Решения задач рубрики «Задача от мудрой совы» (5 класс, Мерзляк А.Г. и др.)
Решение задач рубрики «Задача от мудрой совы»
1 6. В квадрате (рис. 1) суммы чисел в каждом столбце, в каждой строке и диагоналях должны быть одинаковыми. Найдите число, которое должно быть записано вместо звёздочки.
Ответ: Сумма чисел первого столбца равна 33. Тогда в центральной клеточке квадрата должно стоять число 11, а в правом верхнем углу — 8. Следовательно, вместо знака * должно быть записано число 15.
43. В этом году день рождения отца был в воскресенье. В какой день недели праздновала свой день рождения мать, если она на 62 дня моложе отца?
Ответ: Поскольку мать младше отца, то 62 дня надо прибавить к дате дня рождения отца. Дни, номера которых делятся нацело на 7, будут приходиться на воскресенья. Поэтому шестьдесят третий день — это воскресенье. Следовательно, шестьдесят второй день — суббота.
Ответ: Надо стремиться к тому, чтобы искомое число имело меньше разрядов. Поэтому основной «строительный материал» — это цифра 9. В то же время старший разряд должен содержать наименьшую из возможных цифр. Искомое число равно 299 999 999 999.
111. Как расставить 16 учеников в три ряда, чтобы в каждом ряду их было поровну?
Ответ: Один из способов расстановки показан на рисунке 25.
141. Вдоль забора растут восемь кустов малины. Количество ягод на соседних кустах отличается на одну. Может ли на всех кустах вместе расти 225 ягод?
Ответ: Общее количество ягод не может быть равным 225. Чётность количества ягод на первом, третьем, пятом и седьмом кустах одинакова. Тем же самым свойством обладают второй, четвёртый, шестой и восьмой кусты. Отсюда следует, что общее количество ягод — чётное число.
166. Семь гномов собрали вместе 28 грибов. Все они собрали разное количество грибов, и ни у кого не оказалось пустой корзинки. Сколько грибов собрал каждый гном?
Ответ: Количества грибов в корзинках гномов равны 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Если предположить, что есть гном, в корзине которого 8 или более грибов, то общее количество собранных грибов было бы не менее чем 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 = 29, что противоречит условию.
196. Можно ли таблицу из пяти строк и шести столбцов заполнить натуральными числами так, чтобы сумма чисел каждой строки была равна 30, а сумма чисел каждого столбца – 20?
Ответ: Таким образом заполнить таблицу невозможно. В этой таблице сумма всех чисел, с одной стороны, была бы равной 5 ⋅ 30 = 150, а с другой — 6 ⋅ 20 = 120.
240. Во сколько раз путь по лестнице с первого этажа на десятый длиннее, чем путь с первого этажа на второй?
Ответ: Путь на десятый этаж в 9 раз длиннее, чем на второй.
Действительно, обратим внимание на то, что ступеньки начинаются только с первого этажа. Поэтому если путь с первого этажа на второй равен x, то путь с первого на десятый равен 9x.
2 66. Кабинки развлекательного аттракциона «Колесо обозрения» последовательно пронумерованы числами 1, 2, 3 и т.д. Сколько всего кабинок, если известно, что когда кабинка с номеров 24 занимает самую высокую позицию, то кабинка с номером 10 – самую низкую?
Ответ: 28 кабинок. Если, например, нумерация производилась по часовой стрелке, то между кабинками с номерами 10 и 24 расположены ещё 13 кабинок с номерами 11, 12, … , 23. Столько же кабинок можно насчитать, если двигаться в противоположном направлении.
280. В трёх ящичках лежат шары: в первом ящичке – два белых, во втором – два чёрных, в третьем – белый и чёрный. На ящички наклеены этикетки ББ, ЧЧ и БЧ так, содержимое каждого из них не соответствует этикетке. Как, вынув один шар, узнать, что в каком ящичке лежит?
Ответ: Достаточно взять шарик из ящичка БЧ.
Понятно, что другой шарик в этом ящичке того же цвета, что и первый. Если, например, этот цвет белый, то в ящичках с надписями ББ и ЧЧ находятся два чёрных и белый с чёрным шарики соответственно.
295. На озере начали распускаться кувшинки. Каждый день количество кувшинок возрастало вдвое. На двадцатый день кувшинками заросла вся поверхность озера. На какой день половина озера была покрыта кувшинками?
