«Детская школа искусств» Мошенского муниципального района

Математика д з 5 класс: ГДЗ по Математике 5 класс от Путина: решебники

Содержание

Математика 5 класс темы уроков

Готовимся к школе

По математике в 5 классе темы уроков будут посвящены сложению и вычитанию, умножению, делению натуральных чисел. Далее переходят к изучению дробных чисел с акцентом на десятичных дробях. Рассматривают сложение, умножение, округление, сопоставление, деление, вычитание десятичных дробей.

Кроме того, выделяют время на основы площадей и объёмов, использование инструментов и шкал для измерений веса, расстояний, объёмов. Данный этап имеет огромную ценность для использования математики в повседневной жизни, поэтому подойти к нему надо особенно внимательно.

Натуральные числа

Начнём программу с изучения натуральных чисел. Так будет проще для усвоения последующего материала:

  • Позиционная и непозиционная система счисления. Десятеричная, шестнадцатеричная, восьмеричная система счисления.
  • Понятие числа и цифры. Происхождение цифр. Узнаем о том, как их записывали разные народы мира.
  • Точка, прямая, луч и линия. Этот этап является фундаментом для всей геометрии.
  • Отрезок, его сравнение и выяснение длины.
  • Различные единицы измерения массы, расстояний, объёмов.
  • Плоскость, бесконечность, фигуры, угол, треугольник, ломаная линия.
  • Измерительные приборы и шкалы. Часовые, минутные и секундные стрелки.
  • Сопоставление натуральных чисел, различные знаки равенства.

Вычитание и сложение натуральных чисел

На последующих двух этапах изучаются основные методы и законы математики, так что к ним следует отнестись внимательно. Важной темой уроков по математике за 5 класс является то, что можно делать с натуральными числами. Берутся за изучение со сложений и вычислений:

  • Сложение натуральных чисел
  • Переместительный и сочетательный закон
  • Вычитание натуральных чисел
  • Буквенные и цифровые выражения и их характеристики

Деление и умножение натуральных чисел

Заканчивают изучение умножением и делением:

  • Умножение и его характеристики
  • Деление, особенности и характеристики
  • Деление с остатком и без него
  • Математическая запись. Языковая архитектура и математическая лингвистика
  • Упрощение выражений – поиск его значения по одной или нескольким переменным
  • Последовательность действий при решении уравнений. Зачем нужны скобки. Равноправность сложения и вычитания, а также деления и умножения. Прерогатива деления и умножения над такими действиями, как сложение и вычитание
  • Степень числа. Последовательность математических действий с нею. Квадрат и куб
  • Решение уравнений на движение

Объёмы и площади 

Эти знания являются фундаментом для моделирования техники, а также других вещей и явлений. Изучают на примере прямоугольников и параллелепипедов:

  • Формулы. Определение, теорема, тождество, экспериментальная формула
  • Площадь. Единицы измерения. Соотношение квадратных миллиметров, сантиметров, метров
  • Нахождение площади прямоугольника
  • Квадрат
  • Старинные способы измерения площадей
  • Грани, углы, плоскости прямоугольного параллелепипеда
  • Поиск площади поверхности
  • Понятие и нахождение объёма
  • Системы измерения объёмов
  • Объём куба и прямоугольного параллелепипеда
  • Окружность и круг. Дуга, радиус, диаметр

Дробные числа

Дроби – самая сложная тема в этом году, так что надо её разбирать, не торопясь, и внимательно. В математике за 5 класс в темы уроков входит исследование различных видов дробей:

  • Простые дроби и их построение, характеристики
  • Зачем требуется дробное обозначение
  • Правильные и неправильные дроби
  • Сопоставление и определение обыкновенных дробей
  • Вычитание и сложение дробей с идентичными и разными знаменателями
  • Поиск части и целого
  • Неправильные дроби и их классификация
  • Смешанные числа
  • Арифметические операции со смешанными числами

Десятичные дроби, их вычитание и сложение

Далее надо научиться использовать дроби в математических вычислениях. А сначала – вычитание и сложение:

