Математика д з 5 класс: ГДЗ по Математике 5 класс от Путина: решебники

Содержание

Математика 5 класс темы уроков

Готовимся к школе

По математике в 5 классе темы уроков будут посвящены сложению и вычитанию, умножению, делению натуральных чисел. Далее переходят к изучению дробных чисел с акцентом на десятичных дробях. Рассматривают сложение, умножение, округление, сопоставление, деление, вычитание десятичных дробей.

Кроме того, выделяют время на основы площадей и объёмов, использование инструментов и шкал для измерений веса, расстояний, объёмов. Данный этап имеет огромную ценность для использования математики в повседневной жизни, поэтому подойти к нему надо особенно внимательно.

Натуральные числа

Начнём программу с изучения натуральных чисел. Так будет проще для усвоения последующего материала:

Позиционная и непозиционная система счисления. Десятеричная, шестнадцатеричная, восьмеричная система счисления.
Понятие числа и цифры. Происхождение цифр. Узнаем о том, как их записывали разные народы мира.
Точка, прямая, луч и линия. Этот этап является фундаментом для всей геометрии.
Отрезок, его сравнение и выяснение длины.
Различные единицы измерения массы, расстояний, объёмов.
Плоскость, бесконечность, фигуры, угол, треугольник, ломаная линия.
Измерительные приборы и шкалы. Часовые, минутные и секундные стрелки.
Сопоставление натуральных чисел, различные знаки равенства.

Вычитание и сложение натуральных чисел

На последующих двух этапах изучаются основные методы и законы математики, так что к ним следует отнестись внимательно. Важной темой уроков по математике за 5 класс является то, что можно делать с натуральными числами. Берутся за изучение со сложений и вычислений:

Сложение натуральных чисел
Переместительный и сочетательный закон
Вычитание натуральных чисел
Буквенные и цифровые выражения и их характеристики

Деление и умножение натуральных чисел

Заканчивают изучение умножением и делением:

Умножение и его характеристики
Деление, особенности и характеристики
Деление с остатком и без него
Математическая запись. Языковая архитектура и математическая лингвистика
Упрощение выражений – поиск его значения по одной или нескольким переменным
Последовательность действий при решении уравнений. Зачем нужны скобки. Равноправность сложения и вычитания, а также деления и умножения. Прерогатива деления и умножения над такими действиями, как сложение и вычитание
Степень числа. Последовательность математических действий с нею. Квадрат и куб
Решение уравнений на движение

Объёмы и площади

Эти знания являются фундаментом для моделирования техники, а также других вещей и явлений. Изучают на примере прямоугольников и параллелепипедов:

Формулы. Определение, теорема, тождество, экспериментальная формула

Площадь. Единицы измерения. Соотношение квадратных миллиметров, сантиметров, метров
Нахождение площади прямоугольника
Квадрат
Старинные способы измерения площадей
Грани, углы, плоскости прямоугольного параллелепипеда
Поиск площади поверхности
Понятие и нахождение объёма
Системы измерения объёмов
Объём куба и прямоугольного параллелепипеда
Окружность и круг. Дуга, радиус, диаметр

Дробные числа

Дроби – самая сложная тема в этом году, так что надо её разбирать, не торопясь, и внимательно. В математике за 5 класс в темы уроков входит исследование различных видов дробей:

Простые дроби и их построение, характеристики
Зачем требуется дробное обозначение
Правильные и неправильные дроби

Сопоставление и определение обыкновенных дробей
Вычитание и сложение дробей с идентичными и разными знаменателями
Поиск части и целого
Неправильные дроби и их классификация
Смешанные числа
Арифметические операции со смешанными числами

Десятичные дроби, их вычитание и сложение

Далее надо научиться использовать дроби в математических вычислениях. А сначала – вычитание и сложение:

Десятичные дроби, определение и характеристики
Их изображение и прочтение
Правила сравнения
Сопоставление на системе координат
Вычитание и сложение в столбик
Округление с недостатком и избытком

