Рабочая программа по математике для 5-6 классов. УМК «Сфера». Учебник Е.А. Бунимович (ФГОС)
Главная / По типу материала / Материалы МО
Скачать
168.82 КБ, 1387278.docx Автор: Волгина Наталья Александровна, 20 Янв 2016
Данный материал будет полезен учителям, работающим по УМК «Сфера».
Автор: Волгина Наталья Александровна
Похожие материалы
| Тип | Название материала | Автор | Опубликован |
|---|---|---|---|
| документ | Рабочая программа по математике для 5-6 классов. УМК «Сфера». Учебник Е.А. Бунимович (ФГОС) | Волгина Наталья Александровна | 15 Окт 2015 |
| документ | Рабочая программа по математике для 5-6 классов. УМК «Сфера». Учебник Е.А. Бунимович (ФГОС) | Волгина Наталья Александровна | 20 Янв 2016 |
| документ | Рабочая программа по математике 5 класс Е.А. Бунимович ФГОС | Дубенко Андрей Владимирович | 9 Июл 2015 |
| документ | Вводный урок в 5 классе (УМК «Сфера»). Учебник Е.А. Бунимович. ФГОС | Волгина Наталья Александровна | 21 Мар 2015 |
| документ | Рабочая учебная программа по математике 5 класс Е.А. Бунимович | Роговская Екатерина Андреевна | 31 Мар 2015 |
| документ | рабочая программа по математике 6 класс (Бунимович Е. А.) | Ермакова Людмила Владимировна | 20 Ноя 2015 |
| документ | Рабочая программа по математике ФГОС ООО для 5 – 6 классов. Учебник Мерзляк А.Г.,Полонский В. Б.,Якир М. С.(+ календарно- тематическое планирование 5 кл) | Зимина Любовь Николаевна | 15 Окт 2015 |
| документ | Тематическое планирование по математике для 6 класса по учебнику «Математика-6″( Авторы: Г.В.Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.) | Зеленкевич Ирина Владимировна | 1 Апр 2015 |
| документ | Контрольные работы по математике 5 класс, Бунимович Е. А. | Кисметова Елена Ивановна | 14 Ноя 2015 |
| документ | Тема: «Виды линий. Внутренняя и внешняя области». Учебник Е.А. Бунимович.5 класс. ФГОС | Волгина Наталья Александровна | 21 Мар 2015 |
| документ | Рабочая программа по математике для 2 класса в соответствии с ФГОС для УМК «Система развивающего обучения Л.В. Занкова» (учебник Аргинской И.И., Ивановской Е.И., Кормишиной С.Н.) | Ерофеева Светлана Петровна | 30 Мар 2015 |
| документ | Проект современного урока математики в контексте требований ФГОС по теме: «Умножение целых чисел », УМК Бунимович Е. А. Математика. Арифметика. Геометрия. 6 класс | Бермес Елена Константиновна | 31 Мар 2015 |
| документ | Планирование инфрматика 5-6 класс (учебник Л.Л. Босова ) Рабочая программа по учебному предмету «Информатика» для 5–6 классов (ФГОС) | Дубова Елена Викторовна | 16 Апр 2015 |
| документ | Рабочая программа по математике 5 класс (Бунимович) | Курбатова Ирина Алексеевна | 14 Ноя 2015 |
| документ | рабочая программа по математике 5 класс. Бунимович | Вагапова Ольга Ивановна | 19 Фев 2016 |
| документ | рабочая программа по математике 6 класс Бунимович | Парфенова Ольга Валентиновна | 14 Ноя 2015 |
| документ | Рабочая программа по математике 5-6 классы по учебнику Е. А. Бунимовича (ФГОС ООШ) | Нужная Елена Михайловна | 21 Мар 2015 |
| документ | Рабочая программа по технологии 4 класс УМК»Школа России» 1. Е.А. Лутцева, Т. П. Зуева Технология. 4 класс. Методическое пособие с поурочными разработками. ФГОС 6. Требования к уровню подготовки обучающихся. 1. Е.А. Лутцева, Т. П. Зуева&nbs | Третьяченко Ольга Владимировна | 29 Янв 2016 |
| документ | Рабочая программа по математике для 5-6 классов к УМК Г. В. Дорофеева. | Кинг Олимпиада Станиславовна | 1 Апр 2015 |
| разное | Рабочая программа по математике для 5-6 классов к УМК Виленкина | Николаева Екатерина Николаевна | 25 Янв 2016 |
| разное | Рабочая программа по математике ФГОС учебник Дорофеева Шарыеиной | Сереброва Наталья Анатольевна | 21 Мар 2015 |
