Математика 4 класс м и моро учебник: Часть 2 упражнение — 311 гдз по математике 4 класс Моро, Бантова

Ответы по математике. 4 класс. Учебник. 2 часть. Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова М.А., Волкова С.И., Степанова С.В.

Ответы по математике. 4 класс. Учебник. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова М. А., Волкова С. И., Степанова С. В.
Часть 2.

 

Ответы к стр. 4
Ответы к стр. 5
Ответы к стр. 6
Ответы к стр. 7
Ответы к стр. 8
Странички для любознательных (стр. 9)
Странички для любознательных (стр. 10)
Странички для любознательных (стр. 11)
Ответы к стр. 12
Ответы к стр. 13
Ответы к стр. 14
Ответы к стр. 15
Ответы к стр. 16
Ответы к стр. 17
Странички для любознательных (стр. 18)
Странички для любознательных (стр. 19)
Что узнали. Чему научились (стр. 20)
Что узнали. Чему научились (стр. 21)
Что узнали. Чему научились (стр. 22)
Что узнали. Чему научились (стр. 23)
Странички дя любознательных (стр. 24)

Ответы к стр. 25
Ответы к стр. 26
Ответы к стр. 27
Ответы к стр. 28

Ответы к стр. 29
Ответы к стр. 30
Ответы к стр. 31
Ответы к стр. 32
Ответы к стр. 33
Ответы к стр. 34
Что узнали. Чему научились (стр. 35)
Что узнали. Чему научились (стр. 36)
Что узнали. Чему научились (стр. 37)
Проверим себя и оценим свои достижения (стр. 38)
Проверим себя и оценим свои достижения (стр. 39)
Наши проекты (стр. 40)
Наши проекты (стр. 41)

Ответы к стр. 42
Ответы к стр. 43
Ответы к стр. 44
Ответы к стр. 45
Ответы к стр. 46
Ответы к стр. 47
Ответы к стр. 48
Ответы к стр. 49
Ответы к стр. 50
Ответы к стр. 51
Странички для любознательных (стр. 52)
Странички для любознательных (стр. 53)
Что узнали. Чему научились (стр. 54)
Что узнали. Чему научились (стр. 55)
Что узнали. Чему научились (стр. 56)

Ответы к стр. 57
Ответы к стр. 58
Ответы к стр. 59
Ответы к стр. 60
Ответы к стр. 61
Ответы к стр.

62
Ответы к стр. 63
Ответы к стр. 64
Ответы к стр. 65
Ответы к стр. 66
Что узнали. Чему научились (стр. 67)
Странички для любознательных (стр. 68)
Странички для любознательных (стр. 69)
Что узнали. Чему научились (стр. 70)
Что узнали. Чему научились (стр. 71)

Ответы к стр. 72
Ответы к стр. 73
Ответы к стр. 74
Ответы к стр. 75
Ответы к стр. 76
Ответы к стр. 77
Странички для любознательных (стр. 78)
Странички для любознательных (стр. 79)
Странички для любознательных (стр. 80)
Странички для любознательных (стр. 81)
Что узнали. Чему научились (стр. 82)
Что узнали. Чему научились (стр. 83)
Что узнали. Чему научились (стр. 84)
Что узнали. Чему научились (стр. 85)
Итоговое повторение всего изученного (стр. 86)
Итоговое повторение всего изученного (стр. 87)
Итоговое повторение всего изученного (стр. 88)
Итоговое повторение всего изученного (стр. 89)

Итоговое повторение всего изученного (стр. 90)
Итоговое повторение всего изученного (стр. 91)
Итоговое повторение всего изученного (стр. 92)
Итоговое повторение всего изученного (стр. 93)
Итоговое повторение всего изученного (стр. 94)
Итоговое повторение всего изученного (стр. 95)
Итоговое повторение всего изученного (стр. 96-97)
Итоговое повторение всего изученного (стр. 97)
Итоговое повторение всего изученного (стр. 98)
Итоговое повторение всего изученного (стр. 99)
Итоговое повторение всего изученного (стр. 100)
Итоговое повторение всего изученного (стр. 101)
Итоговое повторение всего изученного (стр. 102)
Странички для любознательных (стр. 103)
Материал для расширения и углубления знаний (стр. 104)
Материал для расширения и углубления знаний (стр. 105)
Материал для расширения и углубления знаний (стр. 106)
Материал для расширения и углубления знаний (стр. 107)
Материал для расширения и углубления знаний (стр. 108)
Материал для расширения и углубления знаний (стр. 109)
Материал для расширения и углубления знаний (стр. 110)
Материал для расширения и углубления знаний (стр. 111)
Материал для расширения и углубления знаний (стр. 112)
Материал для расширения и углубления знаний (стр. 113)
Проверим себя и оценим свои достижения (стр. 114)
Проверим себя и оценим свои достижения (стр. 115)
Справочный материал (стр. 116 — 127)

Математика. 4 класс

Ответы по математике. 4 класс. Учебник. 2 часть. Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова М.А., Волкова С.И., Степанова С.В.

3.6 (72.76%) от 1097 голосующих

ГДЗ Математика 4 класс Моро, Бантова часть 1, 2 на Решалка

Родители с педагогами продолжают спорить о необходимом объеме заданий на дом для школьников. Когда норма рабочих часов взрослых людей 40 часов в неделю, учеников нагружают по 50 и более. И цифра растет ежегодно. Эта ситуация волнует не только детей, но и родителей, которым приходится проводить все вечера за занятиями. Ведь вариант с репетиторством далеко не каждому по карману. Часто весь материал, который не успели объяснить на уроке, задают на самостоятельное изучение домой. Математика обязательная дисциплина на многих вступительных экзаменах, по ней сдают ЕГЭ и ЭГЕ, а в младших классах изучаются базовые понятия, без которых потом будет сложнее углубиться предметно. Поэтому так важно не допускать пробелов.

Пособие по математике за 4 класс (часть 1, 2)

Чтобы не просиживать вечера напролет за учебниками, стоит побеспокоиться заранее о вспомогательных материалах. Готовые домашние задания помогут быстрее решить практические упражнения, лучше усвоить материал и закрепить алгоритмы решения однотипных задач. Под авторством Моро, Бантовой вышло отличное пособие по математике для 4 класса и ГДЗ по нему есть на Reshalka.com. Это не просто учебник с ответами, а полностью детализированное описание пошагового решения.

2 части пособия, проверенные квалифицированными педагогами

Для 4 класса решебник станет отличным вспомогательным ресурсом, когда по какой-либо причине ребенок отсутствовал на уроке или плохо усвоил определенную тему. Он поможет качественно подготовиться к контрольной работе или экзамену, разобраться по примерам, как решать подобные упражнения.

Для 4 класса готовые домашние задания по математике содержат проверенные решения с ответами. Помимо умножения, деления, сочетания и вычитания, пособие из двух частей авторов Моро и Бантовой обучит приемам вычисления, измерения длины, массы, определения времени, площади фигур. Четвероклассники научатся использовать обобщенные понятия для арифметических и практических задач. Кроме подготовки к занятиям или контрольным срезам, школьники смогут проработать допущенные ошибки, улучшить свою успеваемость. С онлайн-сервисом ГДЗ «Решалка» Ваш ребенок не будет переутомляться, сможет посещать любимые кружки без ущерба оценкам.

Страница 76 (учебник Моро 1 часть 4 класс) ответы по математике

Умножение и деление

325. Объясни записи в рамках на полях.

с * 1 = c — при умножении любого числа на 1 получается само это число.
b * 0 = 0 — при умножении любого числа на 0 получается 0.

326.

327. Запиши произведение чисел a и b и вычисли его значение при а = 72 и b = 3.

a * b = 72 * 3 = 216.

328. Составь разные задачи по выражению 16 * 4.

Задача 1:
Цена ручки 16 р. Сколько стоят 4 таких ручки?
16 * 4 = 64 p.
Ответ: 64 р.

Задача 2:
Ваня за месяц заработал 16 пятерок, а Саша в 4 раза больше. Сколько пятерок за месяц заработал Саша?
16 * 4 = 64 пятерок.
Ответ: 64 пятерок.

329. На 9 одинаковых парников надо 45 м плёнки. Сколько метров плёнки пойдёт на 3 таких парника? Составь и реши задачи, обратные данной.

1) 45 : 9 = 5 м плёнки идёт на 1 парник.
2) 5 * 3 = 15 м плёнки пойдёт на 3 парника.
Ответ: 15 м.

Обратная задача:
На 3 парника нужно 15 м плёнки. Сколько метров плёнки пойдёт на 9 таких же парников?
1) 15 : 3 = 5 м плёнки идёт на 1 парник.
2) 5 * 9 = 45 м плёнки нужно на 9 парников.
Ответ: 45 м.

330. Туристы в первый день прошли 16 км, что составило восьмую часть их маршрута. Сколько километров им осталось пройти?

1) 16 * 8 = 128 км составляет весь маршрут туристов.
2) 128 — 16 = 112 км осталось пройти туристам.
Ответ: 112 км.

331.

332. Начерти такой треугольник, дополни его до прямоугольника, найди площадь прямоугольника и каждого треугольника.

Площадь прямоугольника: 3 * 5 = 15 см² = 1500 мм2.
Площадь треугольника: 1500 : 2 = 750 мм2

.

Задание под знаком вопроса.

(14 + 7) * 3 = 21 * 3 = 63
8 * (100 — 99) = 8 * 1 = 8

Сайт МАОУ «СШ №47» г.

