Контрольные и самостоятельные работы по математике 4 класс фгос: ГДЗ по математике к самостоятельным и проверочным работам 4 класса Ситникова

Новости

18 авг

Власти Крыма рассказали о ходе реализации программы «Земский учитель».

18 авг

В пресс-службе уполномоченного по правам ребёнка по Пермскому краю сообщили, что преподавателю одной из школ региона вынесли предупреждение после травли ученика.

18 авг

Заммэра Москвы по вопросам социального развития Анастасия Ракова сообщила, что в минувшем учебном году около 9 тыс. выпускников столичных школ получили московские медали «За особые успехи в обучении».

18 авг

Аналитики сайта объявлений Avito провели опрос и выяснили, что подарки учителям в День знаний планируют сделать 65% родителей российских школьников.

17 авг

Девочка из Москвы Алиса Теплякова, успешно сдавшая ЕГЭ в восемь лет, не поступила на психологический факультет МГУ на бюджет, пишет ТАСС со ссылкой на данные вуза.

17 авг

В Кировской области выбрали педагога, который представит регион в конкурсе «Учитель года России» в 2021 году.

17 авг

Учебный год в Тюменской области планируется начать в очном формате. Власти будут следить за обстановкой по коронавирусу и ОРВИ.

Математика 4 Моро — Глаголева

Контрольные работы по математике 4 класс с ответами для УМК «Школа России» (авт: М.И.Моро и др.) Цитаты из учебного пособия «Математика: предварительный контроль, текущий контроль, итоговый контроль: 4 класс/ Ю.И. Глаголева, И.И. Волковская — М.: Просвещение (КИМ)» использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ): цитаты переработаны в удобный формат (каждая работа на 1-й странице), что дает экономию денежных средств учителю и образовательному учреждению я в использовании бумаги и ксерокопирующего оборудования. Ответы адресованы родителям. Математика 4 Моро — Глаголева.

При постоянном использовании контрольных работ по математике в 4 классе рекомендуем купить книгу: Математика: предварительный контроль, текущий контроль, итоговый контроль: 4 класс/ Ю.И. Глаголева, И.И. Волковская, в которой кроме контрольных работ есть еще 26 проверочных работ с ответами, а также материалы для учителя. Учебное пособие предназначено для проверки предметных результатов по курсу «Математика. 4 класс» авторского коллектива под руководством М. И. Моро (УМК «Школа России»), Проверочные работы сгруппированы по разделам, соответствующим авторской программе и учебнику. Соответствует ФГОС начального общего образования.

Контрольные работы по математике 4 класс

Входная контрольная работа с ответами:

Контрольная работа № 1 с ответами. Числа от 1 до 1000. Нумерация. Четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение, деление

Контрольная работа № 2 с ответами. Числа, которые больше 1000. Нумерация. Величины

Контрольная работа № 3 с ответами. Числа, которые больше 1000. Четыре арифметических действия

Контрольная работа № 4 с ответами. Числа, которые больше 1000. Умножение и деление

Итоговая контрольная работа за 4 класс с ответами.

Вы смотрели Математика 4 Моро — Глаголева — контрольные работы (цитаты) из пособия для учащихся «Математика: предварительный контроль, текущий контроль, итоговый контроль: 4 класс/ Ю.И. Глаголева, И.И. Волковская — М.: Просвещение, 2018 — (КИМ)».

Контрольная работа по математике 4 класс 1 четверть

Контрольные работы 4 класс. 1 четверть.

Вариант 1

1) Выполни задание:

Запиши число, в котором 205 единиц класса тысяч. Уменьши его на 1.

Решение:
• Ответ: 205 000, 204 999

2) Выполни вычисления:

2)
• 640 — (270 + 70) =
• (456 — 7 * 8) : 10 =

Решение:

899 989 + 1 = 899 990	45 283 — 40 000 = 5 283	8100 : 100 = 81
100 000 — 1 = 99 999	23 876 + 2 000 = 25 876	4 718 • 10 = 47 180

2)
• 640 — (270 + 70) = 300
• (456 — 7 * 8) : 10 = 40

3) Заполни окошки такими числами, чтобы стали верными равенства:

Решение:

4) Реши задачу:

На большом подносе 48 булочек, а на маленьком в 3 раза меньше. На сколько больше булочек на большом подносе, чем на маленьком?

Решение:
• 1)48 : 3 = 16(булочек на маленьком подносе)
• 2) 48 — 16 = 32
• Ответ: На большем подносе на 32 булочки больше.

5) Выполни задание:

Запиши такое числовое равенство, в котором произведение будет равно одному из множителей.

Решение:
• Ответ: 178 * 1 = 178

Вариант 2

1) Выполни задание:

Запиши число, в котором 7 единиц класса тысяч. Уменьши его на 2.

Решение:
• Ответ: 7 000, 6 998

2) Выполни вычисления:

2)
• 79О — (130 — 70) =
• (106 * 4 + 276) : 100 =

Решение:

83 709 — 3 700 = 80 009	999 979 + 1 = 999 980	675 * 100 = 67 500
19 520 + 1 000 = 20 520	1 000 000 — 1 = 1 000 001	2 400 : 10 = 40

2)
• 79О — (130 — 70) = 730
• (106 * 4 + 276) : 100 = 7

3) Заполни окошки такими числами, чтобы стали верными равенства:

Решение:

4) Реши задачу:

Внуку 9 лет, а дедушка на 54 года старше внука. Во сколько раз внук моложе дедушки?

Решение:
• 1) 54 + 9 = 63(лет дедушке)
• 2) 63 : 9 = 7
• Ответ: внук моложе дедушки в 7 раз.

5) Выполни задание:

Запиши такое числовое равенство, в котором частное будет равно делимому.

Решение:
• Ответ: 25 : 1 = 25

Вариант 3

1) Выполни задание:

Запиши число, в котором 30 единиц класса тысяч. Увеличь его на 3.

Решение:
• Ответ: 30 000, 29 997

2) Выполни вычисления:

2)
• 860 — (110 — 80) =
• (204 * 3 + 388): 100 =

Решение:

143 806 — 43 800 = 100 006	99 389 + 1 = 99 390	541 * 100 = 54 100
29 730 + 1 000 = 30 730	100 000 — 1 = 99 999	3 700 : 10 = 370

2)
• 860 — (110 — 80) = 830
• (204 * 3 + 388): 100 = 10

3) Заполни окошки такими числами, чтобы стали верными равенства:

Решение:

4) Реши задачу:

Маме 36 лет, а дочь в 4 раза моложе мамы. На сколько лет мама старше дочери?

Решение:
• 1) 36 : 4 = 9(дочери лет)
• 2) 36 — 9 = 27
• Ответ: дочь моложе мамы на 27 лет.

5) Выполни задание:

Запиши такое числовое равенство, в котором делитель будет равен частному.

Решение:
• Ответ: 49 : 7 = 7

Вариант 4

1) Выполни задание:

Запиши число, в котором 701 единица класса тысяч. Уменьши его на 2.

Решение:
• Ответ: 701 000, 700 998

2) Выполни вычисления:

Решение:

399 999 + 1 = 400 000	75 836 — 70 000 = 5 836	6 400 : 100 = 64
200 000 — 1 = 199 999	41763 + 2 000 = 39 763	5 183 * 10 = 51 830

2)
• 570 — (190 + 80) = 300
• (581 — 9 * 9) : 100 = 5

3) Заполни окошки такими числами, чтобы стали верными равенства:

Решение:

4) Реши задачу:

Циркуль стоит 32 р., а ручка на 24 р. дешевле. Во сколько раз циркуль дороже, чем ручка?

Решение:
• 1) 32 — 24 = 8(стоит ручка)
• 2) 32 : 8 = 4
• Ответ: циркуль в 4 раза дороже ручки.

5) Выполни задание:

Запиши такое числовое равенство, в котором уменьшаемое будет равно разности.

Решение:
• Ответ: 27 — 0 = 27

На странице использованы материалы из книги С. И. Волковой «Математика. Контрольные работы. 1-4 классы» 2008г.

Математика 4 Моро — Глаголева

Контрольные работы по математике 4 класс (УМК Школа России)

Математика 4 Моро — Глаголева — это контрольные работы (цитаты) из учебного пособия «Математика: предварительный контроль, текущий контроль, итоговый контроль: 4 класс/ Ю.И. Глаголева, И.И. Волковская — М.: Просвещение, 2018 — (КИМ)».

Цитаты из вышеуказанного учебного пособия использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ): цитаты переработаны в удобный формат (каждая работа на 1-й странице), что дает экономию денежных средств учителю и образовательному учреждению я в использовании бумаги и ксерокопирующего оборудования.

При постоянном использовании контрольных работ по математике в 4 классе рекомендуем купить книгу:
Математика: предварительный контроль, текущий контроль, итоговый контроль: 4 класс/ Ю.И. Глаголева, И.И. Волковская, в которой кроме контрольных работ есть еще 26 проверочных работ с ответами, а также материалы для учителя. Учебное пособие предназначено для проверки предметных результатов по курсу «Математика. 4 класс» авторского коллектива под руководством М. И. Моро (УМК «Школа России»), Проверочные работы сгруппированы по разделам, соответствующим авторской программе и учебнику. Соответствует ФГОС начального общего образования.

