Ответы по математике 6 класс шарыгин: Номер №510 — ГДЗ по Математике 6 класс: Дорофеев Г.В.
Содержание
[Решения] Математическая олимпиада по геометрии Шарыгина 2013 (Финал)
8 класс
Пусть $ABCDE$ — пятиугольник с прямыми углами в вершинах $B$ и $E$, причем $AB = AE$ и $BC = CD = DE$. Диагонали $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. Докажите, что $FA = AB$.
Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Биссектриса угла $O_1AO_2$ вторично пересекает окружности в точках $C$ и $D$. Докажите, что расстояния от центра описанной окружности треугольника $CBD$ до $O_1$ и до $O_2$ равны.
Каждая вершина выпуклого многоугольника проецируется на все несмежные стороны. Может ли случиться, что каждая из этих проекций лежит вне соответствующей стороны?
Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $L$. Отмечены ортоцентр $H$ треугольника $LAB$ и центры описанных окружностей $O_1$, $O_2$ и $O_3$ треугольников $LBC$, $LCD$ и $LDA$. Затем вся конфигурация, кроме точек $H$, $O_1$, $O_2$ и $O_3$, была стерта. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.
Высота $AA_0$, медиана $BB_0$ и биссектриса угла $CC_0$ треугольника $ABC$ совпадают в точке $K$. Учитывая, что $A_0K = B_0K$, докажите, что $C_0K = A_0K$.
Пусть $\alpha$ — дуга с концами $A$ и $B$. Окружность $\omega$ касается отрезка $AB$ в точке $T$ и пересекает $\alpha$ в точках $C$ и $D$. Лучи $AC$ и $TD$ пересекаются в точке $E$, а лучи $BD$ и $TC$ пересекаются в точке $F$. Докажите, что $EF$ и $AB$ параллельны.
На плоскости отмечены четыре точки. Известно, что эти точки являются центрами четырех окружностей, три из которых касаются попарно внешне, а все эти три касаются четвертой окружности внутренне. Оказывается, однако, что невозможно определить, какая из отмеченных точек является центром четвертой (самой большой) окружности. Докажите, что эти четыре точки являются вершинами прямоугольника.
Пусть $P$ — произвольная точка дуги $AC$ описанной окружности неподвижного треугольника $ABC$, не содержащая $B$. Биссектриса угла $APB$ пересекает биссектрису угла $BAC$ в точке $P_a$; биссектриса угла $CPB$ пересекает биссектрису угла $BCA$ в точке $P_c$. Докажите, что для всех точек $P$ центры описанных окружностей треугольников $PP_aP_c$ лежат на одной прямой.
9 класс
Все углы вписанного пятиугольника $ABCDE$ тупые. Боковые линии $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E_1$; боковые линии $BC$ и $DE$ пересекаются в точке $A_1$. Касательная в точке $B$ описанной окружности треугольника $BE_1C$ вторично пересекает описанную окружность $\omega$ пятиугольника в точке $B_1$. Касательная в точке $D$ описанной окружности треугольника $DA_1C$ второй раз пересекает $\omega$ в точке $D_1$. Докажите, что $B_1D_1 || АЕ$.
Две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Точки $C$ и $D$ на $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно лежат по разные стороны прямой $AB$ и равноудалены от этой прямой. Докажите, что точки $C$ и $D$ равноудалены от середины $O_1O_2$.
Длина каждой стороны выпуклого четырехугольника $ABCD$ не меньше $1$ и не больше $2$. Диагонали этого четырехугольника пересекаются в точке $O$. Докажите, что $$S_{AOB} + S_{COD} \leq 2(S_{AOD} + S_{BOC}).$$
Точка $F$ внутри треугольника $ABC$ выбрана так, что $\widehat{AFB} = \widehat{BFC} = \widehat{CFA}$. Прямая, проходящая через $F$ и перпендикулярная $BC$, пересекает медиану из $A$ в точке $A_1$. Аналогично определяются точки $B_1$ и $C_1$. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются тремя вершинами некоторого правильного шестиугольника и что три оставшиеся вершины этого шестиугольника лежат по бокам $ABC$.
точек $E$ и $F$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. Прямые $EF$ и $BC$ пересекаются в точке $S$. Пусть $M$ и $N$ — середины $BC$ и $EF$ соответственно. Прямая, проходящая через $A$ и параллельная $MN$, пересекает $BC$ в точке $K$. Докажите, что $BK : CK = FS : ES$.
Прямая $\ell$ проходит через вершину $B$ правильного треугольника $ABC$. Окружность $\omega_a$ с центром в $I_a$ касается $BC$ в точке $A_1$, а также касается прямых $\ell$ и $AC$. Окружность $\omega_c$ с центром в $I_c$ касается $BA$ в точке $C_1$, а также касается прямых $\ell$ и $AC$. Докажите, что ортоцентр треугольника $A_1BC_1$ лежит на прямой $I_aI_c$.