Хабаровска

Учебный предмет	Класс	Учебная программа	Учебник
Русский язык	2 по АОП НОО	Рабочая программа составлена на основе АОП НОО школы с задержкой психического развития (вариант 2), в соответствии с содержанием указанного учебника.	Т. Г. Рамзаева. Русский язык. Учебник.2 кл. В 2-х частях. ФГОС. «Дрофа». 2014
	3	Рабочая программа по русскому языку, разработанная на основе ООП НОО школы, в соответствии с содержанием указанного учебника.	Т. Г. Рамзаева. Русский язык. Учебник.3 кл. В 2-х частях. ФГОС. «Дрофа». 2014
	3  по АОП НОО	Рабочая программа составлена на основе АОП НОО школы с задержкой психического развития (вариант 2), в соответствии с содержанием указанного учебника.	Т. Г. Рамзаева. Русский язык. Учебник.3 кл. В 2-х частях. ФГОС. «Дрофа». 2014
	4 по АОП НОО		Т. Г. Рамзаева. Русский язык. Учебник.4 кл. В 2-х частях. ФГОС. «Дрофа». 2014
Литературное чтение	2 по АОП НОО	Рабочая программа составлена на основе АОП НОО школы с задержкой психического развития (вариант 2), в соответствии с содержанием указанного учебника.	Климанова Л.Ф., Горецкий В.Г., Голованова М.В. и др. Литературное чтение Ч. 1, 2 — М., Просвещение , 2016г.
	3	Рабочая программа по литературному чтению, разработанная на основе ООП НОО школы, в соответствии с содержанием указанного учебника.	Климанова Л.Ф., Горецкий В.Г., Голованова М.В. и др. Литературное чтение Ч. 1, 2- М., Просвещение , 2016г.
	3  по АОП НОО	Рабочая программа составлена на основе АОП НОО школы с задержкой психического развития (вариант 2), в соответствии с содержанием указанного учебника.	Климанова Л.Ф., Горецкий В.Г., Голованова М.В. и др. Литературное чтение Ч. 1, 2- М., Просвещение , 2016г.
	4 по АОП НОО		Климанова Л. Ф., Горецкий В.Г., Голованова М.В. и др. Литературное чтение Ч. 1, 2 — М., Просвещение , 2016г.
Математика	2 по АОП НОО	Рабочая программа составлена на основе АОП НОО школы с задержкой психического развития (вариант 2), в соответствии с содержанием указанного учебника.	Моро М.И., Степанова С.В., Волкова С.И. «Математика»  2 класс Ч. 1, 2  — М., Просвещение , 2016г.
	3	Рабочая программа по математике, разработанная на основе ООП НОО школы, в соответствии с содержанием указанного учебника.	Моро М. И., Степанова С.В., Волкова С.И. «Математика»  3 класс Ч. 1, 2  — М., Просвещение , 2016г.
	3  по АОП НОО	Рабочая программа составлена на основе АОП НОО школы с задержкой психического развития (вариант 2), в соответствии с содержанием указанного учебника.	Моро М.И., Степанова С.В., Волкова С.И. «Математика»  3 класс Ч. 1, 2  — М., Просвещение , 2016г.
	4 по АОП НОО		Моро М.И., Степанова С.В., Волкова С.И. «Математика»  4 класс Ч. 1, 2  — М., Просвещение , 2016г.
Окружающий мир	2 по АОП НОО	Рабочая программа составлена на основе АОП НОО школы с задержкой психического развития (вариант 2), в соответствии с содержанием указанного учебника.	Плешаков А.А. «Окружающий мир»2 кл. Ч. 1, 2 — М., Просвещение , 2016г.
	3	Рабочая программа по окружающему миру, разработанная на основе ООП НОО школы, в соответствии с содержанием указанного учебника.	Плешаков А.А. «Окружающий мир» 3 кл. Ч. 1, 2 — М., Просвещение , 2016г.
	3  по АОП НОО	Рабочая программа составлена на основе АОП НОО школы с задержкой психического развития (вариант 2), в соответствии с содержанием указанного учебника.	Плешаков А.А. «Окружающий мир» 3 кл. Ч. 1, 2 — М., Просвещение , 2016г.
	4 по АОП НОО		Плешаков А.А. «Окружающий мир» 4 кл. Ч. 1, 2 — М., Просвещение , 2016г
Технология	2 по АОП НОО	Рабочая программа составлена на основе АОП НОО школы с задержкой психического развития (вариант 2), в соответствии с содержанием указанного учебника.	Геронимус Т. М. 2 класс Технология — М., АСТ-ПРЕСС ШКОЛА, 2016г.
	3	Рабочая программа по технологии, разработанная на основе ООП НОО, в соответствии с содержанием указанного учебника.	Герронимус Т. М.  3 класс Технология.- М., АСТ-ПРЕСС ШКОЛА, 2016г.
	3  по АОП НОО	Рабочая программа составлена на основе АОП НОО школы с задержкой психического развития (вариант 2), в соответствии с содержанием указанного учебника.	Герронимус Т. М.  3 класс Технология.- М., АСТ-ПРЕСС ШКОЛА, 2016г.
	4 по АОП НОО		Геронимус Т. М.  4 класс Технология — М., АСТ-ПРЕСС ШКОЛА, 2016г.
Физическая культура	2 по АОП НОО	Рабочая программа составлена на основе АОП НОО школы с задержкой психического развития (вариант 2), в соответствии с содержанием указанного учебника.	Матвеев А. П.  Физическая культура. 2 кл. — М.: Просвещение, 2013 г.
	3	Рабочая программа по технологии, разработанная на основе ООП НОО школы, в соответствии с содержанием указанного учебника.	Матвеев А. П.  Физическая культура. 3 кл. — М.: Просвещение, 2013 г.
	3  по АОП НОО	Рабочая программа составлена на основе АОП НОО школы с задержкой психического развития (вариант 2), в соответствии с содержанием указанного учебника.	Матвеев А. П.  Физическая культура. 3 кл. — М.: Просвещение, 2013 г.
	4 по АОП НОО		Матвеев А. П.  Физическая культура. 4 кл. — М.: Просвещение, 2013 г.
Музыка	2 по АОП НОО	Рабочая программа составлена на основе АОП НОО школы с задержкой психического развития (вариант 2), в соответствии с содержанием указанного учебника.	Критская Е. Д. и др. Музыка. 2 кл. — М.: Просвещение,  2015 г.
	3	Рабочая программа по музыке, разработанная на основе ООП НОО школы, в соответствии с содержанием указанного учебника.	Критская Е. Д. и др. Музыка. 3 кл. — М.: Просвещение,  2015 г.
	3  по АОП НОО	Рабочая программа составлена на основе АОП НОО школы с задержкой психического развития (вариант 2), в соответствии с содержанием указанного учебника.	Критская Е. Д. и др. Музыка. 3 кл. — М.: Просвещение,  2015 г.
	4 по АОП НОО		Критская Е. Д. и др. Музыка. 4 кл. — М.: Просвещение,  2015 г.
Изобразительное искусство	2 по АОП НОО	Рабочая программа составлена на основе АОП НОО школы с задержкой психического развития (вариант 2), в соответствии с содержанием указанного учебника.	Неменская Л.А. / Под ред. Неменского Б.М. Изобразительное искусство 2 класс- М., Просвещение , 2015г.
	3	Рабочая программа по изобразительному искусству, разработанная на основе ООП НОО школы, в соответствии с содержанием указанного учебника.	Неменская Л.А. / Под ред. Неменского Б.М. Изобразительное искусство 3 класс.- М., Просвещение , 2015г.
	3  по АОП НОО	Рабочая программа составлена на основе АОП НОО школы с задержкой психического развития (вариант 2), в соответствии с содержанием указанного учебника.	Неменская Л.А. / Под ред. Неменского Б.М. Изобразительное искусство 3 класс.- М., Просвещение , 2015г.
	4 по АОП НОО		Неменская Л.А. / Под ред. Неменского Б.М. Изобразительное искусство 4 класс — М., Просвещение , 2015г.
Английский язык	3	Рабочая программа по английскому языку, разработанная на основе ООП НОО школы, в соответствии с содержанием указанного учебника.	Комарова Ю.А. Английский язык. Brilliant. 3 класс,учебник. .-М: Русское слово, 2015г.
	3  по АОП НОО	Рабочая программа составлена на основе АОП НОО школы с задержкой психического развития (вариант 2), в соответствии с содержанием указанного учебника.	Биболетова М.З. «Enjoy English» Учебник английского языка. 2 класс. М.: Титул, 2012г.
	4 по АОП НОО		Биболетова М.З. «Enjoy English» Учебник английского языка. 4 класс. М.: Титул, 2012г.

Красота и интуиция в преподавании математики

Аннотация

i

Интуиция была определена как случайное возникновение и развитие событий в счастливой и полезной способ. Beauty описывается в одном словаре как «сочетание качеств, таких как форма, цвет или форма, доставляет удовольствие чувствам или приятно возвышает разум или дух.В этой статье приводятся примеры того, как эти два аспекта опыта повлияли на то, что я хотел бы видеть в классах математики и в моей учебной программе работа по развитию, чтобы породить их, до и через работу математики школы Чикагского университета Проект.

Введение

ii

Возможность написать эту статью возникла из-за того, что я получил одну из двух премий ISDDE 2017 года за пожизненные достижения в разработка и разработка учебной программы, другая — Кей Стейси.Этот документ основан на представленном пленарном докладе. на конференции ISDDE 2018 года в Голуэе, Ирландия.

Я бы не получил эту награду без работы многих других людей. Принято говорить, что мы работаем над плечах гигантов, но на самом деле мы работаем у ног таких людей, как Поля, Фрейденталь или Кляйн, и многочисленные великие математики и преподаватели на протяжении веков и со всего мира, которые создали область, которая является нашей детская площадка.Но мы работаем плечом к плечу с нашими коллегами, коллегами и студентами, от которых мы многому учимся, и их труды нам помогают.

Получение этой награды особенное, потому что она исходит от моих коллег. Я хочу поблагодарить членов наградный комитет, и особенно благодарю Боба и Барбару Рейс за их работу по составлению документов для моего номинации и тем, кто написал письма поддержки. Эти люди внесли непосредственный вклад в мое получение этой награды.Но есть десятки других людей — нет, сотни других людей — без которых я бы не стоял раньше. ты. Некоторые будут указаны здесь, но я не могу назвать их всех.

Меня бы здесь тоже не было, если бы не интуитивная интуиция, многие удачные обстоятельства, которые пришли ко мне без всякой работы. в моей части. Поэтому я решил сделать интуитивную прозорливость одной из тем своих замечаний.

Удачная география

iii

Я родился в Чикаго и, окончив среднюю школу, поступил в ведущий университет моего штата, Университет Иллинойса, потому что туда учился мой брат.За много лет до этого я решил, что хочу преподавать математику.

Мой первый образовательный курс назывался «Введение в образование», и я был в секции для будущих учителей математики. Учителем в этом классе был Кеннет Хендерсон, профессор математического образования и одаренный учитель. Несколько лет спустя среди его докторантов были Джон Досси и Том Куни. Предмет этого класса включал подробное изучение материалов средней школы, разработанных Комитетом по школьной математике Университета Иллинойса (UICSM).UICSM, начатый в 1951 году Максом Беберманом (Beberman, 1958), был первым из проектов «новой математики» в Соединенных Штатах (Kinsella, 1965).

Материалы UICSM (UICSM, 1959; Beberman and Vaughan, 1964) начинались с урока, который в свое время был известен, переписки рукописным письмом между студентом из Соединенных Штатов и студентом на Аляске, в котором первый студент хочет чтобы помочь студенту из Аляски и, чтобы определить потребности студента из Аляски, задает студенту из Аляски несколько вопросов.

Среди них: «Убери 2 из 21.» Студент с Аляски пишет «1». «Сколько раз 3 переходит в 8?» Аляска студент отвечает «дважды». «Напишите число больше 4.» Студент с Аляски пишет 4 .

Целью урока было показать, что то, что вы пишете, является представлением концепции числа, а не самого числа. И то, что вы пишете, является числом, и этот урок научил различать число и число. Никто из нас, студентов университета, никогда не задумывался об этом различии.

UICSM очень осторожно использовал язык, но переборщил с этой конкретной идеей. Письмо, такое как x , используемое в уравнении, называлось не переменной, а местоимением , потому что оно означало числительное так же, как местоимение заменяет существительное. Описание алгебраических свойств, таких как распределительному свойству умножения над сложением предшествовали кванторы: ∀ a , ∀ b , ∀ c , a ( b + c ) = ab + ac.Существование личности было описывается: ∃ b ∋∀ a , a + b = a . Тщательно основывая решение уравнений и манипуляции с алгебраическими выражениями на этих свойств, UICSM принес математические системы и доказательства в изучение алгебры, идеи, которые ранее не был частью исследования этого предмета.

Мне понравился подход. Но более того, мне нравился тот факт, что к математике, которой меня учили одним способом, можно было подойти совершенно по-другому.UICSM научил нас, что это не только нормально, но и более того, что это было ценно, — внимательно смотреть на то, чему учат, потому что тщательное изучение математики может привести к лучшему лечению.