  • Десятичные дроби, определение и характеристики
  • Их изображение и прочтение
  • Правила сравнения
  • Сопоставление на системе координат
  • Вычитание и сложение в столбик
  • Округление с недостатком и избытком

Десятичные дроби, деление и умножение

Заканчивают исследование десятичных дробей разбором их деления и умножения:

  • Деление и умножение на 10, 100, 0,1, 0,01. Сдвигание запятой при отсутствии цифр
  • Деление и умножение десятичных дробей
  • Среднее арифметическое

Инструменты для вычислений и измерений

Эта группа уроков откроет для вас математику как мировую культуру, а также её важность для научно-технического прогресса. Далее проходят различные математические инструменты:

  • Полный, развернутый, прямой, острый, тупой угол
  • Градусы. Транспортир и его применение. Установление углов
  • Биссектриса и медиана
  • Проценты. Поиск процента от числа. Умножение и деление на проценты
  • Круговые диаграммы

Основы комбинаторики

Последняя тема уроков по математике за 5 класс – комбинаторика. Теоремы сложения и умножения. Применение теорем в реальной жизни. Логика перебора. Парадокс Монти Холла. На этом заканчивается программа.

Заключение

Цель на этом этапе – получить знания для практического применения их в жизни. Данный раздел поможет построить логическое критическое мышление, разовьёт способность мыслить абстрактно.

Математика – важнейший инструмент для любой науки, поэтому её надо изучать серьёзно. Знания, которые даются на этом курсе, являются фундаментом для понимания многих процессов в окружающем мире.

Математика. 5 класс. Учебник. В 2 ч. Часть 1 Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Александрова Л.А., Шварцбурд С.И.

Линия УМК: Математика. Виленкин Н.Я. (5-6)

Серия: Нет

Автор: Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Александрова Л.А., Шварцбурд С.И.

710,00 ₽

Нет в наличии

Аннотация

Учебник состоит из двух частей. Первая часть посвящена изучению натуральных чисел и знакомству с начальными сведениями из геометрии.

Учебник имеет большую и хорошо организованную систему заданий, подразделяющуюся на три основные группы: для работы в классе, для повторения ранее пройденного материала и для домашней работы. В этих группах специальными значками выделены задания для устного выполнения, задания для работы в группах учащихся, практические работы. Кроме того, имеются рубрики, помогающие правильно говорить, рассуждать и мыслить, позволяющие успешно овладевать универсальными учебными действиями, а также рубрика, посвящённая истории математики. Каждый пункт завершается рубрикой «Проверьте себя», включающей проверочные работы и словарные диктанты. Каждый параграф, в свою очередь, завершается рубрикой «Применяем математику», содержащей задания, показывающие связь математики с другими науками и сферами деятельности.

Артикул 13-1786-01
ISBN 978-5-09-101227-9
Год титула 2022
Размеры, мм 220x270x9
Вес, кг
0,2500
Класс/Возраст 5 кл.
Предмет Математика
Издательство Просвещение

Качественные и количественные аспекты успеваемости по математике у близнецов MZ и DZ

Сравнительное исследование

. 1990;39(2):221-30.

дои: 10.1017/s0001566000005456.

А Л Ланге 1 , S Fischbein

принадлежность

  • 1 Отдел исследований в области образования, Стокгольмский институт образования, Швеция.
  • PMID: 2239108
  • DOI: 10.1017/с0001566000005456

Сравнительное исследование

A L Lange et al. Acta Genet Med Gemellol (Рома). 1990.

. 1990;39(2):221-30.

дои: 10.1017/s0001566000005456.

