правила и примеры (7 класс)
Основная функция скобок — изменение порядка действий при вычислении значений. Например, , в числовом выражении \(5 3+7\) сначала будет вычислено умножение, а затем сложение: \(5 3+7 =15+7=22\). Но в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычисляться сложение в скобках, а только потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение : \(-(4m+3)=-4m-3\).
Пример. Раскройте скобку и дайте такие же термины \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Раствор : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Раствор : У нас есть \(3\) и \(-x\) в скобках и пять перед скобкой. Это значит, что каждый член скобки умножается на \(5\) — напомню, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишется для уменьшения размера записей .
Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Раствор : Как и в предыдущем примере, скобки \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).
Пример. Упростите выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Раствор : \(5(х+у)-2(х-у)=5х+5у-2х+2у=3х+7у\).
Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.
При умножении скобки на скобку каждый член первой скобки умножается на каждый член второй скобки:
\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+ da-db\)
Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Раствор : У нас есть продукт из скобок, и его можно сразу открыть, используя приведенную выше формулу. Но чтобы не запутаться, давайте делать все пошагово.
Шаг 1. Снимите первую скобку — каждый ее член умножается на вторую скобку:
Шаг 2. Разложите произведения скобки на множитель, как описано выше:
— сначала первую…
Затем второй.
Шаг 3. Теперь умножаем и приводим подобные члены:
Не обязательно подробно расписывать все преобразования, можно сразу умножать. Но если вы только учитесь открывать скобки — пишите подробно, меньше шансов ошибиться.
Примечание ко всему разделу. На самом деле вам не нужно запоминать все четыре правила, достаточно запомнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\) . Почему? Потому что, если мы подставим единицу вместо c, мы получим правило \((a-b)=a-b\) . А если мы подставим минус один, то получим правило \(-(a-b)=-a+b\) . Ну а если вместо с подставить другую скобку, то можно получить последнее правило.
скобка внутри скобки
Иногда на практике возникают проблемы со скобками, вложенными в другие скобки. Вот пример такой задачи: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).
Для успешного решения этих задач необходимо:
— внимательно разбираться во вложении скобок — какая в какой;
— открывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.
Важно при раскрытии одной из скобок не трогать остальную часть выражения , а просто переписать как есть.
Возьмем в качестве примера приведенную выше задачу.
Пример. Раскройте скобки и дайте подобные термины \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:
Пример. Раскройте скобки и дайте такие же термины \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Раствор :
\(-(х+3(2х-1\)\(+(х-5)\) \())\) | Это тройное вложение скобок. Начнем с самого внутреннего (выделено зеленым). Перед скобкой стоит плюс, поэтому ее просто убирают. | |
\(-(х+3(2х-1\)\(+х-5\) \())\) | Теперь нужно открыть вторую скобу, промежуточную. Но перед этим мы упростим выражение, замаскировав похожие термины во второй скобке. | |
\(=-(х\)\(+3(3x-6)\) \()=\) | Теперь открываем вторую скобку (выделено синим цветом). | |
\(=-(х\)\(+9x-18\) \()=\) | ||
И откройте последнюю скобку. Перед скобкой минус — значит все знаки меняются местами. | ||
Перед скобками стоит множитель, поэтому каждое слагаемое в скобках умножается на него.Открытие скобок — это базовый математический навык. Без этого навыка невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классах.. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.
На этом уроке вы узнаете, как преобразовать выражение, содержащее скобки, в выражение, не содержащее скобок. Вы узнаете, как открывать скобки, перед которыми стоит знак плюс и минус. Вспомним, как открывать скобки, используя распределительный закон умножения. Рассмотренные примеры позволят связать новый и ранее изученный материал в единое целое.
Тема: Решение уравнений
Урок: Раскрытие скобок
Как открыть скобки, перед которыми стоит знак «+».
Использование ассоциативного закона сложения.
Если вам нужно прибавить к числу сумму двух чисел, то к этому числу можно прибавить первое слагаемое, а затем второе.
