Готовое домашнее задание виленкин математика 5 класс виленкин: ГДЗ Математика 5 класс. Виленкин, Жохов. Учебник с подробными ответами

Содержание

ГДЗ по Математике за 5 класс Виленкин Н.Я., Жохов В.И.

Математика 5 класс Виленкин Н.Я.

Авторы: Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.

Математика на протяжении всех школьных лет считается одним из самых сложных предметов. По ней детям приходится писать немало контрольных, тестов и самостоятельных работ. Вот только не всем под силу справиться с навалившейся нагрузкой, особенно это касается пятиклассников, которые только недавно решали легкие задачки, а теперь перешли к сложным уравнениям.

Знание математики понадобится вам не только в школе, но и в повседневной жизни, поэтому так важно освоить основные правила и принципы работы этой науки. Решебник для 5 класса по математике от Виленкина Н.Я., Жохова В.И.,Чеснокова А.С., Шварцбурд С.И. Позволит ученику любого уровня знаний на «отлично» освоить трудную науку и применять полученную информацию в жизненных ситуациях.

В ГДЗ:

представлены все этапы решения, даже самых запутанных примеров;
приведены полные и исключительно правильные ответы на все номера из соответствующего учебника;
компактное и простое оформление, с которым разберется каждый;
исключены любые ошибки и неточные формулировки;
решения, проверенные профессиональными преподавателями с многолетним стажем работы;
понятные и подробные объяснения.

Благодаря такому помощнику пятиклассник сможет освоить даже самые трудные темы без помощи родителей или учителей. Теперь, для того, чтобы разобраться с каким-то вопросом, достаточно просто заглянуть в решебника. Книга с готовыми верными ответами содержит в себе подробные, проверенные по нормам ФГОС объяснения, которые будут понятны даже тем, кто раньше вообще ничего не знал из математики. Достаточно только открыть пособие на нужной странице и прочитать интересующий вас пример.

ГДЗ представлено в онлайн-доступе, для его использования вам не придется прилагать лишних усилий, достаточно просто открыть нужную вкладку и приступить к освоению информации.

Решебник по математике ( автор: Н.Я. Виленкин) также значительно облегчит участь родителям, которые привыкли контролировать выполнение домашнего задания своего ребенка. Теперь вы сможете проверить написанное вне зависимости от того, помните ли вы раздел по которому выполняется задание. Просто откройте описанную книгу и подробные ответы будут готовы.

ГДЗ По Математике 5 Класс Виленкин Фгос – Telegraph

➡➡➡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ!

ГДЗ По Математике 5 Класс Виленкин Фгос

ГДЗ по математике для 5 класса Виленкин – это не база для бездумного списывания . Это пошаговый алгоритм выполнения расчетов и В таблице номера ответов соответствуют нумерации заданий в 31-м издании учебника для 5 класса Виленкина Н .Я . Он был издан в . .

Подробный разбор задач из учебника по математике за 5 класс Виленкина , Жохова, Чеснокова . Бесплатное ГДЗ для учеников и их родителей .

Пособие «ГДЗ по математике 5 класс Учебник Виленкин Н . Я . Мнемозина» станет лучшим другом-помощником, так как верные ответы В 5 классе начинается новый образовательный этап в жизни школьника . Математик – это одно из важнейших звеньев в школьном обучении .

ГДЗ математика 5 класс Виленкин , Жохов, Чесноков, Шварцбурд Мнемозина . Школьные домашние задания – это проблемы не только для детей, но и для их родителей, особенно если дети учатся в 5-м классе . В этот период родители в большинстве случаев делают уроки вместе . .

Решебник (ГДЗ ) по Математике за 5 (пятый ) класс авторы: Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд издательство Учебник Мнемозина ФГОС (ответы к новому и старому учебнику) . Изучая математику , многие дети не могут обойтись без ГДЗ по математике 5 класс Виленкин .

Разбит решебник к учебнику «Математика 5 класс Учебник Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд Мнемозина» на отдельно Преимущества ГДЗ . Пятый класс означает, что ребята уже сдали первый в жизни школьников настоящий экзамен: Всероссийские проверочные работы .

ГДЗ решебник и ответы 5 класс , Математика , Виленкин Н .Я ., Жохов В .И ., Чесноков А .С ., Шварцбург С .И ., Учебник, год, 2019 год, 2019 год, 2019 год, 2020 год, 2020 год . Готовые домашние задания с подробными ответами .

ГДЗ по математике 5 класс Виленкин Н .Я . Тип: Учебник . Авторы: Виленкин Н .Я ., Жохов В .И ., Чесноков А .С ., Шварцбурд С .И . Пришло время разобраться в этом вопросе раз и навсегда . ГДЗ по математике для 5 класса от Виленкин Н .Я .,Жохов В .И .,Чесноков А .С .,Шварцбурд С .И . .

ГДЗ готовые домашние задания на задачи и номера к учебнику по математике 5 класс Н .Я . Виленкин , В .И . Жохов, А .С . Чесноков, С .И . Шварцбурд Глава Часть 1, 2 с объяснением 2019 ФГОС от Путина .
ГДЗ по математике для 5 класса от Виленкин Н .Я .,Жохов В .И ., Чесноков А .С .,Шварцбурд С .И . — это настоящее спасение, для тех кто плохо разбирается в этой трудной науке и незаменимый помощник для отличников, которые всегда хотят оставаться на высоком уровне .

К особо трудным примерам в ГДЗ по математике 5 класс приведены дополнительные комментарии . Нужен ли решебник . Родители же могут проверить их успехи по решебнику к учебнику «Математика 5 класс » Виленкин и, в случае неудачи, объяснить своему ребенку в . .

Здесь вы можете бесплатно пользоваться решебником (ГДЗ ) для учебника по математике Виленкин за 5 -й класс . Кроме полного решения всех заданий и ответов, в нем есть пояснения, которые помогут вам, если вы пропустили занятия . Издание было исправлено и переработано . .

Математика 5 класс Виленкин , Жохов, Чесноков . ГДЗ учебник по математике 5 класс Виленкин . авторы: Н .Я . Виленкин, В .И . Жохов, А .С . Чесноков, С .И . Шварцбурд . издательство: Мнемозина год .

ГДЗ (домашнее задание ) по математике за 5 класс к учебнику Виленкина, Жохова, Чеснокова, Шварцбурд . На решаторе имеются гдз по математике 5 класс Виленкина , где можно найти в решебнике пояснение любой задачи или примера из учебника Виленкина в режиме онлайн .

ГДЗ :Математика . Автор:Виленкин Н .Я . Класс:5 класс . Год издания: . Изображение ответа появляется под этой надписью . Ответы по Математике за 5 класс . Виленкин Н .Я . 1-3 .

ГДЗ По Геометрии 8 Кл Атанасян
Решебник 2 Класс Сборник
История 9 Класс Арсентьев 1 Часть ГДЗ
ГДЗ По Биологии Класс Захаров
ГДЗ По Физике 9 Класс Перышкин 2014
ГДЗ По Английскому 7 Лапа Учебник
ГДЗ По Литературному 2 Класс Климанова
Решебник По Виноградовой 4 Класс
ГДЗ По Литературе 5 Класс Меркин Ответы
ГДЗ По Геометрии 8 Класс Атанасян 368
ГДЗ Алгебра 10 Шабунин
ГДЗ По Алгебре 9 Класс Иманалиев
Кузовлев 5 Класс ГДЗ Ответы
ГДЗ По Алгебре 7 Класс Мордкович Мишустина
ГДЗ По Русскому Языку 4класс Рамзаева
Рабочая Тетрадь Форвард Решебник
ГДЗ По Физике 10 Класс Сборник Парфентьевой
English 4 Класс Баранова Workbook Решебник
Учи Ру ГДЗ 4 Класс Математика
ГДЗ По Физике 9 Класс Перышкин Дрофа
ГДЗ По Русскому Учебник 1 Часть Ладыженская
Спотлайт 4 ГДЗ Тетрадь
ГДЗ Английский Язык Страница 7
ГДЗ По Англ Языку 7 Класс Комарова
ГДЗ По Математике Ивановская 2 Часть
ГДЗ По Английскому Языку 8 Класс Ав
ГДЗ По Английскому Языку Четвертый Класс Вербицкая
ГДЗ По Английскому 7 Класс Starlight
ГДЗ По Английскому 11 Старлайт Учебник
ГДЗ Русский 3 Соловейчик Учебник
ГДЗ Ященко 2020 36 Вариантов
ГДЗ По Литературе 9 Класс Меркин
ГДЗ По Литературе 6 Класс Автор Полухина
ГДЗ По Русскому Тпо 3 Класс Байкова
ГДЗ Математика Потапов Шевкин Рабочая Тетрадь
Решебник Вербицкая 6
ГДЗ Тесты По Окружающему Миру 3 Класс
ГДЗ По Геометрии Глазков
ГДЗ Алгебра 11 Класс Мордкович Базовый
Учебник 5 Класс Жохов ГДЗ
Моро Рабочая Тетрадь 2 Класс Математика Решебник
ГДЗ Физика 10 Класс Громцева Сборник
ГДЗ Алгебра 7 2020
Решебник По Англ Яз Афанасьева
ГДЗ По Белорусскому Языку 5 Класс 1
ГДЗ Русский Язык 7 Класс Упражнение 28
ГДЗ По Русскому 7 Класс Ладыженская 2015
ГДЗ По Литературе 6 Класс Полухина
Галицкий 8 Класс ГДЗ
Литература 6 Меркин Решебник

Готовые Домашние Задания 7gy Ru

Гдз По Математике 3 Класс Рабочая

ГДЗ По Русскому Языку 19

ГДЗ Русский Язык Параграф 6 Класс

Готовые Домашние Задания По Математике Демидова

Выполняем домашние задания быстро и легко!

2018-07-31 Рубрика: Разное

Выполняем домашние задания быстро и легко!

Выполнение домашнего задания – это основная работа каждого ребенка школьного возраста. Для получения возможности обрести профессию в будущем, необходимо уже сейчас усвоить базовый уровень знаний школьной программы.

Она изменяется каждый год, поэтому родителям сложно следить за ней и приходится решать задачки вместе со своими школьниками.

Для проверки домашних заданий на сегодня выдается множество книг, в которых уже решенные домашние задания, написанные сочинения. Это упрощает систему обучения в школе, так как книги «Готовые домашние задания» издаются по всем урокам и доступны в продаже широкому кругу людей.

ГДЗ Виленкин 6 класс – это пособие, в котором все задания по математике за 6 класс уже решены.

На сайте https://polinkin-gdz.ru/matematika-5-klass-vilenkin/ опубликована книга, содержащая все решения математических задач за 5 класс.

Если вас интересует решения задач с алгебры за 7 класс – вам сюда https://polinkin-gdz.ru/algebra-7-klass-makarychev/.

В чем полезность книг с готовыми заданиями?

На сегодняшний день родители и школьники сами выбирают либо купить книгу «Готовые домашние задания» по различным предметам или же посмотреть их в интернете, так как они в широком доступе.

Эти книги для родителей являются полезными, потому что экономят время, потраченное на изучение материала, а потом проверку у ребенка домашнего задания. Но такого нельзя сказать об их влиянии на школьников.

Для родителей готовые домашние задания являются:

возможность сэкономить время на проверку уроков;
можно восполнить пробелы своих знаний и помочь усвоить школьный материал детям.

Для ребенка эта книга крайне нежелательная. Сейчас каждый стремится быстро сделать уроки и пойти гулять на улицу, за компьютер. Наличие готовых домашних заданий может привести к тому, что ваш школьник бездумно перепишет домашнее задание в рабочую тетрадку, так и не усвоив материал. Впоследствии таких действий, образовывается пробел в знаниях, который потом нужно будет восполнить. Например, в математике все взаимосвязано и если ты не освоил одну тему, то последующие станут тяжелыми для восприятия. И вашему ребенку придется сесть и выучить предыдущие темы, чтобы догнать материал, изучающийся в школе и не отставать от других детей.

Готовые домашние задания не рекомендуются для использования их школьниками во время изучения домашнего задания. Использовать эти книги можно лишь для его проверки, за результатом решения примера вашим ребенком.

Что было до Большого взрыва?

Это самый фундаментальный вопрос космологии: как возникла Вселенная?

Вопрос предполагает, что у Вселенной была фактическая отправная точка, но с таким же успехом можно предположить, что Вселенная всегда была и всегда будет. В этом случае не было бы никакого начала — просто постоянно развивающаяся история, на которую мы лишь мельком наблюдаем.

«У нас есть очень веские доказательства того, что был Большой взрыв, так что вселенная в том виде, в каком мы его знаем, почти наверняка возникла около 14 миллиардов лет назад.Но было ли это абсолютным началом или что-то было до этого? » — спрашивает Александр Виленкин, космолог из Университета Тафтса недалеко от Бостона. Это похоже на вопрос, на который никогда нельзя дать истинного ответа, потому что каждый раз, когда кто-то предлагает решение, кто-то еще может задавать раздражающий вопрос: что произошло до этого?

Но теперь Виленкин говорит, что у него есть убедительные доказательства: у Вселенной было отчетливое начало, хотя он не может точно определить время. По его словам, после 35 лет оглядки назад он обнаружил, что до нашей Вселенной не было ничего, вообще ничего, даже самого времени.

На протяжении всей своей карьеры, включая более 20 лет руководства Институтом космологии Тафтса, Виленкин выдвинул ряд безумных, ослепительных идей, хотя со стороны он не выглядит ни диким, ни ослепляющим. 64-летний профессор мягок, аккуратен и скромного телосложения. Он одевается аккуратно, в нейтральных, сдержанных тонах, которые не привлекают к нему внимания.

Несмотря на сдержанную манеру, граничащую с покорностью, Виленкин — творческая сила, которая постоянно находила способы разорвать туман, окружающий некоторые из самых сложных проблем, которые только можно вообразить, — триумфы, которые снискали ему уважение ученых всего мира.«Алекс — очень оригинальный и глубокий мыслитель, который внес важный и глубокий вклад в наши представления о сотворении Вселенной», — говорит космолог из Стэнфорда Андрей Линде.

Но этой блестящей карьеры могло и не случиться. Виленкин родился в Советском Союзе в 1949 году и вырос в украинском городе Харькове. Он увлекся космологией в средней школе, прочитав о Большом взрыве в книге сэра Артура Эддингтона. Эта «одержимость» происхождением Вселенной, говорит Виленкин, «никогда не покидала меня.Я чувствовал, что если вы могли бы поработать над этим вопросом, который может быть самым интригующим из всех, почему вы бы решили работать над чем-то еще? »

Будучи студентом Харьковского национального университета, Виленкин говорит, что ему посоветовали «заняться настоящей физикой», а не заниматься своей первой любовью, космологией. Хотя он был отличником, он не мог поступить в аспирантуру по физике, потому что, как он подозревает, КГБ внесло его в черный список за отказ стать государственным информатором. Вместо этого Виленкин был вынужден взять на себя ряд обыденных работ.Какое-то время он преподавал в вечерней школе для взрослых, но оставил эту должность, потому что в его обязанности входило ходить в дома отсутствующих, многие из которых были алкоголиками, и пытаться затащить их в школу — занятие незавидное.

