| А. Г. Мордкович , Тульчиннская учебник 2 часть (базовый уровень)
А. Г. Мордкович , П. В. Семёнов учебник 1 часть (профильный уровень)
А. Г. Мордкович , П. В. Семёнов учебник 2 часть (профильный уровень)
Рабочая программа по алгебре 10-11 класс А. Г. Мордкович
Контрольные работы 10-11 класс А. Г. Мордкович, Тульчинская
Контрольные работы по алгебре(базовый уровень) 10 класс Глизбург В.
Контрольные работы по алгебре(профильный уровень) 10 класс Глизбург В. И.
Самостоятельные работы 10 класс Л. А. Александрова
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
И. 
МорозовскаВведение. Длина дуги окружности 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Определение окружности
Окружностью (см. Рис. 1) называется множество всех точек плоскости, которые равноудалены от одной точки (центра).
Рис. 1. Окружность
Длина дуги
Длина любой кривой (в том числе и дуги) приближённо описывается ломаной, вершины которой находятся на этой кривой. Если неограниченно измельчить звенья ломаной, то получим длину кривой (см.
Рис. 2).
Рис. 2. Длина дуги окружности описывается ломаной
Длина окружности
Пусть дана окружность. Если изменить все радиусы данной окружности в раз, получим новую окружность, все размеры которой также изменятся в раз. Следовательно, отношение длины окружности к её диаметру будет числом постоянным:
Такое отношение назвали числом пи (). Это число примерно равно 3,14.
Выразим из этого выражения длину окружности (l):
, где R – радиус окружности.
– длина окружности
Исходя из этой формулы, при :
– длина единичной окружности
Необходимо ввести такую единицу измерения угла, чтобы полный угол был равен . Такой единицей измерения угла является радиан.
Определение радиана
Угол в один радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности (см. Рис. 3).
;
Рис. 3. Угол в один радиан
Связь между радианом и градусом
Формула длины окружности , следовательно, в одну окружность укладывается радиусов (см. Рис. 4). Поэтому:
Рис. 4. В одну окружность укладывается радиусов
По полученной формуле можно переводить радианы в градусы или градусы в радианы. Например:
1.
2.
3.
Формула длины дуги окружности
Дано: ; (см. Рис. 5).
Найти: .
Решение
Рис.
5. Длина дуги окружности
Дуга – это часть всей окружности. Длина окружности равна , в окружности укладывается радиан, следовательно, длина дуги окружности, которая соответствует углу в один радиан, равна:
В всего радиан, поэтому длина дуги окружности, соответствующая углу в радиан, равна:
Если , то:
Ответ: – формула длины дуги окружности.
Задача 1
Дано: окружность радиуса (см. Рис. 6).
Найти: 1. Длину дуги ; 2. Длину дуги , если .
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Решение
1. Так как окружность единичная, то её длина равна . Длина дуги составляет длины всей окружности. Поэтому её длина равна:
2. Длина дуги единичной окружности равна:
Поэтому:
Ответ: 1.
; 2. .
Задача 2
Дано: окружность радиуса . Каждая четверть разделена пополам (см. Рис. 7).
Найти: 1. ; ; 2. ; 3. ; 4. .
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
Решение
Из предыдущей задачи известно, что длина четверти окружности равна . Следовательно:
1.
2.
3.
4. соответствует развёрнутому углу, то есть половина длины окружности, следовательно:
Ответ: 1. ; 2. ; 3. ; 4. .
Задача 3
Дано: окружность радиуса . (см. Рис. 8)
Найти: 1. ; ; 2. ; .
Рис. 8. Иллюстрация к задаче
Решение
1. Длина дуги равна , следовательно:
2.
Ответ: 1. ; 2. ; .
Список литературы
1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
4. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова М.В., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1.
Интернет-сайт aal100.narod.ru (Источник)
2. Интернет-сайт tvlad.ru (Источник)
Домашнее задание
1. Задание 11.3, 11.10, 11.13 (стр. 69–70) – Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник (Источник)
2. Найдите радианные меры углов параллелограмма ABCD, если .
3. Найдите длину дуги окружности радиуса 1 см, отвечающей центральному углу: 1. 30°; 2. 45°; 3. 120°.
Учебная программа по математике для второкурсников 10-го класса | Time4Learning
Посмотрите наши демонстрации уроков!
В этом году ученики 10-го класса довольно часто изучают геометрию. Тем не менее, домашнее обучение позволяет семьям устанавливать свою собственную учебную программу по математике, определять прогресс и последовательность математических курсов.
