Списать математику 5 класс: ГДЗ по математике 5 класс 💡 онлайн решебник с ответами

, поскольку следующая цифра (1) меньше 5

3,1416 с округлением до тысячных долей 3,142

, поскольку следующая цифра (6) больше 5

1,2735 с округлением до десятых составляет 1,3

, поскольку следующая цифра (7) — это 5 или больше

Чтобы округлить до «такого количества десятичных знаков», посчитайте это количество цифр от десятичной точки:

1,2735 с округлением до 3 знаков после запятой составляет 1.274

, поскольку следующая цифра (5) — это 5 или больше

Округление целых чисел

Мы можем округлить до десятков, сотен и т. Д. В этом случае мы заменяем удаленные цифры нулем.

134,9 с округлением до десятков 130

, так как следующая цифра (4) меньше 5

12 690 с округлением до тысяч 13 000

, поскольку следующая цифра (6) — это 5 или больше

15,239 округляем до единиц 15

, поскольку следующая цифра (2) меньше 5

Округление до значащих цифр

Чтобы округлить до «такого количества» значащих цифр, подсчитывает цифры слева направо , а затем округляет оттуда.

1,239 с округлением до 3 значащих цифр 1,24

, поскольку следующая цифра (9) — это 5 или больше

134,9 с округлением до 1 значащей цифры — 100

, поскольку следующая цифра (3) меньше 5

Если есть ведущие нули (например, 0,006), не считайте их, потому что они нужны только для того, чтобы показать, насколько мало число:

0,0165 с округлением до 2 значащих цифр составляет 0,017

, поскольку следующая цифра (5) — это 5 или больше

Калькулятор значащих цифр

(Попробуйте увеличить или уменьшить количество значащих цифр. Также попробуйте числа с большим количеством нулей перед ними, например 0,00314, 0,0000314 и т. Д.)

математических игр для детей 5-х классов в App Store

Мы делаем математику увлекательной и увлекательной. Более 30 миллионов детей используют программу Splash Math, чтобы повысить уверенность в себе, увеличить результаты и добиться прогресса в математике.

Splash Math — это комплексная математическая программа, согласованная с учебным планом, которая усиливает математические концепции с помощью самостоятельной и адаптивной практики.

*** Награды и признание для серии Splash Math *** Программа
Splash Math в настоящее время используется более чем 30 миллионами детей и получила несколько престижных наград.
• Победитель «Gold Stevie Award» (2013) в категории «Образование и справочная информация»
• Победитель «Tabby Awards» (2012) в категории «Лучшее приложение для образования и обучения»
• Победитель «Лучшего приложения для учащихся начальной школы» ( 2011) от BestAppEver. com
• В списках Apple — «Любимые сотрудники», «Новые и заслуживающие освещения в печати»

*** Обзоры ***
«Математика для 5-го класса: общие основные рабочие листы по математике Splash — это ресурс с богатым содержанием. с интерактивными таблицами и несколькими аркадными играми.Дети могут использовать приложение, чтобы практиковать навыки, зарабатывая призы и открывая игры «. — Common Sense Media

» Это приложение предоставляет уроки, игры и викторины практически по всем аспектам математики в 5-м классе. Дизайн более дружелюбный и продуманный. чем другие виртуальные рабочие тетради, которые вы можете загрузить на iPad ». — AppoLearning

« Математика для 5-го класса: Splash Math Worksheets — безусловно, самая полная учебная тетрадь по математике в магазине приложений. Благодаря великолепному интерфейсу и уникальной функции скретчборда это одно из лучших образовательных приложений.»- Famigo

*** Информация о программе ***
Охват содержания: 41+ математических концепций (5 класс)
Учебный план: Общие основные государственные стандарты
Доступ: iPad, iPhone, настольные компьютеры и ноутбуки

*** Ключевые особенности Splash Math Grade 5 ***
+ Программа для самостоятельной математической практики
+ Объяснение неправильных ответов
+ Блокнот для грубой работы
+ Виртуальные награды и игры
+ Отслеживайте прогресс с помощью панели управления прогрессом в реальном времени
+ Прогресс синхронизируется на нескольких iPad, настольные компьютеры и ноутбуки.
+ HD-графика и звуковые эффекты для потрясающего игрового процесса.

*** ОБЩИЕ ТЕМЫ ***
StudyPad содержит лучшие математические приложения, соответствующие общим основным стандартам, с практически бесконечным количеством вопросов. Это приложение охватывает следующие темы:

1. Разрядное значение — Обобщение понимания разряда до десятичных до тысячных разрядов
2. Числовое значение — Сравнение, порядок и округление десятичных чисел
3. Алгебра — Написание и оценка числовых выражений, работа с Числами Выкройки
4.Умножение — плавно умножайте до трехзначных чисел на двухзначные числа
5. Деление — делите на двухзначные числа
6. Дроби — сложение, вычитание и умножение, в отличие от дробей, деление с использованием дроби и целого числа
7. Десятичная арифметика — Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей с точностью до сотых
8. Измерения — преобразование величин из одной единицы измерения в другую в рамках той же системы измерения
9. Геометрия — Координатные плоскости и графики, иерархическая классификация форм, объемов твердых тел

*** Планы подписки ***
• Планы: 29,99 долл. США в квартал или 59,99 долл. США в год
• Бесплатная пробная версия: мы предлагаем бесплатный пробный период, прежде всего планы.
• Отменить в любое время: плата не взимается, если план отменен до окончания пробного периода.
• Продление: автоматическое продление можно отключить в любое время в настройках учетной записи. Подписка автоматически продлевается, если автоматическое продление не отключено по крайней мере за 24 часа до окончания текущего периода.
• Политика конфиденциальности: https://www.splashmath.com/privacy
• Условия использования: https://www.splashmath.com/terms-of-use

*** Политика возврата ***
Пользователь может отменить подписку и автоматически продлить в любое время, и со следующего платежного цикла не будет взиматься дополнительная плата за кредитную карту. Полный или частичный возврат средств за текущую подписку за активный период подписки не предоставляется.

*** Контакт ***
• Facebook: http://www.facebook.com/SplashMath
• Twitter: @splashmath
• Веб-сайт: https: // www.splashmath.com