Около полутора лет работал ночным сторожем, в том числе в Харьковском зоопарке. Чтобы защитить животных (на которых иногда охотились ради пропитания), ему дали ружье, которое он не умел использовать и, к счастью, никогда не стрелял. Когда у него было время в течение этих долгих ночей, Виленкин изучал физику, занятие, которое включало чтение четырехтомного собрания сочинений Альберта Эйнштейна.Его уволили с этого безумного задания, когда кто-то решил — возможно, на основании его выбора материала для чтения — что он слишком квалифицирован для выполнения поставленной задачи.

Поскольку его перспективы трудоустройства казались мрачными, он решил эмигрировать в Соединенные Штаты; он полагал, что начал мыть посуду, пытаясь прорваться в академическую среду. Но для того, чтобы покинуть Советский Союз, требовался тщательно продуманный план: евреям, таким как он, разрешалось выезжать в Израиль в небольшом количестве, определяемом квотой, но сначала нужно было получить приглашение от израильских родственников.У Виленкина там не было настоящих родственников, поэтому он связался с другом, который знал людей в Израиле, и в конце концов нашел кого-то — незнакомого ему человека — достаточно любезного, чтобы написать письмо от его имени.

После того, как письмо пришло, он год ждал визу, но это было дорогой ценой. Прежде чем Виленкин и его жена смогли уехать, их родители должны были дать согласие на переезд. За разрешение родители его жены потеряли работу в лаборатории. Его отец, профессор университета, позже тоже потерял работу.Традиционной остановкой на пути в Израиль была Вена, но оттуда Виленкин, его жена и годовалая дочь вместо этого отправились в Рим, прибыв туда в 1976 году. Они встретились с представителями консульства США в Риме и, после трехмесячного ожидания, наконец получили визу в США.

Назад к Большому взрыву

Осенью 1977 года Виленкин получил докторскую степень в Case Western Reserve, где он должен был изучать электрические свойства нагретых металлов. Тем не менее, он нашел время, чтобы теоретизировать о вращающихся черных дырах и их загадочных магнитных полях.Год спустя ему повезло, когда Тафтс предложил ему одну годичную должность гостя. Он рискнул, погрузившись в космологию, которую в то время считали маргинальной.

Это скоро изменится. В конце 1979 года постдок из Стэнфорда по физике по имени Алан Гут предложил объяснение взрывной силы, лежащей в основе Большого взрыва. Интеллектуальный скачок Гута стал результатом теорий физики элементарных частиц, которые утверждали, что при чрезвычайно высоких энергиях — гораздо более высоких, чем когда-либо можно было бы достичь в лаборатории — особое состояние материи переворачивает гравитацию с ног на голову, делая ее отталкивающей, а не силой притяжения.

Кусочек космоса, содержащий крошечный кусочек этой необычной материи, мог отталкиваться с такой силой, что буквально взорвался. Гут предположил, что такая огромная вспышка спровоцировала Большой взрыв, стремительно увеличив Вселенную до такой степени, что она увеличилась вдвое, по крайней мере, в 100 раз. Этот скачок экспоненциального роста, называемый космической инфляцией, был кратковременным, однако длился всего лишь крошечные доли секунды, потому что отталкивающий материал быстро распался, оставив позади более знакомые формы материи и энергии, которые сегодня заполняют Вселенную.

Идея одновременно решила ряд космологических загадок. Он объяснил, откуда произошел «взрыв» Большого взрыва и как космос стал таким большим. Быстрая инфляция во всех направлениях также объяснила, почему Вселенная, которую мы сейчас наблюдаем, настолько однородна, и почему температура фонового излучения, оставшегося от этого первичного взрыва, одинакова на каждом участке неба и составляет одну сотую тысячную. Инфляция также возродила космологию, дав таким теоретикам, как Виленкин, много поводов для размышлений — и вдобавок немного большей респектабельности.

Бесконечная история

К 1982 году, через пару лет после прорыва Гута, Виленкин осознал собственное осознание: процесс инфляции должен быть вечным, а это означает, что однажды начавшись, он никогда полностью не прекратится. Инфляция может внезапно закончиться в одном регионе пространства, таком как тот, который мы живем, но она продолжится в другом месте, вызывая бесконечную серию больших взрывов. Каждый взрыв будет соответствовать рождению отдельной «карманной» вселенной, которую можно представить в виде расширяющегося пузыря — одного из бесчисленных пузырей, плавающих внутри «мультивселенной», как ее иногда называют.

По мнению Виленкина, вечная природа инфляции проистекает из двух конкурирующих свойств космического топлива — материала, отталкивающего гравитацию, который заставляет Вселенную быстро расширяться. С одной стороны, материал был нестабильным, как радиоактивные вещества, и поэтому был обречен на распад. С другой стороны, материал расширялся намного быстрее, чем разлагался, поэтому даже если распад может остановить инфляцию в одних регионах, безудержный рост продолжится в других.

(Источник: Роен Келли / Discover)

В качестве аналогии Виленкин предлагает сгусток бактерий, который хочет продолжать размножаться и расти, в то время как антитела, убивающие бактерии, пытаются остановить этот рост.Если бактерии размножаются намного быстрее, чем уничтожаются, они будут быстро размножаться и распространяться, даже если их размножение может быть затруднено в некоторых сферах. Как бы то ни было, в конечном итоге инфляция (или рост бактерий) никогда не заканчивается сразу везде и всегда происходит в какой-то части мультивселенной — даже когда вы читаете этот журнал.

Чтобы лучше понять этот феномен, Виленкин в 1986 году объединился с аспирантом Тафтса Мукундой Арьялом над компьютерным моделированием, которое показало, как может выглядеть вечно расширяющаяся Вселенная.В их моделировании надувающиеся области, или пузыри, начинались с малого и неуклонно росли, в то время как пространство между пузырями также расширялось. Каждый пузырь, представляющий такую мини-вселенную, как наша, был окружен более мелкими пузырьками, которые, в свою очередь, были окружены еще более мелкими пузырьковыми вселенными.

Дорога в вечность

В бурлящей Вселенной Виленкина инфляция по определению вечна в будущем. Однажды начавшись, это не остановится. Но было ли это тоже вечным в прошлом? Было ли когда-нибудь время, когда Вселенная не надувалась? И если бы Вселенная всегда надувалась и всегда расширялась, означало бы это, что сама Вселенная вечна и не имеет начала?

Чтобы ответить на этот вопрос, Виленкин объединил усилия с Гутом и математиком из Университета Лонг-Айленда Арвиндом Бордом.Используя математическое доказательство, они утверждали, что любая расширяющаяся Вселенная, подобная нашей, должна иметь начало. Мысленный эксперимент, который они поставили, выглядел так: представьте себе вселенную, наполненную частицами. По мере того, как он неуклонно расширяется, расстояние между частицами увеличивается. Отсюда следует, что наблюдатели, рассыпанные по всей этой расширяющейся Вселенной, будут удаляться друг от друга, пока, в конце концов, не займут широко разбросанные области пространства. Если бы вы оказались одним из таких наблюдателей, то чем дальше от вас находился объект, тем быстрее он удалялся бы.

А теперь добавьте сюда космического путешественника, движущегося в космосе с фиксированной скоростью: он проносится мимо Земли со скоростью 100 000 километров в секунду. Но когда он достигнет следующей галактики, которая удаляется от нас, скажем, со скоростью 20 000 километров в секунду, наблюдателям там будет казаться, что он движется только 80 000 километров в секунду. По мере того как он продолжает свое путешествие, скорость космического путешественника будет казаться все меньше и меньше наблюдателям, мимо которых он проходит. Теперь запустим фильм в обратном направлении. На этот раз скорость космического путешественника будет становиться все быстрее и быстрее в каждой последующей галактике.

Если мы предположим, что инфляция вечна в прошлом — что у нее не было начала, — космический путешественник в конечном итоге достигнет скорости света и превзойдет ее. Расчет Борд, Гут и Виленкин показал, что это произойдет за конечное время. Но согласно законам относительности, ни один массивный объект не может достичь скорости света, не говоря уже о ее превышении. «Этого не может быть», — говорит Виленкин. «Итак, если вы проследите историю этого космического путешественника во времени, вы обнаружите, что его истории должен прийти конец.

Тот факт, что путешествие путешественника назад во времени заходит в тупик, означает, что с логической точки зрения существует проблема с предположением о постоянно расширяющейся Вселенной, на которой основан весь этот сценарий. Другими словами, Вселенная не всегда могла расширяться. Его расширение должно было иметь начало, и инфляция — особенно взрывная форма космического расширения — должна была иметь начало. Согласно этой логике, наша Вселенная также имела начало, поскольку она была порождена инфляционным процессом, который вечен для будущего, но не для прошлого.

Нечто из ничего

Вселенная с началом вызывает неприятный вопрос: как она возникла? Ответ Виленкина ни в коем случае не подтвержден и, возможно, никогда не может быть подтвержден, но это все же лучшее решение, которое он слышал до сих пор: может быть, наша фантастическая, великолепная вселенная возникла спонтанно из ничего. Это еретическое заявление противоречит здравому смыслу, который, по общему признанию, подводит нас, когда мы говорим о рождении Вселенной, событии, которое, как считается, происходит при невероятно высоких энергиях.Это также бросает вызов римскому философу Лукрецию, который более 2000 лет назад утверждал, что «ничто не может быть создано из ничего».

Конечно, Лукреций никогда не слышал о квантовой механике и инфляционной космологии, областях 20-го века, которые опровергают его смелое заявление. «Мы обычно говорим, что ничего не может быть создано из ничего, потому что мы думаем, что это нарушило бы закон сохранения энергии» — священный принцип физики, согласно которому энергия не может быть ни создана, ни уничтожена, — объясняет Виленкин.Итак, как вы могли создать вселенную с материей в ней, где раньше ничего не было?

«Вселенная решает эту проблему с отрицательной гравитационной энергией», — говорит Виленкин. Это следствие того факта, который математически доказан, что энергия замкнутой Вселенной равна нулю: энергия материи положительна, энергия гравитации отрицательна, и они всегда в сумме равны нулю. «Следовательно, создание закрытой Вселенной из ничего не нарушает никаких законов сохранения.

Расчеты Виленкина показывают, что Вселенная, созданная из ничего, скорее всего, действительно будет крошечной — намного, намного меньше, чем, скажем, протон. Если в этом крошечном царстве будет хоть немного материала, обладающего отталкивающей гравитацией, этого будет достаточно, чтобы гарантировать, что он зажжет неудержимый процесс вечной инфляции, ведущей к вселенной, в которой мы живем сегодня. Если теория верна, мы обязаны своим существованием самому скромному происхождению: ничему самому.

Одно из достоинств этой картины, если она верна, состоит в том, что спонтанное создание нашей вселенной дает определенную отправную точку для вещей.Время начинается в момент творения, устраняя потенциально бесконечные вопросы о том, «что произошло до этого».

Однако это объяснение все еще оставляет без внимания огромную загадку. Хотя вселенная, согласно схеме Виленкина, может возникнуть из ничего в том смысле, что не существует пространства, времени или материи, что-то уже есть заранее, а именно законы физики. Эти законы управляют моментом создания чего-то из ничего, что дает начало нашей Вселенной, а также они управляют вечной инфляцией, которая наступает в первую наносекунду времени.

Это вызывает некоторые неудобные вопросы: где находились законы физики до того, как появилась вселенная, к которой их можно было применить? Существуют ли они независимо от пространства или времени? «Это великая загадка, откуда пришли законы физики. Мы даже не знаем, как к этому подойти », — признается Виленкин. «Но до того, как появилась инфляция, мы даже не знали, как подойти к вопросам, которые позже решила инфляция. Так что кто знает, может, мы преодолеем и этот барьер ».

В фильме Клинта Иствуда «Magnum Force» Гарри Каллахан говорит: «Человек должен знать свои ограничения», но работа Виленкина является свидетельством того, что он выходит за традиционные рамки.Если мы упорствуем перед лицом скептицизма и сомнений, к чему часто склонен Виленкин, вполне могут возникнуть интересные и неожиданные идеи — точно так же, как вселенная, возникающая из ниоткуда.

Устранение лазеек

Лазейка № 1

Чтобы подтвердить свою гипотезу, Виленкин изучил другие модельные вселенные, устраняя лазейки, которые противоречат идее четкого космического дебюта. В статье 2012 года с аспирантом Тафтса Одри Митани Виленкин исследовал «циклическую» вселенную, исследованную физиками Полом Стейнхардтом из Принстонского университета и Нилом Туроком, ныне работающим в Институте периметра.

В этой модели нет ни единого Большого Взрыва, ни единого начала. Вместо этого Вселенная постоянно проходит через колеблющиеся циклы расширения, сжатия, коллапса и расширения заново. Загвоздка в том, что циклическая Вселенная подчиняется второму закону термодинамики, согласно которому энтропия или беспорядок замкнутой системы со временем неизбежно возрастет.

Классическая циклическая вселенная (Источник: Роен Келли / Discover)

Например, богато украшенный кирпичный особняк очень упорядочен, в то время как куча кирпичей, разбросанная по земле — результат разрушительного воздействия природы и десятилетий или столетий пренебрежения — более беспорядочный.А кирпичная пыль, разлетевшаяся ветром и водой после того, как сами кирпичи испортились, еще более беспорядочная. Сама по себе система — даже пузырьковая вселенная — естественным образом пойдет по этому пути. Мы не часто видим, как кирпичный особняк самопроизвольно восстанавливается из разросшейся пыли.

Если бы наша Вселенная была здесь вечно и сохраняла стабильный размер, она тоже поддалась бы второму закону. Беспорядок неумолимо увеличился бы до такой степени, что теперь Вселенная превратилась бы в сглаженное безликое пятно.Но это совсем не то, что мы видим. Вместо этого мы видим вселенную, наполненную грандиозными космическими структурами — галактиками, скоплениями галактик, скоплениями скоплений, называемыми сверхскоплениями, и скоплениями сверхскоплений, называемыми нитями галактик, — некоторые из последних простираются на миллиард или более световых лет в поперечнике.

Модифицированная циклическая вселенная (Источник: Роен Келли / Discover)

По этой причине Виленкин исключает картину циклической вселенной, если только не делается дополнительное предположение, что после каждого цикла расширения и сжатия Вселенная оказывается несколько больше, чем когда она была начал.Это условие оставит нас с другой расширяющейся вселенной, а это означает, что исходная теорема Борд-Гут-Виленкин будет по-прежнему применяться: у вечно расширяющейся вселенной должно быть единственное начало.

