Номер по математике 5 класс 364: Номер №364 — ГДЗ по Математике 5 класс: Виленкин Н.Я.

Номер 364 — ГДЗ по Математике 5 класс Учебник Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд. Часть 2



Перейти к содержанию

Search for:

Авторы: Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.

Издательство: Мнемозина

Тип: Учебник

Новая версия

Часть 1

Выберите номер

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540541542543544545546547548549550551552553554555556557558559560561562563564565566567568569570571572573574575576577578579580581582583584585586587588589590591592593594595596597598599600601602603604605606607608609610611612613614615616617618619620621622623624625626627628629630631632633634635636637638639640641642643644645646647648649650651652653654655656657658659660661662663664665666667668669670671672673674675676677678679680681682683684686687688689690691692693694695696697698698699701702703704705706707708709710711712713714715716717718719720721722723724725726727728729730731732733734735736737738739740741742743744745746747748749750751752753754755756757758759760761762763764765766767768769770771772773774775776777778779780781782783784785786787788789790791792793793794795797798799800801802803804805806807808809810811812813814815816817817819820821822823824825826827828829830831832833834835836837838839840841842843844845846847848849850851852

Часть 2

Выберите номер

123456789101112131415161718192122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394959697989910010110210310410510610710810911011111211311411511611711811912012112212312412512612712812913013113213313413513613713813914014114214314414514614714814915015115215315415515615715815916016116216316416516616716816917017117217317417517617717817918018118218318418518618718818919019119219319419519619719819920020120220320420520620720820921021121221321421521621721821922022122222322422522622722822923023123223323423523623723823924024124224324424524624724824925025125225325425525625725825926026126226326426526626726826927027127227327427527627727827928028128228328428528628728828929029129229329429529629729829930030130230330430530630730830931031131231331431531631731831932032132232332432532632732832933033133233333433533633733833934034134234334434534634734834935035135235335435535635735835936036136236336436536636736836937037137237337437537637737837938038138238338438538638738838939039139239339439539639739839940040140240340440540640740840941041141241341441541641741841942042142242342442542642742842943043143243343443543643743843944044144244344444544644744845045145245345445545645745845946046146246346446546646746846947047147247347447547647747847948048148248348448548648748848949049149249349449549649749849950050150250350450550650750850951051151251351451551651751851952052152252352452552652752852953053153253353453553653753853954054154254354454554654754854955055155255355455555655755855956056156256356456556656756856957057157257357457557657757857958058158258358458558658758858959059159259359459559659759859960060160260360460560660760860961061161261361461561661761861962062162262362462562662762862963063163263363463563663763863964064164264364464564664764864965065165465565665765865966066166266366466566666766866967067167267367467567667767867968068168268368468568668768868969069169269369469569669769869970070170270370470570670770870971071171271371471571671771871972072172272372472572672772872973073173273373473573673773873974074174274374474574674774874975075175275375475575675775875976076176276376476576676776876977077177277377477577677777877978078178278378478578678778878979079179279379479579679779879980080180280380480580680780880981081181281381481581681781881982082182282382482582682782882983083183283383483583683783883984084184284384484584684784884985085185285385485585685785885986086186286386486586686786887087187287387487587687787887988088188288388488588688788888989089189289389489589689789889990090190290390490590690790890991091191291391491591691791891992092192292392492592692792892993093193293393493593693793893994094194294394494594694794894995095195295395495595695795895996096196296396496596696796896997097197297397497597697797897998098198298398498598698798898999099199299399499599699799899910001001100210031004100510061007100810091010101110121013101410151016101710181019102010211022102310241025102610271028102910301031103210331034103510361037103810391040104110421043104410451046104710481049105010511052105310541055105610571058105910601061106210631064106510661067106810691070107110721073107410751076107710781079108010811082108310841085108610871088108910901091109210931094109510961097109810991100110111021103110411051106110711081109111011111112111311141115111611171118111911201121112211231124112511261127112811291130113111321133113411351136113711381139114011411142114311441145114611471148114911501151115211531154115511561157115811591160116111621163116411651166116711681169117011711172117311741175117611771178117911801181118211831184118511861187118811891190119111921193119511961197119811991200120112021203120412051206120712081209121012111212121312141215121612171218121912201221122212231224122512261227122812291230123112321233123412351236123712381239124012411242124312441245124612471248124912501251125212531254125512561257125812591260126112621263126412651266126712681269127012711272127312741275127612771278127912801281128212831284128512861287128812891290129112921293129412951296129712981299130013011302130313041305130613071308130913101311131213131314131513161317131813191320132113221323132413251326132713281329133013311332133313341335133613371338133913401341134213431344134513461347134813491350135113521353135413551356135713581359136013611362136313641365136613671368136913701371137213731374137513761377137813791380138113821383138413851386138713881389139013911392139313941395139613971398139914001401140214031404140514061407140814091410141114121413141414151416141714181419142014211422142314241425142614271428142914301431143214331434143514361437143814391440144114421443144414451446144714481449145014511452145314541455145614571458145914601461146214631464146514661467146814691470147114721473147414751476147714781479148014811482148314841485148614871488148914901491149214931494149514961497149814991500150115021503150415051506150715081509151015111512151315141515151615171518151915201521152215231524152515261527152815291530153115321533153415351536153715381539154015411542154315441545154615471548154915501551155215531554155515561557155815591560156115621563156415651566156715681569157015711572157315741575157615771578157915801581158215831584158515861587158815891590159115921593159415951596159715981599160016011602160316041605160616071608160916101611161216131614161516161617161816191620162116221623162416251626162716281629163016311632163316341635163616371638163916401641164216431644164516461647164816491650165116521653165416551656165716581659166016611662166316641665166616671668166916701671167216731674167516761677167816791680168116821683168416851686168716881689169016911692169316941695169616971698169917001701170217031704170517061707170817091710171117121713171417151716171717181719172017211722172317241725172617271728172917301731173217331734173517361737173817391740174117421743174417451746174717481749175017511752175317541756175717581759176017611762176317641765176617671768176917701771177217731774177517761777177817791780178117821783178417851786178717881789179017911792179317941795179617971798179918001801180218031804180518061807180818091810181118121813181418151816181718181819182018211822182318241825182618271828182918301831183218331834183518361837183818391840184118421843184418451846184718481849

Старая версия

Выберите страницу

678911121314151617181920212324252627282930313235363738394041434445464748495051525354555657586061626364656768697071727375767778798081828384868788899091929495969798100101102103104105106107108109110111112113115116117118119120121122123124127128129130131134135136137138140141142143144145147148149150152153154155156157158159160161162163164165166167169170171172173175176177178179181182183184186187188189190192193194195196197198200201202203205206207208210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231233234235236237238239240241242243245246247248249251252253254255256257258259261262263264265266267268269270271272273274260



дайын үй жұмыстары Математика Абылкасымова 5 класс 2017 Упражнение 364 2020

Глава 1.