Входная контрольная работа в 4 классе

Контрольная работа № 1.

Контрольная работа № 2.

Контрольная работа № 3.

Контрольная работа № 4.

Контрольная работа № 5. Итоговая за 4 класс.

Вы смотрели Математика 4 Моро — Глаголева — контрольные работы (цитаты) из пособия для учащихся «Математика: предварительный контроль, текущий контроль, итоговый контроль: 4 класс/ Ю.И. Глаголева, И.И. Волковская — М.: Просвещение, 2018 — (КИМ)».

Ответов нет !

4 Оценивание для поддержки изучения математики | Измерение того, что имеет значение: концептуальное руководство для оценки по математике

обычно путем подсчета количества вопросов, на которые даны правильные ответы, и сравнения баллов одного человека с баллами другого на основании их относительного процентильного ранга. Так называемые оценки с привязкой к норме уже много лет беспокоят педагогов. Хотя высказывались различные критические замечания по поводу ссылок на нормы, основная проблема образования заключается в том, что такая информация недостаточно полезна для улучшения обучения и обучения и может, фактически, иметь контрпродуктивные образовательные последствия.В классе учителя и ученики должны знать, что ученики понимают хорошо, что они понимают хуже, и какими должны быть следующие шаги обучения. Относительные рейтинги протестированных студентов могут быть использованы вне контекста класса, но в этом контексте необходимы формы результатов, полезные для процесса преподавания и обучения.

Например, чтобы спланировать свое обучение, учителя должны знать о текущем понимании каждым учеником того, что будет преподавать. Таким образом, программы оценки должны информировать учителей и учеников о том, что ученики узнали, как они учатся и как они думают о математике. Чтобы эта информация была полезной для учителей, она должна включать анализ конкретных сильных и слабых сторон понимания учащимся, а не только оценок вне контекста.

Чтобы обучение было эффективным, результаты оценки должны быть своевременными. ³⁵ Учебе учащихся не способствуют компьютерные распечатки, отправляемые учителям после того, как классы заканчиваются в течение года и учащиеся ушли, ни учителя, которые уделяют слишком много времени оценке оценок. В частности, необходимо найти новые способы дать учителям и ученикам более непосредственные знания об успеваемости учеников по оценкам, предписанным внешними властями, чтобы эти оценки, а также собственные оценки учителя могли использоваться для улучшения обучения.Даже если основной целью оценки является определение достижений школы, штата или страны, оценка должна предоставлять учащимся и учителям отчеты об их успеваемости. Школьное время дорого. Когда учащимся не сообщают об их ошибках и заблуждениях, не говоря уже о том, чтобы помочь их исправить, оценка может как усилить недопонимание, так и потратить драгоценное учебное время впустую.

Когда форма оценивания незнакома, учителя несут особую ответственность перед своими учениками, чтобы сообщить им заранее.

Последствия, характеристики и причины нарушения математической обучаемости и устойчиво низкой успеваемости по математике

Резюме

Цель

Обзор преследует три цели; а) выявить последствия слаборазвитых математических компетенций для образования и трудоустройства; б) обзор характеристик детей со стабильно низкими успеваемостями по математике; и c) предоставить учебник по исследованиям в области когнитивных наук, которые направлены на выявление когнитивных механизмов, лежащих в основе этих нарушений обучаемости и связанных с ними когнитивных вмешательств.

Метод

Литература, посвященная образовательным и экономическим последствиям плохой успеваемости по математике, была проанализирована и объединена с обзорами эпидемиологических, поведенческих генетических и когнитивных исследований плохой успеваемости по математике.

Результаты

Плохие математические способности являются обычным явлением среди взрослых и приводят к трудностям при приеме на работу и трудностям во многих повседневных делах. Среди студентов около 7% детей и подростков имеют математическую неспособность к обучению (MLD), а еще 10% демонстрируют устойчиво низкие достижения (LA) по математике, несмотря на средние способности в большинстве других областей.Дети с MLD и их сверстники из Лос-Анджелеса испытывают дефицит понимания и представления числовой величины, трудности с извлечением основных арифметических фактов из долговременной памяти и задержки в обучении математическим процедурам. Эти недостатки и задержки не могут быть связаны с интеллектом, но связаны с дефицитом рабочей памяти у детей с MLD, но не у детей из Лос-Анджелеса. Вмешательства, направленные на этот когнитивный дефицит, находятся в разработке, и предварительные результаты многообещающие.

Заключение

Нарушения в обучении по математике и трудности в обучении, связанные со стойкими низкими достижениями по математике, являются обычным явлением и не связаны с интеллектом.У этих людей есть идентифицируемое количество, а также задержки и дефициты памяти, которые, по-видимому, характерны для обучения математике. Наиболее многообещающими являются вмешательства, направленные на эти конкретные дефициты, и, кроме того, для детей с MLD вмешательства, направленные на их низкий объем рабочей памяти.

Ключевые слова: нарушение обучаемости, нарушение математической обучаемости, низкие достижения, математические познания, рабочая память

Мало кто сомневается в важности грамотности для работы и повседневной жизни в современном мире, но многие недооценивают важность арифметических и других базовых математических навыков (например,г., простая алгебра, измерение) ¹ . Фактически, социальные и индивидуальные затраты на плохо развитые математические навыки могут быть выше, чем затраты, связанные с плохими навыками чтения, отчасти потому, что больше людей испытывают трудности с математикой, чем с чтением, и из-за постоянного увеличения количественных знаний, необходимых для функционирования во многих странах. рабочие места сегодня, в том числе многие рабочие места для синих воротничков ^{1, 2, 3, 4, 5} . Последствия подробно описаны в первом разделе, а во втором — обзор характеристик детей с математической неспособностью к обучению (MLD) и их сверстников, у которых постоянно низкие математические достижения по математике (LA), несмотря на средние способности в большинстве других областей. .В последнем разделе представлен учебник по исследованиям в области когнитивных наук с акцентом на выявление механизмов, лежащих в основе MLD и LA, и попытках разработать меры, нацеленные на них.

ПОСЛЕДСТВИЯ

Последствия плохо развитой математической компетенции были задокументированы в обзоре крупномасштабных национальных исследований чтения и математических навыков детей и взрослых в Великобритании ¹ . Неудивительно, что их результаты показали, что плохие навыки чтения сокращают возможности трудоустройства и заработной платы, но было удивительно, что плохие математические навыки привели к еще более плачевным перспективам даже для людей с хорошими навыками чтения ^{2, 4} .Суть проиллюстрирована результатами крупномасштабного лонгитюдного исследования, в котором приняли участие около 17000 человек от рождения до взрослого возраста, при этом у 10% из них в возрасте 37 ² были полностью оценены навыки чтения, математики, трудоустройства и трудовой стаж. В экзаменах по чтению и математике основное внимание уделялось повседневным навыкам. Тест по чтению включал в себя вопросы, начиная от способности понимать рекламу и заканчивая выводами о технической газетной статье, а вопросы по математике варьировались от определения правильной суммы сдачи после покупки до определения связи между повышением заработной платы и повышением стоимости жизни.Все вопросы по математике можно было легко решить с помощью базовых арифметических, измерительных и простых алгебраических навыков. Чтобы избежать недоразумений, основное внимание уделялось людям, которые не пошли в колледж после окончания средней школы, и сравнения проводились в двух группах: одна со средним уровнем чтения и средними навыками математики, а другая — со средним уровнем чтения, но ниже среднего.

Как для мужчин, так и для женщин плохие математические навыки были связаны с более низким уровнем полной занятости, более высоким уровнем занятости на низкооплачиваемых ручных работах, более частыми периодами безработицы и меньшей способностью воспользоваться преимуществами обучения, предлагаемого работодателем. и, следовательно, более низкие показатели продвижения по службе.Многие женщины в этой группе в конечном итоге покинули рынок труда на условиях полной занятости, и, хотя 4 из 5 мужчин были заняты полный рабочий день, 50% из них имели низкий годовой доход по сравнению с 26% мужчин в группе сравнения. Эти данные не ограничиваются Великобританией, поскольку аналогичные отношения обнаружены в США ⁴ .

Эти результаты и результаты других крупномасштабных исследований, проведенных в Соединенных Штатах и ​​Канаде, также показывают, что математическая компетентность ниже среднего в начале обучения связана с повышенным риском плохой математической компетентности в конце обучения, сверх влияния семейного происхождения, социального и эмоционального функционирования ребенка, его интеллекта и способностей к чтению ^{1, 6} .Раннее выявление детей, подверженных риску длительных трудностей в математике, имеет решающее значение. Без вмешательства эти ранние дефициты, вероятно, выльются в пожизненную борьбу на рабочем месте и в удовлетворении повседневных потребностей современного мира.

ХАРАКТЕРИСТИКИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Диагностическое и статистическое руководство по психическим расстройствам Американской психиатрической ассоциации определяет MLD с точки зрения несоответствия между результатами тестов на успеваемость по математике и ожидаемыми результатами, основанными на возрасте, интеллекте и годах образования и для взрослых существенно мешает их повседневной деятельности ⁷ .Однако не было установлено, что дети (или взрослые) с низкими показателями успеваемости по математике и с низким интеллектом имеют разные формы дефицита математического познания, чем дети с низкими достижениями по математике и средним интеллектом. Некоторые результаты, описанные в статье CAUSES , предполагают, что математические недостатки могут быть одинаковыми, но механизмы, вызывающие эти недостатки, могут различаться. На этом этапе подразумевается, что уровень интеллекта может не иметь значения при выявлении математических недостатков, но для детей с более высоким или более низким интеллектом могут потребоваться различные корректирующие подходы.

Среди исследователей в этой области складывается консенсус в отношении полезности различения детей с MLD и их сверстников из Лос-Анджелеса, с ограничением, что показатели интеллекта выше 15 ^th процентилей ^{8, 9} . Дети, набравшие процентиль 10 ^-го или ниже по стандартизированным тестам на успеваемость по математике в течение как минимум двух последовательных академических лет, обычно классифицируются как MLD в исследовательских исследованиях, а дети, набирающие процентили между 11 ^-м и 25 ^-го процентилей, включительно, по крайней мере, два года подряд относятся к категории LA.Реакция на вмешательство также может быть использована для выявления и лечения детей с MLD и LA и описана в COGNITIVE INTERVENTIONS .

ЗАБОЛЕВАЕМОСТЬ

На основании нескольких проспективных исследований населения и многих более мелких исследований около 7% детей и подростков будут диагностированы как MLD по крайней мере в одной области математики до окончания средней школы, а также в дополнительных 10% детей и подростков будут идентифицированы как LA ^{10, 11, 12} .Анализ более чем 340 000 11-летних детей в период с 1998 по 2007 год включительно показал, что от 5% до 7% в каждом учебном году отстают от 3-4 классов по математике, что соответствует уровню дефицита, соответствующему MLD ¹ .

В любой год 10% детей будут набирать баллы по математике на уровне или ниже 10 ^-го процентиля по определению, но не все из них будут набирать баллы в этом диапазоне через несколько лет, и, таким образом, оценочная заболеваемость МЛД в 7% составляет ниже предлагаемого порога отсечения 10 ^-го процентиля; то же самое касается оценок в диапазоне LA.Критерии нескольких лет важны, потому что многие дети, которые плохо набрали в течение одного учебного года, получают более высокие баллы в более поздние годы, и у этих детей нет когнитивных нарушений, характерных для детей, которые постоянно набирают баллы в диапазонах MLD и LA ^{13, 14} . Наконец, крупномасштабные исследования, проведенные в Великобритании, показали, что около 23% взрослых не имеют большого числа людей, то есть не обладают математическими знаниями, необходимыми для многих повседневных повседневных дел.

Причина, по которой этот процент выше, чем объединенные оценки MLD и LA, неизвестна, но может быть связана с исключением детей с низким IQ из исследований MLD и LA, потерей базовых математических навыков из-за неиспользования или некоторой комбинацией ¹⁵ .Какими бы ни были причины, у детей и взрослых часто бывают слаборазвитые математические способности. Как мы рассмотрим в ПРИЧИНЫ, для некоторых из этих людей трудности с математикой связаны не с обучением или интеллектом, а с одной или несколькими конкретными когнитивными задержками или недостатками.

ЭТИОЛОГИЯ

Исследования близнецов и семей выявили генетический и экологический вклад в индивидуальные различия в успеваемости по математике, а также в MLD и LA ^{16, 17, 18} .Исследование близнецов в начальной школе выявило генетический, а также общий (между парой близнецов) и уникальный вклад окружающей среды в индивидуальные различия в успеваемости по математике и в MLD, причем последний определяется порогами в 5 ^th и 15 ^th процентилей на тесте успеваемости по математике. В зависимости от класса и используемого теста по математике от 50% до 67% индивидуальных различий в успеваемости по математике были связаны с генетической изменчивостью, а оставшаяся часть — с общим и уникальным опытом ¹⁶ .

Те же генетические факторы, которые способствовали MLD, способствовали индивидуальным различиям на всех уровнях производительности ^{16, 19} . Не существует конкретных генов MLD, скорее генетическое влияние на MLD такое же, как и те, которые влияют на успеваемость по математике по всему диапазону баллов. Примерно 33% генетических влияний на достижения в математике перекрывали генетические влияния, способствующие изменчивости интеллекта, 33% перекрывали генетические влияния, способствующие изменчивости способности читать независимо от интеллекта, а 33% были уникальными для математики.

Умеренное генетическое влияние на MLD не следует приравнивать к ограничению возможностей устранения этих недостатков, поскольку изменения в окружающей среде человека могут изменить относительную степень этих генетических и средовых влияний. В любом случае генетические исследования также указывают на важное влияние окружающей среды на изучение математики и MLD. Учеба в школе влияет на успеваемость по математике в целом, а новые вмешательства для MLD ( COGNITIVE INTERVENTIONS ) улучшают успеваемость этих детей по математике сверх влияния общего образования, даже если они не устраняют различия в математических результатах ²⁰ .

КОМОРБИДНЫЕ ЗАБОЛЕВАНИЯ

Генетические факторы, влияющие на успеваемость в академических областях, могут объяснить, почему многие дети с MLD имеют неспособность читать (RD) или другие трудности, мешающие обучению в школе, такие как синдром дефицита внимания и гиперактивности (ADHD) ^{10, 12, 21} . Barbaresi et al. обнаружено, что от 57% до 64% ​​студентов с MLD также имели RD, в зависимости от диагностических критериев, используемых для определения MLD. Ранее отмеченное крупномасштабное исследование 11-летних детей в Великобритании показало, что 6% этих детей показали уровень успеваемости, соответствующий MLD, и 2 из 3 из них также плохо читали ¹ .

Исследования детей, выявленных в их школах с особыми нарушениями обучаемости, показывают, что эти дети часто имеют ряд социальных недостатков и что дети, направленные на оценку из-за серьезных эмоциональных или поведенческих проблем в школе, часто классифицируются как неспособные к обучению ^{22, 23} . Хотя большинство этих исследований сосредоточено на РД, они все еще могут иметь отношение к MLD. Один метаанализ показал, что как группа и по сравнению с детьми с обычными достижениями (ТА), дети, которые классифицируются как неспособные к обучению (по чтению, математике или по обоим), испытывают большее социальное отторжение, имеют плохие навыки решения социальных проблем и другие сообщают, что они, помимо прочего, являются агрессивными и незрелыми.

В то же время многочисленные крупномасштабные проспективные исследования, отслеживающие взаимосвязь между семейным происхождением, социально-эмоциональными факторами, контролем внимания, интеллектом и академическими навыками при поступлении в школу (т. Е. В возрасте от пяти до шести лет) и длительном обучении. зачетные результаты по математике и чтению не находят связи между социально-эмоциональными проблемами и плохими результатами по математике ⁶ . Лучшим показателем успеваемости по математике в школе были математические навыки на начальном уровне.Ранние навыки внимания также предсказывали более поздние достижения, но величина этого эффекта была менее 25% от величины эффекта для математических навыков начального уровня. Проблемы интернализации (например, тревоги) и экстернализации (например, агрессии) при поступлении в школу не были связаны с более поздними достижениями и не были более общими показателями социальных навыков. Этот анализ предполагает, что ранний социальный и поведенческий профиль детей не связан с их долгосрочными достижениями в математике.

Несоответствующие результаты указывают на то, что в этой области предстоит проделать большую работу, особенно в отношении детей с MLD.На этом этапе можно сделать предварительный вывод о том, что социально-эмоциональное функционирование не оказывает причинного влияния на обучение детей математике, но у детей с MLD может быть множество сопутствующих социальных и поведенческих проблем.

ПРИЧИНЫ

Ученые-когнитивисты и нейропсихологи провели подробные исследования количества, счета и арифметических способностей детей с MLD и LA, а также детей и взрослых с приобретенными (после черепно-мозговой травмы) математическими трудностями в попытках найти решение. определить источник или источники их плохих достижений по математике ^{24, 25, 26, 27, 28, 29} .Многие из этих исследований также включают оценку общих способностей — интеллекта, рабочей памяти и скорости обработки данных — которые влияют на обучение в академических областях. Цель состоит в том, чтобы определить, есть ли когнитивные дефициты, характерные для изучения математики, и являются ли эти дефициты независимыми или взаимодействуют с общими способностями предметной области во время математического обучения или успеваемости. Поведенческие генетические исследования предполагают, что генетические механизмы и механизмы среды, влияющие на математику и другие формы обучения в школе, частично совпадают, а также механизмы, уникальные для математики.Рассмотренные здесь результаты когнитивных исследований согласуются с этими выводами.

Прежде чем перейти к этому обсуждению, важно проиллюстрировать серьезность дефицита математических достижений у детей с MLD и их сверстников из Лос-Анджелеса. показывает эти дефициты в сравнении с детьми ТА и группой детей с показателями интеллекта ниже 10 ^-го перцентиля (низкий IQ, средний IQ = 78). Эти данные взяты из Миссурийского лонгитюдного исследования математического развития и инвалидности и показывают траектории успеваемости детей в этих группах с первого по пятый класс включительно ^{30, 31} .В группу MLD вошли дети, которые попали в нижние 10 процентов выборки на тесте на успеваемость по математике со второго по пятый класс включительно, тогда как группа LA включала детей, набравших от 11 ^-го до 25 ^-го процентиля включительно. У детей в группе MLD были низкие средние показатели IQ ( M = 91) и средние баллы LA ( M = 101) и TA ( M = 103).

