6 класс математика россия: Математика. 6 класс. Учебник Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н. и др.

переведено и адаптировано Уиллом Хартом

«Это имеет интересный подход и явно является ценным педагогическим вклад».

Рисунок 4.5 ниже показывает знакомый вам инструмент для рисования: компас. На конце одной из его ног есть острие. На другом конце карандаш. Если положить острый конец на лист бумаги и повернуть циркуль, карандаш сделает окружность из круг (рис. 4.6). Точка, к которой прилегает острый конец, называется центр окружности. Центр круга обычно обозначается буквой О. Все точки на окружности лежат в одной плоскости и находятся на одинаковом расстоянии от центр.

Подключим центр в произвольную точку A на окружности с отрезком (рис. 4.7). Полученный отрезок АО, как и его длина, называется радиус окружности. Обозначим радиус через письмо р . Все радиусы одной окружности равны равны друг другу. Теперь проведем отрезок через центр соединяя 2 точки на окружности (рис. 4.8). Результирующий отрезок АВ, а также длину отрезка называют диаметром круга. Обозначим диаметр буквой d. Диаметр в 2 раза больше радиуса. С помощью формулы это может быть описывается следующим образом:

Окружность окружность делит любую плоскость на 2 части. Часть самолета на окружность круга и внутри него образует диск (рис. 4.9). Центр, радиус и диаметр окружности равны одновременно центр, радиус и диаметр диска. расстояние от центра до любой точки диска не может быть больше чем радиус.

522.

Прочитайте текст, чтобы сделать уверен, что вы понимаете:

1. Как точки на окружности окружности расположены по отношению к центру;

2. Какой радиус и означает диаметр и как они связаны друг с другом;

523.

Нарисуй круг и измерьте его радиус и диаметр.

524. 

Найдите диаметр круг, если его радиус: 4 см.; 6,8 см.; 42 см.; 71 см.; 0,6 м.; 30,84 м.; 1/4 м.; 2/5 м.

525. 

Найдите радиус круг, если его диаметр: 6,8 см.;18 см.;53 см.;71/2 см.;1 м.;27/10 м.;42,6 м.;61/2 м.

526. 

Нарисуйте круг с радиус 5,2 см. Определите его центр и покажите два его диаметры.

527. 

Из рис. 4.10, определить, какие точки принадлежат: а) окружности; б) круг; и c) область вне диска.

528. 

Нарисуйте круг с радиус 3,4 см. Затем нарисуйте любые два радиуса, образующие прямую угол.

529.

Нарисуй любой круг радиус. Отметьте на окружности точки А, В и С такие что отрезок AB образует диаметр окружности. Проведите отрезки АС и ВС. Измерьте угол ACB.

530. 

Центр Окружность – это точка O, длина ее радиуса r. Где точка P расположена, если: а) OPr?

531. 

Дополнительный кредит : Нарисуйте круг и прямоугольник так, чтобы они разделяли:  а) а одна общая точка; б) 2 общие точки; в) 3 общие точки; г) 4 общие точки.

Проблема:

А круговой клумба имеет диаметр 5 метров. Вам нужно окружить грядка с полосой дерна. Как долго твой полоска дерна должна быть, если мерить по ее внутреннему краю?

Чтобы решить В этой задаче нужно найти длину окружности.

Мы можем попытаться сделать это путем фактического измерения окружности, например, с помощью «шага» компас (рис.4.11). Но, конечно, результата не будет. точно, так как мы заменили бы ломаную линию на длина окружности.

Вместо этого давайте попробуем следующий эксперимент: возьмите банку или банку и запустите шнур вокруг снаружи его. Если мы затем выпрямим струна, ее длина будет примерно равна длине окружности банки. Для получения более точного результата нам понадобится несколько раз обернуть веревку вокруг банки, а затем взять всю длину строки и разделите ее на количество раз, которое мы прошли вокруг баночки.

Далее мы можем измерить диаметр банки лентой или угольником. Давайте посмотрите, насколько больше окружность банки по сравнению с ее диаметр. Для этого делим длину окружности на диаметр. Если мы измерили правильно, то частное будет где-то между 3,1 и 3,2. Точный математические модели (которые вы будете изучать позже в школе) демонстрируют что длина окружности любого круга всегда больше его диаметра по одному и тому же номеру. Это число обозначается греческая буква р (Pi), точное значение которого выражается бесконечным, неповторяющимся десятичный:

Отныне мы будем принять приблизительное значение p3.14. Если мы обозначим окружности буквой C, а ее диаметр d, то получим формула определения длины окружности:

Окружность окружность равна произведению числа p на диаметр окружности. Мы известно, что d=2r, поэтому формула для определения длины окружности может быть переписано:

Теперь мы можем решить задача, приведенная в начале этого раздела. Поскольку диаметр клумбы 5 м., можно написать: C =p5 3,145 = 15,7 (м.). Это означает, что мы необходимо подготовить полосу дерна примерно 15,7 м. длинный.

Многие калькуляторы имеют специальная кнопка для номера p. Если ее нажать, то на экране появится приближение p, обычно к седьмой десятичный знак:

Пример: если диаметр круга 3,8 м, то можно найти длину окружности на калькуляторе следующим образом:

Экран будет вывести ответ 11.938051, который можно округлить до десятых (11,9 м. ), сотые (11,94 м.) и т.д..

539.  

Какой диаметр круга, если длина его окружности 13,4 см?

540. 

Каков радиус круг, если его длина окружности 56,32 м?

541. 

Сравнить периметр квадрата со стороной 9 см. по окружности круга с диаметр 9см.

542.   

Полукруг был вырезаем из прямоугольника (рис. 4.13). Сделать необходимое измерения и вычислить периметр оставшегося твердого тела.

рис. 4.13

543.  

