Самостоятельные работы по алгебре 10 класс гдз: Решебник по алгебре за 10 класс самостоятельные работы Александрова Л.А. ФГОС

ГДЗ за 10 класс по Алгебре Александрова Л.А. самостоятельные работы Базовый уровень

Ответы к С-1. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-2. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-3. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-4. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-5. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-6. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-7.

Варианты 1 2 3 4

Ответы к С-8. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-9. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-10. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-11. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-12. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-13. Варианты

1 2 3 4

Варианты «> Ответы к С-14. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-15. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-16. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-17. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-18. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-19. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-20. Варианты

1 2 3 4

Варианты «> Ответы к С-21. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-22. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-23. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-24. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-25. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-26. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-27. Варианты

1 2 3 4

Варианты «> Ответы к С-28. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-29. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-30. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-31. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-32. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-33. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-34. Варианты

1 2 3 4

Варианты «> Ответы к С-35. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-36. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-37. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-38. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-39. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-40. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-41. Варианты

1 2 3 4

Варианты «> Ответы к С-42. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-43. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-44. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-45. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-46. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-47. Варианты

1 2 3 4

Ответы к С-48. Варианты

1 2 3 4

ГДЗ по алгебре для 10 класса на 5.

fun

• • Алгебра 10 класс Дидактические материалы
  • Авторы: Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И.
  • Издательство: Просвещение 1999
• • Алгебра 10 класс Базовый и углубленный уровень
  • Авторы: Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева
  • Издательство: Просвещение 2015
• • Алгебра 10 класс
  • Авторы: А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын
  • Издательство: Просвещение 2015
• • Алгебра 10 класс Задачник Базовый уровень
  • Автор:
    А. Г. Мордкович
  • Издательство: Мнемозина 2015-2020
• • Алгебра 10 класс Базовый уровень
  • Авторы: Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Полонский В.Б., Якир М.С.
  • Издательство: Вентана-граф 2013-2022
• • Алгебра 10 класс Задачник Базовый и углубленный уровень
  • Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л.О., Звавич Л.И.
  • Издательство: Мнемозина 2016-2020
• • Алгебра 10 класс Вертикаль Базовый уровень
  • Авторы: Муравин Г.К., Муравина О.В.
  • Издательство: Дрофа 2013
• • Алгебра 10 класс Дидактические материалы Базовый уровень
  • Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Рабинович Е.М.
  • Издательство: Вентана-граф 2014
• • Алгебра 10 класс Базовый и углубленный уровень
  • Авторы: Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И.
  • Издательство: Просвещение 2017

• • Алгебра 10 класс МГУ — школе
  • Авторы: Никольский С. М., Потапов М.К., Решетников Н.Н.
  • Издательство: Просвещение 2015
• • Алгебра 10 класс Дидактические материалы Базовый и углубленный уровень
  • Авторы: Шабунин М.И., Ткачева М.И., Федорова Н.Е.
  • Издательство: Просвещение 2017
• • Алгебра 10 класс Контрольно-измерительные материалы (КИМ)
  • Автор: Рурукин А. Н.
  • Издательство: ВАКО 2017
• • Алгебра 10 класс Самостоятельные и контрольные работы
  • Авторы: Ершова А.П., Голобородько В.В.
  • Издательство: Илекса 2016
• • Алгебра 10 класс Контрольные работы Базовый и углубленный уровень
  • Автор: Глизбург В. И.
  • Издательство: Мнемозина 2014
• • Алгебра 10 класс Контрольные работы Базовый уровень
  • Автор: Глизбург В.И.
  • Издательство: Мнемозина 2016
• • Алгебра 10 класс Самостоятельные работы Базовый и углубленный уровень
  • Автор: Александрова Л. А.
  • Издательство: Мнемозина 2016
• • Алгебра 10 класс Тематические тесты МГУ — школе
  • Автор: Шепелева Ю.В.
  • Издательство: Просвещение 2018
• • Алгебра 10 класс Самостоятельные работы Базовый уровень
  • Автор: Александрова Л. А.
  • Издательство: Мнемозина 2017

• • Алгебра 10 класс Комплексная тетрадь для контроля знаний Уровень стандарта
  • Автор: Скляренко О.В.
  • Издательство: Ранок 2016
• • Алгебра 10 класс Комплексная тетрадь для контроля знаний Академический уровень
  • Автор: Скляренко О. В.
  • Издательство: Ранок 2016
• • Алгебра 10 класс Вертикаль Углубленный уровень
  • Авторы: Муравин Г.К., Муравина О.В.
  • Издательство: Дрофа 2018
• • Алгебра 10 класс Углубленный уровень
  • Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д.А., Поляков В.М.
  • Издательство: Вентана-граф 2019
• • Алгебра 10 класс
  • Авторы: Шыныбеков А.Н., Шыныбеков Д.А., Жумабаевй Р.Н.
  • Издательство: Атамұра 2019
• • Алгебра 10 класс Самостоятельные и контрольные работы Углубленный уровень
  • Авторы: А. Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М. Рабинович, М.С. Якир
  • Издательство: Вентана-граф 2020
• • Алгебра 10 класс Сборник задач Базовый и повышенный уровни
  • Авторы: Арефьева И.Г., Пирютко О.Н.
  • Издательство: Народная асвета 2020
• • Алгебра 10 класс
  • Авторы: Арефьева И. Г., Пирютко О.Н.
  • Издательство: Народная асвета 2019
• • Алгебра 10 класс Дидактические материалы МГУ — школе Базовый и углубленный уровень
  • Авторы: Потапов М.К., Шевкин А.В.
  • Издательство: Просвещение 2019

• • Алгебра 10 класс
  • Авторы: Абылкасымова А. Е., Жумагулова 3.А.
  • Издательство: Мектеп 2019
• • Алгебра 10 класс Базовый уровень
  • Авторы: Мордкович А.Г., Семенов П.В., Александрова Л.А., Мардахаева Е.Л.
  • Издательство: Бином 2019
• • Алгебра 10 класс Контрольные работы (Методическое пособие) Алгоритм успеха Базовый уровень
  • Авторы: Буцко Е. В., Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.
  • Издательство: Вентана-граф 2020
• • Алгебра 10 класс Контрольные работы (Методическое пособие) Алгоритм успеха Углубленный уровень
  • Авторы: Буцко Е.В., Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.
  • Издательство: Вентана-граф 2020
• • Алгебра 10 класс Контрольные работы Базовый уровень
  • Автор: Мардахаева Е. Л.
  • Издательство: Бином 2020
• • Алгебра 10 класс Углубленный уровень
  • Авторы: Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
  • Издательство: Просвещение 2020

• • История 10 класс
  • Авторы: Данилов А. А., Брандт М. Ю., Горинов М. М.
  • Издательство: Просвещение 2013
• • Химия 10 класс Базовый уровень
  • Автор: О.С. Габриелян
  • Издательство: Дрофа 2015
• • Алгебра 10 класс Задачник Базовый уровень
  • Автор: А. Г. Мордкович
  • Издательство: Мнемозина 2015-2020
• • Химия 10 класс Сборник задач и упражнений
  • Автор: Хомченко И.Г.
  • Издательство: Новая волна 2009
• • Немецкий язык 10 класс
  • Авторы: И. Л. Бим, Л.В. Садомова, М.А. Лытаева
  • Издательство: Просвещение 2016
• • Английский язык 10 класс
  • Авторы: В.П. Кузовлев, Н.М. Лапа, Э.Ш. Перегудова
  • Издательство: Просвещение
• • Английский язык 10 класс Enjoy English
  • Авторы: М. З. Биболетова, Е.Е. Бабушис, Н.Д. Снежко
  • Издательство: Аст/Астрель 2016
• • История 10 класс
  • Авторы: Н. В. Загладин, Н. А. Симония
  • Издательство: Русское слово 2014
• • История 10 класс Профильный уровень
  • Авторы: В. И. Уколова, А.В. Ревякин
  • Издательство: Просвещение 2012

ГДЗ С-18. вариант 2 алгебра 10 класс самостоятельные работы Александрова – Telegraph

➡➡➡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ!