Loophole # 2

Другая возможная лазейка — это сценарий «космического яйца», модель вселенной, выдвинутая, среди прочих, южноафриканским космологом Джорджем Эллисом. Согласно этой точке зрения, Вселенная может вечно находиться в стабильной конфигурации с фиксированным размером и радиусом, пока она внезапно не начнет расширяться — как вылупившееся яйцо после исключительно долгой фазы инкубации.

Теория космического яйца. (Кредит: Роен Келли / Discover)

Проблема этого предположения, по мнению Виленкина и Митани, в том, что маленькая «стабильная» вселенная в конце концов не так уж и стабильна. Когда-нибудь во время фазы долгого ожидания он рухнет в ничто, прежде чем когда-либо достигнет экспансионистского периода — то есть, если верить законам квантовой механики.

Квантовая механика, преобладающая ветвь физики для описания того, как вещи работают в атомных масштабах, тщательно проверена и чрезвычайно странна.Квантовая механика считает, что если есть хотя бы малейшая вероятность того, что что-то произойдет, как бы абсурдно это ни звучало, это обязательно произойдет, если вы подождете достаточно долго.

Как оказалось, квантово-механические формулы предсказывают малую (но ненулевую) вероятность коллапса Вселенной с космическим яйцом до нулевого размера, после чего бывшая Вселенная полностью исчезнет. Учитывая бесконечный промежуток времени, к которому призывает сценарий космического яйца, такой коллапс был бы неизбежен — даже несмотря на то, что вероятность того, что он произойдет в любой момент времени, невелика — подразумевая, что Вселенная не могла существовать вечно.

В самом деле, говорит Виленкин, среди всех идей, которые мы до сих пор придумали для вселенной без начала, ни одна из них, похоже, не работает. «Так что ответ на вопрос, было ли у Вселенной начало — да, вероятно, имело место».

Эта статья изначально была напечатана как «Отправная точка».

правил и примеров (7 класс)

В этой статье мы подробнее рассмотрим основные правила такой важной темы курса математики, как открывающие скобки.Знание правил раскрытия скобок необходимо для правильного решения уравнений, в которых они используются.

Как правильно раскрыть круглые скобки дополнительно

Раскройте квадратные скобки, перед которыми стоит «+»

Это самый простой случай, потому что если перед скобками стоит знак добавления, знаки внутри них не меняются при раскрытии скобок. Пример:

(9 + 3) + (1 — 6 + 9) = 9 + 3 + 1 — 6 + 9 = 16.

Как раскрыть скобки, перед которыми стоит «-»

В этом случае нужно переписать все термины без скобок, но при этом поменять все знаки внутри них на противоположные.Знаки меняются только на те скобки, перед которыми стоит знак «-». Пример:

(9 + 3) — (1-6 + 9) = 9 + 3-1 + 6-9 = 8. 2.2) * 12 = 1728.

Как раскрыть 3 скобки

Есть уравнения, в которых умножаются сразу 3 скобки. В этом случае вы должны сначала умножить члены первых двух скобок, а затем умножить сумму этого умножения на члены третьей скобки. Пример:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5-6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5-6) = — 21.

Эти правила раскрытия скобок в равной степени применимы к решению как линейных, так и тригонометрических уравнений.

В этом уроке вы узнаете, как преобразовать выражение, содержащее круглые скобки, в выражение, не содержащее скобок. Вы узнаете, как раскрывать круглые скобки, которым предшествуют знак плюс и минус. Напомним, как раскрыть скобки с помощью распределительного закона умножения. Рассмотренные примеры позволят связать новый и ранее изученный материал в единое целое.

Тема: Решение уравнений

Урок: Раскрытие скобок

Как раскрыть круглые скобки, перед которыми стоит знак «+».Использование комбинированного закона сложения.

Если вам нужно добавить сумму двух чисел к числу, то вы можете сначала добавить к этому числу первый член, а затем второй.

Слева от знака находится выражение в квадратных скобках, а справа — выражение без скобок. Это означает, что при переходе от левой части равенства к правой скобки были расширены.

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Раскрывая скобки, мы изменили порядок действий.Считать стало удобнее.

Пример 2.

Пример 3.

Обратите внимание, что во всех трех примерах мы просто убрали круглые скобки. Сформулируем правило:

Комментарий.

Если первый член в круглых скобках беззнаковый, он должен быть записан со знаком плюс.

Вы можете шаг за шагом следовать примеру. Сначала прибавьте 445 к 889. Это действие можно проделать в уме, но это не очень просто.Раскроем скобки и увидим, что измененный порядок действий значительно упростит расчеты.

Если следовать указанному порядку действий, то сначала нужно вычесть 345 из 512, а затем прибавить к результату 1345. Раскрывая круглые скобки, мы изменим порядок действий и значительно упростим вычисления.

Наглядный пример и правило.

Рассмотрим пример :. Вы можете найти значение выражения, сложив 2 и 5, а затем взяв полученное число с противоположным знаком.Получаем -7.

С другой стороны, тот же результат может быть получен путем сложения противоположных чисел.

Сформулируем правило:

Пример 1.

Пример 2.

Правило не меняется, если в скобках указано не два, а три или более терминов.

Пример 3.

Комментарий. Знаки меняются местами только перед сроками.

В этом случае, чтобы раскрыть скобки, необходимо запомнить свойство распределения.

Сначала умножьте первую скобку на 2, а вторую на 3.

Перед первой круглой скобкой стоит знак «+», что означает, что знаки необходимо оставить без изменений. Перед вторым стоит знак «-», следовательно, все знаки необходимо поменять на противоположные

Библиография

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М .: Мнемосина, 2012.
Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6. класс — Гимназия, 2006.

Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики. — Просвещение, 1989.
Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математики 5-6 класс — ЗШ МИФИ, 2011.
Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Учебное пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. — ЗШ МИФИ, 2011.
Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-товарищ для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. — Просвещение, 1989.

Онлайн-тесты по математике ().
Вы можете скачать те, которые указаны в п. 1.2. книги ().

Домашнее задание

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М .: Мнемосина, 2012. (см. Ссылку 1.2)
Домашнее задание: No.1254, №1255, №1256 (б, г)
Прочие поручения: № 1258 (в), № 1248

Скобки используются для обозначения порядка, в котором выполняются действия в числовых, литеральных и переменных выражениях. Удобно переключаться с выражения в круглых скобках на идентично равное выражение без скобок. Этот прием называется раскрытием скобок.

Раскрыть круглые скобки означает избавиться от выражения в этих скобках.

Еще один момент, заслуживающий особого внимания, касается особенностей записи решений при открытии скобок.Мы можем записать исходное выражение в круглые скобки, а результат, полученный после раскрытия скобок, как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения
3− (5−7) мы получим выражение 3−5 + 7. Оба этих выражения можно записать как равенство 3− (5−7) = 3− 5 + 7.

И еще один важный момент. В математике для сокращения записей обычно не пишут знак плюса, если он появляется первым в выражении или в круглых скобках. Например, если мы сложим два положительных числа, например семь и три, то мы напишем не + 7 + 3, а просто 7 + 3, несмотря на то, что семь также является положительным числом.Точно так же, если вы видите, например, выражение (5 + x) — знайте, что перед круглой скобкой стоит плюс, который не написан, а перед пятеркой стоит плюс + (+ 5 + x) .

Правило раскрытия скобок дополнительно

При открытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.

Пример. Раскройте скобки в выражении 2 + (7 + 3) Перед скобками плюс, тогда знаки перед числами в скобках не меняются.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Правило раскрытия скобок при вычитании

Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но члены, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный. Отсутствие знака перед первым членом в круглых скобках означает знак +.

Пример. Раскрыть скобки в выражении 2 — (7 + 3)

Перед скобками стоит минус, значит, нужно поменять знаки перед числами в скобках.Перед цифрой 7 нет знака в скобках, это означает, что семерка положительная, считается, что перед ней стоит знак +.

2 — (7 + 3) = 2 — (+ 7 + 3)

При раскрытии скобок мы убираем из примера минус, который был перед скобками, и сами скобки 2 — (+ 7 + 3), а знаки, которые были в скобках, меняют местами.

2 — (+ 7 + 3) = 2-7-3

Раскрывающие скобки при умножении

Если перед скобками стоит знак умножения, то каждое число внутри скобок умножается на коэффициент перед скобками.В этом случае умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, а также умножение плюса на минус дает минус.

Таким образом, скобки в произведениях расширены в соответствии с распределительным свойством умножения.

Пример. 2 (9-7) = 2 9-2 7

Когда вы умножаете скобку на скобку, каждый член первой скобки умножается на каждый член второй скобки.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

На самом деле нет необходимости запоминать все правила, достаточно запомнить только одно, это: c (a-b) = ca-cb. Почему? Потому что, если вы замените в нем единицу вместо c, вы получите правило (a — b) = a — b. А если подставить минус один, то получится правило — (a — b) = — a + b. Что ж, если вместо c подставить другую скобку, можно получить последнее правило.

Раскрывающие скобки при делении

Если после скобок стоит знак деления, то каждое число внутри скобок делится на делитель после скобок, и наоборот.

Пример. (9 + 6): 3 = 9: 3 + 6: 3

Как раскрыть вложенные круглые скобки

Если выражение содержит вложенные круглые скобки, они раскрываются по порядку, начиная с внешних или внутренних.

При этом, открывая одну из скобок, важно не трогать остальные скобки, а просто переписать их как есть.

Пример. 12 — (a + (6 — b) — 3) = 12 — a — (6 — b) + 3 = 12 — a — 6 + b + 3 = 9 — a + b

В этом уроке вы узнаете, как преобразовать выражение, содержащее круглые скобки, в выражение, не содержащее скобок.Вы узнаете, как раскрывать круглые скобки, которым предшествуют знак плюс и минус. Напомним, как раскрыть скобки с помощью распределительного закона умножения. Рассмотренные примеры позволят связать новый и ранее изученный материал в единое целое.

Тема: Решение уравнений

Урок: Раскрытие скобок

Как раскрыть круглые скобки, перед которыми стоит знак «+». Использование комбинированного закона сложения.

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Раскрывая скобки, мы изменили порядок действий.Считать стало удобнее.

Пример 2.

Пример 3.

Обратите внимание, что во всех трех примерах мы просто убрали круглые скобки. Сформулируем правило:

Комментарий.

Если первый член в круглых скобках беззнаковый, он должен быть записан со знаком плюс.

Наглядный пример и правило.

С другой стороны, тот же результат может быть получен путем сложения противоположных чисел.

Сформулируем правило:

Пример 1.

Пример 2.

Правило не меняется, если в скобках указано не два, а три или более терминов.

Пример 3.

Комментарий. Знаки меняются местами только перед сроками.

В этом случае, чтобы раскрыть скобки, необходимо запомнить свойство распределения.

Сначала умножьте первую скобку на 2, а вторую на 3.

Библиография

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М .: Мнемосина, 2012.
Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6. класс — Гимназия, 2006.
Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики. — Просвещение, 1989.
Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математики 5-6 класс — ЗШ МИФИ, 2011.
Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Учебное пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. — ЗШ МИФИ, 2011.
Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-товарищ для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. — Просвещение, 1989.

Онлайн-тесты по математике ().
Вы можете скачать те, которые указаны в п. 1.2. книги ().

Домашнее задание

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М .: Мнемосина, 2012. (см. Ссылку 1.2)
Домашнее задание: No.1254, №1255, №1256 (б, г)
Прочие поручения: № 1258 (в), № 1248