Если у вас есть вопросы о том, какую математику должен знать 10-классник и как учебная программа Time4Learning по математике для 10-го класса соответствует требованиям второго курса вашего ребенка, ознакомьтесь со следующей информацией.
- Какую математику должен знать десятиклассник?
- Цели по математике для 10 класса
- Почему стоит выбрать программу Time4Learning для 10-го класса по математике в домашних условиях
- Дополнительные ресурсы для домашнего обучения 10-го класса
Какую математику должен знать десятиклассник?
Уроки математики в 10-м классе должны основываться на предыдущих знаниях. Если ваш ученик уже изучил алгебру I (или предварительную алгебру для коррекционных студентов), то теперь он может расширить свои навыки в применении геометрических понятий, основанных на плоской евклидовой геометрии. Они также могут перейти к алгебре II, если захотят, а геометрию — позже. Это полностью зависит от предпочтений и способностей вашего ученика.
Оттачивание этих навыков поможет вашему ребенку улучшить свои практические знания более сложных стратегий и концепций, что сделает достижение успеха в младших и старших классах реальной целью.Вот некоторые вещи, на которых должен сосредоточиться учебный план по математике в десятом классе:
- Идентификация и называние неопределенных терминов точки, линии, плоскости и расстояния вдоль линии.
- Завершение шагов для доказательства того, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
- Нахождение координат вершин изображения или прообраза растянутого многоугольника с заданным коэффициентом масштабирования.
- Решение задач на отрезки, образованные двумя пересекающимися касательными.
- Вычисление длины апофемы правильного многоугольника.
- Используйте перестановки для вычисления вероятностей составных событий.
Узнайте больше об учебной программе Time4Learning по математике для десятого класса, ознакомившись с объемом и последовательностью занятий для 10-го класса, а также с планами уроков по математике для 10-го класса.
Задания по математике для 10 класса
Ниже приведен типичный список задач, которые должен выполнить десятиклассник к концу второго года обучения:
- Проанализируйте описания и диаграммы, иллюстрирующие основные постулаты о точках, линиях и плоскостях.
- Выполните шаги, чтобы доказать взаимосвязь углов при наличии параллельных прямых, пересекаемых секущей.
- Выполните шаги, чтобы доказать теоремы о подобных треугольниках.
- Классифицировать и описать отношения внутри семейства четырехугольников.
- Разложить составные двухмерные фигуры.
- Представлять и интерпретировать объединение и пересечение множеств, используя нотацию множеств и диаграммы Венна.
Почему стоит выбрать Time4Learning Программа домашнего обучения по математике для 10-го класса
Учебная программа Time4Learning по математике для 10-го класса не только отвечает целям, описанным выше, но и углубляется в дополнительные концепции и практики, которые должны изучать десятиклассники. Он также предоставляет родительские инструменты, которые облегчают домашнее обучение, независимо от того, являетесь ли вы новичком или опытным учеником на дому.
Полноценное математическое образование в 10-м классе должно обеспечить множество математических упражнений, чтобы гарантировать овладение навыками, прежде чем переходить на следующий уровень.
Наша учебная программа основана на предыдущих знаниях и предлагает множество математических упражнений, которые помогут учащимся достичь своих математических целей.
Ниже приведены лишь несколько причин, по которым тысячи семей последовательно выбирают программу Time4Learning по математике для 10-го класса:
| Полная учебная программа Поскольку это полностью онлайн-программа, учащиеся могут легко обучаться дома на ходу. Это означает, что нет необходимости в учебниках, загрузках или установках. Вот еще больше возможностей и преимуществ использования Time4Learning в качестве программы домашнего обучения вашего ребенка:
| В качестве дополнения Наши уроки математики для 10-го класса можно использовать в качестве учебной программы на полный рабочий день, для развития навыков после школы или в качестве летней учебной программы. Вот некоторые особенности и преимущества использования Time4Learning для дополнения обучения вашего ребенка:
|
Дополнительные ресурсы для домашнего обучения 10-го класса
Вернуться к обзору учебной программы десятого класса.
Или изучите другие ресурсы для десятиклассников:
- Учебная программа ELA Language Arts для десятого класса
- Учебная программа по естественным наукам для десятого класса
- Социальные науки и история десятого класса
- Как учиться на дому в десятом классе
- Прицел и последовательность 10-го класса
- Планы уроков для 10-х классов
Функция y=sinx, ее основные свойства и график
Урок и презентация на тему: «Функция y=sin(x). Определения и свойства»
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забудьте оставить свой комментарии, отзывы, предложения! Все материалы проверяются антивирусной программой.