| разное | Рабочая программа по математике ФГОС учебник Дорофеева Шарыеиной | Сереброва Наталья Анатольевна | 21 Мар 2015 |
| документ | Рабочая программа по математике для 5 класса. Учебник С.А. Козловой (ФГОС) | Волгина Наталья Александровна | 20 Мар 2015 |
| документ | РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ ( ФГОС) (учебник Математика для 5 класса /Н.Я. Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. — М.: Мнемозина, 2015.) | Наумова Елена Анатольевна | 1 Янв 2016 |
| документ | рабочая программа по математике 5 класс ФГОС, 6 часов в неделю, учебник Зубаревой | Баева Инна Сергеевна | 21 Мар 2015 |
| документ | Рабочая программа по математике для 5-6 классов Н.Я.Виленкин (7 часов в неделю) ФГОС | Герасимова Галина Романовна | 20 Ноя 2015 |
| документ | Рабочая программа по математике для 1-4 классов. УМК «Школа России» | Яковлева Елена Николаевна | 6 Ноя 2015 |
| документ | Рабочая программа по биологии 5 класс, ФГОС (по учебнику Сонин Н.И., Плешаков А.А. «Биология. Введение в биологию», УМК «Сфера жизни») | Лущик Ольга Владимировна | 21 Мар 2015 |
| документ | Рабочая программа по математике для 5-6 классов | Роенко Алексей Николаевич | 20 Мар 2015 |
| документ | Рабочая программа по математике для 5-6 классов | Лариса Николаевна Черных | 21 Мар 2015 |
| документ | Рабочая программа по математике для 5-6 классов | Сорокина Елена Николаевна | 21 Мар 2015 |
| документ | Рабочая программа по математике для 5-6-х классов | Тртилек Надежда Владимировна | 20 Мар 2015 |
| документ | Рабочая программа по математике для 5-6 классов | Кормачева Елена Владимировна | 21 Мар 2015 |
| документ | Рабочая программа по математике для 5-6 классов | Барлет Неля Петровна | 31 Мар 2015 |
| документ | Рабочая программа по математике для 5-6 классов | Кузьмичёва Татьяна Владимировна | 10 Апр 2015 |
| документ | Рабочая программа по математике для 5-6 классов | Корсакова Виктория Сергеевна | 23 Апр 2015 |
| документ | Рабочая программа по математике для 5-6 классов | Матвиенко Светлана Александровна | 26 Авг 2015 |
| документ | Рабочая программа по математике для 5-6 классов | Синюкова Ольга Владимировна | 8 Фев 2016 |
| документ | Рабочие программы по математике для 5 класса, по алгебре для 8 класса. УМК А. Г. Мордкович. Рабочие программы по геометрии для 7 и 8 класса. Программа соответствует учебнику Погорелова А.В. Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы. | Басинских Любовь Алексеевна | 21 Мар 2015 |
| документ | Рабочая программа по технологии для 3 класса. Учебник О.А. Куревиной и Е.А. Лутцевой. Образовательна система «Школа 2100». | Шоронихина Инна Александровна | 28 Фев 2016 |
Шар, сфера урок математики, 6 класс
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай».
Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
1. Шар, сфера урок математики, 6 класс
2. Что мы сегодня изучим:
Что мы сегодня изучим:
Введение
Кроссворд
Определение понятий Шар и Сфера
Сечения шара
Форма Земли
Решение задач
– Задачи-исследования
– № 874
– № 876
• Итоги урока
Как вы думаете, что объединяет
все эти объекты?
home
4. Отгадайте ключевое слово
1 О К Р У Ж Н О С Т Ь2 Ф И Г У Р А
3 Ц Е Н Т Р
4 Р А Д И У С
5 Д И А М Е Т Р
СФЕРА
– поверхность шара
home
Шар – множество точек пространства,
расположенных на расстоянии не более
данного от заданной точки.
А
радиус
В
О – центр шара
ОА – радиус шара отрезок, соединяющий
центр шара с точкой
поверхности шара;
О
С
ВС –диаметр– отрезок,
соединяющий две точки
поверхности шара, проходящий
через центр шара;
СФЕРА – поверхность шара.
home
6. Сечения шара плоскостью
Сечением шара плоскостью является круг.Сечением сферы плоскостью является окружность.
home
Рассмотрим нашу планету Земля.