В стране есть всего несколько других университетов, в которых я мог бы получить аналогичный урок. И почему я получил это образование? Потому что Иллинойс был моим государственным университетом, и мой брат учился там. Это случайность, случайное возникновение и развитие событий счастливым или благоприятным образом .

UICSM организовал алгебру последовательным образом. Это было красиво. Больше не нужно изучать изолированные правила. Все можно проследить до свойств поля действительных чисел.

Пять лет спустя, когда я стал штатным учителем, я преподавал, используя материалы, на которые сильно повлияла SMSG, крупнейший из новых математических проектов в США. Как и в материалах штата Иллинойс, SMSG проследила свойства, используемые в алгебре, до самого начала. свойства поля действительных чисел. Не такой строгий подход, как UICSM, но опять же проявление возможности подойти к стандартному курсу математики существенно иным способом, чем существовавший ранее, способом, который был математически более последовательным, чем я когда-либо видел.Он отвечал критерию красоты, так как радовал мои чувства и возносил мой разум и дух. Красота математики позволяет иметь красивые уроки, разделы и курсы по математике.

Воспользовавшись интуицией

iv

Несколько лет назад я наблюдал, как одна из моих магистрантов преподавала в классе 12 ^{-го класса} вместе со своей ученицей. опыт преподавания.Темой дня было построение графиков в полярных координатах, и одним из примеров было построение графиков в полярных координатах. кардиоидный (см. рисунок 1).

Кардиоида получила свое название, потому что она имеет форму сердца. Сидя в глубине комнаты, я понял, что свидание в этот день как раз случилось 14 февраля ^года , День святого Валентина в США (и во многих других странах по всему миру). мир). И поэтому я ждал, пока этот ученик-учитель укажет, что эта кривая примерно напоминает сердце на Валентинка.

О связи никогда не упоминалось. Это был традиционный класс предварительного вычисления, в котором связи между математикой и реальным миром почти полностью отсутствовали, и здесь был шанс показать хотя бы небольшую часть связи, и возможность была упущена. Это совпадение, что эта тема попала в День святого Валентина. Это была возможность для интуитивной прозорливости, случайная встреча, которая, я думаю, обрадовала бы студентов.

Конечно, сердце Валентина не совсем похоже на кардиоиду, поэтому люди экспериментировали с различными математические выражения для отображения графиков, которые больше похожи на валентинки или сердечки на игральных картах.На рисунке 2 показаны некоторые из разнообразных выражений, образующих кривые, напоминающие кривые валентинки. сердце. Мне особенно нравится средняя кривая в верхнем ряду, график уравнения 6 ^и градусов в x и и с довольно коротким алгебраическим описанием. При соответствующем масштабировании он почти соответствует валентинке. сердце. Это прекрасный с эстетической точки зрения пример того, как алгебра может математически моделировать реальные объекты.Хорошо продуманная учебная программа даст учащимся понять, что математика может моделировать даже сложные геометрические фигуры. И он покажет или приведет ученика к другим красивым кривым с красивыми математическими описания.

Источник: Weisstein, Eric W. Heart Curve. Из MathWorld — Интернет-ресурс по Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HeartCurve.html

Как этот ученик-учитель мог пропустить связь между кардиоидой и Днем святого Валентина? Одна из причин в том, что наиболее распространенное размещение кардиоиды — с горизонтальной линией симметрии.Другая причина в том, что кардиоида в учебной программе, потому что она дает хороший пример кривой, описанной в полярных координатах r и θ , а не x и y , а не из-за его связи с сердечками или валентинками. Рутина и традиции часто мешают интуиции и часто приучают нас к красоте того, чему мы учим.

Элегантность преобразований

v

Красота в математике принимает разные формы.Одна из форм — elegance . Будучи докторантом В Мичиганском университете я искал темы, по которым я мог бы написать диссертацию, и Джозеф (Джо) Пейн, мой советник, посоветовал мне изучить использование таких преобразований, как отражения, вращения, переводы и так далее, в геометрии. Я изучил идею, и она мне понравилась. Меня очаровала элегантность определения совпадающие цифры в этом подходе. В традиционном подходе требуется другое определение конгруэнтности для каждый разный тип фигуры.Используя преобразования, нужно только одно определение. Таблица 1 показывает это.

Джо сказал, что не он был заинтересован в этой идее, а Арт Коксфорд, более молодой профессор университета. Арт подумал, что это может быть обычная диссертация по учебной программе — напишите 3-недельный или 6-недельный блок, попробуйте его и сравните с традиционными классами, чтобы увидеть, есть ли какие-либо различия, но к этому времени мы с Кеном Хендерсоном уже успели уже написал рукопись для годичного предварительного расчета (Henderson, Usiskin & Zaring, 1971).Я утверждал, что трехнедельные и шестинедельные блоки никогда не влияют на то, что изучается в более общем плане, поэтому мы должны написать годичный курс с использованием преобразований. И поэтому мы решили, что в течение следующего учебного года мы будем писать вместе, и каждый из нас будет пилотировать полный год 10 ^{-го класса геометрии} , используя то, что мы написали.

Летом снова вспыхнула интуиция. Я работал помощником директора в летнем институте учителей Национального научного фонда США (NSF).В офисной библиотеке режиссера Фила Джонса я нашел книгу с использованием преобразований Transformatiemeetkunde , написанную голландской командой под руководством Рудольфа Трельстры (Troelstra, Haberman, deGroot & Bulens, 1965). В этой книге первое, что делается с фигурой, — это доказательство ее симметрии, из которой можно автоматически вывести многие другие свойства.

Например, одна из первых теорем, изученных в геометрии средней школы, заключалась в том, что базовые углы равнобедренного треугольник конгруэнтны, т.е., у них такая же мера. При традиционном подходе разделяем равнобедренные треугольник на два треугольника, проведя отрезок от угла при вершине до середины основания (Рисунок 3а). Два образованных таким образом треугольника совпадают по SSS (сторона-сторона-сторона) и углам основания, являясь соответствующими углы этих треугольников, таким образом, должны совпадать. В подходе преобразования мы заключаем, что треугольник собственное изображение под отражением над этой биссектрисой, и поскольку один базовый угол является изображением другого, они должны быть конгруэнтным (рис. 3b).

Подход с преобразованием основан на нашей интуиции относительно отражательно-симметричных фигур и может быть применен к получить некоторые основные свойства параллелограммов, прямоугольников, квадратов, правильных многоугольников, конических сечений и многих других другие цифры (Coxford & Usiskin, 1971, 1972). Этим способом, преобразования представляют собой элегантный и интуитивно понятный способ приближения к евклидовой геометрии, подходящий не только для студенты, которые будут больше изучать математику, но также для студентов, которым трудно визуализировать и организовывать свойства фигур.В моей докторской диссертации, предпринятой на основе пересмотра пилотных материалов, сравнивались успеваемость и отношение 425 студентов, использующих эти материалы, 475 студентов, использующих традиционную геометрию материалы (Усискин, 1972). Коммерческое издание включило в себя еще доработка по результатам диссертационного исследования.

Разработка курса Геометрия — подход к трансформации произошла в конце 1960-х годов, незадолго до того, как рисунки Эшера стали известны в США.S.A. Когда в 1971 году появилось коммерческое издание, Гарольд Джейкобс поместил рисунок Эшера на обложку своей знаменитой книги Mathematics — A Human Endeavor (1971). Вскоре работы Эшера стали заметны повсюду, слово мозаика вошло в наш словарный запас, и мы увидели совпадающих лошадей, птиц, рыб и всевозможные другие фигуры. Красивое искусство и красивая математика.

Исследование паттернов

vi

Ряд людей охарактеризовали математику как изучение закономерностей , то есть изучение сходства. в структуре.Возможно, наиболее известные работы по математике и шаблонам принадлежат Г. Харди (1940).

«Математик, как художник или поэт, создает узоры… Математические узоры, как и узор художника или поэта, должны быть красивыми, идеи, такие как цвета или слова, должны гармонично сочетаться друг с другом. . Красота — это первое испытание; в мире нет постоянного места для уродливой математики ».

Есть что-то особенно приятное в осознании того, что некоторые математические свойства, которые выглядят по-разному, являются экземплярами одного и того же паттерна.Но в этом плане математика вовсе не уникальна. Исследователи во всех областях ищут общие черты. Математика описывает модели алгебраически или геометрически, а затем изучает сами закономерности, часто не обращая внимания на их происхождение.

Описание узоров так запечатлелось в нашем сознании, что буквы, которые мы используем, — это все, что нужно для обозначения параметр. В качестве примера в таблице 2 показаны шесть математически идентичных уравнений.В каждом произведении два числа — это третье число. Они различаются только буквами, используемыми для обозначения цифр, но этого достаточно, чтобы дайте нам знать, какую ситуацию они описывают. Читатель может захотеть охватить правую колонку этой таблицы. и угадайте, что представляет собой каждое уравнение в левом столбце.

Другой пример значения букв связан с построением парабол, что является темой во всех США. тексты по алгебре, обычно на втором году обучения алгебре.Студенты узнают, что вершина параболы с уравнение y = ( x + 3) ² + 5 можно увидеть в его уравнении. Сегодня они могут даже связать алгебру с геометрией, а именно с тем, что граф of y = ( x + 3) ² + 5 — это преобразованное изображение параболы с уравнением y = x ² . Чего они не узнают из большинства американских учебников, так это того, общая теорема, применимая ко всем переводным изображениям (Usiskin, 1975).В отношении, описанном предложением в x и y , следующие два процесса дают один и тот же график: (1) замена x на x — h и y x y — k ; (2) применяя трансляцию T ( x , y ) = ( x + h , y + k ) к графику исходного отношения. Некоторые Следствия этой теоремы о переносе графов показаны в таблице 3.

Непосредственные следствия теоремы о переводе графов пронизывают многие темы математики в старших классах. Однако, они замаскированы, потому что конкретные буквы h и k , которые сигнализируют о величине перевод обычно появляется только с кругом и параболой. Такие символы, как x ₀ , y ₀ , м , и b , и большинство студентов не понимают, что все следствия являются частными случаями одного и того же теорема.Им не говорят, что графики функций синуса и косинуса конгруэнтны, и что графики всех экспоненциальные и логарифмические функции с одинаковым основанием конгруэнтны. В США на протяжении многих десятилетий полемика относительно того, что лучше иметь трехлетнюю последовательность алгебра-геометрия-алгебра или то, что называется интегрированная последовательность. Вот замечательный пример интеграции алгебры и геометрии, которая должна быть в обоих последовательности, но, насколько мне известно, можно найти только в материалах UCSMP.Но основа была сделана задолго до UCSMP. существовал.

Переводы координатных графов, которые являются предметом теоремы о переносе графов, выполняются добавление фиксированных значений к координатам прообраза. Красивая соответствующая мультипликативная структура дает растягивает и сжимает графики. Мы называем эту теорему теоремой об изменении масштаба графа (Usiskin, 1975; Рубинштейн, Шульц, Сенк, Хакворт, МакКоннелл и Виктора, 1992).В отношении, описанном предложением x и и , следующие два процесса дают один и тот же график (1) с заменой x на x / на и y by y / b ; (2) применение изменения масштаба T ( x , y ) = ( ax , на ) к графику исходного отношения.