Слева от знака равенства находится выражение со скобками, а справа — выражение без скобок. Это означает, что при переходе от левой части равенства к правой скобки были раскрыты.
Рассмотрим примеры.
Пример 1
Раскрыв скобки, мы изменили порядок операций. Считать стало удобнее.
Пример 2
Пример 3
Обратите внимание, что во всех трех примерах мы просто удалили скобки. Сформулируем правило:
Комментарий.
Если первое слагаемое в скобках беззнаковое, то оно должно быть записано со знаком плюс.
Вы можете следовать пошаговому примеру. Во-первых, прибавьте 445 к 889. Это мысленное действие можно выполнить, но это не очень легко. Раскроем скобки и увидим, что измененный порядок операций значительно упростит расчеты.
Если следовать указанному порядку действий, то из 512 нужно сначала вычесть 345, а затем к результату прибавить 1345. Раскрыв скобки, мы изменим порядок действий и значительно упростим расчеты.
Наглядный пример и правило.
С другой стороны, тот же результат можно получить, сложив противоположные числа.
Сформулируем правило:
Пример 1
Пример 2
Правило не меняется, если в скобках не два, а три и более условия.
Пример 3
Комментарий. Знаки меняются местами только перед терминами.
Чтобы раскрыть скобки в данном случае, нужно вспомнить о распределительном свойстве.
Сначала умножьте первую скобку на 2, а вторую на 3.
Перед первой скобкой стоит знак «+», что означает, что знаки нужно оставить без изменений.
Второму предшествует знак «-», поэтому все знаки нужно поменять местами
Список литературы
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. — Гимназия, 2006.
- Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. — Просвещение, 1989.
- Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математики 5-6 класс — ЗШ МИФИ, 2011.
- Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6 классов заочной школы МИФИ. — ЗШ МИФИ, 2011. .
- Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Собеседник учебник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. — Просвещение, 1989.
- Онлайн тесты по математике ().
- Вы можете скачать указанные в п.1.2. книги ().
Домашнее задание
- Виленкин Н.
- Домашнее задание: №1254, №1255, №1256 (б,г)
- Другие присвоения: № 1258(с), № 1248
для формирования возможности раскрытия скобок с учетом знака перед скобками;
На занятиях
I. Организационный момент.
Зацени, приятель
Ты готов к уроку?
Все ли на месте? Всё хорошо?
Ручка, книга и блокнот.
Все ли сидят правильно?
Все внимательно смотрят?
Хочу начать урок с вопроса к вам:
Как вы думаете, что самое ценное на земле? (Ответы детей.)
Этот вопрос беспокоил человечество тысячи лет. Вот ответ, который дал известный ученый Аль-Бируни: «Знание — самое превосходное владение.
Все к этому стремятся, но это не приходит само собой».Пусть эти слова станут девизом нашего урока.
II. Актуализация ранее полученных знаний, умений, навыков:
Счет словесный:
1.1. Какая сегодня дата?
2. Что вы знаете о числе 20?
3. А где находится этот номер на координатной линии?
4. Назовите номер своего реверса.
5. Назовите число напротив него.
6. Как называется число — 20?
7. Какие числа называются противоположными?
8. Какие числа называются отрицательными?
9. Чему равен модуль числа 20? — двадцать?
10. Чему равна сумма противоположных чисел?
2. Объясните следующие записи:
а) Гениальный древний математик Архимед родился в 0 287 г. до н.э.
б) Гениальный русский математик Н.И. Лобачевский родился в 1792 году.
впервые Олимпийские игры состоялись в Греции в 776 году.
г) Первые Международные Олимпийские игры состоялись в 1896 году.
д) XXII зимние Олимпийские игры состоялись в 2014 году.
3. Узнать, какие числа крутятся на «математической карусели» (все действия выполняются устно).
II. Формирование новых знаний, умений и навыков.
Вы научились выполнять различные действия с целыми числами. Что мы будем делать дальше? Как мы будем решать примеры и уравнения?