Необработанная математика Успеваемость с первого по пятый класс включительно.Скобки — стандартные ошибки. LIQ = низкий IQ, MLD = математическая неспособность к обучению, LA = низкий уровень успеваемости, TA = обычно достигаемый.

Наиболее поразительные результаты заключаются в том, что достижения детей с MLD по математике отстают от достижений детей с низким IQ после третьего класса, а достижения групп LA и Low-IQ частично совпадают, несмотря на разницу в 23 балла в среднем IQ ( средние показатели интеллекта в группах с низким IQ и LA были на уровне 7 и 53 процентилей соответственно).В разных классах преимущество детей с ТА по математике увеличивается, но разрыв в чтении сокращается. Ясно, что плохие достижения по математике в группах MLD и LA нельзя объяснить низким интеллектом или способностями к чтению.

Когнитивные и нейропсихологические исследования сосредоточены на выявлении недостатков, лежащих в основе этих моделей достижений. Последовательные результаты предполагают дефицит способности формировать представления числовой величины, формировать в памяти представления основных арифметических фактов или извлекать эти факты после того, как воспоминания сформированы, а также задержки в развитии в обучении арифметическим процедурам.

НОМЕР

Имеются данные о наличии базовой системы взаимосвязанных количественных навыков, которые могут способствовать изучению детьми формальной математики в школе. ³² Человеческие младенцы, дошкольники, а также люди из многих других видов могут отличать меньшее от большего количества (например, 8 предметов против 16 предметов), упорядочивать ряд относительных количеств (например, 2, 3, 4, предметы), а некоторые (включая младенцев и дошкольников) обладают элементарной способностью считать и заниматься простым сложением и вычитанием ^{33, 34, 35, 36} .Эти основные способности составляют основу раннего детского чувства числа, которое проявляется в их способности: (а) воспринимать количество наборов из 3–4 предметов или действий, не считая ^{37, 38, 39} ; (б) использовать невербальные процессы или счет для количественной оценки небольших наборов объектов, а также для добавления и вычитания небольших количеств из этих наборов ^{40, 41} ; и (c) оценить относительную величину наборов объектов и результаты простых числовых операций ⁴² .Баттерворт и его коллеги предположили, что MLD является результатом дефицита двух из этих фундаментальных систем определения чисел, одна из которых поддерживает представление и неявное понимание точного количества небольших наборов объектов и символов (например, арабских цифр), которые их представляют. количества (например, ‘3’ = ▪▪▪), а другой для представления приблизительной величины больших количеств ^{27, 43} .

В соответствии с этой гипотезой, дети с MLD и, в меньшей степени, дети LA могут иметь дефицит или задержку развития в обеих этих основных системах представления и обработки чисел ^{44, 45, 46, 47} .В качестве примера Кунц и Берч попросили учащихся третьего и четвертого классов с MLD и их сверстников по TA определить, совпадают ли комбинации арабских цифр (например, 3–2), числовых наборов (▪▪-▪▪) или цифр и наборов. (2-▪▪) или разные (3-▪▪) ⁴⁶ . Это простое задание предусматривало оценку репрезентативной системы детей для точных небольших количеств. Подтверждая более ранние выводы ⁴⁸ , дети ТА обрабатывали репрезентации трех (например, 3, ▪▪▪) так же быстро, как они обрабатывали репрезентации двух.Дети с MLD также могли быстро обрабатывать представления двух, но, похоже, полагались на счет для определения количества трех. Результаты показывают, что некоторые дети с MLD могут не иметь врожденного представления для числа три или точная система представления не позволяет надежно различать два и три.

Последующие исследования, в которых детей просили мысленно комбинировать наборы предметов (например, ▪▪▪▪) и арабские цифры, чтобы соответствовать целевому числу (например, ▪▪▪▪ + 2 = 5), подтверждают медленную обработку чисел для группы детей МЛД и ЛА ^{8, 31, 49 900 16.Баллы беглости показывают скорость и точность, с которой дети получают доступ к этим небольшим числовым величинам и комбинируют их, и иллюстрируют пятилетние тенденции для тех же групп, представленных в 31 . Беглость обработки чисел у детей с MLD находится на том же уровне или немного ниже, чем у детей из группы с низким IQ. К пятому классу успеваемость в обеих группах сопоставима с уровнем учеников третьего класса ТА. Дети из Лос-Анджелеса примерно на год отстают от своих сверстников из ТА.Не менее важно, что тенденции не показывают, что группы MLD и LA догоняют своих коллег по TA; во всяком случае, после третьего класса разрыв увеличивается.}

Показатели беглости для определения и комбинирования величин, связанных с наборами предметов (например, ▪▪▪) и арабскими цифрами (например, ▪▪▪ + 2 = 5) с первого по пятый класс включительно. Скобки — стандартные ошибки. LIQ = низкий IQ, MLD = математическая неспособность к обучению, LA = низкий уровень успеваемости, TA = обычно достигаемый.

Стандартная математическая числовая строка (вверху), сжатая числовая строка (в центре) и очень сжатая числовая строка для детей с MLD.Две последние линии отображают мысленную дистанцию ​​между величинами, представленными в системе представления приблизительных величин, и чем больше понимание, тем труднее различать большие величины.

Размещение детьми цифр на физической числовой прямой использовалось для того, чтобы сделать выводы о природе их приблизительной системы представления величин. Размещение, соответствующее натуральному логарифму чисел, может отражать зависимость от потенциально внутренней системы, которая представляет приблизительные величины ^{50, 51} .Эти размещения отражают расширение числовой линии для меньших значений, как показано в средней части рисунка 4, и сокращение для более крупных. «Умственное расстояние» между единицей и двумя намного больше, чем расстояние между восемью и девятью, поэтому детям легче различать разницу в величинах между единицей и двумя, чем между восемью и девятью, даже несмотря на то, что фактическая разница такая же. . С помощью обучения дети в конечном итоге выучивают математическую числовую линию; расстояние между двумя последовательными числами одинаково независимо от положения в строке.Какой бы ни была лежащая в основе репрезентативная система, точность линейного размещения позволяет прогнозировать более поздние математические достижения ⁵² .

В одном из наших исследований мы сравнили размещение учеников первого и второго классов MLD, LA и TA по числовой строке от 0 до 100 ⁴⁴ . Групповые различия были выявлены с использованием групповых медиан, с оценкой опыта за исследованием, соответствовало ли размещение логарифмическому (предполагая использование приблизительной системы величин) или линейному (предполагающему изучение математической числовой линии) мысленному представлению положения по числу. линии и с несколькими мерами абсолютной погрешности.Общая картина предполагала, что дети с MLD в большей степени зависели от приблизительной репрезентативной системы — они не изучали математическую числовую линию так же легко, как другие дети — и в соответствии с гипотезой Баттерворта их представление величины оказалось более сжатым, чем у LA. и дочерние элементы TA, представленные нижней числовой строкой в. Другими словами, детям с MLD трудно различать величины, представленные даже маленькими цифрами, возможно, из-за недостатка или задержки в системе для представления приблизительных величин.Последующее наблюдение за этими детьми до пятого класса показало, что дети с низким IQ (не оцениваемые в первом исследовании) догнали своих сверстников ТА по этой задаче к третьему классу, дети из Лос-Анджелеса — к четвертому, но дети с MLD все еще имели не догнали пятую, хотя и закрыли разрыв ³¹ .

Эти исследования, хотя и не являются окончательными, предполагают, что многие дети с MLD и, в меньшей степени, их сверстники из Лос-Анджелеса не имеют сильного интуитивного ощущения числовой величины, что этот дефицит не связан с интеллектом или способностями к чтению.Необходимы последующие исследования, но тенденции развития, показанные на рисунке, предполагают, что эти трудности распространятся далеко за пределы начальной школы. Являются ли они результатом ранних нарушений развития нервной системы в фундаментальных системах представления малых, точных величин и приближенных больших величин, как предположил Баттерворт, еще предстоит определить. В любом случае, низкая производительность в этих простых числовых задачах свидетельствует о том, что успеваемость по математике ниже среднего, вне зависимости от влияния интеллекта, рабочей памяти или навыков чтения ⁴⁹ .