Часто говорят, что она имеет форму
шара. Это удобно для многих практических
и учебных целей. Однако с геометрической
точки зрения это не совсем верно.
Измерения, проведенные в XVII веке,
показали, что Земля имеет форму геоида –
шара, немного сплющенного вдоль одного
из диаметров – оси Земли.
Полярный радиус на 21 км меньше
экваториального и длина экватора
на 67 156 м больше длины меридиана.
home
Задачи-исследования
Можно ли поместить в куб с ребром 7 см
шар радиусом 4 см ?
нет
Можно ли поместить в куб с ребром 9 см
шар радиусом 4 см?
да
Можно ли из деревянной заготовки,
имеющей форму куба с ребром 4 см
вырезать шар радиусом 3 см ?
нет
home
№ 874
Решение:
1) r = d/2 = 12.7/2 = 6.35 (тыс.км) –
радиус Земли;
2) C = 2Πr = 2*3.
14*6.35 = 39.878(тыс.км) –длина экватора Земли.
Ответ: 6,35тыс.км, 39,878 тыс.км.
home
№ 876
Решение:
1)38 * 0,075 = 2,625 (млн. км2)
2)2,625 ≈ 3 (млн. км2) – площадь
поверхности Земли.
Ответ: 3 млн.км2
home
Итоги урока
•Что нового узнали на уроке?
•Приведите примеры тел, имеющих форму шара.
•Что называется радиусом шара? Диаметром
шара?
•Как называется поверхность шара?
home
home
Литература:
1. Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс. Учебник . –М.:
Мнемозина, 2011.
2. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7 – 9 кл. – М.: Дрофа, 1997.
3. Интернет – ресурсы:
http://www. bing. com/images
http://spox.ru/uploads/ciassification/cards/boll.ipg
English Русский Правила
13.3 Правильные пирамиды, правильные конусы и сферы | Измерение
13.3 Правильные пирамиды, правильные конусы и сферы (EMA7Q)
- Пирамида
Пирамида — это геометрическое тело, в основе которого лежит многоугольник, а грани сходятся в точке, называемой вершина Другими словами, грани , а не перпендикулярны основанию.
Треугольная и квадратная пирамиды получили свои названия из-за формы основания. Мы называем пирамиду «правильная пирамида», если линия между вершиной и центром основания перпендикулярна основанию. Конусы похожи на пирамиды, за исключением того, что их основания представляют собой круги, а не многоугольники. Сферы – это твердые тела, идеально круглые и выглядят одинаково с любого направления. 9{2} + 4\влево(\frac{1}{2}b{h}_{s}\right) \\ & = b\влево(b + 2{h}_{s}\вправо) \конец{массив}\)
Треугольная пирамида
Рабочий пример 8: Нахождение площади поверхности треугольной пирамиды
Найдите площадь поверхности следующей треугольной пирамиды (с точностью до одного десятичного знака):
Найти площадь основания
\(\text{площадь треугольника основания}=\frac{1}{2}b{h}_{b}\)
Чтобы найти высоту основания треугольника \(\left({h}_{b}\right)\) воспользуемся теоремой Пифагора:
9{2}}\)Эскиз и маркировка конуса
Определите грани, из которых состоит конус
Конус имеет две грани: основание и стенки.
{2}$}
\конец{выравнивание*}
9{2}$}
\end{align*}
Фигура здесь — конус. Высота конуса по вертикали равна \(H = \text{9,16}\) единиц, а наклон высота конуса \(h = \text{10}\) единиц; показан радиус конуса, \(r = \text{4}\) единиц. Вычислите площадь поверхности фигуры. Округлите ответ до двух знаков после запятой.
\начать{выравнивать*} A _ {\ text {конус}} & = \ pi r (r + h) \\ & = \пи (\текст{4})(\текст{4} + \текст{10}) \\ & = \текст{56} \pi \\ & = \текст{175,9{2} \\ & = \текст{256} \pi \\ & = \текст{804,2477…} \конец{выравнивание*}
Следовательно, площадь поверхности равна \(\text{804,25}\) квадратных единиц.
На этом рисунке показана пирамида с квадратным основанием. Каждая сторона основания равна \(\text{7}\) единицам
длинный.
