Контрольные работы по геометрии 11 класс по учебнику атанасяна: КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ 11 КЛАСС ПО УЧЕБНИКУ АТАНАСЯН Л.С.

Контрольные работы геометрии для 11 класса (базовый уровень) | Учебно-методический материал по геометрии (11 класс):

Контрольная работа  по теме «Цилиндр, конус и шар»

Основная цель контрольной работы: выявить уровень усвоения и прочность знаний по теме «Цилиндр, конус и шар».

Вариант 1

•1. Радиус основания цилиндра равен 5 см, а высота цилиндра равна 6 см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее.

•2. Радиус основания конуса равен 3 м, а  высота 4 м. Найдите образующую и площадь осевого сечения.

3.   Радиус шара равен 17 см. Найдите площадь сечения шара, удаленного от его центра на 15 см.

Контрольная работа  по теме «Цилиндр, конус и шар»

Вариант 2

•1. Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси цилиндра.

•2. Образующая конуса l наклонена к плоскости основания под углом в 300. Найдите высоту конуса и площадь осевого сечения.

3.  Радиус сферы равен 15 см. Найдите длину окружности сечения, удаленного от центра сферы на 12 см.

Контрольная работа  по теме «Цилиндр, конус и шар»

Вариант 3

• 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, длина диагонали которого 36 см.

      Найдите радиус основания цилиндра, площадь основания  цилиндра.

•  2. Высота конуса равна 15 см, радиус основания 8 см. Найдите образующую конуса.  

   3. Шар  радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии

       9 дм от центра. Найдите площадь сечения шара.

Контрольная работа  по теме «Цилиндр, конус и шар»

Вариант 4

• 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, длина диагонали которого 18 см.

      Найдите радиус основания цилиндра, площадь основания  цилиндра.

•  2. Высота конуса равна 6 см, радиус основания 8 см. Найдите образующую конуса.  

   3. Шар  радиусом 13 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии

       5 дм от центра. Найдите площадь сечения шара.

Контрольная работа «Объемы тел»

Основная цель контрольной работы: выявить уровень усвоения и прочность знаний по теме «Объемы тел»

Вариант 1

•1.  Образующая конуса равна 60 см, высота 30 см. Найдите объём конуса.

•2.  Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетом 6 см и острым углом 450.  Объем призмы равен 108 см3. Найдите площадь полной поверхности призмы.

3.  Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна см. Найдите объем цилиндра.

Контрольная работа «Объемы тел»

Вариант 2

•1.  Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 300. Найдите объём конуса.

•2.  Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12 см и углом 600. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найдите объем призмы.

3.  Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна см. Найдите объем цилиндра.

Контрольная работа «Объемы тел»

Вариант 3

• 1. Прямоугольный параллелепипед имеет размеры 15 см, 50 см и 36 см. Найдите ребро равновеликого ему куба.

• 2. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 10 см, боковое ребро 12 см. Найдите объем призмы.

3. Прямоугольник с боковой стороной 40 и основанием 50  является осевым сечением цилиндра. Найдите объем цилиндра.

Контрольная работа «Объемы тел»

Вариант 4

• 1 . Прямоугольный параллелепипед имеет размеры 15 см, 50 см и 36 см. Найдите ребро равновеликого ему куба.

•  2. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 5 см, боковое ребро 6 см. Найдите объем призмы.

 3. Прямоугольник с боковой стороной 20 и основанием 25 является осевым сечением цилиндра. Найдите объем цилиндра.

Контрольная работа «Векторы. Метод координат в пространстве»

Основная цель контрольной работы: выявить уровень усвоения и прочность знаний по теме «Векторы. Метод координат в пространстве»

Вариант 1

1. Найдите  координаты  вектора  , если    А(5; -1; 3), В(2; -2; 4).
2. Даны  векторы  {3; 1; -2}  и {1; 4; -3}.  Найдите .
3. Найдите угол между прямыми  АВ и СD,

                         если А(3; -1; 3), В(3; -2; 2), С(2; 2; 3) и  D(1; 2; 2).