АРИФМЕТИКА

Типичное развитие

К тому времени, когда они начинают формальное обучение в школе, большинство детей координируют свои знания чисел и навыки счета с неявным пониманием сложения и вычитания, и в результате могут начать использовать числовые слова и арабские цифры для решения формальные задачи сложения и вычитания (например, «Сколько будет 3 + 2?») ^{53, 54, 55} . Хотя дети этого возраста будут использовать сочетание различных стратегий решения проблем, наиболее распространенные подходы включают счет, иногда с использованием пальцев, а иногда и без них. ⁵⁶ .Процедуры min и sum — это два распространенных способа подсчета детьми ⁵⁷ . Процедура min включает в себя указание слагаемого с большим значением, а затем подсчет количества раз, равный значению меньшего слагаемого; например, сказать «пять», а затем считать «шесть, семь, восемь», чтобы решить «5 + 3 =?». Процедура суммирования включает подсчет обоих слагаемых, начиная с 1. Использование подсчета результатов в развитии долговременной памяти, репрезентации основных фактов ⁵⁶ . После формирования эти представления поддерживают использование процессов, основанных на памяти; в частности, прямой поиск арифметических фактов и разложение.Последний включает в себя восстановление ответа на основе поиска частичной суммы; например, 6 + 7 можно решить, получив ответ на 6 + 6 и затем прибавив 1 к этой частичной сумме.

Однако разработка — это не просто переход от использования менее сложных методов подсчета к более сложным стратегиям поиска. ⁵⁸ . Скорее, в любое время дети могут использовать любую из множества известных им стратегий для решения различных задач; они могут получить ответ на 3 + 1, но считают, чтобы решить 5 + 8.Что меняется, так это сочетание стратегий: сложные используются чаще, а менее сложные — реже ⁵⁹ .

Дети с MLD и LA

Те же методы, разработанные для изучения арифметических способностей детей TA, были применены к исследованию детей с MLD и LA детей и выявили сходства и несколько заметных различий ^{8, 13, 60, 61 , 62, 63} . Дети с MLD и LA используют те же типы подходов к решению проблем, что и их сверстники TA, но отстают в развитии процедурных навыков и имеют более стойкие трудности с запоминанием основных арифметических фактов.

Процедурная компетенция

Дети с MLD и их сверстники из Лос-Анджелеса совершают больше процедурных ошибок, чем дети того же класса, когда они решают простые (например, 4 + 3) и сложные (например, 745–198) арифметические задачи (4 + 3) , а также текстовые задачи ^{8, 60, 64, 65} . Распространенная ошибка первоклассников с MLD — занижение счета при использовании процедуры min; для задачи «5 + 3 =?» они скажут «пять, шесть, семь». Они правильно подсчитывают три числовых слова, минимальное слагаемое, но не используют «пять» для обозначения кардинального значения большего слагаемого.Даже когда эти дети не совершают ошибок, они склонны использовать незрелые процедуры ^{60, 62, 66} . К первому классу большинство детей ТА могут считать молча («в уме») и использовать процедуру min для решения простых задач сложения, но первоклассники с MLD используют свои пальцы, чтобы следить за счетом, и чаще используют процедуру суммирования. чем их коллеги по ТА. Дети с ЛА также чаще используют пальцы, чем дети с ТА, но используют процедуру min чаще, чем дети с MLD ^{8, 62, 67, 68} .Для простой арифметики это означает задержку в развитии примерно на два-три года для детей с MLD и примерно на один год для детей из Лос-Анджелеса.

Недостатки и задержки детей с MLD и LA при решении простых задач становятся более очевидными, когда они пытаются решить более сложные ^{69, 70} . При решении многоступенчатых арифметических задач, таких как 45 × 12 или 126 + 537, четвероклассники с MLD совершали больше ошибок, чем их сверстники ТА ⁶⁴ , соответствующие IQ.Ошибки включают несовпадение цифр при записи частичных ответов или при переносе или заимствовании из одного столбца в другой. Распространенные ошибки вычитания включали вычитание большего числа из меньшего (например, 83–44 = 41), невозможность уменьшения после заимствования из одного столбца в следующий (например, 92–14 = 88; 90 не уменьшалось до 80) , и заимствование через 0 (например, 900–111 = 899) ⁶⁶ . Эти закономерности были обнаружены для детей с MLD и LA, независимо от их успехов в чтении.Опять же, ошибки — это в основном задержки в развитии, а не постоянные проблемы; они совершаются младшими детьми TA ⁷¹ , и дети с MLD и LA в конечном итоге осваивают правильные процедуры, хотя и на несколько лет позже, чем их сверстники из TA.

Память для основных фактов

Наиболее последовательный результат исследования состоит в том, что большинство детей с MLD и часть детей с LA постоянно испытывают трудности с сохранением основных арифметических фактов в долговременной памяти или с их извлечением после того, как они совершены ^{14, 60, 62} .Дело не в том, что эти дети не могут запоминать или извлекать какие-либо основные факты, они скорее демонстрируют стойкие различия в частоте, с которой они правильно извлекают их, и в структуре ошибок извлечения. Было предложено три различных механизма в качестве потенциального источника этих трудностей поиска.

Первый — это недостаток способности формировать фонетические, языковые и звуковые репрезентации в долговременной памяти. ²⁴ . Эта гипотеза вытекает из того, что дети с самого начала полагались на счет, когда они впервые учатся решать арифметические задачи, поскольку счет зависит от фонетических и семантических систем языковой области.Любое нарушение способности представлять или извлекать информацию из этих систем теоретически должно приводить к трудностям в формировании ассоциаций проблема / ответ для арифметических задач во время процесса счета, а также приводить к сопутствующим проблемам с поиском слов во время акта чтения. . Исследования арифметических нарушений после травмы головного мозга показывают, что извлечение дополнительных фактов действительно поддерживается системой нейронных структур, которые, по-видимому, поддерживают фонетические и семантические представления и задействованы во время возрастающих процессов, таких как подсчет ^{72, 73} .Однако эти результаты следует интерпретировать с осторожностью, поскольку они основаны на исследованиях взрослых, а мозг и когнитивные системы, поддерживающие раннее обучение, во многом отличаются от тех, которые поддерживают такую ​​же компетенцию во взрослом возрасте ^{74, 75} .

Второй механизм — это недостаток способности препятствовать поступлению нерелевантных ассоциаций в рабочую память в процессе извлечения фактов ⁷⁶ . Эти вторжения часто оцениваются, прося детей только попытаться запомнить ответ и не использовать счет или любую другую процедуру для решения проблемы ²⁶ .Если вторжение мешает детям получить правильный ответ, тогда соответствующие ошибки поиска должны быть связаны с цифрами в представленной задаче. Примеры включают получение 36 при попытке решить 6 × 5 или 8 при попытке решить 4 + 7. Первая называется ошибкой, связанной с таблицей, потому что это правильный ответ на аналогичную задачу (6 × 6) в таблице умножения, а вторая называется ошибкой счетной строки, потому что полученный ответ следует за одним из слагаемых в счетная строка (8 следует за 7) ^{77, 78} .Оба типа вторжений происходят для детей ТА, как и вторжения между операциями; например, напоминая 40 для 8 + 5 ⁷⁹ . Все эти типы вторжений более распространены и устойчивы в большем количестве классов для детей с MLD и некоторых детей из Лос-Анджелеса. Подростки с MLD часто сталкиваются с вторжениями, связанными с таблицами, когда они решают простые задачи умножения, а в начальной школе вторжения со счетными строками являются обычным явлением для поиска сложения. ^{14, 76} .

Третий предложенный механизм — это недостатки или задержки в системах счисления, которые поддерживают точное представление малых величин и приблизительное представление больших величин ²⁷ .Обоснование этого состоит в том, что раннее обучение детей арифметике может зависеть от этого интуитивного понимания числа: их способность оценивать приблизительные ответы при первом обучении решать арифметические задачи может частично зависеть от системы представления приблизительных величин. Другими словами, предполагается, что эти базовые системы счисления обеспечивают часть основы для изучения вышеуказанных чисел (например, система с основанием 10) и арифметики в школе. С этой точки зрения, дефицит поиска вторичен по отношению к более фундаментальному дефициту в приблизительной репрезентативной системе.Эмпирическая оценка потребует лонгитюдных исследований, чтобы определить, существует ли связь между дефицитом обработки чисел в дошкольном возрасте и дефицитом поиска в начальных школьных годах. Хотя этот тип лонгитюдного исследования еще предстоит провести, анализ взаимосвязи между показанным дефицитом беглости речи и дефицитом извлечения у детей с MLD и детей LA с частыми ошибками вторжения предполагает, что эти два дефицита не связаны. Например, у некоторых детей из Лос-Анджелеса медленная обработка чисел обнаруживается при отсутствии дефицита поиска ⁸⁰ .

В целом очевидно, что трудности с изучением или извлечением основных арифметических фактов — обычная и постоянная проблема для детей с MLD и для подгруппы детей из Лос-Анджелеса. Из предложенных механизмов наиболее убедительными доказательствами являются ошибки вторжения, то есть дефицит поиска частично связан с проникновением связанной, но не относящейся к делу информации в рабочую память, когда эти дети пытаются запомнить арифметические факты. Не все их ошибки происходят из-за вторжений, однако можно предположить, что в них может быть задействовано несколько механизмов и что у разных детей могут быть проблемы с поиском по разным причинам.Остается определить, связаны ли эти альтернативные механизмы с языковой системой и недостатками обработки чисел.