Ответ: На девятнадцатый день. Поскольку на двадцатый день заросло всё озеро, то в предыдущий день кувшинками была покрыта половина озера.
320. Улитка за день поднимается вверх по столбу на 3 м, а за ночь съезжает по нему на 2 м вниз. На какой день она доберётся до вершины столба, высота которого равна 20 м?
Ответ: За 18 дней. В восемнадцатый день улитка начнёт подниматься с высоты 17 м и в конце дня достигнет вершины столба.
337. Лимоны одинаковой массы продают поштучно.
Масса каждого лимона составляет целое количество граммов. Купили больше двух, но меньше семи лимонов. Масса всей покупки составляет 850 г. Какова масса одного лимона?
Ответ: Масса одного лимона 170 г. Количество лимонов — делитель числа 850, а среди чисел, которые больше 2 и меньше 7, такое свойство имеет только число 5.
358. Каждый учащийся гимназии изучает по крайней мере один из двух иностранных языков. Английский язык изучают 328 учеников, французский язык – 246 учеников, а английский и французский одновременно – 109 учеников. Сколько всего учеников учится в гимназии?
Ответ: В гимназии 328 + 246 − 109 = 465 (учеников). Решая задачу, удобно воспользоваться рисунком 26.
383. Как с помощью пятилитрового бидона и трёхлитровой банки набрать на берегу реки 4 л воды?
О твет: Это можно сделать, например, по такому алгоритму: 1) наполнить 5-литровый бидон; 2) из бидона перелить 3 л воды в банку; 3) вылить воду из 3-литровой банки; 4) воду, оставшуюся в бидоне (2 л), перелить в банку; 5) снова наполнить бидон; 6) воду из бидона долить в банку.
419. 1) Сложите из десяти спичек три квадрата.
2) Сложите из 19 спичек шесть квадратов.
3) Какие четыре спички надо убрать (см. рисунок), чтобы остались пять маленьких квадратов?
Ответ: Решение показано на рисунке 27.
446. В 5 классе учатся трое друзей: Миша, Дима и Саша. Один из них занимается футболом, второй – плаванием, а третий – боксом. У футболиста нет ни брата, ни сестры, он самый младший из друзей. Миша старше боксёра и дружит с сестрой Димы. Каким видом спорта занимается каждый из друзей?
Ответ: Миша занимается плаванием. Это следует из двух условий: 1) футболист — самый младший; 2) Миша старше боксёра. Миша дружит с сестрой Димы. Это означает, что Дима — боксёр. Действительно, ведь у футболиста сестры нет. Для Саши осталась единственная возможность — футбольная секция.
520. На столе расположено семь зубчатых колёс так, что первое сцеплено со вторым, второе – с третьим и т.д., а седьмое сцеплено с первым. Могут ли все колёса вращаться одновременно?
Ответ: Не могут. Два сцепленных зубчатых колеса всегда вращаются в противоположных направлениях (одно по часовой стрелке, а другое — против). Из этого следует, что все зубчатые колёса с нечётными номерами вращаются в одном направлении, а поэтому первое и седьмое колёса не могут быть сцепленными.
547. Известно, что верёвка сгорает за 4 мин и горит при этом неравномерно. Как с помощью: 1) одной верёвки отмерить 2 мин; 2) двух таких верёвок отмерить 3 мин?
Ответ: 1) Надо поджечь верёвку с обоих концов одновременно. 2) Сначала поджечь первую верёвку с одного конца, а вторую с обоих концов и, отмерив с помощью второй верёвки две минуты (см. пункт 1), поджечь второй конец первой верёвки.
563.
В очереди за билетами в цирк стояли Миша, Наташа, Петя, Дима и Маша. Маша купила билет раньше, чем Миша, но позже, чем Наташа. Петя и Наташа не стояли рядом, а Дима не был рядом ни с Наташей, ни с Машей, ни с Петей. Кто за кем стоял в очереди?
Ответ: В очереди стояли друг за другом: Наташа, Маша, Петя, Миша, Дима.