% PDF-1.6 % 1668 0 объект > эндобдж xref 1668 332 0000000016 00000 н. 0000010262 00000 п. 0000010571 00000 п. 0000010617 00000 п. 0000010750 00000 п. 0000010785 00000 п. 0000010876 00000 п. 0000012007 00000 п. 0000012046 00000 п. 0000012222 00000 п. 0000012393 00000 п. 0000012508 00000 п. 0000013277 00000 п. 0000014061 00000 п. 0000014839 00000 п. 0000015563 00000 п. 0000016272 00000 п. 0000017010 00000 п. 0000017374 00000 п. 0000017743 00000 п. 0000017975 00000 п. 0000018201 00000 п. 0000018915 00000 п. 0000019675 00000 п. 0000022326 00000 п. 0000022387 00000 п. 0000022464 00000 н. 0000022558 00000 н. 0000022604 00000 п. 0000022703 00000 п. 0000022749 00000 п. 0000022898 00000 п. 0000023035 00000 п. 0000023081 00000 п. 0000023250 00000 п. 0000023425 00000 п. 0000023471 00000 п. 0000023606 00000 п. 0000023746 00000 п. 0000023894 00000 п. 0000023939 00000 п. 0000024091 00000 п. 0000024242 00000 п. 0000024397 00000 п. 0000024442 00000 п. 0000024614 00000 п. 0000024759 00000 п. 0000024896 00000 п. 0000024941 00000 п. 0000025074 00000 п. 0000025212 00000 п. 0000025377 00000 п. 0000025422 00000 н. 0000025557 00000 п. 0000025658 00000 п. 0000025702 00000 п. 0000025813 00000 п. 0000025857 00000 п. 0000025970 00000 п. 0000026014 00000 п. 0000026117 00000 п. 0000026160 00000 п. 0000026306 00000 п. 0000026351 00000 п. 0000026439 00000 н. 0000026469 00000 п. 0000026514 00000 п. 0000026610 00000 п. 0000026655 00000 п. 0000026810 00000 п. 0000026855 00000 п. 0000026900 00000 н. 0000027009 00000 н. 0000027054 00000 п. 0000027143 00000 п. 0000027173 00000 п. 0000027218 00000 н. 0000027314 00000 п. 0000027359 00000 н. 0000027455 00000 п. 0000027500 00000 п. 0000027606 00000 п. 0000027651 00000 п. 0000027787 00000 п. 0000027832 00000 н. 0000028014 00000 п. 0000028059 00000 п. 0000028198 00000 п. 0000028243 00000 п. 0000028362 00000 п. 0000028407 00000 п. 0000028527 00000 п. 0000028572 00000 п. 0000028694 00000 п. 0000028739 00000 п. 0000028914 00000 п. 0000028959 00000 п. 0000029113 00000 п. 0000029158 00000 п. 0000029299 00000 н. 0000029344 00000 п. 0000029389 00000 п. 0000029498 00000 п. 0000029543 00000 п. 0000029631 00000 п. 0000029782 00000 п. 0000029812 00000 п. 0000029945 00000 н. 0000029990 00000 н. 0000030078 00000 п. 0000030108 00000 п. 0000030153 00000 п. 0000030249 00000 п. 0000030294 00000 п. 0000030390 00000 п. 0000030435 00000 п. 0000030599 00000 п. 0000030644 00000 п. 0000030807 00000 п. 0000030852 00000 п. 0000031019 00000 п. 0000031064 00000 п. 0000031230 00000 п. 0000031275 00000 п. 0000031320 00000 н. 0000031365 00000 п. 0000031476 00000 п. 0000031521 00000 п. 0000031653 00000 п. 0000031698 00000 п. 0000031814 00000 п. 0000031859 00000 п. 0000032027 00000 н. 0000032072 00000 н. 0000032336 00000 п. 0000032381 00000 п. 0000032537 00000 п. 0000032582 00000 п. 0000032627 00000 н. 0000032736 00000 п. 0000032781 00000 п. 0000032869 00000 п. 0000032899 00000 н. 0000032944 00000 п. 0000033040 00000 п. 0000033085 00000 п. 0000033181 00000 п. 0000033226 00000 п. 0000033345 00000 п. 0000033390 00000 п. 0000033539 00000 п. 0000033584 00000 п. 0000033730 00000 п. 0000033775 00000 п. 0000033901 00000 п. 0000033946 00000 п. 0000033991 00000 п. 0000034100 00000 п. 0000034145 00000 п. 0000034234 00000 п. 0000034352 00000 п. 0000034382 00000 п. 0000034427 00000 п. 0000034457 00000 п. 0000034502 00000 п. 0000034596 00000 п. 0000034641 00000 п. 0000034737 00000 п. 0000034782 00000 п. 0000034898 00000 п. 0000034943 00000 п. 0000035039 00000 п. 0000035084 00000 п. 0000035243 00000 п. 0000035288 00000 п. 0000035409 00000 п. 0000035454 00000 п. 0000035546 00000 п. 0000035591 00000 п. 0000035636 00000 п. 0000035745 00000 п. 0000035790 00000 н. 0000035879 00000 п. 0000035909 00000 п. 0000035954 00000 п. 0000036050 00000 п. 0000036095 00000 п. 0000036140 00000 п. 0000036234 00000 п. 0000036280 00000 п. 0000036369 00000 п. 0000036517 00000 п. 0000036547 00000 п. 0000036644 00000 п. 0000036690 00000 н. 0000036778 00000 п. 0000036989 00000 п. 0000037019 00000 п. 0000037128 00000 п. 0000037173 00000 п. 0000037262 00000 п. 0000037438 00000 п. 0000037468 00000 п. 0000037610 00000 п. 0000037655 00000 п. 0000037744 00000 п. 0000037774 00000 п. 0000037819 00000 п. 0000037930 00000 п. 0000037975 00000 п. 0000038111 00000 п. 0000038156 00000 п. 0000038269 00000 п. 0000038314 00000 п. 0000038449 00000 п. 0000038494 00000 п. 0000038658 00000 п. 0000038703 00000 п. 0000038748 00000 п. 0000038794 00000 п. 0000038890 00000 н. 0000038935 00000 п. 0000039050 00000 п. 0000039095 00000 н. 0000039211 00000 п. 0000039256 00000 п. 0000039378 00000 п. 0000039423 00000 п. 0000039532 00000 п. 0000039577 00000 п. 0000039688 00000 п. 0000039733 00000 п. 0000039850 00000 п. 0000039895 00000 п. 0000039940 00000 н. 0000039986 00000 н. 0000040082 00000 п. 0000040128 00000 п. 0000040174 00000 п. 0000040220 00000 п. 0000040331 00000 п. 0000040377 00000 п. 0000040478 00000 п. 0000040524 00000 п. 0000040642 00000 п. 0000040688 00000 п. 0000040793 00000 п. 0000040839 00000 п. 0000040952 00000 п. 0000040998 00000 н. 0000041044 00000 п. 0000041153 00000 п. 0000041198 00000 п. 0000041287 00000 п. 0000041317 00000 п. 0000041362 00000 п. 0000041491 00000 п. 0000041536 00000 п. 0000041651 00000 п. 0000041696 00000 п. 0000041846 00000 п. 0000041891 00000 п. 0000041990 00000 п. 0000042035 00000 п. 0000042147 00000 п. 0000042192 00000 п. 0000042237 00000 п. 0000042346 00000 п. 0000042392 00000 п. 0000042480 00000 п. 0000042510 00000 п. 0000042556 00000 п. 0000042648 00000 п. 0000042694 00000 п. 0000042825 00000 п. 0000042871 00000 п. 0000042998 00000 н. 0000043044 00000 п. 0000043140 00000 п. 0000043186 00000 п. 0000043366 00000 п. 0000043412 00000 п. 0000043541 00000 п. 0000043587 00000 п. 0000043679 00000 п. 0000043725 00000 п. 0000043836 00000 п. 0000043882 00000 п. 0000043928 00000 п. 0000044037 00000 п. 0000044083 00000 п. 0000044163 00000 п. 0000044193 00000 п. 0000044242 00000 п. 0000044345 00000 п. 0000044391 00000 п. 0000044487 00000 п. 0000044533 00000 п. 0000044634 00000 п. 0000044680 00000 п. 0000044777 00000 п. 0000044823 00000 п. 0000044944 00000 п. 0000044990 00000 н. 0000045096 00000 п. 0000045142 00000 п. 0000045274 00000 п. 0000045320 00000 п. 0000045440 00000 п. 0000045486 00000 п. 0000045621 00000 п. 0000045667 00000 п. 0000045803 00000 п. 0000045849 00000 п. 0000045952 00000 п. 0000045998 00000 п. 0000046044 00000 п. 0000046153 00000 п. 0000046199 00000 п. 0000046288 00000 п. 0000046318 00000 п. 0000046364 00000 н. 0000046460 00000 п. 0000046506 00000 п. 0000046633 00000 п. 0000046679 00000 п. 0000046776 00000 п. 0000046822 00000 н. 0000046939 00000 п. 0000046985 00000 п. 0000047031 00000 п. 0000006936 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 1999 0 объект > поток xYse s & $ Н4t @ „0I @ B» D

Вырождение и избыточность в активном выводе

Abstract

Понятия вырожденности и избыточности являются важными конструкциями во многих областях, от геномики до сетевой науки.Вырождение играет важную роль в нейробиологии, объясняя ключевые аспекты распределенной обработки и взаимосвязей структура-функция в мозге. Например, дегенерация объясняет супераддитивный эффект поражений на функциональный дефицит в терминах структурно-функционального отображения «многие к одному». В этой статье мы предлагаем принципиальное объяснение вырождения и избыточности, когда функция операционализируется в терминах активного вывода, а именно, формулировка восприятия и действия как обновления веры в генеративных моделях мира.Вкратце, «вырождение» количественно оценивается «энтропией» апостериорных представлений о причинах ощущений, в то время как «избыточность» — это стоимость «сложности», понесенная при формировании этих убеждений. С этой точки зрения вырождение и избыточность дополняют друг друга: активный вывод пытается минимизировать избыточность, сохраняя при этом вырождение. Эта формулировка обоснована с использованием статистических и математических понятий вырожденных отображений и статистической эффективности. Затем мы проиллюстрируем изменения в вырожденности и избыточности во время изучения задания на повторение слов.Наконец, мы охарактеризовали эффекты повреждений — внутренних и внешних связей — с помощью разрывов in silico. Эти численные анализы подчеркивают фундаментальное различие между вырожденностью и избыточностью и то, как они оценивают различные императивы для перцептивного вывода и структурного обучения, которые имеют отношение к синтетическому и биологическому интеллекту.

Ключевые слова: активный вывод, сложность, вырожденность, свободная энергия, избыточность

Введение

Вырожденные функциональные архитектуры обычно имеют несколько путей, которые доступны для выполнения конкретной функциональной конечной точки (Tononi et al.1999; Прайс и Фристон 2002; Фристон и Прайс 2003). Простым примером может служить то, что левую или правую руку можно использовать, чтобы «поднять чашку». Это обеспечивает вырожденную взаимосвязь между структурой и функцией, которая сохраняет функцию после повреждения, потому что в этом примере способность поднимать чашку сохраняется, если повреждена только одна рука. Основная идея, преследуемая в этой статье, заключается в том, что вырождение обеспечивает гибкость, которая компенсирует стоимость избыточности. Например, возможность поднять чашку правой или левой рукой оставляет «возможности открытыми», в то время как использование обеих рук было бы излишним.Кроме того, когда несколько функций могут поддерживаться одними и теми же структурами (то есть, когда существует отображение «многие ко многим» между структурой и функцией), компромисс между вырожденностью и избыточностью становится еще более явным. Например, при выполнении задач точного контроля, таких как рисование или хирургия, более эффективно, чтобы обе руки были одинаково ловкими или достаточно одной «предпочтительной руки»? Ниже мы попытаемся ответить на этот вопрос, используя понятия байесовской оптимальности, присущие активному умозаключению (Фристон, Фитцджеральд и др.2017а).

Вырождение часто ошибочно путают с избыточностью (Whitacre and Bender 2010). Избыточность является аналогом «эффективности» (Barlow 1961, 1974; Laughlin 2001) и подразумевает неэффективное использование степеней свободы системы для достижения определенной функциональной конечной точки. Как отмечалось выше, было бы излишним использовать обе руки, чтобы «поднять чашку», когда достаточно одной. Цель этой статьи — устранить неоднозначность вырождения и избыточности в формальных и количественных терминах и установить обоснованность этих определений на дополнительных уровнях, используя принцип свободной энергии.Попросту говоря, принцип свободной энергии — это технический способ сформулировать байесовскую гипотезу о мозге (Knill and Pouget 2004; Daw et al. 2005; Doya et al. 2007; Friston 2009). Принимая во внимание байесовскую гипотезу о мозге, мы также придерживаемся теоремы о полном классе (Wald 1947). Это означает, что по определению любое наблюдаемое поведение при некоторой задаваемой функции потерь может быть представлено как минимизация свободной энергии.

В первом разделе мы рассматриваем теоретические основы вырождения и избыточности в контексте принципа свободной энергии и активного вывода (Friston et al.2006 г.). Короче говоря, вырождение формулируется как гибкость, предоставляемая нашими внутренними объяснениями сенсорных результатов, в то время как избыточность становится сложностью затрат, связанных с построением этих объяснений. Операционализируя функцию как таковую, мы предполагаем некоторые функциональные ограничения — на супервизии синтетического и биологического интеллекта. Этот раздел завершается репетицией некоторых простых, но раскрывающих идей — в этой формулировке — о природе вырождения и избыточности и о том, как они соотносятся друг с другом.

Представленная формулировка обеспечивает байесовский формализм интуиций (Прайс и Фристон, 2002; Фристон, Прайс, 2003), естественные (и принципиальные) расширения параметризации взаимной информации (то есть сложности) (Тонони и др., 1999; Ман и др. . 2016), а также концептуальные трактовки фундаментального обоснования вырождения (т. Е. Процессов самоорганизации) в (Kelso 2012). Это потенциально полезный способ исследования вырождения и избыточности — в рамках синтетического и биологического интеллекта — помимо структурной количественной оценки.

Во втором разделе используются моделирование и численный анализ, чтобы проиллюстрировать, как вырождение и избыточность зависят от структуры генеративной модели и неявной нейронной связи. В качестве наглядного примера мы исследовали взаимосвязь между избыточностью и вырожденностью в генеративной модели повторения слов (т.е. способности повторять услышанное слово). Ключевой аргумент этого раздела основан на серии сравнений моделей, которые позволяют количественно оценить изменения в вырожденности и избыточности после удаления определенных соединений или параметров модели (т.е., in silico поражения). В частности, мы удалили соединения, которые были избыточными по отношению к поставленной задаче. Это удаление согласуется с формулировками избыточности в контексте синаптического гомеостаза (Tononi and Cirelli 2006) и устранением избыточных параметров модели во время сна (Hobson and Friston 2012). Мы выдвинули гипотезу, что удаление избыточных соединений увеличит количество доказательств модели за счет уменьшения избыточности по сравнению с вырожденностью.

Третий раздел посвящен другому типу экспериментов по поражению in silico: удалению неизбыточных связей, что может произойти при патологических расстройствах.Здесь мы связываем различные виды патологии с избирательным нарушением внешней (между регионами) и внутренней (внутри региона) связности. Мы ожидали, что повреждения как внутренних, так и внешних связей окажут супераддитивный эффект на поведенческие характеристики. Здесь супераддитив означает повышенное (отрицательное) влияние на точность в результате двойного поражения, в отличие от комбинированных эффектов одиночных поражений. Более того, из-за тесной связи между избыточностью и вырожденностью мы надеялись показать, что патологические отключения «увеличивают» избыточность — и что это увеличение было больше, чем сопутствующее увеличение вырожденности.Важно отметить, что эффект поражения также можно использовать для определения нейронных коррелятов обновления убеждений. Это позволило нам сделать некоторые эмпирические прогнозы относительно электрофизиологических реакций на повторение слов при различных нагрузках поражения.

В заключение мы кратко обсудим последствия этой формулировки вырождения (и избыточности) для активного байесовского вывода в исследованиях мозга и поражений.

Вырождение, избыточность и активный вывод

Определения вырождения и избыточности, предлагаемые в этой работе, основываются на приверженности принципу свободной энергии, а именно, что функциональный императив для любой чувствующей системы, в частности мозга, заключается в том, чтобы минимизировать вариационную свободную энергию (Friston 2019; Sajid et al.2019). Это эквивалентно максимальному увеличению доказательств для внутренних генеративных моделей того, как вызываются ощущения (Dayan et al. 1995). Это свидетельство также известно как предельная вероятность. Короче говоря, функцию мозга можно измерить с точки зрения его способности к самоочевидности (Hohwy, 2016). Существует обширная литература по принципу свободной энергии, активному умозаключению и статистической физике, которые подтверждают эту формулировку действия и восприятия в мозгу, которая обычно называется «активным выводом» (a.к.а. прогнозная обработка) (Clark, 2016). Здесь вариационная свободная энергия — это теоретико-информационная конструкция, которая, хотя и связана с гомологичными концепциями в физике, не должна интерпретироваться непосредственно в терминах метаболической энергии.

Для тех людей, которые не знакомы с принципом свободной энергии, его можно рассматривать как общий принцип, который включает в себя большинство (возможно, все) нормативных теорий чувствительности и самоорганизации в неврологии, например, байесовскую гипотезу мозга, предсказательную обработку и т. Д. активный вывод, обучение с подкреплением, байесовская теория принятия решений, универсальные вычисления и методы лечения, основанные на теории информации (т.е., принцип минимальной избыточности, принцип максимальной эффективности и т. д.) (Barlow 1961; Optican and Richmond 1987; Sutton and Barto 1998; Knill and Pouget 2004; Hutter 2006; Doya et al. 2007; Gershman and Daw 2017; Stachenfeld et al.2017). Другими словами, это принцип оптимальности (основанный на принципе наименьшего действия Гамильтона), который дает описание восприятия и действия в формальных (теоретико-информационных) терминах. Сам по себе он не является центральным для аргументов данной статьи — он просто предоставляет формальную спецификацию «функции» в смысле отношений «структура – функция».