4. Вершины Δ АВС имеют координаты: А( -2; 0; 1 ), В( -1; 2; 3 ), С( 8; -4; 9 ). Найдите координаты вектора , если ВМ – медиана ∆АВС.
5. Даны векторы , и , причем:

 

        Найти:  

                       а) ;   б) значение т, при котором .

 

Контрольная работа «Векторы. Метод координат в пространстве»

Вариант 2

1. Найдите  координаты  вектора  , если  А(6; 3; -2), В(2; 4; -5).
2. Даны  векторы  {5; -1; 2}  и  {3; 2; -4}.  Найдите .
3. Найдите угол между прямыми  АВ и СD,

если А(1; 1; 2), В(0; 1; 1), С(2; -2; 2) и  D(2; -3; 1).

4. Даны векторы , и , причем:  

Найти:  

а) ;  б)  значение т, при котором .

5. Вершины ∆АВС имеют координаты:

А ( -1; 2; 3 ), В ( 1; 0; 4 ), С ( 3; -2; 1 ).  

Найдите координаты вектора , если АМ – медиана ∆АВС.

Геометрия 11. Контрольные работы. Атанасян Л.С. | Учебно-методический материал по геометрии (11 класс):

Опубликовано 14.12.2020 — 20:56 — Прокофьева Тамара Александровна

Контрольные работы составлены в двух вариантах

Скачать:

Предварительный просмотр:

Контрольная работа по геометрии №1

«Векторы»

1 вариант

1. Вычислить скалярное произведение векторов и, если

        ,    ,   ,   .

2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найти угол между векторами   и  , где М – середина ребра DD1.
3. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1    DA = 1,   DC = 2,    DD1 = 3. Найти угол между:   а) прямыми СВ1 и D1В;   б) прямой А1М  и плоскостью CC1D1D, где М – центр грани DCC1D1.

Контрольная работа по геометрии №1

«Векторы»        

2 вариант

1. Вычислить скалярное произведение векторов и, если

        ,    ,   ,   .

2. Дан куб ABCDA1B1C1D1.     Найти угол между векторами и  .
3. В кубе   ABCDA1B1C1D1  точка М лежит на ребре ВВ1, причем  ВМ : МВ1 = 3 : 2,  а точка N лежит на ребре AD, причем    AN : ND = 2 : 3.  Найти угол между:  

        а) прямыми A1D  и DC1;   б) прямой МN  и плоскостью  DD1C1C.

…………………………………………………………………………………………………..

Контрольная работа по геометрии №2

«Цилиндр. Конус. Шар.»

1 вариант

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна 16π см2. Найти площадь полной поверхности цилиндра.
2. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 120˚. Найти:   а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 30˚;   б) площадь боковой поверхности конуса.
3. Диаметр шара равен 2т. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45˚ к нему. Найти длину линии пересечения сферы этой плоскостью.

Контрольная работа по геометрии №2

«Цилиндр. Конус. Шар.»

2 вариант

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 4 см. Найти площадь полной поверхности цилиндра.
2. Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30˚. Найти: а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60˚; б) площадь боковой поверхности конуса.
3. Диаметр шара 4т. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30˚ к нему. Найти площадь сечения шара этой плоскостью.

…………………………………………………………………………………………………

Контрольная работа по геометрии №3

«Тела вращения»

1 вариант

1. В конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найти отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса.
2. Диаметр шара равен высоте цилиндра, осевое сечение которого есть квадрат. Найти отношение объемов шара и цилиндра.
3. (дополнительно) Диагональным сечением прямоугольного параллелепипеда, вписанного в шар, является квадрат. Найти площадь этого диагонального сечения, если объем шара равен V.

Контрольная работа по геометрии №3

«Тела вращения»

2 вариант

1. Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол 60˚. Найти отношение объемов конуса и шара.
2. Объем цилиндра равен 96π см3 , площадь его осевого сечения – 48 см2. Найти площадь сферы, описанной около цилиндра.
3. (дополнительно) Площадь поверхности куба равна площади поверхности шара. Найти отношение объемов куба и шара.

…………………………………………………………………………………………………..

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Геометрия-7. Контрольная работа №1

Контрольная работа №1 по учебнику Атанасяна Л. С. (Глава 1)…

Контрольные работы по геометрии по учебнику Атанасян Л.С.