§ 1. Запись натуральных чисел

12345678910111213

§ 2. Координатный луч

14151617181920212223242526

§ 3. Сравнение натуральных чисел

2728293031323334353637383940

§ 4. Арифметические действия е натуральными числами

4142434445464748495051525354555657585960

§ 5. Числовые и буквенные выражения. Упрощение выражений

61626364656667686970717273747576777879

§ 6. Уравнения

808182838485868788899091

§ 7. Формулы. Вычисления по формулам

9293949596979899100101102

§ 8. Решение текстовых задач

103104105106107108109110111112113114115116117118119

120121122

§ 9. Последовательность из натуральных чисел

123124125126127128129130131132

Глава 2.

§ 10. Делители и кратные натуральных чисел. Простые и составные числа

133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153

§11. Основные свойства делимости

154155156157158159160161162163164165166167168169170

§ 12. Признаки делимости на числа 2. 3, 5, 9.

171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194

§13. Степень

195196197198199200201202203204205206207208209210211212

§14. Разложение натурального числа на простые множители

213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233

§15. Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)

234235236237238239

240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259

Глава 3.

§ 16. Обыкновенная дробь. Чтение и запись обыкновенных дробей

260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286

§ 17. Основное свойство обыкновенной дроби

287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325

§ 18. Правильные и неправильные обыкновенные дроби. Смешанные числа

326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345

§19. Перевод неправильной обыкновенной дроби в смешанное число и смешанного числа в неправильную обыкновенную дробь

346347348349350351352353354355356357358359

360361362363364

§ 20. Изображение обыкновенных дробен и смешанных чисел на координатном луче

365366367368369370371372373374375376377378379380381

§ 21.

382383385386387388389390391392393394395396397398

§ 22. Сравнение обыкновенных дробей и смешанных чисел

399400401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420

§ 23. Сложение и вычитание обыкновенных дробей

421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454

§ 24. Сложение смешанных чисел

455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478

§ 25. Вычитание смешанных чисел

479480

481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503

§ 26. Умножение обыкновенных дробей и смешанных чисел

504505506507508509510511512513514515516517518519

§ 27.

520521522523524525526527528529530531532533534535536537

§ 28. Действия с обыкновенными дробями, нулем, натуральными и смешанными числами

538539540541542543544545546547548549550551552553554555556

Глава 4. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

§ 29. Нахождение дроби от числа и числа по его дроби

557558559560561562563564565566567568569570571572573574575576577578

§ 30. Задачи на совместную работу

579580581582583584585586587588589590591592593

Глава 5. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ II ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

§ 31. Десятичная дробь. Чтение и запись десятичных дробей

594595596597598599600

601602603604606607

§ 32. Перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь

608609610611612613614615616617

§ 33.

618619620621622623624625626627628629630631632633

§ 34. Сложение и вычитание десятичных дробей

634635636637638639640641642643644645646647648649650

§ 35. Умножение десятичной дроби на натуральное число

651652653654655656657658659660661662663664665666667668669

§ 36. Умножение десятичных дробей

670671672673674675676677678679680681682683684685

§ 37. Деление десятичной дроби на натуральное число

686687688689690691692693694695696697698699700701

§ 38. Деление десятичных дробей

702703704705706707708709710711712713714715716717718719720

§ 39. Умножение и деление десятичных дробей на 10. 100. 1000. … и на 0.1. 0,01, 0,001

721

722723724725726727728729730731732733734735736

§ 40.

737738739740741742743744745746747748749750751752753754755756757

§41. Округление чисел

758759760761762763764765

§ 42. Решение текстовых задач

766767768769770771772773774775776777778779

Глава 6. МНОЖЕСТВА

§ 43. Множество. Элементы множества. Изображение множеств

780781782783784785787

§ 44. Отношения между множествами. Подмножества

788789790791792793794795

§ 45. Объединение и пересечение множеств

796797798799800

§ 46. Решение текстовых задач

801802803804805806807808

Глава 7. ПРОЦЕНТЫ

§ 47. Процент

809810811812813815816817818819820821822823824825826828829830831

§ 48. Нахождение процентов от числа и числа по его процентам

832833834835836837838839840841842843

§ 49.

844

845846847848849850851852853854855856857858859860861862863864865866867868869

Глава 8. УГЛЫ. МНОГОУГОЛЬНИКИ

§ 50. Угол

870871872873874875876877878880881

§ 51. Многоугольники

882883884885886887888889890

Глава 9. ДИАГРАММЫ

§ 52. Окружность. Крут

891892893894895896897898899901902

§ 53. Диаграмма. Представление статистических данных с помощью диаграмм

903904906907908909910911912913915916917919920921

Глава 10. РАЗВЕРТКИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР

§ 54. Прямоугольный параллелепипед (куб) и его развертка

922923924926

§ 55. Задачи на разрезание фигур. Задачи на складывание фигур

929930931932933934

Глава 11.

937938939940941942943944945946947948949950951952953954955956957958959960961962963964965966967968969970971972973974

975976977978979980

Калькулятор НОД и НОК с решением онлайн

При помощи данного калькулятора вы можете легко найти наибольший общий делитель НОД и наименьшее общее кратное НОК благодаря подробно расписанному решению.

Выберите количество чисел для НОД и НОК

Вы так же можете воспользоваться:

калькулятором нахождения НОД и НОК по алгоритму Евклида калькулятором нахождения НОД и НОК для любого количества чисел

Наибольший общий делитель НОД

Наибольший общий делитель НОД(a, b) – это наибольшее натуральной число, на которое можно разделить без остатка числа a и b.