Округление до ближайшей сотни

При округлении до ближайшей сотни числа «проживающих» в красных областях (до 850) на числовой прямой округляются до 800. Цифры в синих областях округлены до 900. Опять же, расстояние имеет значение. Числа от 801 до 849 ближе к 800, чем до 900. Числа от 851 до 899 ближе к 900, чем к 800. А «средний парень» 850 округляется до 900: 850. ≈ 900. 1. Отметьте цифры в виде точек на числовой прямой (приблизительно) и округлите их до 800 или 900. а. 804 ≈ ____________ 859 ≈ ____________ г. 825 ≈ ___________ 850 ≈ ___________ г. 860 ≈ ___________ 847 ≈ ___________ г. 808 ≈ ___________ 892 ≈ ___________ При округлении до ближайшей сотни посмотрите на ДЕСЯТКИ ЦИФРЫ номер. Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, вы получите округлить до предыдущей сотни. Если эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, вы округлите до следующей сотни. 728 ≈? Цифра десятков равна 2, так округлить вниз: 728 ≈ 700 471 ≈? Десятки пальцев 7, так округлить: 471 ≈ 500 956 ≈? Цифра десятков равна 5, так округлить: 956 ≈ 1000 2. Округлите эти числа до ближайшей сотни. а. 416 ≈ ___________ 837 ≈ ____________ г. 529 ≈ ___________ 960 ≈ ___________ г. 670 ≈ ___________ 557 ≈ ___________ г. 254 ≈ ___________ 147 ≈ ___________ С этой числовой прямой все работает аналогично при округлении до ближайшего сто : Числа до 2450 (среднее число) округляются до 2400. Числа после 2450 округляются до 2500. И «средний парень», 2 450 человек, округляется в большую сторону. 3. Округлите эти числа до 2400 или до 2500. Вы можете использовать числовую строку выше, чтобы помочь вам. а. 2,412 ≈ __________ г. 2,429 ≈ __________ г. 2,478 ≈ ___________ г. 2,490 ≈ ___________ Правила округления При округлении до ближайшей сотни посмотрите на ДЕСЯТКИ ЦИФРЫ номер. Если цифра десятков равна 0, 1, 2, 3 или 4, вы округлите в меньшую сторону до предыдущей сотни. 728 ≈? Цифра десятков равна 2, так округлить вниз: 728 ≈ 700 Примечание: цифра сотен не меняет . Если эта цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, вы округлите до следующей сотни. 471 ≈? Цифра десятков равно 7, поэтому округлите в большую сторону: 471 ≈ 500 Примечание: цифра сотен увеличивается на единицу , с 4 до 5. Округлите ли вы в большую или меньшую сторону, цифры десятков и единиц изменятся на нули . 4. Округлите эти числа до ближайшей сотни. а. 6216 ≈ _________ г. 5,923 ≈ _________ г. 1,670 ≈ _________ г. 8 254 ≈ _________ e. 8,019 ≈ _________ ф. 2157 ≈ _________ г. 1,772 ≈ _________ ч. 6 849 ≈ _________ и. 801 ≈ _________ Дж. 255 ≈ _________ к. 9,562 ≈ _________ л. 3,501 ≈ _________ Примечание особенно! 4 952 ≈? Теперь цифра десятков равна 5, поэтому мы округляем в большую сторону. Цифра сотен (9) увеличивается на единицу (до десяти сотен). Но мы нельзя изменить 9 на 10, иначе мы получим 41052! Вместо этого эти десять сотен дают новую тысячу , поэтому цифра тысяч увеличивается. одним.Это как если бы «49» превратилось в «50». Итак, получаем 4,9 52 ≈ 5,0 00 5. Округлите эти числа до ближайшей сотни. а. 6,986 ≈ _________ г. 5,973 ≈ _________ г. 1,981 ≈ _________ г. 4,945 ≈ _________ e. 2,932 ≈ _________ ф. 9,969 ≈ _________ г. 966 ≈ _________ ч. 9,982 ≈ _________ и. 798 ≈ _________ 6. Округлите эти числа до ближайшей сотни. Поместите каждый ответ в головоломку с крестиками. Через: а. 2,264 ≈ _______ г. 4973 ≈ _______ г. 4 248 ≈ _______ г. 545 ≈ _______ Вниз: эл. 3709 ≈ _______ ф. 672 ≈ _______ г. 5,370 ≈ _______ ч. 8,816 ≈ _______ а. эл. б. ч. ф. г. г. г. 7. Введите округленные числа. а. Обычно Мэри получает около __________ спама в день, но 9 мая она получила около ___________ спама. г. За рабочую неделю с 07.05 по 11.05 ей пришло около __________ спама. Спам-сообщения Мария получила Дата Спам округлить до ближайшего 100 Пн 5/7 125 Вт 5/8 97 Вт 5/9 316 Чт 5/10 118 Пт 5/11 106 См. Также Листы бесплатного округления Создавайте бесплатные распечатываемые рабочие листы для округления целых чисел для 2–6 классов.Рабочие листы настраиваются, генерируются каждый раз случайным образом и доступны в виде файлов PDF или html.

Разница между стандартным и детальным вычетом

Разница между стандартным и детализированным вычетом сводится к простой математике. Стандартный вычет снижает ваш доход на одну фиксированную сумму. С другой стороны, детализированные вычеты состоят из списка допустимых расходов. Вы можете подать заявку на то, что больше всего снижает ваш налоговый счет.

Прочтите, чтобы понять разницу между стандартным вычетом и детализированным вычетом.

Стандартный вычет

Когда мы слышим вопрос «что такое стандартный вычет?» — мы думаем о двух вещах. Во-первых, давайте начнем с определения. Стандартный вычет — это фиксированная сумма в долларах, которая уменьшает ваш налог на прибыль. Ваш стандартный вычет зависит от вашего статуса регистрации. Во-вторых, вы можете узнать, каковы стандартные суммы вычетов.Их:

• Для регистрации холостого или женатого отдельно — 12 400 долларов
• Для совместной регистрации в браке или соответствующей требованиям вдовы (вдовы) — 24 800 долларов
• Для главы семьи — 18 650 долларов

Ваш стандартный вычет увеличивается, если вы слепой или в возрасте 65 лет и старше. Она увеличивается на 1 650 долларов, если вы одиноки или глава семьи, и на 1300 долларов, если вы женаты или имеете право на вдову.

Большинство налогоплательщиков требуют стандартного вычета. Стандартный вычет:

• Позволяет вам делать налоговые вычеты, даже если у вас нет расходов, которые могут претендовать на детализированные вычеты
• Устраняет необходимость детализировать вычеты, такие как медицинские расходы и благотворительные пожертвования
• Позволяет вам избежать ведения записей и квитанций о ваших расходах на случай вас проверяет IRS

Не оставляйте деньги на столе

Подавайте налоговые декларации и получайте все скидки и вычеты, которых вы заслуживаете. Наши налоговые профи могут помочь вам подать заявку лично или виртуально, или вы можете подать ее самостоятельно через Интернет.

Что такое постатейный вычет?

После определения стандартных вычетов мы рассмотрим, «что такое детализированные вычеты?» Детализированные вычеты также уменьшают ваш скорректированный валовой доход (AGI), но работают иначе, чем стандартные вычеты. В отличие от стандартного вычета, размер детализированных вычетов в долларах отличается от налогоплательщика к налогоплательщику. В то время как стандартные вычеты — это, как следует из названия, — стандартная (или фиксированная) сумма, детализированные вычеты рассчитываются путем сложения всех применимых вычетов с последующим вычитанием этого числа из вашего налогооблагаемого дохода.

Вот пример использования сумм 2020 года: если вы холост и ваш AGI составляет 40 000 долларов с детализированными вычетами в размере 14 000 долларов, ваш налогооблагаемый доход составляет 26 000 долларов. Если вы решите использовать стандартный вычет, вы сократите AGI только на 12 400 долларов, в результате чего ваш налогооблагаемый доход составит 27 600 долларов, поэтому в этом случае вы захотите сделать вычеты по статьям.

Когда проводить разбивку по элементам или использовать стандартный вычет?

В некоторых ситуациях имеет смысл перечислить детали вместо стандартного вычета в форме 1040.Детализация налоговых вычетов имеет смысл, если вы:

• Составьте детализированные вычеты, которые в сумме превышают стандартный вычет, который вы получили бы (как в приведенном выше примере).
• Имел большие наличные медицинские и стоматологические расходы
• Выплаченные проценты по ипотеке и налоги на недвижимость на вашем доме
• Произошел крупный незастрахованный несчастный случай (пожар, наводнение, ветер) или убытки от кражи
• Сделали крупные взносы в квалифицированные благотворительные организации
• Имели убытки от азартных игр
• Имелись другие допустимые вычеты, такие как связанные с обесценением рабочие расходы инвалида или возврат подлежащих сумм на иск о праве на сумму более 3000 долларов

Стандартный вычет vs.

Есть одна ситуация, когда вы можете захотеть детализировать вычеты, даже если ваши общие детализированные вычеты меньше вашего стандартного вычета. Возможно, вы захотите сделать это, если вы заплатите меньше налогов между федеральными налогами и налогами штата. Это может произойти, если вы включите в свои федеральные декларации и декларации штата и получите более крупную налоговую льготу, чем если бы вы подали заявку на стандартный вычет в декларации федерального уровня и декларации штата. Обратите внимание, что в некоторых штатах не разрешены вычеты по статьям, например, в Мичигане или Массачусетсе.

Вопросы о применении детального вычета по сравнению со стандартным вычетом

У вас есть дополнительные вопросы о том, следует ли претендовать на детализированный или стандартный вычет? Наши налоговые профи говорят на сложном языке налогов и стремятся помочь вам лучше понять ваши налоги.

Назначьте встречу с одним из наших налоговых профи сегодня.

