие ряды.Поскольку элементарные операции со строками не меняют решений системы, векторы x , которые удовлетворяют более простой системе A x = b ′, являются в точности теми, которые удовлетворяют исходной системе, A x = б .

Пример 3 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Расширенная матрица, которая представляет эту систему:

Первой целью является получение нулей под первой записью в первом столбце , что означает исключение первой переменной x из второго и третьего уравнений.Для этого выполняются следующие операции со строками:

Вторая цель - получить ноль ниже второй записи во втором столбце, что означает исключение второй переменной y из третьего уравнения. Один из способов добиться этого - добавить -1/5 второй строки к третьей строке. Однако, чтобы избежать дробей, есть еще один вариант: сначала поменять местами второй и третий ряды. Замена двух строк просто меняет местами уравнения, что явно не меняет решения системы:

Теперь прибавьте −5 раз вторую строку к третьей строке:

Поскольку матрица коэффициентов была преобразована в эшелонированную форму, «прямая» часть исключения Гаусса завершена.Теперь остается использовать третью строку для оценки третьего неизвестного, затем выполнить обратную подстановку во вторую строку для оценки второго неизвестного и, наконец, выполнить обратную замену в первой строке для оценки первого неизвестного.

Третья строка финальной матрицы переводится в 10 z = 10, что дает z = 1. Обратная подстановка этого значения во вторую строку, которая представляет уравнение y - 3 z = - 1, дает y = 2.Обратная подстановка обоих этих значений в первую строку, которая представляет уравнение x - 2 y + z = 0, дает x = 3. Таким образом, решение этой системы: ( x, y, z ) = (3, 2, 1).

Пример 4 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Для этой системы расширенная матрица (вертикальная линия опущена) составляет

Сначала умножьте строку 1 на 1/2:

Теперь добавление -1 первой строки ко второй строке дает нули под первой записью в первом столбце:

Перестановка второй и третьей строк дает желаемую матрицу коэффициентов верхней треугольной формы:

В третьей строке теперь указано z = 4.Обратная подстановка этого значения во вторую строку дает y = 1, а обратная подстановка обоих этих значений в первую строку дает x = −2. Следовательно, решение этой системы: ( x, y, z ) = (−2, 1, 4).

Исключение Гаусса-Джордана . Исключение по Гауссу осуществляется путем выполнения элементарных операций со строками для получения нулей ниже диагонали матрицы коэффициентов, чтобы привести ее к эшелонированной форме. (Напомним, что матрица A ′ = [ a ij ′] имеет эшелонированную форму, когда a ij ′ = 0 для i> j , любые нулевые строки появляются в нижней части матрицы , и первая ненулевая запись в любой строке находится справа от первой ненулевой записи в любой более высокой строке.Как только это будет сделано, проверка нижней строки (строк) и обратная подстановка в верхние строки определяют значения неизвестных.

Однако можно сократить (или полностью исключить) вычисления, связанные с обратной подстановкой, путем выполнения дополнительных строковых операций для преобразования матрицы из эшелонированной формы в сокращенную форму . Матрица находится в форме сокращенного эшелона, когда, помимо того, что она находится в форме эшелона, каждый столбец, содержащий ненулевую запись (обычно равную 1), имеет нули не только под этой записью, но и над этой записью.Грубо говоря, исключение Гаусса работает сверху вниз, чтобы создать матрицу в форме эшелона, тогда как Исключение Гаусса-Жордана продолжается с того места, где остановилось Гаусса, а затем работает снизу вверх для создания матрицы в форме сокращенного эшелона. Техника будет проиллюстрирована на следующем примере.

Пример 5 : Известно, что высота, y , подброшенного в воздух объекта задается квадратичной функцией от t (время) в форме y = at 2 + bt + c .Если объект находится на высоте y = 23/4 в момент времени t = 1/2, при y = 7 во время t = 1, и при y = 2 при t = 2 , определите коэффициенты a, b и c .

Поскольку t = 1/2 дает y = 23/4

, а два других условия, y ( t = 1) = 7 и y ( t = 2) = 2, дают следующие уравнения для a, b и c :

Следовательно, цель - решить систему

Расширенная матрица для этой системы сокращается следующим образом:

На этом прямая часть исключения по Гауссу завершена, поскольку матрица коэффициентов приведена к эшелонированной форме.Однако для иллюстрации исключения Гаусса-Жордана выполняются следующие дополнительные элементарные операции со строками:

Эта окончательная матрица сразу дает решение: a = −5, b = 10 и c = 2.

