«Детская школа искусств» Мошенского муниципального района

Контрольные и самостоятельные работы по математике 4 класс фгос: ГДЗ по математике к самостоятельным и проверочным работам 4 класса Ситникова

Содержание

Самостоятельные и контрольные работы по математике: 4 класс к УМК МороФГОС - Ситникова Т.Н. | 978-5-408-05049-9

Стоимость товара может отличаться от указанной на сайте!
Наличие товара уточняйте в магазине или по телефону, указанному ниже.

г. Воронеж, площадь Ленина, д.4

8 (473) 277-16-90

г. Воронеж, ул. Маршака, д.18А

8 (473) 231-87-02

г. Липецк, пл.Плеханова, д. 7

8 (4742) 47-02-53

г. Богучар, ул. Дзержинского, д.4

8 (47366) 2-12-90

г. Воронеж, ул. Г. Лизюкова, д. 66 а

8 (473) 247-22-55

г.Поворино, ул.Советская, 87

8 (47376) 4-28-43

г. Воронеж, ул. Плехановская, д. 33

8 (473) 252-57-43

г. Воронеж, ул. Ленинский проспект д.153

8 (473) 223-17-02

г. Воронеж, ул. Хользунова, д. 35

8 (473) 246-21-08

г. Россошь, Октябрьская пл., 16б

8 (47396) 5-29-29

г.

Россошь, пр. Труда, д. 26А

8 (47396) 5-28-07

г. Лиски, ул. Коммунистическая, д.7

8 (47391) 2-22-01

г. Белгород, Бульвар Народный, 80б

8 (4722) 42-48-42

г. Курск, пр. Хрущева, д. 5А

8 (4712) 51-91-15

г. Губкин, ул. Дзержинского,д. 115

8 (47241) 7-35-57

г.Воронеж, ул. Жилой массив Олимпийский, д.1

8 (473) 207-10-96

г. Калач, пл. Колхозного рынка, д. 21

8 (47363) 21-857

г. Воронеж, ул.Челюскинцев, д 88А

8 (4732) 71-44-70

г. Старый Оскол, ул. Ленина, д.22

8 (4725) 23-38-06

г. Воронеж, ул. Ростовская, д,58/24 ТЦ «Южный полюс»

8 (473) 280-22-42

г. Воронеж, ул. Пушкинская, 2

8 (473) 300-41-49

г. Липецк, ул.Стаханова,38 б

8 (4742) 78-68-01

г. Курск, ул.Карла Маркса, д.6

8 (4712) 54-09-50

г.Старый Оскол, мкр Олимпийский, д. 62

8 (4725) 39-00-10

г. Воронеж, Московский пр-т, д. 129/1

8 (473) 269-55-64

ТРЦ «Московский Проспект», 3-й этаж

г. Курск, ул. Щепкина, д. 4Б

8 (4712) 73-31-39

Самостоятельные и контрольные работы по математике 4 класс.

УМК Моро. ФГОС. Рабочая тетрадь (Вако)
Переплет мягкий
ISBN 978-5-408-04031-5
Год издания 2021
Соответствие ФГОС ФГОС
Количество томов 1
Формат 70x100/16 (170x240мм)
Количество страниц 80
Серия Сборники заданий и рабочие тетради
Издательство ВАКО
Автор
Возрастная категория 4 кл.
Раздел Математика
Тип издания Контрольные задания и тесты, Рабочая тетрадь
Язык русский

Описание к товару: "Ситникова.

Самостоятельные и контрольные работы по математике 4 класс. к УМК (Учебно-методический комплект) Моро ФГОС. Рабочая тетрадь"

Пособие содержит самостоятельные и контрольные работы, тесты по математике для 4 класса. Все задания соответствуют программе общеобразовательной школы, даны в двух равнозначных вариантах. Материал представлен в порядке изложения тем в учебнике М.И. Моро и др. (М.: Просвещение). Позволяет проводить текущую и итоговую проверку знаний учащихся – по каждому полугодию и по всему учебному году.Предназначается учителям начальных классов, а также учащимся и их родителям.

Раздел: Математика

Издательство: ВАКО
Серия: Сборники заданий и рабочие тетради

Вы можете получить более полную информацию о товаре "Самостоятельные и контрольные работы по математике 4 класс. УМК Моро. ФГОС. Рабочая тетрадь (Вако)", относящуюся к серии: Сборники заданий и рабочие тетради, издательства ВАКО, ISBN: 978-5-408-04031-5, автора/авторов: Ситникова Т. Н., если напишите нам в форме обратной связи.

Самостоятельные и контрольные работы по математике. 4 класс. К УМК М.И. Моро. ФГОС

Описание Самостоятельные и контрольные работы по математике. 4 класс. К УМК М.И. Моро. ФГОС

Пособие содержит самостоятельные и контрольные работы, тесты по математике для 4 класса. Все задания соответствуют программе общеобразовательной школы, даны в двух равнозначных вариантах. Материал представлен в порядке изложения тем в учебнике М.И. Моро и др. (М.: Просвещение). Позволяет проводить текущую и итоговую проверку знаний учащихся – по каждому полугодию и по всему учебному году.
Предназначается учителям начальных классов, а также учащимся и их родителям.

Содержание Самостоятельные и контрольные работы по математике. 4 класс. К УМК М.И. Моро. ФГОС

•От автора
Числа от 1 до 1000
Нумерация
•Самостоятельная работа 1
Арифметические действия
•Самостоятельная работа 2
•Самостоятельная работа 3
•Самостоятельная работа 4
•Самостоятельная работа 5
•Тест по теме «Арифметические действия»
•Контрольная работа по теме «Арифметические действия»
Числа больше 1000
Нумерация
•Самостоятельная работа 6
•Самостоятельная работа 7
•Самостоятельная работа 8
•Тест по теме «Нумерация»
Величины
•Самостоятельная работа 9
•Самостоятельная работа 10
•Самостоятельная работа 11
•Самостоятельная работа 12
•Контрольная работа по теме «Величины»
Сложение и вычитание
•Самостоятельная работа 13
•Самостоятельная работа 14
Умножение и деление на однозначное число
•Самостоятельная работа 15
•Самостоятельная работа 16
•Самостоятельная работа 17
•Контрольная работа за первое полугодие
Умножение и деление на числа, оканчивающиеся нулями
•Самостоятельная работа 18
•Самостоятельная работа 19
•Самостоятельная работа 20
•Тест по теме «Умножение и деление на числа, оканчивающиеся нулями»
•Контрольная работа по теме «Умножение и деление на числа, оканчивающиеся нулями»
Умножение и деление на двузначное и трёхзначное число
•Самостоятельная работа 21
•Самостоятельная работа 22
•Самостоятельная работа 23
•Самостоятельная работа 24
•Самостоятельная работа 25
•Тест по теме «Умножение и деление на двузначное и трёхзначное число»
•Контрольная работа по теме «Умножение и деление на двузначное и трёхзначное число»
•Тест за второе полугодие
•Контрольная работа за 4 класс

Страница не найдена

Новости

18 авг

Власти Крыма рассказали о ходе реализации программы «Земский учитель».

18 авг

В пресс-службе уполномоченного по правам ребёнка по Пермскому краю сообщили, что преподавателю одной из школ региона вынесли предупреждение после травли ученика.

18 авг

Заммэра Москвы по вопросам социального развития Анастасия Ракова сообщила, что в минувшем учебном году около 9 тыс. выпускников столичных школ получили московские медали «За особые успехи в обучении».

18 авг

Аналитики сайта объявлений Avito провели опрос и выяснили, что подарки учителям в День знаний планируют сделать 65% родителей российских школьников.

17 авг

Девочка из Москвы Алиса Теплякова, успешно сдавшая ЕГЭ в восемь лет, не поступила на психологический факультет МГУ на бюджет, пишет ТАСС со ссылкой на данные вуза.

17 авг

В Кировской области выбрали педагога, который представит регион в конкурсе «Учитель года России» в 2021 году.

17 авг

Учебный год в Тюменской области планируется начать в очном формате. Власти будут следить за обстановкой по коронавирусу и ОРВИ.

Математика 4 Моро - Глаголева

Контрольные работы по математике 4 класс с ответами для УМК «Школа России» (авт: М.И.Моро и др.) Цитаты из учебного пособия «Математика: предварительный контроль, текущий контроль, итоговый контроль: 4 класс/ Ю.И. Глаголева, И.И. Волковская — М.: Просвещение (КИМ)» использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ): цитаты переработаны в удобный формат (каждая работа на 1-й странице), что дает экономию денежных средств учителю и образовательному учреждению я в использовании бумаги и ксерокопирующего оборудования. Ответы адресованы родителям. Математика 4 Моро — Глаголева.

При постоянном использовании контрольных работ по математике в 4 классе рекомендуем купить книгу: Математика: предварительный контроль, текущий контроль, итоговый контроль: 4 класс/ Ю.И. Глаголева, И.И. Волковская, в которой кроме контрольных работ есть еще 26 проверочных работ с ответами, а также материалы для учителя. Учебное пособие предназначено для проверки предметных результатов по курсу «Математика. 4 класс» авторского коллектива под руководством М. И. Моро (УМК «Школа России»), Проверочные работы сгруппированы по разделам, соответствующим авторской программе и учебнику. Соответствует ФГОС начального общего образования.

 

Контрольные работы по математике 4 класс


(УМК Школа России)

Входная контрольная работа с ответами:

Входная контрольная работа

Контрольная работа № 1 с ответами. Числа от 1 до 1000. Нумерация. Четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение, деление

Контрольная работа № 1

Контрольная работа № 2 с ответами. Числа, которые больше 1000. Нумерация. Величины

Контрольная работа № 2

Контрольная работа № 3 с ответами. Числа, которые больше 1000. Четыре арифметических действия

Контрольная работа № 3

Контрольная работа № 4 с ответами. Числа, которые больше 1000. Умножение и деление

Контрольная работа № 4

Итоговая контрольная работа за 4 класс с ответами.

Итоговая контрольная работа

 


 

Вы смотрели Математика 4 Моро — Глаголева — контрольные работы (цитаты) из пособия для учащихся «Математика: предварительный контроль, текущий контроль, итоговый контроль: 4 класс/ Ю.И. Глаголева, И.И. Волковская — М.: Просвещение, 2018 — (КИМ)».

Контрольная работа по математике 4 класс 1 четверть

Контрольные работы 4 класс. 1 четверть.



Вариант 1

1) Выполни задание:

Запиши число, в котором 205 единиц класса тысяч. Уменьши его на 1.

    Решение:
  • Ответ: 205 000, 204 999

2) Выполни вычисления:

1)
899 989 + 1 = 45 283 - 40 000 = 8100 : 100 =
100 000 - 1 = 23 876 + 2 000 = 4 718 • 10 =
    2)
  • 640 - (270 + 70) =
  • (456 - 7 * 8) : 10 =
Решение:
899 989 + 1 = 899 990 45 283 - 40 000 = 5 283 8100 : 100 = 81
100 000 - 1 = 99 999 23 876 + 2 000 = 25 876 4 718 • 10 = 47 180
    2)
  • 640 - (270 + 70) = 300
  • (456 - 7 * 8) : 10 = 40

3) Заполни окошки такими числами, чтобы стали верными равенства:

    Решение:


4) Реши задачу:

На большом подносе 48 булочек, а на маленьком в 3 раза меньше. На сколько больше булочек на большом подносе, чем на маленьком?

    Решение:
  • 1)48 : 3 = 16(булочек на маленьком подносе)
  • 2) 48 - 16 = 32
  • Ответ: На большем подносе на 32 булочки больше.

5) Выполни задание:

Запиши такое числовое равенство, в котором произведение будет равно одному из множителей.

    Решение:
  • Ответ: 178 * 1 = 178

Вариант 2

1) Выполни задание:

Запиши число, в котором 7 единиц класса тысяч. Уменьши его на 2.

    Решение:
  • Ответ: 7 000, 6 998

2) Выполни вычисления:

83 709 - 3 700 = 999 979 + 1 = 675 * 100 =
19 520 + 1 000 = 1 000 000 - 1 = 2 400 : 10 =
    2)
  • 79О - (130 - 70) =
  • (106 * 4 + 276) : 100 =
Решение:
83 709 - 3 700 = 80 009 999 979 + 1 = 999 980 675 * 100 = 67 500
19 520 + 1 000 = 20 520 1 000 000 - 1 = 1 000 001 2 400 : 10 = 40
    2)
  • 79О - (130 - 70) = 730
  • (106 * 4 + 276) : 100 = 7

3) Заполни окошки такими числами, чтобы стали верными равенства:

    Решение:

4) Реши задачу:

Внуку 9 лет, а дедушка на 54 года старше внука. Во сколько раз внук моложе дедушки?

    Решение:
  • 1) 54 + 9 = 63(лет дедушке)
  • 2) 63 : 9 = 7
  • Ответ: внук моложе дедушки в 7 раз.

5) Выполни задание:

Запиши такое числовое равенство, в котором частное будет равно делимому.

    Решение:
  • Ответ: 25 : 1 = 25


Вариант 3

1) Выполни задание:

Запиши число, в котором 30 единиц класса тысяч. Увеличь его на 3.

    Решение:
  • Ответ: 30 000, 29 997

2) Выполни вычисления:

143 806 - 43 800 = 99 389 + 1 = 541 * 100 =
29 730 + 1 000 = 100 000 - 1 = 3 700 : 10 =
    2)
  • 860 - (110 - 80) =
  • (204 * 3 + 388): 100 =
Решение:
143 806 - 43 800 = 100 006 99 389 + 1 = 99 390 541 * 100 = 54 100
29 730 + 1 000 = 30 730 100 000 - 1 = 99 999 3 700 : 10 = 370
    2)
  • 860 - (110 - 80) = 830
  • (204 * 3 + 388): 100 = 10

3) Заполни окошки такими числами, чтобы стали верными равенства:

    Решение:

4) Реши задачу:

Маме 36 лет, а дочь в 4 раза моложе мамы. На сколько лет мама старше дочери?

    Решение:
  • 1) 36 : 4 = 9(дочери лет)
  • 2) 36 - 9 = 27
  • Ответ: дочь моложе мамы на 27 лет.

5) Выполни задание:

Запиши такое числовое равенство, в котором делитель будет равен частному.

    Решение:
  • Ответ: 49 : 7 = 7

Вариант 4

1) Выполни задание:

Запиши число, в котором 701 единица класса тысяч. Уменьши его на 2.

    Решение:
  • Ответ: 701 000, 700 998

2) Выполни вычисления:

Решение:

399 999 + 1 = 400 000 75 836 - 70 000 = 5 836 6 400 : 100 = 64
200 000 - 1 = 199 999 41763 + 2 000 = 39 763 5 183 * 10 = 51 830
    2)
  • 570 - (190 + 80) = 300
  • (581 - 9 * 9) : 100 = 5

3) Заполни окошки такими числами, чтобы стали верными равенства:

    Решение:

4) Реши задачу:

Циркуль стоит 32 р., а ручка на 24 р. дешевле. Во сколько раз циркуль дороже, чем ручка?

    Решение:
  • 1) 32 - 24 = 8(стоит ручка)
  • 2) 32 : 8 = 4
  • Ответ: циркуль в 4 раза дороже ручки.

5) Выполни задание:

Запиши такое числовое равенство, в котором уменьшаемое будет равно разности.

    Решение:
  • Ответ: 27 - 0 = 27
 

На странице использованы материалы из книги С. И. Волковой «Математика. Контрольные работы. 1-4 классы» 2008г.

Математика 4 Моро - Глаголева

Контрольные работы по математике 4 класс (УМК Школа России)

Математика 4 Моро — Глаголева — это контрольные работы (цитаты) из учебного пособия «Математика: предварительный контроль, текущий контроль, итоговый контроль: 4 класс/ Ю.И. Глаголева, И.И. Волковская — М.: Просвещение, 2018 — (КИМ)».

Цитаты из вышеуказанного учебного пособия использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ): цитаты переработаны в удобный формат (каждая работа на 1-й странице), что дает экономию денежных средств учителю и образовательному учреждению я в использовании бумаги и ксерокопирующего оборудования.

При постоянном использовании контрольных работ по математике в 4 классе рекомендуем купить книгу:
Математика: предварительный контроль, текущий контроль, итоговый контроль: 4 класс/ Ю.И. Глаголева, И.И. Волковская
, в которой кроме контрольных работ есть еще 26 проверочных работ с ответами, а также материалы для учителя. Учебное пособие предназначено для проверки предметных результатов по курсу «Математика. 4 класс» авторского коллектива под руководством М. И. Моро (УМК «Школа России»), Проверочные работы сгруппированы по разделам, соответствующим авторской программе и учебнику. Соответствует ФГОС начального общего образования.


Входная контрольная работа в 4 классе
Входная контрольная работа по математике 4 класс. Школа России
Контрольная работа № 1.

Числа от 1 до 1000. Нумерация. Четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение, делениеМатематика 4 Моро — Глаголева. Контрольная работа 1
Контрольная работа № 2.

Числа, которые больше 1000. Нумерация. ВеличиныМатематика 4. Контрольная работа 2. Школа России
Контрольная работа № 3.

Числа, которые больше 1000. Четыре арифметических действияМатематика 4. Контрольная работа 3. Школа России
Контрольная работа № 4.

Числа, которые больше 1000. Умножение и делениеМатематика 4 Моро — Глаголева. Контрольная работа 4
Контрольная работа № 5. Итоговая за 4 класс.
Математика 4. Контрольная работа 5. ИТОГОВАЯ за 4 класс

Вы смотрели Математика 4 Моро — Глаголева — контрольные работы (цитаты) из пособия для учащихся «Математика: предварительный контроль, текущий контроль, итоговый контроль: 4 класс/ Ю.И. Глаголева, И.И. Волковская — М.: Просвещение, 2018 — (КИМ)».

Ответов нет !