Вертикальная высота пирамиды составляет \(\text{9,36}\) единиц, а наклонная высота пирамиды
составляет \(\text{10}\) единиц. Определить площадь поверхности пирамиды.
\начать{выравнивать*} A _ {\ text {квадратная пирамида}} & = b (b + 2h_ {s}) \\ & = (7)(7 + 2(10)) \\ & = \текст{189} \конец{выравнивание*}
Площадь поверхности пирамиды составляет \(\text{189}\) квадратных единиц.
Объем пирамид, конусов и сфер (EMA7S)
Квадратная пирамида | 9{2}\раз ч \конец{массив}\) | |
Треугольная пирамида | \(\ начало {массив} {rl} \text{Объем} & = \frac{1}{3}\times \text{площадь основания} \times \\ & \text{высота пирамиды}\\ & = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}bh \times H \конец{массив}\) | |
| 9{3}\) |
В этом видео показан пример расчета объема сферы.
{2}\times H\]
9{3}$}\).
Рабочий пример 16: Нахождение объема сложного объекта
Треугольная пирамида расположена на вершине треугольной призмы, как показано ниже. Основание призмы представляет собой равносторонний треугольник со стороной \(\text{20}\) \(\text{см}\) и высотой призмы \(\text{42}\) \(\текст{см}\). Пирамида имеет высоту \(\text{12}\) \(\text{см}\). Рассчитайте общий объем объект.
Рассчитать объем призмы 9{3}$}\).
temp textРабочий пример 17: Нахождение площади поверхности сложного объекта
Для того же сложного объекта, что и в предыдущем примере, вам предоставляется дополнительная информация, которую наклонная высота \({h}_{s}\) = \(\text{13,3}\) \(\text{см}\). Теперь вычислите общую площадь поверхности объект.
Рассчитать площадь поверхности каждой открытой грани пирамиды
\начать{выравнивать*}
\text{площадь одной грани пирамиды}& = \frac{1}{2}b\times {h}_{s} \\
& = \frac{1}{2}\times 20 \times \text{13,3} \\
& = \text{133}\text{см$^{2}$}
\конец{выравнивание*}
9{3} \\
& = \frac{4}{3} \pi (\text{512}) \\
& = \frac{2048}{3} \pi \\
& = \text{2 144,6605.
..}
\end{align*}
Следовательно, объем сферы равен \(\text{2 144,66}\) единиц 3 .
Фигура здесь конус. Высота конуса по вертикали равна \(H = \text{7}\) единиц, а наклон высота равна \(h = \text{7,28}\) единиц; показан радиус конуса, \(r = \text{2}\) единиц. Рассчитать объем фигуры. Округлите ответ до двух знаков после запятой. 9{2} (\текст{7}) \\ & = \frac{1}{3} \pi (\text{4})(\text{7}) \\ & = \frac{28}{3}\pi \\ & = \текст{29,3215…} \конец{выравнивание*}
Следовательно, объем конуса равен \(\text{29,32}\) единиц 3 .
Фигура здесь представляет собой пирамиду с квадратным основанием. Высота пирамиды по вертикали равна \(H = \text{8}\)
единиц, а наклонная высота равна \(h = \text{8,94}\) единиц; каждая сторона основания пирамиды равна \(b =
\text{8}\) единиц. Округлите ответ до двух знаков после запятой.
3$ потому что он трехмерный, но $\frac{4}{3}$ такой случайный! Как кто-то мог предположить что-то подобное для формулы?
- геометрия
- объем
- объемная геометрия
- сферы
$\endgroup$
6
$\begingroup$
В дополнение к уже упомянутым методам исчисления, Паппа и Архимеда, принцип Кавальери может быть полезен для такого рода задач.
Предположим, у вас есть две сплошные фигуры, выстроенные рядом друг с другом, каждая из которых помещается между одними и теми же двумя параллельными плоскостями. (Например, две стопки монет одной высоты, лежащие на столе). Затем рассмотрите возможность разрезания двух твердых тел плоскостью, параллельной данным двум и находящейся между ними. Если образованная таким образом площадь поперечного сечения каждого из тел одинакова для любой такой плоскости, то объемы тел одинаковы.
2)$. То же самое и с поперечным сечением полусферы, как вы можете видеть, выполняя теорему Пифагора с любым вектором из центра сферы в точку на сфере на высоте y, чтобы получить радиус поперечного сечения (которое круглое). 93.
\end{выравнивание*}
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Добавлю китайскую версию для интереса.
