Математика 6 класс виленкин номер 60 в столбик: Номер №60 - ГДЗ по Математике 6 класс: Виленкин Н.Я.

Содержание

Номер №60 — ГДЗ по Математике 6 класс: Виленкин Н.Я.

войтирегистрация

Ответкин
Решебники
6 класс
Математика
Виленкин
Номер №60

НАЗАД К СОДЕРЖАНИЮ

2013г.ВыбранВыбрать ГДЗ (готовое домашние задание из решебника) на Номер №60 по учебнику Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 30-е издание. Мнемозина, 2013г.

2019г.ВыбранВыбрать ГДЗ (готовое домашние задание из решебника) на Номер №60 по учебнику Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных организаций / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 37-е издание в двух частях. Мнемозина, 2019г.

Условие 20132019г.

Cменить на 2013 г.

Cменить на 2019 г.

Найдите значение выражения:
а) (93 * 7 + 141) : 72;
б) (357 — 348 : 6) * 4;
в) 7091 + 9663 — (243 916 + 75 446) : 527 : 3;
г) 8607 + 7605 + (376 012 — 83 314) : 414 : 7.

Выберите из дробей 5/7, 8/9, 13/19, 18/18, 5/4, 4/5, 125/126 и 384/383 сначала все правильные дроби, а затем неправильные.

Решение 1

Решение 2

Решение 3

ГДЗ по Математике 6 класс: Виленкин Н.Я.

Издатель: Виленкин Н.Я. Жохов В.И. Чесноков А.С. Шварцбурд С.И. 2013/2019г.

ГДЗ по Математике 6 класс: Мерзляк А. Г.

Издатель: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. 2014г. / 2019г.

ГДЗ по Математике 6 класс: Никольский С.М.

Издатель: С.М. Никольский, М.К, Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. 2015-2018

ГДЗ по Математике 6 класс: Зубарева, Мордкович

Издатель: И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. 2014-2019г.

ГДЗ по Математике 6 класс: Дорофеев Г.В.

Издатель: Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова. 2016-2019г.

Сообщить об ошибке

Выберите тип ошибки:

Решено неверно

Опечатка

Плохое качество картинки

Опишите подробнее
в каком месте ошибка

Ваше сообщение отправлено
и скоро будет рассмотрено

ОК, СПАСИБО

[email protected]

Классы

Предметы

ГДЗ Математика 6 класс Капустина

Авторы:Капустина, Перова

Изд-во:Просвещение

Вид УМК:учебник

Серия:

Найди ответ по номеру задания

Контрольные задания

1234567891011121314151617181920

2122232425262728293031323334353637383940

4142434445464748495051525354555657585960

6162636465666768697071727374757677787980

81828384858687888990919293949596979899100

101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120

121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140

141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160

161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180

181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200

201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220

221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240

241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260

261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280

281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300

301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320

321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340

341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360

361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380

381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400

401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420

421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440

441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460

461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480

481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500

501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520

521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540

541542543544545546547548549550551552553554555556557558559560

561562563564565566567568569570571572573574575576577578579580

581582583584585586587588589590591592593594595596597598599600

601602603604605606607608609610611612613614615616617618619620

621622623624625626627628629630631632633634635636637638639640

641642643644645646647648649650651652653654655656657658659660

661662663664665666667668669670671672673674675676677678679680

681682683684685686687688689690691692693694695696697698699700

701702703704705706707708709710

Топовые ГДЗ по другим предметам

org/Book»>Учебник
Учебник
Учебник
Учебник
Учебник
Контурные
Учебник
Учебник
Учебник
Тетрадь
Тетрадь
Контурные

Подробные решения по математике за 6 класс авторы Капустина, Перова

Подытоживая изучение классического математического школьного курса учащиеся повторяют материал дисциплины, изучают наиболее сложные темы именно в 6-м классе. Чтобы справиться со всеми возможными трудностями, возникающими в ходе изучения предмета, эксперты предлагают включить в практику самоподготовку. Для ее проведения понадобятся гдз по математике за 6 класс Капустина, а также ответственность, целеустремленность в достижении своих целей. Не рекомендуется делать пропуски в занятиях сверх 15 дней подряд. Для максимума результативности следует заниматься ежедневно, выделяя минимум час в день на такую работу.

Для кого предназначены онлайн справочники?

Среди тех, кто применяет верные ответы по математике 6 класс Капустина в своей практике можно встретить таких пользователей:

математически одаренных и заинтересованных в науке подростков, особенно тех, кто в школе изучает курс предмета по другим дисциплинам. Как правило, эти дети активно принимают участие в математических олимпиадных, научных, конкурсных программах. Для них площадка станет источником дополнительных знаний, дающих конкурентное преимущество на этих мероприятиях;

слабо успевающих по дисциплине школьников. Изучая правильное решение, ответы на задания, они разбираются в их выполнении, запоминают и впоследствии самостоятельно отрабатывают на практике приведенные в сборнике алгоритмы;
репетиторов, которые при помощи площадки смогут понять и внедрить в свою практику требования образовательных Стандартов при решении и оформлении работы, что важно, чтобы не потерять баллы на экзаменах, ВПР, олимпиадах, зачетах по дисциплине;
родителей шестиклассников, которые, не внедряясь глубоко в курс предмета, стремятся проверить качество и уровень знаний своего ребенка, степень его подготовленности к контрольной, самостоятельной, иной проверочной работе в классе.