 

 

4 Оценивание для поддержки изучения математики | Измерение того, что имеет значение: концептуальное руководство для оценки по математике

обычно путем подсчета количества вопросов, на которые даны правильные ответы, и сравнения баллов одного человека с баллами другого на основании их относительного процентильного ранга. Так называемые оценки с привязкой к норме уже много лет беспокоят педагогов. Хотя высказывались различные критические замечания по поводу ссылок на нормы, основная проблема образования заключается в том, что такая информация недостаточно полезна для улучшения обучения и обучения и может, фактически, иметь контрпродуктивные образовательные последствия.В классе учителя и ученики должны знать, что ученики понимают хорошо, что они понимают хуже, и какими должны быть следующие шаги обучения. Относительные рейтинги протестированных студентов могут быть использованы вне контекста класса, но в этом контексте необходимы формы результатов, полезные для процесса преподавания и обучения.

Программы оценивания должны информировать учителей и учеников о том, что ученики узнали, как они учатся и как они думают о математике.

Например, чтобы спланировать свое обучение, учителя должны знать о текущем понимании каждым учеником того, что будет преподавать. Таким образом, программы оценки должны информировать учителей и учеников о том, что ученики узнали, как они учатся и как они думают о математике. Чтобы эта информация была полезной для учителей, она должна включать анализ конкретных сильных и слабых сторон понимания учащимся, а не только оценок вне контекста.

Чтобы обучение было эффективным, результаты оценки должны быть своевременными. 35 Учебе учащихся не способствуют компьютерные распечатки, отправляемые учителям после того, как классы заканчиваются в течение года и учащиеся ушли, ни учителя, которые уделяют слишком много времени оценке оценок. В частности, необходимо найти новые способы дать учителям и ученикам более непосредственные знания об успеваемости учеников по оценкам, предписанным внешними властями, чтобы эти оценки, а также собственные оценки учителя могли использоваться для улучшения обучения.Даже если основной целью оценки является определение достижений школы, штата или страны, оценка должна предоставлять учащимся и учителям отчеты об их успеваемости. Школьное время дорого. Когда учащимся не сообщают об их ошибках и заблуждениях, не говоря уже о том, чтобы помочь их исправить, оценка может как усилить недопонимание, так и потратить драгоценное учебное время впустую.

Когда форма оценивания незнакома, учителя несут особую ответственность перед своими учениками, чтобы сообщить им заранее.

Последствия, характеристики и причины нарушения математической обучаемости и устойчиво низкой успеваемости по математике

Резюме

Цель

Обзор преследует три цели; а) выявить последствия слаборазвитых математических компетенций для образования и трудоустройства; б) обзор характеристик детей со стабильно низкими успеваемостями по математике; и c) предоставить учебник по исследованиям в области когнитивных наук, которые направлены на выявление когнитивных механизмов, лежащих в основе этих нарушений обучаемости и связанных с ними когнитивных вмешательств.

Метод

Литература, посвященная образовательным и экономическим последствиям плохой успеваемости по математике, была проанализирована и объединена с обзорами эпидемиологических, поведенческих генетических и когнитивных исследований плохой успеваемости по математике.

Результаты

Плохие математические способности являются обычным явлением среди взрослых и приводят к трудностям при приеме на работу и трудностям во многих повседневных делах. Среди студентов около 7% детей и подростков имеют математическую неспособность к обучению (MLD), а еще 10% демонстрируют устойчиво низкие достижения (LA) по математике, несмотря на средние способности в большинстве других областей.Дети с MLD и их сверстники из Лос-Анджелеса испытывают дефицит понимания и представления числовой величины, трудности с извлечением основных арифметических фактов из долговременной памяти и задержки в обучении математическим процедурам. Эти недостатки и задержки не могут быть связаны с интеллектом, но связаны с дефицитом рабочей памяти у детей с MLD, но не у детей из Лос-Анджелеса. Вмешательства, направленные на этот когнитивный дефицит, находятся в разработке, и предварительные результаты многообещающие.

Заключение

Нарушения в обучении по математике и трудности в обучении, связанные со стойкими низкими достижениями по математике, являются обычным явлением и не связаны с интеллектом.У этих людей есть идентифицируемое количество, а также задержки и дефициты памяти, которые, по-видимому, характерны для обучения математике. Наиболее многообещающими являются вмешательства, направленные на эти конкретные дефициты, и, кроме того, для детей с MLD вмешательства, направленные на их низкий объем рабочей памяти.

Ключевые слова: нарушение обучаемости, нарушение математической обучаемости, низкие достижения, математические познания, рабочая память

Мало кто сомневается в важности грамотности для работы и повседневной жизни в современном мире, но многие недооценивают важность арифметических и других базовых математических навыков (например,г., простая алгебра, измерение) 1 . Фактически, социальные и индивидуальные затраты на плохо развитые математические навыки могут быть выше, чем затраты, связанные с плохими навыками чтения, отчасти потому, что больше людей испытывают трудности с математикой, чем с чтением, и из-за постоянного увеличения количественных знаний, необходимых для функционирования во многих странах. рабочие места сегодня, в том числе многие рабочие места для синих воротничков 1, 2, 3, 4, 5 . Последствия подробно описаны в первом разделе, а во втором - обзор характеристик детей с математической неспособностью к обучению (MLD) и их сверстников, у которых постоянно низкие математические достижения по математике (LA), несмотря на средние способности в большинстве других областей. .В последнем разделе представлен учебник по исследованиям в области когнитивных наук с акцентом на выявление механизмов, лежащих в основе MLD и LA, и попытках разработать меры, нацеленные на них.

ПОСЛЕДСТВИЯ

Последствия плохо развитой математической компетенции были задокументированы в обзоре крупномасштабных национальных исследований чтения и математических навыков детей и взрослых в Великобритании 1 . Неудивительно, что их результаты показали, что плохие навыки чтения сокращают возможности трудоустройства и заработной платы, но было удивительно, что плохие математические навыки привели к еще более плачевным перспективам даже для людей с хорошими навыками чтения 2, 4 .Суть проиллюстрирована результатами крупномасштабного лонгитюдного исследования, в котором приняли участие около 17000 человек от рождения до взрослого возраста, при этом у 10% из них в возрасте 37 2 были полностью оценены навыки чтения, математики, трудоустройства и трудовой стаж. В экзаменах по чтению и математике основное внимание уделялось повседневным навыкам. Тест по чтению включал в себя вопросы, начиная от способности понимать рекламу и заканчивая выводами о технической газетной статье, а вопросы по математике варьировались от определения правильной суммы сдачи после покупки до определения связи между повышением заработной платы и повышением стоимости жизни.Все вопросы по математике можно было легко решить с помощью базовых арифметических, измерительных и простых алгебраических навыков. Чтобы избежать недоразумений, основное внимание уделялось людям, которые не пошли в колледж после окончания средней школы, и сравнения проводились в двух группах: одна со средним уровнем чтения и средними навыками математики, а другая - со средним уровнем чтения, но ниже среднего.

Как для мужчин, так и для женщин плохие математические навыки были связаны с более низким уровнем полной занятости, более высоким уровнем занятости на низкооплачиваемых ручных работах, более частыми периодами безработицы и меньшей способностью воспользоваться преимуществами обучения, предлагаемого работодателем. и, следовательно, более низкие показатели продвижения по службе.Многие женщины в этой группе в конечном итоге покинули рынок труда на условиях полной занятости, и, хотя 4 из 5 мужчин были заняты полный рабочий день, 50% из них имели низкий годовой доход по сравнению с 26% мужчин в группе сравнения. Эти данные не ограничиваются Великобританией, поскольку аналогичные отношения обнаружены в США 4 .

Эти результаты и результаты других крупномасштабных исследований, проведенных в Соединенных Штатах и ​​Канаде, также показывают, что математическая компетентность ниже среднего в начале обучения связана с повышенным риском плохой математической компетентности в конце обучения, сверх влияния семейного происхождения, социального и эмоционального функционирования ребенка, его интеллекта и способностей к чтению 1, 6 .Раннее выявление детей, подверженных риску длительных трудностей в математике, имеет решающее значение. Без вмешательства эти ранние дефициты, вероятно, выльются в пожизненную борьбу на рабочем месте и в удовлетворении повседневных потребностей современного мира.

ХАРАКТЕРИСТИКИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Диагностическое и статистическое руководство по психическим расстройствам Американской психиатрической ассоциации определяет MLD с точки зрения несоответствия между результатами тестов на успеваемость по математике и ожидаемыми результатами, основанными на возрасте, интеллекте и годах образования и для взрослых существенно мешает их повседневной деятельности 7 .Однако не было установлено, что дети (или взрослые) с низкими показателями успеваемости по математике и с низким интеллектом имеют разные формы дефицита математического познания, чем дети с низкими достижениями по математике и средним интеллектом. Некоторые результаты, описанные в статье CAUSES , предполагают, что математические недостатки могут быть одинаковыми, но механизмы, вызывающие эти недостатки, могут различаться. На этом этапе подразумевается, что уровень интеллекта может не иметь значения при выявлении математических недостатков, но для детей с более высоким или более низким интеллектом могут потребоваться различные корректирующие подходы.

Среди исследователей в этой области складывается консенсус в отношении полезности различения детей с MLD и их сверстников из Лос-Анджелеса, с ограничением, что показатели интеллекта выше 15 th процентилей 8, 9 . Дети, набравшие процентиль 10 -го или ниже по стандартизированным тестам на успеваемость по математике в течение как минимум двух последовательных академических лет, обычно классифицируются как MLD в исследовательских исследованиях, а дети, набирающие процентили между 11 и 25 -го процентилей, включительно, по крайней мере, два года подряд относятся к категории LA.Реакция на вмешательство также может быть использована для выявления и лечения детей с MLD и LA и описана в COGNITIVE INTERVENTIONS .

ЗАБОЛЕВАЕМОСТЬ

На основании нескольких проспективных исследований населения и многих более мелких исследований около 7% детей и подростков будут диагностированы как MLD по крайней мере в одной области математики до окончания средней школы, а также в дополнительных 10% детей и подростков будут идентифицированы как LA 10, 11, 12 .Анализ более чем 340 000 11-летних детей в период с 1998 по 2007 год включительно показал, что от 5% до 7% в каждом учебном году отстают от 3-4 классов по математике, что соответствует уровню дефицита, соответствующему MLD 1 .

В любой год 10% детей будут набирать баллы по математике на уровне или ниже 10 -го процентиля по определению, но не все из них будут набирать баллы в этом диапазоне через несколько лет, и, таким образом, оценочная заболеваемость МЛД в 7% составляет ниже предлагаемого порога отсечения 10 -го процентиля; то же самое касается оценок в диапазоне LA.Критерии нескольких лет важны, потому что многие дети, которые плохо набрали в течение одного учебного года, получают более высокие баллы в более поздние годы, и у этих детей нет когнитивных нарушений, характерных для детей, которые постоянно набирают баллы в диапазонах MLD и LA 13, 14 . Наконец, крупномасштабные исследования, проведенные в Великобритании, показали, что около 23% взрослых не имеют большого числа людей, то есть не обладают математическими знаниями, необходимыми для многих повседневных повседневных дел.

Причина, по которой этот процент выше, чем объединенные оценки MLD и LA, неизвестна, но может быть связана с исключением детей с низким IQ из исследований MLD и LA, потерей базовых математических навыков из-за неиспользования или некоторой комбинацией 15 .Какими бы ни были причины, у детей и взрослых часто бывают слаборазвитые математические способности. Как мы рассмотрим в ПРИЧИНЫ, для некоторых из этих людей трудности с математикой связаны не с обучением или интеллектом, а с одной или несколькими конкретными когнитивными задержками или недостатками.

ЭТИОЛОГИЯ

Исследования близнецов и семей выявили генетический и экологический вклад в индивидуальные различия в успеваемости по математике, а также в MLD и LA 16, 17, 18 .Исследование близнецов в начальной школе выявило генетический, а также общий (между парой близнецов) и уникальный вклад окружающей среды в индивидуальные различия в успеваемости по математике и в MLD, причем последний определяется порогами в 5 th и 15 th процентилей на тесте успеваемости по математике. В зависимости от класса и используемого теста по математике от 50% до 67% индивидуальных различий в успеваемости по математике были связаны с генетической изменчивостью, а оставшаяся часть - с общим и уникальным опытом 16 .

Те же генетические факторы, которые способствовали MLD, способствовали индивидуальным различиям на всех уровнях производительности 16, 19 . Не существует конкретных генов MLD, скорее генетическое влияние на MLD такое же, как и те, которые влияют на успеваемость по математике по всему диапазону баллов. Примерно 33% генетических влияний на достижения в математике перекрывали генетические влияния, способствующие изменчивости интеллекта, 33% перекрывали генетические влияния, способствующие изменчивости способности читать независимо от интеллекта, а 33% были уникальными для математики.

Умеренное генетическое влияние на MLD не следует приравнивать к ограничению возможностей устранения этих недостатков, поскольку изменения в окружающей среде человека могут изменить относительную степень этих генетических и средовых влияний. В любом случае генетические исследования также указывают на важное влияние окружающей среды на изучение математики и MLD. Учеба в школе влияет на успеваемость по математике в целом, а новые вмешательства для MLD ( COGNITIVE INTERVENTIONS ) улучшают успеваемость этих детей по математике сверх влияния общего образования, даже если они не устраняют различия в математических результатах 20 .

КОМОРБИДНЫЕ ЗАБОЛЕВАНИЯ

Генетические факторы, влияющие на успеваемость в академических областях, могут объяснить, почему многие дети с MLD имеют неспособность читать (RD) или другие трудности, мешающие обучению в школе, такие как синдром дефицита внимания и гиперактивности (ADHD) 10, 12, 21 . Barbaresi et al. обнаружено, что от 57% до 64% ​​студентов с MLD также имели RD, в зависимости от диагностических критериев, используемых для определения MLD. Ранее отмеченное крупномасштабное исследование 11-летних детей в Великобритании показало, что 6% этих детей показали уровень успеваемости, соответствующий MLD, и 2 из 3 из них также плохо читали 1 .

Исследования детей, выявленных в их школах с особыми нарушениями обучаемости, показывают, что эти дети часто имеют ряд социальных недостатков и что дети, направленные на оценку из-за серьезных эмоциональных или поведенческих проблем в школе, часто классифицируются как неспособные к обучению 22, 23 . Хотя большинство этих исследований сосредоточено на РД, они все еще могут иметь отношение к MLD. Один метаанализ показал, что как группа и по сравнению с детьми с обычными достижениями (ТА), дети, которые классифицируются как неспособные к обучению (по чтению, математике или по обоим), испытывают большее социальное отторжение, имеют плохие навыки решения социальных проблем и другие сообщают, что они, помимо прочего, являются агрессивными и незрелыми.

В то же время многочисленные крупномасштабные проспективные исследования, отслеживающие взаимосвязь между семейным происхождением, социально-эмоциональными факторами, контролем внимания, интеллектом и академическими навыками при поступлении в школу (т. Е. В возрасте от пяти до шести лет) и длительном обучении. зачетные результаты по математике и чтению не находят связи между социально-эмоциональными проблемами и плохими результатами по математике 6 . Лучшим показателем успеваемости по математике в школе были математические навыки на начальном уровне.Ранние навыки внимания также предсказывали более поздние достижения, но величина этого эффекта была менее 25% от величины эффекта для математических навыков начального уровня. Проблемы интернализации (например, тревоги) и экстернализации (например, агрессии) при поступлении в школу не были связаны с более поздними достижениями и не были более общими показателями социальных навыков. Этот анализ предполагает, что ранний социальный и поведенческий профиль детей не связан с их долгосрочными достижениями в математике.

Несоответствующие результаты указывают на то, что в этой области предстоит проделать большую работу, особенно в отношении детей с MLD.На этом этапе можно сделать предварительный вывод о том, что социально-эмоциональное функционирование не оказывает причинного влияния на обучение детей математике, но у детей с MLD может быть множество сопутствующих социальных и поведенческих проблем.

ПРИЧИНЫ

Ученые-когнитивисты и нейропсихологи провели подробные исследования количества, счета и арифметических способностей детей с MLD и LA, а также детей и взрослых с приобретенными (после черепно-мозговой травмы) математическими трудностями в попытках найти решение. определить источник или источники их плохих достижений по математике 24, 25, 26, 27, 28, 29 .Многие из этих исследований также включают оценку общих способностей - интеллекта, рабочей памяти и скорости обработки данных - которые влияют на обучение в академических областях. Цель состоит в том, чтобы определить, есть ли когнитивные дефициты, характерные для изучения математики, и являются ли эти дефициты независимыми или взаимодействуют с общими способностями предметной области во время математического обучения или успеваемости. Поведенческие генетические исследования предполагают, что генетические механизмы и механизмы среды, влияющие на математику и другие формы обучения в школе, частично совпадают, а также механизмы, уникальные для математики.Рассмотренные здесь результаты когнитивных исследований согласуются с этими выводами.

Прежде чем перейти к этому обсуждению, важно проиллюстрировать серьезность дефицита математических достижений у детей с MLD и их сверстников из Лос-Анджелеса. показывает эти дефициты в сравнении с детьми ТА и группой детей с показателями интеллекта ниже 10 -го перцентиля (низкий IQ, средний IQ = 78). Эти данные взяты из Миссурийского лонгитюдного исследования математического развития и инвалидности и показывают траектории успеваемости детей в этих группах с первого по пятый класс включительно 30, 31 .В группу MLD вошли дети, которые попали в нижние 10 процентов выборки на тесте на успеваемость по математике со второго по пятый класс включительно, тогда как группа LA включала детей, набравших от 11 -го до 25 -го процентиля включительно. У детей в группе MLD были низкие средние показатели IQ ( M = 91) и средние баллы LA ( M = 101) и TA ( M = 103).

Необработанная математика Успеваемость с первого по пятый класс включительно.Скобки - стандартные ошибки. LIQ = низкий IQ, MLD = математическая неспособность к обучению, LA = низкий уровень успеваемости, TA = обычно достигаемый.

Наиболее поразительные результаты заключаются в том, что достижения детей с MLD по математике отстают от достижений детей с низким IQ после третьего класса, а достижения групп LA и Low-IQ частично совпадают, несмотря на разницу в 23 балла в среднем IQ ( средние показатели интеллекта в группах с низким IQ и LA были на уровне 7 и 53 процентилей соответственно).В разных классах преимущество детей с ТА по математике увеличивается, но разрыв в чтении сокращается. Ясно, что плохие достижения по математике в группах MLD и LA нельзя объяснить низким интеллектом или способностями к чтению.