Первые математические навыки и учащиеся с математической сложностью

Дети идут в начальную школу с различными математическими навыками.Некоторые дети понимают основы чисел и математики, в то время как другие борются с основами счета, распознавания чисел, понимания символов, количественного различения и концепций сложения и вычитания. Часто этот набор начальных числовых навыков называется числовым чувством, или начальным умением считать. Студенты должны освоить и понять эти компетенции, прежде чем переходить к более сложным математическим задачам. В этой статье описываются важные ранние числовые навыки и дается описание того, как этим навыкам можно научить учащихся, испытывающих трудности с математикой.

РАННИЕ ЧИСЛОВЫЕ КОМПЕТЕНТНОСТИ И УЧАЩИЕСЯ С МАТЕМАТИЧЕСКИМИ ТРУДНОСТЬЮ

Перед тем, как решать задачи по алгебре, геометрии, дробям и вычислениям, учащиеся должны хорошо разбираться в числах (Malofeeva, Day, Saco, Young, & Ciancio, 2004). Иногда это называется числовым смыслом (например, Jordan, 2007; Kaminski, 2002; Wagner & Davis, 2010) или ранним числом (например, Aunio, Hautamaki, Sajaniemi, & Van Luit, 2009; Bryant et al., 2011; VanDerHeyden et al., 2011). Независимо от используемого термина, конструкция относится к ранним численным компетенциям, которые лежат в основе развития компетенций в математике. В этой статье мы называем этот набор навыков ранними числовыми компетенциями.

Что такое ранние численные навыки?

Хотя не существует единого определения ранних числовых компетенций, несколько исследователей определили ранние числовые компетенции, которые важны для молодых студентов (Berch, 2005; Bryant et al., 2011; Герстен и Чард, 1999; Гриффин и Кейс, 1997; Кауфманн. Хэндл и Тони, 2003; Lago & DiPerna, 2010). См. Диаграмму начальных численных компетенций. Некоторые темы (например, числовые значения или базовые комбинации чисел) требуют предварительных знаний по другим темам (например, распознавание чисел или сравнение чисел). Мы представляем эти ранние числовые компетенции как совокупность, потому что развитие учащихся ранних числовых компетенций не всегда линейно, и учащиеся различаются по срокам, по которым они приобретают эти навыки.

Ранние числовые компетенции

Важность ранних числовых компетенций

Дети идут в школу (то есть в детский сад) с широким набором начальных числовых компетенций. Некоторые дети уже знают числа, знают их названия и могут решать простые задачи на сложение и вычитание; другим сложно определить числа и считать от 1 до 10 (Lembke & Foegen, 2009). Раннее участие в числовой деятельности дома, в дошкольном учреждении или в детском саду играет важную роль в формировании у учеников детского сада ранних числовых компетенций (Baroody & Benson, 2001; Jung, 2011: Skwarchuk, 2009).Чем больше учащиеся знакомятся с ранними числовыми компетенциями в играх, рассказах или играх до начала формального обучения, тем лучше они понимают строительные блоки математики (Ramani & Siegler, 2008).

Одним из признаков того, что эти ранние числовые навыки важны, является то, что они предсказывают более поздние достижения в математике. Например, Locuniak и Jordan (2008) протестировали 198 учеников весной детского сада по ранним численным мерам и снова зимой второго класса по мерам беглости вычислений.Учащиеся с показателями ниже 25-го процентиля в начале детского сада были отнесены к группе риска плохого развития математики. Первые числовые меры включали вопросы о счете, знании чисел, невербальном вычислении, числовых комбинациях и задачах рассказа. Измерение беглости вычислений состояло из 25 комбинаций чисел сложения и 25 чисел вычитания. Ранняя числовая компетентность, измеренная в детском саду, была важным показателем беглости вычислений во втором классе. Более 50% учащихся из группы риска (выявленных в детском саду) по-прежнему показывают результаты ниже 25-го процентиля во втором классе, а 25% учащихся из группы риска показывают результаты между 25-м и 50-м процентилями. Результаты Локуньяка и Джордана показывают, что многие учащиеся с более слабыми математическими навыками в детском саду будут продолжать демонстрировать более низкие результаты по математике после детского сада. Jordan, Kaplan, Locuniak и Ramineni (2007) обнаружили аналогичную картину с 277 учениками от детского сада до первого класса. На способность распознавать числа в осеннем детском саду приходилось 66% отклонений в тестах по математике и решению задач, проводимых в конце первого класса. Другие исследования (Duncan et al., 2007; Jordan, Glutting, Ramineni, & Watkins, 2010) также указывают на то, что первые навыки работы с числами позволяют прогнозировать успеваемость по математике в более поздних классах.

Трудности с ранними числовыми компетенциями

Многие молодые студенты испытывают трудности с ранними числовыми компетенциями (Lembke & Foegen, 2009; Lloyd, Irwin, & Hertzman, 2009). В Соединенных Штатах различия проявляются в начале обучения в школе: некоторые дети приходят в школу с установленным набором начальных числовых компетенций: другие демонстрируют гораздо более низкие результаты при начальных числовых задачах (Jordan et al. , 2007). Например, Jordan, Kaplan, Ramineni и Locuniak (2009) применяли ранние числовые методы подсчета, распознавания чисел, сравнения, числовых комбинаций и задач рассказа в детском саду. Учащиеся с низкими доходами в их выборке продемонстрировали значительно более низкие начальные числовые баллы, чем их сверстники со средним доходом. Хотя низкий доход может быть не единственным фактором, способствующим различиям в ранней числовой компетенции, Jordan et al. (2009) продемонстрировали, что учащиеся детского сада демонстрируют разный уровень навыков счета в раннем возрасте.Та же тенденция характерна для студентов из других стран (Ee, Wong, & Aunio, 2006; Lloyd et al., 2009). Например, финские учащиеся в возрасте от 5 до 7 лет с особыми потребностями (т. Е. Синдром дефицита внимания, языковые трудности или трудности в развитии) продемонстрировали значительно более низкие показатели в начале обучения, чем учащиеся без особых потребностей (Aunio et al., 2009).

Поскольку учащиеся с более низкими результатами в начальных задачах счисления часто демонстрируют более низкую математическую компетентность в более поздних начальных и средних школах (Duncan et al. , 2007), раннее выявление и раннее вмешательство являются ключевыми (Dowker, 2005). Хотя выявление учащихся, испытывающих трудности, может быть затруднено из-за неадекватных оценок (Mazzocco, 2005), а некоторых учащихся ошибочно определяют как учащихся, испытывающих трудности в математике (Locuniak & Jordan, 2008), исследования показывают, что раннее вмешательство может помочь учащимся в их начальных навыках счета (Berch, 2005; Bryant et al., 2011; Fuchs et al., 2005a).

Раннее численное обучение

Основываясь на экспериментальной работе со студентами, которые борются с математикой, Fuchs et al.(2008) предоставили несколько рекомендаций по важным компонентам обучения математике. Инструкция должна быть четкой с акцентом на концептуальные и процедурные знания. Обучение должно быть осмысленным, чтобы минимизировать проблемы, а практика и повторение должны быть частью любой учебной программы. Fuchs et al. также подчеркнули использование инструментов мотивации, встроенных в инструкции, чтобы помочь учащимся вести себя при выполнении задания и контролировать успеваемость. Мониторинг успеваемости учеников важен для того, чтобы у учителей были объективные индикаторы того, когда ученик реагирует на текущую учебную программу неадекватно и вряд ли приведет к достижению цели.Когда данные ученика указывают на неадекватный ответ, учитель корректирует учебную программу ученика.

Gersten et al. (2009) выделили подробное обучение, использование стратегий, вербализацию учащихся, использование визуальных представлений, мониторинг прогресса и использование различных примеров в качестве важных учебных практик для учащихся, которые борются с математикой. Добавляя к этим пунктам, Герстен и Чард (1999) предложили работать над беглостью математики, чтобы интегрировать инструкции по концепциям и процедурам с достаточной практикой.Эти рекомендации особенно важны для учащихся с математическими трудностями, и следующие примеры демонстрируют, как эти важные учебные рекомендации, когда они используются для обучения навыкам вычисления в раннем возрасте, полезны для учащихся с математическими трудностями.