Перед тем, как перейти к Общий дефицит домена , я отмечаю, что ошибки поиска сами по себе не могут использоваться для определения наличия у ребенка MLD. Это связано с тем, что во многих учебных программах по математике, используемых в Соединенных Штатах, не акцентируется внимание на изучении основных фактов, и поэтому многие дети не знают их всех. Дети с MLD и многие из их сверстников из Лос-Анджелеса совершают больше этих ошибок, чем дети TA, и, как уже отмечалось, больше из них являются ошибками вторжения.Доказательства того, что у этих детей трудности с поиском фактов — это реальный дефицит, а не результат ограниченной практики, получены из исследований, проведенных в странах, которые делают упор на запоминание основных фактов. Дети в Гонконге, где упор делается на запоминание, имеют те же процедурные задержки и дефицит поиска для групп детей из MLD и LA, что и в США и многих других странах ⁸¹ . Обычные учебные программы по математике в Соединенных Штатах не вызывают этих трудностей, но затрудняют их выявление.

ОБЩИЕ НЕДОСТАТКИ ДОМЕНА

По определению, неспособность к обучению определяется успеваемостью ребенка в тестах на успеваемость и в школе в целом, а для взрослых — влиянием плохого чтения и математических навыков на их повседневное функционирование, в том числе их занятость ¹ . Поэтому как для детей, так и для взрослых важно оценивать не только конкретные недостатки (например, в обработке чисел), но и другие когнитивные факторы, которые предсказывают успеваемость в школе и успеваемость на работе.Эти общие способности к обучению включают подвижный интеллект, рабочую память и скорость обработки данных. Хотя измерения этих различных способностей обычно коррелируют друг с другом, все они оценивают уникальные компетенции, которые потенциально важны для академического обучения ^{82, 83, 84, 85} .

Полезной эвристикой является иерархическая организация этих компетенций Кэрролла ⁸⁶ . Гибкий интеллект находится на вершине и представляет процессы, которые влияют на обучение в разных контекстах и ​​содержании, особенно на простоту изучения новых и сложных концепций ^{83, 87, 88} .Рабочая память и скорость обработки находятся на втором уровне и представляют собой широкие возможности, влияющие на обучение во многих, но не во всех областях. На третьем уровне находятся более узкие области компетенции, включая математику. Исследования результатов по широкому кругу тестов с бумагой и карандашом выявили по крайней мере две основные математические области: Числовые возможности, которые оценивают компетентность в арифметике, а для маленьких детей — их количество и умение считать, и Математическое мышление, которое оценивает более абстрактные математические знания. ⁸⁹ .

Интеллект

Гибкий интеллект — лучший индивидуальный показатель академической успеваемости ^{90, 91} . В качестве одного примера, пятилетнее проспективное исследование более 70 000 студентов показало, что интеллект в возрасте 11 лет объясняет почти 60% отклонений в национальных тестах по математике, проведенных в возрасте 16 ⁹² . Интеллект также передается по наследству, и, похоже, существуют общие гены, способствующие корреляции между интеллектом и математическими достижениями ⁹³ .Одна из возможностей состоит в том, что медленный математический рост детей с MLD и их сверстников из Лос-Анджелеса и частичная наследственность этих расстройств могут быть связаны с интеллектом.

Хотя это может быть фактором, способствующим развитию детей с MLD, он, по-видимому, не является основным. Как отмечалось в разделе ПРИЧИНЫ и возвращаясь к нему, успеваемость детей с MLD по математике значительно ниже, чем у детей с гораздо более низкими показателями интеллекта. Во всяком случае, дети с MLD должны иметь более высокие баллы по математике, чем они, если бы интеллект был основным источником их неспособности к обучению.Интеллект вообще не может быть фактором для детей из Лос-Анджелеса, учитывая, что их интеллект средний. Это не означает, что дети или взрослые с более низкими показателями интеллекта не испытывают трудностей при изучении математики. Действительно, контроль интеллекта сократил разрыв в успеваемости по математике по сравнению с группами TA и Low-IQ, показанными в, но не внес свой вклад в разрыв между группами TA и MLD; то есть результативность детей с низким IQ соответствовала их показателям интеллекта, но показатели детей с MLD были ниже ожидаемых.Дело в том, что многие дети и предположительно взрослые испытывают трудности с некоторыми областями математики по причинам, не связанным с их интеллектом.

Рабочая память

Рабочая память — это способность использовать фокусировку внимания для удержания информации в уме при выполнении других умственных действий; отфильтровать информацию, не имеющую отношения к поставленной задаче; и переключаться с одной задачи на другую. Когнитивные ученые определили, что рабочая память зависит от трех основных систем.Центральный исполнительный орган, обеспечивающий нисходящий контроль над информацией, которая активна (т. Е. Осознает ее) в двух репрезентативных системах ^{94, 95} . Это языковой фонологический цикл и визуально-пространственный блокнот ^{96, 97} . Существует четвертая система, эпизодический буфер, который способствует интеграции языковой и зрительно-пространственной информации и вызывает воспоминания о личных переживаниях, но об этой системе известно не так много, как о трех других ⁹⁸ .

Взаимосвязь между объемом рабочей памяти и результатами тестов на успеваемость по математике и математических познавательных задач хорошо известна. ^{8, 99} . Независимо от того, оценивались ли они одновременно или на один или несколько лет раньше, чем выше возможности центрального исполнительного органа, тем лучше показатели успеваемости по математике и математического познания ^{100, 101, 102} . Важность фонологической петли и зрительно-пространственного блокнота для рисования зависит от содержания оцениваемой математики ^{8, 100} .Фонологический цикл, по-видимому, поддерживает процессы, включающие артикуляцию чисел, например, счет, решение математических задач со словами, и может быть связан с поиском арифметических фактов ^{24, 99, 102} . Блокнот для визуально-пространственных эскизов поддерживает обучение в более широком количестве математических областей, таких как числовая линия и аспекты перевода текстовых задач в математические уравнения ^{104, 105} .

Дети с MLD и LA дети

Дети с MLD имеют дефицит рабочей памяти в каждой из трех основных систем, что, в свою очередь, способствует их медленному прогрессу в изучении математики помимо вклада интеллекта и скорости обработки данных ^{8, 67, 100, 106, 107} .Их скомпрометированный центральный исполнительный орган особенно важен ^{8, 108, 109} , но это отношение осложняется по крайней мере тремя подкомпонентами центрального исполнительного органа, каждый из которых может влиять на математическое обучение по-разному. К ним относятся умение хранить информацию в рабочей памяти, переключение задач и запрет поиска нерелевантной информации ^{9, 110, 111, 112} .

В любом случае, трудности, препятствующие активации нерелевантной информации в рабочей памяти, были независимо связаны с плохими математическими достижениями несколькими исследовательскими группами ^{, 110, 111, 112} .Как отмечалось в документе Память основных фактов , дефицит этого компонента центральной исполнительной власти может объяснять детям с высокой частотой вторжений MLD во время акта поиска арифметических фактов и может быть фактором, способствующим сопутствующей патологии MLD и RD. у некоторых детей; плохие читатели менее способны подавлять не относящиеся к контексту значения двусмысленных слов (например, берег реки, кассир в банке), значения похожих по звучанию слов (например, пациенты, терпение) и извлекать больше контекстной информации, чем это необходимо для прочитанного отрывка ¹¹³ .Хотя содержание арифметики и чтения различается, основные причины некоторых (но не всех) трудностей в обучении в этих областях могут быть одинаковыми. Ошибки вторжения, которые возникают у некоторых детей из Лос-Анджелеса, также соответствуют такому дефициту, но их центральные исполнительные баллы обычно находятся в среднем диапазоне. Тем не менее, центральные исполнительные меры, использованные в этих исследованиях, в первую очередь оценивали компоненты обслуживания и переключения задач, а не тормозящий компонент управления ^{8, 106} .Таким образом, еще предстоит установить прямую связь между компонентом тормозящего контроля центральной исполнительной власти и ошибками вторжения, которые способствуют плохому поиску фактов у детей с MLD и их сверстников из LA.

Мы обнаружили, что дети из Лос-Анджелеса имеют средние баллы по измерениям фонологической петли и зрительно-пространственного блокнота ⁸ , но у некоторых из этих детей могут быть тонкие зрительно-пространственные дефициты ¹⁰⁶ . Как уже отмечалось, у детей с MLD есть недостатки в обеих этих системах рабочей памяти, что, в свою очередь, может способствовать их медленному прогрессу в определенных областях математики ^{8, 44} .Например, плохая зрительно-пространственная рабочая память детей с MLD может способствовать их медленной обработке чисел и низкой производительности в задаче числовой линии по сравнению с детьми LA с IQ-соответствием. Потенциальный вклад зрительно-пространственной рабочей памяти в эти специфические недостатки интригует, потому что считается, что точные и приблизительные системы представления величины расположены в той области мозга, которая также способствует способности формировать зрительно-пространственные представления. Напротив, частые ошибки, совершаемые детьми с MLD, когда они используют счет для решения простых задач сложения, связаны с их плохой фонологической рабочей памятью, то есть их способностью сохранять языковые звуки (например,g., числовые слова) в уме, когда занят другой задачей (например, отслеживает процесс подсчета).

