«Детская школа искусств» Мошенского муниципального района

Номер 125 алгебра 7 класс мерзляк: Номер №125 — ГДЗ по Алгебре 7 класс: Мерзляк А.Г.

Ответы к странице 122 №697-706 ГДЗ к учебнику Алгебра 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир

ГДЗ 1 класс

ГДЗ 10 класс

  


Категория: ГДЗ Алгебра учебник 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир ✔

Задание №697

Известно, что числа x и y таковы, что

x2 + y2 = 1. Найдите значение выражения x6 + 3 x2 y2 + y6

Решение:

x6 + y6 + 3 x2 y2 = ( ( x2 )3 + ( y2 )3 ) + 3 x2 y2 = ( x2 + y2 ) ( ( x2 )2 − x2 y2 + ( y2 )2 ) + 3 x2 y2 = ( x2 + y2 ) ( x4 − x2 y2 + y4 ) + 3 x2 y2 = 1 ∗ ( x4 − x2 y2 + y4 ) + 3 x

2 y2 = x4 − x2 y2 + y4 + 3 x2 y2 = x4 + 2 x2 y2 + y4 = x2 + y2 = 1

Задание №698

Известно, что числа x и y таковы, что x3 − y2 = 2. Найдите значение выражения x9 − 6 x3 y2 − y6

Решение:

x9 − 6 x3 y2 − y6 = ( x9 − y6 ) − 6 x3 y2 = ( ( x3 )3 − ( y2 )3 ) − 6 x3 y2 = ( x3 − y2 ) ( ( x3 )2 + x3 y2 + ( y2 )2 ) − 6 x3 y2 = ( x3 − y2 ) ( x6 + x3 y2 + y4 ) − 6 x

3 y2 = 2 ( x6 + x3 y2 + y4 ) − 6 x3 y2 = 2 x6 + 2 x3 y2 + 2 y4 − 6 x3 y2 = 2 x6 − 4 x3 y2 + 2 y4 = 2 ( x6 − 2 x3 y2 + y4 ) = 2 ( x3 − y2 )2 = 2 ∗ 22 = 2 ∗ 4 = 8

Задание №699

Докажите, что если 2a − b = 1, то 8 a3 − b3 = 6 a b + 1.

Решение:

8 a3 − b3 = ( 2 a )3 − b3 = ( 2 a − b ) ( 4 a2 + 2 a b + b2 ) = ( 2 a − b ) ( ( 2 a )2 + 6 a b − 4 a b + b2 ) = 1 ∗ ( ( 2 a )2 + 6 a b − 4 a b + b2 ) = ( ( 2 a )2

− 4 a b + b2 ) + 6 a b = ( 2 a − b )2 + 6 a b = 12 + 6 a b = 6 a b + 1
6 a b + 1 = 6 a b + 1

Задание №700

Докажите, что если a + 3b = 2, то a3 + 27 b3 = 8 − 18 a b.

Решение:

a3 + 27 b3 = a3 + ( 3 b )3 = ( a + 3 b ) ( a2 − 3 a b + 9 b2 ) = ( a + 3 b ) ( a2 + 6 a b − 9 a b + 9 b2 ) = 2 ( a2 + 6 a b − 9 a b + 9 b2 ) = 2 a2 + 12 a b − 18 a b + 18 b2 = ( 2 a2 + 12 a b + 18 b2 ) − 18 a b = 2 ( a2 + 6 a b + 9 b2 ) − 18 a b = 2 ( a + 3 b )2 − 18 a b = 2 ∗ 22 − 18 a b = 2 ∗ 4 − 18 a b = 8 − 18 a b
8 − 18 a b = 8 − 18 a b

Задание №701

В одном ящике было на 12 кг яблок больше, чем в другом.

Когда из первого ящика переложили во второй 4 кг яблок, то оказалось, что масса яблок во втором ящике составила 5/7 массы яблок в первом. Сколько килограммов яблок было в каждом ящике сначала?