Найдем смысл этих выражений
7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0
Какова процедура в 1 примере? Сколько в скобках? Порядок действий во втором примере? Результат первого действия? Что можно сказать об этих выражениях?
Разумеется, результаты первого и второго выражений совпадают, поэтому между ними можно поставить знак равенства: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4
Что мы сделали с кронштейны? (Потерян.)
Как вы думаете, что мы будем делать сегодня на уроке? (Дети формулируют тему урока.) В нашем примере какой знак стоит перед скобками. (Плюс.)
И так мы приходим к следующему правилу:
Если перед скобками стоит знак +, то скобки и этот знак + можно опустить, сохранив знаки слагаемых в скобках.
Если первое слагаемое в скобках пишется без знака, то его нужно писать со знаком +.
А если перед скобками стоит знак минус?
В этом случае нужно рассуждать так же, как и при вычитании: нужно прибавить число, противоположное вычитаемому:
7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = — 7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14
— Итак, мы раскрыли скобки, когда перед ними стоял знак минус.
Правило раскрытия скобок при наличии перед скобками знака «-».
Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак -, нужно заменить этот знак на +, поменяв знаки всех терминов в скобках на противоположные, а затем раскрыть скобки.
Послушаем правила раскрытия скобок в стихах:
Перед скобкой стоит плюс.
Он об этом говорит
Что ты бросаешь скобки
Выпусти все знаки!
Перед скобкой минус строгий
Преградит нам путь
Убрать скобки
Нужно поменять знаки!
Да, ребята, знак минус очень коварный, это «сторож» у ворот (скобки), он выпускает числа и переменные только тогда, когда они меняют «паспорта», то есть свои знаки.
Зачем вообще нужно открывать скобки? (Когда есть скобки, есть момент какого-то элемента незавершенности, какой-то тайны. Это как закрытая дверь, за которой находится что-то интересное.) Сегодня мы пережили эту тайну.
Небольшой экскурс в историю:
Фигурные скобки появляются в трудах Виета (1593 г.). Скобки получили широкое распространение только в первой половине 18 века, благодаря Лейбницу и тем более Эйлеру.
Физкультминутка.
III. Закрепление новых знаний, навыков и умений.
Учебная работа:
№1234 (открытые скобки) — устно.
№1236 (открытые скобки) — устно.
№1235 (найти смысл выражения) — письменно.
№1238 (упростите выражения) — работайте в парах.
IV. Подведение итогов урока.
1. Объявлены результаты.
2. Дом. задание. 39 № 1254 (а, б, в), 1255 (а, б, в), 1259.
3. Что мы узнали сегодня?
Чему ты научился?
А закончить урок хочу пожеланиями для каждого из вас:
«Прояви способности к математике,
Не ленись, а развивайся ежедневно.
Умножать, делить, трудиться, думать,
Не забывать дружить с математикой.
Скобки используются для обозначения порядка выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Этот метод называется раскрытием скобок.
Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.
Отдельного внимания заслуживает еще один момент, который касается особенностей написания растворов при раскрытии скобок. Мы можем записать исходное выражение со скобками и результат, полученный после раскрытия скобок, как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения
3−(5−7) мы получим выражение 3−5+7. Мы можем записать оба этих выражения в виде равенства 3−(5−7)=3−5+7.
И еще один важный момент. В математике для сокращения записей принято не писать плюсик, если он стоит первым в выражении или в скобках.
Например, если мы сложим два положительных числа, например, семь и три, то напишем не +7+3, а просто 7+3, несмотря на то, что семь тоже положительное число. Точно так же, если вы видите, например, выражение (5+x) — знайте, что перед скобкой стоит плюс, который не пишется, а перед скобкой стоит плюс + (+5+x). пять.
Правило расширения скобки для добавления
При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.