Например, Bryant et al. (2011) работали с первоклассниками (N = 224), которые показали результаты ниже 35-го процентиля при ранней числовой оценке компетенций. Некоторые ученики (n = 151) были назначены на начальную числовую программу, тогда как другие ученики (n = 73) остались в своем обычном учебном классе для обучения математике.Репетиторство в малых группах для студентов начальных этапов числовой программы длилось 22 недели, четыре занятия в неделю, 25 минут каждое. Студенты участвовали в подробном обучении с управляемой и независимой практикой по процедурным и концептуальным идеям счета, числовым отношениям, наборам из 10, числовым комбинациям и разряду. На итоговом тесте студенты, которые участвовали в ранней числовой программе, показали значительно более высокие результаты, чем студенты из контрольной группы, с величиной эффекта (ES) 0,18 при сравнении величины, 0.47 по числовым последовательностям, 0,39 по разрядам и 0,55 по числовым комбинациям сложения и вычитания.

Fuchs et al. (2005a) также проводил обучение по числовым методам для первоклассников (N = 127), которые испытывали трудности с математикой. Учащиеся были случайным образом распределены для раннего обучения численным навыкам (n = 64) или для участия в обычном обучении математике без дополнительных занятий (n = 63). Студенты получали репетиторство в течение 16 недель, три раза в неделю, по 40 минут за сеанс. Репетиторство было сосредоточено на начальных навыках работы с числами, таких как идентификация и написание чисел, использование символов, счет, разметка, а также комбинации сложения и вычитания.По окончании репетиторства ученики, получившие репетиторство, превзошли учеников без репетиторства по тестам на добавление фактов (ES = 0,40), фактов вычитания (ES = 0,14), вычислений (ES = 0,57), концепций и приложений (ES = 0,67) и задач по рассказам. (ES = 0,70).

В других странах ранние программы счисления также показали, что они улучшают успеваемость учащихся, испытывающих трудности, по математике. Кауфманн и др. (2003) работали с шестью учениками с математическими трудностями. Эти студенты участвовали в начальной числовой программе в течение 6 месяцев три раза в неделю по 25 минут в каждой сессии.Учащиеся узнали о счетах, символах, фактах, равных 10, фактах сложения и вычитания, а также о расстановке ценностей с помощью явных инструкций и работы от конкретного (т. Е. Манипуляций) к абстрактному (т. Е. Решения задач с числами и символами). Шесть учеников продемонстрировали значительный рост в ходе программы по сравнению со сверстниками, не испытывавшими трудностей по математике. Кауфманн, Делазер, Поль, Семенца и Даукер (2005) расширили эту работу, сравнив раннюю числовую программу, ориентированную на процедурное и концептуальное обучение, с программой, ориентированной на обучение базовым навыкам.Студенты, участвовавшие в процедурной и концептуальной программе, продемонстрировали значительный выигрыш в показателях подсчета, мощности, сравнений и вычислений по сравнению со студентами, которые участвовали в программе основных навыков. Ван Луит и Шопман (2000) работали с учениками детского сада (N = 124), которые показали результаты ниже 25-го процентиля по раннему числовому критерию. Половине студентов было назначено раннее обучение числовому обучению; другая половина участвовала в их обычной школьной программе.Ранние числовые инструкции были сосредоточены на навыках счета, а обучение было явным и интерактивным и следовало последовательности от конкретного к репрезентативному и абстрактному (Hudson & Miller, 2006). После двадцати 30-минутных занятий студенты, которые участвовали в ранней числовой программе, превзошли учащихся контрольной группы в ранних числовых измерениях, таких как сравнение чисел, счет и понимание значения чисел.

Эти результаты ранних численных исследований в Соединенных Штатах и ​​за рубежом показывают, что учащиеся-математики, испытывающие трудности, извлекают выгоду из программ, ориентированных на ранние численные навыки.Все инструкции в этих программах были четкими и были сосредоточены на обучении студентов значению (т.

РАННИЕ ЧИСЛОВЫЕ КОМПЕТЕНЦИИ

В этой статье мы выделяем четыре основные категории ранних числовых компетенций: счет, сравнение чисел, понимание символов, а также концепции сложения и вычитания. В этом разделе мы описываем каждую из этих категорий и то, как учащиеся могут бороться с навыками в этой категории.Затем мы представляем пример вмешательства, чтобы помочь студентам, которые борются с этими ранними числовыми компетенциями. Наконец, мы даем рекомендации для практикующих.

Подсчет

Подсчет — это не только повторение «1, 2, 3, 4, 5.…». Студенты часто могут считать до 10, но они могут не понимать, что означают числа (Bermejo, Morales, & deOsuna, 2004; Брюс и Трелфолл, 2004). Например, учащиеся могут не придавать значения своему счету или осознавать, что числовые слова отображаются на счетных элементах.Подсчет включает пять принципов: стабильный порядок, взаимно однозначное соответствие, мощность, абстракцию и нерелевантность порядка (Gelman & Gallistel, 1978). Студенты могут бороться с одним или несколькими из этих принципов (Bruce & Threlfall, 2004). Эти принципы часто комбинируются (например, учащиеся произносят числовые названия и указывают на каждый подсчитываемый объект), и поэтому эти принципы следует практиковать вместе (Camos, Barrouillet, & Fayol, 2001).

Многие учащиеся развивают навыки счета еще до поступления в детский сад (Gelman & Gallistel, 1978).Однако некоторые ученики приходят в школу с недостаточными навыками счета или непониманием принципов счета. Например, многие учащиеся могут без труда сосчитать до пяти, но они могут столкнуться с трудностями при подсчете больших наборов (т. Е. Наборов, превышающих 5 или 6), совершать больше ошибок и не понимать, как использовать счет для определения количества элементов в задании. набор (Carrasumada, Vendrell, Ribera, & Montserrat, 2006). Однако навыкам счета можно научить и улучшить с помощью инструкций и практики (Camos et al., 2001; Xin & Holmdal, 2003). Часто полезный способ понять, понимают ли учащиеся принципы счета, — это продемонстрировать счет и неправильный счет с помощью марионетки (Гири, Хоард, Берд-Крейвен, Ньюджент и Нумти, 2007; Малдун, Льюис и Фрэнсис, 2007). Рекомендации по обучению счету могут быть основаны на знании (или отсутствии) навыков счета марионеток. Например, если ученик говорит, что марионетка неправильно считать справа налево ученика, тогда ученик должен получить инструкции по принципу подсчета, не имеющему отношения к порядку.

Для подсчета учащиеся должны знать числовые слова по порядку (Slusser & Sarnecka, 2011), концепция называется стабильный порядок. Эти слова обычно произносятся в прямом порядке (например, «один, два, три, четыре, пять»), и последовательность этих счетных слов должна использоваться последовательно (Frye, Braisby, Lowe, Maroudas, & Nicholls, 1989 ). Стабильный порядок часто изучается и практикуется с помощью песен, песнопений или рассказов.

Кроме того, при подсчете учащиеся должны считать каждый предмет только один раз (Van De Walle, Karp, & Bay-Williams, 2010).Это называется индивидуальной перепиской . Практикуя индивидуальную переписку, ученикам легче отслеживать элементы в ряду или элементы, которые были помечены и разделены, чем элементы, которые подсчитываются случайным образом (Potter & Levy, 1968). Чтобы считать с использованием однозначного соответствия, учащиеся должны знать названия чисел, ценить стабильный порядок и понимать взаимосвязь между счетами и названиями чисел (Potter & Levy, 1968). Индивидуальная переписка часто практикуется путем раздачи элементов (например, файлов cookie) и обеспечения того, чтобы каждый учащийся получил один файл cookie (Van De Walle et al., 2010).

Комбинируя стабильный порядок и взаимно однозначное соответствие, учащиеся начинают подсчитывать наборы объектов, чтобы определить число в наборе (т. Е. Принцип мощности ). При подсчете набора предметов окончательный счет (например, «4» после подсчета четырех динозавров) представляет набор. Количество элементов относится к пониманию того, что окончательный или последний счет представляет собой общее количество подсчитанных элементов (Bermejo et al., 2004). Часто это практикуется, когда учеников просят сосчитать набор предметов, а затем просят их ответить на вопрос: «Сколько?» (Малдун, Льюис и Фриман, 2003).