Там, где мы складывали раньше, мы умножаем здесь. То, что мы вычитали раньше, мы делим.Опять же, есть множество полезных следствия, наиболее частые из которых приведены в таблице 4. Следствием этого является то, что все параболы похоже, что все прямоугольные гиперболы похожи, и что графики всех экспоненциальных и логарифмических функций похожи вне зависимости от базы. При создании учебной программы для студентов я счел важным включить эти чудесные объединяющие теоремы — красивая элегантная математика.

Приближение к алгебре через приложения

vii

Пока я разыгрывал учебные проявления прекрасной математики матриц и связанных групп с преобразованиями мой коллега из Чикагского университета Макс Белл писал о фундаментальных важность приложений в изучении математики (Bell, 1972).Максимум был мощным сторонником включения реального мира в класс математики. Он утверждал (как Торндайк, Cobb, Orleans, Symonds, Wald & Woodyard. (1923) десятилетия назад утверждал), что традиционные «проблемы со словами» (или «сюжетные задачи»), встречающиеся в текстах по алгебре — те, которые касаются монет, возраста или целых чисел — не были актуальные приложения. Я убедился, что он прав.

В то время около трех четвертей выпускников средних школ в США.S.A. закончили один год алгебры, и только половина из них закончила второй год, однако книги для этих двух курсов были написаны в том же стиле, как если бы они были для одного и того же населения. Я чувствовал, что им нужны разные стили; первый курс должен был понравиться всем. Итак, в 1973 году я подал заявку и получил грант NSF на разработку начального курса алгебры, в котором алгебра будет разрабатываться из приложений, а также будут учитываться вероятность и статистика. Я нашел типичную школу и наладил отношения, как и в других местах, а именно: вести урок алгебры каждый день в течение всего года, а кто-то другой преподает тот же урок позже в тот же день классу похожих учеников.

Как начать такой курс? Макс писал об использовании чисел и четырех основных арифметических операциях, поэтому я начал с этого и расширил обсуждение до использования переменных. Это, естественно, приведет к реальным ситуациям, приводящим к выражениям и линейным уравнениям типа a + x = b , ax = b , ax + b = c x + d , а также в различных проявлениях свойства распределения, построении графиков линий и, расширяя умножение до целых степеней, обсуждение может привести к сложным процентным ставкам и экспоненциальным функциям.Квадратичные выражения и уравнения могут обрабатываться стандартными приложениями для подсчета, площади и ускорения.

Но я понятия не имел, как использовать приложения для получения полиномиальных выражений. А потом, в этом классе 9 ^{-го класса} , когда мы обсуждали сложные проценты, студент поднял руку с вопросом. Он сказал: «Я перебирал домашнее задание с моим отцом, и он спросил меня, имеет ли эта математика какое-либо отношение к сумме, которую мы платим за наши ипотечный кредит.Я подумал: «Его отец решил мою проблему». Отсюда урок по введению многочленов, которые я ни разу не видел никого копировать. Урок начинается со следующей задачи (Usiskin, 1979), показанной здесь в Рисунок 4.

После того, как решение дается на уроке, ответ анализируется (как показано на рисунке 4), и различные компоненты полиномиального выражения изменяются, чтобы показать вклад коэффициентов и показателей.На этом этапе обучения общая формула для расчета стоимости ипотеки не имеет смысла, поскольку для этого требуется некоторое знание суммы конечного геометрического ряда. Но зародыш идеи здесь.

Я не знаю, как бы я подошел к полиномам в этом курсе, если бы этот студент не передал мне вопрос своего отца. Я знаю, что это был один из многих случаев, когда на содержание моих писем значительно повлияло то, что происходило в классе, когда я преподавал.Обучение увеличивает вероятность того, что произойдет что-то неожиданное.

Интуиция и статистика

viii

Сорок лет назад статистика в школьных учебниках по математике в США относилась только к вычислению среднего, медианы и модуляции, обычно выполнявшемуся в 7 и 8 классах перед старшей школой. Но в поисках реальных приложений математики, включающей алгебру, я все время натыкался на статистику.

Serendipity поместила Билла Крускала в район моего факультета.Билл был профессором статистики в Чикаго, в прошлом возглавлял этот факультет и был одним из первых членов объединенного комитета NCTM и Американской статистической ассоциации по статистике в школах. Я спросил Билла, посмотрит ли он статистику в материалах по алгебре, которые я создавал, и он согласился.

Билл был крутым читателем. Он нацарапал всю мою рукопись. Он утверждал, что статистика не является подмножеством математики. Это прикладная математика, такая как исследование операций или физика, потому что проблемы в статистике возникают не в математике, а для того, чтобы проводить статистику, человеку необходимо знать не только математические, но и соответствующие области.

Билл гордился тем, что работал статистиком в Чикаго. В Чикаго отдел статистики отделился от математического вскоре после Второй мировой войны, и факультет статистики твердо верил, что статистика — это самостоятельная дисциплина. Первые строки книги Природа статистики (Wallis & Roberts, 1954) подтверждают эту точку зрения.

«Статистика — это совокупность методов для принятия мудрых решений в условиях неопределенности… Эта современная концепция тема далека от той, которой обычно придерживаются непрофессионалы.Действительно, даже пионеры статистических исследований принял его только в течение последнего десятилетия или около того ». (Уоллис и Робертс, 1954 г.)

Для разработчиков учебных программ это различие заслуживает внимания. В текстах по математике часто используются термины теоретическая вероятность и экспериментальная вероятность, чтобы различать, например, (теоретическую) вероятность подбрасывания честной монеты (½) и то, что вы получаете, когда подбрасываете монету (что-то около ½).Билл Краскал утверждал, что все вероятности являются теоретическими и что то, что математики называют экспериментальной вероятностью , более точно описывается как относительная частота .

В книгах часто возникают проблемы со следующей формулировкой: Если вы бросите честный кубик, какова вероятность выпадения 3 орлов подряд? Статистики сказали бы, что нельзя бросить честный кубик. Абсолютно невозможно определить, является ли кубик честным или нет. Вы можете только представить, что бросает честный кубик.Вы можете предположить, что игральная кость справедлива и затем рассуждать на основании этого. Больше чем семантика. С этой точки зрения вероятностные задачи представляют собой прекрасные примеры вывода из предполагаемых утверждений.

Статистика эволюционировала за последние четыре десятилетия. Более актуальное определение звучит так: «Статистика — это наука о данных». (Йейтс, Мур и Старнс, 2003 г.).

Применение арифметики

ix

Десятилетие 1970-х было временем спада в математическом образовании в Соединенных Штатах, что очень похоже на наше нынешнее десятилетие.За исключением моего проекта по алгебре, NSF больше не финансировал разработку учебных программ по математике. Реакция на «новую математику» шестидесятых годов во многом была вызвана бихевиоризмом, заставившим многие школы сосредоточиться на поведенческих или производственных задачах, которые в основном были манипулятивными навыками в арифметике и алгебре, не слишком отличавшимися от сегодняшнего Common Core (Центр ассоциации национальных губернаторов). for Best Practices, Совет директоров государственных школ, 2010 г.). Запрограммированные учебные материалы разбивали учебную программу на небольшие этапы, не слишком отличавшиеся от сегодняшнего адаптивного формирующего и суммативного тестирования.И все это в то же десятилетие, что и портативные калькуляторы. Чему можно было научить, если калькуляторы могли делать все арифметические операции?

В 1976 году нас с Максом Беллом попросила написать эссе по этому вопросу Мэрилин Сэйдам, которая вместе с Диком Шамуэем из Университета штата Огайо писала для NSF отчет об электронных калькуляторах (Suydam, 1976). Наше эссе объемом 75 страниц было приложением к этому отчету. И мы только поцарапали поверхность. Итак, мы обратились в NSF за грантом для написания материалов о применении арифметики, поскольку мы чувствовали, что с калькуляторами основное внимание в учебной программе должно уделяться использованию арифметики, а не арифметическим алгоритмам.В результате появилась рукопись объемом более 500 страниц (Usiskin & Bell, 1983), которую мы разделили на три части: числа, операции и маневры (переписывание, оценка, преобразование, отображение).

Когда мы писали эту рукопись, стало очевидно, что назвал свойств операций арифметика в книгах — это чистая математика: умножение ассоциативно и коммутативно, имеет тождество 1, равно распределительный над сложением и т. д.Но фундаментальный использует операций, которым не дается такой вид статус. Мы назвали эти значениями использования , и основные из них показаны в таблице 5. (Из Usiskin & Bell, 1983)

Наше мнение заключалось в том, что, поскольку именно эти значения использования сделали операции важными за пределами математики, они были истоком абстракций, которые создали математику, и что значения использования должны быть свойствами, которым учат студентов с такой же важностью, как и чисто математические свойства. которые есть в учебной программе.

Другие (например, см. Карпентер, Мозер и Ромберг, 1982; или Стиглер, Фусон, Хэм и Ким, 1986) детализировали больше видов словесных задач, связанных с арифметическими операциями, чем мы, но наша точка зрения была с точки зрения основных значений из которого могут быть получены другие значения. В результате получается очень хорошее сочетание чистой и прикладной математики. Например, очевидно, что объединение и вынос отменяют друг друга, но то же самое происходит с изменением размера и соотношения. То есть, если две одинаковые фигурки имеют высоту 15 и 25 см, то деление на пропорции говорит нам, что большая фигурка составляет 5/3 высоты меньшей.Число 5/3 — коэффициент изменения размера; если мы умножим 15 на 5/3, мы получим 25. Точно так же и коэффициент ставки, и действие при умножении возникают из деления ставки. Если мы не раскрываем эти способы использования, мы обучаем точно так же, как этот ученик-учитель с кардиоидой; пользователи смотрят нам в глаза, но мы их игнорируем.

Теория Ван Хиле

x

Примерно в это время Исаак Виршуп, профессор математики в университете, рекламировал теорию сцены, разработанную Пьером ван Хиле и Диной ван Хиле-Гельдоф, учениками Ганса Фройденталя в Нидерландах.Виршуп сообщил, что эту теорию использовал советский математик Пышкало при построении учебной программы для молодых студентов. Исследователи из США были увлечены теорией, которая предполагала, что ученик должен пройти следующие этапы в понимании геометрии и в таком порядке: признание, анализ, порядок, дедукция и строгость.

Теория изящная. Ученик не может быть на уровне n по ван Хиле, не пройдя уровень n -1.То, что является внутренним на уровне n -1, становится внешним на уровне n . На каждом уровне есть свои лингвистические символы и своя сеть взаимоотношений. Два человека, рассуждающие на разных уровнях, не могут понять друг друга. Эта теория была использована для объяснения некоторых трудностей, с которыми студенты сталкивались в то время типичном для средней школы курсе геометрии в США

.

Я скептически относился к этой теории, особенно к первому свойству. Я чувствовал, что не прошел через эти стадии, как и многие другие представители моего поколения.В те дни студенты углублялись в изучение геометрии на уровне 3 или уровне 4. Мы с Шэрон Сенк, в то время докторантом, решили подать заявку на финансирование от Национального института образования на тест теории. Мы разработали грубый тест вопросов для каждого уровня, основанный на трудах Пьера и Дины ван Хиле, и провели его лично, когда он посетил Чикагский университет. Мы провели тест около 2400 студентов-геометров в 5 штатах США и обнаружили, как и предсказывал Виршуп, большинство студентов были на уровнях 1 и 2, и нельзя было ожидать, что они преуспеют в ориентированном на доказательства курсе геометрии.Мы также обнаружили, что есть студенты, которым нельзя присвоить уровень. Уровни разумно предсказывали успеваемость по курсу геометрии, как и простой тест содержания, проведенный в начале года.