Контрольные работы к учебнику геометрия Атанасян Л.С. 7,8 классы…

КИМ входной контрольной работы по геометрии 9 класс (Атанасян А.С.

)

Контрольная работа содержит 4 задания части А1, А2, А3, А4 и 1 задание части В1…

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ В 11 КЛАССЕ ПО УЧЕБНИКУ АТАНАСЯН Л.С.

Контрольная работа № 1 Простейшие задачи в координатах Вариант 11. Найдите координаты вектора , если А (5; –1; 3), В (2; –2; 4).2. Даны векторы (3; 1; –2) и (1; 4; –3). Найдите .3. Изобрази…

Контрольная работа №2 по геометрии. «Метод координат». 9 класс, Атанасян Л.С.

Контрольная работа по геометрии для 9 класса по теме «Метод координат»….

Геометрия 10. Контрольные работы. Атанасян Л.С.

Контрольные работы составлены в 2 вариантах…

Геометрия 7 Контрольные работы Атанасян Л.С.

Контрольные работы для базового уровня обучения в 2 вариантах…

Поделиться:

 

4.1 Редакция | Аналитическая геометрия

Авторизоваться

Предыдущий Упражнения в конце главы

Следующий 4. 2 Уравнение прямой

Аналитическая геометрия, также называемая координатной или декартовой геометрией, представляет собой изучение геометрических свойств и отношения между точками, линиями и углами на декартовой плоскости. Геометрические формы определяются с помощью система координат и алгебраические принципы. В этой главе мы имеем дело с уравнением прямой линии, параллельной и перпендикулярные прямые и наклон прямой.

4.1 Редакция (EMBG7)

• Объединить знания евклидовой геометрии с аналитической геометрией.
• Подчеркните ценность и важность создания эскизов.
• Подчеркните важность последовательного написания координат для формулы расстояния и градиента.
• Обсудить и объяснить:
• , что параллельные линии имеют одинаковые уклоны и равные углы наклона.
• , произведение градиентов перпендикулярных линий равно \(-\text{1}\). 2\] 9{2}\).

  Видео: 22JD

  Градиент

  Градиент \((m)\) описывает наклон или крутизну линии, соединяющей две точки. Градиент линии определяется отношением изменения по вертикали к изменению по горизонтали.

  \[m_{AB} = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} \quad \text{ или } \quad m_{AB} = \frac{y_1 — y_2}{x_1 — x_2}\]

  Не забывайте соблюдать последовательность: \(m \ne \dfrac{y_1-y_2}{x_2-x_1}\).

  Горизонтальные линии		\(м = 0\)
  Вертикальные линии		\(м\) не определено
  Параллельные линии		\(м_1 = м_2\)
  Перпендикулярные линии		\(m_1 \times m_2 = -1\)

  Середина отрезка

  Координаты середины \(M(x;y)\) линии между любыми двумя точками \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\):

  \[M(x;y) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right)\]

  Видео: 22JF

  Точки на прямой

  На диаграмме показаны точки \(P(x_1;y_1)\), \(Q(x_2;y_2)\) и \(R(x;y)\) на прямой.

  Мы знаем, что \[m_{PR} = m_{QR} = m_{PQ}\]

  Используя \(m_{PR} = m_{PQ}\), мы получаем следующее для любой точки \((x;y)\) на прямой

  \[\frac{y — y_1}{x — x_1} = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}\]

  Рабочий пример 1: Редакция

  По точкам \(P(-5;-4)\) и \(Q(0;6)\):

  1. Определить длину отрезка \(PQ\).
  2. Определите середину \(T(x;y)\) отрезка \(PQ\).
  3. Покажите, что прямая, проходящая через \(R(1;-\frac{3}{4})\) и \(T(x;y)\), перпендикулярна прямой \(ПК\).

  Нарисовать эскиз

  Присвоить переменные координатам заданных точек 92} \\ &= \sqrt{25 + 100} \\ &= \sqrt{125} \\ &= 5\кв{5} \end{align*}

  Длина отрезка \(PQ\) составляет \(5\sqrt{5}\) единиц.