Десятичные дроби, деление и умножение

Заканчивают исследование десятичных дробей разбором их деления и умножения:

Деление и умножение на 10, 100, 0,1, 0,01. Сдвигание запятой при отсутствии цифр
Деление и умножение десятичных дробей

Среднее арифметическое

Инструменты для вычислений и измерений

Эта группа уроков откроет для вас математику как мировую культуру, а также её важность для научно-технического прогресса. Далее проходят различные математические инструменты:

Полный, развернутый, прямой, острый, тупой угол
Градусы. Транспортир и его применение. Установление углов
Биссектриса и медиана
Проценты. Поиск процента от числа. Умножение и деление на проценты
Круговые диаграммы

Основы комбинаторики

Последняя тема уроков по математике за 5 класс – комбинаторика. Теоремы сложения и умножения. Применение теорем в реальной жизни. Логика перебора. Парадокс Монти Холла. На этом заканчивается программа.

Заключение

Цель на этом этапе – получить знания для практического применения их в жизни. Данный раздел поможет построить логическое критическое мышление, разовьёт способность мыслить абстрактно.

Математика – важнейший инструмент для любой науки, поэтому её надо изучать серьёзно. Знания, которые даются на этом курсе, являются фундаментом для понимания многих процессов в окружающем мире.

Математика. 5 класс. Учебник. В 2 ч. Часть 1 Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Александрова Л.А., Шварцбурд С.И.

Линия УМК: Математика. Виленкин Н.Я. (5-6)

Серия: Нет

Автор: Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Александрова Л.А., Шварцбурд С.И.

710,00 ₽

Нет в наличии

Аннотация

Учебник состоит из двух частей. Первая часть посвящена изучению натуральных чисел и знакомству с начальными сведениями из геометрии.

Учебник имеет большую и хорошо организованную систему заданий, подразделяющуюся на три основные группы: для работы в классе, для повторения ранее пройденного материала и для домашней работы. В этих группах специальными значками выделены задания для устного выполнения, задания для работы в группах учащихся, практические работы. Кроме того, имеются рубрики, помогающие правильно говорить, рассуждать и мыслить, позволяющие успешно овладевать универсальными учебными действиями, а также рубрика, посвящённая истории математики. Каждый пункт завершается рубрикой «Проверьте себя», включающей проверочные работы и словарные диктанты. Каждый параграф, в свою очередь, завершается рубрикой «Применяем математику», содержащей задания, показывающие связь математики с другими науками и сферами деятельности.

Артикул	13-1786-01
ISBN	978-5-09-101227-9
Год титула	2022
Размеры, мм	220x270x9
Вес, кг	0,2500
Класс/Возраст	5 кл.
Предмет	Математика
Издательство	Просвещение

Качественные и количественные аспекты успеваемости по математике у близнецов MZ и DZ

Сравнительное исследование

. 1990;39(2):221-30.

дои: 10.1017/s0001566000005456.

А Л Ланге ¹ , S Fischbein

принадлежность

¹ Отдел исследований в области образования, Стокгольмский институт образования, Швеция.

PMID: 2239108
DOI: 10.1017/с0001566000005456

Сравнительное исследование

A L Lange et al. Acta Genet Med Gemellol (Рома). 1990.

. 1990;39(2):221-30.

дои: 10.1017/s0001566000005456.

Авторы

А Л Ланге ¹ , С Фишбейн

принадлежность

¹ Отдел исследований в области образования, Стокгольмский институт образования, Швеция.