Разработанный нами тест (Usiskin, 1982) был переведен как минимум на 10 языков и использован в десятках кандидатских и докторских диссертаций. Диссертации. Практически каждый, кто использует тест, считает, что теория верна, и не считает, что наш тест был разработан для проверки теории.

UCSMP и Serendipity

xi

Моя связь с UCSMP возникла в результате того, что я снова оказался в нужном месте в нужное время. Осенью 1982 года, когда мы завершали исследование van Hiele и рукопись Applying Arithmetic , Изаак Виршуп работал над возможностью получения университетом 6-летнего гранта в размере 6 миллионов долларов от фонда Amoco Foundation. благотворительное подразделение Amoco Corporation (ныне BP), если бы мы были заинтересованы, и университет разрешил бы проект с такой беспрецедентной продолжительностью и финансированием.Не было очевидно, что университет согласится на такой проект, потому что для чего-то такого масштаба требуется много офисных и рабочих помещений, а пространство является очень ценным товаром в университете.

Изаак и Пол Салли из Департамента математики, я, Ларри Хеджес и Сьюзан Стодольски из Департамента образования встречались еженедельно до весны 1983 года. Мы предложили проект K-12 по математике, который будет основываться на проделанной работе. мир, чтобы создать и протестировать полную учебную программу по математике для подавляющего большинства U.С. студенты. Нас поддержали председатели наших отделов Феликс Браудер и Чарльз Бидуэлл. Два заведующих кафедрой, Изаак, Пол и я — пять профессоров — принесли наше дело ректору университета. Проректор сказал, что университет может позволить себе место для проекта стоимостью 5 миллионов долларов. Мы знали, что нам нужно в общей сложности около 12 миллионов долларов, чтобы сделать то, что мы планировали (что эквивалентно примерно 30 миллионам долларов сегодня), но мы не сказали об этом ректору. Проректор одобрил проект при условии, что фонд Amoco не сократит другие пожертвования университету.Фонд сдержал слово.

С самого начала мы разделили проект на четыре компонента: компонент ресурсов, возглавляемый Изааком, который будет переводить материалы из других стран для поддержки работы элементарного компонента в классах K-6 и второстепенного компонента в классах 7-12, и компонент оценки, возглавляемый Ларри и Сьюзен, для количественного и качественного исследования работы, проделанной компонентами уровня класса.

Было сочтено, что для того, чтобы измениться, первая работа в K-6 должна быть связана с образованием учителей.Пол Салли и местный учитель Шейла Сконьер возглавили этот компонент. Было понятно, что я буду направлять компонент 7-12. В отличие от тех, кто занимается с классами K-6, я чувствовал, что учителям 7–12 классов необходимо просмотреть материалы, прежде чем они изменятся. Существование UCSMP предоставило уникальную возможность объединить различные работы, которые занимали мое время в течение предыдущих 16 лет. Это означало, что основные темы и многие подробные разработки более ранней работы — приложения, преобразования, использование калькуляционной технологии — могут быть перенесены.

В начале UCSMP Макс Белл был в отпуске из университета. Пройдет два года, прежде чем он вернется, а затем он приступит к проектированию и разработке учебной программы UCSMP для классов preK-6, учебной программы, все еще весьма успешной с коммерческой точки зрения под названием Everyday Mathematics (UCSMP, 2016). Сегодня эти усилия возглавляет Энди Айзекс. В Приложении A приводится полная информация об опубликованных, предпубликационных и тестовых версиях вторичных материалов UCSMP. При этом в приложении также указывается объем работы над коммерческими выпусками.

Два конкурирующих прекрасных аспекта математики

xii

В европейской традиции мы склонны считать книгу Евклида Elements (Heath, 1956) первым учебником математики. Это, безусловно, оказало наибольшее влияние на установление доказательства как определяющего фактора истинности математического утверждения. В этом отношении развитие всей геометрии и теории чисел в Elements является прекрасным. На протяжении двух тысячелетий это оказало большое влияние на преподавание геометрии в Европе, а затем и в Америке.

Алгебра развивается отдельно от геометрии. Несмотря на то, что Декарт и Ферма разработали аналитическую геометрию в 1600-х годах, менее чем через полвека после новаторской работы Вите с переменными, Эйлера 1770 Vollständige Anleitung zur Algebra ( Полное руководство по алгебре) , прототипа текстов по алгебре, которые последовали за ним, не содержит геометрии (Эйлер, 1972).

В конце 19, ^-го, -го века, более 100 лет назад, два U.В национальных отчетах (Национальная ассоциация образования, 1894; Янг, 1899) был установлен годичный курс алгебры, за которым следует годовой курс демонстративной геометрии, как 9 и 10 курсов для учащихся начального уровня по математике. «Демонстрационный» означает, что курс геометрии очень ориентирован на доказательства, а теоремы демонстрируются доказательствами. Напротив, хотя правила или свойства будут приводиться в качестве обоснования шагов в решении уравнений или упрощении выражений, в курсе алгебры не упоминается доказательство.Постепенно за курсом геометрии последовал второй годичный курс алгебры, возможно, с некоторой тригонометрией, опять же с небольшими доказательствами или без них. Таким образом, последовательность алгебра-геометрия-алгебра закрепилась в большинстве школьных округов; кроме того, курсы алгебры не содержали почти ничего, если вообще не содержали геометрии, а курс геометрии почти не содержал алгебры. Сегодня эта последовательность начинается в 8 ^{-м классе} примерно для одной трети учащихся в США

.

Работа с приложениями алгебры показала, что одна из причин, по которой студенты не могли применять алгебру, заключалась в том, что они не могли применять арифметику за пределами малых целых чисел.Работа ван Хиле показала, что большинство учеников поступили на курс геометрии в старших классах школы со слишком слабыми знаниями геометрии, чтобы хорошо успеть на курсе. Итак, еще до начала UCSMP осенью 1983 года я решил пойти в школу, чтобы написать и преподавать книгу, которая объединяла бы приложения арифметики с подготовкой студентов к алгебре и геометрии. Эта книга стала Математика переходов .

В то время как Переходная математика писалась, мы пригласили шесть лучших специалистов по разработке учебных программ в стране в качестве консультативной группы, чтобы помочь определить, какими будут следующие пять курсов.Основная проблема касалась последовательности алгебра-геометрия-алгебра. С начала 20 ^— -го века были сторонники интеграции алгебры и геометрии, то есть преподавания некоторой геометрии и некоторой алгебры каждый год, и книги, реализующие интегрированную учебную программу, были нам известны, хотя их редко можно было найти в школах. Итак, один из первых вопросов, стоящих перед нами в UCSMP, заключался в том, должны ли мы интегрировать алгебру и геометрию в годы после Transition Mathematics .

Многие из консультативных групп, как известно, предпочитали трехлетнюю последовательность, которая охватывала бы традиционную алгебру и геометрическое содержание, но без всякой геометрии за один год. Результатом группового мышления стал первый год, который был почти полностью посвящен алгебре с небольшой геометрией, второй год, который начался с большого количества алгебры и закончился большим количеством геометрии, и третий год, который продолжил работу по геометрии и закончился много алгебры.

В конечном итоге это было мое решение сохранить последовательность алгебра-геометрия-алгебра, потому что альтернатива, созданная этой группой, была близка к этой последовательности, и я не хотел бороться с требованиями штата, округа и школы, которые обычно требовали двух курсов алгебры и одного. курс геометрии.Я чувствовал, что мы могли бы использовать приложения геометрии во всех наших курсах алгебры и задействовать алгебру во всех наших курсах геометрии. Результатом стал первый курс, который можно было бы описать как «поезд алгебры», на котором пассажиры изучают арифметику, геометрию и статистику; второй курс, который можно было бы описать как «поезд геометрии», на котором пассажиры-алгебры; и второй курс «поезда алгебры», в котором участвуют геометрия и тригонометрия. Все это использует прекрасный аспект математики; что математика едина в том смысле, что результаты одного раздела математики могут быть использованы в другом.

Традиционные ориентированные на доказательство курсы геометрии в США начали с того, что отметили, что точка, линия и плоскость — это три термина, которые не определены, потому что мы не можем определить все термины, не имея круговых определений. Вместо определений утверждаются определенные постулаты, что неявно определяет, какой точкой, линией и плоскостью может быть; такие постулаты, как «есть ровно одна линия, проходящая через две точки» и «учитывая точку и линию, существует ровно одна линия, содержащая эту точку и параллельная данной линии.«Большинству учителей и учеников неопределенные термины кажутся слабостью. Но когда вы интегрируете алгебру в курс геометрии, она становится сильной стороной.

UCSMP Геометрия (Coxford, Hirschhorn & Usiskin, 1991; Usiskin et al., 1997; Benson et al., 2009) начинается с геометрического представления точек и линий, в котором из постулатов типа «Через два в разных точках есть ровно одна линия ». учащихся заставляют думать, что точка обозначает место на плоской поверхности, а линии — это продолжение того, что мы рисуем с помощью линейок.Но затем, в следующем уроке, мы отметим, что те же постулаты охватывают геометрию, в которой точка — это упорядоченная пара действительных чисел, а линия — это набор упорядоченных пар, которые удовлетворяют уравнению вида. Таким образом, с самого начала курса геометрии мы оправдываем использование синтетических нечисловых методов, а также аналитической или координатной геометрии. Этот подход использует красоту дедукции, а также красоту единства математики и позволяет одновременно использовать алгебру и геометрию во всех последующих курсах.

Красота связей

xiii

Основываясь на обсуждениях консультативной группы, мы решили, что последние два курса должны иметь по две темы: функции и статистика для курса 11 ^{-го класса} и предварительные вычисления и дискретная математика для курса 12 ^{-го класса} . Тригонометрия была добавлена ​​к названию первого из этих курсов, чтобы сделать текст пригодным для использования в районах, где требовался курс тригонометрии.

Со статистикой в ​​качестве «пассажира» в курсе алгебры и функциями и статистикой в ​​качестве основных тем в курсе 11 ^{-й класс} , мы обнаружили много способов, которыми идеи из одной из этих тем были связаны с идеями в другой.Например, сигма-нотация, используемая в сериях, была введена необходимостью суммирования данных для вычисления простая статистика уже на первом курсе алгебры. На курсе UCSMP 11 ^th мы смогли: обсудить переводы изображений графиков функций и отношений наряду с добавлением или вычитанием константы из все элементы в наборе данных, чтобы установить среднее значение 0. Мы могли бы обсудить масштабные преобразования графиков вместе с масштабирование данных, когда мы хотели нормализовать эти данные до стандартного отклонения, равного 1.В таблице 6 показаны эти и другие способы, которыми мы используем темы из статистики, чтобы мотивировать или применять традиционные темы математики.