ГДЗ С-18. вариант 2 алгебра 10 класс самостоятельные работы Александрова

Подробное решение С -18 . вариант № 2 по алгебре самостоятельные работы для учащихся 10 класса Базовый уровень, авторов Александрова 2019 .  ГДЗ по алгебре 10 класс Александрова самостоятельные работы Базовый уровень С -18 . вариант — 2 . 

Алгебра 10 класс . Самостоятельные работы (Базовый и углубл . уровень) . Александрова . Мнемозина . Сложно воспринимать то, что изложено с помощью формул и уравнений .  ГДЗ по алгебре 10 класс Александрова поможет подготовиться к проверочным работам любого плана .  

Решение самостоятельных работ по алгебре и началам математического анализа из сборника для 10 класса Александровой Л . А . Рукопись . — . Настоящее пособие содержит решения самостоятельных работ из сборника «Александрова Л . А . Алгебра и начала . . 

Подробный решебник (ГДЗ ) по Алгебре за 10 (десятый ) класс самостоятельные работы — готовый ответ С -18 . вариант — 2 . Авторы учебника: Александрова, Базовый уровень . Издательство: Мнемозина 2019 . 

Здесь решены и выполнены (ГДЗ ) все упражнения из пособия Алгебра и начала математического анализа . 10 класс .  ГДЗ по алгебре и начала математического анализа для 10 класса , самостоятельные работы , Александрова Л .А . № страниц решебника 

10 класс . Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений / Л . А . Александрова ; под ред . А . Г . Мордковича .  Предлагаемые самостоятельные работы можно использовать в общеобразовательных классах для текущего контроля знаний, умений и . . 

самостоятельные работы Александрова .   ГДЗ к самостоятельным работам по алгебре за 10 класс Александрова, Базовый уровень можно скачать здесь . 

10 класс . Самостоятельные работы . Александрова Л .А . Учеба в десятом классе для многих становится новым этапом, поскольку уже приходится  На сайтах с ГДЗ, посмотреть ответы обычно можно в любое время суток, потому что сборники публикуются в онлайн-версии . 

10 класс : Самостоятельные работы — Лидия Александрова .  Иллюстрация 7 из 19 для книги Алгебра и начала математического анализа . 10 класс : Самостоятельные работы — Лидия Александрова . 

ГДЗ по алгебре для 10 класса — Арефьева .  Имея три главы с уникальными решениями задач, ГДЗ стали незаменимым атрибутом учеников . Каждый раздел рассматривает свой спектр вопросов: первый – функции и теоремы, второй посвящен тригонометрическим выражениям . . 

Александрова Лидия Александровна . Самостоятельные работы по алгебре 10 класс Александрова , ответы ൠ решения задач на, ГДЗ для рабочих тетрадей ЗДЕСЬ . .
Ответы к пособию «Алгебра 10 —11 . Самостоятельные и контрольные работы» .  Нарушение авторских прав преследуется по закону . Описание . В приложении приведены ответы ко всем заданиям , предложенным в последнем издании пособия «Алгебра 10—11 . 

Готовое Домашнее Задание (ГДЗ ) по Алгебре и началам анализа 10 класс . Самостоятельные работы . Александрова Л .А . — Ваша самостоятельная работа на 5+ .  Самостоятельные работы . Александрова Л .А . Предыдущий лист . Увеличить . Уменьшить . 

10 класс . Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений (Александрова Л .А .) 

Домашняя работа по алгебре 10 класс . ГДЗ Алгебра 10 класс Самостоятельные работы Александрова с подробным решением и ответами . 

Подробное решение С -18 . вариант № 2 по алгебре самостоятельные работы для учащихся 10 класса Базовый уровень, авторов Александрова 2019 .  ГДЗ по алгебре 10 класс Александрова самостоятельные работы Базовый уровень С -18 . вариант — 2 . 

Алгебра 10 класс . Самостоятельные работы (Базовый и углубл . уровень) . Александрова . Мнемозина . Сложно воспринимать то, что изложено с помощью формул и уравнений .  ГДЗ по алгебре 10 класс Александрова поможет подготовиться к проверочным работам любого плана . 

Решение самостоятельных работ по алгебре и началам математического анализа из сборника для 10 класса Александровой Л . А . Рукопись . — . Настоящее пособие содержит решения самостоятельных работ из сборника «Александрова Л . А . Алгебра и начала . . 

Подробный решебник (ГДЗ ) по Алгебре за 10 (десятый ) класс самостоятельные работы — готовый ответ С -18 . вариант — 2 . Авторы учебника: Александрова, Базовый уровень . Издательство: Мнемозина 2019 . 

Здесь решены и выполнены (ГДЗ ) все упражнения из пособия Алгебра и начала математического анализа . 10 класс .  ГДЗ по алгебре и начала математического анализа для 10 класса , самостоятельные работы , Александрова Л .А . № страниц решебника 

10 класс . Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений / Л . А . Александрова ; под ред . А . Г . Мордковича .  Предлагаемые самостоятельные работы можно использовать в общеобразовательных классах для текущего контроля знаний, умений и . . 

самостоятельные работы Александрова .  ГДЗ к самостоятельным работам по алгебре за 10 класс Александрова, Базовый уровень можно скачать здесь . 

10 класс . Самостоятельные работы . Александрова Л .А . Учеба в десятом классе для многих становится новым этапом, поскольку уже приходится  На сайтах с ГДЗ, посмотреть ответы обычно можно в любое время суток, потому что сборники публикуются в онлайн-версии . 

10 класс : Самостоятельные работы — Лидия Александрова .  Иллюстрация 7 из 19 для книги Алгебра и начала математического анализа . 10 класс : Самостоятельные работы — Лидия Александрова . 

ГДЗ по алгебре для 10 класса — Арефьева .  Имея три главы с уникальными решениями задач, ГДЗ стали незаменимым атрибутом учеников . Каждый раздел рассматривает свой спектр вопросов: первый – функции и теоремы, второй посвящен тригонометрическим выражениям . . 

Александрова Лидия Александровна . Самостоятельные работы по алгебре 10 класс Александрова , ответы ൠ решения задач на, ГДЗ для рабочих тетрадей ЗДЕСЬ . .
Ответы к пособию «Алгебра 10 —11 . Самостоятельные и контрольные работы» .  Нарушение авторских прав преследуется по закону . Описание . В приложении приведены ответы ко всем заданиям , предложенным в последнем издании пособия «Алгебра 10—11 . 

Готовое Домашнее Задание (ГДЗ ) по Алгебре и началам анализа 10 класс . Самостоятельные работы . Александрова Л .А . — Ваша самостоятельная работа на 5+ .  Самостоятельные работы . Александрова Л .А . Предыдущий лист . Увеличить . Уменьшить . 

10 класс . Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений (Александрова Л .А .) 

Домашняя работа по алгебре 10 класс . ГДЗ Алгебра 10 класс Самостоятельные работы Александрова с подробным решением и ответами . 