Авторы

А Л Ланге 1 , С Фишбейн

принадлежность

  • 1 Отдел исследований в области образования, Стокгольмский институт образования, Швеция.
  • PMID: 2239108
  • DOI: 10.1017/с0001566000005456

Абстрактный

Результаты тестов по математике были собраны для 22 пар однополых близнецов MZ и 24 DZ в шведской обязательной школе. Близнецам было приблизительно 11-13 лет, и они посещали 4, 5 или 6 классы. Пары близнецов были частью более крупного совместного исследования между Израилем и Швецией (проект КАМ). Учителей спросили, как они планируют и оценивают свою работу по шведскому языку и математике. В дополнение к этому были собраны результаты тестов близнецов по математике, данные учителями в их обычной работе. Таким образом, эти тесты использовались учителями как инструмент для оценки образовательного процесса. Внутрипарное сходство для близнецов MZ и DZ сравнивалось по качественным и количественным аспектам математических тестов. Учителя использовали разные тесты, но при сравнении использовались одни и те же критерии. Близнецы MZ несколько более похожи, чем близнецы DZ, как в качественном, так и в количественном отношении. Однако только один количественный аспект, процент правильных ответов, показывает существенную разницу между категориями близнецов. Также было проведено сравнение внутрипарного сходства в классах, где учителя различались по планированию и оценке своего образования. Несмотря на это, близнецы МЗ оказались более похожими, чем близнецы ДЗ, по количеству правильных ответов на тестах по математике. Обсуждаются воспитательные последствия.

Похожие статьи

  • Внутрипарное сходство у близнецов MZ и DZ от рождения до восемнадцати лет.

    Акерман Б.А., Фишбейн С. Акерман Б.А. и соавт. Acta Genet Med Gemellol (Рома). 1992;41(2-3):155-64. дои: 10.1017/s0001566000002361. Acta Genet Med Gemellol (Рома). 1992. PMID: 1302426

  • Природа, воспитание и успеваемость: двойное исследование оценок учителей семилетних детей.

    Walker SO, Petrill SA, Spinath FM, Plomin R. Уокер С.О. и др. Br J Educ Psychol. 2004 г., сен; 74 (часть 3): 323–42. дои: 10.1348/000709

    52387. Br J Educ Psychol. 2004. PMID: 15296543

  • Адаптация к школе по самооценке и оценке учителя у близнецов MZ и DZ.

    Фишбейн С. Фишбейн С. Acta Genet Med Gemellol (Рома). 1984;33(2):205-12. дои: 10.1017/s0001566000007236. Acta Genet Med Gemellol (Рома). 1984. PMID: 6540952

  • Сходство близнецов по соматотипу и сравнение с другими исследованиями близнецов.

    Song TM, Perusse L, Malina RM, Bouchard C. Песня ТМ и др. Гум Биол. 1994 июнь; 66 (3): 453-64. Гум Биол. 1994. PMID: 8026815 Обзор.

  • Наборы расщепленных близнецов в Финляндии 1948-1987 гг.

    Нордстрем Р.Е., Лаатикайнен Т., Ювонен Т.О., Ранта Р.Е. Нордстрём Р.Е. и др. Расщелина неба Craniofac J. 1996 Jul; 33 (4): 340-7. doi: 10.1597/1545-1569_1996_033_0340_ctsif_2.3.co_2. Расщелина неба Craniofac J. 1996. PMID: 8827393 Обзор.

Посмотреть все похожие статьи

Типы публикаций

термины MeSH

Дифференциальные уравнения второго порядка

Здесь мы учимся решать уравнения такого типа:

d 2 y dx 2 + p dy dx + q у = 0

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение — это уравнение с функцией и одной или несколькими ее производными:


Пример: уравнение с функцией y и ее производная dy dx  

Заказ

Орден является высшей производной (это первая производная? вторая производная? и т. д.):

Пример:

dy dx + y 2 = 5x

Имеет только первую производную dy dx , поэтому » Первый заказ»

Пример:

d 2 y dx 2 + xy = sin(x)

Имеет вторую производную d 2 90 010 y dx 2 , то есть «Второй Заказ» или «Заказ 2»

Пример:

d 3 y dx 3 + x dy dx + y = e x

Имеет третью производную d 3 y dx 3 , который превосходит dy dx , то есть «Третий порядок» или «Порядок 3»

Прежде чем приступать к дифференциальным уравнениям второго порядка, убедитесь, что вы знакомы с различными методами решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Мы можем решить дифференциальное уравнение второго порядка вида:

d 2 y dx 2 + P(x) dy дх + Q(х)у = f(x)

, где P(x), Q(x) и f(x) являются функциями от x, используя:

Неопределенные коэффициенты, которые работают только тогда, когда f(x) является полиномом, экспонентой, синусоидой, косинус или их линейная комбинация.

