Что такое приносить подобные сроки. Похожие термины – Гипермаркет знаний
Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под рубрикой НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД. Здесь мы поговорим о нахождении наименьшего общего кратного (НОК) и Особое внимание Давайте рассмотрим примеры. Давайте сначала покажем, как НОК двух чисел рассчитывается с точки зрения НОД этих чисел. Далее рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители. После этого сосредоточимся на нахождении НОК трех и более чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел.
Навигация по страницам.
Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД
Один из способов найти наименьшее общее кратное основан на соотношении между НОК и НОД. Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислить наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел через известный наибольший общий делитель.
Соответствующая формула имеет вид . Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной выше формуле.
Пример.
Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70 .
Решение.
В этом примере a=126 , b=70 . Воспользуемся соотношением между НОК и НОД, выраженным формулой НОК(a, b)=a b: GCM(a, b). То есть сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126, после чего можно вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.
Найдите gcd(126, 70) с помощью алгоритма Евклида: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , следовательно, gcd(126, 70)=14 .
Теперь находим искомое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .
Ответ:
НОК(126, 70)=630 .
Пример.
Что такое LCM(68, 34)?
Решение.
Так как 68 делится на 34 без остатка, то gcd(68, 34)=34 . Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68 34: НОК(68, 34)= 68 34:34=68 .
Ответ:
НОК(68, 34)=68 .
Обратите внимание, что предыдущий пример соответствует следующему правилу нахождения НОК для положительных целых чисел a и b: если число a делится на b, то наименьшее общее кратное этих чисел равно a.
Нахождение НОК путем разложения чисел на простые множители
Другой способ нахождения наименьшего общего кратного основан на разложении чисел на простые множители. Если произвести произведение всех простых делителей этих чисел, после чего исключить из этого произведения все общие простые делители, которые присутствуют в разложениях этих чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному этих чисел.
Объявленное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a b: GCM(a, b). Действительно, произведение чисел а и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел а и b. В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (что описано в разделе о нахождении НОД с помощью разложения чисел на простые множители).
Возьмем пример. Пусть мы знаем, что 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Составьте произведение всех сомножителей этих разложений: 2 3 3 5 5 5 7 . Теперь исключим из этого произведения все множители, которые присутствуют как в разложении числа 75, так и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5), тогда произведение примет вид 2 3 5 5 7 . Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210, то есть НОК(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050,
Пример.
Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.
Решение.
Разложим числа 441 и 700 на простые множители:
Получим 441=3 3 7 7 и 700=2 2 5 5 7 .
Теперь произведем произведение всех множителей, участвующих в разложениях этих чисел: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один — это число 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Таким образом, НОК(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
Ответ:
НОК(441, 700)= 44 100 .
Правило нахождения НОК с помощью разложения чисел на простые множители можно сформулировать несколько иначе. Если добавить недостающие множители из разложения числа b к множителям из разложения числа a, то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b
.Например, возьмем все те же числа 75 и 210, их разложение на простые множители таково: 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . К множителям 3, 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210, получаем произведение 2 3 5 5 7 , значение которого равно НОК(75 , 210).
Пример.
Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648.
Решение.
Сначала получим разложение чисел 84 и 648 на простые множители. Они выглядят как 84=2 2 3 7 и 648=2 2 2 3 3 3 3 . К множителям 2 , 2 , 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2 , 3 , 3 и 3 из разложения числа 648 , получаем произведение 2 2 2 3 3 3 3 7 , что равно 4 536 .
Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4536.
Ответ:
НОК(84, 648)=4 536 .
Нахождение НОК трех или более чисел
Теорема.
Пусть заданы целые положительные числа a 1 , a 2 , …, a k , наименьшее общее кратное m k этих чисел находится последовательным вычислением m 2 = НОК (a 1 , a 2) , m 3 = НОК (m 2 , a 3) , …, m k = LCM ( m k−1 , a k) .
Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.
Пример.
Найдите НОК четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .
Решение.
В этом примере а 1 = 140 , а 2 = 9 , а 3 = 54 , а 4 = 250 .
Сначала находим m 2 = НОК (а 1, а 2) = НОК (140, 9). Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9) , имеем 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , следовательно, НОД( 140, 9)=1 , откуда НОК(140, 9)=140 9: НОК(140, 9)= 140 9:1=1 260 .
Теперь находим m 3 = НЦМ (m 2, а 3) = НЦМ (1 260, 54). Вычислим его через gcd(1 260, 54) , который также определяется алгоритмом Евклида: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Тогда gcd(1 260, 54)=18, откуда НОК(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780. То есть m 3 = 3 780.
Осталось найти m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Следовательно, gcd(3 780, 250)=10, откуда gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . То есть m 4 = 94 500.
Значит, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500.
Ответ:
НОК(140, 9, 54, 250)=94 500.
Во многих случаях наименьшее общее кратное трех или более чисел удобно находится с помощью разложения заданных чисел на простые множители. В этом случае следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется следующим образом: недостающие множители из разложения второго числа добавляются ко всем множителям из разложения первого числа, недостающие множители из разложения к полученным множителям прибавляются третьи числа и так далее.
Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители.
Пример.
Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Решение.
Сначала получаем разложения этих чисел на простые множители: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 простых множителей) и 143=11 13 .
Чтобы найти НОК этих чисел, к множителям первого числа 84 (они же 2, 2, 3 и 7) нужно прибавить недостающие множители из разложения второго числа 6. Разложение числа 6 не содержит пропущенных множителей, так как в разложении первого числа 84 уже присутствуют и 2, и 3. Далее к множителям 2, 2, 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48, получаем набор множителей 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Добавлять множители в этот набор на следующем шаге не нужно, так как в нем уже содержится 7. Наконец, к множителям 2, 2, 2, 2, 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143. Получаем произведение 2 2 2 2 3 7 11 13 , равное 48 048 .
Математические выражения и задачи требуют много дополнительных знаний. NOC — один из основных, особенно часто используемый в теме. Тема изучается в старших классах, при этом усвоить материал не представляет особой сложности, человеку знакомому со степенями и таблицей умножения не составит труда подобрать нужные числа и найти результат.
Определение
Общее кратное — это число, которое можно полностью разделить на два числа одновременно (a и b). Чаще всего это число получается путем умножения исходных чисел а и b. Число должно делиться на оба числа сразу, без отклонений.
NOC — общепринятый термин для краткого названия, составленного из первых букв.
Способы получения числа
Для нахождения НОК не всегда подходит метод умножения чисел, гораздо лучше он подходит для простых однозначных или двузначных чисел. Принято делить на факторы, чем их больше, тем больше будет факторов.
Пример #1
В качестве простейшего примера школы обычно используют простые однозначные или двузначные числа.
Например, вам нужно решить следующую задачу, найти наименьшее общее кратное чисел 7 и 3, решение достаточно простое, достаточно их перемножить. В итоге получается число 21, меньше просто нет.
Пример #2
Второй вариант намного сложнее. Даны цифры 300 и 1260, нахождение LCM обязательно. Для решения задачи предполагаются следующие действия:
Разложение первого и второго чисел на простейшие множители. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Первый этап пройден.
Второй этап предполагает работу с уже полученными данными. Каждое из полученных чисел должно участвовать в подсчете итогового результата. Для каждого множителя самое большое количество вхождений. NOC является общим числом, поэтому множители из чисел должны повторяться в нем до последнего, даже те, которые присутствуют в одном экземпляре. Оба начальных числа имеют в своем составе числа 2, 3 и 5, в разной степени, 7 только в одном случае.
Чтобы вычислить окончательный результат, вам нужно взять каждое число в наибольшей из представленных степеней в уравнение.