Центральное место в этой трактовке занимает понятие «генеративной модели», которая может генерировать предсказания сенсорных последствий вероятных причин, обычно называемых «скрытыми состояниями» мира. Форма или структура этой генеративной модели затем может быть принята как «структура» в понимании отношений структура-функция. Эта структура лежит в основе функциональных архитектур мозга, реализующих активный вывод (Friston and Buzsaki, 2016). Наше внимание здесь сосредоточено на том, как вырождение и избыточность проявляются в терминах активного вывода и неявных отношений структура-функция.Чтобы понять формальную природу вырождения и избыточности, полезно распаковать свободную энергию с точки зрения ее составных частей. В дальнейшем мы будем использовать свободную энергию и неожиданность как синонимы для обозначения отрицательного логарифма вероятности любого сенсорного ввода в генеративной модели. Эта вероятность является свидетельством байесовской модели или предельной вероятностью, которая должна быть максимизирована любой системой, которая воспринимает, действует и обучается в меняющемся мире (Friston 2019). Кроме того, на уровне нейронов Isomura и Friston (2018) показали, что даже нейронные сети in vitro минимизируют свою (вариационную) свободную энергию.

С точки зрения статистики, свободная энергия всегда может быть выражена в терминах «точности» и «сложности». Другими словами, логарифмическое свидетельство, связанное с любым паттерном сенсорных результатов — в любой момент времени — может быть разделено на точность и сложность, где (логарифмическое) свидетельство — это точность минус сложность. В терминах свободной энергии:

Эти выражения показывают, что свободная энергия зависит от генеративной модели P ( s , o ), которая описывает отношения между (скрытыми) состояниями ( s ), которые вызывают (наблюдаемые ) исходы ( o ) и апостериорные представления о причинах Q ( s ).Это означает, что для самоочевидности необходимо найти точное объяснение сенсорных наблюдений, которое требует наименьших затрат на сложность (как указано в третьем равенстве выше). Формально точность — это ожидаемая логарифмическая вероятность сенсорных результатов с учетом некоторых апостериорных представлений о причинах этих данных. Сложность — это разница между этими апостериорными убеждениями и предыдущими убеждениями, то есть до того, как мы увидим результаты. По сути, сложность оценивает степень, в которой апостериорные убеждения должны отходить от прежних убеждений, чтобы объяснить имеющиеся данные.С другой стороны, их можно рассматривать как степени свободы, которые используются для точного учета сенсорных данных. Необходимость минимизировать сложность проявляется во многих обличьях, которые чаще всего называют «принципом Оккама», а именно, простейшие и одинаково точные объяснения являются лучшими (Maisto et al. 2015).

Альтернативный способ разделения свободной энергии выражается в терминах «энергии» и «энтропии» (см. Последнее равенство выше). Эти члены наследуются по аналогии от функционалов свободной энергии в статистической физике.Энергия здесь представляет собой ожидаемую логарифмическую вероятность как сенсорных последствий, так и их причин согласно апостериорным убеждениям. Энтропия — это неопределенность этих апостериорных убеждений. Необходимость максимизировать энтропию обычно называют «принципом максимальной энтропии Джейнса» (Jaynes, 1957). С эвристической точки зрения, это относится к важности «держать свои варианты открытыми» (Клюбин и др., 2008; ван дер Меер и др., 2012; Швартенбек и др., 2015) или избегать приверженности конкретному учету того, как были вызваны некоторые данные.Неспособность минимизировать энтропию и сложность статистики отражается в чрезмерной параметризации генеративной модели, что приводит к переобучению и неспособности обобщить некоторые новые (сенсорные) данные. Это пагубный вид сбоев, от которого страдают многие приложения в машинном обучении (Hochreiter and Schmidhuber, 1997; Lin et al., 2017).

Формулировка вырождения и избыточности в виде свободной энергии является элементарной, и в этом заключается ее значение. Свободная энергия — это просто способ сформулировать, что означает функция по отношению к вырожденной или избыточной функции.Функция здесь влечет за собой максимизацию модельных свидетельств. Это позволяет использовать обновление убеждений — с явно репрезентативной позицией — для математического определения вырождения и избыточности. Ниже мы свяжем эти понятия — энтропии и сложности — с вырожденностью и избыточностью.

Объяснение вырожденности

Если мы рассмотрим математические и статистические определения вырожденных отображений и избыточности, мы увидим четкую взаимосвязь между «сложностью» и «избыточностью», а также между «энтропией» и «вырождением».«Вырожденные решения, функции или отображения относятся к неединственности решения или к отношениям« многие к одному »(инъективным, несюръективным). Например, вырожденные решения на основе собственных значений в квантовой физике означают, что существует множество линейно независимых собственных состояний, которые имеют одно и то же собственное значение (Уиллер, 1989; Гаррига, Виленкин, 2001; Гольд и др., 2016). Эта неопределенность видна в области некорректно поставленных обратных задач: возвращаясь к приведенному выше примеру подъема чашки, можно сказать, что существует не только эвристическое вырождение, подразумеваемое использованием одной или другой руки, траектория движения рук во время схватывания. сама по себе является вырожденной или некорректно поставленной проблемой, известной как проблема Бернштейна (Bernstein 1967).Другими словами, существует бесконечное количество способов, которыми «я могу двигать рукой, чтобы поднять чашку». Это создает проблему при выдаче моторных команд или прогнозов для реализации конкретной функциональной конечной точки. Решение этой проблемы лежит в основе почти всех байесовских выводов, а именно использования (предшествующих) ограничений для решения некорректно поставленных проблем, характеризующихся вырожденными отображениями между причинами и следствиями.

Чтобы измерить такого рода вырождение, мы будем ассоциировать функцию с самоочевидностью. Тогда суть вырождения заключается в сопоставлении «многие к одному» между причинными структурами в генеративной модели (т.е., представления или конструкции) и наблюдаемые результаты (т. е. сенсорные данные). Это означает, что вырождение измеряется количеством или разнообразием различных причин, которые могут привести к одинаковому результату. Математически высокая степень вырождения подразумевает, что апостериорная вероятность или представление о причинах (т. Е. Скрытых состояниях) будет — в контексте вырожденного отображения между причинами и следствиями — иметь большую энтропию. Это и есть энтропийная часть указанной выше свободной энергии. Короче говоря, это означает, что мы можем связать энтропию апостериорных представлений о причинах нашего сенсориума с вырождением.Таким образом, минимизация свободной энергии требует максимизации вырождения при ограничениях минимизации энергии. Это повсеместный вывод, который можно найти во всей статистике и физике, его часто называют принципом максимальной энтропии (Jaynes 1957; Banavar et al. 2010; Seifert 2012).

Интуитивно предположим, что мы хотим вывести причины какого-то результата — скажем, «поднятие чашки». Учитывая наблюдение или цель «поднять чашку», нет никакой неявной информации, которая позволила бы устранить неоднозначность между подъемным движением правой или левой рукой.Формально это означает, что наши представления (то есть апостериорные убеждения) равномерно распределены по причинам этого следствия «подъема чашки». Полностью дегенеративное отображение причин и следствий имеет наивысшую энтропию: здесь 50:50 по двум (взаимоисключающим) причинам. Чтобы связать этот пример с исследованиями поражений, если бы я хотел использовать некоторые апостериорные убеждения, чтобы предсказать, что я собираюсь делать, сопутствующие структурные представления о движении правой или левой рукой будут достаточными для получения такого результата.Однако, если я не смогу представить ни одну из причин, я не смогу понять результат.

Объяснение избыточности

В статистической и нейробиологической литературе «избыточность» является дополнением к «эффективности» (Barlow 1961; Laughlin 2001; Still et al. 2012; Sengupta et al. 2013). Возвращаясь к проблеме Бернштейна выше, есть одна особенно эффективная траектория, которая ведет мою руку к чашке с минимальными затратами энергии. Это следует из вариационных принципов наименьшего действия, говоря об уникальном и максимально эффективном движении.В нынешних условиях средняя эффективность может быть связана с избыточностью через эквивалентность принципов максимальной эффективности (Barlow 1974; Linsker 1990) и минимальной избыточности (Mohan and Morasso 2011). С точки зрения самоочевидности и минимизации свободной энергии, максимизация эффективности соответствует минимизации сложности вывода (возможно, о действии, которое мы в настоящее время предпринимаем).

Ранее мы определяли сложность как разницу между апостериорными и предшествующими убеждениями, то есть убеждениями до и после просмотра результатов (Friston 2009; Kanwal et al.2017; Да Коста и др. 2020). Следовательно, большие расхождения от предшествующих убеждений к последующим повлекут за собой большие затраты на сложность, то есть большую избыточность. Взяв пример с «поднятием чашки», я могу использовать правую руку, левую руку или и то, и другое. Если бы я априори считал, что могу использовать любую руку — а, наблюдая за своим действием, я использовал только одну, — разница между апостериорными и предшествующими убеждениями была бы большой (высокая сложность затрат). Напротив, если мои предыдущие убеждения предполагают, что я использую руку, ближайшую к чашке, и я использую эту руку, разница между апостериорными и предыдущими убеждениями будет небольшой (низкая сложность).

Эта сложность — еще одна важная часть свободной энергии; поэтому минимизация свободной энергии требует минимизации сложности или избыточности. Эта минимизация проявляется по-разному и — при некоторых упрощающих предположениях — прямо подразумевает принципы максимальной взаимной информации или принцип Infomax (Linsker 1990). С нашей точки зрения, нам просто нужно отметить, что сложность — это избыточность, и, при прочих равных, избыточность должна быть минимизирована, как того требует принцип Оккама (Ay 2015; Maisto et al.2015).

Вырождение и избыточность

Эта формулировка вырождения и избыточности имеет несколько последствий, некоторые из которых весьма показательны. Во-первых, вырождение и избыточность — это хорошо определенные измеримые величины, учитывая некоторые результаты — и генеративную модель — при идеальных (активных) байесовских предположениях наблюдателя. Кроме того, у них одинаковые единицы измерения (т.е. натуральные единицы, если мы используем натуральные логарифмы вероятностей, биты, если мы используем двоичные логарифмы). Это означает, что вырожденность и сложность измеряются в одной и той же валюте и могут сравниваться количественно.Кроме того, они оба являются атрибутами апостериорных (вероятностных, субличностных) убеждений. Вырождение — это утверждение о неопределенности (т. Е. Энтропии) апостериорного убеждения, в то время как сложность — это мера относительной неопределенности (т. Е. Относительной энтропии) апостериорного убеждения «по отношению к предшествующему убеждению». В этом смысле избыточность отражает степень обновления убеждений, часто называемую «байесовским сюрпризом» в визуальной нейробиологии (Itti and Baldi 2009; Sun et al. 2011).

В силу того, что можно измерить ожидаемую вырожденность и избыточность (т.е., энтропия и сложность) во время обновления убеждений можно связать вырождение и избыточность с конкретной генеративной моделью. В свою очередь, это означает, что вырожденность и избыточность являются контекстно-зависимыми атрибутами генеративной модели, поскольку обновление убеждений зависит от имеющихся данных или результатов. Эта контекстная чувствительность важна. Другими словами, то, что может быть избыточным в одном контексте или экспериментальной установке, может не быть избыточным в другом.

Более того, императивы по снижению вырожденности и сложности находятся в противоречии.Если функция определяется в терминах минимизации свободной энергии или максимизации свидетельств модели, тогда функция влечет за собой «минимизацию» избыточности и «максимизацию» вырождения при ограничениях по точности и энергии, соответственно. Эти ограничения означают, что ни вырождение, ни избыточность не являются полной спецификацией функции, если ее определить в терминах самоочевидности. Это означает, что нельзя говорить о минимизации вырождения или избыточности, не зная последствий для того, как изменения в апостериорных убеждениях влияют на точность и энергию.Сказав это, есть одно важное исключение. При отсутствии сенсорных данных свободная энергия сводится к избыточности, потому что термин точности исчезает, оставляя только сложность. Это означает, что оптимизация генеративной модели в автономном режиме (например, во время интроспекции или сна) дает возможность минимизировать избыточность (Hinton et al. 1995; Hobson and Friston 2012).

Важно отметить, что нельзя изменить вырожденность без изменения избыточности — и наоборот. Это естественным образом следует из приведенной выше формулировки свободной энергии, что означает, что избыточность равна «стоимости» минус вырождение, где стоимость — это отрицательное ожидаемое значение предполагаемого состояния дел, а значение — это логарифм предшествующих предпочтений (Friston et al.2015):

Другими словами, избыточность можно интерпретировать как стоимость, которая компенсируется вырожденностью, подчеркивая противоположные роли избыточности и вырожденности. Эта взаимосвязь также говорит о преобладающей роли предшествующих убеждений в определении взаимосвязи между вырожденностью и избыточностью — и их вкладом в доказательства или предельную вероятность. Эти априорные убеждения являются величинами, которые оптимизируются во время обучения, например, пластичность, зависящая от опыта (Gershman and Niv 2010; Tervo et al.2016; Тестолин и Зорзи, 2016; Gershman 2017) и, что немаловажно, изменения структуры генеративной модели из-за поражений. Короче говоря, изменения в структуре всегда можно сформулировать в терминах изменений предшествующих (Friston and Penny 2011). Таким образом, изменения априорных значений обязательно изменяют апостериорные (после обновления убеждений), а изменения в двух обязательно означают изменение избыточности и вырождения.

С практической точки зрения, учитывая эти определения, становится ясно, что для количественной оценки вырождения и избыточности требуется вся структура убеждений — и обновление убеждений — которые сопровождают обучение, зависящее от опыта.В свою очередь, это означает, что необходимо измерить распределенные аспекты вероятностных представлений в мозгу. Другими словами, избыточность и вырожденность нельзя локализовать в конкретном представлении или нейронной системе; они являются свойствами распределенных представлений, которые обеспечивают обновление убеждений во всех (иерархических) генеративных моделях или корковых структурах. Под распределенными представлениями мы имеем в виду то, как сенсорные особенности наблюдаемых результатов кодируются нейронно.Это может иметь важные последствия для понимания воздействия поражений, оцениваемых через изменения дегенерации и избыточности. Обратите внимание, что в этой количественной трактовке вырождение и избыточность являются атрибутами функции, а именно некоторого восприятия распознавания или явного действия. Как отмечалось выше, этот вид вырождения (и избыточности) может быть контекстно-зависимым и, следовательно, не может быть выведен из одних только анатомических соединений — он может быть выведен только из функционального сообщения, передаваемого по этим соединениям.В этом смысле эмпирическое измерение вырожденности и избыточности обязательно основывается на какой-либо форме функциональной нейровизуализации или электрофизиологии.