  Запишите формулу средней точки и подставьте значения

  \[T(x;y) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]

  \begin{выравнивание*} х &= \ гидроразрыва {x_1 + x_2} {2} \\ &= \frac{-5+0}{2} \\ &= -\frac{5}{2} \\ y &= \frac{y_1 + y_2}{2} \\ &= \фракция{-4+6}{2}\\ &= \фракция{2}{2} \\ &= 1 \end{выравнивание*}

  Середина \(PQ\) равна \(T(-\frac{5}{2};1)\).

  Определить градиенты \(PQ\) и \(RT\)

  \[m = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}\]

  \begin{align*} m_{PQ} &= \frac{6-(-4)}{0-(-5)} \\ &= \фракция{10}{5} \\ &= 2 \\ m_{RT} &= \dfrac{-\frac{3}{4} — 1}{1-(-\frac{5}{2})} \\ &= \dfrac{-\frac{7}{4}}{\frac{7}{2}}\\ &= -\frac{7}{4} \times \frac{2}{7} \\ &= -\фракция{1}{2} \end{выравнивание*}

  Рассчитать произведение двух градиентов: \начать{выравнивать*} m_{RT} \times m_{PQ} &= -\frac{1}{2} \times 2 \\ &= -1 \end{align*}

  Следовательно, \(PQ\) перпендикулярно \(RT\).

  Четырехугольники

  • Четырехугольник — это замкнутая фигура, состоящая из четырех отрезков прямой линии.

  • Параллелограмм – это четырехугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны.

    • Обе пары противоположных сторон равны по длине.

    • Обе пары противоположных углов равны.

    • Диагонали делят друг друга пополам.

  • Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все четыре угла равны \(\text{90}\)\(\text{°}\).

    • Обе пары противоположных сторон равны и параллельны.

    • Диагонали делят друг друга пополам.

    • Диагонали равны по длине.

  • Ромб – это параллелограмм, у которого все четыре стороны равны по длине.

    • Обе пары противоположных сторон равны и параллельны.

    • Диагонали делятся пополам в точке \(\text{90}\)\(\text{°}\).

    • Диагонали ромба делят пополам обе пары противоположных углов.

  • Квадрат — это ромб, у которого все четыре внутренних угла равны \(\text{90}\)\(\text{°}\).

    • Обе пары противоположных сторон равны и параллельны.

    • Диагонали делятся пополам в точке \(\text{90}\)\(\text{°}\).

    • Диагонали равны по длине.

    • Диагонали делят пополам обе пары внутренних противоположных углов (то есть все углы равны \(\text{45}\)\(\text{°}\)).

  • Трапеция – это четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна.

  • Воздушный змей – это четырехугольник, у которого две пары смежных сторон равны.

    • Одна пара противоположных углов равна (углы между неравными сторонами).

    • Диагональ между равными сторонами делит другую диагональ пополам.

    • Диагональ между равными сторонами делит внутренние углы пополам.

    • Диагонали пересекаются в точке \(\text{90}\)\(\text{°}\).

  Рабочий пример 2: Четырехугольники

  точек \(A\влево(-1;0\вправо)\), \(B\влево(0;3\вправо)\), \(C\влево(8;11\вправо)\) и \( D\влево(х;у\вправо)\) точки на декартовой плоскости. Определить \(D\left(x;y\right)\), если \(ABCD\) — параллелограмм.

  Нарисуйте эскиз

  Середина \(AC\) будет такой же, как и середина \(BD\). Сначала найдем середину \(AC\) а затем использовать его для определения координат точки \(D\).

  Присвойте значения \(\left({x}_{1};{y}_{1}\right)\) и \(\left({x}_{2};{y}_{2} \right)\)

  Пусть середина \(AC\) будет \(M(x;y)\)

  \[x_1 = -1; \qquad y_1 = 0; \qquad x_2 = 8; \qquad y_2 = 11\]

  Запишите формулу средней точки

  \[M(x;y) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right)\]

  Подставить значения и вычислить координаты \(M\)

  \begin{align*} M(x;y) &= \left( \frac{-1 + 8}{2}; \frac{0 + 11}{2} \right) \\ &= \left( \frac{7}{2}; \frac{11}{2} \right) \end{выравнивание*}