Последний курс UCSMP должен был объединить темы предварительного вычисления, необходимые для успеха в исчислении, с дискретной математикой, которая будет полезна в информатике. Таким образом, мы добавили год к стандартной учебной программе академической школы, но начали концентрированное изучение алгебры на год раньше обычного. Имея предварительное вычисление и дискретную математику в качестве двух основных тем нашего курса 12 ^–, мы смогли объединить идеи, которые обычно разделяются.Например, мы смогли применить идеи формальной логики, чтобы объяснить, почему решение некоторых уравнений приводит к так называемым посторонним решениям. Мы могли бы обсудить факторизацию целых чисел вместе с факторизацией многочленов, простые целые числа вместе с простыми многочленами, наименьшее общее кратное целых чисел вместе с наименьшим общим кратным многочленов и так далее. И мы могли бы объединить идеи из этого курса с идеями из всех наших предыдущих курсов.

В 1623 году, когда Галилей написал в своей книге Il Saggiatore («Пробирный»), что Вселенная написана на языке математики, он был частью новаторского движения, принявшего то, что мы сегодня называем научным методом.Одна из целей школьной математики — познакомить учащихся с этим языком, но недостаточно ценится то, что язык математики может принимать разные формы, и необходимо научить учащихся, как переходить из одной формы в другую. Возможность разрабатывать многолетние учебные программы дала возможность обсуждать одну и ту же идею совершенно разными способами, обеспечивая прекрасные математические связи.

Рассмотрим понятие последовательных поворотов вокруг точки.Эволюция начинается в младших классах с физического поворачивая, что мы можем измерять в градусах или оборотах, и мы добавляем эти меры, чтобы получить результат. Вращения Около точки на плоскости находятся математическая модель физического действия. В геометрии, когда мы обсуждаем, что такое иногда это называется «сложение углов» или «свойство смежного угла», мы обычно проводим руками, чтобы соединиться с физическое действие, хотя евклидова геометрия статична — фигуры не двигаются.В координатной плоскости мы можем представляют поворот вокруг начала координат матрицей 2 x 2, а последовательные вращения — умножением матриц. Когда мы запишите вращения величин x и y в матричной форме, как на рисунке 5, и умножьте матрицы, получаем формулы для cos (x + y) и sin (x + y) в одну строку. Фактически, мы получаем каждый формула дважды. Прекрасная математика.

Потому что хорошей и доступной математики для учащихся гораздо больше, чем мы можем уместить в школьной математике. учебной программы, если бы мы использовали только матрицы в этой настройке, было бы неэкономично тратить время на разработку механизмы, необходимые для демонстрации элегантного вывода формулы для R _x , которая используется на рисунке 5.Однако у матриц гораздо больше приложений, чем у этого — для понимания других преобразований, для решения системы уравнений, к сетям и цепям Маркова.

Элегантная теория математического понимания

xiv

В ходе пленарного выступления ICME в 2008 году Джереми Килпатрик отметил, что «математическое образование не похоже на другие области науки» (Artigue & Kilpatrick, 2008). Он процитировал заявление в Эрлангенском обращении Феликса Кляйна в 1872 году о том, что

«Каждое математическое поколение опирается на достижения своих предшественников, тогда как в других областях [включая математическое образование] часто бывает, что старые здания сносят до того, как можно будет построить новое. продолжить.”

Джереми отметил, что «мы не всегда начинаем полностью с нуля, но мы много сносим, ​​а также строим».

Однако я считаю, что между математикой и математическим образованием есть промежуток, в котором есть вечные истины. В этом пространстве мы стремимся к тому, чтобы учащиеся «понимали» математику, которую они изучают. Для материалов UCSMP это понимание рассматривается открыто и включает четыре аспекта (Usiskin, 2015):

1. измерение навыка-алгоритма, которое варьируется от механического применения алгоритма до изучения алгоритмов и изобретения новых алгоритмов;
2. измерение доказательства собственности, которое варьируется от механического обоснования свойств до написания доказательств и открытия новых свойств;
3. измерение «использование-приложение», которое варьируется от простейших применений, известных каждому, до использования известных математических моделей, а затем и изобретения новых; и
4. измерение представления-метафоры, которое варьируется от повторения известных изображений математических идей до изобретения новых представлений.

Такой многогранный взгляд на понимание необходим, потому что для разных людей каждое из этих измерений преобладает над другими тремя по важности. Пресловутый «средний человек с улицы» склонен думать, что вы разбираетесь в математике, если знаете, как получить ответы на математические вопросы. Математики склонны рассматривать человека как понимающего математику, если он может сослаться на свойства, объясняющие рассматриваемую математику. Инженеры склонны полагать, что вы не поймете математику по-настоящему, пока не сможете применить ее к реальным ситуациям.И многие психологи думают, что реального понимания означает способность каким-то образом представить математику, возможно, с помощью метафоры. Все эти четыре аспекта присутствуют в преподавании и изучении математики и удивительно независимы друг от друга. Вот почему я называю их размерами. Практически для каждой концепции учебной программы UCSMP, наших уроков и тестов мы стремимся познакомить учащихся со всеми четырьмя измерениями. Кроме того, есть по крайней мере еще одно измерение в понимании математики — историко-социальное измерение — как математика развивалась и находилась под влиянием социальных сил; этот способ обычно игнорируется в классах.

Одним из следствий многомерного взгляда на понимание является то, что мы постоянно вовлекались в геометрические представления числовых и алгебраических идей и в алгебраические представления геометрических идей. Таким образом, такой подход к пониманию помог нам воспользоваться преимуществом общего единства математики. И хотя это кажется сложным взглядом на понимание, в некотором смысле это элегантная структура для очень неэлегантной реальности.

Через некоторое время мы начали понимать, что наши авторы, как правило, предпочитали одно или два измерения понимания математики другим.При написании прозы и задач некоторые, как правило, сосредотачивались на навыках, некоторые на математических свойствах, некоторые на приложениях, некоторые на представлениях, а некоторые на историко-социальном измерении. Мы учли эти сильные стороны при создании наших писательских команд, и я думаю, что это обогатило наши материалы.

Команды писателей и процесс письма

xv

Разработка хорошей учебной программы требует не только знания математики, но и умения писать понятный и интересный материал.С самого начала талантливые люди участвовали в написании текстов UCSMP (см. Ссылки на UCSMP в конце этой статьи). После того, как я написал первый черновик Переходной математики , четыре очень умных и опытных местных учителя отредактировали материалы. Для каждого из других курсов мы выбрали опытных авторов в качестве руководителей групп. Джон МакКоннелл был главой отдела математики в местной средней школе и получил докторскую степень по математическому образованию в Северо-Западном университете, изучая отношения между учителями и студентами по алгебре 9 ^{-го класса} (МакКоннелл, 1978).Он стал руководителем нашей группы алгебры. Шэрон Сенк, учительница средней школы в Ньютоне, штат Массачусетс, преподавала ученикам геометрию и продвинутую алгебру. Кроме того, в исследовании ван Хиле она изучала успеваемость студентов по доказательству (Senk, 1985). Она согласилась возглавить группу продвинутой алгебры. Чтобы заполнить группы по алгебре, мы разместили рекламу на национальном уровне, попросили кандидатов прислать образцы письменных работ, а затем пригласили финалистов, чтобы оценить их способность работать с командой, чтобы планировать и писать на месте.Таким образом мы получили некоторых талантливых авторов. Что касается геометрии, мне удалось убедить Арта Коксфорда снова заняться этим.

На последних двух курсах два человека разделили лидерство. Изначально курс мы называли Functions and Statistics , а теперь — FST , у нас были Рета Рубенштейн, в то время учительница в государственных школах Детройта, которая была замечательным автором в нашей группе продвинутой алгебры, и Джим Шульц, профессор. из Университета штата Огайо (позже переехавшего в Университет Огайо), который уже написал замечательный учебник по математике для учителей начальной школы (Schultz, 1977).Для Precalculus and Discrete Mathematics мы убедили двух математиков, Тони Пересини и Сюзанну Эпп, стать соруководителями. Тони взял на себя инициативу по частям предварительного вычисления, в то время как Сюзанна, написав учебник по дискретной математике для колледжа (Epp, 1990), взяла на себя инициативу по урокам дискретной математики.

За исключением FST, который в основном писался вне университета, команды писателей работали летом от 6 до 8 недель, 5 дней в неделю, в одной комнате, достаточно большой, чтобы разместить их с одним или двумя студентами-редакторами и справочными материалами.Планировочные встречи были постоянными. Я старался присутствовать на каждой встрече по планированию и был последним редактором на каждом уроке. Видимо, я был крутым редактором. Несколько лет назад на «жарке» после ужина в мою честь некоторые авторы подготовили скетч о моем редактировании. В скетче один из авторов прыгает от радости, когда видит, что написанное ею слово пережило мое редактирование — слово «the».

После того, как тексты по алгебре были написаны, мы поняли, что редакторы наших докторантов (Дэн Хиршхорн, Дора Аксой, Джим Фландерс, Барри Киссейн, Джефф Бирки и Грег Макрилл) делали много авторской работы, и мы сочли целесообразным идентифицировать их как авторов.Им помогали другие студенты университета, которые вычитывали текст и давали ответы и решения проблем. Студенты в университете также были нашими производителями, которые брали рукописный текст и переводили его в книжную форму, чтобы материалы можно было тестировать на все большем и большем числе студентов. За эти годы мы наняли более 200 студентов Чикагского университета в качестве редакторов или помощников по производству.

Нашими полевыми тестовыми версиями были черно-белые издания в мягкой обложке или в спиральном переплете.В первых двух выпусках этой работой руководила Сьюзан Чанг. Режиссером третьего выпуска был Бен Бальскус. Когда наши книги стали коммерчески издаваться, наши издатели сделали полноцветное издание в твердом переплете и прилагаемое к нему издание для учителей. Но было исключение — под руководством Бена мы сами выполнили коммерческое производство двух последних книг третьего издания. Наличие редакторов в помещениях, примыкающих к окончательной постановке, было чрезвычайно эффективным и, на наш взгляд, беспрецедентным случаем.

Также пришлось провести большие исследования наших материалов. Сначала Ларри Хеджес и Сьюзан Стодольски руководили нашими итоговыми исследованиями. Через несколько лет нам стало ясно, что наше желание иметь независимых оценщиков в UCSMP оставило нас без некоторых видов данных, которые мы очень хотели. Например, нас очень интересовало влияние калькуляторов на обучение студентов, но оценщики сочли это незначительной проблемой. В результате мы с Шэрон Сенк поделились большей частью работы над более поздними оценками первого издания.Затем Денисс Томпсон, которая начала с нами, будучи отобранной в конкурсе авторов, а затем стала докторантом, решила использовать тестирование Precalculus и Discrete Mathematics для своей докторской диссертации, а затем стала директором наших исследований (Thompson , Senk, et al., Несколько лет).

Первое издание было закончено в 1991 году, и в результате продаж наш издатель попросил нас немедленно начать работу над вторым изданием. Для второго издания мы пригласили многих из авторов первого издания и повторили конкурс, чтобы заполнить авторские команды.Два новых имени появляются в трех книгах каждая: Дэвид Витонски, редактор, и Нильс Абель, учитель средней школы, который с тех пор много лет возглавлял отдел в частной школе Дирфилд Академии в Массачусетсе. Нильс воплощает принцип, который неоднократно подтверждался на протяжении многих лет, а именно, что в наших школах есть учителя математики, чьи знания и способности в области школьной математики не уступают любым университетским профессорам в нашей области. Второе издание было сделано к 1997 году.