Безусловные преимущества применения онлайн помощников

Многие, но пока еще не все учителя и родители разделяют точку зрения о полезности еуроки ГДЗ. Хотя с каждым днем их становится все больше и больше. Их убеждают такие плюсы решебников:

доступность этих материалов постоянно, для всех, в круглосуточном режиме;
понятность, ясность подачи информации, простота применения этого полезного источника;
возможность заменить им альтернативную платную помощь, например, репетиторскую или посещение курсов и кружков, что существенно сэкономит семейный бюджет;
минимальное время, которое потребуется затратить на поиск и применение ответа, что важно в условиях ограниченности срока на решение задачи.

Используя готовые решения по математике за 6 класс (авторы Капустина, Перова), учащиеся смогут научиться работать со справочниками, научно-познавательной, учебной литературой. Это пригодится им и в школе, и потом, после окончания этого и последующих учебных заведений (колледжей, ВУЗов и пр.

Как найти наименьшее общее кратное трех чисел. Как найти НОК (наименьшее общее кратное)

Рассмотрим три способа нахождения наименьшего общего кратного.

Разложение на множители

Первый способ — найти наименьшее общее кратное, разложив заданные числа на простые множители.

Предположим, нам нужно найти НОК чисел: 99, 30 и 28. Для этого разложим каждое из этих чисел на простые множители:

Чтобы искомое число делилось на 99, 30 и 28 необходимо и достаточно, чтобы в него входили все простые множители этих делителей. Для этого нам нужно возвести все простые множители этих чисел в наивысшую степень и умножить их вместе:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Итак, LCM (99, 30, 28) = 13 860 . Никакое другое число меньше 13 860 не делится без остатка на 99, 30 или 28.

Чтобы найти наименьшее общее кратное заданных чисел, вам нужно разложить их на простые множители, затем взять каждый простой множитель с наибольшим показателем степени, с которым он происходит, и перемножить эти факторы вместе.

Поскольку взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, три числа: 20, 49 и 33 взаимно просты. Итак,

НОК (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

То же самое следует делать при поиске наименьшего общего кратного различных простых чисел. Например, НОК (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Нахождение методом выбора

Второй способ — найти наименьшее общее кратное методом подбора.

Пример 1. Когда наибольшее из заданных чисел делится без остатка на другие заданные числа, то НОК этих чисел равен большему из них. Например, даны четыре числа: 60, 30, 10 и 6. Каждое из них делится на 60, поэтому:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

В остальных случаях найти наименьшее кратно, используется следующая процедура:

Определите наибольшее число из заданных чисел.
Далее находим числа, кратные наибольшему числу, умножая его на натуральные числа в порядке возрастания и проверяя, делятся ли остальные заданные числа на полученное произведение.

Пример 2. Даны три числа 24, 3 и 18. Определить наибольшее из них — это число 24. Далее найти числа, кратные 24, проверив, делится ли каждое из них на 18 и на 3:

24 1 = 24 делится на 3, но не делится на 18.

24 2 = 48 — делится на 3, но не делится на 18.

24 3 = 72 — делится на 3 и 18.

Итак, НОК(24, 3, 18) = 72.

Нахождение методом последовательного нахождения НОК

Третий способ — найти наименьшее общее кратное путем последовательного нахождения НОК.

НОК двух заданных чисел равен произведению этих чисел, деленному на их наибольший общий делитель.

Пример 1. Найти НОК двух заданных чисел: 12 и 8. Определить их наибольший общий делитель: НОД (12, 8) = 4. Умножить эти числа:

Делим произведение на их НОД:

Итак НОД (12, 8) = 24.

Чтобы найти НОК трех или более чисел, используется следующая процедура:

Сначала находится НОК любых двух из заданных чисел.
Затем НОК найденного наименьшего общего кратного и третьего заданного числа.
Затем НОК полученного наименьшего общего кратного и четвертого числа и так далее.
Таким образом, поиск LCM продолжается до тех пор, пока есть числа.

Пример 2. Найдем НОК трех заданных чисел: 12, 8 и 9. Мы уже нашли НОК чисел 12 и 8 в предыдущем примере (это число 24). Осталось найти наименьшее общее кратное 24 и третье заданное число — 9. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (24, 9) = 3. Умножаем НОК на число 9:

Делим произведение на их НОД:

Итак, НОК(12, 8, 9) = 72.

Как найти наименьшее общее кратное?

Необходимо найти каждый делитель каждого из двух чисел, для которых находим наименьшее общее кратное, а затем умножить делители, совпавшие с первым и вторым числами, друг на друга. Результат произведения будет искомым кратным.

Например, у нас есть числа 3 и 5 и нам нужно найти НОК (наименьшее общее кратное). Нам надо умножить и три и пять для всех чисел начиная с 1 2 3… и так далее, пока мы не увидим одно и то же число и там и там.