Решение:

Пусть x кг было изначально во втором ящике, тогда
(x + 12) кг было изначально в первом ящике;
x + 12 − 4 = x + 8 кг осталось в первом ящике;
(x + 4) кг стало во втором ящике; а масса яблок во втором ящике составила 5/7 массы яблок в первом.
Составим уравнение:
x + 4 = 5/7 ( x + 8 )
7 ( x + 4 ) = 7 ∗ 5/7 ( x + 8 )
7(x + 4) = 5(x + 8)
7x + 28 = 5x + 40
7x − 5x = 40 − 28
2x = 12
x = 12 : 2
x = 6
Значит, 6 кг было изначально во втором ящике;
x + 12 = 6 + 12 = 18 (кг) было изначально в первом ящике.
Ответ: 18 кг и 6 кг.

Задание №702

Какая последняя цифра значения выражения

3 16 + 7 16?

Решение:

Найдем последнюю цифру значения степени

3 16:
3 1 = 3;
3 2 = 9;
3 3 = 27;
3 4 = 81;
3 5 = 243, следовательно последняя цифра значения степени 316 будет равна 1, так как последняя цифра значения степени с основанием 3 и показателем кратным 4, будет равна 1.
Найдем последнюю цифру значения степени 716:
7 1 = 7;
7 2 = 49;
7 3 = 343;
7 4 = 2401;
7 5 = 16807, следовательно последняя цифра значения степени 7 16 будет равна 1, так как последняя цифра значения степени с основанием 7 и показателем кратным 4, будет равна 1.
Следовательно последняя цифра значения выражения 3 16 + 7 16 будет равна 1 + 1 = 2.

Задание №703

Найдите значение каждого из следующих выражений при a = 1 и a = −1:
1) a + a2 + a3 + a4 + . . . + a 99 + a 100;
2) a + a2 + a3 + a4 + . . . + a 98 + a 99;
3) a a2 a3 a4 . . . a 99 a 100;
4) a a2 a3 a4 . . . a 98 a 99.

Решение:

1) a + a2 + a3 + a4 + . . . + a99 + a100 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + . . . + 199 + 1100 = 1 ∗ 100 = 100;
a + a2 + a3 + a4 + . . . + a99 + a100 = ( − 1 ) + ( − 1 )2 + ( − 1 )3 + ( − 1 )

4 + . . . + ( − 1 ) 99 + ( − 1 ) 100 = ( − 1 ) ∗ 50 + 1 ∗ 50 = − 50 + 50 = 0.

2) a + a2 + a3 + a4 + . . . + a98 + a99 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + . . . + 198 + 199 = 1 ∗ 99 = 99;
a + a2 + a3 + a4 + . . . + a98 + a99 = ( − 1 ) + ( − 1 )2 + ( − 1 )3 + ( − 1 )4 + . . . + ( − 1 )98 + ( − 1 )99 = ( − 1 ) ∗ 50 + 1 ∗ 49 = − 50 + 49 = − 1.

3) a a2 a3 a4 . . . a99 a100 = 1 ∗ 12 ∗ 13 ∗ 14 . . . ∗ 199 ∗ 1100 = 1;
a a2 a3 a4 . . . a99 a100 = ( − 1 ) ∗ ( − 1 )2

∗ ( − 1 )3 ∗ ( − 1 )4 . . . ∗ ( − 1 )99 ∗ ( − 1 )100 = 1.

4) a a2 a3 a4 . . . a98 a99 = 1 ∗ 12 ∗ 13 ∗ 14 . . . ∗ 198 ∗ 199 = 1;
a a2 a3 a4 . . . a98 a99 = ( − 1 ) ∗ ( − 1 )2 ∗ ( − 1 )3 ∗ ( − 1 )4 . . . ∗ ( − 1 ) 98 ∗ ( − 1 )99 = − 1.