Когнитивные и нейропсихологические исследования сосредоточены на выявлении недостатков, лежащих в основе этих моделей достижений. Последовательные результаты предполагают дефицит способности формировать представления числовой величины, формировать в памяти представления основных арифметических фактов или извлекать эти факты после того, как воспоминания сформированы, а также задержки в развитии в обучении арифметическим процедурам.

НОМЕР

Имеются данные о наличии базовой системы взаимосвязанных количественных навыков, которые могут способствовать изучению детьми формальной математики в школе. 32 Человеческие младенцы, дошкольники, а также люди из многих других видов могут отличать меньшее от большего количества (например, 8 предметов против 16 предметов), упорядочивать ряд относительных количеств (например, 2, 3, 4, предметы), а некоторые (включая младенцев и дошкольников) обладают элементарной способностью считать и заниматься простым сложением и вычитанием 33, 34, 35, 36 .Эти основные способности составляют основу раннего детского чувства числа, которое проявляется в их способности: (а) воспринимать количество наборов из 3–4 предметов или действий, не считая 37, 38, 39 ; (б) использовать невербальные процессы или счет для количественной оценки небольших наборов объектов, а также для добавления и вычитания небольших количеств из этих наборов 40, 41 ; и (c) оценить относительную величину наборов объектов и результаты простых числовых операций 42 .Баттерворт и его коллеги предположили, что MLD является результатом дефицита двух из этих фундаментальных систем определения чисел, одна из которых поддерживает представление и неявное понимание точного количества небольших наборов объектов и символов (например, арабских цифр), которые их представляют. количества (например, '3' = ▪▪▪), а другой для представления приблизительной величины больших количеств 27, 43 .

В соответствии с этой гипотезой, дети с MLD и, в меньшей степени, дети LA могут иметь дефицит или задержку развития в обеих этих основных системах представления и обработки чисел 44, 45, 46, 47 .В качестве примера Кунц и Берч попросили учащихся третьего и четвертого классов с MLD и их сверстников по TA определить, совпадают ли комбинации арабских цифр (например, 3–2), числовых наборов (▪▪-▪▪) или цифр и наборов. (2-▪▪) или разные (3-▪▪) 46 . Это простое задание предусматривало оценку репрезентативной системы детей для точных небольших количеств. Подтверждая более ранние выводы 48 , дети ТА обрабатывали репрезентации трех (например, 3, ▪▪▪) так же быстро, как они обрабатывали репрезентации двух.Дети с MLD также могли быстро обрабатывать представления двух, но, похоже, полагались на счет для определения количества трех. Результаты показывают, что некоторые дети с MLD могут не иметь врожденного представления для числа три или точная система представления не позволяет надежно различать два и три.

Последующие исследования, в которых детей просили мысленно комбинировать наборы предметов (например, ▪▪▪▪) и арабские цифры, чтобы соответствовать целевому числу (например, ▪▪▪▪ + 2 = 5), подтверждают медленную обработку чисел для группы детей МЛД и ЛА 8, 31, 49 900 16.Баллы беглости показывают скорость и точность, с которой дети получают доступ к этим небольшим числовым величинам и комбинируют их, и иллюстрируют пятилетние тенденции для тех же групп, представленных в 31 . Беглость обработки чисел у детей с MLD находится на том же уровне или немного ниже, чем у детей из группы с низким IQ. К пятому классу успеваемость в обеих группах сопоставима с уровнем учеников третьего класса ТА. Дети из Лос-Анджелеса примерно на год отстают от своих сверстников из ТА.Не менее важно, что тенденции не показывают, что группы MLD и LA догоняют своих коллег по TA; во всяком случае, после третьего класса разрыв увеличивается.

Показатели беглости для определения и комбинирования величин, связанных с наборами предметов (например, ▪▪▪) и арабскими цифрами (например, ▪▪▪ + 2 = 5) с первого по пятый класс включительно. Скобки - стандартные ошибки. LIQ = низкий IQ, MLD = математическая неспособность к обучению, LA = низкий уровень успеваемости, TA = обычно достигаемый.

Стандартная математическая числовая строка (вверху), сжатая числовая строка (в центре) и очень сжатая числовая строка для детей с MLD.Две последние линии отображают мысленную дистанцию ​​между величинами, представленными в системе представления приблизительных величин, и чем больше понимание, тем труднее различать большие величины.

Размещение детьми цифр на физической числовой прямой использовалось для того, чтобы сделать выводы о природе их приблизительной системы представления величин. Размещение, соответствующее натуральному логарифму чисел, может отражать зависимость от потенциально внутренней системы, которая представляет приблизительные величины 50, 51 .Эти размещения отражают расширение числовой линии для меньших значений, как показано в средней части рисунка 4, и сокращение для более крупных. «Умственное расстояние» между единицей и двумя намного больше, чем расстояние между восемью и девятью, поэтому детям легче различать разницу в величинах между единицей и двумя, чем между восемью и девятью, даже несмотря на то, что фактическая разница такая же. . С помощью обучения дети в конечном итоге выучивают математическую числовую линию; расстояние между двумя последовательными числами одинаково независимо от положения в строке.Какой бы ни была лежащая в основе репрезентативная система, точность линейного размещения позволяет прогнозировать более поздние математические достижения 52 .

В одном из наших исследований мы сравнили размещение учеников первого и второго классов MLD, LA и TA по числовой строке от 0 до 100 44 . Групповые различия были выявлены с использованием групповых медиан, с оценкой опыта за исследованием, соответствовало ли размещение логарифмическому (предполагая использование приблизительной системы величин) или линейному (предполагающему изучение математической числовой линии) мысленному представлению положения по числу. линии и с несколькими мерами абсолютной погрешности.Общая картина предполагала, что дети с MLD в большей степени зависели от приблизительной репрезентативной системы - они не изучали математическую числовую линию так же легко, как другие дети - и в соответствии с гипотезой Баттерворта их представление величины оказалось более сжатым, чем у LA. и дочерние элементы TA, представленные нижней числовой строкой в. Другими словами, детям с MLD трудно различать величины, представленные даже маленькими цифрами, возможно, из-за недостатка или задержки в системе для представления приблизительных величин.Последующее наблюдение за этими детьми до пятого класса показало, что дети с низким IQ (не оцениваемые в первом исследовании) догнали своих сверстников ТА по этой задаче к третьему классу, дети из Лос-Анджелеса - к четвертому, но дети с MLD все еще имели не догнали пятую, хотя и закрыли разрыв 31 .

Эти исследования, хотя и не являются окончательными, предполагают, что многие дети с MLD и, в меньшей степени, их сверстники из Лос-Анджелеса не имеют сильного интуитивного ощущения числовой величины, что этот дефицит не связан с интеллектом или способностями к чтению.Необходимы последующие исследования, но тенденции развития, показанные на рисунке, предполагают, что эти трудности распространятся далеко за пределы начальной школы. Являются ли они результатом ранних нарушений развития нервной системы в фундаментальных системах представления малых, точных величин и приближенных больших величин, как предположил Баттерворт, еще предстоит определить. В любом случае, низкая производительность в этих простых числовых задачах свидетельствует о том, что успеваемость по математике ниже среднего, вне зависимости от влияния интеллекта, рабочей памяти или навыков чтения 49 .

АРИФМЕТИКА

Типичное развитие

К тому времени, когда они начинают формальное обучение в школе, большинство детей координируют свои знания чисел и навыки счета с неявным пониманием сложения и вычитания, и в результате могут начать использовать числовые слова и арабские цифры для решения формальные задачи сложения и вычитания (например, «Сколько будет 3 + 2?») 53, 54, 55 . Хотя дети этого возраста будут использовать сочетание различных стратегий решения проблем, наиболее распространенные подходы включают счет, иногда с использованием пальцев, а иногда и без них. 56 .Процедуры min и sum - это два распространенных способа подсчета детьми 57 . Процедура min включает в себя указание слагаемого с большим значением, а затем подсчет количества раз, равный значению меньшего слагаемого; например, сказать «пять», а затем считать «шесть, семь, восемь», чтобы решить «5 + 3 =?». Процедура суммирования включает подсчет обоих слагаемых, начиная с 1. Использование подсчета результатов в развитии долговременной памяти, репрезентации основных фактов 56 . После формирования эти представления поддерживают использование процессов, основанных на памяти; в частности, прямой поиск арифметических фактов и разложение.Последний включает в себя восстановление ответа на основе поиска частичной суммы; например, 6 + 7 можно решить, получив ответ на 6 + 6 и затем прибавив 1 к этой частичной сумме.

Однако разработка - это не просто переход от использования менее сложных методов подсчета к более сложным стратегиям поиска. 58 . Скорее, в любое время дети могут использовать любую из множества известных им стратегий для решения различных задач; они могут получить ответ на 3 + 1, но считают, чтобы решить 5 + 8.Что меняется, так это сочетание стратегий: сложные используются чаще, а менее сложные - реже 59 .

Дети с MLD и LA

Те же методы, разработанные для изучения арифметических способностей детей TA, были применены к исследованию детей с MLD и LA детей и выявили сходства и несколько заметных различий 8, 13, 60, 61 , 62, 63 . Дети с MLD и LA используют те же типы подходов к решению проблем, что и их сверстники TA, но отстают в развитии процедурных навыков и имеют более стойкие трудности с запоминанием основных арифметических фактов.

Процедурная компетенция

Дети с MLD и их сверстники из Лос-Анджелеса совершают больше процедурных ошибок, чем дети того же класса, когда они решают простые (например, 4 + 3) и сложные (например, 745–198) арифметические задачи (4 + 3) , а также текстовые задачи 8, 60, 64, 65 . Распространенная ошибка первоклассников с MLD - занижение счета при использовании процедуры min; для задачи «5 + 3 =?» они скажут «пять, шесть, семь». Они правильно подсчитывают три числовых слова, минимальное слагаемое, но не используют «пять» для обозначения кардинального значения большего слагаемого.Даже когда эти дети не совершают ошибок, они склонны использовать незрелые процедуры 60, 62, 66 . К первому классу большинство детей ТА могут считать молча («в уме») и использовать процедуру min для решения простых задач сложения, но первоклассники с MLD используют свои пальцы, чтобы следить за счетом, и чаще используют процедуру суммирования. чем их коллеги по ТА. Дети с ЛА также чаще используют пальцы, чем дети с ТА, но используют процедуру min чаще, чем дети с MLD 8, 62, 67, 68 .Для простой арифметики это означает задержку в развитии примерно на два-три года для детей с MLD и примерно на один год для детей из Лос-Анджелеса.

Недостатки и задержки детей с MLD и LA при решении простых задач становятся более очевидными, когда они пытаются решить более сложные 69, 70 . При решении многоступенчатых арифметических задач, таких как 45 × 12 или 126 + 537, четвероклассники с MLD совершали больше ошибок, чем их сверстники ТА 64 , соответствующие IQ.Ошибки включают несовпадение цифр при записи частичных ответов или при переносе или заимствовании из одного столбца в другой. Распространенные ошибки вычитания включали вычитание большего числа из меньшего (например, 83–44 = 41), невозможность уменьшения после заимствования из одного столбца в следующий (например, 92–14 = 88; 90 не уменьшалось до 80) , и заимствование через 0 (например, 900–111 = 899) 66 . Эти закономерности были обнаружены для детей с MLD и LA, независимо от их успехов в чтении.Опять же, ошибки - это в основном задержки в развитии, а не постоянные проблемы; они совершаются младшими детьми TA 71 , и дети с MLD и LA в конечном итоге осваивают правильные процедуры, хотя и на несколько лет позже, чем их сверстники из TA.

Память для основных фактов

Наиболее последовательный результат исследования состоит в том, что большинство детей с MLD и часть детей с LA постоянно испытывают трудности с сохранением основных арифметических фактов в долговременной памяти или с их извлечением после того, как они совершены 14, 60, 62 .Дело не в том, что эти дети не могут запоминать или извлекать какие-либо основные факты, они скорее демонстрируют стойкие различия в частоте, с которой они правильно извлекают их, и в структуре ошибок извлечения. Было предложено три различных механизма в качестве потенциального источника этих трудностей поиска.

Первый - это недостаток способности формировать фонетические, языковые и звуковые репрезентации в долговременной памяти. 24 . Эта гипотеза вытекает из того, что дети с самого начала полагались на счет, когда они впервые учатся решать арифметические задачи, поскольку счет зависит от фонетических и семантических систем языковой области.Любое нарушение способности представлять или извлекать информацию из этих систем теоретически должно приводить к трудностям в формировании ассоциаций проблема / ответ для арифметических задач во время процесса счета, а также приводить к сопутствующим проблемам с поиском слов во время акта чтения. . Исследования арифметических нарушений после травмы головного мозга показывают, что извлечение дополнительных фактов действительно поддерживается системой нейронных структур, которые, по-видимому, поддерживают фонетические и семантические представления и задействованы во время возрастающих процессов, таких как подсчет 72, 73 .Однако эти результаты следует интерпретировать с осторожностью, поскольку они основаны на исследованиях взрослых, а мозг и когнитивные системы, поддерживающие раннее обучение, во многом отличаются от тех, которые поддерживают такую ​​же компетенцию во взрослом возрасте 74, 75 .

Второй механизм - это недостаток способности препятствовать поступлению нерелевантных ассоциаций в рабочую память в процессе извлечения фактов 76 . Эти вторжения часто оцениваются, прося детей только попытаться запомнить ответ и не использовать счет или любую другую процедуру для решения проблемы 26 .Если вторжение мешает детям получить правильный ответ, тогда соответствующие ошибки поиска должны быть связаны с цифрами в представленной задаче. Примеры включают получение 36 при попытке решить 6 × 5 или 8 при попытке решить 4 + 7. Первая называется ошибкой, связанной с таблицей, потому что это правильный ответ на аналогичную задачу (6 × 6) в таблице умножения, а вторая называется ошибкой счетной строки, потому что полученный ответ следует за одним из слагаемых в счетная строка (8 следует за 7) 77, 78 .Оба типа вторжений происходят для детей ТА, как и вторжения между операциями; например, напоминая 40 для 8 + 5 79 . Все эти типы вторжений более распространены и устойчивы в большем количестве классов для детей с MLD и некоторых детей из Лос-Анджелеса. Подростки с MLD часто сталкиваются с вторжениями, связанными с таблицами, когда они решают простые задачи умножения, а в начальной школе вторжения со счетными строками являются обычным явлением для поиска сложения. 14, 76 .

Третий предложенный механизм - это недостатки или задержки в системах счисления, которые поддерживают точное представление малых величин и приблизительное представление больших величин 27 .Обоснование этого состоит в том, что раннее обучение детей арифметике может зависеть от этого интуитивного понимания числа: их способность оценивать приблизительные ответы при первом обучении решать арифметические задачи может частично зависеть от системы представления приблизительных величин. Другими словами, предполагается, что эти базовые системы счисления обеспечивают часть основы для изучения вышеуказанных чисел (например, система с основанием 10) и арифметики в школе. С этой точки зрения, дефицит поиска вторичен по отношению к более фундаментальному дефициту в приблизительной репрезентативной системе.Эмпирическая оценка потребует лонгитюдных исследований, чтобы определить, существует ли связь между дефицитом обработки чисел в дошкольном возрасте и дефицитом поиска в начальных школьных годах. Хотя этот тип лонгитюдного исследования еще предстоит провести, анализ взаимосвязи между показанным дефицитом беглости речи и дефицитом извлечения у детей с MLD и детей LA с частыми ошибками вторжения предполагает, что эти два дефицита не связаны. Например, у некоторых детей из Лос-Анджелеса медленная обработка чисел обнаруживается при отсутствии дефицита поиска 80 .

В целом очевидно, что трудности с изучением или извлечением основных арифметических фактов - обычная и постоянная проблема для детей с MLD и для подгруппы детей из Лос-Анджелеса. Из предложенных механизмов наиболее убедительными доказательствами являются ошибки вторжения, то есть дефицит поиска частично связан с проникновением связанной, но не относящейся к делу информации в рабочую память, когда эти дети пытаются запомнить арифметические факты. Не все их ошибки происходят из-за вторжений, однако можно предположить, что в них может быть задействовано несколько механизмов и что у разных детей могут быть проблемы с поиском по разным причинам.Остается определить, связаны ли эти альтернативные механизмы с языковой системой и недостатками обработки чисел.

Перед тем, как перейти к Общий дефицит домена , я отмечаю, что ошибки поиска сами по себе не могут использоваться для определения наличия у ребенка MLD. Это связано с тем, что во многих учебных программах по математике, используемых в Соединенных Штатах, не акцентируется внимание на изучении основных фактов, и поэтому многие дети не знают их всех. Дети с MLD и многие из их сверстников из Лос-Анджелеса совершают больше этих ошибок, чем дети TA, и, как уже отмечалось, больше из них являются ошибками вторжения.Доказательства того, что у этих детей трудности с поиском фактов - это реальный дефицит, а не результат ограниченной практики, получены из исследований, проведенных в странах, которые делают упор на запоминание основных фактов. Дети в Гонконге, где упор делается на запоминание, имеют те же процедурные задержки и дефицит поиска для групп детей из MLD и LA, что и в США и многих других странах 81 . Обычные учебные программы по математике в Соединенных Штатах не вызывают этих трудностей, но затрудняют их выявление.

ОБЩИЕ НЕДОСТАТКИ ДОМЕНА

По определению, неспособность к обучению определяется успеваемостью ребенка в тестах на успеваемость и в школе в целом, а для взрослых - влиянием плохого чтения и математических навыков на их повседневное функционирование, в том числе их занятость 1 . Поэтому как для детей, так и для взрослых важно оценивать не только конкретные недостатки (например, в обработке чисел), но и другие когнитивные факторы, которые предсказывают успеваемость в школе и успеваемость на работе.Эти общие способности к обучению включают подвижный интеллект, рабочую память и скорость обработки данных. Хотя измерения этих различных способностей обычно коррелируют друг с другом, все они оценивают уникальные компетенции, которые потенциально важны для академического обучения 82, 83, 84, 85 .