Умножаем тройку и получаем: 3, 6, 9, 12, 15

Умножьте пять и получите: 5, 10, 15

Метод простой факторизации является наиболее классическим методом нахождения наименьшего общего кратного (НОК) нескольких чисел. Этот метод наглядно и просто продемонстрирован в следующем видео:

Сложение, умножение, деление, приведение к общему знаменателю и другие арифметические действия — очень увлекательное занятие, особенно восхищают примеры, занимающие целый лист.

Итак, найдите общее кратное двух чисел, которое будет наименьшим числом, на которое делятся два числа. Хочу отметить, что не обязательно в дальнейшем прибегать к формулам, чтобы найти искомое, если вы умеете считать в уме (а это можно натренировать), то цифры сами всплывают в голове и далее дроби щелкают, как орехи.

Для начала узнаем, что мы можем умножать два числа друг на друга, а затем уменьшать эту цифру и делить поочередно на эти два числа, так мы найдем наименьшее кратное.

Например, два числа 15 и 6. Перемножаем и получаем 90. Это явно большее число. Более того, 15 делится на 3, а 6 делится на 3, значит 90 тоже делим на 3. Получаем 30. Пробуем разделить 30 на 15 это 2. А 30 делит 6 это 5. Так как 2 это предел, получается, что наименьшее кратное для чисел 15 и 6 будет 30.

С большим количеством номеров будет немного сложнее. но если знать, какие числа дают нулевой остаток при делении или умножении, то, в принципе, больших трудностей нет.

Как найти NOC
Вот видео, которое покажет вам два способа нахождения наименьшего общего кратного (НОК). Попрактиковавшись в использовании первого из предложенных способов, вы сможете лучше понять, что такое наименьшее общее кратное.

Вот еще один способ найти наименьшее общее кратное. Давайте рассмотрим наглядный пример. 91 = 4457 = 560.

НОК(16, 20, 28) = 560.

Таким образом, в результате расчета получилось число 560. Оно является наименьшим общим кратным, то есть делится без остатка на каждое из трех чисел.

Наименьшее общее кратное — это число, которое можно разделить на несколько заданных чисел без остатка. Для того, чтобы рассчитать такую цифру, нужно взять каждое число и разложить его на простые множители. Те номера, которые совпадают, удаляются. Выходит каждый по одному, перемножаем их между собой по очереди и получаем искомое — наименьшее общее кратное.

NOC или наименьшее общее кратное — это наименьшее натуральное число из двух или более чисел, которое делится на каждое из данных чисел без остатка.

Вот пример того, как найти наименьшее общее кратное чисел 30 и 42.

Первый шаг — разложить эти числа на простые множители.

Для 30 это 2 x 3 x 5.

Для 42 это 2 х 3 х 7. Так как 2 и 3 находятся в разложении числа 30, мы их вычеркиваем.

Выписываем множители, которые входят в разложение числа 30. Это 2 х 3 х 5.
Теперь нужно их умножить на недостающий множитель, который мы имеем при разложении 42, а это 7. Получаем 2 х 3 х 5 х 7.
Находим, чему равно 2 х 3 х 5 х 7 и получаем 210.

В итоге получаем, что НОК чисел 30 и 42 равен 210.

Чтобы найти наименьшее общее кратное , вам нужно последовательно выполнить несколько простых шагов. Рассмотрим это на примере двух чисел: 8 и 12

Разложим оба числа на простые множители: 8=2*2*2 и 12=3*2*2
Уменьшаем одинаковые множители для одного из чисел. В нашем случае совпадут 2*2, уменьшим их на число 12, тогда 12 будет иметь один множитель: 3.
Найдите произведение всех остальных множителей: 2*2*2*3=24

Проверяя, убеждаемся, что 24 делится и на 8, и на 12, и это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел. Здесь нам найти наименьшее общее кратное .

Попробую объяснить на примере чисел 6 и 8. Наименьшее общее кратное — это число, которое можно разделить на эти числа (в нашем случае 6 и 8) и остатка не будет.

Итак, начинаем умножать первые 6 на 1, 2, 3 и т. д. и 8 на 1, 2, 3 и т.д.

Математические выражения и задачи требуют много дополнительных знаний. NOC — один из основных, особенно часто используемый в теме. Тема изучается в старших классах, при этом усвоить материал не представляет особой сложности, человеку знакомому со степенями и таблицей умножения не составит труда подобрать нужные числа и найти результат.

Определение

Общее кратное — это число, которое можно полностью разделить на два числа одновременно (a и b). Чаще всего это число получается путем умножения исходных чисел а и b. Число должно делиться на оба числа сразу, без отклонений.

NOC — это короткое имя, состоящее из первых букв.

Способы получения числа

Для нахождения НОК не всегда подходит метод умножения чисел, гораздо лучше он подходит для простых однозначных или двузначных чисел. Принято делить на факторы, чем их больше, тем больше будет факторов.

Пример #1

В качестве простейшего примера школы обычно принимают простые однозначные или двузначные числа. Например, вам нужно решить следующую задачу, найти наименьшее общее кратное чисел 7 и 3, решение достаточно простое, достаточно их перемножить. В итоге есть число 21, меньшего числа просто нет.