  Используйте координаты \(M\) для определения \(D\)

  \(M\) также является средней точкой \(BD\), поэтому мы используем \(M\left(\frac{7} {2};\frac{11}{2}\right)\) и \(B\left(0;3\right)\), чтобы найти \(D\left(x;y\right)\)

  Подставить значения и определить \(x\) и \(y\)

  \начать{выравнивать*} M &= \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \\ \поэтому \left( \frac{7}{2}; \frac{11}{2} \right) &= \left( \frac{0 + x}{2}; \frac{3 + y}{2 } \верно) \end{выравнивание*}\begin{выравнивание*} \frac{7}{2} &= \frac{0 + x}{2} \\ 7 &= 0 + х \\ \поэтому х &= 7 \end{выравнивание*}\begin{выравнивание*} \frac{11}{2} &= \frac{3 + y}{2} \\ 11 &= 3 + у \\ \поэтому у &= 8 \end{выравнивание*}

  Альтернативный метод: проверка

  Так как нам известно, что \(ABCD\) является параллелограммом, мы можем использовать свойства параллелограмма и данных точек для определения координат \(D\).

  Из эскиза мы ожидаем, что точка \(D\) будет лежать ниже \(C\).

  Рассмотрим данные точки \(A, B\) и \(C\):

  • Противоположные стороны параллелограмма параллельны, поэтому \(BC\) должны быть параллельны \(AD\), а их градиенты должны быть равны.
  • Вертикальное изменение от \(B\) до \(C\) составляет \(\text{8}\) единиц вверх.
  • Следовательно, вертикальное изменение от \(A\) до \(D\) также составляет \(\text{8}\) единиц вверх (\(y = 0 + 8 = 8\)).
  • Горизонтальное изменение от \(B\) до \(C\) составляет \(\text{8}\) единиц вправо.
  • Следовательно, горизонтальное изменение от \(A\) до \(D\) также равно \(\text{8}\) единицам вправо (\(x = -1 + 8 = 7\)).

  или

  • Противоположные стороны параллелограмма параллельны, поэтому \(AB\) должен быть параллелен \(DC\), а их градиенты должны быть равны.
  • Вертикальное изменение от \(A\) до \(B\) составляет \(\text{3}\) единиц вверх.
  • Следовательно, вертикальное изменение от \(C\) до \(D\) составляет \(\text{3}\) единиц вниз (\(y = 11 — 3 = 8\)).
  • Горизонтальное изменение от \(A\) до \(B\) составляет \(\text{1}\) единицу вправо.
  • Следовательно, горизонтальное изменение от \(C\) до \(D\) равно \(\text{1}\) единице влево (\(x = 8 — 1 = 7\)). 92 — 8п + 12 сбн &= \влево( p — 6 \вправо) \влево( p — 2 \вправо) \\ \следовательно, p = 6 &\text{ или } p = 2 \end{align*}

    \(A(-5;3)\) и \(B(-7;4)\)

    \begin{align*} m_{AB} &= \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} \\ &= \frac{4 — 3} }{-7+5} \\ &= \фракция{1}{-2} \\ &= -\фракция{1}{2} \end{align*}

    \(A(3;-2)\) и \(B(1;-8)\)

    \begin{align*} m_{AB} &= \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} \\ &= \frac{-8+2} {1-3} \\ &= \frac{-6}{-2} \\ &= 3 \end{выравнивание*}

    Докажите, что прямая \(PQ\) с \(P(0;3)\) и \(Q(5;5)\) параллельна прямой \(5y + 5 = 2x\).

    \begin{выравнивание*} 5у + 5 &= 2х\ 5у &= 2х — 5\ y &= \frac{2}{5}x — 1 \\ \поэтому m &= \frac{2}{5} \конец{выравнивание*} \начать{выравнивать*} m_{PQ} &= \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} \\ &= \ гидроразрыв {5-3} {5-0} \\ &= \фракция{2}{5} \end{выравнивание*}

    Учитывая точки \(A(-1;-1)\), \(B(2;5)\), \(C(-1;-\frac{5}{2})\) и \( D(x;-4)\) и \(AB \perp CD\), определить значение \(x\).