На уроке естествознания, Энди построил модель самолета и взял его на пробный запуск. Если бы самолет пролетел круг с 60-м. радиус в 1,8 секунды, с какой скоростью летел самолет?

544.  

В древнем Вавилоне, люди рассчитали длину окружности, приняв, что р равно трем. Предположим, Вавилоняне вычислили длину окружности с радиусом из 40 футов. Насколько далек был бы их ответ от того, что мы в шестом класс получить с помощью p3.14?

545. 

Диаметр круг увеличился на 1 дюйм. На сколько окружность то увеличить?

Проблема: 

Круг радиусом 2 метра должны быть окрашены на полу спортзал. Сколько нужно краски, если нужно 0,2 килограмма краска на квадратный метр?

Чтобы решить этой задачи, мы должны найти площадь круга. Как мы делаем это?

Строгий Математические рассуждения доказали, что площадь круга в р раз больше площади квадрата, сторона которого равна равно радиусу окружности. Если обозначить радиус окружность буквой r, затем площадь квадрата со стороной равен радиусу r ² . Следует что формула площади круга вычисляется по формуле (рис. 4.14):

Чтобы вычислить площадь круга, нужно умножить квадрат радиус на p .
С помощью этого правила мы может решить проблему, сформулированную в начале этого раздел. Мы можем найти площадь круга, который нам нужно закрасить по формуле:

Так как для каждого на квадратный метр нам понадобится 0,2 килограмма краски, общее количество краски нам нужно будет купить это
0. 212.56 2,5 (кг.).

Чтобы найти площадь круга с помощью калькулятора, нужно знать, где как квадратные числа, то есть как умножать число само на себя. Это очень просто: выбираем число, нажимаем кнопку умножения знак, а затем знак равенства. Теперь на экране появится квадрат числа.

ПРИМЕР 1: Рассчитать 4 ² .

Процедура:

ПРИМЕР 2: Рассчитайте площадь круга с радиусом 3,7 см.

Процедура:

На экране появится число 43.008402, которое при необходимости можно округлить, например, до десятых (43,0 см ² ), до сотого места (43,01 см ² ) и т. д.

Еще в древности люди были знакомы со многими геометрическими фигурами, в том числе круг. Об этом свидетельствуют археологические раскопки, которые наткнулись на различные украшения, фарфор и остатки старинных оружие. Это означает, что уже тогда люди считали длина окружности и площадь круга. Теперь мы знаем, что p представлялось разными числами. на протяжении веков. Более 3500 лет назад в Египте для Например, p было принято равным 3,16, а древнее Римляне считали p = 3.12. Все эти ценности были обнаружены в ходе экспериментов.

Великий ученый Древней Греции Архимед (287-212 до н.э.), рассчитал значение p как находящийся между 310/71< p < 31/7, или 3,1408…< p <3,1428… . С помощью современных компьютеров, р в настоящее время вычисляется до более чем 2 миллиардов знаков после запятой. Британский математик Уильям Джонс в 1706 году первым использовал буква p для обозначения полученного частного деления окружность по диаметру. Но это обозначение стало популярным благодаря работе великого математика Леонарда Эйлера (1707-1783), который был членом Петербургской академии наук. Он вычислил р до 153 знаков после запятой.

546.

Что главное пункта предыдущего абзаца? Какова площадь окружность и площадь квадрат, связанный друг с другом?

547.

548. 

549.

550.

Вычислите площадь окружность, если ее радиус 6 см., 4,2 см., 1,2 м., 3,4 м., 23 м..

Рассчитайте площадь круга, если его диаметр равен 18 см, 36 см, 1,5 м, 2 м, 8,5 м.

Измерьте радиус круга на рисунке 4.10 и рассчитайте его площадь и длина окружности.

Круглая игровая площадка радиусом 3,5 м. был создан вокруг флагшток. Рассчитать площадь детской площадки. (Округлите ответ до десятое место.)

551.   

В составе перестроили трехэтажную круглую башню, все этажи были покрыты с плиткой. Сколько квадратных метров плитки понадобилось, если внутренняя диаметр башни составлял 6,4 м.? (Круглый ваш ответ до ближайшего целого числа.)

552.

Радиус одного из окружности, изображенные на рис. 4.15, равны 12 см, а радиус другой 3 см. больше. Вычислите площадь кольца, образованного этими двумя окружностями.

553.  

Пять круглых цветов грядки, каждая диаметром 1,5 м. раскинулись в парке. На грядках следует высаживать по девять цветов на квадратный метр. Сформулируйте вопрос, связанный с этой проблемой, и решите его.

554.

Дополнительный кредит : На каждой стороне квадрата размещен полукруг, как на рис. 4.16. Сделайте необходимые замеры и рассчитайте площадь получившейся формы.

555.

Дополнительный кредит : Стороны квадрата, изображенного на рис. 4,17 по 4 см. Каков радиус окружности? Как во сколько раз больше круга площадь квадрата? (Округлите ответ до сотых.)

556. 

Рассчитай и нарисуй следующие углы: 1) 30% от 180°; 2) 60% 70; 3) 45% от 160.

557.  

Рассчитать (округлить ответы на целое число):

558.

Измерение угла наклона 35 и 80 такие, что их вершины совпадают и они имеют общая сторона. Приведите два примера.

559.

На математике в 6 классе test 25 % учащихся получили оценку A, 35 % — B, 30 % — C и 10 % — D.
Нарисуйте гистограмму, показывающую распределение оценок.

560. 

Рассчитать:
1) 0,75 5/6 + 2,5 2/5 — 1 11/9
2) ((45/12 — 313/24) 4/7 + 110/17 (31/18 — 27/12)) 31/3

561.  

Знаменитый грек математик Архимед определил, что 310/71