Полезной эвристикой является иерархическая организация этих компетенций Кэрролла 86 . Гибкий интеллект находится на вершине и представляет процессы, которые влияют на обучение в разных контекстах и ​​содержании, особенно на простоту изучения новых и сложных концепций 83, 87, 88 .Рабочая память и скорость обработки находятся на втором уровне и представляют собой широкие возможности, влияющие на обучение во многих, но не во всех областях. На третьем уровне находятся более узкие области компетенции, включая математику. Исследования результатов по широкому кругу тестов с бумагой и карандашом выявили по крайней мере две основные математические области: Числовые возможности, которые оценивают компетентность в арифметике, а для маленьких детей - их количество и умение считать, и Математическое мышление, которое оценивает более абстрактные математические знания. 89 .

Интеллект

Гибкий интеллект - лучший индивидуальный показатель академической успеваемости 90, 91 . В качестве одного примера, пятилетнее проспективное исследование более 70 000 студентов показало, что интеллект в возрасте 11 лет объясняет почти 60% отклонений в национальных тестах по математике, проведенных в возрасте 16 92 . Интеллект также передается по наследству, и, похоже, существуют общие гены, способствующие корреляции между интеллектом и математическими достижениями 93 .Одна из возможностей состоит в том, что медленный математический рост детей с MLD и их сверстников из Лос-Анджелеса и частичная наследственность этих расстройств могут быть связаны с интеллектом.

Хотя это может быть фактором, способствующим развитию детей с MLD, он, по-видимому, не является основным. Как отмечалось в разделе ПРИЧИНЫ и возвращаясь к нему, успеваемость детей с MLD по математике значительно ниже, чем у детей с гораздо более низкими показателями интеллекта. Во всяком случае, дети с MLD должны иметь более высокие баллы по математике, чем они, если бы интеллект был основным источником их неспособности к обучению.Интеллект вообще не может быть фактором для детей из Лос-Анджелеса, учитывая, что их интеллект средний. Это не означает, что дети или взрослые с более низкими показателями интеллекта не испытывают трудностей при изучении математики. Действительно, контроль интеллекта сократил разрыв в успеваемости по математике по сравнению с группами TA и Low-IQ, показанными в, но не внес свой вклад в разрыв между группами TA и MLD; то есть результативность детей с низким IQ соответствовала их показателям интеллекта, но показатели детей с MLD были ниже ожидаемых.Дело в том, что многие дети и предположительно взрослые испытывают трудности с некоторыми областями математики по причинам, не связанным с их интеллектом.

Рабочая память

Рабочая память - это способность использовать фокусировку внимания для удержания информации в уме при выполнении других умственных действий; отфильтровать информацию, не имеющую отношения к поставленной задаче; и переключаться с одной задачи на другую. Когнитивные ученые определили, что рабочая память зависит от трех основных систем.Центральный исполнительный орган, обеспечивающий нисходящий контроль над информацией, которая активна (т. Е. Осознает ее) в двух репрезентативных системах 94, 95 . Это языковой фонологический цикл и визуально-пространственный блокнот 96, 97 . Существует четвертая система, эпизодический буфер, который способствует интеграции языковой и зрительно-пространственной информации и вызывает воспоминания о личных переживаниях, но об этой системе известно не так много, как о трех других 98 .

Взаимосвязь между объемом рабочей памяти и результатами тестов на успеваемость по математике и математических познавательных задач хорошо известна. 8, 99 . Независимо от того, оценивались ли они одновременно или на один или несколько лет раньше, чем выше возможности центрального исполнительного органа, тем лучше показатели успеваемости по математике и математического познания 100, 101, 102 . Важность фонологической петли и зрительно-пространственного блокнота для рисования зависит от содержания оцениваемой математики 8, 100 .Фонологический цикл, по-видимому, поддерживает процессы, включающие артикуляцию чисел, например, счет, решение математических задач со словами, и может быть связан с поиском арифметических фактов 24, 99, 102 . Блокнот для визуально-пространственных эскизов поддерживает обучение в более широком количестве математических областей, таких как числовая линия и аспекты перевода текстовых задач в математические уравнения 104, 105 .

Дети с MLD и LA дети

Дети с MLD имеют дефицит рабочей памяти в каждой из трех основных систем, что, в свою очередь, способствует их медленному прогрессу в изучении математики помимо вклада интеллекта и скорости обработки данных 8, 67, 100, 106, 107 .Их скомпрометированный центральный исполнительный орган особенно важен 8, 108, 109 , но это отношение осложняется по крайней мере тремя подкомпонентами центрального исполнительного органа, каждый из которых может влиять на математическое обучение по-разному. К ним относятся умение хранить информацию в рабочей памяти, переключение задач и запрет поиска нерелевантной информации 9, 110, 111, 112 .

В любом случае, трудности, препятствующие активации нерелевантной информации в рабочей памяти, были независимо связаны с плохими математическими достижениями несколькими исследовательскими группами , 110, 111, 112 .Как отмечалось в документе Память основных фактов , дефицит этого компонента центральной исполнительной власти может объяснять детям с высокой частотой вторжений MLD во время акта поиска арифметических фактов и может быть фактором, способствующим сопутствующей патологии MLD и RD. у некоторых детей; плохие читатели менее способны подавлять не относящиеся к контексту значения двусмысленных слов (например, берег реки, кассир в банке), значения похожих по звучанию слов (например, пациенты, терпение) и извлекать больше контекстной информации, чем это необходимо для прочитанного отрывка 113 .Хотя содержание арифметики и чтения различается, основные причины некоторых (но не всех) трудностей в обучении в этих областях могут быть одинаковыми. Ошибки вторжения, которые возникают у некоторых детей из Лос-Анджелеса, также соответствуют такому дефициту, но их центральные исполнительные баллы обычно находятся в среднем диапазоне. Тем не менее, центральные исполнительные меры, использованные в этих исследованиях, в первую очередь оценивали компоненты обслуживания и переключения задач, а не тормозящий компонент управления 8, 106 .Таким образом, еще предстоит установить прямую связь между компонентом тормозящего контроля центральной исполнительной власти и ошибками вторжения, которые способствуют плохому поиску фактов у детей с MLD и их сверстников из LA.

Мы обнаружили, что дети из Лос-Анджелеса имеют средние баллы по измерениям фонологической петли и зрительно-пространственного блокнота 8 , но у некоторых из этих детей могут быть тонкие зрительно-пространственные дефициты 106 . Как уже отмечалось, у детей с MLD есть недостатки в обеих этих системах рабочей памяти, что, в свою очередь, может способствовать их медленному прогрессу в определенных областях математики 8, 44 .Например, плохая зрительно-пространственная рабочая память детей с MLD может способствовать их медленной обработке чисел и низкой производительности в задаче числовой линии по сравнению с детьми LA с IQ-соответствием. Потенциальный вклад зрительно-пространственной рабочей памяти в эти специфические недостатки интригует, потому что считается, что точные и приблизительные системы представления величины расположены в той области мозга, которая также способствует способности формировать зрительно-пространственные представления. Напротив, частые ошибки, совершаемые детьми с MLD, когда они используют счет для решения простых задач сложения, связаны с их плохой фонологической рабочей памятью, то есть их способностью сохранять языковые звуки (например,g., числовые слова) в уме, когда занят другой задачей (например, отслеживает процесс подсчета).

Очевидно, что еще многое предстоит узнать о связи между несколькими компонентами рабочей памяти и индивидуальными различиями в обучении в разных областях математики в целом и о вкладе этих систем рабочей памяти в плохие достижения детей с MLD и их сверстники из Лос-Анджелеса. На этом этапе мы можем сделать вывод, что у детей с MLD есть повсеместный дефицит по всем системам рабочей памяти, которые были оценены, но наше понимание отношений между конкретными компонентами рабочей памяти и конкретными дефицитами математического познания находится в зачаточном состоянии.Многие дети с ЛА, напротив, имеют нормальную фонологическую рабочую память, особенно если успеваемость по чтению средняя или выше, а также нормальную способность использовать функции контроля внимания центральной исполнительной власти для сохранения информации в рабочей памяти. Многие из этих детей, по-видимому, имеют неповрежденную систему зрительно-пространственной рабочей памяти, но у некоторых из них могут быть более тонкие недостатки. Наиболее обнадеживающие результаты предполагают, что у детей с ЛП наблюдается незначительный дефицит компонента тормозящего контроля центрального исполнительного органа 8, 9 , но мы ждем подтверждения.

Скорость обработки

Более высокая скорость обработки связана с более высокими оценками достижений, хотя сила этих отношений меньше, чем между интеллектом, рабочей памятью и достижением 87, 88 . Когнитивные ученые в настоящее время обсуждают, вызваны ли индивидуальные различия в рабочей памяти более фундаментальными различиями в скорости когнитивной обработки и принятия решений, или же сосредоточение внимания, связанное с центральным исполнительным директором, ускоряет обработку информации 114, 115 .Независимо от направления взаимосвязи, скорость обработки имеет несколько подкомпонентов, которые не зависят от рабочей памяти 86 , и иногда оказывается, что она лучше предсказывает математические результаты, чем рабочая память или независимый предсказатель после контроля рабочей памяти и интеллекта 116 , 117 . В процессе развития скорость обработки данных быстро увеличивается для многих простых задач в первые годы начальной школы, а затем асимптотически приближается к уровням, близким к взрослым, в подростковом возрасте 118 .Механизмы, лежащие в основе этого паттерна, до конца не изучены, но могут включать в себя существенные улучшения компонента фокуса внимания центральной исполнительной системы и быстрое увеличение нейронального белого вещества (которое ускоряет нейронную передачу) в этом возрастном диапазоне 119 .

Дети с MLD и LA Дети в среднем тратят больше времени на решение задач, чем их сверстники из TA 120 , но это не обязательно указывает на более низкую скорость основной обработки данных 24 .Их медленная скорость решения задач частично объясняется трудностями поиска фактов у многих из этих детей, что приводит к тому, что они полагаются на более медленные процедуры решения проблем; например, при попытке решить простые задачи сложения на подсчет уходит больше времени, чем на извлечение. Математическое моделирование можно использовать для разделения скорости обработки на составляющие, такие как скорость кодирования чисел в рабочую память и скорость неявного подсчета. Использование этих методов позволило получить более детальную картину скорости обработки данных у детей с MLD и их сверстников из Лос-Анджелеса 13, 120, 121 .Исследования иногда показывают, что дети с MLD медленнее в неявном счете, чем их сверстники TA, но иногда нет различий. Более последовательный вывод состоит в том, что маленькие дети с MLD медленнее справляются с более простыми процессами, такими как кодирование чисел в рабочую память.

Использование быстрого автоматизированного именования (RAN), при котором детей просят как можно быстрее назвать серию хорошо выученных букв или цифр, является лучшим подходом к вопросу о том, имеют ли дети с MLD и LA более медленные основы. скорость кодирования и обработки информации 122 .Поскольку обрабатываемая информация очень проста, результаты не искажаются различными стратегическими подходами (например, подсчет или поиск). Более низкая производительность при выполнении задач RAN последовательно связана с более низкими показателями успеваемости по чтению, что может быть связано с простотой кодирования и представления языковых звуков в фонологическом цикле 123, 124 . В наших исследованиях мы обнаружили, что дети с MLD начинают школу с гораздо более медленной скоростью обработки чисел, чем их сверстники TA, с детьми из групп Лос-Анджелеса и групп с низким IQ между ними, но разрыв быстро сокращается.Для некоторых детей ЛА их медленная обработка может быть связана с компонентом контроля внимания центральной исполнительной власти, а не с более фундаментальной разницей в скорости обработки как таковой. Для детей с MLD, напротив, может быть более фундаментальное различие в механизмах (например, развитие белого вещества), которые поддерживают скорость обработки информации, но любое такое различие, по-видимому, является скорее задержкой в ​​развитии, чем стойким дефицитом. Чтобы определить, так ли это, потребуются исследования головного мозга.

КОГНИТИВНЫЕ ВМЕШАТЕЛЬСТВА

К сожалению, существует несколько научно обоснованных программ лечения, направленных на устранение дефицита математического познания у детей с MLD и их сверстников из Лос-Анджелеса. На основе нескольких в широком смысле высококачественных вмешательств по математике для учащихся с ограниченными возможностями в обучении Национальная консультативная группа по математике определила, что прямое, управляемое учителем подробное обучение тому, как решать определенные типы математических задач, было наиболее эффективным вмешательством 20 .Эффективные вмешательства всегда включали несколько занятий, продолжавшихся от нескольких недель до шести месяцев, и приводили к значительному улучшению способности студентов решать математические задачи со словами, вычислительные арифметические задачи, а также новые задачи со словом и арифметикой. Однако, как правило, многие из этих эффектов вмешательства не подлежат обобщению, а это означает, что улучшение вычислительных навыков, например, требует прямого вмешательства в вычислительные навыки, а не вмешательств для решения общих задач или даже других математических компетенций.Тем не менее, обобщение может произойти, если навык, ставший целью вмешательства, является компонентом более сложной математической задачи.

Вмешательства, предназначенные для устранения конкретных когнитивных задержек или нарушений, определенных в ПРИЧИНЫ , в настоящее время разрабатываются и оцениваются 125, 126 . Одно вмешательство фокусируется на частоте и точности, с которой дети с MLD используют процедуру подсчета мин для решения задач сложения и соответствующую процедуру для решения задач вычитания 126 .Сопутствующее исследование включало индивидуальные занятия в течение 48 занятий по 20–30 минут. Обучение включало подробные инструкции о том, как использовать подсчет мин, проиллюстрированные числовой линией. Для некоторых детей наставления сопровождались осознанной практикой; в частности, если ребенок не мог правильно ответить на простую задачу сложения или вычитания в течение одной минуты, ему предлагалось использовать подсчет мин для решения задачи. Другим детям давали те же инструкции, но потом они читали цифры, вместо того, чтобы заниматься осознанной практикой.Сочетание явных инструкций и осознанной практики подсчета минут привело к повышению компетентности в решении простых задач сложения и вычитания и более сложных задач, в которые были встроены простые.

Также разрабатываются вмешательства для улучшения рабочей памяти, которые будут особенно полезны для детей с MLD 127, 128, 129, 130, 131 . Типичное вмешательство заключается в том, чтобы просить детей выполнять задачи, требующие нагрузки на их объем рабочей памяти, то есть задачи, требующие одновременной обработки и манипулирования информацией, близкой к максимальной, с которой они могут эффективно справиться.В одном недавнем исследовании было продемонстрировано, что дети, которые участвовали в вмешательстве, которое соответствовало сложности задачи их текущему объему рабочей памяти, но не более легкому вмешательству, показали значительное улучшение фонологических и зрительно-пространственных компонентов рабочей памяти после примерно 20 тренировок ( По 35 минут). Важно отметить, что они сохранили этот прирост в течение шести месяцев и показали умеренный прирост в математическом тесте при последующем наблюдении. Источник или источники этих достижений до конца не изучены, но могут включать улучшенный контроль внимания сверху вниз через центральную исполнительную власть; это улучшит способность помнить вербальную и зрительно-пространственную информацию во время решения проблем.

Некоторые из этих вмешательств также были сосредоточены на компоненте тормозящего контроля рабочей памяти. К сожалению, результаты исследований этих вмешательств неоднозначны; Напомним, что подкомпонент контроля внимания центрального исполнительного органа участвует в учете нескольких вещей во время решения проблем и может быть отделен от подкомпонента сдерживающего управления центрального исполнительного органа. На данный момент эти вмешательства, и особенно те, которые, по-видимому, улучшают контроль внимания, имеют многообещающие решения для устранения недостатков и задержек у детей с MLD и их сверстников из Лос-Анджелеса.Следующим шагом является объединение вмешательств на рабочую память с вмешательствами, нацеленными на критические математические навыки.

В конечном подходе есть многоуровневый ответ на вмешательство (RtI) 132 . Первый уровень включает скрининг всех детей на предмет риска MLD или LA. Учащиеся, отнесенные к группе риска, затем будут участвовать в общем математическом образовании (первый уровень) и в мероприятиях в малых группах (второй уровень), нацеленных на области риска. Учащиеся, не добившиеся улучшения в рамках вмешательства второго уровня, затем переходят к более интенсивному, часто индивидуальному вмешательству третьего уровня (подробности см. В ссылке 132 ).В настоящее время неизвестно, сколько детей с MLD и LA «устойчивы к лечению» с этим подходом, и является ли резистентность к лечению или необходимость вмешательства третьего уровня хорошим подходом к диагностике MLD.

РЕЗЮМЕ И ПОСЛЕДСТВИЯ ДЛЯ КЛИНИЧЕСКОЙ ПРАКТИКИ И БУДУЩИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Были достигнуты значительные успехи в нашем понимании когнитивных задержек и дефицитов, лежащих в основе медленного изучения математики примерно у 7% детей с MLD и 10% детей с устойчивым низким уровнем успеваемость по математике, несмотря на средний интеллект и умение читать 1, 10 .Хотя многие из основных недостатков могут быть одинаковыми, хотя и в разной степени, исследователи в этой области движутся к различию между MLD и LA, с диагностическим порогом для MLD на уровне или ниже 10 -го процентиля в тесте успеваемости по математике для более одного класса и диапазон между 11 и 25 процентилями включительно для Лос-Анджелеса и снова для более чем одного класса 8, 9 . Перед постановкой любого такого диагноза важно учитывать успеваемость по классам, так как многие дети с оценками в этих диапазонах в одном классе будут средними в следующем.У этих детей, в свою очередь, нет когнитивных задержек и нарушений, которые были выявлены в исследованиях MLD и LA 13 .

Различие между MLD и LA важно, потому что первая группа имеет обширный дефицит рабочей памяти, который обычно не встречается во второй группе - единственное возможное исключение - плохой тормозящий контроль, который имеет последствия для исправления. В частности, детям с MLD будут полезны вмешательства на рабочую память, а также вмешательства, нацеленные на конкретные математические области, в которых они демонстрируют задержки или недостатки.Дети с ЛА также получат пользу от последнего, но большинству из них не потребуется вмешательство в рабочую память. Подмножество детей ЛА с ошибками вторжения в процессе извлечения фактов может выиграть от вмешательств рабочей памяти, нацеленных на тормозящий контроль, после того, как эти вмешательства будут отрегулированы и последовательно продемонстрированы как эффективные.