Если числа имеют только один общий делитель – единицу, то такие числа называют взаимно простыми.

Наибольший общий делитель НОД обозначают: НОД(a, b), (a, b), gcd(a, b), hcf(a, b).

Свойства НОД

1. Наибольший общий делитель чисел a и b делится на любой общий делитель этих чисел.
   Данное свойство означает, что если найти все общие делители чисел a и b, то НОД(a, b) будет делится на любой из этих делителей.
   Например, возьмём два числа 15 и 30 и найдем все общие делители этих чисел: 1, 3, 5, 15. Наибольший из этих делителей – число 15. Тогда число 15 делится на 1, 3, 5, 15.
2. Если число a делится на b, то НОД(a, b) = b.
   Например, число 20 делится на число 10, тогда НОД(20, 10) = 10.
3. При помощи наибольшего общего делителя можно привести дроби к несократимому виду.
   Например, дробь 5/30 можно привести к несократимому виду, если найти НОД(30, 5). НОД(30, 5) = 5, следовательно число 5 – самое больше число из возможных делителей числа 30 и 5 на которое можно разделить эти числа, тогда 30:5 = 6, 5:5 = 1. Получаем дробь 5/30 = 1/6.
   Любые действия с дробями и развернутое поэтапное решение можно вычислить, используя калькулятор дробей.

Как найти наибольший общий делитель НОД

Чтобы найти наибольший общий делитель НОД двух, трех и более чисел, необходимо:

1. Разложить числа на простые множители.
2. Найти общие множители чисел – такие числа, которые есть в разложении всех чисел и вычеркнуть их.
3. Перемножить оставшиеся множители.

Приведем пример, найдем наибольший общий делитель двух чисел 24 и 58.

Способ №1

1. Разложим числа на простые множители. Для этого проверим, является ли каждое из чисел простым (если число простое, то его нельзя разложить на простые множители, и оно само является своим разложением).

   58 — составное число

   Разложим число 24 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

   24 : 2 = 12 — делится на простое число 2
   12 : 2 = 6 — делится на простое число 2
   6 : 2 = 3 — делится на простое число 2.
   Завершаем деление, так как 3 простое число

   Разложим число 58 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

   58 : 2 = 29 — делится на простое число 2.
   Завершаем деление, так как 29 простое число

2. Выделим синим цветом и выпишем общие множители.

   24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
   58 = 2 ⋅ 29

   У чисел (24, 58) только один общий множитель — 2 и он и будет наибольшим общим делителем этих чисел

   Ответ: НОД (24, 58) = 2

Способ №2

1. Найдем все возможные делители чисел (24, 58). Для этого поочередно разделим число 24 на делители от 1 до 24, число 58 на делители от 1 до 58. Если число делится без остатка, то делитель запишем в список делителей.

   Для числа 24 выпишем все случаи, когда оно делится без остатка:
   24 : 1 = 24;
   24 : 2 = 12;
   24 : 3 = 8;
   24 : 4 = 6;
   24 : 6 = 4;
   

   24 : 8 = 3;
   24 : 12 = 2;
   24 : 24 = 1;

   Для числа 58 выпишем все случаи, когда оно делится без остатка:
   58 : 1 = 58;
   58 : 2 = 29;
   58 : 29 = 2;
   58 : 58 = 1;

2. Выпишем все общие делители чисел (24, 58) и выделим зеленым цветом самый большой, это и будет наибольший общий делитель НОД чисел (24, 58)

   Общие делители чисел (24, 58): 1, 2

   Ответ: НОД (24, 58) = 2

Наименьшее общее кратное НОК

Наименьшее общее кратное НОК(a, b) – это наименьшее число, которое можно разделить на числа a и b без остатка.

Наименьшее общее кратное НОК обозначается: НОК(a, b), [a, b], LCM(a, b), lcm(a, b).

Как найти наименьшее общее кратное НОК

Чтобы найти НОК двух, трех и более чисел необходимо:

1. Разложить эти числа на простые множители.
2. Выписать множители одного из чисел и добавить к ним множители из разложения остальных чисел, которых нет в разложении.
3. Умножить получившиеся множители.

Приведем пример, найдем наименьшее общее кратное НОК для чисел 30 и 225.

Способ №1

1. Разложим числа на простые множители. Для этого проверим, является ли каждое из чисел простым (если число простое, то его нельзя разложить на простые множители, и оно само является своим разложением).
   225 — составное число
   30 — составное число

   Разложим число 225 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

   225 : 3 = 75 — делится на простое число 3
   75 : 3 = 25 — делится на простое число 3
   25 : 5 = 5 — делится на простое число 5.
   Завершаем деление, так как 5 простое число

   Разложим число 30 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

   30 : 2 = 15 — делится на простое число 2
   

   15 : 3 = 5 — делится на простое число 3.
   Завершаем деление, так как 5 простое число

2. Прежде всего запишем множители самого большого числа, а затем меньшего числа. Найдем недостающие множители, выделим синим цветом в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение большего числа.
   225 = 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5
   30 = 2 ∙ 3 ∙ 5

   3) Теперь, чтобы найти НОК нужно перемножить множители большего числа с недостающими множителями, которые выделены синим цветом

   НОК (225 ; 30) = 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 2 = 450

Способ №2

1. Найдем все возможные кратные чисел (225 ; 30). Для этого поочередно умножим число 225 на числа от 1 до 30, число 30 на числа от 1 до 225.