Хотя принцип подсчета абстракции не является необходимостью для подсчета, студентам полезно понимать, что любые объекты могут составлять набор (Frye et al., 1989). Например, счетный набор не обязательно должен содержать только лягушек. В счетный набор могут входить лягушки, жабы, грузовики и карандаши. Подсчет может применяться к любому набору элементов, независимо от того, насколько абстрактными они могут быть. Подобно абстракции, нерелевантность порядка не так важна, как другие принципы подсчета (Kamawar et al., 2010). Принцип нерелевантности порядка диктует, что порядок, в котором подсчитываются предметы, не имеет значения, пока каждый предмет подсчитывается только один раз (т. Е. Взаимно однозначное соответствие). Многие студенты считают слева направо и сверху вниз, потому что именно так они читают по-английски, поэтому этих студентов может сбить с толку тот факт, что счет не обязательно должен производиться линейно.

Студенты должны перейти от подсчета заданий один за другим к субитизации (Брюс и Трелфолл, 2004; Ханнула, Расанен и Лехтинен, 2007). Субитизация — это способность мгновенно распознать, сколько элементов находится в группе. См. Примеры субитализации. Учащиеся должны уметь смотреть на каждый из примеров и сразу распознавать четыре прямоугольника, три круга, один шестиугольник и шесть квадратов. Часто студенты, которые борются с математикой, борются с субитизацией (Schleifer & Landerl, 2011), но практика может помочь улучшить их навыки (Clements, 1999; Fischer, Köngeter, & Hartnegg, 2008). Субитизация часто рассматривается как центральный компонент ранней числовой компетенции, и мы упоминаем об этом здесь, потому что учащиеся могут субитизировать (вместо подсчета), чтобы сравнивать суммы и работать со сложением и вычитанием.

Оценка количества

Субитизация связана с оценкой детьми количества, связанной с этим ранней числовой компетенцией. Иногда это называют количественной дискриминацией, величиной или сравнением чисел. На самом базовом уровне ученики смотрят на два числа (например, 4 и 9) и отвечают на вопрос: «Что больше?» (9) или «Что меньше?» (4). Учащиеся могут использовать манипуляторы или изображения, чтобы помочь различить эти две величины. Студентам легче различать величины, которые намного дальше друг от друга (например,g., 9 и 2), чем более близкие по величине (например, 9 и 8; Murray & Mayer, 1988). Сравнивая более крупные двузначные числа, учащимся легче различать числа, где разряды десятков различаются, чем когда декады совпадают, а разряды единиц различаются (Ganor-Stern, Pinhas, & Tzelgov, 2009).

Учащиеся с трудностями в математике часто испытывают затруднения при сравнении чисел и хуже справляются с задачами сравнения, чем их сверстники без трудностей по математике (De Smedt & Gilmore, 2011; Holloway & Ansari, 2009).Интересно, что учащиеся могут лучше выполнять задачи с числовой величиной, не связанные с числовыми символами (Rousselle & Noel, 2007). Например, при представлении группы из шести конфет и четырех конфет учащиеся могут определить, что шесть — это больше, чем четыре. Когда учащимся нужно сравнить два числовых символа (например, «6» и «4»), это обычно больше. сложно (Де Смедт и Гилмор, 2011).

Учащиеся дошкольных учреждений, которым для сравнения представлены два набора, часто не учитывают и используют принцип мощности для сравнения двух наборов.Обычно студенты вместо этого полагаются на визуальный (т.е. несимволический) осмотр (Zhou, 2002). Опора на визуальное сканирование может помочь учащимся только на некоторое время, как правило, когда числа от 1 до 3. Поэтому инструкции по счету для определения различий между наборами могут быть полезны (Muldoon et al., 2003). Часто ученики не понимают, что для сравнения можно использовать счет, потому что учителя обычно спрашивают: «Сколько?» с каждым заданием на подсчет вместо вопросов типа «На сколько меньше?» или «У кого больше?»

Математические символы

С начальными навыками счета, в конечном итоге ученики будут ассоциировать счет (например.g., one, two, three) с числовыми символами (например, 1, 2, 3). Студенты часто могут повторять числовые слова в стабильном порядке, использовать взаимно однозначное соответствие и понимать количество элементов без использования цифровых символов. Учащиеся также могут сравнивать суммы без использования цифровых символов (т. Е. При наличии визуального представления двух наборов). Однако после того, как учащиеся пойдут в детский сад, большинство действий, связанных со счетом и сравнением чисел, требует, чтобы учащиеся знали числовые символы и значение этих символов для выполнения математических задач.Математические символы важны, потому что большая часть математики представлена ​​с помощью символов.

Десять цифровых символов (например, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9) могут использоваться по отдельности или вместе для представления любого числа (например, 14 597). Помимо десяти числовых символов, ученики младших классов изучают два символа операций: знак плюса (+) для сложения и знак минус (-) для вычитания. Студенты также используют знак равенства (=) в числовых предложениях. Учащиеся также могут использовать символы неравенства для значений больше (>) и меньше (<) при сравнении сумм.Студенты обычно изучают числовые символы раньше любых других символов (Zhou, Wang, Wang, & Wang, 2006).

Учащимся необходимо научиться писать и интерпретировать символы, потому что они не придают значения символам автоматически. Значение символов развивается со временем и с практикой. Например, учащиеся узнают, что «три» или * * * или три медведя-манипулятора могут быть представлены письменным символом 3 и наоборот. Учащиеся должны научиться складывать предметы вместе, когда они видят символ плюса (+), и брать предмет или находить разницу, когда они видят символ минуса (-).Многие студенты понимают операции, обозначенные знаками плюс и минус, но меньшее количество студентов правильно интерпретируют знак равенства и символы неравенства (например, Hattikudur & Alibali, 2010; Matthews & Rittle-Johnson, 2009; McNeil, 2008). Знак равенства следует понимать как символ отношения, указывающий на наличие сбалансированной связи между числами по обе стороны от знака равенства (=) (Jacobs, Franke, Carpenter, Levi, & Battey, 2007). Символы неравенства (<и>) также следует понимать как относительные, причем одна сторона символа представляет большую или меньшую величину.

К сожалению, ученики неправильно понимают символы, поскольку учителя дают инструкции или практику, которые не способствуют полному пониманию символа (Capraro, Ding, Matteson, Capraro, & Li, 2007; McNeil, 2008). Например, студенты часто практикуют сотни уравнений типа 2 + 3 = _, которые требуют небольшого понимания знака равенства в реляционной манере (Пауэлл, в печати). Напротив, студенты, даже те, кто борется с математикой, учатся интерпретировать знак равенства в зависимости от отношений с помощью соответствующих инструкций и практики (Powell & Fuchs, 2010).Однако без надлежащего обучения и практики учащиеся продолжают неправильно использовать или неверно истолковывать символы в средней и старшей школе (Knuth, Alibali, Hattikudur, McNeil, & Stephens, 2008; Rownree, 2009; Verikios & Farmaki, 2010).

Концепции сложения и вычитания

Изучение концепций сложения и вычитания не обязательно означает овладение счетом, сравнением чисел и математических символов. Дети часто могут решать простые задачи на сложение и вычитание, представленные без символов (т. е., представленный устно и / или решенный с помощью манипуляций или подсчета голосов; Кобб, 1987; Sherman & Bisanz, 2009). Однако адекватные навыки счета, сравнения и знания символов необходимы для выполнения большинства задач на сложение и вычитание, которые ставятся перед учащимися младших классов начальной школы.