ГДЗ упражнение 174 русский язык 6 класс Ладыженская, Баранов
ГДЗ номер 441 русский язык 2 класс Соловейчик, Кузьменко
ГДЗ упражнения 213 английский язык 8 класс сборник упражнений к учебнику Биболетовой Барашкова
ГДЗ приложение 44 математика 6 класс Мерзляк, Полонский
ГДЗ §8 8. 5 алгебра 7 класс рабочая тетрадь Зубарева, Мильштейн
ГДЗ упражнение 675 русский язык 7 класс Львова, Львов
ГДЗ § 14 6 алгебра 7 класс Мерзляк, Поляков
ГДЗ номер / § 15 16 алгебра 11 класс Никольский, Потапов
ГДЗ задания для самопроверки / завдання №4 21 алгебра 8 класс Кравчук, Пидручна
ГДЗ часть 2. страница 107 английский язык 9 класс rainbow Афанасьева, Михеева
ГДЗ вопрос / §5 3 география 5‐6 класс Дронов, Савельева
ГДЗ projects / unit 10 2 английский язык 11 класс книга для чтения Демченко
ГДЗ номер / § 13 35 алгебра 11 класс Никольский, Потапов
ГДЗ вариант 1 24 геометрия 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
ГДЗ самостійні роботи / СР-7. варіант 2 геометрия 8 класс тестовый контроль знаний Гальперина
ГДЗ обучающие работы / О-20 9 алгебра 9 класс дидактические материалы Евстафьева, Карп
ГДЗ § / § 14 3 алгебра 10 класс задачник Мордкович, Денищева
ГДЗ часть 2. страница 48 английский язык 9 класс рабочая тетрадь с контрольными работами к ОГЭ Кауфман, Кауфман
ГДЗ геометрия / Погорелов / контрольная работа / КП-5 А2 алгебра 8 класс самостоятельные и контрольные работы, геометрия Ершова, Голобородько
ГДЗ § / § 10 3 математика 4 класс Муравин, Муравина
ГДЗ дополнительная задача 63 геометрия 9 класс дидактические материалы Гусев, Медяник
ГДЗ учебник 2019 / часть 1. упражнение 782 (776) математика 6 класс Виленкин, Жохов
ГДЗ параграф 30 30.26 алгебра 8 класс задачник Мордкович, Александрова
ГДЗ номер 970 алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк
ГДЗ вправа 123 украинский язык 5 класс Ермоленко, Сычева
ГДЗ упражнение 208 алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк
ГДЗ номер 163 математика 6 класс Мерзляк, Полонский
ГДЗ упражнение 272 математика 6 класс тетрадь тренажёр Бунимович, Кузнецова
ГДЗ страница 20 геометрия 9 класс рабочая тетрадь Глазков, Камаев
ГДЗ часть 1 / страница 72 2 математика 1 класс Моро, Волкова
ГДЗ контрольные вопросы §5 3 математика 6 класс Муравин, Муравина
ГДЗ номер 1025 алгебра 7 класс Мерзляк, Полонский
ГДЗ упражнение 54 русский язык 1 класс Климанова, Макеева
ГДЗ часть 3 (страница) 3 русский язык 4 класс рабочая тетрадь Соловейчик, Кузьменко
ГДЗ часть 2. страница 29 математика 2 класс рабочая тетрадь Учусь Учиться Петерсон
ГДЗ упражнение 399 русский язык 7 класс Бунеев, Бунеева
ГДЗ вправа 442 украинский язык 7 класс Глазова
ГДЗ итоговое повторение 114 алгебра 8 класс задачник Мордкович, Александрова
ГДЗ § / § 27 2 химия 8 класс Кузнецова, Титова
ГДЗ упражнение 313 алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк
ГДЗ вправа 319 украинский язык 5 класс Ермоленко, Сычева
ГДЗ часть 1 / номер 414 математика 5 класс задачник Бунимович
ГДЗ параграф 11 история 6 класс Средних веков Искровская, Федоров
ГДЗ упражнение 657 русский язык 5 класс Ладыженская, Баранов
ГДЗ вариант 1 235 алгебра 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
ГДЗ глава 1 89 русский язык 6 класс Шмелев, Флоренская
ГДЗ упражнение 211 геометрия 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский
ГДЗ номер 4 физика 7‐9 класс сборник задач Лукашик, Иванова
ГДЗ упражнение 229 русский язык 8 класс Ладыженская, Тростенцова
ГДЗ страница 133-170 / Стр. 148-158. Studium 8 немецкий язык 10‐11 класс Воронина, Карелина

ГДЗ unit 3 / section 1-7 27 английский язык 6 класс рабочая тетрадь 1 Биболетова, Денисенко

ГДЗ По Физике 8 Класс Белага

ГДЗ Шклярова 2 Класс Русский Язык

ГДЗ По Физике Перышкин Упражнения

ГДЗ По Матем Дидактические 5 Класс

Алгебра в реальной жизни | Приложения алгебры

Алгебра — это часть математики, которая имеет дело с символами и стандартами для управления этими символами. Более основные части алгебры называются элементарной алгеброй, а более абстрактные типы называются абстрактной алгеброй или современной алгеброй.

Рассмотрим паттерн ниже. Он был создан с использованием мрамора. Здесь мы видим, что в первом столбце 2 шарика, во втором столбце 3 шарика, в третьем столбце 4 шарика и так далее.

Таким образом, мы видим, что каждый новый столбец увеличивается на 1 шарик. Мы можем записать представление как

Здесь n представляет позицию столбца. Итак, «n» — это пример переменной, которая может принимать любое значение 1, 2, 3… и так далее. Таким образом, n + 1 представляет собой алгебраическое выражение, состоящее из переменной n и константы 1.

Переменная — это число, не имеющее фиксированного значения. На картинке и в списке ниже показаны некоторые примеры из реальной жизни, где значение переменной меняется с изменением места и времени.

Значение остается фиксированным для конкретных чисел, представляющих количества или идеи, которые не изменятся. Например, дата рождения конкретного человека, нормальная температура человеческого тела и вместимость данного сосуда.

Теперь мы посмотрим, как составить алгебраическое выражение. Правила заключаются в том, что переменные должны быть представлены буквами алфавита, скажем, строчными буквами az, а константы — числовыми.

1. У Аманды на 10 сборников сказок больше, чем у Алекса. Выразите количество сборников рассказов, которые есть у Аманды, через количество сборников рассказов, которые есть у Алекса.

2. Конфеты из большой коробки поровну распределяются по 10 маленьким коробкам. Выразите количество конфет в одной маленькой коробочке через общее количество конфет.

Решение уравнений

Давайте посмотрим, как практические приложения алгебры можно использовать для решения уравнений. Вы часто будете встречать такие уравнения, как 3x + 4 = 5, где вы хотите найти x.

Рассмотрим ситуацию из нашей повседневной жизни.

Стоимость книги на 5 фунтов больше стоимости ручки. Примем стоимость ручки за £x. Тогда стоимость книги £ (x + 5). Если стоимость книги 20 фунтов стерлингов, какова стоимость ручки?

Мы знаем, что стоимость книги равна x + 5, и известно, что x + 5 = 20. Это уравнение относительно переменной x.

Таблица подготовлена, как показано ниже, для различных значений x:

x	8	9	10	11	12	13	14	15	16
х + 5	13	14	14	16	17	18	19	20	21

Из таблицы видно, что x + 5 = 20 только при x = 15. Итак, стоимость ручки 15 фунтов стерлингов.

Обычно говорят, что x = 15 является решением уравнения x + 5 = 20. Это метод проб и ошибок, когда мы подставляем разные значения переменной, которая удовлетворяет данному уравнению.

Уравнение состоит из двух частей, соединенных знаком равенства. Две части или стороны уравнения обозначаются как LHS (левая сторона) и RHS (правая сторона). Если LHS = RHS, мы получаем уравнение. 2x = 6 — это

алгебраическое уравнение, тогда как 3x > 10 или 4x < 12 уравнениями не являются.