Для третьего издания мы поменяли издателей и работали с 2005 по 2010 год. Мы также добавили курс, предшествующий Transition Mathematics, чтобы отразить изменения в США в концепции средней школы для 6-8 классов. Это чрезвычайно важно для многих. Автором этого издания была Натали Якуцин, которая пришла к нам в качестве опытного учителя, помогавшего редактировать первое издание Advanced Algebra . Для второго издания она отвечала за редактирование рукописей каждой книги.Затем она вернулась к преподаванию на полную ставку, но вернулась к написанию третьего издания, а совсем недавно она возглавила работу по созданию цифровой платформы для семи книг третьего издания.

Наконец, важно признать, что проект такого размера требует административной группы. Кэрол Сигел, наш офис-менеджер в течение трех десятилетий, руководила пятью из семи международных конференций, которые UCSMP проводил в Чикагском университете с 1985 года, включая две самые последние под эгидой Центра изучения математики, поддерживаемого NSF.Она также помогла отобрать всех претендентов на редакционные и производственные должности в UCSMP, и благодаря ей и другому административному персоналу мы постоянно собирали необычайно хорошую команду поддержки для наших усилий по написанию, редактированию и производству.

Более подробную информацию о дизайне и разработке учебных материалов до и в рамках проекта математики школы Чикагского университета можно найти в бюллетенях UCSMP 1-40 на сайте http://ucsmp.uchicago.edu/newsletters, а также в Usiskin ( 2003); Usiskin (2007) и Reys & Reys (2014).

Резюме и благодарность

xvi

В этой статье я попытался описать некоторые подробные размышления и работу, которые потребовались при разработке учебной программы UCSMP. Практически во всех случаях мы не были первопроходцами. Люди до нас разрабатывали учебные программы, включающие приложения и моделирование, включая преобразования, включая статистику и дискретную математику, используя новейшие технологии и работая над пониманием в математике. В Чикаго у меня была необычная возможность, предоставленная немногим людям — организовать и возглавить команду по разработке и написанию полной учебной программы по математике для средних школ.Эта работа не была бы известна сегодня, если бы не тот факт, что многие другие люди во всем мире работали над достижением тех же целей — над созданием актуальной, доступной для обучения и усвоения учебной программы по математике для подавляющего большинства студентов.

На нашу работу в начальной школе повлияли наши переводы советских учебников (Моро, Бантова, 1992; Моро, Бантова, Бельтюкова, 1992; Пчолько, Бантова, Моро и Пышкало, 1992; Усискин, 1997). На то, что у нас могут возникнуть ожидания в средних школах, повлияли наши переводы японских учебников (Kodaira, 1992), материалы Брайана Туэйтса и Джеффри Хаусона из SMP в США.К., работой Ганса Фройденталя, а затем и Института Фройденталя, Сола Гарфанкеля из COMAP, Могенса Нисса и Вернера Блюма и сотрудников ICTMA, занимающихся математическим моделированием и приложениями, новаторскими работами Джима Фея и Кэти Хайд в компьютерной алгебре. систем, работ Жана-Мари Лаборда и Ника Джекива по динамической геометрии, а также работ Texas Instruments и Casio по созданию удобных и недорогих технологий для школ.

Даже со всем этим руководством мы не смогли бы выполнить эту работу без поддержки сотен школьных администраторов и учителей в наших формальных исследованиях и тысяч учителей, желающих преподавать материалы, значительно отличающиеся от тех, которые они видели или преподавали ранее.

Это замечательно, что у нас есть всемирное сообщество, посвятившее себя совершенствованию учебных программ, которые мы даем студентам. Но мы не должны расслабляться. После периода замечательной разработки учебных программ по математике в США в 1990-х годах, который растянулся до 2000-х годов, в настоящее время в США практически нет разработки учебных программ. Common Core убил разработку учебных программ по математике здесь. не только с его регрессивным контентом, возвращающим к основам, но и с созданием мегалитической структуры тестирования, которая затруднит реализацию будущих изменений.Нам нужно праздновать наши успехи, но мы должны опасаться тех, кто хочет диктовать свое мнение об образовании, как будто это единственный путь.

Ссылки

xvii

Джейкобс, Х. (1971). Математика — человеческие усилия . Бостон: W.H. Фримен.

Моро, М.И. и Бантова М.А. (1992). Русский язык 2 класс Математика . Перевод Р. Х. Сильвермана. Чикаго: UCSMP.

Усискин, З. (1997). Изучение алгебры в классах K-4. Обучение детей математике 3 (6), стр. 346-356.

Приложение А.Тексты UCSMP для средних школ (6–12 классы)

xviii

Первое издание (коммерческое издание Гленвью, Иллинойс: Скотт Форесман)

Математика переходов . Залман Усискин, Джеймс Фландерс, Кэти Хайнс, Лидия Полонски, Сьюзен Портер и Стивен Виктора. Полевые испытания версий 1983-85 гг .; Полевые испытания в твердом переплете 1986 г .; Скотт, Foresman изданий 1990, 1992

Алгебра . Джон В. МакКоннелл, Сьюзан Браун, Сьюзен Эддинс, Маргарет Хакворт, Лерой Сакс, Эрнест Вудворд, Джеймс Фландерс, Дэниел Хиршхорн, Кэти Хайнс, Лидия Полонски и Залман Усискин.Полевые испытания версий 1985-88 гг .; Скотт, Форесман редакции 1990, 1993

Геометрия . Артур Ф. Коксфорд младший, Дэниел Хиршхорн и Залман Усискин. Полевые испытания версий 1986-89 гг .; Скотт Форесман издания 1991, 1993

Продвинутая алгебра . Шэрон Л. Сенк, Денисс Р. Томпсон, Стивен С. Виктора, Рета Рубенштейн, Джуди Халворсон, Джеймс Фландерс, Кэти Хайнс, Натали Якуцин, Джеральд Пиллсбери и Залман Усискин. Полевые испытания версий 1985-88 гг .; Скотт, Форесман редакции 1990, 1993

Функции, статистика и тригонометрия .Рета Н. Рубенштейн, Джеймс Э. Шульц, Шэрон Л. Сенк, Маргарет Хакворт, Джон У. МакКоннелл, Стивен С. Виктора, Дора Аксой, Джеймс Фландерс, Барри Киссан и Залман Усискин. Полевые испытания версий 1986-89 гг .; Скотт, Foresman edition 1992

Предварительные вычисления и дискретная математика . Энтони Л. Перессини, Сюзанна С. Эпп, Кэтлин А. Холлоуэлл, Сьюзан Браун, Уэйд Эллис-младший, Джон В. Макконнелл, Джек Сортеберг, Денисс Р. Томпсон, Дора Аксой, Джеффри Д. Бирки, Грег Макрилл и Залман Усискин.Полевые испытания версий 1987-90 гг .; Скотт Форесман издание 1992 г.

Второе издание (коммерческое издание Glenview, IL: Scott Foresman and Scott Foresman — Addison Wesley, and Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall)

2

Математика переходов . Залман Усискин, Кэти Хайнс Фельдман, Сюзанна Дэвис, Шэрон Малло, Глэдис Сандерс и Дэвид Витонски. Тестовая версия 1992-93; Скотт Форесман, издание 1995 г .; Скотт Форесман — Эддисон Уэсли издание 1998 г .; Издание Prentice Hall 2002

Алгебра. Джон В. МакКоннелл, Сьюзан Браун, Шэрон Л. Сенк, Тед Уайдерски, Скотт Андерсон и Залман Усискин. Тестовая версия 1992-93; Скотт Форесман издание 1996 г., Скотт Форесман — издание Эддисон Уэсли 1998 г .; Калифорнийское издание, 2000 г .; Издание Prentice Hall 2002

Геометрия . Залман Усискин, Дэниел Б. Хиршхорн, Вирджиния Хайстоун, Хестер Льюеллен, Николас Оппонг, Ричард ДиБьянка и Мерили Мейр. Тестовая версия 1993-94; Скотт Форесман издание 1997 г .; Издание Prentice Hall 2002

Продвинутая алгебра .Шэрон Л. Сенк, Денисс Томпсон, Стивен С. Виктора, Залман Усискин, Нильс П. Абель, Сюзанна Левин и Марсия Вайнхолд. Тестовая версия 1993-94; Скотт Форесман издание 1996 г .; Издание Prentice Hall 2002

Функции, статистика и тригонометрия . Шэрон Л. Сенк, Джон В. Макконнелл, Стивен С. Виктора, Залман Усискин, Нильс П. Абель, Вирджиния Хайстоун и Дэвид Витонски. Скотт Форесман — Эддисон Уэсли 1997

Предварительные вычисления и дискретная математика .Энтони Л. Перессини, Джон В. Макконнелл, Залман Усискин, Нильс П. Абель и Дэвид Витонски. Скотт Форесман — Эддисон Уэсли 1998

Третье издание (коммерческое издание Чикаго: Wright Group / McGraw-Hill; Чикаго: UChicagoSolutions)

3

Математика перед переходом . Джон В. Макконнелл, Кэти Хайнс Фельдман, Дебора Хирес, Эмили Каллемейн, Энрике Ортис, Норин Виннингем, Карен Хант, Трой П. Регис, Михаэла Флоренс Сингер, Джон Вулф, Натали Джакусин и Залман Усискин.Версия для полевых испытаний 2006-07; Wright Group / McGraw-Hill издание 2009 г.

Математика переходов . Стивен С. Виктора, Эрика Чунг, Вирджиния Хайстоун, Кэтрин Капуцци, Дебора Хирес, Нева Меткалф, Сьюзен Сабрио, Натали Якуцин и Залман Усискин. Полевые испытания версии 2005-06; Wright Group / McGraw-Hill издание 2008 г .; UChicagoSolutions, выпуск 2016

Алгебра . Сьюзан Браун, Р. Джеймс Бренлин, Мэри Х. Уилтьер, Кэтрин М. Дегнер, Сьюзан К.Эддинс, Майкл Тодд Эдвардс, Нева Меткалф, Натали Якуцин и Залман Усискин. Полевые испытания версии 2005-06; Wright Group / McGraw-Hill издание 2008 г.

Геометрия . Джон Бенсон, Рэй Кляйн, Мэтью Дж. Миллер, Кэтрин Капуцци-Фейерштейн, Майкл Флетчер, Джордж Марино, Нэнси Пауэлл, Натали Якуцин и Залман Усискин. Версия для полевых испытаний 2006-07; Wright Group / McGraw-Hill издание 2009 г .; UChicagoSolutions, выпуск 2016

Продвинутая алгебра .Джеймс Фландерс, Маршал Лассак, Жан Сеч, Мишель Эггердинг, Пол Дж. Карафиол, Лин Макмаллин, Нил Вейсман и Залман Усискин. Версия для полевых испытаний 2006-07; Wright Group / McGraw-Hill издание 2009 г .; UChicagoSolutions, выпуск 2016

Функции, статистика и тригонометрия . Джон В. МакКоннелл, Сьюзан А. Браун, Пол Дж. Карафиол, Сара Брауэр, Мэри Айвз, Роза МакКаллаг, Натали Якуцин и Залман Усискин. Полевые испытания версии 2007-08; Wright Group / McGraw-Hill издание 2010 г .; UChicagoSolutions, выпуск 2016

Предварительные вычисления и дискретная математика .Энтони Л. Перессини, Питер Д. ДеКрейн, Молли А. Рокстро, Стивен С. Виктора, Уорд Э. Кэнфилд, Мэри Хелен Уилтьер и Залман Усискин. Полевые испытания версии 2007-08; Wright Group / McGraw-Hill издание 2010 г .; UChicagoSolutions, выпуск 2016

Колдуэлл сочетает творческие и аналитические стороны для достижения успеха

26 июля — «Мой отец, Ноэль, был стипендиатом Джорджии» из средней школы Юго-Восточного Уитфилда, единственной в том году из округа Уитфилд, поэтому я всегда чувствовал себя так, как будто я «Я тоже должен был быть стипендиатом Джорджии», — сказала Линдси Колдуэлл.