Приступая к изучению числовых комбинаций сложения и вычитания (т. Е. Основных фактов), студенты часто работают над простыми задачами с помощью манипуляторов. По мере практики студенты меньше полагаются на манипуляторы и больше полагаются на свои пальцы при счете (Groen & Resniek, 1977).Поскольку при решении комбинаций чисел сложения и вычитания часто используется счет, навыки счета важны (Baroody, Bajwa, & Eiland, 2009). В большинстве случаев молодые студенты используют счет по одному в качестве механизма счета по умолчанию. Счет по два или другие приращения или использование навыков субитализации не распространены до второго класса или позже (Camos, 2003). Затем учащиеся переходят от счета к решению числовых комбинаций, используя стратегии рассуждения или по памяти. Мастерство и беглость, конечно же, являются конечной целью числовых комбинаций.Как правило, к концу первого класса ученики должны знать все 100 комбинаций чисел сложения и 100 вычитания (Baroody et al., 2009).

Начиная с сложения и вычитания, учащиеся часто решают задачи на сложение более успешно, чем задачи на вычитание (Шински, Чан, Коулман, Моксом и Ямамото, 2009). Это связано с тем, что учащиеся учатся считать вперед задолго до того, как им удастся считать в обратном направлении. Навыки сложения учащихся, даже учащихся, которые борются с математикой, обычно сильнее, чем их навыки вычитания.Это проявляется в том, что многие ученики решают задачи на вычитание более эффективно, когда они используют навыки сложения (Torbeyns, De Smedt, Stassens, Ghesquière, & Verschaffel, 2009). Например, при решении задачи 14 — 9 = _ многим ученикам легче подумать: «Что я могу добавить к 9, чтобы получить 14?» и может быть использована стратегия подсчета вперед.

Хотя учащиеся могут понять принцип вычитания, они часто отстают в своей способности понять, что вычитание является обратным сложению (Baroody, Lai, Li, & Baroody, 2009).Поскольку учащиеся не понимают автоматически обратную связь между сложением и вычитанием, эту концепцию следует сделать более явной через инструкции и практику (Baroody, 1999). Студенты, которые понимают взаимосвязь между сложением и вычитанием (т.е. сложение является обратным вычитанию и наоборот), демонстрируют лучшие концептуальные знания и лучшие результаты вычитания, чем студенты, которые не понимают эту взаимосвязь (Gilmore & Papadatou-Pastou, 2009).

Стратегии подсчета (т. Е. Подсчет для поиска ответа на комбинацию чисел сложения или вычитания) помогают учащимся решать комбинации. Однако не все учащиеся используют стратегию подсчета (Saxton & Cakir, 2006). Некоторые студенты просто догадываются. Для многих студентов, особенно тех, кто борется с ранними навыками работы с числами, полезны стратегии подсчета для решения числовых комбинаций, и их можно освоить с относительной легкостью. Есть несколько стратегий подсчета, которые студенты могут использовать при решении числовых комбинаций сложения и вычитания.См. Диаграммы. При подсчете всего учащиеся отсчитывают первое слагаемое, отсчитывают второе слагаемое, а затем считают оба слагаемых вместе, начиная с 1. Обычно это первая стратегия подсчета для сложения, которую применяют студенты (Fuson & Secada, 1986). Стратегия подсчета всего не очень эффективна и, учитывая количество требуемых подсчетов, часто приводит к неправильным ответам. Студенты обычно отказываются от использования подсчета всех в пользу более продвинутой стратегии «подсчета» или «расчета на» (Fuson & Secada, 1986).Подсчет может быть выполнен двумя способами: начать с большего слагаемого и подсчитать меньшее слагаемое (т. Е. Стратегия «мин», потому что ученик считает минимальное количество) или наоборот (т. Е. Стратегия «макс.», Потому что студент считает максимальную сумму). Прежде чем студенты узнают коммутативное свойство сложения (т. Е. Порядок сложения не влияет на сумму), они часто начинают с первого слагаемого в числовом предложении (например, 4 из 4 + 9 = _), не осознавая большая эффективность, начиная с большего слагаемого и считая меньшее слагаемое (Groen & Parkman, 1972).Например, если представить 5 + 9 = _, учащиеся начинают с 9 и считают еще 5: «10, 11, 12, 13, 14». Студенты часто разрабатывают эту стратегию счета на основе опыта и практики (Weiland, 2007), но может быть необходимо, особенно для студентов, которые борются с математикой, дать подробные инструкции по этой более эффективной стратегии счета (Powell, Fuchs, Fuchs, Cirino и Флетчер, 2009).

Стратегии подсчета

С каждой из этих стратегий учащиеся могут поднимать пальцы, складывать пальцы или касаться пальцами.Студенты могут работать ладонями к себе или от них. Кроме того, учащиеся могут считать слева направо или справа налево. Они могут начать считать указательным, большим или другим пальцем.

Чтобы решить числовые комбинации на вычитание, ученики часто ведут обратный отсчет. То есть они начинают с уменьшаемого и отсчитывают количество вычитаемого. Если 9 — 4 = _, ученики начинают с 9 и считают 4: «8, 7, 6, 5.» Обратный отсчет или обратный отсчет затруднен для студентов, особенно для студентов с математическими трудностями, потому что беглость обратного счета ограничена по сравнению с беглым обратным счетом (Passolunghi & Cornoldi, 2008).Ученики также склонны делать гораздо больше ошибок, считая в обратном порядке, чем в обратном направлении. Более эффективная стратегия решения задач на вычитание — это подсчет. Учащиеся начинают с вычитаемого и считают до убавляемого. Если 9 — 4 = _, ученики начинают с 4 и считают «5. 6. 7, 8, 9. ” Они считают 5 пальцев или делают 5 счетов, поэтому 9 — 4 = 5. Эта стратегия использует навыки быстрого прямого счета учащихся и зарекомендовала себя как полезная стратегия для учащихся с трудностями в математике (Fuchs et al., 2009; Fuchs, Powell, et al., 2010). Использование подсчета для вычитания также подчеркивает тот факт, что вычитание представляет собой разницу между двумя суммами (то есть уменьшаемым и вычитаемым).

С помощью сложения и вычитания практика использования стратегий счета и работа над беглостью речи улучшает успеваемость учащихся, испытывающих трудности (Fuchs, Powell, et al., 2010). Учащимся необходимо понимать концепции, лежащие в основе числовых комбинаций (Baroody, Lai, et al., 2009), но им также необходимо предоставить рутинную, даже ежедневную практику, чтобы развивать беглость и помогать учащимся часто и правильно связывать основы проблемы и их ответы (Fuchs, Powell, et al., 2010). Это приводит к тому, что учащиеся создают представления в долговременной памяти, и помогает учащимся полагаться на наиболее эффективную стратегию решения задач сложения и вычитания: автоматический поиск ответов (Fuchs et al., 2011). По этой причине учащимся необходимо попрактиковаться во всех комбинациях чисел, особенно в комбинациях чисел, состоящих из двузначных цифр (например, 9 + 7 = 16; 14-8 = 6), потому что они, как правило, гораздо больше знакомятся с более простыми комбинациями чисел (Hamann И Эшкрафт, 1986).

ПРИМЕР РАННЕЙ ЧИСЛЕННОЙ ВМЕШАТЕЛЬСТВА ДЛЯ БОРЬБЫ УЧАЩИХСЯ

Мы обсудили четыре ранние числовые навыки: счет, сравнение чисел, понимание символов и концепции сложения и вычитания. Хотя это не исчерпывающий список начальных числовых компетенций, эти четыре являются критически важными компонентами эффективной ранней числовой программы для учащихся, испытывающих трудности. Эти четыре компонента связаны друг с другом и дополняют друг друга по мере того, как учащиеся изучают все больше и больше математики в младших классах начальной школы.Хотя учащиеся могут испытывать трудности с одной или несколькими из этих начальных числовых компетенций, обучение и практика могут улучшить начальные числовые навыки учащихся.