PMID: 2239108
DOI: 10.1017/с0001566000005456

Абстрактный

Результаты тестов по математике были собраны для 22 пар однополых близнецов MZ и 24 DZ в шведской обязательной школе. Близнецам было приблизительно 11-13 лет, и они посещали 4, 5 или 6 классы. Пары близнецов были частью более крупного совместного исследования между Израилем и Швецией (проект КАМ). Учителей спросили, как они планируют и оценивают свою работу по шведскому языку и математике. В дополнение к этому были собраны результаты тестов близнецов по математике, данные учителями в их обычной работе. Таким образом, эти тесты использовались учителями как инструмент для оценки образовательного процесса. Внутрипарное сходство для близнецов MZ и DZ сравнивалось по качественным и количественным аспектам математических тестов. Учителя использовали разные тесты, но при сравнении использовались одни и те же критерии. Близнецы MZ несколько более похожи, чем близнецы DZ, как в качественном, так и в количественном отношении. Однако только один количественный аспект, процент правильных ответов, показывает существенную разницу между категориями близнецов. Также было проведено сравнение внутрипарного сходства в классах, где учителя различались по планированию и оценке своего образования. Несмотря на это, близнецы МЗ оказались более похожими, чем близнецы ДЗ, по количеству правильных ответов на тестах по математике. Обсуждаются воспитательные последствия.

Типы публикаций

термины MeSH

Дифференциальные уравнения второго порядка

Здесь мы учимся решать уравнения такого типа:

d ² y dx ² + p dy dx + q у = 0

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение — это уравнение с функцией и одной или несколькими ее производными:

Пример: уравнение с функцией y и ее производная dy dx

Заказ

Орден является высшей производной (это первая производная? вторая производная? и т. д.):

Пример:

dy dx + y ² = 5x

Имеет только первую производную dy dx , поэтому » Первый заказ»

Пример:

d ² y dx ² + xy = sin(x)

Имеет вторую производную d ^{2 90 010 y} dx ² , то есть «Второй Заказ» или «Заказ 2»

Пример:

d ³ y dx ³ + x dy dx + y = e ^x

Имеет третью производную d ³ y dx ³ , который превосходит dy dx , то есть «Третий порядок» или «Порядок 3»

Прежде чем приступать к дифференциальным уравнениям второго порядка, убедитесь, что вы знакомы с различными методами решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Мы можем решить дифференциальное уравнение второго порядка вида:

d ² y dx ² + P(x) dy дх + Q(х)у = f(x)

, где P(x), Q(x) и f(x) являются функциями от x, используя:

Неопределенные коэффициенты, которые работают только тогда, когда f(x) является полиномом, экспонентой, синусоидой, косинус или их линейная комбинация.

Вариация параметров, которая немного сложнее, но работает с более широким набором функций.

Но здесь мы начнем с изучения случая, когда f(x) = 0 (это делает его «однородным»):

д ² y dx ² + P(x) dy dx + Q(x)y = 0

, а также где функции P(X) и Q(x) являются константами p и q :

d ² y dx ² + p dy dx + qy = 0

Давайте научимся их решать!

e на помощь

Мы собираемся использовать особое свойство производной экспоненциальной функции:

В любой точке наклон (производная) e ^x равен значению e ^x :

И когда мы вводим значение «r» вот так:

f(x) = e ^rx

Находим:

первая производная равна f'(x) = re ^rx
вторая производная равна f»(x) = r ² e ^rx

Другими словами, первая и вторая производные f(x) равны кратно f(x)

Это нам очень поможет!

Пример 1: Решить

d ² y dx ² + dy dx − 6y = 0 9 0003

Пусть y = e ^rx, тогда мы получим:

dy dx = re ^rx
d ² y dx ² = r ² e ^rx

Подставьте их в приведенное выше уравнение:

r ² e ^rx + re ^rx − 6e ^rx = 0

Упрощение:

e ^{rx 9 0010 (г ² + г — 6) = 0}

г ² + r − 6 = 0

Мы свели дифференциальное уравнение к обыкновенному квадратному уравнению!

Это квадратное уравнение получило специальное название характеристическое уравнение .