Ученица средней школы Северо-Западного Уитфилда в 2021 году смогла добавить это достижение к своему обширному резюме, гордое достижение, поскольку «Я хочу делать все, что делали мои родители, (если нет) больше», — сказал Колдуэлл. «Я хочу получить все возможные награды, чтобы показать, на что я способен».

В рамках программы стипендий Джорджии Департамент образования Джорджии выявляет и награждает старшеклассников, добившихся высоких результатов в школе и общественной жизни, согласно данным департамента.Программа координируется отделом признания передового опыта департамента и через местных координаторов в каждой системе государственных школ и частных школах по всему штату.

Колдуэлл не только добилась академических успехов — она ​​получила президентскую стипендию и стипендию в честь столетия Университета Ли — но и последние два года была руководителем секции маршевого оркестра, а также капитаном команды и ведущим адвокатом защиты в инсценированном судебном процессе. Она также активно работает волонтером в своей общине, Салемской баптистской церкви, особенно помогает молодежи, и она совершила почти дюжину миссионерских поездок в Нью-Мексико.

Колдуэлл, которая начала играть на кларнете в шестом классе, будет учиться на музыкальной программе Университета Ли, и своим музыкальным ростом она во многом обязана «очень хорошо слушать» указания и советы, сказала она. Музыка также задействует как элементы ее личности, аналитическую, так и творческую.

«Мне нравится творчество, создание вещей, написание рассказов, но мой мозг работает очень аналитически», — сказала она. «Музыка, чтобы делать это хорошо, требует больших умственных способностей, но это также очень творческая среда.

И она ценит «сообщество» марширующего оркестра, в отличие от концертного оркестра, где «не так много взаимодействия», — сказала она. «С марширующим оркестром во время футбольных матчей это очень большая группа детей, весело проводящих время. , и (то же самое), когда мы едем в автобусе — мы как большая семья — но даже несмотря на весь этот хаос, мы удивительно сосредоточены, когда играем на наших инструментах ».

История продолжается

Имитация судебного процесса: «Меня втянули в это» Рэйчел Климер, одна из лучших подруг Колдуэлла и ученица класса 2020 Northwest, и «Меня бросили в самый конец, когда мне пришлось написать вступительное заявление и вопросы для двух свидетелей , а затем представьте все это, — сказал Колдуэлл.«Я не думал, что был готов, но у меня это получалось хорошо, и мне нравилась остальная команда».

Колдуэлл был «незаменим» для команды «и неотъемлемой частью ее успеха (в 2019-20 гг.), Когда мы были чемпионами региона 6», — сказала Минако Барри, учитель английского языка на Северо-Западе и руководитель команды имитационных испытаний. «В качестве капитана в этом году Линдси удерживала команду вместе, несмотря на трудности, возникшие в результате кризиса COVID-19, который включал препятствия на тренировках и соревнованиях, которые требовали онлайн-встреч Zoom и вызывали другие технические проблемы.«

» Она обучила новых поверенных, которые в этом году участвовали в имитационном судебном разбирательстве, — сказал Барри. — На самом деле, она была единственной старшей, вернувшейся в качестве адвоката в этом году, так что у нее была бремя и привилегия привести их к успеху в очень конкурентный год, когда команды соревновались по всему штату, а не на региональном уровне, что было традицией ».

« Она очень умна, быстро встает на ноги, трудолюбива и заботится о других. — прирожденный лидер — и мне повезло, что я наблюдал, как она развивалась и сияла в имитационном зале суда в прошлом году и в этом году », — добавил Барри.«Мы определенно не участвовали бы в соревнованиях в этом году вообще без Линдси, которая набирала одноклассников и писала открытия / закрытия и вопросы для других должностей, помимо ее собственных обязанностей, и ее будет не хватать, когда мы возобновим работу осенью, надеясь, что она вернется с визитом или двумя, чтобы вдохновить новичков и вернувшихся участников своим энтузиазмом и советами ».

Колдуэлл в долгу перед преподавателями и сотрудниками Northwest, которые «потратили последние четыре года, отдавая мне все, что у них было, чтобы подготовить меня к миру за пределами Северо-Запада», — сказала она.У нее особая близость ко всем моим учителям литературы, которые оказали на меня очень сильное влияние, и к моей учительнице математики (Сьюзан) Киллен, которая всегда была ярким пятном в мои дни, потому что, каким бы тяжелым ни был день, она всегда была там, наготове, веселая и готовая что-то делать ».

Решение Колдуэлл поступить в Университет Ли было принято, когда она была второкурсницей и посетила там мероприятие группы почестей.

«Сначала я была в ужасе, потому что никогда раньше не была в кампусе колледжа, но это было так великолепно, и музыкальная программа потрясающая», — сказала она.Она возвращалась несколько раз, в том числе для «Ли Дэй», когда она сидела на курсах теории музыки и психологии, и ее приветствовали и те, и другие.

Помимо музыкальных занятий в Lee, Колдуэлл планирует специализироваться на психологии.

«Моя любовь к литературе привела к моему интересу к психологии», — сказала она. «Они оба очень субъективны, но также очень аналитичны, и есть много правил, но также есть много исключений из правил».

Однако она не уверена в своем последнем карьерном пути, сказала она.

«Я рассматривал музыкальную терапию, поскольку она сочетает в себе две вещи, которыми я увлечен, а также семейную терапию или криминальное профилирование».

Gm tbi diagram

Основная причина, по которой вы можете получить и полностью усвоить эту электрическую схему 4 3 chevy tbi ecm в формате PDF Книга Загрузить раньше, заключается в публикации в мягкой форме файла. Прочтите книги 4 3 Схема электрических подключений chevy tbi ecm Книга в формате PDF Загрузите везде, где вам нужно, даже снимите фактический автобус, офис, дом или другие места.Блок управления двигателем

: любимцем энтузиастов преобразования TBI является блок управления двигателем 1227747, поскольку он подвергся тщательной обратной разработке и может быть легко перепрограммирован, просто вставив новый «чип». Опять же, этот ECM можно найти на фургонах Astro конца 80-х, а также на пикапах C / K, хотя последние автомобили, как правило, реже встречаются на складах.

Mecruiser Parts Select Размер двигателя — 4 цилиндра, рядный 6 цилиндров, V6, V8 Small Block, V8 Big Block, Race Sterndrives

для приложения GM TBI для чтения данных или проверки сохраненных кодов.Обратитесь к руководству по обслуживанию или см. Ниже любые определения кодов проверки двигателя. Вы можете использовать определение GM TBI конца 80-х или начала 90-х годов. Если у вас есть доступ к диагностическому прибору, используйте крючок для 1990 350 куб. дюйм. 5,7-литровый грузовик Chevrolet.

Это означает, что GM была доступна для новых грузовиков. Почти все имеет код RPO. Вы можете найти список RPO здесь. ПРИМЕЧАНИЕ. Значения мощности и крутящего момента взяты непосредственно из заводского руководства по обслуживанию GM. Руководства по обслуживанию легких грузовиков GM охватывают следующие модели: C / 10, C / 20, C / 30, K / 10, K / 20, K / 30, P / 10, P / 20, P / 30.(C = 2wd …

14 января 2009 г. · Где я могу найти схему шланга вакуумной линии для двигателя Chevy 350 1991 года с tbi? Ответ Сохранить. 3 ответа. Актуальность. Аноним. 1 десятилетие назад. Любимый ответ.

22 октября 2018 г. · Я не уверен, в каком порядке они идут, и на других диаграммах rr — это то место, где RF должен быть на моей машине, где 4 отверстия выстраиваются в линию на тормозе. Схема тормозной магистрали Chevy Tahoe 2002 года здесь вы находитесь на нашем сайте

Адаптер топливопровода (TBI) Адаптер давления топлива GM TBI.Характеристики.

17.09.2019 · Схема двигателя Chevy объемом 5,7 л; 5.7 схема подключения датчика кривошипа vortec; 5.7 схема жгута проводов вортек; 5.9 схема дизельного двигателя Cummins; Схема подключения китайского скутера 50cc; 55 схема включения переключателя фар; 55 схема зажигания шеви; 55 Схема подключения комбинации приборов Chevy; 55 схема подключения шеви; 57 chevy headlight …

Oo my pets repl

PetHarbor.com: Национальная база данных по усыновляемым предметам и находкам. Приют для животных принять домашнее животное; собаки, кошки, щенки, котята! Гуманное общество, SPCA.Бюро находок. Данные сотен приютов для животных в США и Канаде. Служба поиска породы, поиска потерянных и найденных домашних животных.

Преимущества: Средний валовой годовой доход в размере 130 000 долларов США. Средний годовой доход составляет 1050 миль за поездку. Перепад 100%. 80% того, что мы везем, — это новые / бывшие в употреблении порожние прицепы и автоцистерны. Еженедельные расчеты. Без принудительной отправки. % OO флот Дистанционное ориентирование Бесплатно ELD Нет платных платных услуг Требования: Минимум …

Идентификатор сообщения: 1226250451.1653. [электронная почта защищена]> Тема: Экспортировано из Confluence Версия MIME: 1.0 Тип содержимого …

AQWorlds Wiki »Предметы» Питомцы. Сортировать по: Домашние животные — Редкие — Все легенды — Нередкие легенды Свободный игрок — Нередкие бесплатные приключенческие монеты — Нередкие приключенческие монеты Бесплатные игроки Сезонные — Легендарные сезонные боевые питомцы.

22 августа 2020 г. · Панграмма — это предложение, которое хотя бы один раз содержит все буквы английского алфавита. Например: быстрая коричневая лисица перепрыгивает через ленивую собаку. Задача. Напишите функцию или метод, чтобы проверить предложение, чтобы узнать, является ли оно панграммой (или нет), и продемонстрируйте его использование.

14 июля 2009 г. · Аренда домашних животных взимается ежемесячно и отдельно от залога за домашних животных. Эта ежемесячная плата покрывает фактическое нахождение вашего питомца в аренде. По закону аренда не требуется, чтобы домашние животные находились в помещении, если они не являются служебным животным или не связаны с вашим функционированием (например, собака-поводырь). Домашние животные считаются привилегией.

Python в браузере. Установка не требуется. Разместите интерактивный Python где угодно в Интернете. Настройте приведенный ниже код и поделитесь им!

Думаю, у меня такая же проблема.На самом деле я искал в Google неприятный запах в области паха, когда наткнулся на ваш пост. это вызывает у меня некоторое беспокойство, потому что я могу вспомнить тот же запах, который несколько лет назад исходил от моего дяди, у которого позже развился рак. так что я очень признателен, если кто-нибудь с некоторыми идеями или ответами ответит, пожалуйста. Спасибо.

Repl.it — ​​это простая, но мощная онлайн-среда IDE, редактор, компилятор, интерпретатор и REPL. Кодируйте, компилируйте, запускайте и размещайте на более чем 50 языках программирования: Clojure, Haskell.