Поскольку вмешательства наиболее эффективны, когда они нацелены на конкретные, четко определенные области дефицита, исследования в области когнитивных наук на этих детях имеют решающее значение.Эти исследования выявили несколько их основных недостатков и задержек. У детей с MLD и, в меньшей степени, у детей LA наблюдается недостаток или задержка в обработке чисел, обучении арифметическим процедурам и запоминанию основных арифметических фактов. Эти трудности в обучении частично связаны с низким средним интеллектом (например, 90–95) и объемом рабочей памяти ниже среднего у детей с MLD, но это еще не все. У этих детей также есть проблемы с представлением чисел и обработкой, которые, по-видимому, не связаны с интеллектом или рабочей памятью, и хотя мы знаем, что рабочая память способствует их процедурным задержкам и может способствовать их дефициту поиска, это не может быть единственным причинным механизмом. .

Ни интеллект, ни широкий дефицит рабочей памяти не могут служить надежным объяснением плохой успеваемости детей из Лос-Анджелеса по математике. Эти дети в большинстве своем обладают способностями ниже среднего в работе с числами (например, складывают ●●● + 2 =?), Используют незрелые арифметические процедуры, и их часть испытывает особые трудности с извлечением основных фактов из долговременной памяти 8 , 14, 26 . Какими бы ни были основные причины, обработка чисел и процедурные трудности, по-видимому, больше связаны с задержкой в ​​развитии (улучшается по классам), чем с дефицитом (показывает небольшое улучшение от класса к классу), при этом дети из Лос-Анджелеса отстают на один год от своих сверстников и детей ТА. с MLD на два-три года позади 117 .Трудности с запоминанием арифметических фактов более устойчивы для детей с MLD и для подгруппы детей с LA 62 . Эти недостатки могут быть связаны с плохой способностью препятствовать вторжению нерелевантной информации в рабочую память во время процесса поиска, хотя это вряд ли будет единственным источником дефицита информации.

Одной из областей, в которой был небольшой прогресс или если он вообще был достигнут, является социальное и эмоциональное функционирование детей с MLD и их сверстников из Лос-Анджелеса.Исследования детей с РЗ предполагают повышенный риск сопутствующих социальных и эмоциональных проблем, но в остальном мы мало знаем об этих проблемах. Последняя задача на ближайшие десятилетия - более полно изучить источники коморбидности MLD, RD и других расстройств, влияющих на обучение. Мы знаем, что у этих детей часто встречаются коморбидные расстройства, но не понимаем, почему это так.

Суть для практикующего педиатра состоит в том, чтобы (а) регулярно получать оценки успеваемости своих пациентов по математике (и чтению) и (б) направлять детей, набравших национальный процентиль 25 или ниже в более чем одном классе для образовательная оценка; (c) оценка должна включать тесты интеллекта и рабочей памяти, а также тесты, оценивающие определенные математические навыки (они доступны во многих стандартизированных тестах).Местные школы должны предоставлять мероприятия, которые включают характеристики (например, подробное обучение), описанные в КОГНИТИВНЫЕ ВМЕШАТЕЛЬСТВА.

21 фантастическая и бесплатная математическая игра для четвертого класса

Математика для четвертого класса полна новых и важных понятий. Дроби становятся более важными, десятичные дроби появляются впервые, а в задачах деления могут быть остатки! Сделайте все основные математические навыки четвертого класса более увлекательными с этим обзором бесплатных математических игр.

1.Сделайте разделение забавным с помощью Remainders Wanted.

Математика четвертого класса учится делить большие числа, часто с остатками. В этой игре остальное - цель! На каждом ходу ученики ставят жетон над числом на доске, затем бросают кубик, чтобы увидеть, на какое число они его разделят. Остальное - их счет за этот ход!

Подробнее: Учитель-скаут для мамы

2. Защитите их с помощью головных повязок Factor Frenzy.

Дети используют повязки из долларового магазина, чтобы держать на лбу карточки с изображением продуктов умножения.Их партнеры пытаются уговорить их угадать число, сообщая им факторы, но не говорят сами числа.

Подробнее: Teaching With a Mountain View

3. Разработайте стратегию, чтобы выиграть факторную игру.

Запишите числа от 1 до 30, как показано. Первый игрок отмечает число (свой счет за этот раунд). Затем второй игрок отмечает все оставшиеся множители этого числа (которые в сумме составляют их счет за этот раунд). Игра продолжается, пока не будут отмечены все числа.

Подробнее: Когнитивное кардио

4. Введите шаблоны, задавая вопрос «Что вы замечаете?»

Составьте шаблон задачи и попросите учащихся записать, что они заметили в ней, на стикерах. Соберите и обсудите заметки, чтобы увидеть, какие из них помогут найти правильный номер, соответствующий шаблону. Присудите баллы за правильные ответы, если хотите.

Подробнее: Family Math Night

5. Угадайте, а затем сделайте вывод с помощью Number Pattern Solver.

Нарисуйте круг и задайте диапазон чисел, затем скажите ученикам-математикам четвертого класса, что у вас есть образец. Когда они начнут угадывать числа, запишите их внутри круга, если они соответствуют шаблону, и снаружи, если нет. Сначала они будут просто гадать, но со временем начнут замечать закономерность.

Подробнее: Education.com

6. Бросьте, чтобы выиграть Place Value Yahtzee.

Эти бесплатные печатные доски Place Value Yahtzee включают дифференцированные версии для различных уровней квалификации.Добавьте несколько кубиков, и вы готовы к игре!

Подробнее: Games 4 Gains

7. Используйте игральные карты, чтобы попрактиковаться в десятичных разрядах.

Математики четвертого класса по очереди рисуют карточки, соревнуясь за то, чтобы набрать как можно большее число до тысячных.

Подробнее: Games 4 Gains

8. Сложите карточки, чтобы изучить развернутую форму.

Возьмите бесплатные карточки для печати, затем предложите детям бросить кости и выбрать подходящую карточку.Они строят числа на прилагаемом листе, чтобы получить итог. Для дополнительной практики попросите их также написать названия слов.

Подробнее: Блог о занятиях для детей

9. Попрактикуйтесь в игре в снежки.

Хотите немного контролируемого хаоса в классе? Напишите по одному числу на каждом листе бумаги, подчеркнув то место, до которого оно должно быть округлено. Раздайте каждому ученику по несколько листов и попросите их скомкать их в «снежки». Разрешите 30-секундный безопасный «снежный бой», затем попросите каждого ученика взять снежок и прочитать число вслух, правильно округляя его.Повторить!

Подробнее: Сказки от математика четвертого класса

10. Умножайте большие числа, чтобы получить тройку в ряд.

Математические ученики четвертого класса работают над многозначным умножением, выбирая одно число из поля A и одно из поля B. Они умножают их вместе, пока их партнер проверяет свой ответ на калькуляторе. Если они понимают это правильно, они помещают маркер на бесплатную доску для печати. Цель состоит в том, чтобы получить три места подряд. (Опытные игроки будут использовать округление, чтобы определить, какие числа выбрать следующим!)

Подробнее: Учитель в горошек

11.Проведите частный турнир.

Задачи

Division решают друг друга, чтобы определить, какое из них имеет большее частное. Учащиеся используют ответ для каждого, чтобы заполнить скобку для следующего раунда.

Подробнее: Education.com

12. Дайте ложкам эквивалентную крутку дроби.

Spoons - это классическая и всеми любимая карточная игра, в которой игроки соревнуются в поисках четверок и в каждом раунде хватают ложку. В этой версии они соревнуются в эквивалентных дробях (получите несколько бесплатных карточек для печати по ссылке).

Подробнее: Games 4 Gains

13. Приведите дроби в порядок.

Ученики вытягивают карточки с дробями, меняя их местами, чтобы построить серию из четырех в возрастающем порядке. Узнайте, как это работает, по ссылке.

Подробнее: Math Geek Mama

14. Объявите дробную войну домино.

Каждый ученик рисует домино и позиционирует его в виде дроби. Затем они сравнивают эти два, чтобы увидеть, чья из них больше.Студент-победитель сохраняет оба домино. (Больше интересных способов использования домино для игры на дроби смотрите по ссылке.)

Подробнее: Runde’s Room

15. Выровняйте детей для практики десятичных чисел.

Поднимите учеников четвертого класса по математике и начните двигаться, присваивая им числа. Нарисуйте карточку с шестизначным числом и попросите другого ученика помочь им выстроиться в очередь, сказав что-то вроде: «9 находится в разряде сотен». Как только они выйдут в очередь, задайте несколько дополнительных вопросов, чтобы подтвердить понимание.Узнать больше по ссылке.

Подробнее: Две сестры учат

16. Используйте пластиковые яйца для сопоставления дробей и десятичных знаков.

Возьмите в долларовом магазине несколько пластиковых яиц и напишите дроби на одной половине и эквивалентные десятичные дроби на другой. Дети работают, чтобы соответствовать им.

Подробнее: Meg Mac / Pinterest

17. Сражайтесь с площадью и периметром, чтобы заполнить страницу графика.

Бросьте кости, чтобы увидеть размеры следующего прямоугольника, затем отметьте его на доске.Постарайтесь полностью заполнить свою страницу раньше, чем это сделает ваш партнер! (Попросите учеников записать площадь и периметр в каждом блоке, чтобы попутно попрактиковаться.)

Подробнее: Беседа с детьми

18. Отправляйтесь на поиски мусора.

Вооружите детей измерительными инструментами, а затем отправьте их искать предметы, которые соответствуют бесплатным печатным карточкам-вызовам. Как только они его найдут, им также необходимо преобразовать измерения в той же системе (например, дюймы в футы).

Подробнее: 123Homeschool4Me

19. Играйте в геометрическое бинго.

Математические ученики четвертого класса изучают такие термины, как линия, луч и типы углов. Эта бесплатная распечатанная игра в бинго - отличный способ сделать это!

Подробнее: You’ve Got This Math

20. Обмотайте столы лентой для практики транспортира.

Используйте маркеры для сухого стирания и малярную ленту, чтобы дать ученикам возможность исследовать и измерять множество углов! Если вы не умеете писать на столах, попробуйте вместо этого использовать большой кусок мясной бумаги.

Подробнее: Cursive and Crayons / Instagram

21. Складывайте формы, чтобы обнаружить симметрию.

Разделите учащихся на группы и раздайте серии бумажных фигурок. Предложите каждой группе поэкспериментировать со складыванием своих фигур, чтобы увидеть, какие из них симметричны и сколько линий симметрии у них есть.

Подробнее: Teacher Trap

Нужны дополнительные идеи для четвертого класса? Ознакомьтесь с лучшими научными экспериментами и мероприятиями для 4-х классов.

Ищете еще больше? Попробуйте эти 50 идей, приемов и советов для преподавания в четвертом классе.

% PDF-1.5 % 1 0 объект > поток ; изменено с помощью iText 2.1.7 пользователем 1T3XT2009-09-28T19: 02: 11-04: 00

  • конечный поток эндобдж 2 0 obj > / Шрифт >>> / MediaBox [0.0 0,0 598,0 793,0] / Повернуть 0 >> эндобдж 4 0 obj > поток HW ێ} ߯ [ր]} ϛ ((

    математических котировок

    «Это важный и популярный факт, что вещи не всегда такие, какими кажутся. Например, на планете Земля человек всегда считал, что он умнее дельфинов, потому что он многого добился: колесо, Нью-Йорк, войны. [...] Но, наоборот, дельфины всегда считали, что они намного умнее людей, по точно таким же причинам."
    "42. (Ответ на жизнь, вселенную и все остальное.)"
    Дуглас Адамс ( Автостопом по галактике, )

    «Математика меньше связана с бухгалтерским учетом, чем с философией».
    Леонард Адлеман (цитируется в статье Джины Колата в New York Times от 13 декабря 1994 г.)

    «Что, если все иллюзия и ничего не существует? В таком случае я определенно переплатил за свой ковер».
    Вуди Аллен

    "Если вам не нравится ваш аналитик, обратитесь к местному алгебраисту!"
    Герт Альмквист (основатель и директор Института алгебраической медитации)

    Было доказано, что logloglog n стремится к бесконечности, но никогда не наблюдалось."
    «Кто угодно может посчитать семена в яблоке, но никто не может сосчитать яблоки в семени».
    Аноним

    "Вы можете добиться успехов только в том, что любите. Не зарабатывайте деньги цель. Вместо этого занимайтесь тем, что вам нравится делать, и делайте их так хорошо, чтобы люди не могут оторвать глаз от вас. Все остальные ощутимые награды придут как результат."
    Майя Англеу

    «Вероятное невозможное следует предпочесть невероятным возможностям».
    Аристотель

    "По моему опыту, доказательства с использованием матриц можно сократить на 50%, если выбросить матрицы."
    Э. Артин ( Геометрическая алгебра , стр. 14)

    Комбинаторный анализ в тривиальном смысле манипулирования биномиальными и полиномиальными коэффициентами и формального расширения степеней бесконечных рядов с помощью приложений ad libitum и ad nauseamque полиномиальной теоремы представлял лучшее, что могла сделать академическая математика в Германии конца 18 века. . "
    "Если вещи хорошие, то, вероятно, есть веские причины, почему они хороши: и если вы это делаете Если вы не знаете хотя бы одну причину такой удачи, то вам еще есть над чем поработать."
    Ричард Аски ( Рамануджан и важные формулы , стр. 32, в Шриниваса Рамануджан (1887-1920), Дань , К. Нагараджан и Т. Саундараджан, ред., Университет Мадурай Камарадж, 1987 г.)

    "В свете дня математики проверяют свои уравнения и доказательства, не оставляя камня на камне. непоколебимы в поисках строгости. Но ночью, под полной луной, они мечтают, они плывут среди звезд и дивиться чуду небес. Они воодушевлены.Без мечты там нет ни искусства, ни математики, ни жизни ».
    Майкл Атия ( Уведомления AMS , 2010 г.)

    «Проводить время с математиками - это очень весело. В результате игры я ужинал в полупьяном виде с математиками со всей страны. Я рекомендую этот опыт».
    Дэвид Оберн (драматург Proof )

    "Quapropter bono christiano, sive mathematici, sive quilibet impie divinantium, maxime dicentes vera, cavendi sunt, ne consortio daemoniorum animam deceptam, pacto quodam societatis иррециант."
    ("Таким образом, добрый христианин должен остерегаться математиков и всех тех, кто делает ложные пророчества, на самом деле они могут говорить правду; чтобы они, будучи в союзе с дьяволом, не обманули заблудшие души, заставив их делать общее дело ".)
    Августин ( De genesis ad literam , Liber 2, Caput XVII, Nr. 37)

    « Z сложный».
    Эрик Бэбсон (ИИГС, 18.12.08)

    "Неснижаемая цена обучения - это осознание того, что вы не знаете."
    Джеймс Болдуин

    «Если« религия »определяется как система идей, содержащая недоказуемые утверждения, то Гёдель учил нас, что математика - это не только религия, это единственная религия, которая может доказать, что она таковая».
    Джон Барроу

    «Чтобы подсчитать целые очки, нужна деревня».
    «Решетчатые точки похожи на тараканов. Если вы видите одного из них, вы знаете, что вокруг прячется много других».
    «Доказано, что этот алгоритм работает, но никогда не наблюдалось, чтобы он работал» (о методе цепи Маркова Монте-Карло для приблизительного подсчета таблиц непредвиденных обстоятельств).
    Александр Барвинок (Совместная летняя научная конференция, Snowbird, UT, 16.07.03, Коллоквиум по математике в Иллинойсе, 02/05, и Совместная летняя научная конференция, Snowbird, UT, 15.06.06)

    «Один, и один, и один - три».
    The Beatles ( Вместе, )

    «Очевидное - самое опасное слово в математике».
    Э. Т. Белл

    «Математика - это сборник дешевых уловок и грязных шуток».
    Липман Берс

    "Истоки теории графов скромны, даже легкомысленны."
    Н. Биггс, Э. К. Ллойд и Р. Дж. Уилсон ( Теория графов: 1736-1936, )

    «Нет WLAN [Wi-Fi]. Пожалуйста, поговорите друг с другом и напивайтесь».
    Доска возле бара на Кольвицштрассе, Берлин

    "Жизнь - это двойное внутреннее движение композиции и разложения на когда-то общий и непрерывный ".
    Анри де Бленвиль ( Американский журнал медицинских наук, , 1858)

    «В жизни многих американцев есть две версии математики: странный и скучный предмет, с которым они сталкиваются в классах, и интересный набор идей, который является математикой мира, который на удивление отличается и удивительно интересен.Наша задача - познакомить сегодняшних студентов со второй версией, увлечь их математикой и подготовить к будущему ».
    Джо Булер ( Что с этим должна делать математика? , Penguin 2008)

    «У 5 из 4 людей проблемы с дробями».
    Board в Дэнби, штат Нью-Йорк

    «Предположим, вы хотите научить концепции« кошки »очень маленького ребенка. Объясните ли вы, что кошка относительно маленькое, в основном хищное млекопитающее с убирающимися когтями, характерным звуковым выходом и т. д.? Готов поспорить, нет. Ты возможно, покажите ребенку много разных кошек, каждый раз говоря «котенок», пока он не поймет. Чтобы сказать больше как правило, обобщения лучше всего делать путем абстрагирования от опыта ».
    Р. П. Боас ( Можем ли мы сделать математику неприемлемой? , American Mathematical Monthly 88 (1981), стр. 727-731)

    «Мы все согласны с тем, что ваша теория безумна, но достаточно ли она безумна?»
    Нильс Бор (1885-1962)

    «Мое особое удовольствие в математике основывалось на ее чисто умозрительной части."
    Бернхард Больцано (1781-1848)

    «Математика в том виде, в каком мы ее знаем и как она сформировала современную науку, никогда бы не появилась на свет без некоторого игнорирования опасностей бесконечности».
    Дэвид Брессуд ( Радикальный подход к реальному анализу, , MAA, 2007, стр. 22)

    «Нет проблем, просто паузы между идеями».
    Братство Розы

    «Есть три типа людей: те, кто умеет считать, и те, кто не умеет».
    Наклейка на бампер на автомобиле в Итаке, штат Нью-Йорк

    «Абстракция заключается в создании и использовании двусмысленности."
    «Логика движется в одном направлении, в направлении ясности, согласованности и структуры. Неоднозначность движется в другом направлении, в направлении плавности, открытости и освобождения. Математика движется вперед и назад между этими двумя полюсами. [...] Это так. взаимодействие между этими различными аспектами, которое придает математике ее силу ».
    Уильям Байерс ( Как думают математики, , Princeton University Press, 2007)