Пример 6 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Расширенная матрица для этой системы -

Кратные значения первой строки добавляются к другим строкам, чтобы получить нули под первой записью в первом столбце:

Затем −1 раз вторая строка добавляется к третьей строке:

В третьей строке теперь указано 0 x + 0 y + 0 z = 1, уравнение, которому не могут удовлетворять никакие значения x, y и z .Процесс останавливается: у этой системы нет решений.

Предыдущий пример показывает, как исключение Гаусса выявляет противоречивую систему. Небольшое изменение этой системы (например, изменение постоянного члена «7» в третьем уравнении на «6») проиллюстрирует систему с бесконечно большим числом решений.

Пример 7 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Те же операции, которые применялись к матрице дополнений системы в Примере 6, применяются к матрице дополнений для данной системы:

Здесь третья строка переводится в 0 x + 0 y + 0 z = 0, уравнение, которому удовлетворяют любые x, y и z .Поскольку это не накладывает ограничений на неизвестные, на неизвестные нет трех условий, а только два (представленных двумя ненулевыми строками в окончательной расширенной матрице). Поскольку имеется 3 неизвестных, но только 2 константы, 3–2 = 1 неизвестных, скажем, z , произвольно; это называется свободной переменной . Пусть z = t , где t - любое действительное число. Обратная подстановка z = t во вторую строку (- y + 5 z = −6) дает

Обратная подстановка z = t и y = 6 + 5 t в первую строку ( x + y - 3 z = 4) определяет x :

Следовательно, каждое решение системы имеет вид

, где t - любое действительное число.Существует бесконечно много решений, поскольку каждое действительное значение t дает отдельное конкретное решение. Например, выбор t = 1 дает ( x, y, z ) = (−4, 11, 1), а t = 3 дает ( x, y, z ) = (4, - 9, −3) и так далее. Геометрически эта система представляет три плоскости в R 3 , которые пересекаются по линии, и (*) является параметрическим уравнением для этой линии.

Пример 7 дает иллюстрацию системы с бесконечным множеством решений, как возникает этот случай и как записывается решение.Каждая линейная система, имеющая бесконечно много решений, должна содержать хотя бы один произвольный параметр (свободная переменная). После того, как расширенная матрица была приведена к эшелонированной форме, количество свободных переменных равно общему количеству неизвестных минус количество ненулевых строк:

Это согласуется с теоремой B выше, которая утверждает, что линейная система с меньшим количеством уравнений, чем неизвестных, если она согласована, имеет бесконечно много решений. Условие «меньше уравнений, чем неизвестных» означает, что количество строк в матрице коэффициентов меньше количества неизвестных.Следовательно, приведенное выше уравнение в рамке подразумевает, что должна быть по крайней мере одна свободная переменная. Поскольку такая переменная по определению может принимать бесконечно много значений, система будет иметь бесконечно много решений.

Пример 8 : Найдите все решения для системы

Во-первых, обратите внимание, что есть четыре неизвестных, но только три уравнения. Следовательно, если система непротиворечива, гарантировано, что у нее будет бесконечно много решений, а это состояние характеризуется хотя бы одним параметром в общем решении.После построения соответствующей расширенной матрицы исключение Гаусса дает

Тот факт, что в эшелонированной форме расширенной матрицы остаются только две ненулевые строки, означает, что 4-2 = 2 переменных свободны:

Следовательно, выбрав y и z в качестве свободных переменных, пусть y = t 1 и z = t 2 . Во второй строке сокращенной расширенной матрицы следует

, а первая строка дает

Таким образом, решения системы имеют вид

, где t 1 t 2 могут принимать любые реальные значения.

Пример 9 : Пусть b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) T и пусть A будет матрицей

При каких значениях b 1 , b 2 и b 3 будет ли система A x = b согласованной?

Расширенная матрица для системы A x = b читает

, который гауссовский элиминатин сокращает следующим образом:

В нижней строке теперь подразумевается, что b 1 + 3 b 2 + b 3 должен быть равен нулю, чтобы эта система была согласованной.Следовательно, в данной системе есть решения (фактически бесконечно много) только для тех векторов-столбцов b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) T , для которых b 1 + 3 b 2 + b 3 = 0.