В этом следующем разделе мы опишем начальную числовую программу для первоклассников, испытывающих трудности с математикой. Мы описываем эту программу, чтобы проиллюстрировать, как учителя и родители учащихся, испытывающих трудности, могут включить четыре ранние числовые компетенции, обсуждаемые в этой статье, в успешную учебную программу для учащихся, испытывающих трудности.Это не единственное доступное раннее численное вмешательство, поэтому учителя должны изучить варианты, прежде чем выбирать программу для своих учеников. Galaxy Math, , также называемый Number Rockets, (Fuchs et al., 2011), был разработан, чтобы помочь предотвратить долгосрочные трудности в математике, устраняя ранние дефициты числовых навыков и продвигая знания чисел и навыки с числовыми комбинациями и другими ключевые компоненты учебной программы по математике для первого класса. Программа называется Galaxy Math , потому что на всех уроках используется космическая тема, которая помогает мотивировать учащихся.Репетиторы поощряют студентов «Стремиться в галактику математики!» и студенты используют математические манипуляторы в форме ракет. См. Пример таблицы мотивации на тему галактики.

Galaxy Math Мотивационная таблица

Экспериментальное исследование Galaxy Math

В начале первого класса учащиеся с согласия родителей были проверены для выявления тех, кто подвержен риску неадекватного развития математики, хотя у большинства учащихся не было диагностировано в школе. неспособность к обучению.Этих учеников случайным образом распределили для продолжения их обычной школьной программы (то есть контрольной группы) или одной из двух версий Galaxy Math. В обеих версиях Galaxy Math основное внимание (25 минут каждого 30-минутного урока) уделяется типам начальных числовых навыков, обсуждаемых в этой статье. Одна версия Galaxy Math (стандартная версия) добавляла 5 минут практики в конце каждого занятия; в другой версии добавлено 5 минут игр.В обоих условиях обучения. Galaxy Math учащихся прошли 48 индивидуальных занятий три раза в неделю.

См. Список модулей и концепций Galaxy Math . В Блоке 1 ученики используют такие манипуляторы, как числовая линия, подсчет бобов и «Мистер. Greater Gator », чтобы узнать величины, потренироваться в счете, сравнить числа и выучить символы. См., Например, упражнения по подсчету и изучение терминологии равный. Эти задания проводятся во время первых нескольких уроков Galaxy Math. См. Образец числовой строки. Числа в числовой строке увеличиваются в размере по мере увеличения числа, чтобы помочь учащимся понять величину чисел. Посмотрите на мистера Большого Аллигатора. У этого аллигатора широко открытая пасть с символами неравенства (то есть больше или меньше знаков), наложенными на открытую пасть. Учащиеся узнают, что аллигатор очень голоден и хочет съесть большее количество, когда ему предложат два количества. Открытый рот всегда смотрит на большее число.Также в Блоке 1 ученики изучают стратегии подсчета для подсчета (для сложения) и подсчета (для вычитания). При подсчете учащиеся держат меньшее слагаемое на пальцах, а затем считают, складывая по одному пальцу за раз, пока не останется ни одного пальца (например, сжатый кулак). Например, с 3 + 6 ученик поднимает 3 пальца и затем считает: «7» (складывает 1 палец), «8» (складывает еще один палец), «9» (складывает последний палец). Ответ — это последнее число, которое произносит учащийся (в данном случае 9).Подсчет — это одна из разновидностей стратегии подсчета. Подсчет оказался полезным для первоклассников, потому что он помогал им следить за подсчетом суммы. Счет для вычитания ученики начинают со сжатым кулаком. Они начинают с вычитания и пальцами считают до минимума. Например, с 9–3 учениками считается «4, 5, 6, 7, 8, 9» (каждый раз поднимая другой палец). Когда ученики достигают минимума, они подсчитывают количество пальцев (в данном случае 6), и 6 записываются как ответ.В Блоке 1 учащиеся также решают сюжетные задачи с помощью манипуляторов, изображений или действий. Например, когда ему задают вопрос: «У Джона в тележке с продуктами 4 яблока. Он кладет в тележку еще 1 яблоко. Сколько яблок сейчас в тележке Джона? » студенты могли рисовать яблоки или использовать манипулятивные блоки для решения задачи.

ТАБЛИЦА 1

В Модуле 2 учащиеся используют бобы и числовую линию, чтобы узнать о числах с двойным числом от 0 до 6 (т.е., 0 + 0, 1 + 1, 2 + 2, 3 + 3, 4 + 4, 5 + 5, 6 + 6, 0 — 0, 2 — 1, 4 — 2, 6 — 3, 8 — 4 , 10 — 5, 12 — 6). Двойные упражнения практикуются на ранних этапах программы, потому что ученики обычно не испытывают особых трудностей с запоминанием двойных чисел, а учащиеся могут использовать их для решения других числовых комбинаций (Van De Walle et al., 2010).

В Модуле 3 учащиеся начинают изучать комбинации чисел в наборах. Каждый набор включает в себя все числовые комбинации с суммой и уменьшением в качестве номера целевого набора. Например, набор 5 состоит из комбинаций альтернативных чисел с суммой 5 или 5 в качестве уменьшаемого (т.е., 0 + 5, 1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1, 5 + 0, 5 — 0, 5 — 1, 5 — 2, 5 — 3, 5 — 4, 5 — 5 ). Репетиторы начинают с 5-го подхода и продолжают 12-й подход. Работая над каждым набором, тьютор проводит с учеником пять заданий. Во-первых, наставник и ученик используют кубы unifix, чтобы увидеть, как кубики можно комбинировать различными способами, чтобы получить комбинации чисел сложения и вычитания набора. См. Примеры из 5 комплекта. С помощью манипуляторов учащиеся также могут увидеть, как 1 + 4, 4 + 1, 5-1 и 5-4 связаны как «семья», а второе задание каждого урока фокусируется на семьях, составляющих соответствующий набор.В-третьих, учащиеся либо отвечают на задачи из набора цифр на листе, либо показывают все комбинации из набора чисел с помощью управляемых ракет. Затем наставник и ученик вместе решают задачу-рассказ, в которой используется комбинация чисел из набора. Учащийся решает задачу и объясняет, почему задача рассказа относится к конкретному набору чисел. Пятое упражнение каждый день — это устный обзор предыдущих наборов чисел.

Примеры манипуляции с 5 наборами

Для каждого набора учащиеся работают от одного до четырех уроков.После первого урока в наборе каждый последующий урок начинается с теста на усвоение карточек, с помощью которого учащиеся могут перейти к следующему набору, правильно ответив на карточки. Студенты должны ответить в течение 3 секунд, не более одной ошибки. Студенты, которые достигли мастерства до полного набора из четырех уроков в каждом наборе, завершают 12 наборов. Другие учащиеся завершают набор из 10, а затем переходят к разделу 4. Это правило обеспечивает соответствующий охват содержания.

В Блоке 4 основное внимание уделяется разряду: счет от десятков до 100, отображение и запись единиц и десятков, перегруппировка и сложение двузначных чисел.Студенты также просматривают наборы чисел во время этого раздела. Блок 5 предназначен для учащихся, демонстрирующих мастерство при работе с наборами чисел. В этом модуле учащиеся рассматривают числовые наборы и концепции разметки.

За последние 5 минут каждого занятия Fuchs et al. (2011) изолировали влияние практики обеспечения. Для этого половина студентов в исследовании систематически практиковалась в течение последних 5 минут; другая половина играла в игры. В условиях практики и игр содержание было тем же: материал, относящийся к уроку того дня.Случайное задание определяло, участвовали ли учащиеся в играх или в тренировках в конце урока.

В условии игры учащиеся играют в игры с управляемыми ракетами для отработки концепций. Например, в одной игре учащиеся вращаются, чтобы узнать, сколько ракет вызывается на космическую станцию, и помещают это количество ракет на игровое поле. Затем они снова вращаются, чтобы увидеть, сколько ракет отозвано назад, на землю, и снимают соответствующее количество ракет с доски.Затем они генерируют числовое предложение, представляющее эту серию событий. В играх репетиторы побуждают учащихся знать ответ или использовать пальцы, бобы или числовые линии для вычисления ответа. Репетиторы объясняют, что «знать ответ сразу же» является предпочтительной стратегией, если ученик уверен в ответе.