    "Слишком много людей думают о безопасности, а не о возможностях.Кажется, они больше боятся жизни, чем смерти ».
    Джеймс Ф. Бирнс

    «Сущность математики заключается в ее свободе».
    «Задать правильный вопрос труднее, чем ответить на него».
    Георг Кантор

    «Алиса засмеялась:« Нет смысла пытаться, - сказала она, - нельзя поверить в невозможное ». «Я полагаю, у вас не было большой практики», - сказала Королева. 'Когда я был моложе, я всегда делал это для полчаса в день. Иногда я верил в шесть невозможных вещей перед завтраком.'"
    «С чего мне начать?» - спросил он. «Начни с начала, - сказал король, - и остановись, когда дойдёшь до конца».
    «А что толку от книги, - подумала Алиса, - без картинок и разговоров?»
    Льюис Кэрролл ( Алиса в стране чудес )

    "Особый интерес магических квадратов и всего lusus numerorum в целом заключается в тот факт, что они обладают очарованием таинственности. Кажется, они предают некоторые скрытые интеллект, который по заранее составленному плану производит впечатление преднамеренного замысла, явление, находящее близкий аналог в природе."
    Пол Карус (в W. S. Andrews, Magic Squares and Cubes , 1960)

    «Сначала необходимо изучить факты, умножить количество наблюдений, а потом уже искать формулы, которые связывают их, чтобы таким образом различить частные законы, управляющие определенным классом явлений. В общем, только после того, как будут установлены эти конкретные законы, можно ожидать открытия и сформулировать более общие законы, которые завершают теории, приводя множество, по-видимому, очень разных явления вместе под единым управляющим принципом."
    Огюстен Луи Коши (1789-1857)

    «Чтобы осуществить великую мечту, первое требование - это большая способность мечтать; второе - настойчивость».
    Сезар Чавес

    «Я математический оптимист: имею дело только с положительными целыми числами».
    «Самое сложное в работе с математиком - это то, что у него всегда есть проблемы».
    Tendai Chitewere

    "Каждый, кто занимается исследованиями, должен иметь опыт работы с лихорадочное и продолжительное стремление написать статью, которую больше никто не будет прочитать или решить проблему, которую никто не считает важной и которую не принесет никакой мыслимой награды - что может только подтвердить общее мнение, что исследователь тратит время на неактуальные."
    Ноам Хомский ( Обзор вербального поведения Б. Ф. Скиннера, , Language, 35, No. 1 (1959), 26-58)

    «Пессимист видит трудности в каждой возможности; оптимист видит возможность в каждой трудности».
    "Я видел, как можно увидеть прохождение Венеры, величину, проходящую через бесконечность и меняющую свой знак. от плюса до минуса. Я точно видел, как это произошло ... но это было после обеда, и я отпустил это ".
    Уинстон Черчилль ( Моя молодость, , 1930)

    11:15 Переформулирую свои предположения:
    1.Математика - это язык природы.
    2. Все, что нас окружает, можно представить и понять с помощью чисел.
    3. Если вы построите график этих чисел, вы увидите закономерности. Следовательно: В природе повсюду есть закономерности ».
    Макс Коэн (играет Шон Гуллетт, Pi , фильм Даррена Аронофски)

    «Для многих математика - это набор теорем. Для меня математика - это набор примеров; теорема - это утверждение о наборе примеров, а цель доказательства теорем - классифицировать и объяснять примеры... "
    Джон Б. Конвей ( Субнормальные операторы, , Pitman Advanced Publishing Program, 1981)

    «Ненавижу алгебру».
    Джон Х. Конвей (приглашенный адрес AMS, Торонто, 23.09.00)

    «Я сфотографировал многих людей: художников, писателей и ученых, среди прочих. Говоря о своей работе, математики используют слова« элегантность »,« истина »и« красота »больше, чем все остальные вместе взятые».
    Мариана Кук (в предисловии к ее книге Математики: внешний вид внутреннего мира с Клиффордом Ганнингом, Princeton University Press, 2009).

    "Математический феномен всегда возникает из простой арифметики, столь полезной в повседневной жизни. жизнь, из числа, это оружие богов: боги там, за стеной, в игре с числами ".
    Ле Корбюзье

    «Математик - это слепой в темной комнате, который ищет черную кошку, которой там нет».
    Чарльз Р. Дарвин

    «Je serais reconnaissant a toute personne ayant, cette демонстрация de me l'expliquer».
    "От [Гротендика] я также научился не гордиться трудностью доказательства: трудность означает, что мы не поняли.Идея состоит в том, чтобы уметь рисовать пейзаж, в котором очевидны доказательства ".
    Pierre Deligne ( Theorie des topos et cohomologie etale des schemas, Том 3 , стр. 584, и Notices of the AMS 63 (2016), p. 250)

    «Математики заботятся о логике не больше, чем логики - о математике».
    Огастес Де Морган

    «По сути, то, что мы делали последние четыре недели, было многогранником быстрого датирования».
    Джессика Де Сильва (ИИГС, 27 июля 2012 г.)

    "Я, конечно, забочусь об измерении образовательных результатов.Но что такое «образовательный результат»? Мерцающие глаза моих учеников вместе с их искренними и красиво выраженными математическими аргументами - все, что мне нужно ».
    Кейт Девлин (Devlin's Angle)

    «Самое важное - это иметь возможность рассуждать задом наперед».
    Артур Конан Дойль ( Этюд в алом цвете )

    «Многие математики так или иначе немного странны. Это связано с творчеством».
    Питер Дурен (NYT, 26.05.96, стр.23)

    «Предположим, мы думаем о целых числах, выстроенных в ряд, как домино. Индуктивный шаг говорит нам, что они достаточно близки, чтобы каждое домино могло опрокинуть следующее, базовый случай говорит нам, что первое домино упало, вывод состоит в том, что они все падают. Ошибка в этой аналогии в том, что каждому домино требуется время, чтобы упасть, и поэтому домино, которое находится далеко вдоль линии, не упадет в течение длительного времени. Математическое значение находится вне времени ".
    Питер Дж. Эклс ( Введение в математическое мышление, , стр.41)

    «Я не потерпел неудачу. Я только что нашел 10 000 способов, которые не работают».
    Томас Альва Эдисон (1847-1931)

    «Самое прекрасное переживание - таинственное. Это источник истинного искусства и науки».
    «Все должно быть сделано как можно проще, но не проще».
    «Чистая математика - это в своем роде поэзия логических идей».
    «Не все, что можно подсчитать, имеет значение, и не все, что можно подсчитать».
    "Не беспокойтесь слишком сильно о своих трудностях в математике, могу заверить вас, что мои еще больше."
    «Я никогда не думаю о будущем - оно наступит достаточно скоро».
    «Воображение важнее знаний».
    «Дело не в том, что я такой умный. Просто я тратил больше времени на проблемы».
    «Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit».
    "Wenn ein gewisses technisches Können erreicht ist, verschmelzen Wissenschaft und Kunst gern zur Ästhetik. Die grossen Wissenschaftler sind auch immer Künstler."
    Альберт Эйнштейн (1879-1955)

    «Секрет образования - это уважение к ученику».
    Ральф Уолдо Эмерсон

    «Анализ - это искусство укрощения бесконечности».
    Нил Фолкнер (Amer. Math. Monthly 116 (2009), стр. 658)

    «Невозможно понять ... универсальность законов природы, взаимосвязь вещей без понимания математики. Другого способа сделать это нет».
    Ричард П. Фейнман

    «Цель образования - заменить пустой ум открытым."
    Малькольм Форбс

    «Кормление из ложки в конечном итоге не учит нас ничему, кроме формы ложки».
    Э. М. Форстер

    «Математика сравнивает самые разные явления и обнаруживает секретные аналогии, которые их объединяют».
    Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830)

    «В 1906 году было подсчитано, что каждый восьмой американец покупал открытку каждый день».
    Джон Фриман ( Тирания электронной почты , стр. 46; в остальном книга неплохая)

    «Когда я работаю над проблемой, я никогда не думаю о красоте.Я думаю только о том, как решить эта проблема. Но когда я закончу, если решение не будет красивым, я знаю, что оно неправильное ».
    "Все, что вы учили в школе как" очевидное ", становится менее очевидным. и менее очевиден, когда вы начинаете изучать Вселенную. Для Например, во Вселенной нет твердых тел. Нет даже предложение твердое. Абсолютных континуумов не существует. Нет поверхностей. Прямых линий нет ".
    Бакминстер Фуллер (1895-1983)

    «Когда люди говорят вам, что что-то не так или не работает для них, они почти всегда правы.Когда они говорят вам, что именно они считают неправильным и как это исправить, они почти всегда неправильный."
    Нил Гейман

    "Философия написана в этой великой книге - я имею в виду вселенную, - которая постоянно открыта нашему взору, но его нельзя понять, если сначала не научиться понимать язык и интерпретировать символы в котором это написано. Он написан на языке математики, и его символы - треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых по-человечески невозможно понять ни единого слова."
    Галилео Галилей ( Il Saggiatore , 1623)

    «Когда я читаю этот доклад перед физической аудиторией, я удаляю цитаты из своей« Теоремы »».
    Брайан Грин (приглашенный доклад на Joint Math Meetings, Вашингтон, округ Колумбия, 19 января 2000 г.)

    «За задержку с подготовкой статьи авторы приносят извинения своим читателям и друг перед другом».
    Кертис Грин и Том Заславски ( Транзакции AMS 280 (1983), 97-126).

    "Тот факт, что мы люди, действительно довольно ограничивает.Я имею в виду, мы не эволюционировали до понимать структуру пространственно-временного континуума или делать что-то в 100000 измерениях. Мы умеют держаться подальше от дождя и [не] быть съеденными животными ».
    Рон Грэм

    «Барт: Привет, Гудини! Почему ты не видел Мартина пополам?
    Волшебник: О, я не из тех фокусников. Я математик!
    [Дети стонут]
    Волшебник: А теперь, приготовьтесь поразиться тайнам вселенной, пока я заставлю этот остаток исчезнуть.[пишет 7 переходит в 28 три раза]
    Лиза: Но 7 переходит в 28 четыре раза.
    Маг: Эээ, это магия 7. "

    «Апу: На самом деле я могу назвать« пи »до 40000 знаков. Последняя цифра - единица!
    Гомер: Мммм, пирог.

    Гомер: В этот раз завтра ты будешь на высоких каблуках!
    Нед: Нет, будешь.
    Гомер: «Не бойся.
    Нед:« Боясь так! »
    Гомер:« Не бойся. !
    Гомер: «Бояться бесконечности!»
    Нед: «Бояться бесконечности плюс один!»
    Гомер: Ооо!

    "Интернет-парень: Ваши акции на нуле".
    Барт: Но у меня 52 миллиона акций! Что 52 миллиона умножить на ноль ?! И не говори мне, что это ноль! "

    "(Гомер скрылся в стене в гостиной.)
    Лиза: Ну, а где же мой отец?
    Фринк: Ну, это должно быть очевидно даже для самого тупого человека, имеющего ученую степень в области гиперболической топологии, н'джи , что Гомер Симпсон наткнулся на ... [свет гаснет] третье измерение
    Лиза: [переворачивает выключатель света] Извини
    Фринк: [рисует на доске] Вот обычный квадрат....
    Виггам: Эй, эй, помедленнее, яйцеголовый!
    Фринк: ... но предположим, что мы продолжим квадрат за пределы двух измерений нашей Вселенной, вдоль гипотетической оси z, там.
    Все: [задыхается]
    Фринк: Это формирует трехмерный объект, известный как «куб» или «Фринкаэдр» в честь его первооткрывателя, н'эй, н'эй.
    Голос Гомера: Помогите мне! Вы мне помогаете или продолжаете и продолжаете?
    Фринк: Да, верно. И, конечно же, внутри мы находим обреченного человека ».

    Мэтт Грёнинг (обязательно ознакомьтесь с Руководством по математике и математикам Эндрю Нестлера на The Simpsons !)

    "Кратчайший путь между двумя истинами в реальной области проходит через сложную область."
    Жак Саломон Адамар (1865-1963)

    «Комбинаторика - это не наука, это отношение».
    Марк Хайман

    «Единственный способ выучить математику - это заниматься математикой».
    «Хороший набор примеров, как можно больше, необходим для полного понимания любой концепции, и когда я хочу узнать что-то новое, я первым делом создаю такое».
    Пол Халмос

    «Вы когда-нибудь замечали, что мы уделяем гораздо больше внимания мудрому отрывку, когда его цитируем, чем когда читаем его у первоначального автора?»
    Филип Г.Hamerton

    «Цель вычислений - понимание, а не числа».
    "Между теми, кто работает с открытыми дверями, и теми, кто в конечном итоге делают важные дела, хотя люди, которые работают с закрытыми дверями, часто работают усерднее ". [из этого выступления]
    Ричард Хэмминг (1915--1998)

    «Вдохновение постоянно витает в воздухе. Нам нужно развить в себе чувствительность, чтобы уловить его».
    Херби Хэнкок

    «В преподавании математического анализа хорошо то, что у вас развивается жесткое отношение к повторению самих себя."
    Фил Хэнлон

    «Я верю, что математическая реальность находится вне нас, что наша функция - обнаруживать или наблюдать ее, и что теоремы, которые мы доказываем и которые мы величественно описываем как наши« творения », - это просто записи наших наблюдений».
    «Паттерны математика, как и паттерны художника или поэта, должны быть красивыми; идеи, такие как цвета или слова, должны гармонично сочетаться друг с другом».
    Годфри Гарольд Харди

    «Ученик, изучающий математику, должен развить терпимость к двусмысленности.Педантизм может быть врагом проницательности ».
    Гила Ханна (в издании Дэвида Талла, Продвинутое математическое мышление )

    «Вся цель образования - превратить зеркала в окна».
    Сидней Дж. Харрис

    "Es ist eine Tatsache, dass die genauere Kenntnis des Verhaltens einer analytischen Funktion in der Nähe ihrer singulären Stellen eine Quelle von arithmetischen Sätzen ist."
    Эрих Гекке ( Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Zahlen , Kapitel VIII)

    "Одно из самых больших заблуждений по поводу математики, которое мы совершаем в наших классах, заключается в том, что Учитель, кажется, всегда знает ответ на любую обсуждаемую проблему.Это дает студентам идея, что где-то есть книга со всеми правильными ответами на все интересные вопросы, и учителя знают эти ответы. И если бы можно было достать книгу, можно было бы все поселился. Это так непохоже на истинную природу математики ».
    Леон Хенкин

    «Я считаю, что числа и функции анализа не являются произвольным результатом нашего разума; я думаю, что они существуют вне нас, с тем же характером необходимости, что и вещи объективной реальности, и мы встречаемся с ними или открываем их, и изучаем их, как и физиков, химиков и зоологов."
    Чарльз Эрмит (цитируется в книге Морриса Клайна «Математическая мысль от древних до наших дней », Oxford University Press, 1972, стр. 1035)

    «Я написал несколько статей по алгебрам Кошуля, но я действительно не понимаю определения алгебр Кошуля».
    Такаюки Хиби (Совместная летняя исследовательская конференция, Snowbird, Юта, 15 июня 2006 г.)

    «Математика для ленивых».
    Питер Хилтон (Приглашенный адрес, Конференция студентов на реке Гудзон, 2000 г.)

    "Die Mathematische Forschung besteht aus 10% Intuition und 90% Arbeit.""
    Эдмунд Глава (DMV-Mitteilungen 2/99)

    «Как только вы устраните невозможное, все, что останется, каким бы невероятным оно ни было, должно быть правдой».
    "'Данные! Данные! Данные!' - нетерпеливо воскликнул он. - Я не могу делать кирпичи без глины ».
    Шерлок Холмс (сэр Артур Конан Дойл, 1859-1930)

    «Хорошее суждение приходит из опыта. Опыт приходит из плохого суждения».
    Джим Хорнинг

    «Здесь мы опишем, что задействовано в вычислениях, и перечислим наши ответы.Подробности можно получить у автора по запросу. Автор действительно надеется, что кто-то проверит расчеты, потому что он не очень верит в свою способность безошибочно выполнить детали. Однако он надеется, что изложенные ответы качественно верны ".
    Роджер Хоу (Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. 97 (1987), стр. 85-109)

    «Я не верю в [писательский блок]. Моя работа - писать, а не любить то, что я пишу. Вот почему мы редактируем, и никто не получает блокировку редактора."
    Джейсон Исбелл

    «Чтобы просмотреть список всех причин, по которым технологии не смогли улучшить качество жизни, нажмите три».
    Алиса Кан

    «Подсчет пар - самый старый прием в комбинаторике ... Каждый раз, когда мы считаем пары, мы чему-то учимся».
    Гил Калаи

    «Математика - это деятельность, управляемая теми же правилами, что и симфонии Бетховена, картины Да Винчи и поэзия Гомера».
    Эдвард Каснер и Джеймс Ньюман ( Mathematics and the Imagination , Simon & Schuster, New York, 1940, p.362)

    "Ubi materia, ibi geometria".
    «Геометрия - архетип красоты мира».
    Иоганн Кеплер (1571-1630)

    «Если вы сделали что-то дважды, вы, вероятно, сделаете это снова».
    Брайан Керниган и Боб Пайк ( Среда программирования Unix , стр.97)

    «Математика во многих отношениях является самым ценным ответом человеческого духа на призыв бесконечности».
    Кассиус Дж. Кейзер ( Человеческая ценность строгого мышления: эссе и адреса , Columbia University Press, Нью-Йорк, 1925, стр.59.)