Учебники и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные конструкторские задания для 7-10 классов
Программная среда «1С:Математический конструктор 6.1»
Что будем изучать:
- Свойства функции Y=sin(X).
- График функций.
- Как построить график и его масштаб.
- Примеры.
свойства синуса. Y=грех(Х)
Ребята, мы уже познакомились с тригонометрическими функциями числового аргумента. Вы их помните?
Рассмотрим подробнее функцию Y=sin(X)
Запишем некоторые свойства этой функции:
1) Область определения — множество действительных чисел.
2) Нечетная функция. Напомним определение нечетной функции. Функция называется нечетной, если верно равенство: y(-x)=-y(x). Как мы помним из формул призраков: sin(-x)=-sin(x). Определение выполнено, поэтому Y=sin(X) — нечетная функция.
3) Функция Y=sin(X) возрастает на интервале и убывает на интервале [π/2; π].
При движении по первой четверти (против часовой стрелки) ордината увеличивается, а при движении по второй четверти – уменьшается.
4) Функция Y=sin(X) ограничена снизу и сверху. Это свойство следует из того, что
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Наименьшее значение функции равно -1 (при x = — π/2+ πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при x = π/2+ πk).
Используем свойства 1-5 для построения графика функции Y=sin(X). Мы будем строить наш график последовательно, применяя наши свойства. Начнем строить график на отрезке.
Особое внимание следует уделить весу. По оси ординат удобнее взять один отрезок, равный 2 клеткам, а по оси абсцисс — один отрезок (две клетки) принять равным π/3 (см. рисунок).
Построение графика функции sine x, y=sin(x)
Вычислим значения функции на нашем отрезке:
Построим график для наших точек с учетом третьего свойства.
Таблица преобразования формул призраков
Воспользуемся вторым свойством, которое говорит о том, что наша функция нечетна, а это означает, что она может быть отражена симметрично относительно начала координат:
Мы знаем, что sin(x+ 2π) = sin (Икс).
Это означает, что на интервале [- π; π] график выглядит так же, как и на отрезке [π; 3π] или или [-3π; — пи] и так далее. Нам осталось аккуратно перерисовать график на предыдущем рисунке по всей оси абсцисс.
График функции Y=sin(X) называется синусоидой.
Запишем еще несколько свойств по построенному графу:
6) Функция Y=sin(X) возрастает на любом отрезке вида: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k является целым числом и убывает на любом отрезке вида: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k — целое число.
7) Функция Y=sin(X) является непрерывной функцией. Посмотрим на график функции и убедимся, что наша функция не имеет разрывов, это означает непрерывность.
8) Диапазон значений: сегмент [- 1; один]. Это также хорошо видно из графика функции.
9) Функция Y=sin(X) является периодической функцией. Посмотрим еще раз на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения через некоторые промежутки времени.
Примеры задач с синусом
1. Решить уравнение sin(x)= x-π
Решение: Построим 2 графика функции: y=sin(x) и y=x-π (см.
рисунок) .
Наши графики пересекаются в одной точке A(π; 0), это ответ: x = π
2. Постройте график функции y=sin(π/6+x)-1
Решение: Требуемый график получается путем перемещения графика функции y=sin(x) на π/6 единиц в влево и на 1 единицу вниз.
Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π/2; 5π/4].
График функции показывает, что наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка, в точках π/2 и 5π/4 соответственно.
Ответ: sin(π/2) = 1 – наибольшее значение, sin(5π/4) = наименьшее значение.
Задачи синусов для независимого решения
- Решите уравнение: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
- Постройте график функции y=sin(π/3+x)- 2
- Построить график функции y=sin(-2π/3+x)+1
- Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке
- Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке [- π/3; 5π/6]
Как построить график функции y=sin x? Сначала рассмотрим график синуса на отрезке.
Берем один отрезок длиной 2 клетки тетради. Отмечаем единицу на оси Оу.
Для удобства число π/2 округлим до 1,5 (а не до 1,6, как того требуют правила округления). В этом случае отрезок длины π/2 соответствует 3 клеткам.
На оси Ох отмечаем не одиночные отрезки, а отрезки длины π/2 (каждые 3 клетки). Соответственно отрезок длины π соответствует 6 клеткам, отрезок длины π/6 соответствует 1 клетке.
При таком выборе одного отрезка график, изображенный на листе тетради в рамке, максимально соответствует графику функции y=sin x.
Составим таблицу значений синуса на отрезке:
Полученные точки отметим на координатной плоскости:
Так как y=sin x является нечетной функцией, график синуса симметричен относительно в начало координат — точка O(0;0). С учетом этого факта продолжаем строить график влево, тогда точек -π:
Функция y=sin x является периодической с периодом T=2π. Поэтому график функции, взятый на отрезке [-π; π], повторяется бесконечное число раз вправо и влево.