Осталось только умножить и получить ответ, при правильном заполнении задание укладывается в два шага без объяснения причин:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7.
2) NOK = 6300.
Вот и вся задача, если попытаться вычислить нужное число умножением, то ответ точно будет неверным, так как 300*1260=378000.
Экспертиза:
6300/300 = 21 — верно;
6300/1260 = 5 правильно.
Правильность результата определяется проверкой — делением НОК на оба исходных числа, если число в обоих случаях целое, то ответ правильный.
Что означает NOC в математике
Как известно, в математике нет ни одной бесполезной функции, эта не исключение. Наиболее распространенное назначение этого числа — приведение дробей к общему знаменателю. Что обычно изучают в 5-6 классах средней школы. Это также дополнительно общий делитель для всех кратных, если такие условия есть в задаче. В таком выражении можно найти кратное не только двум числам, но и гораздо большему числу — трем, пяти и так далее.
Чем больше цифр — тем больше действий в задании, но сложность от этого не увеличивается.
Например, зная числа 250, 600 и 1500, нужно найти их сумму НОК:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 — в этом примере описывается факторизация в подробно, без уменьшения.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 * 5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 * 2 2 ;
Для составления выражения требуется назвать все множители, в данном случае даны 2, 5, 3 — для всех этих чисел требуется определить максимальную степень.
Внимание: все множители необходимо привести к полному упрощению, по возможности разложив до уровня однозначных цифр.
Экспертиза:
1) 3000/250 = 12 — верно;
2) 3000/600 = 5 — верно;
3) 3000/1500 = 2 верно.
Этот метод не требует никаких хитростей или способностей гениального уровня, все просто и понятно.
Другой способ
В математике многое связано, многое можно решить двумя и более способами, то же самое касается нахождения наименьшего общего кратного, НОК.
Следующий способ можно использовать в случае простых двузначных и однозначных чисел. Составляется таблица, в которую множитель вносится по вертикали, множитель по горизонтали, а произведение указывается в пересекающихся ячейках столбца. Отразить таблицу можно с помощью линии, берется число и результаты умножения этого числа на целые числа записываются в ряд, от 1 до бесконечности, иногда достаточно 3-5 точек, подвергается второе и последующие числа одному и тому же вычислительному процессу. Все происходит до тех пор, пока не будет найдено общее кратное.
Учитывая числа 30, 35, 42, нужно найти МОК, соединяющий все числа:
1) Кратные 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т. д.
2 ) Кратные 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т. д.
3) Кратные 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т. д.
Заметно, что все цифры довольно разные, единственный общий номер среди них 210, так что это будет LCM. Среди процессов, связанных с этим вычислением, есть и наибольший общий делитель, который вычисляется по сходным принципам и часто встречается в соседних задачах.
Разница небольшая, но достаточно существенная, НОК предполагает вычисление числа, которое делится на все заданные начальные значения, а НОД предполагает вычисление наибольшего числа, на которое делятся исходные числа.
При сложении и вычитании алгебраических дробей с разными знаменателями сначала дроби приводят к общему знаменателю . Это значит, что они находят такой единственный знаменатель, который делится на исходный знаменатель каждой алгебраической дроби, входящей в это выражение.
Как известно, если числитель и знаменатель дроби умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то значение дроби не изменится. Это основное свойство дроби. Поэтому, когда дроби приводят к общему знаменателю, фактически исходный знаменатель каждой дроби умножается на недостающий множитель до общего знаменателя. В этом случае необходимо умножить на этот множитель и числитель дроби (у каждой дроби он свой).
Например, дана следующая сумма алгебраических дробей:
Требуется упростить выражение, т.
е. добавить две алгебраические дроби. Для этого прежде всего необходимо привести члены-дроби к общему знаменателю. Первый шаг — найти одночлен, который делится и на 3x, и на 2y. При этом желательно, чтобы оно было наименьшим, т. е. найти наименьшее общее кратное (НОК) для 3х и 2у.