Очевидно, что еще многое предстоит узнать о связи между несколькими компонентами рабочей памяти и индивидуальными различиями в обучении в разных областях математики в целом и о вкладе этих систем рабочей памяти в плохие достижения детей с MLD и их сверстники из Лос-Анджелеса. На этом этапе мы можем сделать вывод, что у детей с MLD есть повсеместный дефицит по всем системам рабочей памяти, которые были оценены, но наше понимание отношений между конкретными компонентами рабочей памяти и конкретными дефицитами математического познания находится в зачаточном состоянии.Многие дети с ЛА, напротив, имеют нормальную фонологическую рабочую память, особенно если успеваемость по чтению средняя или выше, а также нормальную способность использовать функции контроля внимания центральной исполнительной власти для сохранения информации в рабочей памяти. Многие из этих детей, по-видимому, имеют неповрежденную систему зрительно-пространственной рабочей памяти, но у некоторых из них могут быть более тонкие недостатки. Наиболее обнадеживающие результаты предполагают, что у детей с ЛП наблюдается незначительный дефицит компонента тормозящего контроля центрального исполнительного органа ^{8, 9} , но мы ждем подтверждения.

Скорость обработки

Более высокая скорость обработки связана с более высокими оценками достижений, хотя сила этих отношений меньше, чем между интеллектом, рабочей памятью и достижением ^{87, 88} . Когнитивные ученые в настоящее время обсуждают, вызваны ли индивидуальные различия в рабочей памяти более фундаментальными различиями в скорости когнитивной обработки и принятия решений, или же сосредоточение внимания, связанное с центральным исполнительным директором, ускоряет обработку информации ^{114, 115} .Независимо от направления взаимосвязи, скорость обработки имеет несколько подкомпонентов, которые не зависят от рабочей памяти ⁸⁶ , и иногда оказывается, что она лучше предсказывает математические результаты, чем рабочая память или независимый предсказатель после контроля рабочей памяти и интеллекта ^{116 , 117} . В процессе развития скорость обработки данных быстро увеличивается для многих простых задач в первые годы начальной школы, а затем асимптотически приближается к уровням, близким к взрослым, в подростковом возрасте ¹¹⁸ .Механизмы, лежащие в основе этого паттерна, до конца не изучены, но могут включать в себя существенные улучшения компонента фокуса внимания центральной исполнительной системы и быстрое увеличение нейронального белого вещества (которое ускоряет нейронную передачу) в этом возрастном диапазоне ¹¹⁹ .

Дети с MLD и LA Дети в среднем тратят больше времени на решение задач, чем их сверстники из TA ¹²⁰ , но это не обязательно указывает на более низкую скорость основной обработки данных ²⁴ .Их медленная скорость решения задач частично объясняется трудностями поиска фактов у многих из этих детей, что приводит к тому, что они полагаются на более медленные процедуры решения проблем; например, при попытке решить простые задачи сложения на подсчет уходит больше времени, чем на извлечение. Математическое моделирование можно использовать для разделения скорости обработки на составляющие, такие как скорость кодирования чисел в рабочую память и скорость неявного подсчета. Использование этих методов позволило получить более детальную картину скорости обработки данных у детей с MLD и их сверстников из Лос-Анджелеса ^{13, 120, 121} .Исследования иногда показывают, что дети с MLD медленнее в неявном счете, чем их сверстники TA, но иногда нет различий. Более последовательный вывод состоит в том, что маленькие дети с MLD медленнее справляются с более простыми процессами, такими как кодирование чисел в рабочую память.

Использование быстрого автоматизированного именования (RAN), при котором детей просят как можно быстрее назвать серию хорошо выученных букв или цифр, является лучшим подходом к вопросу о том, имеют ли дети с MLD и LA более медленные основы. скорость кодирования и обработки информации ¹²² .Поскольку обрабатываемая информация очень проста, результаты не искажаются различными стратегическими подходами (например, подсчет или поиск). Более низкая производительность при выполнении задач RAN последовательно связана с более низкими показателями успеваемости по чтению, что может быть связано с простотой кодирования и представления языковых звуков в фонологическом цикле ^{123, 124} . В наших исследованиях мы обнаружили, что дети с MLD начинают школу с гораздо более медленной скоростью обработки чисел, чем их сверстники TA, с детьми из групп Лос-Анджелеса и групп с низким IQ между ними, но разрыв быстро сокращается.Для некоторых детей ЛА их медленная обработка может быть связана с компонентом контроля внимания центральной исполнительной власти, а не с более фундаментальной разницей в скорости обработки как таковой. Для детей с MLD, напротив, может быть более фундаментальное различие в механизмах (например, развитие белого вещества), которые поддерживают скорость обработки информации, но любое такое различие, по-видимому, является скорее задержкой в ​​развитии, чем стойким дефицитом. Чтобы определить, так ли это, потребуются исследования головного мозга.

КОГНИТИВНЫЕ ВМЕШАТЕЛЬСТВА

К сожалению, существует несколько научно обоснованных программ лечения, направленных на устранение дефицита математического познания у детей с MLD и их сверстников из Лос-Анджелеса. На основе нескольких в широком смысле высококачественных вмешательств по математике для учащихся с ограниченными возможностями в обучении Национальная консультативная группа по математике определила, что прямое, управляемое учителем подробное обучение тому, как решать определенные типы математических задач, было наиболее эффективным вмешательством ²⁰ .Эффективные вмешательства всегда включали несколько занятий, продолжавшихся от нескольких недель до шести месяцев, и приводили к значительному улучшению способности студентов решать математические задачи со словами, вычислительные арифметические задачи, а также новые задачи со словом и арифметикой. Однако, как правило, многие из этих эффектов вмешательства не подлежат обобщению, а это означает, что улучшение вычислительных навыков, например, требует прямого вмешательства в вычислительные навыки, а не вмешательств для решения общих задач или даже других математических компетенций.Тем не менее, обобщение может произойти, если навык, ставший целью вмешательства, является компонентом более сложной математической задачи.

Вмешательства, предназначенные для устранения конкретных когнитивных задержек или нарушений, определенных в ПРИЧИНЫ , в настоящее время разрабатываются и оцениваются ^{125, 126} . Одно вмешательство фокусируется на частоте и точности, с которой дети с MLD используют процедуру подсчета мин для решения задач сложения и соответствующую процедуру для решения задач вычитания ¹²⁶ .Сопутствующее исследование включало индивидуальные занятия в течение 48 занятий по 20–30 минут. Обучение включало подробные инструкции о том, как использовать подсчет мин, проиллюстрированные числовой линией. Для некоторых детей наставления сопровождались осознанной практикой; в частности, если ребенок не мог правильно ответить на простую задачу сложения или вычитания в течение одной минуты, ему предлагалось использовать подсчет мин для решения задачи. Другим детям давали те же инструкции, но потом они читали цифры, вместо того, чтобы заниматься осознанной практикой.Сочетание явных инструкций и осознанной практики подсчета минут привело к повышению компетентности в решении простых задач сложения и вычитания и более сложных задач, в которые были встроены простые.

Также разрабатываются вмешательства для улучшения рабочей памяти, которые будут особенно полезны для детей с MLD ^{127, 128, 129, 130, 131} . Типичное вмешательство заключается в том, чтобы просить детей выполнять задачи, требующие нагрузки на их объем рабочей памяти, то есть задачи, требующие одновременной обработки и манипулирования информацией, близкой к максимальной, с которой они могут эффективно справиться.В одном недавнем исследовании было продемонстрировано, что дети, которые участвовали в вмешательстве, которое соответствовало сложности задачи их текущему объему рабочей памяти, но не более легкому вмешательству, показали значительное улучшение фонологических и зрительно-пространственных компонентов рабочей памяти после примерно 20 тренировок ( По 35 минут). Важно отметить, что они сохранили этот прирост в течение шести месяцев и показали умеренный прирост в математическом тесте при последующем наблюдении. Источник или источники этих достижений до конца не изучены, но могут включать улучшенный контроль внимания сверху вниз через центральную исполнительную власть; это улучшит способность помнить вербальную и зрительно-пространственную информацию во время решения проблем.

Некоторые из этих вмешательств также были сосредоточены на компоненте тормозящего контроля рабочей памяти. К сожалению, результаты исследований этих вмешательств неоднозначны; Напомним, что подкомпонент контроля внимания центрального исполнительного органа участвует в учете нескольких вещей во время решения проблем и может быть отделен от подкомпонента сдерживающего управления центрального исполнительного органа. На данный момент эти вмешательства, и особенно те, которые, по-видимому, улучшают контроль внимания, имеют многообещающие решения для устранения недостатков и задержек у детей с MLD и их сверстников из Лос-Анджелеса.Следующим шагом является объединение вмешательств на рабочую память с вмешательствами, нацеленными на критические математические навыки.

В конечном подходе есть многоуровневый ответ на вмешательство (RtI) ¹³² . Первый уровень включает скрининг всех детей на предмет риска MLD или LA. Учащиеся, отнесенные к группе риска, затем будут участвовать в общем математическом образовании (первый уровень) и в мероприятиях в малых группах (второй уровень), нацеленных на области риска. Учащиеся, не добившиеся улучшения в рамках вмешательства второго уровня, затем переходят к более интенсивному, часто индивидуальному вмешательству третьего уровня (подробности см. В ссылке ¹³² ).В настоящее время неизвестно, сколько детей с MLD и LA «устойчивы к лечению» с этим подходом, и является ли резистентность к лечению или необходимость вмешательства третьего уровня хорошим подходом к диагностике MLD.