В оставшейся части этой статьи мы раскрываем некоторые из вышеперечисленных моментов и проводим проверку их построений, используя моделирование активного вывода, где мы точно знаем форму обновления убеждений и можем измерить вырожденность и избыточность. Наша цель — проиллюстрировать соответствие между этими математическими величинами и использованием этих терминов в контексте исследований поражений.

Моделирование повторения слов

В этом разделе нашей целью было проиллюстрировать, как обучение или зависимая от опыта пластичность в нейронных структурах (то есть в генеративной модели мозга) вызывает изменения в вырожденности и избыточности. Для этого мы выбрали каноническую парадигму нейропсихологии языка, а именно повторение слов (Burton et al. 2001; Hope et al. 2014). Первым шагом было определение генеративной модели и активной схемы вывода, которые подходят для моделирования этой парадигмы.Мы использовали генеративную модель дискретных результатов (марковский процесс принятия решений), которые вызваны дискретными скрытыми состояниями: подробно описана в Friston, FitzGerald, et al. (2017a), Фристон, Лин и др. (2017b). Для технически подкованных читателей мы включили подробное описание генеративной модели и сопутствующие обновления убеждений в Приложении. Эти уравнения немного сложны; однако генеративная модель, на которой они основаны, является очень общей — и может применяться в большинстве ситуаций, — где результаты и их причины могут быть выражены в терминах различных (т.е., дискретные) состояния.

С помощью моделирования мы оценили минимизацию избыточности, используя формулировку изучения структуры. Другими словами, после некоторого подходящего опыта и изучения задачи на повторение слов мы удерживали сенсорную информацию и настраивали параметры генеративной модели (то есть силу связи), чтобы минимизировать сложность и тем самым устранить избыточные параметры. Затем мы повторили эту парадигму, чтобы количественно оценить эффекты сложности и вырождения.Мы ожидали, что это целевое устранение избыточных параметров выборочно подавит избыточность по отношению к вырождению. В следующем разделе мы используем аналогичную манипуляцию, но уменьшаем нежелательную связь, чтобы моделировать синтетические поражения.

Генеративная модель

Парадигма, использованная для иллюстрации различий между вырожденностью и избыточностью, представляла собой задачу повторения слов: испытуемому показывают одно слово (например, треугольник, красный цвет и т. Д.) В каждом испытании и просят повтори это.Если агент правильно повторяет слово, ему дается положительная оценка (в противном случае — отрицательная). Генеративная модель, включающая соответствующие распределения вероятностей, была намеренно минимальной, чтобы проиллюстрировать роль избыточности и вырождения (). (Категориальные) распределения вероятностей были основаны на эмпирическом понимании того, как испытуемые реагируют в парадигме повторения слов (Hope et al., 2014). В частности, это выражение того, как экспериментальные стимулы генерируются во время эксперимента (обусловленные ответами испытуемых).Мы предполагаем, что субъекты принимают аналогичные модели, чтобы отразить этот процесс. Эта модель может быть масштабирована для учета большего лексического содержания (например, слов) или оснащена более низкими иерархическими уровнями для моделирования артикуляции.

Генеративная модель. Графическое представление генеративной модели повторения слов. Существует три (скрытых) фактора состояния: эпоха, целевое слово и повторяющееся слово, а также три модальности результата: проприоцепция, оценка и прослушивание. Факторы скрытого состояния имели следующие уровни (т.е., возможные альтернативные состояния). Эпоха (три уровня) обозначает фазу судебного разбирательства. В течение первой эпохи целевое слово слышно. Вторая эпоха предполагает повторение слова. Третья фаза вызывает положительную оценку, если повторяющееся слово соответствует целевому слову, и отрицательную оценку в противном случае. Фактор повторяющихся слов включает слова, которые наш (синтетический) субъект может выбрать, чтобы сказать (пять уровней). Обратите внимание на намеренное включение фальшивого слова «читать» (темно-зеленый). Фактор целевого слова (четыре уровня) перечисляет слова, которые экспериментатор может попросить участника повторить.Линии от состояний к результатам представляют собой сопоставление правдоподобия, а линии, отображающие состояния внутри фактора, представляют допустимые переходы между состояниями. Для ясности мы выделили правдоподобия и вероятности перехода, которые сохраняются по факторам состояния и модальностям исхода. Например, вероятность «прослушивания», отображающая целевое слово ( квадрат ) в прослушивание ( квадрат ), показана для эпохи 1, но аналогичные сопоставления применяются при сопоставлении между «синим» и «синим». Важно отметить, что ложное повторяющееся слово «прочитано» (темно-зеленый) обрабатывается так же, как и другие уровни для этого конкретного фактора; то есть для вероятности прослушивания он отображается непосредственно на модальность прослушивания «красный» для эпохи 2.Для повторяющегося слова выделен один (из пяти) пример вероятности перехода; то есть переход всегда к синему, независимо от ранее произнесенного слова (красный, прочитанный, треугольник, квадрат или синий). Этот переход представляет собой вариант «синий». Аналогичные сопоставления применяются при выборе слова «треугольник» независимо от предыдущего слова. Тогда альтернативные действия соответствуют альтернативным вариантам вероятности перехода.

Генеративная модель имеет три (скрытых) фактора состояния: «эпоха, целевое слово и повторяющееся слово», а также три модальности результата: «проприоцепция, оценка и прослушивание».Фактор «эпоха» охватывает этапы испытания: прослушивание целевого слова (то есть эпоха 1), повторение целевого слова (то есть эпоха 2) и получение оценки эффективности (то есть эпоха 3). Фактор «целевое слово» имеет состояния, соответствующие услышанному слову: красный, синий, треугольник или квадрат. Состояния фактора «повторяющееся слово» охватывают то, что следует повторить: синий, треугольник, квадрат, красный цвет и ложный уровень «чтения» (для моделирования избыточности). Уровень «чтение» — прошедшее время чтения и произносится так же, как красный — является ложным в рамках нашей спецификации модели.Это потому, что, несмотря на то, что он имеет ту же фонетическую форму, что и «красный», он обозначает нечто совершенно иное (изучение вместо цвета). Был включен ложный уровень «чтение», чтобы ввести некоторую избыточность в пространство убеждений. Что касается модальностей исхода, результат «проприоцепции» сообщает, шевелился мой рот или нет. Результат «прослушивания» сообщает текущее (произнесенное или услышанное) слово: красное, синее, треугольное или квадратное. Результат «оценки» представляет собой полученный положительный или отрицательный ответ (предоставленный только в третью эпоху).В, линии представляют вероятные связи (а их отсутствие отражает неправдоподобные связи), а стрелка указывает направление. Например, линия, отображающая эпоху скрытого состояния «1» в проприоцепцию модальности результата «…» предполагает, что «…» является правдоподобным только в эпоху «1», но не в эпоху «2» или «3». Точно так же линия для целевого слова «синий» скрытого состояния для самого себя отражает, что уровень «синий» может переходить только к себе и никакому другому слову в течение всего испытания.

Вероятность ( A ) — отображение между состояниями (т.д., причины или структуры) и результаты (т. е. последствия или функции) — представлены линиями, соединяющими состояния с результатами в. Когда инверсия модели формулируется в терминах передачи нейронных сообщений, эти связи принимают форму внешних связей (то есть между областями мозга или популяциями нейронов, кодирующими апостериорные ожидания). Каждая сенсорная (исходная) модальность связана со своей вероятностью. «Проприоцептивная» вероятность зависит от фактора «эпохи»; если я верю, что это эпоха 1, и слушаю целевое слово, то мой рот не двигается.Если я верю, что это эпоха 2, и я повторяю целевое слово, то мой рот шевелится. Вероятность «прослушивания» зависит от факторов «повторяющееся слово» (для эпохи 2) или «целевое слово» (для эпохи 1). Что из этого отвечает за генерирование слухового ввода, зависит от эпохи в игре ?: Например, в эпоху 1 вероятность «слуха» сопоставляет целевое слово (квадрат) со слуховым входом (квадрат). Для состояния «красный / прочитанный» и исходный, и ложный отображаются в один и тот же слуховой результат («красный»), когда я говорю, как показано на.Вероятность определяется как взаимно однозначное соответствие между «целевым словом» и «прослушиванием», если я считаю, что нахожусь в эпоху 1 испытания. И наоборот, если я считаю, что нахожусь в эпохе 2 или 3, существует взаимно однозначное соответствие между «повторяющимся словом» и «прослушиванием». Вероятность «оценки» зависит от всех скрытых состояний. Положительная оценка дается в эпоху 3, если я правильно повторяю ранее услышанное слово. Например, если я повторяю треугольник — после того, как слышу треугольник (соответственно квадрат), я получу положительный результат (соответственно.Н. отрицательная) оценка. Вероятность определяется как отображение 1) нейтральной обратной связи — независимо от «цели» и «повторяющегося слова» — если эпоха равна 1 или 2; 2) положительная обратная связь, если повторяющееся и целевое слово совпадают в эпоху 3; и 3) отрицательным в противном случае.

Матрицы переходов, B — переходы между скрытыми состояниями, кодирующие предыдущие представления о траекториях или нарративах — представлены линиями, моделирующими переходы между состояниями внутри каждого фактора в. Когда они интерпретируются как передача сообщений между нейронными популяциями, они обозначают внутренние связи (т.е.е., связность в областях мозга или популяциях нейронов, кодирующих апостериорные ожидания), когда они отображают один и тот же набор состояний и в них. Для фактора «эпоха» переходы от 1 до 2 и от 2 до 3, где 3 является поглощающим состоянием (то есть конечная эпоха относится к третьему типу эпох). Для фактора «повторяющееся слово» существует пять возможных переходов. Они включают переходы к определенному слову, где слово зависит от того, какое действие выбрано. Например, когда я говорю «синий», независимо от предыдущего слова (красный, треугольник и т. Д.)), Я перехожу к синему (выделено). Матрица перехода для «целевого слова» представляет собой единичную матрицу. Это означает, что целевое слово остается неизменным во все эпохи.

Матрицы правдоподобия и перехода, описанные выше, сами могут быть изучены в ходе нескольких испытаний задачи повторения слов, что приводит к изменениям в вырожденности и избыточности, связанных с обновлением убеждений. Это основано на накоплении параметров Дирихле, которые действуют как «псевдосчет» и кодируют силу синаптических соединений.Чем чаще наблюдается данная пара (состояния и результата или прошлого и настоящего состояния), тем большее количество отсчетов приписывается этой паре. Разделив количество подсчетов для каждого на их общее количество, мы приходим к новому (усвоенному) распределению вероятностей. Стоит выделить два аспекта этого накопительного процесса. Во-первых, это очень похоже на пластичность Хебба, где синаптическая эффективность увеличивается при одновременном возбуждении пре- и постсинаптического нейрона. Во-вторых, этот пластический потенциал зависит от количества отсчетов Дирихле, предполагаемых при первом воздействии на задачу.Это число можно рассматривать как количественную оценку уверенности в предшествующих представлениях об этих условных распределениях вероятностей и сопротивления отходу от этих априорных значений. Чтобы гарантировать изучение начальных параметров концентрации Дирихле, как для вероятностных, так и для переходных априорных распределений, было установлено значение 1 для правдоподобных элементов и 0,5 для неправдоподобных элементов. Во время обучения мы надеялись продемонстрировать общее снижение избыточности — по отношению к точности — и увеличение вырождения по отношению к энергии.Это позволяет нам явно представить, как избыточность может развиваться с течением времени в системе; наша модель учится понимать свою среду, позволяя сокращать избыточность (при соответствующем накоплении свидетельств) до тех пор, пока она не выйдет на плато. См. Friston et al. (2016) для обсуждения обучения в рамках этих активных схем вывода.

Моделируемый субъект был оснащен сильными предпочтениями (измеряемыми в натсах, т.е. натуральным логарифмом) для получения положительной оценки (0,5 нат). Кроме того, испытуемому было разрешено выбирать из пяти различных глубинных политик (последовательностей действий), каждая из которых представляет собой различную перестановку того, как (контролируемые) переходы между состояниями могут происходить.Предыдущие представления о начальных состояниях были инициализированы равными 10 для всех уровней «повторного» и «целевого слова», эпохе 1 для фактора «эпохи» и нулю в противном случае. Точность выбора действия (α) была указана как относительно высокий уровень — 16 (Schwartenbeck et al. 2015). Впредь любое упоминание «субъектов» относится конкретно к смоделированным моделям активного вывода, основанным на случайной инициализации.

Оценка избыточности

Мы связали избыточность со сложностью, а именно, разницей между апостериорными и предыдущими убеждениями о скрытых состояниях, порождающих результаты.Используя это определение, мы можем измерить избыточность (через сложность), учитывая некоторые результаты и конкретную генеративную модель, при идеальных предположениях байесовского наблюдателя. Начнем с простой настройки. Генеративная модель с уровнем ложных сигналов («чтение»), как описано выше, была использована для моделирования 500 испытаний для 50 различных субъектов (на основе случайных начальных значений инициализации). Для каждого испытания испытуемый должен был повторить одно из четырех возможных слов (например, «красный», «квадрат», «треугольник» или «синий»).

Чтобы проиллюстрировать влияние обучения на вырожденность и избыточность, мы вычислили свободную энергию, апостериорную энтропию (т.е.е., вырожденность) и сложность (т. е. избыточность) для каждого испытания (усредненные по эпохам, скрытым факторам и субъектам). Результаты показаны как функция испытаний. Как и ожидалось, происходит постепенное сокращение свободной энергии, то есть значительное увеличение модельных доказательств из-за обучения, зависящего от опыта. Это сопровождается уменьшением избыточности и небольшим уменьшением вырождения. Другими словами, приобретение навыков или структурное обучение в рамках этой задачи повторения слов увеличивает доказательную базу модели за счет уменьшения избыточности.Далее мы обратимся к эффекту изменения связей, но не путем обучения, зависящего от опыта, а путем выборочного удаления определенных связей. Чтобы изучить это, мы исключили (дальнейшее) обучение, предотвратив дальнейшие обновления параметров модели (то есть возможность подключения).

Зависимые от обучения изменения вырожденности и избыточности. На этом рисунке показаны оценки свободной энергии, вырождения (т. Е. Апостериорной энтропии) и избыточности (т. испытания) для модели с ложной спецификацией.