Мы можем разложить это на:

(r − 2)(r + 3) = 0

Итак, r = 2 или −3

Итак, у нас есть два решения:

y = e ^2x

y = e ^−3x

Но это не окончательный ответ, потому что мы можно комбинировать разные кратные из этих двух ответов, чтобы получить более общее решение:

y = Ae ^2x + Be ^−3x

Check

Давайте проверим этот ответ. Первоначальные производные:

y = Ae ^2x + Be ^−3x

dy dx = 2Ae ^2x − 3Be ^−3x

d ² y dx ² = 4Ae ^2x + 9Be ^−3x

Теперь подставьте в исходное уравнение:

d ² y dx ² + dy dx − 6y = 0

9000 2 (4Ae ^2x + 9Be ^−3x ) + (2Ae ^2x − 3Be ^−3x ) − 6(Ae ^2x + Be ^−3x ) = 0

4Ae ^2x + 9Be ^−3x + 2Ae ^2x − 3Be ^−3x − 6Ae ^2x − 6Be ^−3x = 0

4Ae ^2x + 2Ae ^2x — 6Ae ^2x + 9Be ^-3x — 3Be ^-3x — 6Be ^-3x = 0

0 = 0

Сработало!

Так вообще этот метод работает?

Ну и да и нет. Ответ на этот вопрос зависит от констант p и q .

С y = e ^rx как решение дифференциального уравнения:

d ² y dx ² + p dy dx + qy = 0

получаем:

r ² e ^rx + пред ^rx + qe ^rx = 0

e ^rx (r ² + pr + q) = 0

г ² + пр + кв = 0

Это квадратное уравнение, и может быть три типа ответа:

два действительных корня
один действительный корень (т.е. оба действительных корня одинаковы)
два сложных корня

Как мы решаем это зависит от типа!

Мы можем легко определить тип, вычислив дискриминант p ² − 4q . Когда это

положительный получаем два действительных корня
ноль получаем один реальный корень
минус получаем два комплексных корня

Два действительных корня

Когда дискриминант p ² − 4q равен положительному , мы можем перейти прямо к дифференциальному уравнению

d ² y dx ² + p dy dx + qy = 0

через «характеристическое уравнение»:

г ² + пр + кв = 0

к общему решению с двумя действительными корнями r ₁ и r ₂ :

y = Ae ^{r ₁ x} + Be ^{r ₂ x}

Пример 2: Решить

d ² y dx ² − 9 dy dx + 20y = 0

Характеристическое уравнение:

r ² − 9r + 20 = 0

Коэффициент:

(r − 4)(r − 5) = 0

r = 4 или 5

Таким образом, общее решение нашего дифференциального уравнения:

y = Ae ^4x + Be ^5x

Вот некоторые примерные значения:

Пример 3: Решить

6 d ² y dx ² + 5 dy d x − 6y = 0

Характеристическое уравнение:

6r ² + 5r − 6 = 0

Коэффициент:

(3r − 2)(2r + 3) = 0

r = 2 3 или −3 2

Итак, общее решение нашего дифференциального уравнения:

y = Ae ^{( 9010 9 2 3 х)} + Be ^{( −3 2 х)}

Пример 4: Решить

9 d ² y dx ² − 6 dy d x − y = 0

Характеристическое уравнение:

9r ² − 6r − 1 = 0

Это не просто разложить на множители, поэтому мы используем формулу квадратного уравнения:

x = −b ± √(b ² − 4ac) 90 112 2а

с a = 9, b = −6 и c = −1

x = −(−6) ± √((−6) ² − 4×9×(−1)) 2× 9

х = 6 ± √(36+ 36) 18

х = 6 ± 6√2 18

9 0002 х = 1 ± √2 3

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения: 1 − √2 3 )x

Один реальный корень

Когда дискриминант p ² − 4q равен нулю , мы получаем один действительный корень (т. е. оба действительных корня равны).

Вот несколько примеров:

Пример 5: Решить

d ² y dx ² − 10 dy dx + 25y = 0

9000 2 Характеристическое уравнение:

r ² − 10r + 25 = 0

Фактор:

(r − 5)(r − 5) = 0

r = 5

Итак, у нас есть одно решение: y = e ^5x

НО когда и ^5x это решение, тогда xe ^5x это также решение!