 

Решение уравнения с использованием принципа балансов

Рассмотрим баланс, показанный на рисунке.

Четыре круга уравновешивают один квадрат и круг с другой стороны. Идея в том, что мы должны выяснить, сколько кругов уравновесит квадрат. Если мы удалим круг с левой панели, у нас останется только квадрат. Так как мы удалили круг с левой панели, мы также должны удалить круг с правой панели. Тогда в правой кастрюле будет три круга.

Теперь баланс выглядит так, как показано справа. Это называется принципом равновесия. Используя уравнения балансировки, мы можем систематически решать уравнения.

 

Пример:

Решите, используя принцип баланса:

Мать Бенджамина в три раза старше Бенджамина. Если матери Бенджамина 39 лет, найдите возраст Бенджамина.

Решение:

Пусть возраст Бенджамина равен x.

Возраст матери Бенджамина 3x = 39

3x/3 = 39/3 {Деление на 3 с обеих сторон}

Таким образом, возраст Бенджамина = 13 лет.

К обеим частям уравнения можно прибавить или вычесть одно и то же количество . Если одну и ту же сумму умножить или разделить в обеих частях уравнения, она останется неизменной.

 

Составление уравнения для нахождения неизвестного

Перевод словесных описаний в алгебраические выражения является важным начальным шагом в решении текстовых задач. Итак, давайте посмотрим еще один пример из реальной жизни в виде головоломки.

Подробное решение:

Наше первое предположение состоит в том, что Ума покупает хотя бы по одному мячу каждого вида. Теперь предположим, что она покупает x футбольных мячей, y мячей для крикета и z мячей для настольного тенниса.

Для вопроса требуется x + y + z = 100  [ 1 ]

Также требуется 15 x + 1y + z/4 = 100  [ 2 ]Поскольку у нас есть 3 переменных, но только 2 уравнения, нам придется использовать испытание и метод ошибки, чтобы получить решение.

Изменим x количество футбольных мячей и посмотрим, что получится:

Предположим, что x = 1, тогда 

y + z = 99 и y + z/ 4 = 83z/4 = 14 3z = 56 z = 56/3, что не является целым числом.

Попытка получить x = 2 также не удалась, и теперь

Если x = 3, то z = 97 и y + z / 4 = 55 3z/4 = 42 3z = 168 z = 168/3 = 56 , что является целым числом !

А если z = 56, то y = 97 — z = 97 — 56 = 41

Таким образом, Ума покупает набор мячей {3 футбольных мяча, 41 мяч для крикета и 56 мячей для настольного тенниса}

бюстгальтер

---

Alge

Alge Геометрия

В алгебраической геометрии мы изучаем геометрические объекты и их набор, которые характеризуются полиномиальными уравнениями.

Примерами наиболее изученных классов алгебраических многообразий являются плоские алгебраические кривые, включая прямые, окружности, параболы, эллипсы, гиперболы. Существуют также кубические кривые, такие как эллиптические кривые, и кривые четвертой степени, такие как лемнискаты и овалы Кассини.

В реальной жизни алгебраическая геометрия может использоваться для изучения динамических свойств механизмов робототехники.

   Источник: Pinterest

Робот может двигаться в непрерывном пространстве с бесконечным набором возможных действий и состояний. Когда у робота есть руки и ноги, которыми тоже нужно управлять, пространство поиска становится многомерным. Кинематика робота может быть сформулирована как система полиномиальных уравнений, которую можно решить с помощью инструментов алгебраической геометрии.

Алгебраическая геометрия также широко используется в статистике, теории управления и геометрическом моделировании. Есть также связи с теорией струн, теорией игр, сопоставлением графов и целочисленным программированием.

 

---

Алгебра в программировании

Математические языки объединяют в себе такие области, как наука, технология и инженерия. Вот почему человек, заинтригованный областью компьютерного программирования и кодирования, должен выяснить, как понимать и контролировать математическую логику.

Глубокое понимание алгебры включает описание связей между объектами, критическое мышление с ограниченными факторами и развитие аналитических навыков, помогающих принимать решения.

Одно из таких применений алгебры можно увидеть в процедурах вывода, используемых в инженерии знаний. Переменные и постоянные символы используются в качестве терминов, представляющих объекты в реальной жизни.

Инженер по знаниям добавляет набор фактов и уточняет, что является правдой, а процедура логического вывода выясняет, как превратить факты в решение проблемы.

Кроме того, поскольку факт верен независимо от того, какую задачу пытаются решить, базы знаний можно повторно использовать для различных задач без модификации.

 

Пример задачи на вывод

Составить предложение,

Все любят мороженое.

Представлено в логике первого порядка как

 x Нравится ( x, мороженое )

, где x — переменная и универсальный квантор, обобщающий всех людей, любящих мороженое.

Если другое предложение, найденное в базе знаний, выглядит следующим образом:

    Джон любит мороженое

Оно представляется как Нравится( Джон, мороженое)

Процедура вывода будет исходить из x Нравится ( x, мороженое ) с заменой {x/Джон}, выводит Нравится(Джон, мороженое) и заключает, что Джон любит мороженое.

Биостатистический университет Флориды

Другие использование алгебры в программировании — онтология, алгоритмы коррекции ошибок, обработка естественного языка, нейронные сети, проектирование языков программирования искусственного интеллекта, таких как LISP и пролог и пролог, такие как Otter.

 

---

Алгебра в реальной жизни

В реальной жизни существует множество случаев, когда алгебра используется. Его полезность повсеместно измеряется во всех сферах нашей жизни. Например, возьмем домен покупок, где нам нужно заложить в бюджет элементы корзины, и применяется некоторая алгебраическая формулировка.

Экономика каждой страны анализируется с помощью экономистов, использующих алгебру для решения проблем, связанных с долгами или кредитами.

Программа ANALOGY Тома Эванса (1968 г.) решала задачи на геометрическую аналогию, возникающие в тестах IQ, таких как показанная ниже.

Источник: искусственный интеллект Стюарта Рассела

Использование алгебры многоцелевое, и она пригодится во всех сферах нашей жизни. Однако это касается не только математиков, но даже большинства академиков, педагогов, исследователей и экспертов самого разного происхождения в совокупности

согласен с адаптивностью алгебры.

 

---

Реальные приложения линейной алгебры

Что такое линейная алгебра?

Линейная алгебра — это раздел математики, касающийся линейных уравнений, таких как линейные карты и их представления в векторных пространствах и матрицах.

Пример

Концепция классификации может быть смоделирована с помощью структур нейронной сети, использующих модель линейной регрессии. Здесь обучающий набор сравнивается с тестовыми данными, чтобы алгоритмы обучения генерировали результаты для прогнозирования данных, связанных с принятием решений, медицинским диагнозом, статистическими выводами и т. д.

 

Приложения

Наиболее часто используемым применением линейной алгебры, безусловно, является оптимизация, а наиболее широко используемым видом продвижения является линейная алгебра. Вы можете обновить планы расходов, свой режим питания и свой курс на работу

, используя линейную алгебру, и эта уникальность начинает открывать множество приложений.

Другие реальные приложения линейной алгебры включают ранжирование в поисковых системах, построение дерева решений, тестирование программного кода в программной инженерии, графику, распознавание лиц, прогнозирование и так далее.

 

---

Резюме

В реальной жизни алгебру можно сравнить с универсальным удобным устройством или волшебной палочкой, которая может помочь справиться с обычными жизненными проблемами. Всякий раз, когда жизнь подбрасывает вам математическую задачу, например, когда вам нужно решить уравнение или решить геометрическую задачу, алгебра обычно является лучшим способом решить ее.