    «Хороший доклад не содержит доказательств; хороший доклад не содержит теорем».
    «Математические доказательства должны сообщаться только наедине и с согласия взрослых».
    Виктор Клее

    «Худшее, что вы можете сделать с проблемой, - это решить ее полностью».
    «Если вы используете одну и ту же нотацию для всего, вы никогда не ошибаетесь».
    Даниэль Клейтман

    «Наука - это то, что мы понимаем достаточно хорошо, чтобы объяснить компьютеру, искусство - это все остальное».
    "Я был счастливым человеком с 1 января 1990 года, когда у меня больше не было адреса электронной почты.Я использовал электронную почту примерно с 1975 года, и мне кажется, что 15 лет электронной почты - это достаточно для одной жизни ».
    Дональд Э. Кнут

    «В L_infinity много места для кратчайших векторов».
    «Исправьте N, скажем, какое-нибудь небольшое число. [На доске записывает N = 300000]»
    Маттиас Кеппе (AIM 11.10.10 и 11.11.16)

    «Самая большая награда для ученика - плохая оценка. Это готовность учителя его слушать».
    Николай Константинов

    «Nein! Wir Sind Dichter."
    "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk."
    «Теоретики чисел подобны пожирателям лотосов - попробовав эту пищу, они никогда не смогут отказаться от нее».
    Леопольд Кронекер (1823-1891)

    «Воображаемое число - прекрасный и чудесный ресурс человеческого духа, почти амфибия между бытием и небытием».
    «Музыка - это удовольствие, которое человеческий разум испытывает от счета, не осознавая, что он считает».
    Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716)

    "Каждое измерение особенное."
    Джефф Лагариас (Совместная летняя исследовательская конференция, Snowbird, UT, 13.07.03)

    «Природа смеется над трудностями интеграции».
    Пьер-Симон де Лаплас

    «Я не знаю, откуда пришли мои идеи. Я признаю, однако, что одним из ключевых ингредиентов является кофеин. Я наливаю себе пару чашек кофе, и странные вещи просто начинают происходить».
    Гэри Ларсон ( Предыстория дальней стороны, )

    «Музыка - часть теории чисел. Сегодня, когда теоретик чисел подает заявку на грант, он говорит, что это хорошо для безопасности, но в те дни, задолго до Америки, он сказал, что это хорошо для музыки.Я не буду комментировать, продвинулись ли мы ... »
    « Рекреационная теория чисел [...] - это та часть теории чисел, которую слишком сложно изучать ».
    « Лекция по математике без доказательства подобна фильму без любовная сцена. [пауза] У этого выступления есть два доказательства ".
    Хендрик Ленстра (совместные математические встречи, январь 2002 г.)

    "Es ist unglaublich, wie unwissend die studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rechne oder geometrisire, so schläft 1/4 derselben sanfft ein.""
    "Ich glaube, dass es, im Strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist."
    "Die Mathematik ist eine gar herrliche Wissenschaft, aber die Mathematiker taugen of t den Henker nicht. Es ist fast mit der Mathematik wie mit der Theologie. So wie die letzteren Beflisenen, zumal wenn sieuf in Ämtern besilkeeren, ee und eine nähere Verwandtschaft mit Gott machen, obgleich sehr viele darunter wahre Taugenichtse sind, so verlangt sehr oft der so genannte Mathematiker für einen tiefen Denker gehalten zu werden, ob es gleich darunter die gröpfessten gluderden Geschäft, das Nachdenken erfordert, wenn es nicht unmittelbar durch jene leichte Verbindung von Zeichen geschehen kann, die mehr das Werk der Routine, als des Denkens sind."
    Георг Кристоф Лихтенберг (1742-1799)

    «Раньше давалось серьезное предупреждение, что изображения не являются строгими; это никогда не подвергалось блефу и постоянно пугало своих жертв, заставляя их играть из соображений безопасности».
    Джон Эденсор Литтлвуд (1885-1977)

    "Нет ничего более мечтательного и поэтичного, ничего более радикального, подрывного и психоделического, чем математика. Это не менее поразительно, чем космология или физика (математики придумали черных дыр задолго до того, как астрономы их обнаружили), и допускает больше свободы выражения, чем в поэзии, искусстве или музыке (что сильно зависит от свойств физической вселенной).Математика - самое чистое из искусств, а также самое неправильно понимаемое ».
    Пол Локхарт (Плач математика)

    «Образование - это самое мощное оружие, которое вы можете использовать, чтобы изменить мир».
    Нельсон Мандела

    «Der geistige Mensch hat die Wahl (soweit er die Wahl hat), entweder Ironiker oder Radikalist zu sein; ein Drittes ist anständigerweise nicht möglich».
    Томас Манн

    "Математика - единственное место, где истина и красота означают одно и то же."
    Даника МакКеллар

    «Для каждой проблемы есть одно простое, изящное и неправильное решение».
    Х. Л. Менкен (1880-1956)

    «То, [...] то, что мы, эволюционные биологи, не [...] делаем в достаточной мере, [...] это эмоциональные и моральные доводы в пользу изучения эволюции. Вчера вечером я завершил свой доклад цитатой из Дувра, креациониста из Пенсильвании. член школьного совета Уильям Бэкингем, который заявил: "Две тысячи лет назад кто-то умер на кресте. Неужели никто не может встать на его сторону?" Я ответил: «За последние две минуты кто-то умер от бактериальной инфекции.Мы встаем на его сторону ».
    Майк безумный биолог

    "Математические исследования и исследования очень напоминают альпинизм. Уимпер приложил несколько усилий, прежде чем он поднялся на Маттерхорн в 1860-х годах, и даже тогда это стоило жизни четырем участникам его группы. Однако теперь любой турист может быть поднимается за небольшую плату и, возможно, не оценивает сложность первоначального восхождения. Итак, в математике может быть трудно осознать огромную первоначальную трудность сделать небольшой шаг, который теперь кажется таким естественным и очевидным, и неудивительно, если такой шаг снова будет найден и потерян."
    Луи Джоэл Морделл (1888-1972; Три лекции по Великой теореме Ферма , стр.4)

    «Но поскольку Природа - лучший проводник, обучение должно быть развитием естественных наклонностей, для чего учитель должен наблюдать за своим учеником и слушать его, а не постоянно выкрикивать слова ему в уши, как если бы выливали воду в воронку. Хорошее обучение будет приходят из хорошо сделанного ума, а не из хорошо заполненного ".
    Мишель де Монтень ( Об обучении детей , 1588)

    «Молодые крови не умеют писать по буквам, но они могут потрясти вас в PlayStation с помощью этой новой математики, которую он взбивает на 8%! 2 @ * ^ # ers ass you want to know how to rhyme, you better learn how to add it Mathematics."
    Мос Деф ( Математика )

    "Иногда хорошая идея приходит к вам, когда вы ее не ищете. невероятное сочетание совпадения, наивности и удачных ошибок ... "
    Кэри Муллис ( Необычное происхождение полимеразной цепной реакции, , Sci. Amer., Апрель 1990 г., стр. 445)

    «Мир непрерывен, но разум дискретен».
    Дэвид Мамфорд (пленарное выступление на ICM 2002, 21 августа 2002 г.).

    «В математике вы ничего не понимаете.Вы просто привыкните к ним ".
    «Если люди не верят, что математика проста, это только потому, что они не осознают, насколько сложна жизнь».
    Джон фон Нейман (1903-1957)

    "Все остальные поднимались бы на вершину, ища тропу где-нибудь в горе. Нэш поднимался бы на другую гору, и с этой далекой вершины луч прожектора снова попадет на первую вершину ".
    Дональд Ньюман (1930-2007) (цитируется в A Beautiful Mind С.Насар, стр. 12)

    «Если я мог видеть дальше, то только потому, что стоял на плечах гигантов».
    «Истину всегда можно найти в простоте, а не в множестве и беспорядке вещей».
    «Похоже, я был всего лишь мальчиком, играющим на берегу моря и время от времени отвлекающимся на поиски более гладкого камешка или более красивой раковины, чем обычно, в то время как великий океан истины лежал передо мной совершенно неоткрытым».
    Исаак Ньютон (1643-1727)

    "Критикуйте эффективность вашего урока не по тому, что дают ученики, а по тем, какие вопросы они задают."
    Fawn Nguyen

    «Те, кого видели танцующими, считались сумасшедшими теми, кто не мог слышать музыку».
    Фридрих Ницше (1844-1900)

    «Противоречие не является признаком лжи, а отсутствие противоречия - признаком истины».
    «Не факт, что все неопределенно».
    «Свободно говорить о математике, я считаю это высшим упражнением духа; но в то же время я знаю, что это настолько бесполезно, что не делаю различия между человеком, который является всего лишь математиком, и обычным ремесленником.Также я называю это самой красивой профессией в мире; но это всего лишь профессия ".
    «Нас обычно легче убедить по причинам, которые мы обнаружили, чем по тем, которые приходили в голову другим».
    Блез Паскаль

    «Это неправильно, это даже не так».
    Вольфганг Паули (1900-1958), прочитав статью молодого физика

    «Математики немного похожи на немногословного Вермонтера, который на вопрос, прожил ли он в этом штате всю свою жизнь, отвечает:« Еще нет."
    «Простые уравнения, порождающие запутанный фрактал Мандельброта, были названы самыми остроумными замечаниями из когда-либо сделанных».
    Джон Аллен Паулос ( Irreligion , стр. Xii и Once Upon a Number , стр. 130-131)

    "... и, вероятно, здесь есть какой-то секрет, который еще предстоит раскрыть. обнаруженный."
    К. С. Пирс (цитируется Э. П. Вигнером в необоснованная эффективность математики в естествознании, Сообщения по чистой и прикладной математике 13 (1960, 1-14)

    «Лев, у тебя есть религия? Знаешь, религия, например, еврейская, или христианская, или математическая...? "
    Алон Перес, 6-летний сын Ювала Переса (цитируется в Amer. Math. Monthly 110, стр. 324)

    «Компьютеры бесполезны. Они могут дать вам только ответы».
    Пабло Пикассо

    «Не допускайте никого, кто не разбирается в геометрии».
    Надпись на дверях платоновской академии

    «Математика - это искусство давать одно и то же имя разным вещам».
    «Одна геометрия не может быть вернее другой; она может быть только удобнее».
    "Мысль - всего лишь вспышка между двумя долгими ночами, но эта вспышка - все."
    "Наука - это факты; как дома сделаны из камня, так и наука сделано из фактов; но груда камней - это не дом, а собрание факты не обязательно наука ".
    Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912)

    «Геометрия - это наука о правильном рассуждении о неправильных числах».
    «Однажды у Гильберта был студент-математик, который перестал ходить на его лекции, и ему наконец сказали, что молодой человек ушел, чтобы стать поэтом. Гильберт, как сообщается, заметил:« Я никогда не думал, что у него достаточно воображения, чтобы быть математик »."
    Георгий Поля (1887-1985)

    "Теоремы доставляют удовольствие, особенно когда вы доказываете, но потом удовольствие исчезает. Нас поддерживают нерешенные проблемы ».
    Карл Померанс (приглашенный доклад MAA, 21.01.2000)

    "Там, где сегодня такой калькулятор, как ENIAC, оснащен 18 000 электронных ламп. и весит 30 тонн, компьютеры в будущем могут иметь всего 1000 электронных ламп. и, возможно, весит всего 1 1/2 тонны ".
    Popular Mechanics , март 1949 г., стр.258

    «Макферсон сказал мне, что мою теорему можно рассматривать как бла-бла-бла-Гротендик-бла-бла-бла, что делает ее более респектабельной».
    «Я думаю, что некоторая интуиция просачивается на каждом этапе индукционного доказательства».
    Джим Пропп (выступление на специальной сессии AMS, 22.01.00)

    «Откровенно говоря, учителя - единственная профессия, которая обучает наших детей».
    Дэн Куэйл, 18.09.90

    "Кембридж дал мне различные виды обучения и надзором, но, возможно, наибольшее влияние оказал Джеффри Голдстоуна и Питера Суиннертон-Дайера, которые побудили меня продолжать думаю для себя и не относиться к техническим деталям слишком серьезно."
    Майлз Рид (в предсмертном некрологе)

    «Математика - это стойкая интеллектуальная честность».
    Моисей Ричардсон ( Математика и интеллектуальная честность, , Amer. Math. Monthly 59 (1952), стр. 73)

    «Больно думать о конвергенции, но иногда это действительно необходимо».
    Sinai Robins (коллоквиум SUNY Binghamton 14.03.02)

    "Мне нравится думать о математиках как о формировании нашей собственной нации, независимо от географического происхождения, расы, вероисповедания, пола, возраста или даже времени... все посвящено самым прекрасным из искусств и наук ".
    Джулия Робинсон

    «Бог создал бесконечность, а человек, неспособный понять бесконечность, создал конечные множества».
    «Если мы не знаем, почему утверждение истинно, мы все равно можем доказать его по индукции».
    «Природа имитирует математику».
    "В каждой области есть свои табу. В алгебраической геометрии табу (1) написание черновика, за которым может следить кто угодно, кроме двух или трех ближайших друзей, (2) утверждение, что результат имеет приложения, (3) упоминание слова «комбинаторный» и (4) утверждение, что алгебраическая геометрия существовала и до Гротендика (разрешены лишь некоторые размахивающие рукой ссылки на «итальянцев», при условии, что они не поддерживаются конкретными ссылками)."
    «В статистике есть что-то, что очень похоже на астрологию».
    «Вскоре после того чтения [книги по комбинаторике Берджа] я был бы одним из многих, кто освободился от щупалец Континуума и присоединился к затем Повстанческая Армия Дискретности ». [предисловие к книге Берджа]
    Джан-Карло Рота

    «Иногда идеи просто приходят ко мне. Иногда мне приходится вспотевать и почти истекать кровью, чтобы воплотить идеи в жизнь. Это загадочный процесс, но я надеюсь, что никогда не узнаю, как именно он работает."
    Дж. К. Роулинг

    "Это потому, что современное образование так редко вдохновляется великой надеждой, что оно так редко дает великий результат. Желание сохранить прошлое, а не надежда создать будущее доминирует в умах тех, кто контролирует обучение молодежи. "
    «Во всех делах время от времени полезно вешать вопросительный знак на то, что вы давно принимаете как должное».
    Бертран Рассел

    «У нас нет денег, поэтому мы должны думать."
    Эрнст Резерфорд

    «Если вы хотите построить корабль, не призывайте людей собирать дрова и не поручайте им задания и работу, а научите их тосковать по бескрайним просторам моря».
    «Взрослые никогда ничего не понимают для себя, и детям утомительно всегда и всегда что-то им объяснять».
    Антуан де Сент-Экзюпери

    «Всякая правда проходит три стадии. Во-первых, ее высмеивают. Во-вторых, ей яростно противостоят.В-третьих, это считается самоочевидным ".
    "Dass die niedrigste аллер Tätigkeiten die arithmetische ist, wird dadurch belegt, dass sie die einzige ist, die auch durch eine Maschine ausgeführt werden kann. Nun läuft aber all analysis finitorum et infinitorum im Grünchde do. Mathematischen Tiefsinn '. "
    Артур Шопенгауэр (1788-1860)

    "Проблема в том, что мы склонны жить среди множества крошечных целых чисел и обычно игнорируем огромное количество более крупных.Как банально и ограниченно на наш взгляд! "
    П. Д. Шумер ( Mathematical Journeys , Wiley, 2004)

    «Удачная, но недоказанная гипотеза может иметь гораздо большее значение для математики, чем доказательство многих уважаемых теорем».
    А. Сельберг ( Сборник статей , т. I (1989), стр. 700)

    "Мне кажется, что математическое письмо похоже на использование языка. Чтобы быть понятым, вы должны следовать некоторым грамматическим правилам. Однако в нашем случае никто не позаботился о написании грамматики; мы получаем ее, как ребенок, из родители, подражая другим.У некоторых математиков хороший слух; некоторые - нет (а некоторые предпочитают жаргонные выражения, такие как «если и только»). Это жизнь."
    Жан-Пьер Серр (см. также его лекцию о том, как плохо писать математику)

    «Мы научились быть счастливыми. Мы танцевали по залу. И умение считать было ключом ко всему ".
    Sesamestreet

    "Мы научили вас, что земля круглая, Это красное и белое делают розовым, И еще кое-что, что имеет большее значение - Мы научили вас думать ».
    Доктор.Сьюз ( Ура для Diffendoofer Day )

    «Хотя это безумие, но в этом есть метод».
    «Не теряй времени на ветреные споры, но оставь дело в покое».
    В. Шекспир

    "log log log x уходит в бесконечность с большим достоинством".
    Дэн Шанкс ( Math. Comp. 13 (1959), 272-284)

    «Он [Танияма] был одарен особой способностью совершать множество ошибок, в основном в правильном направлении. Я завидовал ему в этом и пытались подражать ему, но было довольно сложно делать хорошие ошибки."
    Горо Шимура (программа Nova на FLT и Enigma Ферма Саймона Сингха, стр.174)

    «Серьезные цифры всегда будут говорить с нами».
    Пол Саймон ( Когда цифры становятся серьезными, , 1983)

    «Теоретически разницы между теорией и практикой нет. Но на практике она есть».
    Ян Л.А. ван де Снепшют

    «Сам термин« комбинаторные методы »носит оксюморонический характер».
    Джоэл Спенсер ( Справочник по комбинаторике , стр.1807)

    «Математика - это наука о закономерностях, а природа использует практически все существующие закономерности».
    Ян Стюарт ( «Числа природы: нереальная реальность математического воображения», , Basic Books, Нью-Йорк, 1995, стр. 18)

    "1 * 1 = 1, unzweifelhaft. Aber 1 * 2 ist nicht 1, weil das Quadrat einer gegebenen Zahl grösser sein mss als die Zahl selbst. Die Wurzel aus 1 kann logischerweise nicht 1 sein, weil die Wurzel Zahlus kainer als die Zahl selbst.Aber Mathematisch oder Formal ist sqrt (1) = 1. Die Mathematik widerspricht in diesem Falle der Logik oder der reinen Vernunft, und darum ist die Mathematik in diesem Kardinalfalle vernunftwidrig. Auf dieser Sinnlosigkeit, der 1, bauen sich dann alle Werte auf, und in diesen falschen Werten fusst die Mathematische Wissenschaft, die 'einzig exakte, unfehlbare'. Aber dies ist Mathematik! Ein artiges Spiel für Leute, die nichts zu tun haben ".
    Август Стриндберг (1849-1912)

    "Если вы думаете, что это просто, значит, вы неправильно поняли проблему."
    Bjarne Strustrup (лекция в Temple U., 25.11.97)

    «Единственная причина, по которой нам нравятся комплексные числа, - это то, что нам не нравятся действительные числа».
    Бернд Штурмфельс (IAS / Математический институт Парк-Сити, 14.07.04)

    "Чисто формальный язык геометрии адекватно описывает реальность пространства. В этом смысле мы могли бы сказать, что геометрия - это успешная магия. Я хотел бы сказать обратное: не только магия, если она успешна, геометрия ? "
    Рене Том ( Структурная стабильность и морфогенез , W.А. Бенджамин, Рединг, Массачусетс, 1975, стр. 11)

    «Сначала соберите свои факты, а затем вы можете искажать их сколько угодно».
    «Мало что может быть труднее, чем хороший пример».
    "Через двадцать лет вы будете еще больше разочарованы тем, что вы не сделали, чем те, которые вы сделали. Так что сбрось боулинги, уплывай прочь из безопасной гавани ловите пассат в своих парусах. Исследовать. Мечтать. Обнаружить."
    Марк Твен (1835-1910)

    «Красивая проблема похожа на забавную шутку."
    Дэниел Ульман ( Amer. Math. Monthly 105 (1998), стр. 292)
    «Красивая проблема - не шутка!»
    Марвин Кнопп (исправления к моей диссертации, апрель 2000 г.)