597. Расстояние между городами А и В равно 30 км. Из города А в город В выехал велосипедист и двигался со скоростью 15 км/ч. Одновременно из города В в направлении города А вылетела птица со скоростью 30 км/ч. Встретившись с велосипедистом, птица развернулась и полетела назад. Прилетев в город В, она снова развернулась и полетела навстречу велосипедисту. Встретившись с ним, птица развернулась и полетела назад в город В и т.д. Сколько километров пролетела птица за то время, пока велосипедист ехал из города А в город В?
О твет: Птица пролетела 60 км.
Велосипедист двигался 2 ч, столько же времени пребывала в полёте и птица.
616. Как с помощью линейки измерить диагональ кирпича, имея ещё несколько таких кирпичей? (Диагональ параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной грани.)
Ответ: Решение понятно из рисунка 28.
644. В записи первого трёхзначного числа используются только цифры 2 и 3, а в записи второго – только цифры 3 и 4 . Может ли произведение этих чисел записываться только цифрами 2 и 4?
Ответ: нет. Например, 233 . 344 = 80152.
673. В классе 30 учащихся. Они сидят по двое за 15 партами так, что половина всех девочек сидит с мальчиками. Можно ли учеников класса пересадить так, чтобы половина всех мальчиков сидела с девочками?
Ответ: Нет. Если половина всех девочек сидит с мальчиками, то вторая половина всех девочек сидит друг с другом.
Следовательно, половина количества девочек — число чётное, а количество всех девочек делится нацело на 4. Аналогично: если таким же образом можно рассадить мальчиков, то их количество должно делиться нацело на 4. Тогда количество учащихся класса должно делиться на 4, что противоречит условию.
718. К пяти разным замкам есть пять ключей, причём неизвестно, какой ключ к какому замку подходит. Барон Мюнхгаузен утверждает, что можно не более чем за десять попыток подобрать ключ к каждому замку. Прав ли барон Мюнхгаузен?
Ответ: Барон прав. В наихудшем случае придётся сделать 10 попыток. Для того чтобы подобрать первый ключ, надо сделать не более 4 попыток. Действительно, если даже этот ключ не откроет первые четыре замка, то можно и без попытки быть уверенным, что к пятому замку он подойдёт. Рассуждая аналогично, второй ключ можно подобрать не более чем за 3 попытки, третий — за 2 попытки, четвёртый — за 1 попытку. После этого останется один замок и один ключ, который наверняка подойдёт к нему.
742. Мартышка, Удав, Слонёнок и Попугай съели вместе 70 бананов, причём каждый из них съел хотя бы один банан. Мартышка съела больше, чем кто-либо из них, Попугай и Слонёнок съели вместе 45 бананов. Сколько бананов съел Удав?
Ответ: Удав съел один банан. Поскольку Попугай и Слонёнок вместе съели 45 бананов, то кто-то из них съел не менее 23 бананов, а тогда Мартышка съела не менее 24 бананов. Из этого следует, что Мартышка, Попугай и Слонёнок вместе съели не менее 69 бананов.
757. В коробке лежат 4 белых, 5 чёрных и 6 красных шаров. Какое наименьшее количество шаров надо вынуть из коробки, чтобы среди них обязательно оказались: 1) 3 шара одного цвета; 2) шары всех трёх цветов?
Ответ: 1) Семь шариков. Шести шариков недостаточно. В этом случае может оказаться, что вынули по два шарика каждого из трёх цветов. 2) Двенадцать шариков. Если вынуть только 11 шариков, то возможен будет такой вариант: 5 чёрных и 6 красных.
768. В 5 классе учатся 35 учеников. Сможет ли каждый ученик этого класса обменяться открытками с пятью своими одноклассниками?
Ответ: Такое невозможно. Если это допустить, то количество всех совершённых обменов было бы равным , а это число дробное.
796. Ученики Фёдоров, Сидоров и Петров входили в сборную школы по шахматам. Имена этих учеников были Фёдор, Сидор и Пётр. Известно, что фамилия Фёдора не Петров, волосы у Сидора рыжего цвета и учится он в 6 классе; Петров учится в 7 классе, а волосы у Фёдорова чёрного цвета. Укажите фамилию и имя каждого мальчика.
Ответ: Фёдор Фёдоров, Сидор Сидоров и Пётр Петров. Сидор не может иметь фамилию Петров. Это следует из того, что Сидор — шестиклассник, а Петров — семиклассник. Если теперь учесть, что фамилия Фёдора так же не Петров, то остаётся рассмотреть две возможности:
1) Фёдор Сидоров, 2) Фёдор Фёдоров,
Сидор Фёдоров, Сидор Сидоров,
Пётр Петров; Пётр Петров.