Написано Джези Маргарет, учителем Куэмата

 

---

О Куэмате

Cuemath, удобная для учащихся платформа математики и кодирования, проводит регулярные интерактивные онлайн-классы для обучения и развития навыков, а их приложение Mental Math для iOS и Android представляет собой универсальное решение для детей, позволяющее развивать различные навыки. . Ознакомьтесь со структурой комиссий Cuemath и подпишитесь на бесплатную пробную версию.

Преподавание линейных уравнений по математике

Назад к фигурным

Математика

Посох в форме

29 марта 2020 г.

Чтение через 10 мин

Для многих учащихся 8-х классов и старше числа и фигуры, которые они узнали, действительно начинают складываться воедино, когда они составляют и решают линейные уравнения. Эта тема объединяет идеи об алгебре, геометрии и функциях, и многим детям — и взрослым! — может быть трудно усвоить ее. В этой статье объясняется, что такое линейное уравнение, и рассматриваются различные примеры. Затем он предлагает уроки для введения и развития концепции линейных уравнений с одной переменной для ваших студентов.

Что такое линейное уравнение?

Как и любое другое уравнение, линейное уравнение состоит из двух выражений, равных друг другу. Есть некоторые ключевые особенности, общие для всех линейных уравнений:

1. Линейное уравнение имеет только одну или две переменные.
2. Ни одна переменная в линейном уравнении не возводится в степень больше 1 и не используется в качестве знаменателя дроби.
3. Когда вы находите пары значений, которые делают линейное уравнение верным, и наносите эти пары на координатную сетку, все точки лежат на одной линии. График линейного уравнения представляет собой прямую линию.

Линейное уравнение с двумя переменными может быть описано как линейная зависимость между х и y , то есть двумя переменными, в которых значение одной из них (обычно y ) зависит от значение другого (обычно x ). В этом случае х является независимой переменной, а y зависит от нее, поэтому y называется зависимой переменной.

Независимо от того, помечено ли это значение x , независимая переменная обычно откладывается по горизонтальной оси. Большинство линейных уравнений являются функциями. Другими словами, каждому значению x соответствует только одно значение y . Когда вы присваиваете значение независимой переменной x , вы можете вычислить значение зависимой переменной y . Затем вы можете нанести точки, названные каждой парой ( x , y ) на координатной сетке.

Описание линейных отношений

Учащиеся уже должны знать, что любые две точки определяют прямую. Таким образом, для построения графика линейного уравнения на самом деле требуется только найти две пары значений и провести линию через точки, которые они описывают. Все остальные точки на линии дадут значения x и y , которые удовлетворяют уравнению.

Графики линейных уравнений всегда являются линиями. Однако важно помнить, что не каждая точка на линии, описываемой уравнением, обязательно будет решением задачи, описываемой уравнением. Например, задача может не иметь смысла для отрицательных чисел (скажем, если независимой переменной является время) или очень больших чисел (скажем, для чисел больше 100, если зависимой переменной является оценка в классе).

Как выглядит линейное уравнение?

Пример 1: расстояние = скорость × время

В этом уравнении для любой фиксированной скорости зависимость между расстоянием и временем будет линейной. Однако расстояние обычно выражается положительным числом, поэтому на большинстве графиков этого отношения точки отображаются только в первом квадранте. Обратите внимание, что направление линии на графике ниже — снизу слева направо вверх. Линии, стремящиеся в этом направлении, имеют положительные склон . Положительный наклон указывает, что значения по обеим осям увеличиваются слева направо.

Пример 2: количество воды в негерметичном ведре = скорость утечки × время первый квадрант. Обратите внимание, что направление линии на этом графике — сверху слева вниз справа. Линии, стремящиеся в этом направлении, имеют отрицательный наклон. А отрицательный наклон указывает на то, что значения по оси y- уменьшаются по мере увеличения значений по оси x-.

Пример 3: количество углов многоугольника = количеству сторон этого многоугольника

Опять же, на этом графике мы связываем значения, которые имеют смысл только в том случае, если они положительны, поэтому мы показываем точки только в первом квадранте. Кроме того, в этом случае, поскольку ни один многоугольник не имеет менее 3 сторон или углов, а количество сторон или углов многоугольника должно быть целым числом, мы показываем график, начинающийся с (3,3), и указываем пунктирной линией, что точки между нанесенными на график не имеют отношения к задаче.

Пример 4: градусы Цельсия = 5/9 × (градусы Фаренгейта – 32)

Поскольку совершенно разумно иметь как положительные, так и отрицательные температуры, мы наносим точки на этом графике на полной координатной сетке. (Хотя это и не видно на графике, самая низкая возможная физическая температура составляет около –460° по Фаренгейту, поэтому не каждое решение на графике полезно!) линия относится к y- ось и наклон линии вверх или вниз, если смотреть на нее слева направо. С технической точки зрения, наклон показывает скорость, с которой зависимая переменная изменяется по отношению к изменению независимой переменной.

Расчет уклона

Выберите любые две точки на линии. Чтобы найти скорость изменения y , вычтите значение y первой точки из значения y второй точки: ( y ₂ – y ₁ ). Чтобы найти скорость изменения x , вычтите значение x первой точки из значения x второй точки: ( x ₂ – x ₁ ). Чтобы найти скорость, с которой y изменяется по отношению к изменению x , рассчитайте отношение: ( y ₂ – y ₁ )/( x 907 8 2

2

2 х ₁ ).

Если мы обозначим точку A в качестве первой точки и Point B в качестве второй точки, наклон линии равен (–2 – 4)/(–1 – 2) = –6/–3 или 2. Не имеет значения. какие точки вдоль линии вы обозначили как A и B , при условии, что мы согласны с тем, какая точка является «первой» ( x ₁ , y ₁ ), а какая «второй» ( х ₂ , у ₂ ). Если мы обозначим точку B как первую точку, а точку A в качестве второй точки, значение наклона такое же: (4 – -2)/(2 – -1) = 6/3 или 2. Это также то же значение, которое вы получите, если выберете любую другую пару точек на линии для вычисления уклона.

Формула линейного уравнения

Уравнение прямой может быть записано в форме, которая делает наклон очевидным и позволяет рисовать линию без каких-либо вычислений. Если учащимся удобно решать простое линейное уравнение, состоящее из двух шагов, они могут написать линейные уравнения в форме пересечения наклона. Форма линейного уравнения с пересечением наклона: y = м x + b . В уравнении x и y являются переменными. Числа м и b дают наклон линии ( м ) и значение y , когда x равно 0 ( b ). Значение y , когда x равно 0, называется y -перехватом , потому что (0, y ) — это точка, в которой линия пересекает ось y .

Вы можете нарисовать линию для уравнения, соответствующего этой линейной формуле, построив (0, b ), а затем используя м , чтобы найти другую точку. Например, если м равно 1/2, вы можете интерпретировать это как разницу в 1 между координатами и для каждой разницы в 2 среди координат x (то есть ( у ₂ – у). ₁ )/( х ₂ – x ₁ ) = 1/2). Отсчитайте +2 по оси x-, затем +1 по оси y-, чтобы добраться до другой точки: (2, b + 1).

Уравнение для этой прямой: y + 3 = 2 x . В форме пересечения уклона уравнение имеет вид y = 2 x – 3. В этой форме вы можете легко увидеть, что уклон м = 2. Глядя на график, уклон действительно равен 2, так как для каждого + 2 изменения в и , есть +1 изменение в х . Теперь посмотрите на b в уравнении: –3 должно быть там, где линия пересекает ось y , и это так.