    «Математика - это бегство от реальности».
    Станислав Улам ( Приключения математика, , UC Press, Беркли, 1991, стр. 120)

    Филлис объяснила ему, пытаясь передать свое более глубокое «я»: «Разве ты не находишь это таким прекрасным, математика? Как бесконечный лист золотых цепей, каждое звено заперто в предыдущее, теоремы и функции, одно делая следующее неизбежным.Это музыка, висящая посреди пространства, означающая не что иное, как она сама, и поэтому движется, ... '"
    «То, что мой мозг не совсем понимает, - настаивал Оуэн, возводя себя до уровня психической хрупкости Кантора, - вот почему это было так важно, когда Рассел и Гедель обнаружили эти внутренние противоречия или парадоксы, - как указывает Кляйн. , путаница в основном семантическая. Я не понимаю, какое отношение неразрешимость имеет к истории компьютера ». «Я имею в виду, - сказал он, - так что , что , если существует набор наборов, которые не являются членами самих себя, что делает его набором, который одновременно является и не является членом самого себя?» «Но, Оуэн, дорогой, - сказала Филлис, - антиномии - парадоксы - подрывают классическую логику, но то, как они должны быть сформулированы, приводит нас к символической логике, которая вводит булеву математику, машину и алгоритмы Тьюринга.Неразрешимость - это как знать, что у вас болото, и все равно изобретать методы, чтобы на нем строить. Это как Бэк-Бэй на всех сваях, - сказала она ... »
    Джон Апдайк ( Village , Альфред А. Кнопф, Нью-Йорк, 2004, стр. 93-96)

    «Отсутствие серьезности привело ко множеству чудесных открытий».
    Курт Воннегут

    «Математик, который не является одновременно чем-то вроде поэта, никогда не станет законченным математиком».
    Карл Вейерштрасс

    "Каждый математик, достойный этого имени, хотя бы изредка испытывал состояние ясного возвышение, в котором одна мысль сменяет другую, как будто чудесным образом, и в котором бессознательное (как бы ни толковалось это слово), похоже, играет роль."
    "Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können."
    Андре Вайль

    «Это все хорошо на практике, но как это работает в теории?»
    Шмуэль Вайнбергер (ИИГС, 05.09.06)

    «Моя работа всегда пыталась соединить истину с прекрасным, но когда мне приходилось выбирать то или другое, я обычно выбирал прекрасное».
    Герман Вейль

    «Мы думаем общими фразами, но живем в деталях."
    «Погоня за математикой - это божественное безумие человеческого духа».
    «Фундаментальный прогресс связан с переосмыслением основных идей».
    «Порядка недостаточно. Требуется нечто гораздо более сложное. Это порядок, вступающий в новизну; чтобы массивность порядка не переросла в простое повторение; и чтобы новизна всегда отражалась на фоне системы. . "
    Альфред Норт Уайтхед

    "Жизнь слишком важна, что бы воспринимать ее серьезно."
    Оскар Уайльд

    «Я никогда не использую компьютер».
    Эндрю Уайлс (программа Nova на FLT и Enigma Ферма Саймона Сингха, стр. 211)

    «Производящая функция - это бельевая веревка, на которую мы вешаем последовательность чисел для отображения».
    «Вся прелесть производящих функций проявляется только при настройке на оба канала: дискретный и непрерывный».
    «Индукция заставляет вас чувствовать себя виноватым за то, что вы получаете что-то из ничего, и это искусственно, но это одно из величайших идеи цивилизации."
    Герберт Вильф

    "Когда я поступил в аспирантуру, я выполнил инструкции, данные мне моим отцом, и постучал по обоим Двери Мюррея Гелл-Манна и Фейнмана и спросили их, что они сейчас делают. Мюррей записал статистической суммы для трехмерной модели Изинга и сказал, что было бы неплохо, если бы я мог ее решить (по крайней мере, так Помню разговор). Фейнман ответил «ничего» ».
    Кен Г. Уилсон (цитируется по J.2 имеет неприятную сингулярность при r = 0, но это не беспокоило Ньютона - Луна находится достаточно далеко ».
    Эдвард Виттен (лекция AMS Гиббса, Балтимор, 7 января 1998 г.)

    «Все средства (даже непрерывные) освящают дискретную цель». (электронное письмо в среду, 14 августа 2002 г., 16:29:35 -0400 (EDT))
    "Много лет назад я однажды сказал в своем выступлении: Прямое комбинаторное доказательство похоже на секс. Если хорошо, то отлично. Если плохо, то все равно лучше, чем ничего ». Я больше в этом не уверен. Я по-прежнему считаю, что прямые комбинаторные доказательства похожи на секс, за исключением того, что и плохой секс, и плохие комбинаторные доказательства хуже, чем ничего."(89-е мнение)
    Дорон Зейлбергер

    Состоит ли Вселенная из математики? [Отрывок]

    Выдержка с разрешения из Наша математическая вселенная: Мои поиски высшей природы реальности, - Макс Тегмарк . Доступно в Random House / Knopf. Авторские права © 2014.

    Каков ответ на главный вопрос о жизни, вселенной и всем остальном? В научно-фантастической пародии Дугласа Адамса «Автостопом по Галактике» было найдено, что ответ - 42; Самым сложным оказалось найти настоящий вопрос.Я считаю очень уместным, что Дуглас Адамс пошутил насчет 42, потому что математика сыграла поразительную роль в нашем растущем понимании нашей Вселенной.

    Бозон Хиггса был предсказан с помощью того же инструмента, что и планета Нептун и радиоволны: с помощью математики. Галилей заявил, что наша Вселенная - это «великая книга», написанная на языке математики. Так почему наша Вселенная кажется такой математической и что это значит? В моей новой книге «Наша математическая Вселенная» я утверждаю, что это означает, что наша Вселенная не просто описывается математикой, но что это математика в том смысле, что мы все являемся частями гигантского математического объекта, который, в свою очередь, часть мультивселенной настолько огромна, что по сравнению с ней другие мультивселенные, обсуждаемые в последние годы, кажутся ничтожными.

    Математика, математика везде!
    Но где вся эта математика, о которой мы говорим? Разве математика не сводится к числам? Если вы посмотрите вокруг прямо сейчас, вы, вероятно, сможете заметить несколько цифр здесь и там, например, номера страниц в вашем последнем экземпляре Scientific American, но это всего лишь символы, придуманные и напечатанные людьми, поэтому вряд ли можно сказать, что они отражают наша Вселенная является математической в ​​любом глубоком смысле.

    Из-за нашей системы образования многие люди приравнивают математику к арифметике.Тем не менее математики изучают абстрактные структуры гораздо более разнообразные, чем числа, включая геометрические формы. Вы видите вокруг себя какие-либо геометрические узоры или формы? И здесь тоже не принимаются во внимание рукотворные конструкции, такие как прямоугольная форма этой книги. Но попробуйте бросить камешек и посмотреть, какую красивую форму создает природа для его траектории! Траектории всего, что вы бросаете, имеют одинаковую форму, называемую перевернутой параболой. Когда мы наблюдаем, как объекты движутся по орбитам в космосе, мы обнаруживаем еще одну повторяющуюся форму: эллипс.Более того, эти две формы связаны между собой: кончик очень вытянутого эллипса имеет форму параболы, поэтому на самом деле все эти траектории являются просто частями эллипсов.

    Мы, люди, постепенно открыли множество дополнительных повторяющихся форм и паттернов в природе, включая не только движение и гравитацию, но и такие несопоставимые области, как электричество, магнетизм, свет, тепло, химию, радиоактивность и субатомные частицы. Эти закономерности резюмируются тем, что мы называем нашими законами физики.Так же, как форма эллипса, все эти законы можно описать с помощью математических уравнений.

    Уравнения - не единственные намеки на математику, встроенные в природу: существуют также числа.
    В отличие от человеческих творений, таких как номера страниц в этой книге, я сейчас говорю о числах, которые являются основными свойствами нашей физической реальности. Например, сколько карандашей вы можете расположить так, чтобы все они были перпендикулярны (под углом 90 градусов) друг к другу? 3 - разместив их, скажем, по 3 краям, выходящим из угла вашей комнаты.Откуда пришла эта цифра 3? Мы называем это число размерностью нашего пространства, но почему здесь 3 измерения, а не 4, 2 или 42? И почему, насколько мы можем судить, в нашей Вселенной ровно 6 видов кварков? Существуют также числа, закодированные в природе, для записи которых требуется десятичная дробь - например, протон примерно в 1836,15267 раз тяжелее электрона. Из всего 32 таких чисел мы, физики, в принципе можем вычислить любую другую физическую постоянную, когда-либо измеренную.

    В нашей Вселенной есть что-то очень математическое, и чем внимательнее мы смотрим, тем больше математики мы, кажется, находим. Итак, что мы делаем со всеми этими намеками на математику в нашем физическом мире? Большинство моих коллег-физиков принимают их за то, что природа по какой-то причине описывается математикой, по крайней мере приблизительно, и оставляют все как есть. Но я убежден, что это еще не все, и давайте посмотрим, имеет ли это больше смысла для вас, чем для того профессора, который сказал, что это разрушит мою карьеру.

    Гипотеза математической вселенной
    Я был весьма очарован всеми этими математическими подсказками еще в аспирантуре. Однажды вечером в Беркли в 1990 году, когда мы с моим другом Биллом Пуарье сидели и размышляли об окончательной природе реальности, у меня внезапно возникло представление о том, что все это означает: наша реальность не просто описывается математикой - это математика, в очень специфическом смысле. Не только его аспекты, но и все, включая вас.

    Мое исходное предположение, гипотеза внешней реальности, утверждает, что существует внешняя физическая реальность, полностью независимая от нас, людей.Когда мы выводим следствия теории, мы вводим для них новые понятия и слова, такие как «протоны», «атомы», «молекулы», «клетки» и «звезды», потому что они удобны. Однако важно помнить, что эти концепции создаем мы, люди; В принципе, без этого багажа все можно было бы просчитать.

    Но если мы предположим, что реальность существует независимо от людей, то для того, чтобы описание было полным, оно также должно быть четко определено в соответствии с нечеловеческими сущностями - например, инопланетянами или суперкомпьютерами - которым не хватает понимания человеческих концепций.Это подводит нас к гипотезе математической Вселенной, которая утверждает, что наша внешняя физическая реальность представляет собой математическую структуру.

    Например, предположим, что баскетбольная траектория - это траектория красивого зуммера, который побеждает вас в игре, и что вы позже захотите описать, как он выглядел другу. Поскольку мяч состоит из элементарных частиц (кварков и электронов), вы, в принципе, можете описать его движение, не ссылаясь на баскетбольные мячи:

    Частица 1 движется по параболе.
    Частица 2 движется по параболе.

    Частица 138,314,159,265,358,979,323,846,264 движется по параболе.

    Однако это было бы немного неудобно, потому что вам потребуется больше времени, чем возраст нашей Вселенной, чтобы сказать это. Это также было бы лишним, поскольку все частицы слиплись и движутся как единое целое. Вот почему мы, люди, изобрели слово «шар» для обозначения целого устройства, что позволяет нам экономить время, просто описывая движение целого устройства раз и навсегда.
    Мяч был разработан людьми, но он вполне аналогичен составным объектам, не созданным руками человека, таким как молекулы, камни и звезды: придумывать для них слова удобно как для экономии времени, так и для предоставления концепций, с точки зрения которых понимать мир более интуитивно. Хотя такие слова полезны, они не являются обязательным багажом.

    Все это вызывает вопрос: действительно ли возможно найти такое описание внешней реальности, которое не содержит багажа? Если это так, такое описание объектов в этой внешней реальности и отношений между ними должно быть полностью абстрактным, заставляя любые слова или символы быть просто ярлыками без каких-либо предвзятых значений.Вместо этого единственными свойствами этих сущностей будут те, которые воплощены в отношениях между ними.

    Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно внимательнее присмотреться к математике. Для современного логика математическая структура и есть набор абстрактных сущностей со связями между ними. Это резко контрастирует с тем, как большинство из нас сначала воспринимают математику - либо как садистскую форму наказания, либо как набор уловок для манипулирования числами.

    Современная математика - это формальное изучение структур, которые могут быть определены чисто абстрактно, без всякого человеческого багажа.Думайте о математических символах как о простых ярлыках без внутреннего значения. Неважно, напишете ли вы «два плюс два равно четырем», «2 + 2 = 4» или «dos mas dos igual a cuatro». Обозначения, используемые для обозначения сущностей и отношений, не имеют значения; единственные свойства целых чисел - это те, которые воплощены в отношениях между ними. То есть мы не изобретаем математические структуры - мы их открываем и изобретаем только обозначения для их описания.

    Таким образом, есть два ключевых момента, которые следует убрать: Гипотеза внешней реальности подразумевает, что «теория всего» (полное описание нашей внешней физической реальности) не имеет багажа, и что-то, что имеет полное описание без багажа, является именно математическая структура.Взятые вместе, это подразумевает гипотезу математической Вселенной, то есть, что внешняя физическая реальность, описываемая теорией всего, является математической структурой. Итак, суть в том, что если вы верите во внешнюю реальность, независимую от людей, вы также должны верить, что наша физическая реальность представляет собой математическую структуру. Все в нашем мире чисто математическое, в том числе и вы.


    Абстрактная шахматная игра не зависит от цвета и формы фигур, а также от того, описываются ли ее ходы на физически существующей доске, с помощью стилизованных компьютерных изображений или так называемой алгебраической шахматной нотации - это все та же шахматная игра. .Аналогично, математическая структура не зависит от символов, используемых для ее описания.
    Изображение: любезно предоставлено Максом Тегмарком

    Жизнь без багажа
    Выше мы описали, как люди добавляют багаж в свои описания. Теперь давайте посмотрим на обратное: как математическая абстракция может избавиться от лишнего багажа и разложить вещи до их голой сути. Рассмотрим последовательность шахматных ходов, которая стала известна как «Бессмертная игра», когда белые эффектно жертвуют обе ладьи, слона и ферзя, чтобы поставить мат тремя оставшимися второстепенными фигурами.Когда любители шахмат называют Бессмертную игру красивой, они имеют в виду не привлекательность игроков, доски или фигур, а более абстрактную сущность, которую мы могли бы назвать абстрактной игрой, или последовательностью ходов.

    Шахматы включают абстрактные сущности (разные шахматные фигуры, разные квадраты на доске и т. Д.) И отношения между ними. Например, одно отношение, которое фигура может иметь к квадрату, состоит в том, что первая стоит на второй. Другое отношение, которое фигура может иметь к квадрату, - это то, что ей разрешено перемещаться туда.Существует множество эквивалентных способов описания этих сущностей и отношений, например, с помощью физической доски, посредством словесных описаний на английском или испанском языке или с использованием так называемой алгебраической шахматной нотации. Так что же остается, когда вы убираете весь этот багаж? Что описывают все эти эквивалентные описания? Сама игра Immortal Game, 100% чистая, без добавок. Есть только одна уникальная математическая структура, описываемая всеми этими эквивалентными описаниями.

    Гипотеза математической Вселенной подразумевает, что мы живем в относительной реальности в том смысле, что свойства окружающего нас мира проистекают не из свойств его основных строительных блоков, а из отношений между этими строительными блоками.Таким образом, внешняя физическая реальность - это больше, чем просто сумма ее частей, в том смысле, что она может обладать множеством интересных свойств, в то время как ее части вообще не обладают внутренними свойствами. Это мое безумно звучащее убеждение в том, что наш физический мир не только описывается математикой, но и что это математика, заставляет нас осознавать себя частями гигантского математического объекта. Как я описываю в книге, это в конечном итоге понижает привычные понятия, такие как случайность, сложность и даже переход к статусу иллюзий; это также подразумевает новую и окончательную коллекцию параллельных вселенных, столь обширных и экзотических, что вся вышеупомянутая причудливость меркнет по сравнению, заставляя нас отказаться от многих из наших наиболее глубоко укоренившихся представлений о реальности.

    Когда сталкиваешься с этой необъятной реальностью, легко чувствовать себя маленьким и бессильным. Действительно, мы, люди, уже имели этот опыт раньше, снова и снова обнаруживая, что то, что мы считали всем, было всего лишь небольшой частью более крупной структуры: нашей планеты, нашей солнечной системы, нашей Галактики, нашей вселенной и, возможно, иерархии параллельных вселенных. , вложенные как матрешки. Тем не менее, я нахожу это также вдохновляющим, потому что мы неоднократно недооценивали не только размер нашего космоса, но и способность нашего человеческого разума понимать его.Наши предки, жившие в пещерах, обладали таким же большим мозгом, как и мы, и, поскольку они не проводили вечера за просмотром телевизора, я уверен, что они задавали вопросы вроде «Что это за штука в небе?» и «Откуда все это взялось?». Им рассказывали прекрасные мифы и истории, но мало они понимали, что у них есть что-то, что действительно может дать ответы на эти вопросы для себя. И что секрет заключается не в том, чтобы научиться летать в космос для изучения небесных объектов, а в том, чтобы позволить их человеческому разуму летать.

  • 10 Comments

    Add Yours →

    Добавить комментарий

    ©2021 «Детская школа искусств» Мошенского муниципального района