Пример #2

Второй вариант намного сложнее. Даны цифры 300 и 1260, нахождение LCM обязательно. Для решения задачи предполагаются следующие действия:

Разложение первого и второго чисел на простейшие множители. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Первый этап пройден.

Второй этап предполагает работу с уже полученными данными. Каждое из полученных чисел должно участвовать в подсчете итогового результата. Для каждого фактора берется наибольшее количество вхождений из исходных чисел. НОК является общим числом, поэтому множители из чисел должны повторяться в нем до последнего, даже те, которые присутствуют в одном экземпляре. Оба начальных числа имеют в своем составе числа 2, 3 и 5, в разной степени, 7 только в одном случае.

Чтобы вычислить окончательный результат, вам нужно взять каждое число в наибольшей из представленных степеней в уравнение. Осталось только умножить и получить ответ, при правильном заполнении задание укладывается в два шага без объяснения причин:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7.

2) NOK = 6300.

Вот и вся задача, если попытаться вычислить нужное число путем умножения, то ответ точно будет неверным, так как 300 * 1260 = 378000.

Экспертиза:

6300/300 = 21 — верно;

6300/1260 = 5 правильно.

Правильность результата определяется проверкой — делением НОК на оба исходных числа, если число в обоих случаях целое, то ответ правильный.

Что означает NOC в математике

Как известно, в математике нет ни одной бесполезной функции, эта не исключение. Наиболее распространенное назначение этого числа — приведение дробей к общему знаменателю. Что обычно изучают в 5-6 классах средней школы. Это также дополнительно общий делитель для всех кратных, если такие условия есть в задаче. В таком выражении можно найти кратное не только двум числам, но и гораздо большему числу — трем, пяти и так далее. Чем больше цифр — тем больше действий в задании, но сложность от этого не увеличивается.

Например, зная числа 250, 600 и 1500, нужно найти их сумму НОК:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 — в этом примере описывается факторизация в подробно, без уменьшения.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 * 5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 * 2 2 ;

Для составления выражения требуется назвать все множители, в данном случае даны 2, 5, 3 — для всех этих чисел требуется определить максимальную степень.

Внимание: все множители необходимо привести к полному упрощению, по возможности разложив до уровня однозначных цифр.

Экспертиза:

1) 3000/250 = 12 — верно;

2) 3000/600 = 5 — верно;

3) 3000/1500 = 2 верно.

Этот способ не требует никаких хитростей или способностей гениального уровня, все просто и понятно.

Другой способ

В математике многое связано, многое можно решить двумя и более способами, то же самое касается нахождения наименьшего общего кратного, НОК. Следующий метод можно использовать в случае простых двузначных и однозначных чисел. Составляется таблица, в которую множитель вносится по вертикали, множитель по горизонтали, а произведение указывается в пересекающихся ячейках столбца. Отразить таблицу можно с помощью линии, берется число и результаты умножения этого числа на целые числа записываются в ряд, от 1 до бесконечности, иногда достаточно 3-5 точек, подвергается второе и последующие числа одному и тому же вычислительному процессу. Все происходит до тех пор, пока не будет найдено общее кратное.

По числам 30, 35, 42 нужно найти МОК, соединяющий все числа:

1) Кратные 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т. д.

2 ) Кратные 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т. д.

3) Кратные 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т. д.

Заметно, что все цифры довольно разные, единственный общий номер среди них 210, так что это будет LCM. Среди процессов, связанных с этим вычислением, есть и наибольший общий делитель, который вычисляется по сходным принципам и часто встречается в соседних задачах. Разница небольшая, но достаточно существенная, НОК предполагает вычисление числа, которое делится на все заданные начальные значения, а НОД предполагает вычисление наибольшего значения, на которое делятся начальные числа.

Кратность числа — это число, которое делится на данное число без остатка. Наименьшее общее кратное (НОК) группы чисел — это наименьшее число, которое делится без остатка на каждое число в группе. Чтобы найти наименьшее общее кратное, нужно найти простые делители данных чисел. Кроме того, LCM можно рассчитать с помощью ряда других методов, применимых к группам из двух и более чисел.

Шаги

Количество кратных

Посмотрите на эти номера. Описанный здесь метод лучше всего использовать, когда заданы два числа, каждое из которых меньше 10. Если даны большие числа, используйте другой метод.

Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 5 и 8. Это небольшие числа, поэтому можно использовать этот метод.

Кратное число — это число, которое делится на данное число без остатка. В таблице умножения можно найти несколько чисел.

Например, числа, кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

Запишите ряд чисел, кратных первому числу. Сделайте это под кратным первому числу, чтобы сравнить две строки чисел.

Например, числа, кратные 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 и 64.

Найдите наименьшее число, которое встречается в обеих сериях кратных. Возможно, вам придется написать длинный ряд множителей, чтобы найти сумму. Наименьшее число, встречающееся в обоих рядах кратных, является наименьшим общим кратным.

Например, наименьшее число, встречающееся в ряду кратных 5 и 8, равно 40. Следовательно, 40 является наименьшим общим кратным 5 и 8.