Пример. Раскрыть скобки в выражении 2+(7+3) Перед скобками плюс, далее символы перед цифрами в скобках не меняются.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Правило раскрытия скобок при вычитании
Если перед скобками стоит минус, то этот минус вместе со скобками опускается, но слагаемые, которые были в скобках, меняют знак на противоположный. Отсутствие знака перед первым членом в круглых скобках означает наличие знака +.
Пример. Открытые скобки в выражении 2 − (7 + 3)
Перед скобками стоит минус, поэтому нужно поменять знаки перед цифрами из скобок.
Знака в скобках перед цифрой 7 нет, значит, семерка положительная, считается, что перед ней стоит знак +.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
При раскрытии скобок убираем из примера минус, который был перед скобками, а сами скобки 2 − (+ 7 + 3 ), и меняем знаки, которые были в скобках, на противоположные.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Раскрывающие скобки при умножении
Если перед скобками стоит знак умножения, то каждое число внутри скобок умножается на множитель перед скобками. При этом умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус, дает минус.
Таким образом, скобки в произведениях раскрываются в соответствии с распределительным свойством умножения.
Пример. 2 (9 — 7) = 2 9 — 2 7
При умножении скобок на скобки каждый член первой скобки умножается на каждый член второй скобки.
(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
На самом деле нет необходимости запоминать все правила, достаточно запомнить только одно, вот это: c(a−b)=ca−cb.
Почему? Потому что, если мы подставим единицу вместо c, мы получим правило (a−b)=a−b. А если мы подставим минус один, то получим правило −(a−b)=−a+b. Ну а если вместо с подставить другую скобку, то можно получить последнее правило.
Раскрывать скобки при делении
Если после скобок стоит знак деления, то каждое число внутри скобок делится на делитель после скобок, и наоборот.
Пример. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
Как раскрыть вложенные скобки
Если выражение содержит вложенные скобки, то они раскрываются по порядку, начиная с внешних или внутренних.
При этом, открывая одну из скобок, важно не трогать другие скобки, просто переписав их как есть.
Пример. 12 — (а + (6 — b) — 3) = 12 — а — (6 — b) + 3 = 12 — а — 6 + b + 3 = 9 — а + b
«Раскрывающие скобки» — Учебник по математике 6 класс (Виленкин)
Краткое описание:
В этом разделе вы научитесь открывать скобки на примерах.
Для чего это? Все для того же, что и раньше — чтобы вам было все легче и легче считать, чтобы было меньше ошибок, а в идеале (мечта вашей учительницы математики) чтобы решить все вообще без ошибок.
Вы уже знаете, что скобки в математической записи ставятся, если два математических знака идут подряд, если мы хотим показать объединение чисел, их перестановку. Раскрыть скобки означает избавиться от лишних символов. Например: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. Вы помните распределительное свойство умножения по отношению к сложению? Ведь в том примере мы тоже избавились от скобок для упрощения вычислений. Названное свойство умножения можно применить и к четырем, трем, пяти и более терминам. Например: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. Вы замечали, что при раскрытии скобок числа в них не меняют знак, если число перед скобками положительное? Ведь пятнадцать — положительное число. А если решить этот пример: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( — 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390.
У нас перед скобками стояло отрицательное число минус пятнадцать, когда мы открыли скобки, все числа стали менять свой знак на другой — противоположный — с плюса на минус.
На основании приведенных примеров можно озвучить два основных правила раскрытия скобок:
1. Если у вас перед скобками стоит положительное число, то после раскрытия скобок все знаки чисел в скобках не меняются, но остаются точно такими же, как и были.
2. Если у вас перед скобками стоит отрицательное число, то после раскрытия скобок знак минус уже не пишется, а знаки всех абсолютных чисел в скобках резко меняются местами.
Например: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Немного усложним наши примеры: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. Вы заметили, что раскрывая вторые скобки, мы умножили на 2, но знаки остались прежними. А вот пример: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, в этом примере число два отрицательное, это стоит перед скобками со знаком минус, поэтому, раскрывая их, мы поменяли знаки чисел на противоположные (девятка была с плюсом, стала с минусом, восемь была с минусом, стала с плюсом ).