   Выделим все кратные числа 225 зеленым цветом: зеленым цветом:

   225 ∙ 1 = 225;   225 ∙ 2 = 450;   225 ∙ 3 = 675;   225 ∙ 4 = 900;
   225 ∙ 5 = 1125;   225 ∙ 6 = 1350;   225 ∙ 7 = 1575;   225 ∙ 8 = 1800;
   225 ∙ 9 = 2025;   225 ∙ 10 = 2250;   225 ∙ 11 = 2475;   225 ∙ 12 = 2700;
   225 ∙ 13 = 2925;   225 ∙ 14 = 3150;   225 ∙ 15 = 3375;   225 ∙ 16 = 3600;
   225 ∙ 17 = 3825;   225 ∙ 18 = 4050;   225 ∙ 19 = 4275;   225 ∙ 20 = 4500;
   225 ∙ 21 = 4725;   225 ∙ 22 = 4950;   225 ∙ 23 = 5175;   225 ∙ 24 = 5400;
   225 ∙ 25 = 5625;   225 ∙ 26 = 5850;   225 ∙ 27 = 6075;   225 ∙ 28 = 6300;
   225 ∙ 29 = 6525;   225 ∙ 30 = 6750;   

   Выделим все кратные числа 30 зеленым цветом:

   30 ∙ 1 = 30;   30 ∙ 2 = 60;   30 ∙ 3 = 90;   30 ∙ 4 = 120;
   30 ∙ 5 = 150;   30 ∙ 6 = 180;   30 ∙ 7 = 210;   30 ∙ 8 = 240;
   30 ∙ 9 = 270;   30 ∙ 10 = 300;   30 ∙ 11 = 330;   30 ∙ 12 = 360;
   30 ∙ 13 = 390;   30 ∙ 14 = 420;   30 ∙ 15 = 450;   30 ∙ 16 = 480;
   30 ∙ 17 = 510;   30 ∙ 18 = 540;   30 ∙ 19 = 570;   30 ∙ 20 = 600;
   30 ∙ 21 = 630;   30 ∙ 22 = 660;   30 ∙ 23 = 690;   30 ∙ 24 = 720;
   

   30 ∙ 25 = 750;   30 ∙ 26 = 780;   30 ∙ 27 = 810;   30 ∙ 28 = 840;
   30 ∙ 29 = 870;   30 ∙ 30 = 900;   30 ∙ 31 = 930;   30 ∙ 32 = 960;
   30 ∙ 33 = 990;   30 ∙ 34 = 1020;   30 ∙ 35 = 1050;   30 ∙ 36 = 1080;
   30 ∙ 37 = 1110;   30 ∙ 38 = 1140;   30 ∙ 39 = 1170;   30 ∙ 40 = 1200;
   30 ∙ 41 = 1230;   30 ∙ 42 = 1260;   30 ∙ 43 = 1290;   30 ∙ 44 = 1320;
   30 ∙ 45 = 1350;   30 ∙ 46 = 1380;   30 ∙ 47 = 1410;   30 ∙ 48 = 1440;
   30 ∙ 49 = 1470;   30 ∙ 50 = 1500;   30 ∙ 51 = 1530;   30 ∙ 52 = 1560;
   30 ∙ 53 = 1590;   30 ∙ 54 = 1620;   30 ∙ 55 = 1650;   30 ∙ 56 = 1680;
   30 ∙ 57 = 1710;   30 ∙ 58 = 1740;   30 ∙ 59 = 1770;   30 ∙ 60 = 1800;
   30 ∙ 61 = 1830;   30 ∙ 62 = 1860;   30 ∙ 63 = 1890;   30 ∙ 64 = 1920;
   30 ∙ 65 = 1950;   30 ∙ 66 = 1980;   30 ∙ 67 = 2010;   30 ∙ 68 = 2040;
   30 ∙ 69 = 2070;   30 ∙ 70 = 2100;   30 ∙ 71 = 2130;   30 ∙ 72 = 2160;
   30 ∙ 73 = 2190;   30 ∙ 74 = 2220;   30 ∙ 75 = 2250;   30 ∙ 76 = 2280;
   30 ∙ 77 = 2310;   30 ∙ 78 = 2340;   30 ∙ 79 = 2370;   30 ∙ 80 = 2400;
   
   30 ∙ 81 = 2430;   30 ∙ 82 = 2460;   30 ∙ 83 = 2490;   30 ∙ 84 = 2520;
   30 ∙ 85 = 2550;   30 ∙ 86 = 2580;   30 ∙ 87 = 2610;   30 ∙ 88 = 2640;
   30 ∙ 89 = 2670;   30 ∙ 90 = 2700;   30 ∙ 91 = 2730;   30 ∙ 92 = 2760;
   30 ∙ 93 = 2790;   30 ∙ 94 = 2820;   30 ∙ 95 = 2850;   30 ∙ 96 = 2880;
   30 ∙ 97 = 2910;   30 ∙ 98 = 2940;   30 ∙ 99 = 2970;   30 ∙ 100 = 3000;
   30 ∙ 101 = 3030;   30 ∙ 102 = 3060;   30 ∙ 103 = 3090;   30 ∙ 104 = 3120;
   30 ∙ 105 = 3150;   30 ∙ 106 = 3180;   30 ∙ 107 = 3210;   30 ∙ 108 = 3240;
   30 ∙ 109 = 3270;   30 ∙ 110 = 3300;   30 ∙ 111 = 3330;   30 ∙ 112 = 3360;
   30 ∙ 113 = 3390;   30 ∙ 114 = 3420;   30 ∙ 115 = 3450;   30 ∙ 116 = 3480;
   30 ∙ 117 = 3510;   30 ∙ 118 = 3540;   30 ∙ 119 = 3570;   30 ∙ 120 = 3600;
   30 ∙ 121 = 3630;   30 ∙ 122 = 3660;   30 ∙ 123 = 3690;   30 ∙ 124 = 3720;
   30 ∙ 125 = 3750;   30 ∙ 126 = 3780;   30 ∙ 127 = 3810;   30 ∙ 128 = 3840;
   30 ∙ 129 = 3870;   30 ∙ 130 = 3900;   30 ∙ 131 = 3930;   30 ∙ 132 = 3960;
   30 ∙ 133 = 3990;   30 ∙ 134 = 4020;   30 ∙ 135 = 4050;   30 ∙ 136 = 4080;
   30 ∙ 137 = 4110;   30 ∙ 138 = 4140;   30 ∙ 139 = 4170;   30 ∙ 140 = 4200;
   30 ∙ 141 = 4230;   30 ∙ 142 = 4260;   30 ∙ 143 = 4290;   30 ∙ 144 = 4320;
   30 ∙ 145 = 4350;   30 ∙ 146 = 4380;   30 ∙ 147 = 4410;   30 ∙ 148 = 4440;
   30 ∙ 149 = 4470;   30 ∙ 150 = 4500;   30 ∙ 151 = 4530;   30 ∙ 152 = 4560;
   30 ∙ 153 = 4590;   30 ∙ 154 = 4620;   30 ∙ 155 = 4650;   30 ∙ 156 = 4680;
   30 ∙ 157 = 4710;   30 ∙ 158 = 4740;   30 ∙ 159 = 4770;   30 ∙ 160 = 4800;
   30 ∙ 161 = 4830;   30 ∙ 162 = 4860;   30 ∙ 163 = 4890;   30 ∙ 164 = 4920;
   30 ∙ 165 = 4950;   30 ∙ 166 = 4980;   30 ∙ 167 = 5010;   30 ∙ 168 = 5040;
   30 ∙ 169 = 5070;   30 ∙ 170 = 5100;   30 ∙ 171 = 5130;   30 ∙ 172 = 5160;
   30 ∙ 173 = 5190;   30 ∙ 174 = 5220;   30 ∙ 175 = 5250;   30 ∙ 176 = 5280;
   30 ∙ 177 = 5310;   30 ∙ 178 = 5340;   30 ∙ 179 = 5370;   30 ∙ 180 = 5400;
   30 ∙ 181 = 5430;   30 ∙ 182 = 5460;   30 ∙ 183 = 5490;   30 ∙ 184 = 5520;
   30 ∙ 185 = 5550;   30 ∙ 186 = 5580;   30 ∙ 187 = 5610;   30 ∙ 188 = 5640;
   30 ∙ 189 = 5670;   30 ∙ 190 = 5700;   30 ∙ 191 = 5730;   30 ∙ 192 = 5760;
   30 ∙ 193 = 5790;   30 ∙ 194 = 5820;   30 ∙ 195 = 5850;   30 ∙ 196 = 5880;
   30 ∙ 197 = 5910;   30 ∙ 198 = 5940;   30 ∙ 199 = 5970;   30 ∙ 200 = 6000;
   30 ∙ 201 = 6030;   30 ∙ 202 = 6060;   30 ∙ 203 = 6090;   30 ∙ 204 = 6120;
   30 ∙ 205 = 6150;   30 ∙ 206 = 6180;   30 ∙ 207 = 6210;   30 ∙ 208 = 6240;
   30 ∙ 209 = 6270;   30 ∙ 210 = 6300;   30 ∙ 211 = 6330;   30 ∙ 212 = 6360;
   30 ∙ 213 = 6390;   30 ∙ 214 = 6420;   30 ∙ 215 = 6450;   30 ∙ 216 = 6480;
   30 ∙ 217 = 6510;   30 ∙ 218 = 6540;   30 ∙ 219 = 6570;   30 ∙ 220 = 6600;
   30 ∙ 221 = 6630;   30 ∙ 222 = 6660;   30 ∙ 223 = 6690;   30 ∙ 224 = 6720;
   30 ∙ 225 = 6750;