Положительный наклон

Когда линия наклоняется вверх слева направо, она имеет положительный наклон. Это означает, что положительное изменение х связано с положительным изменением х . Чем круче наклон, тем больше скорость изменения х по отношению к изменению х . Уклон 6 круче, чем уклон 1, который, в свою очередь, круче, чем уклон 1/6. Когда линия представляет точки реальных данных, нанесенные на координатную плоскость, положительный наклон указывает на положительную корреляцию, и чем круче наклон, тем сильнее положительная корреляция.

Рассмотрим линейное уравнение, в котором независимая переменная g — это количество использованного газа в галлонах, а зависимая переменная d — пройденное расстояние в милях. Если вы водите большую старую машину, у вас будет плохой расход бензина. Количество пройденных миль невелико по сравнению с количеством израсходованного газа, поэтому значение м является малым числом. Наклон линии достаточно плавный. Если вместо этого вы едете на легком экономичном автомобиле, вы увеличиваете расход бензина. Вы проезжаете больше миль относительно того же количества потребляемого газа, поэтому значение м больше и линия круче. Обе ставки положительны, потому что вы по-прежнему проезжаете положительное количество миль на каждый галлон бензина, который вы потребляете.

Отрицательный наклон

Когда линия наклонена вниз слева направо, она имеет отрицательный наклон. Это означает, что отрицательное изменение х связано с положительным изменением х . Когда линия представляет точки реальных данных, нанесенные на координатную плоскость, отрицательный наклон указывает на отрицательную корреляцию, и чем круче наклон, тем сильнее отрицательная корреляция.

Рассмотрим строку, представляющую количество перцев, оставшихся для посадки после нескольких минут, проведенных в саду. Если в саду может поместиться 18 растений перца, а вы сажаете 1 растение перца в минуту, скорость, с которой садовая квартира опустеет, довольно высока, поэтому абсолютное значение м больше, а линия круче. Если вместо этого вы сажаете только 1 растение перца каждые 2 минуты, вы все равно опустошите садовую квартиру, но скорость, с которой вы это делаете, будет ниже. Абсолютное значение м ниже (1/2 вместо 1), и линия не такая крутая.

Нулевой наклон

Когда y не изменяется при изменении x , график линии горизонтален. Горизонтальная линия имеет нулевой наклон.

Неопределенный наклон

Когда x не изменяются при изменении y , график линии является вертикальным. Вы не можете вычислить наклон этой линии, потому что вам нужно разделить на 0. Обратите внимание, что вы можете думать об этих линиях как о «бесконечно крутых», либо положительно или отрицательно. Наклон вертикальной линии не определяется.

Линии с одинаковым уклоном

Две линии с одинаковым уклоном имеют одинаковую крутизну. Это означает одно из двух: либо линии параллельны, либо они являются одной и той же линией.

Во всех этих трех строках каждое изменение на 1 единицу в y связано с изменением на 1 единицу в x . Все три имеют наклон 1.

Решение двухшаговых линейных уравнений с рациональными числами

Когда линейное уравнение имеет две переменные (как это обычно бывает), оно имеет бесконечное число решений. Каждое решение представляет собой пару чисел ( x , y ), которые делают уравнение верным. Решение линейного уравнения обычно означает нахождение значения y для заданного значения x .

Когда уравнение уже имеет форму пересечения наклона

Если уравнение уже имеет форму y = m x + b , с переменными x и y и m и b рациональными числами, решение для конкретных значений является простым. Выберите значение для x, и вычислите соответствующее значение для y . Вы заметите, что для x проще всего выбрать значение 0, потому что в этом случае y = b . Студентам может быть предложено составить таблицы значений для линейных уравнений. Это просто Т-таблицы со списками значений для x с соответствующими значениями для y .

Двухшаговые уравнения включают поиск значений для выражений, которые имеют более одного члена . Терм может быть числом, переменной или числами и переменными, перемноженными вместе. Члены выражения разделяются символами сложения или вычитания. 2 x — это выражение с одним членом. 2 x + 6 имеет два члена. Чтобы найти значение y по заданному значению x , подставьте x -значение в выражение.

Рассмотрим уравнение y = 2 x + 6. Найдите значение для y , когда x = 5:

Подставьте значение для в уравнение.	y = 2(5) + 6
Умножить.	y = 10 + 6
Доп.	y = 16

Когда уравнение не в форме пересечения наклона

Если линейное уравнение не представлено в виде отрезка наклона (то есть не записано как y = m x + b ), учащиеся могут составить таблицу значений, чтобы найти решения уравнения, но может быть проще сначала представить уравнение в форме пересечения наклона. Это требует зеркального отображения операций с каждой стороны уравнения до тех пор, пока y не окажется в одной части уравнения, равным линейному выражению, включающему x . Вы можете манипулировать уравнением таким образом из-за свойств равенства:

• Если a = b , то a + c = b + c.
• Если a = b , то a – c = b – c.
• Если а = б , то акр = до н.э.
• Если a = b , то a ÷ c = b ÷ c (пока c ≠ 0).

Рассмотрим 2 x + y – 6 = 0. Это уравнение не в форме пересечения наклона, но вы можете использовать свойства равенства, чтобы получить y на одной стороне уравнения.

• Вы можете вычесть y из обеих частей уравнения, чтобы получить 2 x – 6 = – y . Затем умножьте обе части уравнения на –1, чтобы получить –2 x + 6 = лет.
• В качестве альтернативы можно вычесть 2 x и добавьте 6 к обеим частям уравнения, чтобы получить y = -2 x + 6.

Два уравнения: -2 x + 6 = y и y 2 x эквивалентны. Вы можете превратить одно в другое, используя коммутативное свойство сложения, которое утверждает, что a + b = b + a , и симметричное свойство равенства, которое утверждает, что если a = б , затем б = а .

Переместительное свойство сложения	–2x + 6 = y эквивалентно 6 – 2 x = y .
Симметричное свойство равенства	6 – 2 x = y эквивалентно y = 6 – 2 x .

Линейные уравнения: знакомство с концепцией

Материалы: Координатная сетка, которую могут видеть все учащиеся (сетка должна идти как минимум от –10 до +10 по обеим осям), инструмент для разметки сетки точками и строки

Подготовка: Поскольку учащиеся будут считывать точки с графиков и строить линии из списков точек, они (и вы) должны быть готовы использовать линейку для создания точных прямых линий. При онлайн-обучении используйте цифровой инструмент, способный генерировать точки и линии.

Необходимые навыки и понятия: Учащиеся должны уметь наносить точки на координатную плоскость и должны быть знакомы с различными способами обозначения умножения и деления в уравнении. Они также должны быть знакомы с порядком операций и свойствами равенства.