Но первый случай невозможен, поскольку у Сидора и Фёдорова волосы разного цвета.
819. Как поделить поровну 7 яблок между 12 друзьями, если каждое яблоко можно разрезать не более чем на 4 части?
Ответ: Четыре из семи яблок надо разделить на 3 равные части каждое, а три оставшихся яблока — на 4 равные части каждое.
843. В пачке было 1000 конвертов. За какое наименьшее время почтальон сможет отложить 850 конвертов, если за 1 мин он отсчитывает 100 конвертов?
Ответ: Полторы минуты. Если отсчитать 150 конвертов, то в пачке останется как раз 850 конвертов.
862. Вася рассказал друзьям, что позавчера ему ещё было 10 лет, а в следующем году ему исполнится 13 лет. Как такое может быть?
Ответ: Это может быть только в случае, если день рождения Васи 31 декабря, а разговор с друзьями у него состоялся 1 января.
9 08.
Чертёнок предложил Петру Скупердяйкину: «Каждый раз, когда ты перейдёшь мост, который я заколдую, твои деньги удвоятся. За это будешь мне каждый раз отдавать 24 монеты». Сделал Скупердяйкин так три раза и остался совсем без денег. Сколько денег было у Петра до встречи с чертёнком?
Ответ: 21 монета. Эту задачу целесообразнее решать «с конца». До того, как Скупердяйкин в третий раз перешёл мост, у него было 12 монет. Следовательно, после второго перехода (до того, как он отдал чертёнку 24 монеты) его капитал составлял 12 + 24 = 36 (монет). То есть до второго перехода у него было 36 : 2 = 18 (монет). Далее, рассуждая аналогично, приходим к выводу, что после первого перехода у него было 18 + 24 = 42 (монеты), а до встречи с чертёнком 42 : 2= 21 (монета).
962. В пятых классах учатся 100 учеников. Из них 75 учеников изучают немецкий язык, 85 учеников – французский, а 10 учеников не изучают ни один из этих языков. Сколько учеников изучают только французский язык, а сколько – только немецкий?
Ответ: Только французский язык изучают 15 учеников, а только немецкий — 5 учеников.
Если обозначить количества учеников, изучающих только французский, только немецкий и оба этих языка, буквами a, b, c соответственно, то можем записать a + b + c = 90. Теперь, учитывая, что a + c = 85, а b + c = 75, получим ответ.
1032. Семь карандашей стоят дороже восьми тетрадей. Что дороже: восемь карандашей или девять тетрадей?
Ответ: Из условия следует, что один карандаш стоит больше одной тетради. Тогда понятно, что 8 =7+1 карандашей дороже, чем 9 =8+1 тетрадей.
1055. Одновременно на сковороду можно положить два карася. Чтобы поджарить одного карася с одной стороны, нужна 1 мин. Можно ли за 3 мин поджарить с двух сторон трёх карасей?
Ответ: Поджарить трёх карасей за 3 мин можно, действуя таким образом:
1) положить на сковороду двух карасей;
2) через минуту одного из карасей перевернуть, а другого снять со сковороды, положив туда третьего карася.
В конце второй минуты мы получим одного карася, поджаренного с обеих сторон, и двух карасей, поджаренных с одной стороны. Осталось за одну минуту поджарить этих двух карасей со второй стороны. А это можно сделать.
1091. В 5 классе диктант по русскому языку писали 30 учеников. Петя Ленивцев сделал больше всех ошибок – 14. Покажите, что по крайней мере три ученика сделали одинаковое количество ошибок (в этом классе могли быть ученики, которые не сделали ни одной ошибки).
Ответ: Из предположения, что не более двух учеников сделали 13 ошибок, не более двух — 12 ошибок и т. д. (до 0), следует, что в этом классе учится не более 2 ⋅ 14 + 1 = 29 (учеников), что противоречит условию.
1122. Для просмотра кинофильма в зрительном зале собрались ученики нескольких школ. Оказалось, что ученики одной из школ составляют 47 % количества зрителей. Сколько всего зрителей было в зале, если в нём 280 мест и более половины мест было занято?
Ответ: В зале было 200 зрителей.