Две фиксированные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ проходят через точку $O$. Окружность произвольного радиуса $R$ с центром в точке $O$ пересекает $\omega_1$ в точках $A$ и $B$ и пересекает $\omega_2$ в точках $C$ и $D$. Пусть $X$ — точка пересечения прямых $AC$ и $BD$. Докажите, что все точки $X$ лежат на одной прямой при изменении $R$.
Три велосипедиста едут по кольцевой дороге радиусом $1 км$ против часовой стрелки. Их скорости постоянны и различны. Обязательно ли существует (через достаточно долгое время) момент, когда все три расстояния между велосипедистами превышают $1 км$?
10 класс
Окружность $k$ проходит через вершины $B$, $C$ разностороннего треугольника $ABC$. $k$ пересекается с расширениями $AB$, $AC$ за пределы $B$, $C$ в $P$, $Q$ соответственно. Пусть $A_1$ — фут перепада высот от $A$ до $BC$. Предположим, что $A_1P=A_1Q$. Докажите, что $\widehat{PA_1Q}=2\widehat{BAC}$.
Пусть $ABCD$ — касательный четырехугольник такой, что $AB=CD>BC$. $AC$ встречается с $BD$ в $L$. Докажите, что $\widehat{ALB}$ острый.
Пусть $X$ — точка внутри треугольника $ABC$ такая, что $$XA.BC=XB.AC=XC.AC.$$ Пусть $I_1$, $I_2$, $I_3$ — центры вписанных треугольников $XBC$ , $XCA$, $XAB$. Докажите, что $AI_1$, $BI_2$, $CI_3$ параллельны.
Дан квадратный картон площадью $\frac{1}{4}$ и бумажный треугольник площадью $\frac{1}{2}$, длина стороны которого в квадрате является целым положительным числом. Докажите, что треугольник можно сложить так, чтобы квадрат можно было поместить внутрь сложенной фигуры так, чтобы обе его грани были полностью покрыты бумагой.
Пусть ABCD вписанный в $(O)$ вписанный четырехугольник. $E$, $F$ — середины дуг $AB$ и $CD$, не содержащих других вершин четырехугольника. Прямые, проходящие через $E$, $F$ и параллельные диагоналям $ABCD$, пересекаются в точках $E$, $F$, $K$, $L$. Докажите, что $KL$ проходит через $O$.
Высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ совпадают в точке $H$. Перпендикуляры от $H$ к $B_1C_1$, $A_1C_1$ пересекают лучи $CA$, $CB$ в точках $P$, $Q$ соответственно. Докажите, что прямая из $C$, перпендикулярная $A_1B_1$, проходит через середину $PQ$.
В пространстве отмечены пять точек. Известно, что эти точки являются центрами пяти сфер, четыре из которых касаются попарно внешне, а все эти $15$ четыре касаются пятой внутренне. Оказывается, однако, что невозможно определить, какая из отмеченных точек является центром пятой (самой большой) сферы. Найдите отношение наибольшего и наименьшего радиусов сфер.
На плоскости даны две неподвижные окружности, одна из которых лежит внутри другой. Для произвольной точки $C$ внешней окружности пусть $CA$ и $CB$ — две хорды этой окружности, касающиеся внутренней.
Восстановите его с помощью циркуля и линейки.
Восстановите его с помощью циркуля и линейки.
Биссектриса угла $APB$ пересекает биссектрису угла $BAC$ в точке $P_a$; биссектриса угла $CPB$ пересекает биссектрису угла $BCA$ в точке $P_c$. Докажите, что для всех точек $P$ центры описанных окружностей треугольников $PP_aP_c$ лежат на одной прямой.
Окружность $\omega_a$ с центром в $I_a$ касается $BC$ в точке $A_1$, а также касается прямых $\ell$ и $AC$. Окружность $\omega_c$ с центром в $I_c$ касается $BA$ в точке $C_1$, а также касается прямых $\ell$ и $AC$. Докажите, что ортоцентр треугольника $A_1BC_1$ лежит на прямой $I_aI_c$.
$k$ пересекается с расширениями $AB$, $AC$ за пределы $B$, $C$ в $P$, $Q$ соответственно. Пусть $A_1$ — фут перепада высот от $A$ до $BC$. Предположим, что $A_1P=A_1Q$. Докажите, что $\widehat{PA_1Q}=2\widehat{BAC}$.
Прямые, проходящие через $E$, $F$ и параллельные диагоналям $ABCD$, пересекаются в точках $E$, $F$, $K$, $L$. Докажите, что $KL$ проходит через $O$.