Для числовых коэффициентов и переменных поиск LCM осуществляется отдельно. НОК(3, 2) = 6 и НОК(х, у) = ху. Далее найденные значения перемножаются: 6xy.
Теперь нам нужно определить, на какой коэффициент нужно умножить 3x, чтобы получить 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y
Это означает, что при приведении первой алгебраической дроби к общему знаменателю ее числитель необходимо умножить на 2y (значение знаменатель уже умножен при приведении к общему знаменателю). Аналогично ищется множитель для числителя второй дроби. Он будет равен 3x.
Таким образом, получаем:
Дальше уже можно поступать как с дробями с одинаковыми знаменателями: складываются числители, а в знаменателе пишется одно общее:
После преобразований получается упрощенное выражение, представляющее собой одну алгебраическую дробь, являющуюся суммой двух исходных:
Алгебраические дроби в исходном выражении могут содержать знаменатели, являющиеся полиномами, а не мономами (как в приведенном выше примере ).
В этом случае, прежде чем найти общий знаменатель, разложите знаменатели (если это возможно). Далее из разных множителей собирается общий знаменатель. Если множитель стоит в нескольких исходных знаменателях, то он берется один раз. Если множитель имеет разные степени в исходных знаменателях, то он берется с большим. Например:
Здесь полином a 2 — b 2 может быть представлен как произведение (a — b)(a + b). Множитель 2a – 2b раскрывается как 2(a – b). Таким образом, общий знаменатель будет равен 2(a — b)(a + b).
Пусть задано выражение, являющееся произведением числа и букв. Число в этом выражении называется с коэффициентом . Например:
в выражении коэффициентом является число 2;
в выражении — номер 1;
в выражении это число -1;
в выражении коэффициент есть произведение чисел 2 и 3, то есть число 6.
У Пети было 3 конфеты и 5 абрикосов. Мама дала Пете еще 2 конфеты и 4 абрикоса (см. рис. 1). Сколько всего конфет и абрикосов было у Пети?
Рис.
1. Иллюстрация к задаче
Решение
Запишем условие задачи в следующем виде:
1) Было 3 конфеты и 5 абрикосов:
2) Мама дала 2 конфеты и 4 абрикоса:
3) То есть у Пети есть все:
4) Добавляем конфеты с конфетами, абрикосы с абрикосами:
Следовательно, конфет 5 и 9 абрикосов в итоге.
Ответ: 5 конфет и 9 абрикосов.
В задаче 1 на четвертом шаге мы занимались приведением подобных слагаемых.
Термины, имеющие одинаковую буквенную часть, называются похожими терминами. Подобные члены могут отличаться только числовыми коэффициентами.
Чтобы сложить (уменьшить) одинаковые термины, нужно сложить их коэффициенты и умножить результат на общую буквенную часть.
Сокращая подобные члены, мы упрощаем выражение.
Это похожие термины, так как они имеют одинаковую буквенную часть. Следовательно, чтобы их уменьшить, необходимо сложить все их коэффициенты — это 5, 3 и -1 и умножить на общую буквенную часть — это
2)
Это выражение содержит одинаковые термины. Общая буквенная часть xy , а коэффициенты 2, 1 и -3. Вот эти похожие термины:
3)
В этом выражении похожие термины и , приведем их:
4)
Упростим это выражение. Для этого находим аналогичные термины. В этом выражении есть две пары однотипных членов — это и , и .
Упростим это выражение. Для этого раскроем скобки по закону распределения:
В выражении есть сходные члены — это и , приведем их:
В этом уроке мы познакомились с понятием коэффициента, узнали, какие члены называются подобными, и сформулировали правило сокращения подобных членов, а также мы решили несколько примеров, в которых использовали это правило.
Библиография
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. М.: Мнемозина, 2012.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс.