Затем мы исследовали эффекты удаления избыточных параметров модели или соединений. Вкратце, мы смоделировали изучение структуры, удалив ложное скрытое состояние (т. Е. «Чтение»). Это было реализовано путем установки концентрации Дирихле на одно и то же значение (т. Е. 10) для всех отображений правдоподобия, связанных с повторяющимся словом «читать». Это означает, что модель делает неточные прогнозы для всех сенсорных результатов, возникающих при «чтении». По сути, это отключает представления о скрытом состоянии от представлений о сенсорных результатах.Пример разницы в параметрах Дирихле между паразитной и не ложной генеративной моделью для отображения фактора «повторяющееся слово» на «прослушивание» показан в верхнем ряду (по отношению к целевому слову «красный» в эпоху 3).

Концентрационные параметры Дирихле. На этом графике показаны параметры концентрации Дирихле (которые кодируют силу синаптических соединений) для вероятности «прослушивания», то есть для сопоставления «повторяющегося» словарного фактора с «прослушиванием» по отношению к треугольнику «целевое слово» в эпоху 3.Шкала идет от белого (высокая концентрация) к черному (низкая концентрация), а серый цвет указывает градации между ними. Верхний ряд представляет априорные убеждения как для генеративной модели с ( A ), так и без ( C ) ложного уровня: ключевое различие, которое следует отметить, — это априорные убеждения для модели без ложного уровня (т. Е. «Читать ”) Полностью однородны. В нижнем ряду представлены апостериорные убеждения после обучения для модели с ( B ) и без ( D ) ложным уровнем: ключевое отличие, которое следует здесь отметить, состоит в том, что апостериорные убеждения для модели с ложным уровнем менее точны. из-за двух возможных вариантов, выделенных белым цветом в первых двух столбцах (первый «красный» и второй «прочитанный» на панели B ).Напротив, апостериорные убеждения для первого «красного» в модели — без ложных связей — очень точны из-за только одного правдоподобного варианта (то есть первого «красного» на панели D ).

Мы изменили экспериментальную парадигму при отсутствии избыточных связей (т. Е. Отключили ложный уровень) — для 50 смоделированных субъектов в 10 испытаниях. Здесь концентрация Дирихле — исключая сопоставления правдоподобия, связанные с ложным повторяющимся словом «чтение» — параметризовалась с использованием дополнительного обучения (т.е., после 500 испытаний) распределение вероятностей из предыдущего моделирования. Затем мы измерили общую избыточность и вырожденность (усредненные по эпохам, испытаниям, скрытым факторам и субъектам). Результаты показаны в первых двух строках восьми симуляций с (Y) и без (N) ложных соединений. Для простоты визуализации свободная энергия, избыточность и вырождение также показаны в виде столбчатых диаграмм с удалением ложных соединений и без него.

Таблица 1

Свободная энергия и ее компоненты

Эффекты обучения структуры.На этом рисунке воспроизводятся данные из первых двух строк файла. Он подчеркивает влияние удаления избыточных соединений (т. Е. Параметров) генеративной модели на избыточность, вырождение и свободную энергию. Ключевым моментом, который следует извлечь из этих результатов, является то, что выборочное удаление избыточных соединений уменьшает свободную энергию (увеличивает доказательства модели), что обусловлено уменьшением избыточности.

Целенаправленное устранение паразитных параметров (связности), выборочно уменьшающее избыточность по отношению к вырождению: Уменьшение избыточности (3.88 нат) — при сравнении ложных и не поддельных структур — определялась стоимостью (уменьшенной на 4,52 натса), а не вырождением (уменьшенной на 0,64 натса). Это согласуется с интерпретацией избыточности как стоимости, которая компенсируется вырожденностью. Это также демонстрирует, как предшествующие убеждения определяют взаимосвязь между вырожденностью и избыточностью: различия в априорных значениях порождают различия в апостериорных, как показано во втором ряду (апостериорные убеждения в ложной модели менее точны по сравнению с апостериорными убеждениями в модели без ложного представления. ).Короче говоря, изменения априорных и апостериорных факторов обязательно влекут за собой изменения избыточности и вырождения. Кроме того, минимизация избыточности путем изменения апостериорных убеждений оказывает прямое влияние на точность генеративной модели, в данном случае на повышение точности на 0,09 нат. Однако, как подробно описано ниже, это мало влияет на поведение (последующее обучение) из-за очень схожего обновления убеждений в двух моделях ().

Обновление веры для модели с (левые панели) и без (правые панели) ложным уровнем.Каждая панель сообщает об обновлении убеждений за три эпохи одного испытания для факторов (эпоха , целевое слово, повторяющееся слово ) при повторении красного слова. Ось x представляет время в секундах (разделенное на 3 эпохи), а ось Y представляет апостериорные ожидания относительно каждого из связанных состояний в разные эпохи (в прошлом или будущем). Например, для фактора произнесенного (повторяемого) слова (E, F) имеется 5 состояний и всего 5 × 3 (состояния, умноженные на эпохи) апостериорных ожиданий — аналогично, для фактора эпохи (A, B) существует три уровня и всего 3 × 3 ожидания.Для целевого слова эпохи фактор (C, D) существует 4 состояния и всего 4 × 3 апостериорных ожиданий. Белый — это ожидаемая вероятность, равная нулю, черный — — единица, а серый — это градации между ними. Например, первые пять строк на панели E соответствуют ожиданиям относительно повторяющегося слова с точки зрения пяти альтернатив для первой эпохи. Вторые пять строк — это эквивалентные ожидания для второй эпохи. Это означает, что в начале испытания вторые пять строк выражают представления о будущем; а именно следующая эпоха.Однако позже эти верования относятся к прошлому; то есть верования о первой эпохе. Этот аспект (глубокого временного) логического вывода фактически является реализацией рабочей памяти, которая позволяет нашему субъекту запоминать то, что она слышала, и накапливать доказательства для целевого слова, которое впоследствии артикулируется. Обратите внимание, что большинство убеждений сохраняется во времени (по оси x ). Например, целевое слово почти сразу проявляется на панели C, и это предполагаемое убеждение распространяется в будущем.Отметим далее, что обновление убеждений аналогично для двух генеративных моделей, за исключением фактора повторяющихся слов — где даже в первую эпоху — субъект полагает, что ложное состояние («чтение») является неправдоподобной гипотезой в настоящее время. и будущее

In Silico Lesion Studies

В этом разделе более подробно рассматривается влияние поражений на функцию, оцениваемое по изменениям свободной энергии, дегенеративности и избыточности, а также сопутствующие нейронные и поведенческие (т.е., точность) откликов. Поражения моделировались путем изменения априорных значений генеративной модели (то есть параметров концентрации Дирихле) таким же образом, как избыточные связи удалялись в предыдущем разделе. Однако здесь мы удаляем «неправильные» связи для имитации поражения — в отличие от удаления «правильных» (избыточных) связей для имитации структурного обучения. Нашей целью было продемонстрировать значительное «увеличение» избыточности и сопутствующего дефицита точности, особенно с двойными (синтетическими) повреждениями.

Здесь «поражение» соответствует удалению синаптических связей, которые кодируют вероятность и предшествующие вероятности перехода (в матрицах A и B ). Учитывая, что отображение правдоподобия связывает смежные уровни иерархических генеративных моделей, мы можем связать матрицу A с внешней (межрегиональной) матрицей связности (то есть смежности), описывающей анатомические связи между уровнями в корковых иерархиях. Другими словами, мы предполагаем, что матрица A воплощает внешнюю связь.И наоборот, поскольку матрицы вероятностных переходов являются локальными для любого заданного иерархического уровня, мы связали соответствующие параметры Дирихле с внутренней (внутрирегиональной) связностью. Эти структурные допущения означают, что мы можем рассматривать поражения в матрице A как воспроизводящие разъединения, которые следовали бы за инсультом, затрагивающим тракты белого вещества. И наоборот, любые нейродегенеративные процессы, которые включают потерю синаптических связей, могут быть связаны с повреждениями вероятностных переходов или матриц B .Очевидно, что повреждения могут повлечь за собой изменения параметров подключения A и B . Чтобы обосновать нейронно-анатомическое различие между параметрами вероятности и вероятности перехода, мы теперь кратко рассмотрим функциональную нейроанатомию повторения слов.

Вычислительная архитектура повторения слов

Чтобы связать in silico поражения с неврологическими расстройствами и нейродегенеративным процессом, обновления убеждений должны быть связаны с нейронными цепями.На уровне канонических микросхем существует устоявшаяся теория процессов, которая позволяет нам сопоставить передачу сообщений с внутренней связностью в сером веществе: подробнее см. (Bastos et al.2012; Shipp 2016a, 2016b; Friston, FitzGerald, et al. 2017a; Фристон, Парр и др., 2017c). Однако, чтобы связать моделируемое обновление убеждений с функциональной нейроанатомией, необходимо было бы отнести различные нейрональные популяции к определенным структурам мозга. Эти задания создают гипотезы и позволяют нам сохранить потенциал для участия в нейровизуализационных исследованиях в будущей работе.В ходе обсуждения мы рассмотрим, как это можно сделать с помощью динамического причинно-следственного моделирования, основанного на типах моделирования, о которых сообщается ниже. В настоящее время мы кратко рассмотрим форму корковых иерархий, подразумеваемых генеративной моделью в.

Определив генеративную модель, стандартные схемы передачи сообщений эффективно определяют необходимую вычислительную анатомию в терминах узлов (например, нейронных популяций) и ребер (например, нейронных соединений), по которым передаются сообщения (например, нейрональная активация) (Friston, Парр и др.2017c). Есть определенные аспекты этой вычислительной анатомии, которые можно сопоставить с функциональной анатомией мозга, в частности, те компоненты, которые участвуют в выборе политики (Friston et al., 2014; Friston, FitzGerald, et al. 2017a). представляет вероятностную графическую модель (PGM) для иллюстрации вычислительной архитектуры (то есть графа), подразумеваемой нашей генеративной моделью. Узлы представляют скрытые состояния (см.), А края обозначают условные зависимости. Эти края содержат параметры генеративной модели и соответствуют (внутренним и внешним) анатомическим связям в головном мозге.Чтобы подчеркнуть различие между нашими разъединениями (т.е. повреждениями) внешней (A) и внутренней (B) связности, мы снабдили этот PGM рекуррентными (то есть собственными) связями, которые заменяют параметры вероятностного перехода генеративной модели. Красные кресты показывают, где мы фактически повредили определенный путь.

Вычислительная архитектура для повторения слов. Этот рисунок иллюстрирует идеализированную передачу сообщений — как определено генеративной моделью — для повторения слов.Результаты (синий со значками), скрытые состояния (розовый с значками) и переменные модели (G, ожидаемая свободная энергия; π, ожидаемые политики; γ, ожидаемая точность; и u, действие) назначаются популяциям нейронов. Значки соответствуют скрытым факторам и модальностям результатов в. Черные стрелки обозначают передачу сообщений, а белые круглые точки указывают на модулирующий вес между популяциями нейронов. Значок смайлика (в слуховой коре) представляет собой обработку слуховых сигналов от уха.Значок цели (в области Вернике) представляет целевое слово (то есть звуки речи, которые распознаются и требуют повторения), а значок секундомера (в гиппокампе) отвечает за временное представление каждого испытания. Значок в виде перекрестия (в области Брока) представляет собой внутреннюю модель предполагаемой речи, которая управляет моторной отдачей (в моторной коре, контролирующей рот и гортань), и предсказывает, как моторная активность изменит проприоцепцию в постцентральной извилине (значок рта) и слуховая обработка в слуховой коре (значок смайлика).Красные кресты представляют собой место in silico повреждений — A (внешние связи) представляют разрыв с представлениями оценок, а B (внутренние связи) представляют переходы целевых слов. Ожидания относительно политики как таковой и точности этих убеждений приписывались полосатому телу и участкам компактной части черной субстанции, чтобы указать на предполагаемую роль дофамина в точности кодирования (Friston, FitzGerald et al., 2017a).

Назначение узлов в этой графической модели анатомическим областям является умозрительным — как и во всех теориях нейронных процессов, которые учитывают минимизацию свободной энергии (Gu et al.2018). Однако он показывает, что передача сообщений между нейронными репрезентациями при определенных предположениях может быть правдоподобно связана с внешними связями в мозге. В частности, при предположении, что популяции нейронов кодируют статистику апостериорных вероятностей, вероятности перехода можно рассматривать как параметризованные нейронными связями (Friston et al., 2016). Это позволяет рассматривать функциональный дефицит после синтетических повреждений в отношении отсоединения аксонов или дегенеративной потери нейронов.Например, см. (Parr and Friston 2017) и (Parr, Benrimoh, et al. 2018) соответственно.

Для моделирования поражений мы выборочно уменьшили силу самых сильных соединений и увеличили силу самых слабых соединений за счет уменьшения гиперпараметра точности. Математически это снижает общую точность ассоциированного правдоподобия или априорного распределения (по результатам или состояниям, соответственно). Нас особенно интересовал кумулятивный эффект увеличения степени (внешних ( A ) или внутренних ( B ) или обоих) поражений на функцию, оцениваемую по дегенеративности и избыточности, а также сопутствующие поведенческие и нейронные реакции.

Мы исследовали взаимодействие между обоими видами (внутренними и внешними) поражениями, отметив, что типичные неврологические расстройства, вероятно, включают оба. В частности, чтобы имитировать разъединение, которое следует за штрихом, мы нарушили сопоставление между модальностью результата оценки и всеми скрытыми состояниями (: черный круг со значком смайлика). Во-вторых, мы повредили «целевое слово» переходной матрицы B с повреждениями и без них на матрицу A .Это ограничивает способность испытуемого отслеживать целевое слово, что приводит к ухудшению восприятия и выработке неправильных слов. Наша цель состояла в том, чтобы продемонстрировать увеличение избыточности после поражений, которое не было компенсировано увеличением дегенерации. Кроме того, мы надеялись продемонстрировать нелинейный эффект на точность, а именно, что кумулятивный эффект введения большего количества поражений будет сверхаддитивным, вызывая снижение производительности при достаточной нагрузке на поражение. Это говорит о том, что для создания дефицита необходимы определенные комбинации распределенных поражений — признак дегенеративной функциональной анатомии.

Количественные оценки

Мы начинаем с повреждений внутренних связей (в матрице B ): прочность самых больших соединений была уменьшена, а прочность самых маленьких соединений была увеличена за счет уменьшения гиперпараметра точности с 1 до 0,5. Поражение выполняется на генеративной модели, которая уже изучила соответствующие распределения вероятностей посредством структурного обучения (см. Предыдущий раздел). Затем мы смоделировали парадигму повторения слов, используя поврежденную модель — с ложными представлениями из предыдущего раздела и без них — для 50 различных субъектов в 10 испытаниях.Исходя из этого, мы измерили общую избыточность и вырожденность: результаты показаны в третьей и четвертой строках и. Повреждение увеличило вырождение на ~ 1,6 нат, как для ложных, так и для не ложных моделей. Влияние этих поражений на избыточность было несколько ниже и составляло ~ 1 натс.