2. Выпишем все общие кратные чисел (225 ; 30) и выделим зеленым цветом самое маленькое, это и будет наименьшим общим кратным чисел (225 ; 30).

   Общие кратные чисел (225 ; 30): 450, 900, 1350, 1800, 2250, 2700, 3150, 3600, 4050, 4500, 4950, 5400, 5850, 6300, 6750

   Ответ: НОК (225 ; 30) = 450

Вам могут также быть полезны следующие сервисы

Калькуляторы (Теория чисел)

Калькулятор выражений

Калькулятор со скобками

Калькулятор разложения числа на простые множители

Калькулятор НОД и НОК

Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида

Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел

Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Калькулятор деления числа в данном отношении

Калькулятор процентов

Калькулятор перевода числа с Е в десятичное

Калькулятор экспоненциальной записи чисел

Калькулятор нахождения факториала числа

Калькулятор нахождения логарифма числа

Калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор остатка от деления

Калькулятор корней с решением

Калькулятор нахождения периода десятичной дроби

Калькулятор больших чисел

Калькулятор округления числа

Калькулятор свойств корней и степеней

Калькулятор комплексных чисел

Калькулятор среднего арифметического

Калькулятор арифметической прогрессии

Калькулятор геометрической прогрессии

Калькулятор модуля числа

Калькулятор абсолютной погрешности приближения

Калькулятор абсолютной погрешности

Калькулятор относительной погрешности

Дроби

Калькулятор интервальных повторений

Учим дроби наглядно

Калькулятор сокращения дробей

Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную

Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей

Калькулятор возведения дроби в степень

Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную

Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную

Калькулятор сравнения дробей

Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю

Калькуляторы (тригонометрия)

Калькулятор синуса угла

Калькулятор косинуса угла

Калькулятор тангенса угла

Калькулятор котангенса угла

Калькулятор секанса угла

Калькулятор косеканса угла

Калькулятор арксинуса угла

Калькулятор арккосинуса угла

Калькулятор арктангенса угла

Калькулятор арккотангенса угла

Калькулятор арксеканса угла

Калькулятор арккосеканса угла

Калькулятор нахождения наименьшего угла

Калькулятор определения вида угла

Калькулятор смежных углов

Калькуляторы систем счисления

Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские

Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел

Системы счисления теория

N2 | Двоичная система счисления

N3 | Троичная система счисления

N4 | Четырехичная система счисления

N5 | Пятеричная система счисления

N6 | Шестеричная система счисления

N7 | Семеричная система счисления

N8 | Восьмеричная система счисления

N9 | Девятеричная система счисления

N11 | Одиннадцатиричная система счисления

N12 | Двенадцатеричная система счисления

N13 | Тринадцатеричная система счисления

N14 | Четырнадцатеричная система счисления

N15 | Пятнадцатеричная система счисления

N16 | Шестнадцатеричная система счисления

N17 | Семнадцатеричная система счисления

N18 | Восемнадцатеричная система счисления

N19 | Девятнадцатеричная система счисления

N20 | Двадцатеричная система счисления

N21 | Двадцатиодноричная система счисления

N22 | Двадцатидвухричная система счисления

N23 | Двадцатитрехричная система счисления

N24 | Двадцатичетырехричная система счисления

N25 | Двадцатипятеричная система счисления

N26 | Двадцатишестеричная система счисления

N27 | Двадцатисемеричная система счисления

N28 | Двадцативосьмеричная система счисления

N29 | Двадцатидевятиричная система счисления

N30 | Тридцатиричная система счисления

N31 | Тридцатиодноричная система счисления

N32 | Тридцатидвухричная система счисления

N33 | Тридцатитрехричная система счисления

N34 | Тридцатичетырехричная система счисления

N35 | Тридцатипятиричная система счисления

N36 | Тридцатишестиричная система счисления

Калькуляторы площади геометрических фигур

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

Калькуляторы (Комбинаторика)

Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов

Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов

Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов

Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия

Калькулятор сложения и вычитания матриц

Калькулятор умножения матриц

Калькулятор транспонирование матрицы

Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы

Калькулятор нахождения обратной матрицы

Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками

Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам

Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора

Калькулятор сложения и вычитания векторов

Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами

Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты

Калькулятор векторного произведения векторов через координаты

Калькулятор смешанного произведения векторов

Калькулятор умножения вектора на число

Калькулятор нахождения угла между векторами

Калькулятор проверки коллинеарности векторов

Калькулятор проверки компланарности векторов

Генератор Pdf с примерами

Тренажёры решения примеров

Тренажёр таблицы умножения

Тренажер счета для дошкольников

Тренажер счета на внимательность для дошкольников

Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.

Тренажер решения примеров с разными действиями

Тренажёры решения столбиком

Тренажёр сложения столбиком

Тренажёр вычитания столбиком

Тренажёр умножения столбиком

Тренажёр деления столбиком с остатком

Калькуляторы решения столбиком

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком

Калькулятор деления столбиком с остатком

Конвертеры величин

Конвертер единиц длины

Конвертер единиц скорости

Конвертер единиц ускорения

Цифры в текст

Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния

Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения

Калькулятор вычисления времени движения

Калькулятор времени

Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.

Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.

Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости

Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.

Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома

Калькулятор Закона Кулона

Калькулятор напряженности E электрического поля

Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q

Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q

Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q

Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q

Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля

Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькуляторы по астрономии

Вес тела на других планетах

Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках

Генераторы

Генератор примеров по математике

Генератор случайных чисел

Генератор паролей

Программа МАТ 364 Осень 18

Инструктор, грейдер, книга…

Инструктор : Мойра Час, офис 3-119 Math Tower, e-mail: moira.chas»at»stonybrook.edu Часы работы инструктора: Понедельник 1:30:00-3:30 (в 3-119, Математическая башня), среда с 11:00 до 12:00 или до деловое свидание, встреча. Классные собрания: MWF   10:00–10:53 Earth&Space  183 Класс : Xuntao Hu xuntao.hu»at»stonybrook.edu Часы работы оценщика: Вторник с 10 до 11 утра в его Математическая Башня, офис 2-115 Среда 10:30-12:30 в MLC Учебник : Топология поверхностей, Л. Кристин Kinsey Материалы курса (слайды, заметки и т. д.) находятся здесь (Включая слайды первого дня, которые также являются частью учебный план).

Об этом курсе

(из бюллетеня для студентов) введение в топологию и геометрию, математические теории формы, формы и жесткой конструкции. Темы включают интуитивный узел теория, решетки и тайлинги, неевклидова геометрия, гладкая кривые и поверхности в трехмерном евклидовом пространстве, открытые множества и непрерывность, комбинаторные и алгебраические инварианты пространств, пространства более высокой размерности.   Мы рассмотрим главы с 1 по 5 из учебника, возможно пропустив пару разделов и добавив пару тем. Расписание будет обновляться по мере прохождения курса.

Экзамены и оценки

Будет два промежуточных экзамена (в классе) и итоговый итоговый экзамен. Даты указаны ниже. Успех на экзаменах будет требуют правильных и эффективных решений более сложных проблемы с домашним заданием. Убедитесь, что вы можете присутствовать на экзаменах в назначенное время; косметику не дадут. Если пропущен один промежуточный экзамен из-за серьезного (документально подтвержденного) заболевания или чрезвычайной ситуации, Семестровая оценка будет определяться на основе баланса работы в ходе. Студенты, посещающие мероприятия, спонсируемые университетом, или в случае необходимости отсутствовать на религиозные праздники следует обратиться в инструктором на первых двух неделях занятий, чтобы обсудить соответствующий план. Экзамен Когда и где % выпускного класса Промежуточный период 1 Ср 3 октября В классе 18% Промежуточный период 2 Пт 16 ноября В классе 18% Итоговый экзамен Ср, 19 декабря, 14:15-17:00 Будет объявлено позднее. 40% Домашнее задание Каждую пятницу 20% Участие в классе 4%

Домашнее задание

Домашнее задание будет задаваться еженедельно и должно быть выполнено в среду до учебный класс. Домашнее задание является обязательным, поскольку оно является неотъемлемой частью курс: Почти невозможно выучить математику без работа над проблемами Каждую неделю будет около пяти задач Каждая письменная задача оценивается в 5 баллов. В зависимости от длина задания, только избранные проблемы будут оцененный. Вам предлагается учиться и обсуждать проблемы с другие из класса, но напишите вверх домашнее задание своими словами. Все ваши сотрудники и источники должны быть перечислены. Ни при каких обстоятельствах вам не разрешен просмотр в Интернете пытается «выловить» решения домашних заданий. Копирование решений домашних заданий с веб-сайта расценивать как академическую недобросовестность и сообщать в академический Судебная власть. Рубрика для оценивания проблемы (адаптировано из Emert — Приходская книга и это сайт) Очки Решение Обоснование Концептуальное понимание Математические ошибки 5 Заполните и правильно Все шаги оправданы Видимый Несовершеннолетний 4 Почти полный и правильный Большинство шагов оправдано Чуть меньше кажущегося Пара 3 Правильно, но неясно или отсутствуют некоторые части Некоторые шаги оправданы Адекватный Возможно много 2 Многие части отсутствуют или неясны. Малое или недостаточное обоснование Недостаточно Возможно много 1 Неполный Нет обоснования Отсутствует 0 Отсутствует или не имеет смысла

Письменные домашние задания всегда можно нашел ЗДЕСЬ. Единственная рука в подчеркнутая проблемы.