    \begin{выравнивание*} m_{AB} &= \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} \\ &= \фракция{5+1}{2+1} \\ &= \фракция{6}{3} \\ &= 2 \\ m_{CD} &= \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} \\ &= \frac{-4 + \frac{5}{2}}{x + 1 } \\ &= \frac{-\frac{3}{2}}{x + 1} \\ &= -\frac{3}{2(x + 1)} \\ \text{И если } AB &\perp CD \\ \text{затем} m_{AB} \times m_{CD} &= -1 \\ -\frac{3}{2(x + 1)} \times 2 &= -1 \\ \frac{3}{x + 1} &= 1 \\ 3 &= х + 1 \\ \поэтому х &= 2 \end{выравнивание*}

    \(M(3;5)\) и \(N(-1;-1)\)

    \begin{align*} M(x;y) &= \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \\ &= \left( \frac{3 — 1}{2}; \frac{5 — 1}{2} \right) \\ &= \left( \frac{2}{2}; \frac{4}{2} \right) \\ &= \влево( 1; 2 \вправо) \end{align*}

    \(A(-3;-4)\) и \(B(2;3)\)

    \begin{align*} M(x;y) &= \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \\ &= \left( \frac{-3 + 2}{2}; \frac{-4 + 3}{2} \right) \\ &= \left( \frac{-1}{2}; \frac{-1}{2} \right) \end{выравнивание*}

    Прямая, соединяющая \(A(-2;4)\) и \(B(x;y)\), имеет середину \(C(1;3)\). Определить значения \(х\) и \(у\).

    \begin{выравнивание*} M(x;y) &= \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \\ C(1;3) &= \left( \frac{-2 + x}{2}; \frac{4 + y}{2} \right) \\ \поэтому 1 &= \frac{-2 + x}{2} \\ 2 &= -2 + х \\ \поэтому 4 &= х \\ \text{И} 3 &= \frac{4 + y}{2} \\ 6 &= 4 + у \\ \поэтому 2 &= у \end{выравнивание*} 92} \\ &= \sqrt{17} \text{единиц} \end{align*}

    Определите уравнение диагонали \(BD\).

    \begin{выравнивание*} m_{BD} &= \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} \\ &= \frac{-1 -3}{1-4} \\ &= \фракция{-4}{-3} \\ &= \фракция{4}{3}\\ у &= тх + с \\ y &= \frac{4}{3}x + c \\ \text{См. } (4;3) \quad 3 &= \frac{4}{3}(4) + c \\ &= 3 — \frac{16}{3} \\ \поэтому c &= — \frac{7}{3} \\ y &= \frac{4}{3}x — \frac{7}{3} \end{выравнивание*}

    Какой тип четырехугольника \(ABCD\)?

    Параллелограмм (одна противоположная сторона равна и параллельна)

    \(MPQN\) — параллелограмм с точками \(M(-5;3)\), \(P(-1;5)\) и \(Q (4;5)\). 2} \\ &= 5 \\ \text{Поэтому} x &= -5 + 5 \\ \поэтому х &= 0 \\ \поэтому N(x;y) &= (0;3) \конец{выравнивание*}

    Определить длины \(PQ\) и \(SR\).

    Определить середину \(PR\).

    Пусть середина \(PR\) будет \(M(x;y)\).

    \начать{выравнивать*} M(x;y) &= \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \\ &= \left( \frac{-3 + 6}{2}; \frac{1 + 1} {2} \right) \\ &= \влево( \frac{3}{2}; 1 \вправо) \конец{выравнивание*}

    Покажите, что \(PQ \parallel SR\).

    \начать{выравнивать*} m_{PQ} &= \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} \\ &= \frac{3 — 1}{1 + 3} \\ &= \фракция{2}{4} \\ &= \фракция{1}{2} \\ m_{SR} &= \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} \\ &= \фракция{-1-1}{2-6} \\ &= \фракция{-2}{-4} \\ &= \фракция{1}{2} \\ \text{Поэтому } m_{PQ} &= m_{SR}\\ \поэтому PQ &\параллельный SR \end{выравнивание*}

    Определить уравнения прямой \(PS\) и прямой \(SR\).