Простая факторизация

Посмотрите на эти цифры. Описанный здесь метод лучше всего использовать, когда заданы два числа, оба из которых больше 10. Если даны меньшие числа, используйте другой метод.
- Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 20 и 84. Каждое из чисел больше 10, поэтому можно использовать этот метод.
Разложить первое число на множители. То есть нужно найти такие простые числа, при умножении которых получится заданное число. Найдя простые множители, запишите их в виде равенства.
- Например, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2))\times 10=20) и 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2))\times (\mathbf (5) ) )=10). Таким образом, простыми делителями числа 20 являются числа 2, 2 и 5. Запишите их в виде выражения: .
Разложите второе число на простые множители. Сделайте это так же, как разложили на множители первое число, то есть найдите такие простые числа, при умножении которых получится это число.
- Например, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2))\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7))\times 6=42) и 3 × 2 = 6 (\ Displaystyle (\ mathbf (3)) \ раз (\ mathbf (2)) = 6). Таким образом, простыми делителями числа 84 являются числа 2, 7, 3 и 2. Запишите их в виде выражения: .
Запишите множители, общие для обоих чисел. Запишите такие множители как операцию умножения. Записывая каждый множитель, вычеркивайте его в обоих выражениях (выражениях, описывающих разложение чисел на простые множители).
- Например, общий делитель для обоих чисел равен 2, поэтому напишите 2 × (\displaystyle 2\times ) и вычеркните 2 в обоих выражениях.
- Общим множителем для обоих чисел является еще один множитель 2, поэтому напишите 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) и вычеркните вторые 2 в обоих выражениях.
Добавьте оставшиеся множители к операции умножения. Это множители, не вычеркнутые в обоих выражениях, то есть множители, не являющиеся общими для обоих чисел.
- Например, в выражении 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) обе двойки (2) зачеркнуты, поскольку они являются общими множителями. Множитель 5 не зачеркнут, поэтому запишите операцию умножения следующим образом: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
- В выражении 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) обе двойки (2) также зачеркнуты. Множители 7 и 3 не зачеркнуты, поэтому запишите операцию умножения следующим образом: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).
Вычислить наименьшее общее кратное. Для этого умножьте числа в письменной операции умножения.
- Например, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Таким образом, наименьшее общее кратное чисел 20 и 84 равно 420.

Нахождение общих делителей

Нарисуйте сетку, как для игры в крестики-нолики. Такая сетка состоит из двух параллельных линий, которые пересекаются (под прямым углом) с двумя другими параллельными линиями. Это приведет к трем строкам и трем столбцам (сетка очень похожа на знак #). Запишите первое число в первой строке и во втором столбце. Запишите второе число в первой строке и третьем столбце.
- Например, найдите наименьшее общее кратное 18 и 30. Напишите 18 в первой строке и втором столбце и напишите 30 в первой строке и третьем столбце.
Найдите общий делитель обоих чисел. Запишите его в первой строке и первом столбце. Лучше искать простые делители, но это не обязательное условие.
- Например, 18 и 30 — четные числа, поэтому их общий делитель равен 2. Поэтому запишите 2 в первой строке и первом столбце.
Разделите каждое число на первый делитель. Запишите каждое частное под соответствующим номером. Частное есть результат деления двух чисел.
- Например, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), поэтому вместо 18 напишите 9.
- 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), поэтому пишите 15 под 30.
Найдите делитель, общий для обоих частных. Если такого делителя нет, пропустите следующие два шага. В противном случае запишите делитель во второй строке и первом столбце.
- Например, 9 и 15 делятся на 3, поэтому напишите 3 во второй строке и первом столбце.
Разделите каждое частное на второй делитель. Запишите каждый результат деления под соответствующим частным.
- Например, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), поэтому запишите 3 под 9.
- 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), поэтому пишите 5 под 15.
При необходимости дополнить сетку дополнительными ячейками. Повторяйте описанные выше шаги, пока у частных не будет общего делителя.
Обведите числа в первом столбце и последней строке сетки. Затем запишите выделенные числа как операцию умножения.
- Например, числа 2 и 3 находятся в первом столбце, а числа 3 и 5 — в последней строке, поэтому запишите операцию умножения следующим образом: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\раз 3\раз 5).
Найдите результат умножения чисел. Это вычислит наименьшее общее кратное двух заданных чисел.
- Например, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Таким образом, наименьшее общее кратное 18 и 30 равно 90.

Алгоритм Евклида

Запомните терминологию, связанную с операцией деления. Делимое — это число, которое делится. Делитель – это число, на которое нужно делить. Частное есть результат деления двух чисел. Остаток — это число, оставшееся после деления двух чисел.
- Например, в выражении 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) остальное. 3:
  15 — делимое
  6 — делитель
  2 — частное
  3 — остаток.

Наименьшее общее кратное двух чисел напрямую связано с наибольшим общим делителем этих чисел. Эта связь между GCD и NOC определяется следующей теоремой.

Теорема.

Наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел a и b равно произведению чисел a и b на наибольший общий делитель чисел a и b, то есть НОКМ(a, b)=a b: GCM(a, b ).

Доказательство.

Пусть M кратно числам a и b. То есть M делится на a, и по определению делимости существует некоторое целое число k такое, что выполняется равенство M=a·k. Но M также делится на b, тогда a k делится на b.