• Аккуратно проведите линию через (0,0) и (2,2) на сетке. Не забудьте расширить его в обоих направлениях, чтобы на нем было много точек, которые легко назвать.
• Скажем: Назовите несколько точек на этой прямой. Учащиеся должны составить список точек с целочисленными координатами. Если нет, потратьте некоторое время на присвоение имен точкам на сетке, прежде чем продолжить этот урок. Если учащиеся называют нецелые точки, например (1,5, 1,5), уделите время объяснению, почему они тоже находятся на прямой.
• Спросите: Не могли бы вы дать мне правило, как найти y, когда мы знаем x в этой строке? Обсудите, как связаны координаты, затем попросите учащихся записать правило в виде уравнения. Уравнение для этой линии: y = x .
• Скажем: Это была линия для уравнения y = x. H Как бы вы нарисовали линию для уравнения y = x + 3? Предложите учащимся самостоятельно провести линию. Если это возможно, попросите их объединиться в пары и сравнить их линии. Организуйте обсуждение различных линий, нарисованных учащимися, выделяя сходства и различия. Затем покажите один из способов рисования линии: подставьте несколько значений вместо 9.0301 x в уравнение, найдите соответствующие значения для y , а затем постройте эти пары координат. Две точки дают вам достаточно информации для проведения линии, но поскольку возможны ошибки, а человеческий рисунок не идеален, безопаснее создать по крайней мере три точки. Отобразите T-таблицу со связанными значениями x и y и нарисуйте график линии.
• Скажем: Как бы вы нарисовали линию для уравнения у = 2 х + 3? Учащиеся, скорее всего, будут использовать стратегию составления Т-таблицы и вычисления баллов. Если они забудут умножить свои значения x на 2 перед добавлением 3, напомните им о порядке операций (умножение или деление слева направо, затем сложение или вычитание слева направо). Попросите разных учащихся сформулировать разные точки зрения, обсуждая их рассуждения по ходу дела.
• Спросите: Кто-нибудь может дать мне число от –5 до 5? А как насчет числа от –10 до 10? Используйте эти числа для создания линейных уравнений. Первое число будет коэффициентом х , а второе будет добавлено к терму х . Создавайте уравнения, находите точки, затем рисуйте линии. Вы можете сделать это упражнение более похожим на игру, попросив учащихся бросать кубики с реальными или виртуальными числами. Если вы работали с наклоном, эти задачи также дадут вам возможность укрепить эту концепцию. (Спросите: как вы думаете, будет ли наклон этой линии положительным или отрицательным? Как вы думаете, он будет очень крутым или не таким крутым? Пройдет ли эта линия через начало координат?)

Линейные уравнения: развитие концепции

Материалы: Координатная сетка, которую могут видеть все учащиеся (сетка должна идти как минимум от –10 до +10 по обеим осям), инструмент для разметки сетки точками и линиями

• Скажем Когда мы создавали точки для линий на прошлом уроке, наши уравнения всегда выглядели одинаково. Другими словами, они всегда были в одной и той же форме. Сегодня мы рассмотрим, как они могут выглядеть по-разному.
• Скажем, Может кто-нибудь описать, как найти некоторые пары координат для линейного уравнения, 2 x + y = 15? Это двухшаговое уравнение. Решения включают присвоение значения x , затем умножение этого значения на 2, прежде чем пытаться выяснить, какое значение y удовлетворяло бы уравнению. Учащиеся могут использовать метод проб и ошибок или преобразовать уравнение, используя свойства равенства:

  Напишите уравнение.	2 x + y = 15
  Присвойте значение x .	2(3) + y = 15
  Умножить.	6 + y = 15
  Вычесть 6 с каждой стороны.	6 – 6 + y = 15 – 6
  Вычесть.	y = 9

  Это решение дает нам точку (3,9). Продолжайте находить решения или согласовывать пары для этого уравнения до тех пор, пока вы не будете удовлетворены тем, что учащиеся довольны процессом. Затем нанесите точки на сетку и нарисуйте линию.

• Скажем, Может кто-нибудь описать, как найти некоторые точки на линии, описываемой уравнением y + x/3 = 5?

  Напишите уравнение.	y + x /3 = 5
  Присвойте значение x .	у + 3/3 = 5
  Разделить.	y + 1 = 5
  Вычтите по 1 с каждой стороны.	y + 1 – 1 = 5 – 1
  Вычесть.	y = 4

  Это решение дает нам точку (3,4). Студенты могут заметить, что это не похоже на предыдущие линейные уравнения. Объясните, что, поскольку x /3 — это то же самое, что (1/3) x , x /3 по-прежнему является обычным термином. Продолжайте находить решения или согласовывать пары для этого уравнения до тех пор, пока вы не будете удовлетворены тем, что учащиеся довольны процессом. Затем нанесите точки на сетку и нарисуйте линию.
• Скажем, Кто-нибудь может описать, как найти некоторые точки на прямой, описываемой уравнением y – 6 = 2x?

  Напишите уравнение.	г – 6 = 2 x
  Присвойте значение x .	y – 6 = 2(3)
  Умножить.	y – 6 = 6
  Добавьте по 6 с каждой стороны.	у – 6 + 6 = 6 + 6
  Доп.	y = 12

  Это решение дает нам точку (3,12).

• К настоящему времени учащиеся должны были заметить, что простая замена x равна 0. Эта замена даст вам точку, в которой линия пересекает ось y . Предложите учащимся прийти к этому пониманию, если они не делают этого самостоятельно.

Советы по оценке

Когда учащиеся решают многошаговые уравнения, обратите особое внимание на то, соблюдают ли они порядок операций. Это важное алгебраическое понятие.

Кроме того, следите за тем, действительно ли учащиеся понимают, что свойства равенства говорят о том, что если вы делаете что-то с одной частью уравнения, вы ДОЛЖНЫ сделать то же самое с другой частью уравнения. То, что вы делаете, определяется действием, указанным уравнением. Если число вычитается из и и вы хотите и , чтобы быть само по себе, добавьте это число к каждой части уравнения, и его противоположное число «переместится» на другую часть уравнения. Точно так же, если y умножить на число, деление поможет вам получить y само по себе.

***

Ищете решение для учащихся 5-х классов и старше, которое поможет разблокировать изучение уравнений и формул линейных отношений и не только? Исследуйте Math 180 , революционный подход к математическому вмешательству.

Математика Мероприятия и уроки 6-8 классы 9-12 классы Вмешательство

Связанные материалы

• Дженнифер Прескотт
  Форма Участник

  07 октября 2022 г.

• Д-р Эми Эндо
  Директор по исследованиям в области образования, дополнительный язык и интервенция, грамотность

  27 сентября 2022 г.

• Дженнифер Прескотт
  Форма Участник

  27 сентября 2022 г.

Математика Мероприятия и уроки 6-8 классы 9 класс-12 Вмешательство

Подпишитесь на нашу рассылку новостей

Будьте первым, кто прочитает последние новости от Shaped .

Подписаться

Основной предмет: Математика

См. подробные описания курсов по математике ниже.

Быстрые ссылки:

Английский

Наука

Общественные исследования

Математическая поддержка

3126a-Essential Math I (0,5 Credit Ele, Gr. 9-12)

3126b-Essential Math II (0,5 MTH, GR. 9-12 )

3125A-Essential Math III (0,5 кредита ELE, Gr. 9-12)

3125B-Essential Math IV (0,5 кредита MTH, Gr. 9-12) 90 по рекомендации учителя

Курсы Essential Math предназначены для дополнения алгебры I и/или геометрии и сосредоточены на определенных математических понятиях, непосредственно связанных с успехом в математике в средней школе и за ее пределами. Обучение в классе будет отдавать приоритет визуальным и практическим моделям, умственным математическим стратегиям и обнаружению взаимосвязей между математическими идеями. Акцент также будет сделан на стратегиях успешного изучения математических ситуаций в других математических классах и в студенческом мире. Завершение двухлетнего курса приведет к получению 1 полного кредита по математике, который может заменить алгебру I, а также получение 1 дополнительного кредита по выбору. Учащиеся, прошедшие курс Essential Math в течение двух лет, успешно продемонстрируют владение алгебраическими понятиями, необходимыми для успешной сдачи экзамена EOC по алгебре I. Учащиеся сдают EOC в конце Essential Math 4 и могут перейти к геометрии.

9 класс

Алгебра I (1 кредит MTH, гр. 9-12) Номер курса: 3105A

Этот курс углубляет и расширяет понимание функций, уравнений и расширяет понимание функций, уравнений и расширяет понимание школьная математика. Основное внимание будет уделено: 1) отношениям между величинами и рассуждениям с уравнениями, 2) линейным и экспоненциальным отношениям, 3) полиномиальным выражениям и уравнениям и 4) квадратичным функциям и моделированию. Студенты будут анализировать, решать и использовать функции для моделирования ситуаций. Стандарты математической практики будут применяться на протяжении всего курса.