РЕЗЮМЕ И ПОСЛЕДСТВИЯ ДЛЯ КЛИНИЧЕСКОЙ ПРАКТИКИ И БУДУЩИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Были достигнуты значительные успехи в нашем понимании когнитивных задержек и дефицитов, лежащих в основе медленного изучения математики примерно у 7% детей с MLD и 10% детей с устойчивым низким уровнем успеваемость по математике, несмотря на средний интеллект и умение читать ^{1, 10} .Хотя многие из основных недостатков могут быть одинаковыми, хотя и в разной степени, исследователи в этой области движутся к различию между MLD и LA, с диагностическим порогом для MLD на уровне или ниже 10 ^-го процентиля в тесте успеваемости по математике для более одного класса и диапазон между 11 ^-м и 25 ^-м процентилями включительно для Лос-Анджелеса и снова для более чем одного класса ^{8, 9} . Перед постановкой любого такого диагноза важно учитывать успеваемость по классам, так как многие дети с оценками в этих диапазонах в одном классе будут средними в следующем.У этих детей, в свою очередь, нет когнитивных задержек и нарушений, которые были выявлены в исследованиях MLD и LA ¹³ .

Различие между MLD и LA важно, потому что первая группа имеет обширный дефицит рабочей памяти, который обычно не встречается во второй группе — единственное возможное исключение — плохой тормозящий контроль, который имеет последствия для исправления. В частности, детям с MLD будут полезны вмешательства на рабочую память, а также вмешательства, нацеленные на конкретные математические области, в которых они демонстрируют задержки или недостатки.Дети с ЛА также получат пользу от последнего, но большинству из них не потребуется вмешательство в рабочую память. Подмножество детей ЛА с ошибками вторжения в процессе извлечения фактов может выиграть от вмешательств рабочей памяти, нацеленных на тормозящий контроль, после того, как эти вмешательства будут отрегулированы и последовательно продемонстрированы как эффективные.

Поскольку вмешательства наиболее эффективны, когда они нацелены на конкретные, четко определенные области дефицита, исследования в области когнитивных наук на этих детях имеют решающее значение.Эти исследования выявили несколько их основных недостатков и задержек. У детей с MLD и, в меньшей степени, у детей LA наблюдается недостаток или задержка в обработке чисел, обучении арифметическим процедурам и запоминанию основных арифметических фактов. Эти трудности в обучении частично связаны с низким средним интеллектом (например, 90–95) и объемом рабочей памяти ниже среднего у детей с MLD, но это еще не все. У этих детей также есть проблемы с представлением чисел и обработкой, которые, по-видимому, не связаны с интеллектом или рабочей памятью, и хотя мы знаем, что рабочая память способствует их процедурным задержкам и может способствовать их дефициту поиска, это не может быть единственным причинным механизмом. .

Ни интеллект, ни широкий дефицит рабочей памяти не могут служить надежным объяснением плохой успеваемости детей из Лос-Анджелеса по математике. Эти дети в большинстве своем обладают способностями ниже среднего в работе с числами (например, складывают ●●● + 2 =?), Используют незрелые арифметические процедуры, и их часть испытывает особые трудности с извлечением основных фактов из долговременной памяти ^{8 , 14, 26} . Какими бы ни были основные причины, обработка чисел и процедурные трудности, по-видимому, больше связаны с задержкой в ​​развитии (улучшается по классам), чем с дефицитом (показывает небольшое улучшение от класса к классу), при этом дети из Лос-Анджелеса отстают на один год от своих сверстников и детей ТА. с MLD на два-три года позади ¹¹⁷ .Трудности с запоминанием арифметических фактов более устойчивы для детей с MLD и для подгруппы детей с LA ⁶² . Эти недостатки могут быть связаны с плохой способностью препятствовать вторжению нерелевантной информации в рабочую память во время процесса поиска, хотя это вряд ли будет единственным источником дефицита информации.

Одной из областей, в которой был небольшой прогресс или если он вообще был достигнут, является социальное и эмоциональное функционирование детей с MLD и их сверстников из Лос-Анджелеса.Исследования детей с РЗ предполагают повышенный риск сопутствующих социальных и эмоциональных проблем, но в остальном мы мало знаем об этих проблемах. Последняя задача на ближайшие десятилетия — более полно изучить источники коморбидности MLD, RD и других расстройств, влияющих на обучение. Мы знаем, что у этих детей часто встречаются коморбидные расстройства, но не понимаем, почему это так.

Суть для практикующего педиатра состоит в том, чтобы (а) регулярно получать оценки успеваемости своих пациентов по математике (и чтению) и (б) направлять детей, набравших национальный процентиль 25 ^-й или ниже в более чем одном классе для образовательная оценка; (c) оценка должна включать тесты интеллекта и рабочей памяти, а также тесты, оценивающие определенные математические навыки (они доступны во многих стандартизированных тестах).Местные школы должны предоставлять мероприятия, которые включают характеристики (например, подробное обучение), описанные в КОГНИТИВНЫЕ ВМЕШАТЕЛЬСТВА.

21 фантастическая и бесплатная математическая игра для четвертого класса

Математика для четвертого класса полна новых и важных понятий. Дроби становятся более важными, десятичные дроби появляются впервые, а в задачах деления могут быть остатки! Сделайте все основные математические навыки четвертого класса более увлекательными с этим обзором бесплатных математических игр.

1.Сделайте разделение забавным с помощью Remainders Wanted.

Математика четвертого класса учится делить большие числа, часто с остатками. В этой игре остальное — цель! На каждом ходу ученики ставят жетон над числом на доске, затем бросают кубик, чтобы увидеть, на какое число они его разделят. Остальное — их счет за этот ход!

Подробнее: Учитель-скаут для мамы

2. Защитите их с помощью головных повязок Factor Frenzy.

Дети используют повязки из долларового магазина, чтобы держать на лбу карточки с изображением продуктов умножения.Их партнеры пытаются уговорить их угадать число, сообщая им факторы, но не говорят сами числа.

Подробнее: Teaching With a Mountain View

3. Разработайте стратегию, чтобы выиграть факторную игру.

Запишите числа от 1 до 30, как показано. Первый игрок отмечает число (свой счет за этот раунд). Затем второй игрок отмечает все оставшиеся множители этого числа (которые в сумме составляют их счет за этот раунд). Игра продолжается, пока не будут отмечены все числа.

Подробнее: Когнитивное кардио

4. Введите шаблоны, задавая вопрос «Что вы замечаете?»

Составьте шаблон задачи и попросите учащихся записать, что они заметили в ней, на стикерах. Соберите и обсудите заметки, чтобы увидеть, какие из них помогут найти правильный номер, соответствующий шаблону. Присудите баллы за правильные ответы, если хотите.

Подробнее: Family Math Night

5. Угадайте, а затем сделайте вывод с помощью Number Pattern Solver.

Нарисуйте круг и задайте диапазон чисел, затем скажите ученикам-математикам четвертого класса, что у вас есть образец. Когда они начнут угадывать числа, запишите их внутри круга, если они соответствуют шаблону, и снаружи, если нет. Сначала они будут просто гадать, но со временем начнут замечать закономерность.

Подробнее: Education.com

6. Бросьте, чтобы выиграть Place Value Yahtzee.

Эти бесплатные печатные доски Place Value Yahtzee включают дифференцированные версии для различных уровней квалификации.Добавьте несколько кубиков, и вы готовы к игре!

Подробнее: Games 4 Gains

7. Используйте игральные карты, чтобы попрактиковаться в десятичных разрядах.

Математики четвертого класса по очереди рисуют карточки, соревнуясь за то, чтобы набрать как можно большее число до тысячных.

Подробнее: Games 4 Gains

8. Сложите карточки, чтобы изучить развернутую форму.

Возьмите бесплатные карточки для печати, затем предложите детям бросить кости и выбрать подходящую карточку.Они строят числа на прилагаемом листе, чтобы получить итог. Для дополнительной практики попросите их также написать названия слов.

Подробнее: Блог о занятиях для детей

9. Попрактикуйтесь в игре в снежки.

Хотите немного контролируемого хаоса в классе? Напишите по одному числу на каждом листе бумаги, подчеркнув то место, до которого оно должно быть округлено. Раздайте каждому ученику по несколько листов и попросите их скомкать их в «снежки». Разрешите 30-секундный безопасный «снежный бой», затем попросите каждого ученика взять снежок и прочитать число вслух, правильно округляя его.Повторить!

Подробнее: Сказки от математика четвертого класса

10. Умножайте большие числа, чтобы получить тройку в ряд.

Математические ученики четвертого класса работают над многозначным умножением, выбирая одно число из поля A и одно из поля B. Они умножают их вместе, пока их партнер проверяет свой ответ на калькуляторе. Если они понимают это правильно, они помещают маркер на бесплатную доску для печати. Цель состоит в том, чтобы получить три места подряд. (Опытные игроки будут использовать округление, чтобы определить, какие числа выбрать следующим!)

Подробнее: Учитель в горошек

11.Проведите частный турнир.