Каждое домашнее задание должно быть сдано с заголовком содержащее ваше имя и номер задания. (да, это надо сказать) Все страницы с домашним заданием должны быть скреплены вместе Скопируйте формулировку каждой задачи, которую вы решаете. Запишите решения в том же порядке, что и проблемы назначается по расписанию. Все наборы задач должны быть разборчивыми и должны содержать полные Английские предложения, правильная грамматика и правильное написание. Наборы задач, которые слишком сложны для оценщика прочитанное может быть помечено как неверное или может быть возвращено студенту для перезаписи (по усмотрению инструктора). Мы серьезно! Все шаги должны быть четко обоснованы. (В этом суть письменное домашнее задание, затем покажи свою работу ) Используйте математические символы только при необходимости. (да! я имею в виду что математические рассуждения должны быть написаны полностью предложение.) Совет: проверьте написанное перед отправкой. Оценщик опубликует оценки на доске. Все вопросы, касающиеся оценки набора задач, должны быть обратилась к класснику.

Рецепт успеха на этом курсе

решать проблемы WebAssign и письменные вопросы каждый неделя. решить все проблемы, перечисленные в расписании (и больше, если видишь ли тебе это нужно) убедитесь, что вы понять как решить проблемы. обратиться за помощью (к инструктору, класснику, одноклассники) если нужно (не ждите этого) читать заданный материал перед каждой лекцией (это не просто красивое предложение, оно там по очень веским причинам) посещать лекции и присутствовать. проводят от шести до восьми часов в неделю, работая над курс. Помните: математика, как правило, хорошо себя ведет с людьми, которые «лечить ее» хорошо, то есть с людьми, которые вкладывают время и силы в понимании. Очень редко можно провести рабочую сессию на математику, ничего не поняв. Мы все учимся в разными способами и с разной скоростью, но мы все можем учиться. Как и в любом курсе математики, не расстраивайтесь, если вы обнаружите вы часами боретесь с проблемой или концепцией. Ты необходимо провести расчеты, чтобы понять материал, но не тратьте время на бездумное заучивание методы. Конструктивная обратная связь с вашим инструктором будет всегда добро пожаловать.

Заявление Центра поддержки доступности для учащихся Если у вас есть физические, психологические, медицинские или учебные инвалидность, которая может повлиять на вашу курсовую работу, пожалуйста, свяжитесь с Центр поддержки доступности для учащихся, ECC (Образовательный узел связи) корпус, комн. 128, (631)632-6748. Они определит с вами, какие приспособления, если таковые имеются, необходимы и уместно. Вся информация и документация конфиденциально. Студенты, которым требуется помощь во время экстренной эвакуации, рекомендуется обсуждать свои потребности со своими профессорами и Центр поддержки доступности для учащихся. Для процедур и информацию перейти на следующий веб-сайт: ЗДЕСЬ. Заявление об академической честности Каждый студент должен честно преследовать свои академические цели и быть несет личную ответственность за все представленные работы. Представляя работа другого человека как ваша собственная всегда неправильна. Факультет обязаны сообщать о любых подозреваемых случаях академической нечестности в академический суд. Факультет Центра медицинских наук (Школа медицинских технологий и менеджмента, сестринского дела, социальных Социальное обеспечение, Стоматологическая медицина) и Школа медицины обязаны следовать своим школьным процедурам. Для более полного сведения об академической честности, включая категории академическая нечестность, пожалуйста, обратитесь к веб-сайту академической судебной системы в http://www.stonybrook.edu/commcms/academic_integrity/index.html Управление критическими инцидентами Университет Стоуни-Брук ожидает от студентов уважения прав, привилегии и имущество других людей. Факультет обязан сообщать в Управление общественных стандартов университета о любых разрушительное поведение, которое прерывает их способность к обучению, ставит под угрозу безопасность среды обучения или препятствует способность учащихся к обучению. Факультет в школах HSC и Медицинские школы обязаны следовать своим школьным правилам. процедуры. Дополнительную информацию по большинству академических вопросов можно получить можно найти в бюллетене бакалавриата, класс бакалавриата Расписание и Справочник преподавателей и сотрудников.

Math464AAWinter2018

Преподаватель: д-р Павел Гора,
ЛБ-901-17, тел.: 848-2424, доб. 3257
электронная почта: [email protected]

Офис часы работы:   уточняется
или по деловое свидание, встреча.

Книга: Заметки о реальном анализе Л. Ларсона.
Доступно в Интернете: http://www.math.louisville.edu/~lee/RealAnalysis/IntroRealAnal.pdf

Вспомогательный учебник, который будет доступен в Moodle:
Introductoy Реальный анализ Фрэнка Данжелло и Майкл Сейфрид, изданный Брукс/Коул.

90% баллов за выпускной экзамен + 10% заданий или
комбинация: 60 % итоговый экзамен + 30 % тест + 10% заданий, в зависимости от того, что больше.

Задания делают важным часть курса, как принято считать что единственный способ выучить математику — это работать самостоятельно над проблемами.
Решения будут размещены в формате pdf на Moodle и на http://www.mathstat.concordia.ca/faculty/pgora/m364/

Промежуточный тест:          Есть будет промежуточный тест, запланированный на 7-й или на 8-й неделе классы. точная дата экзамена будет объявлена в классе не менее чем за неделю. Макияжа в середине срока не будет экзамен.

Темы:

Неделя	Глава	Темы
1-3	1-2	Элементы доказательств и теории множеств. Набор реальных чисел
4-6	3	Последовательности
7-9	6	Ограничения функций и Непрерывность
10-11	7	Производные
12	5	Элементы Топология
13		Обзор

Назначения: #1 , #2 , #3 ,    #4 , #5 , #6 , #7 , #8 , #9 , #10 , #11
Решения:       №1 , #2 , № 3 , № 4 , #5, #6 , #7, #8 , #9 , № 10 ,  #11

Пример для задач 4,5 в задании 1.

Старые промежуточные результаты упражнение. Ненужные проблемы убраны. Некоторые решения.

Последний окончание семестра

Чтобы получить дополнительные 5% к своей оценке, вам необходимо:
Изучите доказательство теоремы Шредера-Бернштейна.
Предъявите мне доказательство без каких-либо заметок или помощи.
Ответь на мои вопросы, чтобы убедить меня, что Ты
понять доказательство.
Если я убеждён, Вы получите 5%.
Крайний срок — один день до финала.
(Это не значит, что я буду доступен.)

https://www. maa.org/programs/faculty-and-departments/pic-math/solving-real-world-problems

Старые промежуточные экзамены по упражнениям. Некоторые решения.