У древних китайцев был другой способ расчета этого объема.
Принцип тот же, что и принцип Кавальери; разница заключается в использовании пересечения двух перпендикулярных цилиндров, «бицилиндра», для упаковки сферы. Китайское название этой формы — 牟合方蓋 или «моухефангай» (что означает два квадратных зонтика). 92}=\dfrac{\pi}{4}$.
Теперь встает вопрос расчета объема бицилиндра (белого цвета). Это тоже очень сложно, поэтому добавьте куб (красный), упаковывающий бицилиндр (белый).
Теперь, когда плоскость пересекает куб, он образует еще один квадрат большего размера. Дополнительная площадь в большом квадрате (большой квадрат из куба минус меньший квадрат из бицилиндра) такая же, как $4$ маленьких квадратов (синие). При движении плоскости, пересекающей твердые тела, эти синие квадраты образуют в углах куба $4$ маленьких пирамиды со сторонами равнобедренного треугольника и вершиной на краю куба. При перемещении по всему бицилиндру получается всего $8$ пирамид. 93$.
Теперь вы можете видеть, что $3$ — это пирамиды, а $4$ — кубы! Они не случайны.
На этом рисунке показаны геометрические взаимосвязи.
$\endgroup$
$\begingroup$
Теорема Паппа о центроиде (вторая теорема) утверждает, что объем твердого тела, образованного вращением области вокруг оси, равен произведению площади области на расстояние, пройденное центром тяжести области при ее вращении.
3$. 91}{3!!} = \frac{4 \pi}{3}$.
Смысл этого в том, чтобы показать вам, что общая формула также включает множители в знаменателе и что формула для $n=3$ не является «случайной», а скорее соответствует общей схеме.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
На приведенной ниже диаграмме слева будем считать, что размер $\треугольника PQR$ бесконечно мал по сравнению с $\треугольником PNO$, и, таким образом, зеленая дуга и отрезок $\overline{PR}$ равны практически равны по длине. Обратите внимание, что $\angle NPO$ и $\angle QPR$ дополняют $\angle OPQ$ и, следовательно, равны. Таким образом, прямоугольные треугольники $\треугольник PNO$ и $\треугольник PQR$ подобны (соответствующие стороны окрашены одинаково). Поскольку $\треугольник PNO$ и $\треугольник PQR$ подобны,
$$
\overline{NP}\cdot\overline{PR}=\overline{OP}\cdot\overline{PQ}\tag{1}
$$
Внутренняя окружность зеленого кольца на сфере справа равна $2\pi\overline{NP}$, а внешняя окружность равна $2\pi\left(\overline{NP}+\overline{QR}\right)$, а его ширина $\overline{PR}$.
Следовательно, его площадь находится между $2\pi\overline{NP}\cdot\overline{PR}$ и $2\pi\left(\overline{NP}+\overline{QR}\right)\cdot\overline{PR} $.
Окружность красной полосы на цилиндре справа равна $2\pi\overline{OP}$, а ширина — $\overline{PQ}$. Следовательно, его площадь равна $2\pi\overline{OP}\cdot\overline{PQ}$.
Согласно $(1)$, разница между площадью зеленого кольца на сфере и красной полосой на цилиндре меньше $2\pi\overline{QR}\cdot\overline{PR}$. Суммирование $\overline{QR}$ при движении вниз по сфере дает $2\overline{OP}$ (один при увеличении $\overline{NP}$ и один при уменьшении), таким образом, разница между площадью сферы и площадь цилиндра меньше, чем $4\pi\overline{OP}\cdot\max\overline{PR}$, которую можно сделать равной нулю, сделав $\overline{PR}$ сколь угодно малой. 93\тег{2} $$
$\endgroup$
0
$\begingroup$
Это впервые «угадал» Архимед, на какую долю объема цилиндра приходится сфера.
То есть сфера, которая содержится внутри этого цилиндра. Из этого он вычислил $4/3$.
В наши дни это можно сделать с помощью математических инструментов. Один из способов — использовать [Метод диска] над графом полукруга. Другой вариант — использовать сферические координаты и вычислить 3D-интеграл. 93$. Но это может быть то, что вы сказали, но просто уточняю.