В этом уроке мы подробно рассмотрим функцию y = sin x, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции y = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока мы решим несколько простых задач, используя график функции и ее свойства.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Функция y=sinx, ее основные свойства и график
При рассмотрении функции важно связать одно значение функции с каждым значением аргумента. Этот закон соответствия и называется функцией.
Определим закон соответствия для .
Любое действительное число соответствует одной точке на единичной окружности. Точка имеет единственную ординату, которая называется синусом числа (рис. 1).
Каждому значению аргумента присваивается одно функциональное значение.
Очевидные свойства следуют из определения синуса.
На рисунке показано, что потому что это ордината точки на единичной окружности.
Рассмотрим график функции. Напомним геометрическую интерпретацию аргумента. Аргументом является центральный угол, измеряемый в радианах. По оси отложим действительные числа или углы в радианах, по оси соответствующие значения функции.
Например, угол на единичной окружности соответствует точке на графике (рис. 2)
Мы получили график функции на сайте. Но зная период синуса, мы можем изобразить график функции на всей области определения (рис. 3).
Основной период функции равен Это означает, что график можно получить на отрезке и затем продолжить на всю область определения.
Рассмотрим свойства функции:
1) Область определения:
2) Диапазон значений:
3) Нечетная функция:
4) Наименьший положительный период:
5) Координаты точек пересечения графика с осью x :
6) Координаты точки пересечения графика с осью Y:
7) Интервалы, на которых функция принимает положительные значения:
8) Интервалы, на которых функция принимает отрицательные значения:
9) Возрастающие интервалы:
10) Убывающие интервалы:
11) Нижние точки:
12) Минимальные характеристики:
13) Высокие точки:
14) Максимальные характеристики:
Мы рассмотрели свойства функции и ее графика.
Свойства будут неоднократно использоваться при решении задач.
Список литературы
1. Алгебра и начало анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2009..
2. Алгебра и начало анализа, 10 класс (в двух частях). Задание для общеобразовательных учреждений (профильный уровень), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).- М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для абитуриентов технических вузов (под ред. М.И.Сканави).-М.: Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.
С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (учебное пособие для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. . припуск на 10-11 кл. с углубленным изучением математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задание для общеобразовательных учреждений (профильный уровень), изд.
Мордкович А.Г. -М.: Мнемозина, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Дополнительные веб-ресурсы
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().
В этом уроке мы подробно рассмотрим функцию y = sin x, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции y = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции.
В конце урока мы решим несколько простых задач, используя график функции и ее свойства.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Функция y=sinx, ее основные свойства и график
При рассмотрении функции важно связать одно значение функции с каждым значением аргумента. Этот закон соответствия и называется функцией.
Определим закон соответствия для .
Любое действительное число соответствует одной точке на единичной окружности. Точка имеет единственную ординату, которая называется синусом числа (рис. 1).
Каждому значению аргумента присваивается одно функциональное значение.
Очевидные свойства следуют из определения синуса.
На рисунке показано, что потому что это ордината точки на единичной окружности.
Рассмотрим график функции. Напомним геометрическую интерпретацию аргумента. Аргументом является центральный угол, измеряемый в радианах. По оси отложим действительные числа или углы в радианах, по оси соответствующие значения функции.
Например, угол на единичной окружности соответствует точке на графике (рис. 2)
Мы получили график функции на сайте. Но зная период синуса, мы можем изобразить график функции на всей области определения (рис. 3).
Основной период функции равен Это означает, что график можно получить на отрезке и затем продолжить на всю область определения.
Рассмотрим свойства функции:
1) Область определения:
2) Диапазон значений:
3) Нечетная функция:
4) Наименьший положительный период:
5) Координаты точек пересечения графика с осью x :
6) Координаты точки пересечения графика с осью Y:
7) Интервалы, на которых функция принимает положительные значения:
8) Интервалы, на которых функция принимает отрицательные значения:
9) Возрастающие интервалы:
10) Убывающие интервалы:
11) Нижние точки:
12) Минимальные характеристики:
13) Высокие точки:
14) Максимальные характеристики:
Мы рассмотрели свойства функции и ее графика.
Свойства будут неоднократно использоваться при решении задач.
Список литературы
1. Алгебра и начало анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2009..
2. Алгебра и начало анализа, 10 класс (в двух частях). Задание для общеобразовательных учреждений (профильный уровень), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебник для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). — М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для абитуриентов технических вузов (под ред. М.И.Сканави).-М.: Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.