Задание №704

Разложите на множители:
1) 3 x2 + 12 x y;
2) 10 m5 − 5 m;
3) a b − a c + 7 b − 7 c;
4) 6 x − x y − 6 y + y 2;
5) 49 b2 − c 2;
6) p2 + 12 p k + 36 k 2;
7) 100 a4 − 1/9 b 2;
8) 25 a2 − ( a − 3 )2.

Решение:

1) 3 x2 + 12 x y = 3 x ( x + 4 y )

2) 10 m5 − 5 m = 5 m ( 2 m4 − 1 )

3) a b − a c + 7 b − 7 c = ( a b − a c ) + ( 7 b − 7 c ) = a ( b − c ) + 7 ( b − c ) = ( b − c ) ( a + 7 )

4) 6 x − x y − 6 y + y2 = ( 6 x − 6 y ) − ( x y − y2 ) = 6 ( x − y ) − y ( x − y ) = ( x − y ) ( 6 − y )

5) 49 b2 − c2 = ( 7 b )2 − c2 = ( 7 b − c ) ( 7 b + c )

6) p2 + 12 p k + 36 k2 = ( p + 6 k )2

7) 100 a4 − 1/9 b2 = ( 10 a2 )2 − ( 1/3 b )2 = ( 10 a2 − 1/3 b ) ( 10 a2 + 1/3 b )

8) 25 a2 − ( a − 3 )2 = ( 5 a )2 − ( a − 3 )2 = ( 5 a − a + 3 ) ( 5 a + a − 3 ) = ( 4 a + 3 ) ( 6 a − 3 )

Задание №705

Решите уравнение:
1) ( x − 4 ) ( x + 3 ) = 0;

2) x2 − 81 = 0;
3) 7 x2 + 21 x = 0;
4) 9 x2 − 6 x + 1 = 0;
5) x ( x + 7 ) ( 3 x − 2 ) = 0;
6) 12 x3 − 2 x2 = 0.

Решение:

1) ( x − 4 ) ( x + 3 ) = 0
x1 − 4 = 0
x1 = 4;
x2 + 3 = 0
x2 = − 3.

2) x2 − 81 = 0
( x − 9 ) ( x + 9 ) = 0
x1 − 9 = 0
x1 = 9;
x2 + 9 = 0
x2 = − 9.

3) 7 x2 + 21 x = 0
7 x ( x + 3 ) = 0
7 x1 = 0
x1 = 0;
x2 + 3 = 0
x2 = − 3.

4) 9 x2 − 6 x + 1 = 0
( 3 x − 1 )2 = 0
3x − 1 = 0
3x = 1
x = 1/3

5) x ( x + 7 ) ( 3 x − 2 ) = 0
x1 = 0;
x2 + 7 = 0
x

2 = − 7;
3 x3 − 2 = 0
3 x3 = 2
x3 = 2/3.

6) 12 x3 − 2 x2 = 0
2 x2 ( 6 x − 1 ) = 0
2 x12 = 0
x1 = 0;
6 x2 − 1 = 0
6 x2 = 1
x2 = 1/6.

Задание №706

Есть 100 кучек по 100 монет. Одна из кучек состоит из фальшивых монет, каждая из которых на 1 г легче настоящей. Масса настоящей монеты составляет 10 г. Какое наименьшее количество взвешиваний на пружинных весах со стрелкой надо сделать, чтобы найти кучку из фальшивых монет.

Решение:

Пронумеруем кучки монет натуральными числами от 1 до 100.
Затем берем из каждой кучки количество монет, равное номеру данной кучки, и взвешиваем их вместе.
Если бы во всех мешочках были настоящие монеты, то общий вес взятых для взвешивания монет составил бы
10 * (1 + 2 + … + 99 + 100) = 10 * 5050 = 50 500 г.
Поскольку фальшивая монета на 1 г легче настоящей, то сколько граммов будет не хватать до 50500, такой и номер кучки с фальшивыми монетами. Таким образом для определения мешочка с фальшивыми монетами потребуется всего одно взвешивание.
Ответ: 1 взвешивание.

  • Назад
  • Вперед

 
умножить наподелить на

 

Добавить комментарий