$\endgroup$
$\begingroup$
Я хотел опубликовать это как комментарий к ответу Джастина Л., но это моя первая публикация здесь, поэтому я не смог. Архимед так гордился своим доказательством того, что объем сферы составляет две трети объема цилиндра той же высоты и диаметра, что попросил поставить на его могиле скульптуру, иллюстрирующую это. Позже гробница была найдена римским оратором Цицероном, который описывает ее следующим образом:
«Мне удалось разыскать его могилу. Сиракузяне ничего о ней не знали, да и отрицали существование чего-либо подобного. Но вот она, полностью окруженная и скрытая кустами терновника и терновника. Я вспомнила, что слышала о какой-то простой строки стихов, которые были начертаны на его могиле, относящиеся к сфере и цилиндру, вылепленным из камня на вершине могилы. Итак, я внимательно осмотрел все многочисленные гробницы, стоящие у Агригентинских ворот. Наконец, я заметил кое-что. колонна едва видна над кустарником: она была увенчана сферой и цилиндром».
Американский художник Бенджамин Уэст вообразил эту сцену на своей картине 1797 года «Цицерон, открывающий гробницу Архимеда».
$\endgroup$
0
$\begingroup$
Чтобы расширить то, что сказал anosov_diffeomorphism:
Предположим, мы согласны с тем, что площадь поверхности сферы равна 4 π r 2 (Если мы не согласны с этим, это был бы отличный вопрос, чтобы задать на этом сайте , а затем кто-то может отредактировать этот ответ, чтобы сослаться на него!). {r_2}$ 4 π r 93$.
(Хотя должен признать, что мне это больше нравилось как способ вывести формулу площади поверхности из объема.)
$\endgroup$
5
$\begingroup$
Архимед обнаружил, что объем мяча составляет 2/3 объема окружающего его цилиндра: внутри помещается шляпная коробка с баскетбольным мячом. Почему именно 2/3 ? Это чистая красота математики. Архимед нашел этот прекрасный результат и так полюбил сферы и цилиндры.
Каков объем цилиндра ?
V C = площадь основного диска × высота
- Площадь основного диска π r 2 . Архимед также нашел этот результат и доказал его. Примем это пока.
- Высота цилиндра равна общей высоте шара, поэтому 2 r .
So V C = π r 2 × 2 92 .t$ действителен при использовании школьной математики и без исчисления.
Смоделируем сферу (радиус $R$) как набор концентрических, соприкасающихся оболочек общей толщины $t$. Самая внешняя оболочка определяется внешней сферой (нулевой толщины) радиуса $R$ и внутренней сферой (нулевой толщины) радиуса $R-t$. Самая внутренняя оболочка определяется внешней (нулевой толщины) сферой радиуса $t$, а ее внутренней границей является центр сферы; поэтому самая внутренняя оболочка представляет собой небольшую сферу. 93$.
Примечание. Я использую термин в масштабе специально, чтобы избежать путаницы в использовании умножения и сложения.
Доказательство (противоречие): если вы сложите горизонтальную и вертикальную поверхности-компоненты сферы, вы обнаружите, что у вас есть длина окружности, умноженная на скалярный коэффициент 2 или $(2\pi r)_{ xy}+(2\pi r)_{xz}=4\pi r=2*2\pi r$.
Доказательство (путем концептуализации): Вы интегрируете трехмерный объект, высота которого (в плоскости xy) = $r_{xy}$, а ширина (в плоскости xz) = $r_{xz }$. 9{2}} \ underbrace {\, {\ rm d} \ left (h ‘\ over h \ right)} _ {\ vphantom {\ Large A} 1} \конец{массив} $$
Также по теореме Гаусса любой объем есть сумма пирамид: $$ В «=» \int_{V}{\rm d}V «=» \int_{V}{\nabla\cdot\vec{r} \over 3}\,{\rm d}V «=» \int_{V}{\vec{r}\cdot{\rm d}\vec{S} \over 3} $$ Мы можем думать, что конус — это «идеальная сумма пирамид», так как нам просто нужно интегрировать (с вершинами в качестве начала координат) над основанием.
$\endgroup$
$\begingroup$ 93$$
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Рассмотрим следующую сферу радиуса r с вписанной пирамидой с площадью основания G:
Объем вписанной пирамиды можно вычислить следующим образом:
$V_{pyramid} = \frac{1}{ 3} \cdot G \cdot r$
Обратите внимание, что теперь мы можем выразить $V_{сфера}$ как сумму объемов бесконечно малых пирамид по всей площади поверхности сферы, где $A_{сфера} = 4 \cdot \pi \cdot r^2$.