9-й и/или 10-го класса

Геометрия (1 кредит Mth, Gr. 10-12) КУРС НОМЕР: 3113

. Преповна Этот курс формализует и расширяет геометрический опыт учащихся средней школы. Учащиеся исследуют более сложные геометрические ситуации и углубляют свои объяснения геометрических отношений, переходя к формальным математическим аргументам. Использование жестких преобразований в начале курса дает учащимся объектив для изучения последующих геометрических концепций. Темы включают: 1) конгруэнтность, доказательство и конструкции; 2) подобие, доказательство и тригонометрия; 3) расширение до трех измерений; 4) связь алгебры и геометрии через координаты; 5) круги с координатами и без них. Стандарты математической практики будут применяться на протяжении всего курса.

Геометрия с отличием (1 кредит MTH, Gr. 9-10, взвешенный)
Номер курса: 3114

Пререквизиты: Алгебра I

Этот курс формализует и расширяет геометрический опыт учащихся средней школы. Учащиеся исследуют более сложные геометрические ситуации и углубляют свои объяснения геометрических отношений, переходя к формальным математическим аргументам. Использование жестких преобразований в начале курса дает учащимся объектив для изучения последующих геометрических концепций. Темы включают: 1) конгруэнтность, доказательство и конструкции; 2) подобие, доказательство и тригонометрия; 3) расширение до трех измерений; 4) связь алгебры и геометрии через координаты; 5) круги с координатами и без них. Стандарты математической практики будут применяться на протяжении всего курса.

10-й, 11-й и/или 12-го класса

Алгебра II (1 кредит Mth, Gr. 10-12) Курс Номер курса: 3115

. рекомендуется учителем)

Этот курс основан на работе из Алгебры I. Учащиеся расширят свой репертуар функций, включив в него многочлены и рациональные/радикальные функции. Студенты продолжат совершенствовать свои навыки решения уравнений над комплексными числами и решения экспоненциальных функций, используя свойства логарифмов. Стандарты математической практики будут применяться на протяжении всего курса.

Алгебра II-A (1 кредит MTH, Gr. 10-12) Номер курса: 3115A

Пререквизиты: Геометрия

Этот курс охватывает темы из первого семестра II обычного курса, Алгебра тем самым предоставляя студентам возможность углубленно изучать темы Алгебры II в расширенной версии. Студенты продолжат изучение функций, начатое в Алгебре I, и сосредоточатся на многочленах и рациональных/радикальных отношениях. Будет введена система комплексных чисел. Студенты будут использовать функции для моделирования отношений и определения решений проблем. Стандарты математической практики будут применяться на протяжении всего курса.

Honors Algebra II (1 кредит MTH, Gr. 10-12, взвешенный)
Номер курса: 3116

Пререквизиты: Геометрия (можно сдавать одновременно по рекомендации преподавателя)

900,студентов В этом курсе продемонстрирует глубокое математическое понимание через дополнительные проекты и оценки в дополнение к строгим требованиям Алгебры II. Учащиеся расширят свой набор функций, включив в него многочлены и рациональные/радикальные функции. Студенты продолжат совершенствовать свои навыки решения уравнений над комплексными числами и решения экспоненциальных функций, используя свойства логарифмов. Стандарты математической практики будут применяться на протяжении всего курса.

Вероятность и статистика (0,5 кредита MTH, гр. 10-12)
Номер курса: 3117

Пререквизиты: Алгебра I

проектирует, делает выводы и применяет правила вероятности. Основное внимание будет уделено решению реальных задач и математическим ситуациям в контексте. Стандарты математической практики будут применяться на протяжении всего курса.

11-й и/или 12-го класса

Алгебра II-B (1 кредит Mth, Gr. 11-12) Курс номер: 3115B

Пререквизит: Алгебра II-а-а-а

. Курс охватывает темы второго семестра обычного курса Алгебры II, что дает студентам возможность углубленно изучать темы Алгебры II в расширенной версии. Студенты продолжат моделирование с функциями. Студенты будут продвигать исследование, включая тригонометрические и логарифмические функции. Стандарты математической практики будут применяться на протяжении всего курса.

AP Статистика (1 кредит MTH, Gr. 11-12, взвешенный) Доступные кредиты колледжа по экзамену , Номер курса: 3124

Предварительные требования: Алгебра II или алгебра с отличием II

Этот курс эквивалентен вводный курс статистики в колледже, не основанный на исчислении. Курс знакомит студентов с основными понятиями и инструментами для сбора, анализа и получения выводов из данных. В курсе AP Statistics есть четыре темы: изучение данных, выборка и экспериментирование, прогнозирование закономерностей и статистические выводы. Учащиеся используют технологии, исследования, решение проблем и письменное изложение для построения концептуального понимания.

Алгебра колледжа (1 кредит MTH, Gr. 11-12, взвешенный) Доступный кредит колледжа , Номер курса: 3128

Предварительные требования: Алгебра II или Алгебра с отличием II типы уравнений и неравенств, функции и их обратные, теория уравнений высших степеней, системы уравнений, определители, логарифмы и экспоненты, приложения.

Алгебра для подготовки к колледжу (0,5 кредита MTH, Gr. 11-12) Номер курса: 3139

Предварительные требования: Алгебра II или Алгебра II-B

Этот курс предназначен для продолжения изучения концепций, связанных с полиномами, функциональными отношениями, рациональными, радикальными, экспоненциальными и логарифмическими функциями, для обеспечения готовности для курсов алгебры на уровне колледжей и университетов.

Предварительное исчисление с тригонометрией (1 кредит MTH, Gr. 11-12, взвешенный) Доступный кредит колледжа , Номер курса: 3119

Пререквизиты: Алгебра II или Алгебра с отличием II

Темы, рассматриваемые в этом курсе, включают определение, оценку и построение графиков функций предварительного исчисления и тригонометрии, комплексных чисел, последовательностей и рядов, конических сечений, построения тригонометрических тождеств, решения треугольников, и полярные координаты.

12-й класс

Математика 150 Pre-Calculus (1 кредит MTH, Gr. 12, взвешенный) Доступный кредит колледжа , Номер курса: 3143

Предварительные требования: алгебра II или алгебра с отличием II; невзвешенный средний балл 3.0 или лучше;   параллельное обучение по физике; сдача экзамена на готовность к исчислению

Этот курс представляет собой изучение различных типов алгебраических уравнений и неравенств, функций и их обратных значений, теории полиномиальных уравнений высших степеней, системы уравнений, определителей, логарифмов, экспонент и приложений. В этом курсе будет изучаться изучение тригонометрии и функций предварительного исчисления и их обратных функций, формул и тождеств, условных уравнений, радианной меры, длины дуги, угловой скорости, построения графиков функций и решений треугольников. Студенты должны самостоятельно добираться до MPI.

Математика 180 Исчисление I (1 кредит MTH, Gr. 12, взвешенный) Доступный кредит колледжа , Номер курса: 3144

Предварительные требования: предварительное исчисление с тригонометрией; невзвешенный средний балл 3.0 или лучше; параллельное обучение по физике; сдача экзамена на готовность к исчислению

Этот курс представляет собой введение в исчисление на уровне колледжа. Он охватывает темы функций, графиков, пределов и непрерывности, дифференцирования, максимумов и минимумов, приложений производной, антипроизводных и приложений интегрирования. Студенты должны самостоятельно добираться до MPI.

Математика 180/190 Исчисление I и II (1 кредит MTH, Gr.