Почему? Я могу показать вам:

y = xe ^5x

dy dx = e ^5x + 5xe ^5x

d ² y dx ² = 5e ^5x + 5e ^5x + 25xe ^5x

d ² y dx ² − 10 дв дх + 25г

= 5e ^5x + 5e ^5x + 25xe ^5x − 10(e ^5x + 5xe ^5x) + 25xe ^5x

= (5e ^5x + 5e ^5x − 10e ^5x ) + (25xe ^5x − 50xe ^5x + 25xe ^5x ) = 0

Итак, в этом случае наше решение:

y = Ae 9000 9 5x + Bxe ^5x

Как это работает в общем случае?

С у = хэ ^rx получаем производные:

dy dx = e ^rx + rxe ^rx
d ² y dx ² = re ^rx + re ^rx + r ² xe 900 09 рх

Так

d ² y dx ² + p dy dx + qy

= (относительно ^rx + относительно ^rx + r ² xe ^rx ) + p( e ^rx + rxe ^rx ) + q( xe ^rx )

= e ^rx (r + r + r ² x + p + prx + qx)

= е ^rx (2r + p + x(r ² + pr + q))

= e ^rx (2r + p), потому что мы уже знаем, что r ² + pr + q = 0

А когда r ² + pr + q имеет повторяющийся корень, то r = −p 2 и 2r + p = 0

Таким образом, если r является повторяющимся корнем характеристического уравнения, то общее решение равно

.
у = Ae ^rx + Bxe ^rx
Давайте попробуем другой пример, чтобы увидеть, как быстро мы можем получить решение:
Пример 6: Решить
4 d ² y dx ² + 4 dy d x + y = 0
Характеристическое уравнение:
4r ² + 4r + 1 = 0
Тогда:
(2r + 1) ² = 0
r = − 1 2
Итак, решение дифференциала уравнение:
y = Ae ^(−½)x + Bxe ^(−½)x
Сложные корни
Когда дискриминант p ² − 4q равен отрицательному , мы получаем комплексные корни.
Давайте попробуем пример, который поможет нам понять, как сделать этот тип:
Пример 7: Решить
d ² y dx ² − 4 dy dx + 13y = 0
Характеристическое уравнение:
r ² − 4r + 13 = 0
Это не фактор, поэтому мы используем формулу квадратного уравнения: 0002 с а = 1, б = −4 и c = 13
x = −(−4) ± √((−4) ² − 4×1×13) 2×1
x = 4 ± √(16− 52) 2 9 0003
х = 4 ± √(−36) 2
x = 4 ± 6i 2
x = 2 ± 3i
Если следовать используемому методу для двух действительных корней, то мы можем попробовать решение :
y = Ae ^(2+3i)x + Be ^(2−3i)x
Мы можем упростить это, поскольку e ^2x является общим делителем:
y = e ^2x ( Ae ^3ix + Be ^−3ix )
Но мы еще не закончили . .. !
Формула Эйлера говорит нам, что:
e ^ix = cos(x) + i sin(x)
Итак, теперь мы можем пойти по совершенно новому пути, чтобы (в конечном счете) все упростить.
Глядя только на часть «A плюс B»:
Ae ^3ix + Be ^−3ix
A(cos(3x) + i sin(3x)) + B(cos(−3x) + i sin(−3x))
Acos(3x) + Bcos(−3x) + i(Asin(3x) + Bsin(−3x))
Теперь применим тригонометрические тождества: cos(−θ)=cos(θ) и sin(−θ)=−sin(θ):
Acos(3x) + Bcos(3x) + i(Asin(3x) − Bsin(3x)
(A+B)cos(3x) + i(A−B)sin(3x)
Заменить A+B на C и A−B на D:
Ccos(3x) + iDsin(3x)
И мы получаем решение:
y = e ^2x ( Ccos(3x) + iDsin(3x))