Вариация параметров, которая немного сложнее, но работает с более широким набором функций.

Но здесь мы начнем с изучения случая, когда f(x) = 0 (это делает его «однородным»):

д 2 y dx 2 + P(x) dy dx + Q(x)y = 0

, а также где функции P(X) и Q(x) являются константами p и q :

d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = 0

Давайте научимся их решать!

 

e на помощь

Мы собираемся использовать особое свойство производной экспоненциальной функции:

В любой точке наклон (производная) e x равен значению e x :

И когда мы вводим значение «r» вот так:

f(x) = e rx

Находим:

  • первая производная равна f'(x) = re rx
  • вторая производная равна f»(x) = r 2 e rx

Другими словами, первая и вторая производные f(x) равны кратно f(x)

Это нам очень поможет!

Пример 1: Решить

d 2 y dx 2 + dy dx − 6y = 0 9 0003

Пусть y = e rx , тогда мы получим:

  • dy dx = re rx
  • d 2 y dx 2 = r 2 e rx

Подставьте их в приведенное выше уравнение:

r 2 e rx + re rx − 6e rx = 0

Упрощение:

e rx 9 0010 (г 2 + г — 6) = 0

г 2 + r − 6 = 0

Мы свели дифференциальное уравнение к обыкновенному квадратному уравнению!

Это квадратное уравнение получило специальное название характеристическое уравнение .

Мы можем разложить это на:

(r − 2)(r + 3) = 0

Итак, r = 2 или −3

Итак, у нас есть два решения:

y = e 2x

y = e −3x

Но это не окончательный ответ, потому что мы можно комбинировать разные кратные из этих двух ответов, чтобы получить более общее решение:

y = Ae 2x + Be −3x

Check

Давайте проверим этот ответ. Первоначальные производные:

y = Ae 2x + Be −3x

dy dx = 2Ae 2x − 3Be −3x

d 2 y dx 2 = 4Ae 2x + 9Be −3x

Теперь подставьте в исходное уравнение:

d 2 y dx 2 + dy dx − 6y = 0

9000 2 (4Ae 2x + 9Be −3x ) + (2Ae 2x − 3Be −3x ) − 6(Ae 2x + Be −3x ) = 0

4Ae 2x + 9Be −3x + 2Ae 2x − 3Be −3x − 6Ae 2x − 6Be −3x = 0

4Ae 2x + 2Ae 2x — 6Ae 2x + 9Be -3x — 3Be -3x — 6Be -3x = 0

0 = 0

Сработало!

Так вообще этот метод работает?

Ну и да и нет. Ответ на этот вопрос зависит от констант p и q .

С y = e rx как решение дифференциального уравнения:

d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = 0

получаем:

r 2 e rx + пред rx + qe rx = 0

e rx (r 2 + pr + q) = 0

г 2 + пр + кв = 0

Это квадратное уравнение, и может быть три типа ответа:

  • два действительных корня
  • один действительный корень (т.е. оба действительных корня одинаковы)
  • два сложных корня

Как мы решаем это зависит от типа!

Мы можем легко определить тип, вычислив дискриминант p 2 − 4q . Когда это

  • положительный получаем два действительных корня
  • ноль получаем один реальный корень
  • минус получаем два комплексных корня

Два действительных корня

Когда дискриминант p 2 − 4q равен положительному , мы можем перейти прямо к дифференциальному уравнению

d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = 0

через «характеристическое уравнение»:

г 2 + пр + кв = 0

к общему решению с двумя действительными корнями r 1 и r 2 :

y = Ae r 1 x + Be r 2 x

Пример 2: Решить

d 2 y dx 2 − 9 dy dx + 20y = 0

Характеристическое уравнение:

r 2 − 9r + 20 = 0

Коэффициент:

(r − 4)(r − 5) = 0

r = 4 или 5

Таким образом, общее решение нашего дифференциального уравнения:

y = Ae 4x + Be 5x

Вот некоторые примерные значения:

Пример 3: Решить

6 d 2 y dx 2 + 5 dy d x − 6y = 0

Характеристическое уравнение:

6r 2 + 5r − 6 = 0

Коэффициент:

(3r − 2)(2r + 3) = 0

r = 2 3 или −3 2

Итак, общее решение нашего дифференциального уравнения:

y = Ae ( 9010 9 2 3 х) + Be ( −3 2 х)

Пример 4: Решить

9 d 2 y dx 2 − 6 dy d x − y = 0

Характеристическое уравнение:

9r 2 − 6r − 1 = 0

Это не просто разложить на множители, поэтому мы используем формулу квадратного уравнения:

x = −b ± √(b 2 − 4ac) 90 112

с a = 9, b = −6 и c = −1

x = −(−6) ± √((−6) 2 − 4×9×(−1)) 2× 9

х = 6 ± √(36+ 36) 18

х = 6 ± 6√2 18

9 0002 х = 1 ± √2 3

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения: 1 − √2 3 )x

Один реальный корень

Когда дискриминант p 2 − 4q равен нулю , мы получаем один действительный корень (т. е. оба действительных корня равны).

Вот несколько примеров:

Пример 5: Решить

d 2 y dx 2 − 10 dy dx + 25y = 0

9000 2 Характеристическое уравнение:

r 2 − 10r + 25 = 0

Фактор:

(r − 5)(r − 5) = 0

r = 5

Итак, у нас есть одно решение: y = e 5x

 

НО когда и 5x это решение, тогда xe 5x это также решение!

Почему? Я могу показать вам:

y = xe 5x

dy dx = e 5x + 5xe 5x

d 2 y dx 2 = 5e 5x + 5e 5x + 25xe 5x

So

d 2 y dx 2 − 10 дв дх + 25г

= 5e 5x + 5e 5x + 25xe 5x − 10(e 5x + 5xe 5x ) + 25xe 5x

= (5e 5x + 5e 5x − 10e 5x ) + (25xe 5x − 50xe 5x + 25xe 5x ) = 0

Итак, в этом случае наше решение:

y = Ae 9000 9 5x + Bxe 5x

 

Как это работает в общем случае?

С у = хэ rx получаем производные:

  • dy dx = e rx + rxe rx
  • d 2 y dx 2 = re rx + re rx + r 2 xe 900 09 рх

Так

d 2 y dx 2 + p dy dx + qy

= (относительно rx + относительно rx + r 2 xe rx ) + p( e rx + rxe rx ) + q( xe rx )

= e rx (r + r + r 2 x + p + prx + qx)

= е rx (2r + p + x(r 2 + pr + q))

= e rx (2r + p), потому что мы уже знаем, что r 2 + pr + q = 0

 

А когда r 2 + pr + q имеет повторяющийся корень, то r = −p 2 и 2r + p = 0

Таким образом, если r является повторяющимся корнем характеристического уравнения, то общее решение равно

.

у = Ae rx + Bxe rx

Давайте попробуем другой пример, чтобы увидеть, как быстро мы можем получить решение:

Пример 6: Решить

4 d 2 y dx 2 + 4 dy d x + y = 0

Характеристическое уравнение:

4r 2 + 4r + 1 = 0

Тогда:

(2r + 1) 2 = 0

r = − 1 2

Итак, решение дифференциала уравнение:

y = Ae (−½)x + Bxe (−½)x

Сложные корни

Когда дискриминант p 2 − 4q равен отрицательному , мы получаем комплексные корни.

Давайте попробуем пример, который поможет нам понять, как сделать этот тип:

Пример 7: Решить

d 2 y dx 2 − 4 dy dx + 13y = 0

Характеристическое уравнение:

r 2 − 4r + 13 = 0

Это не фактор, поэтому мы используем формулу квадратного уравнения: 0002 с а = 1, б = −4 и c = 13

x = −(−4) ± √((−4) 2 − 4×1×13) 2×1

x = 4 ± √(16− 52) 2 9 0003

х = 4 ± √(−36) 2

x = 4 ± 6i 2

x = 2 ± 3i

Если следовать используемому методу для двух действительных корней, то мы можем попробовать решение :

y = Ae (2+3i)x + Be (2−3i)x

Мы можем упростить это, поскольку e 2x является общим делителем:

y = e 2x ( Ae 3ix + Be −3ix )

Но мы еще не закончили . .. !