Обозначим gcd(a, b) как d . Тогда мы можем записать равенства a=a 1 ·d и b=b 1 ·d, и a 1 =a:d и b 1 =b:d будут взаимно простыми числами. Поэтому полученное в предыдущем абзаце условие, что a k делится на b, можно переформулировать следующим образом: a 1 d k делится на b 1 d , а это в силу свойств делимости эквивалентно условию, что a 1 k делится на b один.

Нам также необходимо записать два важных следствия из рассматриваемой теоремы.

Общие кратные двух чисел равны кратным их наименьшему общему кратному.

Это верно, так как любое общее кратное M чисел a и b определяется равенством M=LCM(a, b) t для некоторого целого значения t .

Наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.

Обоснование этого факта вполне очевидно. Так как a и b взаимно просты, то gcd(a, b)=1 , следовательно, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Наименьшее общее кратное трех или более чисел

Нахождение наименьшего общего кратного трех или более чисел можно свести к последовательному нахождению НОК двух чисел. Как это делается, показано в следующей теореме. a 1 , a 2 , …, a k совпадают с общими кратными чисел m k-1 и a k , следовательно, совпадают с кратными m k . А так как наименьшим положительным кратным числа m k является само число m k, то наименьшим общим кратным чисел a 1 , a 2 , …, a k является m k .

Библиография.

Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
Виноградов И.М. Основы теории чисел.
Михелович Ш.Х. Теория чисел.
Куликов Л.Я. и другие. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебник для студентов физ.-мат. специальности педагогических институтов.

Наименьшее кратное 3 5. Как найти наименьшее общее кратное

Определение

NOC — это короткое имя, состоящее из первых букв.

Способы получения числа

Пример #1

В качестве простейшего примера школы обычно используют простые однозначные или двузначные числа. Например, вам нужно решить следующую задачу, найти наименьшее общее кратное чисел 7 и 3, решение достаточно простое, достаточно их перемножить. В итоге есть число 21, меньшего числа просто нет.

Пример #2

Разложение первого и второго чисел на простейшие множители. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Первый этап пройден.

Второй этап предполагает работу с уже полученными данными. Каждое из полученных чисел должно участвовать в подсчете итогового результата. Для каждого фактора берется наибольшее количество вхождений из исходных чисел. НОК является обычным числом, поэтому множители из чисел должны повторяться в нем до последнего, даже те, которые присутствуют в одном экземпляре. Оба начальных числа имеют в своем составе числа 2, 3 и 5, в разной степени, 7 только в одном случае.

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7.

2) NOK = 6300.

Экспертиза:

6300/300 = 21 — верно;

6300/1260 = 5 правильно.

Что означает NOC в математике

Например, зная числа 250, 600 и 1500, нужно найти их сумму НОК:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 — в этом примере описывается факторизация в подробно, без уменьшения.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 * 5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 * 2 2 ;

Экспертиза:

1) 3000/250 = 12 — верно;

2) 3000/600 = 5 — верно;

3) 3000/1500 = 2 верно.

Этот способ не требует никаких хитростей или способностей гениального уровня, все просто и понятно.

Другой способ

По числам 30, 35, 42 нужно найти МОК, соединяющий все числа:

1) Кратные 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т. д.

2 ) Кратные 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т. д.

3) Кратные 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т. д.

Признаки делимости натуральных чисел.

Числа, которые без остатка делятся на 2, называются четными .

Числа, которые не делятся без остатка на 2, называются нечетными .

Знак делимости на 2

Если запись натурального числа оканчивается на четную цифру, то это число делится на 2 без остатка, а если запись числа оканчивается на нечетную цифру, то это число не делится на 2 без остатка .

Например, цифры 6 0 , 30 8 , 8 4 без остатка делятся на 2, а числа 5 1 , 8 5 , 16 7 не делятся на 2 без остатка.

Знак делимости на 3

Если сумма цифр числа делится на 3, то число также делится на 3; Если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

Например, выясним, делится ли число 2772825 на 3. Для этого посчитаем сумму цифр этого числа: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 — делится на 3. Значит, число 2772825 делится на 3.

Знак делимости на 5

Если запись натурального числа оканчивается на 0 или 5, то это число делится на 5 без остатка. Если запись числа заканчивается другой цифрой, то число нельзя разделить на 5 без остатка.

Например, цифры 1 5 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 делятся без остатка на 5, а числа 1 7 , 37 8 , 9 1 не поделитесь.

Знак делимости на 9

Если сумма цифр числа делится на 9, то число также делится на 9; Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Например, выясним, делится ли число 5402070 на 9. Для этого посчитаем сумму цифр этого числа: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 — не делится делится на 9. Это означает, что число 5402070 не делится на 9.

Знак делимости на 10

Если запись натурального числа заканчивается цифрой 0, то это число без остатка делится на 10. Если запись натурального числа заканчивается другой цифрой, то оно не делится на 10 без остатка.

Например, числа 4 0 , 17 0 , 1409 0 без остатка делятся на 10, а числа 1 7 , 9 3 , 1430 7 — не делиться.

Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД).

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, необходимо:

2) из делителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;

3) найти произведение остальных множителей.