Последствия поражения. На этой гистограмме воспроизводятся некоторые данные, чтобы выделить влияние комбинированных (внешних и внутренних) отключений на избыточность, вырожденность и точность. Обратите внимание, что эти показатели можно напрямую интерпретировать с точки зрения их статистических данных.По соглашению, разница в логарифмических доказательствах (т. Е. Логарифмический фактор Байеса), равная трем, считается убедительным доказательством (что соответствует логарифмическому отношению шансов 20: 1) (Kass and Raftery 1995). См. Более подробный анализ (поведенческой и статистической) точности.

Чтобы повредить внешние связи, опосредующие сообщения между регионами (например, матрица A ), сила самых больших соединений была уменьшена, а сила самой маленькой связи была увеличена за счет уменьшения гиперпараметра точности для A от 1 до 0.4. Как и выше, генеративная модель пораженного участка с ложной ошибкой и без нее была смоделирована для 50 различных субъектов в 10 испытаниях. Результаты показаны в пятой и шестой строках и проиллюстрированы на. Ключевым результатом здесь является значительное увеличение избыточности, которое не сопровождается сопутствующим увеличением вырождения для модели без уровня ложных сигналов. Таким образом, повреждение внутренних связей оказало немного большее влияние на вырождение, чем избыточность, тогда как повреждение внешних связей оказало гораздо большее влияние на избыточность (что отражает увеличение степени требуемого обновления убеждений).

Наконец, мы реализовали комбинацию распределенных повреждений — на обеих матрицах A и B — путем изменения параметров подключения, как указано выше. Результаты показаны в последних двух строках и проиллюстрированы на. Из этих результатов сразу же очевидны две вещи: распределенные поражения как внешних, так и внутренних поражений дали наивысшую избыточность и дегенеративность, а модели с худшими характеристиками в отношении статистической точности (косвенный показатель производительности).Оба эффекта имеют четкое объяснение. Неопределенные апостериорные представления о причинах — в контексте вырожденного отображения между причинами и следствиями — приводят к более высокому вырождению. Низкий уровень точности является следствием этих менее уверенных представлений о том, что вызывает результаты.

Наконец, мы оценили поведенческие реакции — измеренные с помощью поведенческой и статистической точности — для наших стимулированных групп: каждая из 50 пациентов, выполняющих 10 испытаний (). Здесь точность поведения измеряется процентом правильных ответов в ходе испытания.Нашей целью здесь было проверить супераддитивные эффекты поведенческой производительности в вырожденной архитектуре. Поведенческая точность для контрольной группы поражений B, и A была хорошей (среднее значение: ~ 70%) по обеим спецификациям модели (см.), Хотя группа поражения A имела гораздо более низкую статистическую точность (среднее значение: -7,5. нац см.). Однако поражения как внешних, так и внутренних соединений ( A и B ) имели гораздо худшие характеристики (средняя поведенческая точность ~ 26%), чем поражения только внешних поражений, несмотря на сопоставимую статистическую точность ().Это происходит из-за увеличения вырождения, связанного с неопределенным отображением причин и результатов. С точки зрения исследования дефицита поражений, поведенческие характеристики отражают супераддитивный эффект поражений на функциональный дефицит в терминах структурно-функционального картирования «многие к одному», так что при поражении нескольких путей трудно выполнить задача точно. И это несмотря на только постепенное влияние на статистическую точность, избыточность и вырожденность.

Имитация точности рабочих характеристик.Левая ось y представляет точность поведения, измеренную в процентах правильных ответов, правая ось y представляет натуральные единицы, а ось x представляет различные группы. Каждая группа разделена на основе технических характеристик модели с (Y) или без (N) уровня паразитных помех. Для контрольной группы с ложной спецификацией мы сообщаем о точности результатов после обучения (т. Е. Последних 10 испытаний). Звездочки представляют среднюю статистическую точность для каждой группы (см. Подробности).И контрольная, и внутренняя (B) группы поражений работают хорошо со средней статистической точностью 0,00 nats и средней поведенческой точностью 70–100%. Группа с внешним (A) поражением показывает достаточно хорошие результаты с точки зрения средней поведенческой точности (~ 70%), несмотря на значительно более низкую среднестатистическую точность ~ 7,5 nats (). Однако группа с поражениями как внешних (A), так и внутренних (B) связей работает плохо, с распределением от 0% до 60%, средняя поведенческая характеристика составляет ~ 26% (черная стрелка), несмотря на статистическую точность. (~ 7.9 нат), что сопоставимо с таковой в группе поражения А ().

Таким образом, используя численный анализ, мы проиллюстрировали, чем вырождение отличается от избыточности и как эти меры обработки по-разному реагируют на изменения в структуре или связности генеративной модели. В частности, мы увидели, что снижение точности сопоставлений вероятности (за счет нарушения внешних связей) может иметь серьезные последствия для избыточности. Эвристически, если я не смогу представить причины своих ощущений, я не смогу достичь желаемых результатов и обнаружу функциональный дефицит.Это не тот случай, когда я могу использовать апостериорные убеждения, чтобы предсказать, что я собираюсь делать; сопутствующие структурные репрезентации слов «эпоха», «повторение» и «цель» достаточны для получения такого результата — для данной конкретной парадигмы и сопутствующей генеративной модели. В заключительном разделе мы рассматриваем физиологические корреляты обновления убеждений, которые позволили бы эмпирически оценить некоторые прогнозы, вытекающие из этой формулировки вырождения и избыточности.

Физиологические прогнозы

Чтобы охарактеризовать влияние поражений на обновление убеждений, мы исследовали (синтетические) ответы субъекта на неожиданные результаты; я.е., «неправильная» оценка. Это позволило нам смоделировать различия форм сигналов с отрицательным рассогласованием (MMN) (Гарридо и др., 2009; Морлет и Фишер, 2014) или P300 (Дончин и Коулз, 1988). Мы сообщаем об этих симуляциях, чтобы показать, как схему передачи сообщений можно использовать для прогнозирования эмпирических ответов нейронов. Наша конкретная гипотеза заключалась в том, что достаточное снижение вырожденности (то есть увеличение апостериорной неопределенности) ослабило бы реакцию на нарушения, которые опосредуют обновление убеждений. Проще говоря, с неточной вероятностью и предварительными картами, пациенты могут найти все удивительным, что не приведет к разнице между ожидаемыми и неожиданными результатами.

Парадигма нарушения была смоделирована с использованием неподдельной спецификации, давая каждому синтетическому субъекту оценку «неправильно» в эпоху 3 испытания. В остальном все осталось прежним. Это позволило нам стимулировать странную парадигму, в которой испытуемый, ожидавший оценки «правильно», теперь подвергался неожиданной оценке. Любые различия в ответах на стандарт и отклонения можно рассматривать как смоделированные MMN (Näätänen et al. 2007). Ответы на несоответствие моделировались для четырех различных групп: контрольная, внешнее ( B ) поражение, внутреннее ( A ) поражение и оба ( A и B ) поражения.Для каждого моделирования мы моделировали два испытания: в одном синтетический субъект услышал правильную оценку, а во втором ему была дана неожиданная «неправильная» оценка. Внутреннее состояние субъекта для «целевого слова» всегда было «красным» (только одно правдоподобное представление).

Мы смоделировали реакции потенциала локального поля на основе простой формы обновления убеждений, представленной как нейронно-правдоподобный градиентный спуск на вариационной свободной энергии (). Более подробное обсуждение того, как обновление основных убеждений переводится в нейрофизиологию, можно найти в (Friston, FitzGerald, et al.2017а). Результаты смоделированных электрофизиологических ответов одиночной популяции нейронов, отвечающих на «правильную» оценку, показаны на рис. Форма сигнала полностью меняется, когда объект подвергается неожиданной, по сравнению с ожидаемой, оценке. Эти результаты согласуются с субъектом с внутренним поражением, у которого интенсивность нарушения ограничена переходами состояний с течением времени (что подчеркивается изменениями в ответах на перистимульном времени 200–400 мс;).Однако, когда способность к оценке полностью нарушена (связанная с внешним поражением), субъект не может различать ожидаемые и неожиданные оценки, что приводит к незначительному или отсутствию вызванного ответа. В будущей работе мы надеемся эмпирически проверить связи между стимулированными вызванными ответами и конкретными популяциями нейронов в ().

Смоделированные отрицательные ответы о несовпадении. На левой панели представлены смоделированные электрофизиологические ответы нейрональной популяции, отвечающей на правильную оценку в эпоху 3, с (красные линии) и без (синие линии) ожидаемого результата.Различия между этими двумя ответами показаны на правой панели и могут быть прочитаны в духе отрицания несоответствия или разницы формы сигнала P300. Каждый ряд предназначен для отдельной группы: контроль ( A — B ), внутреннее поражение ( C — D ), внешнее поражение ( E — F ), а также внутренние и внешние поражения ( G — H ). Ось y — это ответ на стимулы в произвольных единицах. Ось x представляет время в секундах.Ответы для контроля и моделирования повреждений B аналогичны: реакция отрицательной волны для «правильных» ожидаемых результатов и положительная волна для неожиданных результатов. Наблюдается небольшой спад положительной реакции для моделирования поражения B на неожиданные результаты по сравнению с контролем (красная стрелка), и отсутствие вызванной реакции как для A, -повреждения, так и для A — и B — пораженные предметы. Это связано с тем, что поражение снижает точность оценки вероятности и ухудшает способность синтетического субъекта различать правильную и неправильную оценку.Напротив, есть небольшой положительный ответ на неожиданный стимул по сравнению с ожидаемым для обеих этих групп (синяя стрелка).

Заключительные комментарии

В этой статье мы использовали принцип свободной энергии (также известный как активный вывод) (Friston, 2019), чтобы указать точные количественные роли избыточности и вырождения. Мы показали, как избыточность и вырождение изменяются по отдельности и вместе как во время обучения, так и после повреждения когнитивной системы. Это было достигнуто путем связывания вырождения с энтропией — и избыточности со сложностью — во время активного вывода в рамках данной генеративной модели (т.д., структура) и связанное обновление убеждений (т. е. функция). Такая характеристика вырожденности и избыточности может иметь практическую полезность: 1) она измеряет вырожденность и избыточность в одних и тех же (естественных) единицах информации и 2) та же модель может предсказывать поведенческие характеристики (то есть точность) и связанные с ними электрофизиологические сопутствующие факторы — путем обращения планированию как (активному) умозаключению при выборе поведенческой реакции. Используя эту модель, мы предлагаем принципиальный способ оценки функциональной целостности повторения слов у контрольных субъектов и пациентов, при котором одновременно можно регистрировать как поведение, так и электрофизиологию.В принципе, можно оценить предшествующие убеждения (например, параметры связности) генеративной модели субъекта, которая лучше всего объясняет их ответы, путем нахождения параметров генеративной модели, которые максимизируют вероятность ответов. Это известно как компьютерное фенотипирование (Schwartenbeck, Friston, 2016; Parr, Rees, et al., 2018). Кроме того, наличие электрофизиологических прогнозов означает, что можно связать обновление убеждений с конкретными областями мозга посредством динамического случайного моделирования нейрофизиологических данных (см.г., Адамс и др. (2016); Винсент и др. (2019)). Такой подход может пролить свет на механизмы вырожденной функциональной архитектуры, которые ранее считались жесткими регуляторами производительности нейронной сети (Cropper et al., 2016).

Формулировка, представленная в этой статье, позволила нам запустить серию симуляций, в которых были измерены различные формы избыточности и вырождения, используя как структурное обучение, так и поражения in silico. Посредством нашего численного анализа мы показываем, как избыточные структурные параметризации (в ложных соединениях) влекут за собой более высокие затраты на сложность и все более вырождающиеся сопоставления между причинами и результатами.Удаление этих ложных подключений снижает избыточность, а удаление нежелательных подключений увеличивает избыточность. Эти два противоположных изменения в связности могут быть связаны со структурным обучением и с поражениями соответственно. Из-за распределенного характера обновления убеждений в активном выводе участвуют несколько путей (то есть связь). Это согласуется с исследованиями дефицита поражений, которые часто требуют распределенных отключений по множеству путей для создания функционального дефицита.

Характеристика вырождения и избыточности — в терминах компонентов свободной энергии — выходит за рамки любой конкретной генеративной модели. Цель моделирования — проиллюстрировать последствия этой характеристики в синтетической обстановке (где мы знаем форму генеративной модели). Однако стоит рассмотреть полезность этой характеристики и способы ее использования для постановки эмпирических вопросов. Это потребует использования реальных данных, чтобы спросить, изменится ли вырожденность или избыточность системы после вмешательства.Например, «снижает ли конкретная форма нейрореабилитационной терапии избыточность во время восстановления после неврологического инсульта?».

Мы смоделировали повреждения in silico с точки зрения разрывов и сосредоточились на различии между внутренними (внутри региона) и внешними (между регионами) связями. Таким образом, мы надеялись продемонстрировать вырожденность, присущую активному умозаключению, показав, что функциональный дефицит был больше, когда были повреждены как внешние, так и внутренние пути, в отличие от любого из них по отдельности.В будущей работе мы надеемся использовать более полные генеративные модели — с множественными внешними (межрегиональными) путями и большей иерархической глубиной — которые обеспечивают вырожденные структурно-функциональные отображения в корковых иерархиях.

ГДЗ по Математике за 5 класс Виленкин Н.Я., Жохов В.И.

ГДЗ По Математике 5 Класс Виленкин Фгос – Telegraph

Выполняем домашние задания быстро и легко!

Что было до Большого взрыва?

Назад к Большому взрыву

Бесконечная история

Дорога в вечность

Нечто из ничего

Устранение лазеек

Лазейка № 1

Loophole # 2

правил и примеров (7 класс)

Как правильно раскрыть круглые скобки дополнительно

Раскройте квадратные скобки, перед которыми стоит «+»

Как раскрыть скобки, перед которыми стоит «-»

Как раскрыть 3 скобки

Правило раскрытия скобок дополнительно

Правило раскрытия скобок при вычитании

Раскрывающие скобки при умножении

Раскрывающие скобки при делении

Как раскрыть вложенные круглые скобки

Вырождение и избыточность в активном выводе

Abstract

Введение

Вырождение, избыточность и активный вывод

Объяснение вырожденности

Объяснение избыточности

Вырождение и избыточность

Моделирование повторения слов

Генеративная модель

Оценка избыточности

Таблица 1

In Silico Lesion Studies

Вычислительная архитектура повторения слов

Количественные оценки

Физиологические прогнозы

Заключительные комментарии

Добавить комментарий Отменить ответ