В условиях практики учащиеся отрабатывают материалы уроков с помощью упражнения «Собери или побей свой результат», основанного на флэш-карточках. Например, после введения наборов сложения / вычитания учащиеся практикуют числовые комбинации.Репетиторы поощряют детей извлекать комбинацию из памяти или, если они не уверены в ответе, используют стратегию счета, которую они изучили в Galaxy Math , чтобы решить комбинацию. Когда ученик отвечает правильно, флеш-карта складывается стопкой на стол. Когда ученик отвечает неправильно, репетитор требует, чтобы ученики использовали стратегию подсчета (то есть подсчет или подсчет), чтобы найти правильный ответ. Исправленная карта кладется в стопку на столе. По истечении 90 секунд учащийся отображает количество правильно отвеченных флеш-карточек.См. Образец графика флеш-карты. Затем у студентов есть два шанса встретить или побить свой первый результат на карточке.

Тренировочная графическая карта

В обоих случаях наставники поощряют поведение при выполнении задания и мотивацию к тяжелой работе (Fuchs et al., 2008), используя программу систематического вознаграждения. Репетиторы учат студентов, что поведение при выполнении задания означает внимательность и упорные попытки правильно ответить на вопросы. Учащиеся узнают, что поведение при выполнении задания важно для «прыжка в галактику математики».«Учащиеся зарабатывают стикеры за выполнение заданий и усердную правильную работу. Они размещают свои наклейки на диаграмме Galaxy Math (см.). Учащиеся получают приз (например, маленькую игрушку, наклейку или карандаш), когда достигают Солнца на карте галактики.

Результаты исследования (Fuchs et al., 2011) показали, что учащиеся, участвовавшие в репетиторстве Galaxy Math , улучшили свои знания чисел, простой арифметики, более сложных вычислений и текстовых задач значительно лучше, чем учащиеся контрольной группы.Учащиеся, участвовавшие в практике, улучшили больше, чем учащиеся игр, по простой арифметике и более сложным вычислениям, без ущерба для их числовых знаний или успеваемости по задачам со словами. Это, наряду с другими ранними исследованиями численного вмешательства (например, Bryant et al., 2011; Fuchs et al., 2005b), демонстрирует положительные результаты для учащихся из групп риска, когда раннее численное вмешательство происходит рано и с интенсивностью. Fuchs et al. (2011) исследование также показывает особую важность включения частых, хорошо продуманных практик, поддерживающих правильное реагирование.

ПРЕДЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ПРАКТИКОВ

По мере того, как учащиеся входят в детский сад и часто переходят в первый класс с разной степенью ранней математической компетентности, практикующие должны проводить раннюю оценку и раннее вмешательство, чтобы помочь учащимся, которые борются с основами математики. Что касается оценки, мер мониторинга прогресса (например, Lembke & Foegen, 2009; Seethaler & Fuchs, 2011) и мер скрининга, направленных на конкретные математические навыки (например, Geary et al., 2007; Jordan et al., 2009) можно использовать для определения того, какие учащиеся заслуживают раннего численного вмешательства.

После выявления учащихся, которым в детском саду или первом классе сложно овладеть числовыми навыками на начальном этапе, практикующим необходимо оценить начальные числовые программы и выбрать программу, которая наилучшим образом соответствует потребностям их учеников.

Основываясь на экспериментальной работе с молодыми студентами (например, Bryant et al., 2011; Fuchs et al., 2011), программы начальных числовых компетенций должны включать следующее: (a) четкое обучение, сфокусированное на концептуальных знаниях и процедурных навыках, (b) последовательность инструкций, которая имеет смысл и актуальность, (c) обзор ранее преподаваемых тем, (d) практика текущих тем и (e) беглость работы над комбинации чисел сложения и вычитания.Направление обучения (например, навыки счета, концепции сложения) следует определять в зависимости от потребностей учащихся. Одна программа не может быть лучшей для всех студентов, поэтому практикующие должны следить за успеваемостью студентов, пока студенты участвуют в обучении, чтобы определить реакцию. Если учащиеся не демонстрируют надлежащего обучения, их учебную программу следует изменить, чтобы сформировать программу, адаптированную к потребностям учащегося.

Поскольку первые навыки счета в детском саду предопределяют математические достижения в более поздних классах (Duncan et al., 2007; Jordan et al., 2010), своевременное вмешательство учащихся, которым не хватает навыков в начальных числовых компетенциях, имеет жизненно важное значение. Исследователям необходимо продолжать совершенствовать ранние числовые оценки и вмешательства, которые помогут школам своевременно выявлять и принимать эффективные меры для обеспечения компетентности учащихся в основных строительных блоках математики.

Самые неправильно понятые стандарты математики в 5-м классе

В моих последних сообщениях мы исследовали наиболее неправильно понимаемые стандарты элементарной математики в 3 и 4 классах.Мне нравятся беседы, которые я веду с преподавателями математики, и приветствую присоединиться к большему количеству людей! Меня можно найти в Твиттере здесь: @few_rebecca, или оставьте мне комментарий ниже!

В этом посте мы погрузимся в наиболее неправильно понимаемые стандарты начальной школы в 5-м классе. Опять же, речь идет не о том, чтобы судить наших коллег, а о том, чтобы глубоко изучить практику преподавания математики в 5-м классе и вместе узнать больше о стандартах.

Сколько раз мы слышали, как кто-то говорит: «Когда мы умножаем, произведение всегда больше» или «Когда я делю, мой ответ всегда меньше». Наверное, несколько раз за время обучения. Когда я слышу эти заявления, моя первая реакция: «Правда? Всегда?»

Неточные математические обобщения приводят к неправильному пониманию важных математических понятий.Эти заблуждения могут иметь непредвиденные последствия для наших студентов. Я хочу углубиться в два стандарта, которые опровергают приведенные выше утверждения и призывают всех нас быть более точными в нашем математическом языке и общении.

Первый — 5.NF.B.4: Применяйте и расширяйте предыдущие представления об умножении для умножения дроби или целого числа на дробь.

Когда я вижу проблему типа ½ x ¾, я говорю себе, что такое ½ от? В контексте задач умножения «из» означает умножать.Такое мышление помогает мне визуализировать проблему и обдумывать следующие шаги.

Давайте посмотрим на ½ из ¾, используя две модели площади:

Модель площади умножения дробей позволяет учащимся увидеть, что умножение дробей приводит к меньшему продукту и помогает построить чувство числа дроби, чувство числа, относящееся к дробям, а не к целым числам. Эта модель также может быть наглядным, чтобы показать, что две фракции близки к одной, в результате получается продукт, близкий к единице.

Второй стандарт, который мы рассмотрим вместе, — это 5.NF.B.7: Применяйте и расширяйте предыдущие представления о делении для деления дробей единиц на целые числа и целых чисел на дроби единиц. Приведенные ниже контекстные задачи из «Иллюстративной математики» позволяют студентам применять то, что они знают о математике, в реальных ситуациях.

Какую из следующих проблем можно решить, найдя 3 ÷ 1/2? Откуда вы знаете?

1. Шона покупает трехфутовый бутерброд для вечеринки.Затем она разрезает бутерброд на кусочки, каждая из которых имеет длину 1/2 фута. Сколько штук она получит?
2. Фил готовит 3 литра супа на обед. Его семья съедает половину супа на обед. Сколько литров супа семья Фила съедает на ужин?
3. Пират находит три фунта золота. Чтобы защитить свое богатство, он прячет золото в двух сундуках с сокровищами с равным количеством золота в каждом сундуке. Сколько фунтов золота в каждом сундуке?
4. Лев использовал половину мешка муки, чтобы испечь хлеб.Если он использовал 3 стакана муки, сколько стаканов было в мешке для начала?

Две проблемы, которые мы можем решить, разделив 3 на 1/2, — это «a» и «d». Для проблемы «а» мы можем рассуждать об ответе, не предоставляя модели. У Шоны есть бутерброд длиной 3 фута. Если она разрежет этот бутерброд на кусочки так, чтобы каждый кусок был длиной ½ фута, и хочет знать, сколько ломтиков она получит, Шона действительно спросит: «Сколько групп по 1/2 в 3?» Для задачи «d» мы можем предположить, что если 3 стакана муки составляют половину мешка, то для начала в мешке было 6 стаканов муки.