Пример. Найдем НОД (48;36). Воспользуемся правилом.

1. Разложим числа 48 и 36 на простые множители.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Из факторов, входящих в разложение числа 48, вычеркиваем те, которые не входят в разложение числа 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Имеются множители 2, 2 и 3.

3. Умножаем остальные множители и получаем 12. Это число является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12.

Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК).

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, нужно:

1) разложить их на простые множители;

2) выписать факторы, входящие в разложение одного из чисел;

3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;

4) найти произведение полученных множителей.

Пример. Найдем LCM (75;60). Воспользуемся правилом.

1. Разложим числа 75 и 60 на простые множители.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Запишите множители, входящие в разложение числа 75: 3, 5, 5.

НОК (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Прибавьте к ним недостающие множители из разложения числа 60, т.е. 2, 2.

НОЦ (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Найдите произведение полученных множителей

НОК (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Рассмотрим три способа нахождения наименьшего общего кратного.

Разложение на множители

Первый способ — найти наименьшее общее кратное, разложив заданные числа на простые множители.

Предположим, нам нужно найти НОК чисел: 99, 30 и 28. Для этого разложим каждое из этих чисел на простые множители:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Итак, LCM (99, 30, 28) = 13 860 . Никакое другое число меньше 13 860 не делится без остатка на 99, 30 или 28.

Поскольку взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, три числа: 20, 49 и 33 взаимно просты. Вот почему

НОК (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Нахождение методом выбора

Второй способ — найти наименьшее общее кратное методом подбора.

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

В остальных случаях найти наименьшее кратно, используется следующая процедура:

Определите наибольшее число из заданных чисел.
Далее находим числа, кратные наибольшему числу, умножая его на натуральные числа в порядке возрастания и проверяя, делятся ли остальные заданные числа на полученное произведение.

24 1 = 24 делится на 3, но не делится на 18.

24 2 = 48 — делится на 3, но не делится на 18.

24 3 = 72 — делится на 3 и 18.

Итак, НОК(24, 3, 18) = 72.

Нахождение методом последовательного нахождения НОК

Третий способ — найти наименьшее общее кратное путем последовательного нахождения НОК.

НОК двух заданных чисел равен произведению этих чисел, деленному на их наибольший общий делитель.

Делим произведение на их НОД:

Итак НОД (12, 8) = 24.

Чтобы найти НОК трех или более чисел, используется следующая процедура:

Сначала находится НОК любых двух из заданных чисел.
Затем НОК найденного наименьшего общего кратного и третьего заданного числа.
Затем НОК полученного наименьшего общего кратного и четвертого числа и так далее.
Таким образом, поиск LCM продолжается до тех пор, пока есть числа.

Пример 2. Найдем НОК трех заданных чисел: 12, 8 и 9. Мы уже нашли НОК чисел 12 и 8 в предыдущем примере (это число 24). Осталось найти наименьшее общее кратное 24 и третье заданное число — 9. Определяем их наибольший общий делитель: НОД(24, 9) = 3. Умножаем НОК на число 9:

Делим произведение на их НОД:

Значит НОК(12, 8, 9) = 72.

Теорема.

Доказательство.

Нам также необходимо записать два важных следствия из рассматриваемой теоремы.

Общие кратные двух чисел равны кратным их наименьшему общему кратному.

Наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.

Наименьшее общее кратное трех или более чисел

Библиография.

Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
Виноградов И.М. Основы теории чисел.
Михелович Ш.Х. Теория чисел.
Куликов Л.Я. и другие. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебник для студентов физ.-мат. специальности педагогических институтов.

Давайте начнем изучать наименьшее общее кратное двух или более чисел. В разделе мы дадим определение термина, рассмотрим теорему, устанавливающую связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем, и приведем примеры решения задач.

Обыкновенные кратные — определение, примеры

В этой теме нас будут интересовать только общие кратные целых чисел, отличных от нуля.

Определение 1

Общее кратное целых чисел — это целое число, кратное всем заданным числам. По сути, это любое целое число, которое можно разделить на любое из заданных чисел.

Определение общих кратных относится к двум, трем или более целым числам.

Пример 1

Согласно определению, данному выше для числа 12, общие кратные равны 3 и 2. Также число 12 будет общим кратным чисел 2 , 3 и 4 . Числа 12 и -12 являются кратными числам ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

При этом общим кратным для чисел 2 и 3 будут числа 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 и ряд любых других.

Если взять числа, которые делятся на первое число пары и не делятся на второе, то такие числа не будут общими кратными. Итак, для чисел 2 и 3 числа 16, − 27, 5009, 27001 не будут общими кратными.

0 является общим кратным любого набора ненулевых целых чисел.

Если вспомнить свойство делимости по отношению к противоположным числам, то окажется, что некоторое целое число k будет общим кратным этих чисел точно так же, как и число — k. Это означает, что общие делители могут быть как положительными, так и отрицательными.

Можно ли найти LCM для всех номеров?

Общее кратное можно найти для любых целых чисел.

Пример 2

Предположим, что нам дано k целых чисел a 1 , a 2 , …, a k . Число, которое мы получим при умножении чисел а 1 а 2… а к по свойству делимости, будет делиться на каждый из множителей, которые вошли в исходное произведение. Это означает, что произведение чисел a 1 , a 2 , … , a k — наименьшее общее кратное этих чисел.