Формула Эйлера говорит нам, что:

e ix = cos(x) + i sin(x)

Итак, теперь мы можем пойти по совершенно новому пути, чтобы (в конечном счете) все упростить.

Глядя только на часть «A плюс B»:

Ae 3ix + Be −3ix

A(cos(3x) + i sin(3x)) + B(cos(−3x) + i sin(−3x))

Acos(3x) + Bcos(−3x) + i(Asin(3x) + Bsin(−3x))

Теперь применим тригонометрические тождества: cos(−θ)=cos(θ) и sin(−θ)=−sin(θ):

Acos(3x) + Bcos(3x) + i(Asin(3x) − Bsin(3x)

(A+B)cos(3x) + i(A−B)sin(3x)

Заменить A+B на C и A−B на D:

Ccos(3x) + iDsin(3x)

И мы получаем решение:

y = e 2x ( Ccos(3x) + iDsin(3x))

 

Проверить

У нас есть ответ, но, может быть, нам следует проверить, действительно ли он удовлетворяет в исходное уравнение:

y = e 2x ( Ccos(3x) + iDsin(3x))

dy dx = e 2x ( −3Csin(3x)+3iDco с(3х)) + 2е ( Ccos(3x)+iDsin(3x) )

d 2 y dx 2 = e 2x ( −(6C+9iD)sin(3x) + (−9C+6iD)cos( 3x)) + 2e 2x (2C+3iD)cos(3x) + (−3C+2iD)sin(3x) )

Замена:

d 2 y dx 2 − 4 крас dx + 13y = e 2x ( −(6C+9iD)sin(3x) + (−9C+6iD)cos(3x)) + 2e 2x (2C+3iD)cos(3x) + (− 3C+2iD)sin(3x) ) − 4( e 2x ( −3Csin(3x)+3iDcos(3x)) + 2e 2x ( Ccos(3x)+iDsin(3x)) ) + 13( e 2x (Ccos(3x) + iDsin(3x))

. .. эй, почему бы тебе не попробовать сложить все термины, чтобы увидеть, равны ли они нулю … если нет, пожалуйста, дай мне знать, ОК ?

Как это обобщить?

Обычно, когда мы решаем характеристическое уравнение с комплексными корнями, мы получаем два решения r 1 = v + wi и r 2 = v − wi

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения равно

.

y = e vx ( Ccos(wx) + iDsin(wx))

Пример 8: Решить

d 2 y dx 2 − 6 dy dx + 25y = 0

Характеристическое уравнение:

r 2 − 6r + 25 = 0

Используйте формулу квадратного уравнения:

x = −b ± √(b 2 − 4ac) 2a

с a = 1, b = −6 и c = 25

x = −( −6) ± √((−6) 2 − 4×1×25) 2×1

x = 6 ± √(36−100) 2

9 0002 х = 6 ± √(−64) 2

x = 6 ± 8i 2

x = 3 ± 4i

И получаем решение:

y = e 3x (Ccos(4x) + iDsin(4x))

Пример 9: Решить

9 d 2 y dx 2 + 12 dy dx + 29y = 0

Уравнение характеристики:

9r 2 + 12r + 29 = 0

Используйте формулу квадратного уравнения:

x = −b ± √(b 2 − 4ac) 2a

9000 2 с а = 9, б = 12 и с = 29

x = −12 ± √(12 2 − 4×9×29) 2×9

x = −12 ± √(144− 1044) 18

х = −12 ± √(−900) 18

x = −12 ± 30i 18

x = − 2 3 ± 5 3 i

И получаем решение:

y = e (− 2 3 )x (Ccos( 9 0109 5 3 х) + iDsin( 5 3 х))

Резюме

Решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида

d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = 0

где p и q — константы, надо найти корни характеристического уравнения

г 2 + пр + кв = 0

Есть три случая, в зависимости от дискриминанта р 2 — 4q .

Добавить комментарий