Проверить
У нас есть ответ, но, может быть, нам следует проверить, действительно ли он удовлетворяет в исходное уравнение:
y = e ^2x ( Ccos(3x) + iDsin(3x))
dy dx = e ^2x ( −3Csin(3x)+3iDco с(3х)) + 2е ^2х ( Ccos(3x)+iDsin(3x) )
d ² y dx ² = e ^2x ( −(6C+9iD)sin(3x) + (−9C+6iD)cos( 3x)) + 2e ^2x (2C+3iD)cos(3x) + (−3C+2iD)sin(3x) )
Замена:
d ² y dx ² − 4 крас dx + 13y = e ^2x ( −(6C+9iD)sin(3x) + (−9C+6iD)cos(3x)) + 2e ^2x (2C+3iD)cos(3x) + (− 3C+2iD)sin(3x) ) − 4( e ^2x ( −3Csin(3x)+3iDcos(3x)) + 2e ^2x ( Ccos(3x)+iDsin(3x)) ) + 13( e ^2x (Ccos(3x) + iDsin(3x))
. .. эй, почему бы тебе не попробовать сложить все термины, чтобы увидеть, равны ли они нулю … если нет, пожалуйста, дай мне знать, ОК ?
Как это обобщить?
Обычно, когда мы решаем характеристическое уравнение с комплексными корнями, мы получаем два решения r ₁ = v + wi и r ₂ = v − wi
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения равно
.
y = e ^vx ( Ccos(wx) + iDsin(wx))
Пример 8: Решить
d ² y dx ² − 6 dy dx + 25y = 0
Характеристическое уравнение:
r ² − 6r + 25 = 0
Используйте формулу квадратного уравнения:
x = −b ± √(b ² − 4ac) 2a
с a = 1, b = −6 и c = 25
x = −( −6) ± √((−6) ² − 4×1×25) 2×1
x = 6 ± √(36−100) 2
9 0002 х = 6 ± √(−64) 2
x = 6 ± 8i 2
x = 3 ± 4i
И получаем решение:
y = e ^3x (Ccos(4x) + iDsin(4x))
Пример 9: Решить
9 d ² y dx ² + 12 dy dx + 29y = 0
Уравнение характеристики:
9r ² + 12r + 29 = 0
Используйте формулу квадратного уравнения:
x = −b ± √(b ² − 4ac) 2a
9000 2 с а = 9, б = 12 и с = 29
x = −12 ± √(12 ² − 4×9×29) 2×9
x = −12 ± √(144− 1044) 18
х = −12 ± √(−900) 18
x = −12 ± 30i 18
x = − 2 3 ± 5 3 i
И получаем решение:
y = e ^{(− 2 3 )x} (Ccos( 9 0109 5 3 х) + iDsin( 5 3 х))
Резюме
Решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида
d ² y dx ² + p dy dx + qy = 0
где p и q — константы, надо найти корни характеристического уравнения
г ² + пр + кв = 0
Есть три случая, в зависимости от дискриминанта р ² — 4q .

Математика 5 класс темы уроков

Натуральные числа

Вычитание и сложение натуральных чисел

Деление и умножение натуральных чисел

Объёмы и площади

Дробные числа

Десятичные дроби, их вычитание и сложение

Десятичные дроби, деление и умножение

Инструменты для вычислений и измерений

Основы комбинаторики

Заключение

Математика. 5 класс. Учебник. В 2 ч. Часть 1 Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Александрова Л.А., Шварцбурд С.И.

Качественные и количественные аспекты успеваемости по математике у близнецов MZ и DZ

принадлежность

Авторы

принадлежность

Абстрактный

Похожие статьи

Типы публикаций

термины MeSH

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение

Заказ

Пример:

Пример:

Пример:

Дифференциальные уравнения второго порядка

Пример 1: Решить

Check

Так вообще этот метод работает?

Два действительных корня

Один реальный корень

Как это работает в общем случае?

Сложные корни

Проверить

Как это обобщить?

Резюме

Добавить комментарий Отменить ответ