Сколько общих кратных может иметь эти целые числа?

Группа целых чисел может иметь большое количество общих кратных. На самом деле их количество бесконечно.

Пример 3

Предположим, у нас есть некоторое число k. Тогда произведение чисел k · z , где z — целое число, будет общим кратным чисел k и z . Если число чисел бесконечно, то и число общих кратных бесконечно.

Наименьшее общее кратное (НОК) — определение, символ и примеры

Вспомните понятие наименьшего числа из заданного набора чисел, которое мы рассмотрели в разделе «Сравнение целых чисел». Имея в виду это понятие, сформулируем определение наименьшего общего кратного, которое имеет наибольшую практическую ценность среди всех общих кратных.

Определение 2

Наименьшее общее кратное заданных целых чисел является наименьшим положительным общим кратным этих чисел.

Наименьшее общее кратное существует для любого числа заданных чисел. Аббревиатура NOK чаще всего используется для обозначения понятия в справочной литературе. Сокращение для наименьшего общего кратного для чисел a 1 , a 2 , …, a k будет выглядеть как LCM (a 1 , a 2 , … , a k) .

Пример 4

Наименьшее общее кратное 6 и 7 равно 42. Т.е. НОК(6, 7) = 42. Наименьшее общее кратное четырех чисел — 2 , 12 , 15 и 3 будет равно 60 . В сокращении будет LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) = 60 .

Не для всех групп заданных чисел наименьшее общее кратное очевидно. Часто его приходится вычислять.

Связь между NOC и NOD

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель связаны между собой. Связь между понятиями устанавливается теоремой.

Теорема 1

Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел a и b равно произведению чисел a и b, деленному на наибольший общий делитель чисел a и b , то есть НОКМ (a , b) = а б : НОД (а , б) .

Доказательство 1

Предположим, у нас есть некоторое число M, кратное числам a и b. Если число M делится на a , существует также некоторое целое число z , , при котором выполняется равенство M = a k . Согласно определению делимости, если М также делится на b , то a k делится на b .

Если ввести новое обозначение НОД (a , b) как d , то можно использовать равенства a = a 1 d и б знак равно б 1 · d . В этом случае оба равенства будут взаимно простыми числами.

Выше мы уже установили, что a k разделить на b . Теперь это условие можно записать так:
a 1 d k разделить на b 1 d , что эквивалентно условию a 1 k разделить на b 1 по свойствам делимости.

По свойству относительно простых чисел, если 1 и b 1 взаимно простые числа, a 1 не делится на b 1 несмотря на то, что a 1 k делится на b 1 , то b 1 должно делиться на k .

В этом случае уместно предположить, что имеется число t , для которого k = b 1 t , а так как b1=b:d , то k = b: d t .

Теперь вместо k подставим в равенство M = a k выражение вида б: д т . Это позволяет нам прийти к равенству M = a b: d t . При t=1 мы можем получить наименьшее положительное общее кратное чисел a и b , равно a b:d при условии, что числа a и b положительный.

Итак, мы доказали, что НОК (a , b) = a b: НОД (a,b) .

Установление связи между НОК и НОД позволяет найти наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель двух или более заданных чисел.

Определение 3

Теорема имеет два важных следствия:

кратные наименьшего общего кратного двух чисел такие же, как общие кратные этих двух чисел;
наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.

Обосновать эти два факта нетрудно. Любое общее кратное M чисел a и b определяется равенством M = LCM (a, b) t для некоторого целого значения t. Так как a и b взаимно просты, то НОД (a, b) = 1, следовательно, НОК (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Номер №60 — ГДЗ по Математике 6 класс: Виленкин Н.Я.

Условие 20132019г.

Решение 1

Решение 1

Решение 2

Решение 2

Решение 3

Решение 3

ГДЗ Математика 6 класс Капустина

Подробные решения по математике за 6 класс авторы Капустина, Перова

Для кого предназначены онлайн справочники?

Безусловные преимущества применения онлайн помощников

Как найти наименьшее общее кратное трех чисел. Как найти НОК (наименьшее общее кратное)

Разложение на множители

Нахождение методом выбора

Нахождение методом последовательного нахождения НОК

Как найти NOC

Определение

Способы получения числа

Пример #1

Пример #2

Что означает NOC в математике

Другой способ

Шаги

Количество кратных

Простая факторизация

Нахождение общих делителей

Алгоритм Евклида

Наименьшее общее кратное трех или более чисел

Наименьшее кратное 3 5. Как найти наименьшее общее кратное

Определение

Способы получения числа

Пример #1

Пример #2

Что означает NOC в математике

Другой способ

Разложение на множители

Нахождение методом выбора

Нахождение методом последовательного нахождения НОК

Наименьшее общее кратное трех или более чисел

Обыкновенные кратные — определение, примеры

Можно ли найти LCM для всех номеров?

Сколько общих кратных может иметь эти целые числа?

Наименьшее общее кратное (НОК) — определение, символ и примеры

Связь между NOC и NOD

Добавить комментарий Отменить ответ