Вот несколько старых финалов, некоторые решения здесь.

Некоторые интересные ограничения.

Результаты заданий и тесты
(пожалуйста отчет любые ошибки по телефону [email protected])

Треугольник Паскаля

Одной из самых интересных числовых моделей является треугольник Паскаля (названный в честь Блеза Паскаля , известного французского математика и философа).

Чтобы построить треугольник, начните с «1» вверху, затем продолжайте размещать цифры под ним в виде треугольника.

Каждое число представляет собой сложенные числа непосредственно над ним.

(Здесь я подчеркнул, что 1+3 = 4)

Узоры внутри треугольника

Диагонали

Первая диагональ — это, конечно, просто «1»

На следующей диагонали находятся Счетные числа (1,2,3 и т. д.).

Третья диагональ имеет треугольные числа

(Четвертая диагональ, не выделенная, имеет четырехгранные числа.)

Симметричный

Треугольник также симметричен. Числа на левой стороне имеют одинаковые совпадающие числа на правой стороне, как зеркальное отражение.

Горизонтальные суммы

Что вы заметили в горизонтальных суммах?

Есть шаблон?

Они удваивают каждый раз (степень двойки).

Экспоненты числа 11

Каждая строка также представляет собой степени (показатели) числа 11:

• 11 ⁰ =1 (первая строка просто «1»)
• 11 ¹ =11 (вторая строка «1» и «1»)
• 11 ² =121 (третья строка «1», «2», «1»)
• и т.д.!

Но что происходит с 11 ⁵ ? Простой! Цифры просто перекрываются, вот так:

То же самое происходит с 11 ⁶ и т. д.

квадратов

Для второй диагонали квадрат числа равен сумме чисел рядом с ним и под обоими из них.

Примеры:

• 3 ² = 3 + 6 = 9,
• 4 ² = 6 + 10 = 16,
• 5 ² = 10 + 15 = 25,
• …

Есть и веская причина… ты можешь ее придумать? (Подсказка: 4 ² =6+10, 6=3+2+1 и 10=4+3+2+1)

Последовательность Фибоначчи

Попробуйте следующее: создайте фигуру, двигаясь вверх и вниз, затем сложите значения (как показано на рисунке)… вы получите последовательность Фибоначчи.

(Последовательность Фибоначчи начинается с «0, 1», а затем продолжается добавлением двух предыдущих чисел, например, 3+5=8, затем 5+8=13 и т. д.)

Шансы и четы

Если мы раскрасим нечетные и четные числа, мы получим узор, аналогичный треугольнику Серпинского

Пути

Каждая запись также является числом различных путей сверху вниз.

Пример: существует только один путь сверху вниз к любой «1»

И мы видим, что есть 2 разных пути к «2»

То же самое вверх, есть 3 разных пути от 3:

Ваша очередь, посмотрите, сможете ли вы найти все пути вниз к «6»:

Использование треугольника Паскаля

Орел и решка

Треугольник Паскаля показывает нам, сколько способов может сочетаться орел и решка. Затем это может показать нам вероятность любой комбинации.

Например, если вы подбросите монету три раза, только одна комбинация даст три орла (HHH), но есть три комбинации, которые дадут два орла и одну решку (HHT, HTH, THH), а также три комбинации, которые дадут одна голова и две решки (HTT, THT, TTH) и одна для всех решек (TTT). Это паттерн «1,3,3,1» в треугольнике Паскаля.

Подбрасывает	Возможные результаты (сгруппированные)	Треугольник Паскаля
1	Х Т	1, 1
2	HH HT TH TT	1, 2, 1
3	HHH HHT, HTH, THH HTT, THT, TTH TTT	1, 3, 3, 1
4	HHHH HHHT, HHTH, HTHH, THHH HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH HTTT, THTT, TTHT, TTTH TTTT	1, 4, 6, 4, 1
	. .. и т. д. …

Пример. Какова вероятность того, что при 4 подбрасываниях монеты выпадет ровно два орла?

Существует 1+4+6+4+1 = 16 (или 2 ⁴ = 16) возможных результатов, и 6 из них дают ровно два орла. Таким образом, вероятность равна 6/16, или 37,5%

Комбинации

Треугольник также показывает нам, сколько комбинаций объектов возможно.

Пример: У вас есть 16 шаров для пула. Сколькими способами можно выбрать только 3 из них (игнорируя порядок их выбора)?

Ответ: спуститесь в начало 16 ряда (верхний ряд 0), а затем по 3 местам (первое место 0) и значение там будет вашим ответом, 560 .

Вот выдержка из строки 16:

 1 14 91 364 ...
1 15 105 455 1365 ...
1 16 120  560  1820 4368 ... 

Формула для любого входа в треугольник

На самом деле существует формула из Комбинаций для определения значения в любом месте треугольника Паскаля:

Обозначение: «n выбирает k» также может быть записано как C(n,k) , ⁿ C _k или _n C k 9,0059

Таким образом, Треугольник Паскаля также может быть
треугольником «n выбрать k» , подобным этому.

(Обратите внимание, что верхняя строка — это нулевая строка
, а также крайний левый столбец — ноль)

Пример: Строка 4, член 2 в треугольнике Паскаля равен «6» …

… посмотрим, работает ли формула:

( 4 2 ) = 4! 2!(4−2)! = 4! 2!2! = 4×3×2×1 2×1×2×1 = 6

Да, это работает! Попробуйте другое значение для себя.

Это может быть очень полезно… теперь мы можем найти любое значение в Треугольнике Паскаля непосредственно (без вычисления всего треугольника над ним).

Многочлены

Треугольник Паскаля также показывает нам коэффициенты в биномиальном разложении:

Мощность	Биномиальное расширение	Треугольник Паскаля
2	(х + 1) 2 = 1 ​​ х 2 + 2 х + 1 ​​	1, 2, 1
3	(x + 1) 3 = 1 ​​ x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 ​​	1, 3, 3, 1
4	(x + 1) 4 = 1 ​​ x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 . 0009	1, 4, 6, 4, 1
	… и т. д. …

Первые 15 строк

Для справки я включил строки с 0 по 14 треугольника Паскаля