Пример 10 : Решите следующую систему (сравните с Примером 12):

Такая система, как эта, где постоянный член в правой части каждого уравнения равен 0, называется однородной системой .В матричной форме он читается как A x = 0 . Поскольку каждая гомогенная система непротиворечива - поскольку x = 0 всегда является решением, - однородная система имеет либо ровно одно решение (простое решение , x = 0 ) или бесконечно много. Уменьшение строки матрицы коэффициентов для этой системы уже было выполнено в примере 12. Нет необходимости явно увеличивать матрицу коэффициентов столбцом b = 0 , поскольку никакая элементарная операция со строкой не может повлиять на эти нули.То есть, если A 'является эшелонированной формой A , то операции элементарной строки преобразуются [ A | 0 ] в [ A ′ | 0 ]. По результатам Примера 12,

Поскольку последняя строка снова подразумевает, что z можно принять как свободную переменную, пусть z = t , где t - любое действительное число. Обратная подстановка z = t во вторую строку (- y + 5 z = 0) дает

и обратная подстановка z = t и y = 5 t в первую строку ( x + y -3 z = 0) определяет x :

Следовательно, каждое решение этой системы имеет вид ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t, t ), где t - любое действительное число.Существует бесконечно много растворяющих веществ, поскольку каждое действительное значение t дает уникальное частное решение.

Обратите внимание на разницу между набором решений для системы в Примере 12 и здесь. Хотя у обоих была одна и та же матрица коэффициентов A , система в примере 12 была неоднородной ( A x = b , где b 0 ), а здесь - соответствующая однородная система, A x = 0 .Помещая свои решения рядом,

общее решение для Ax = 0 : ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t , t )

общее решение для Ax = b : ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t , t ) + (−2, 6, 0)

иллюстрирует важный факт:

Теорема C . Общие решения для согласованной неоднородной лиенарной системы, A x = b , равны общему решению соответствующей однородной системы, A x = 0 , плюс частное решение неоднородная система.То есть, если x = x h представляет собой общее решение A x = 0 , то x = x h + x представляет общее решение A x + b , где x - любое конкретное решение (согласованной) неоднородной системы A x = b .

[Техническое примечание: теорема C, которая касается линейной системы , имеет аналог в теории линейных дифференциальных уравнений .Пусть L - линейный дифференциальный оператор; то общее решение разрешимого неоднородного линейного дифференциального уравнения, L (y) = d (где d ≢ 0), равно общему решению соответствующего однородного уравнения, L (y) = 0 плюс частное решение неоднородного уравнения. То есть, если y = y h повторно отображает общее решение L (y) = 0, то y = y h + y представляет собой общее решение L (y ) = d , где y - любое частное решение (решаемого) неоднородного линейного уравнения L (y) = d .]

Пример 11 : Определить все решения системы

Запишите расширенную матрицу и выполните следующую последовательность операций:

Поскольку в этой финальной (эшелонированной) матрице остаются только 2 ненулевые строки, есть только 2 ограничения, и, следовательно, 4-2 = 2 из неизвестных, например y и z , являются свободными переменными. Пусть y = t 1 и z = t 2 .Обратная подстановка y = t 1 и z = t 2 во второй строке ( x - 3 y + 4 z = 1) дает

Наконец, обратная замена x = 1 + 3 t 1 - 4 2 , y = t 1 и z = t 2 в первый строка (2 w - 2 x + y = −1) определяет w :

Следовательно, каждое решение этой системы имеет вид

, где t 1 и t 2 - любые действительные числа.Другой способ написать решение:

, где t 1 , t 2 R .

Пример 12 : Определите общее решение

, который является однородной системой, соответствующей неоднородной в примере 11 выше.

Так как решение неоднородной системы в примере 11 -

Теорема C означает, что решение соответствующей однородной системы имеет вид (где t 1 , t 2 R ), которое получается из (*), просто отбрасывая конкретное решение, x = (1 / 2,1,0,0) неоднородной системы.

Пример 13 : Докажите теорему A. Независимо от ее размера или количества неизвестных, содержащихся в ее уравнениях, линейная система не будет иметь решений, ровно одно решение или бесконечно много решений.

Доказательство . Пусть данная линейная система записана в матричной форме A x = b . Теорема действительно сводится к следующему: если A x = b имеет более одного решения, то на самом деле их бесконечно много.Чтобы установить это, пусть x 1 и x 2 будут двумя разными решениями A x = b . Теперь будет показано, что для любого действительного значения t вектор x 1 + t ( x 1 - x 2 ) также является решением A x = b ; поскольку t может принимать бесконечно много различных значений, из этого следует желаемый вывод.Поскольку A x 1 = b и A x 2 ,

Следовательно, x 1 + t ( x 1 - x 2 ) действительно является решением A x = b , и теорема доказана.

Добавить комментарий

©2021 «Детская школа искусств» Мошенского муниципального района