Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра
| Справочник по математике | Алгебра | Комбинаторика |
При решении задач по комбинаторике используют следующие важные понятия
| Факториалы |
| Перестановки |
| Размещения |
| Сочетания |
Размещения
Рассмотрим следующую задачу.
Задача. 9 карточек пронумерованы числами 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Из этих карточек четыре наугад взятых карточки выкладываем в ряд. Сколько при этом можно получить различных четырехзначных чисел?
Решение.Сначала слева направо пронумеруем места в ряду, куда выкладываем карточки: первое место, второе, третье, четвертое.
На первое место можно положить одну из 9 карточек. Для этого есть 9 способов. В каждом из этих 9 способов на второе место можно положить одну из оставшихся 8 карточек. Таким образом, существует
способа, чтобы положить карточки на первое и второе места. В каждом из этих 72 способов на третье место можно положить одну из оставшихся 7 карточек. Следовательно, существует
способа, чтобы положить карточки на первое, второе и третье места. В каждом из этих 504 способов на четвертое место можно положить одну из оставшихся 6 карточек. Отсюда вытекает, что существует
различных способа, чтобы выложить в ряд 4 карточки из набора, состоящего из 9 пронумерованных карточек.
Таким образом, при выкладывании карточек можно получить 3024 различных четырехзначных числа.
Ответ: 3024.
При решении задачи мы провели подсчет числа способов раскладывания карточек, который является частным случаем общего метода подсчета числа размещений и заключается в следующем.
Определение 1. Рассмотрим множество, содержащее n элементов, и все его упорядоченные подмножества, содержащие k элементов. Каждое из этих подмножеств называют размещением из n элементов по k элементов.
Если обозначить символом число размещений из n элементов по k элементов, то будет справедлива формула:
| (1) |
В соответствии с определением факториала, формулу (1) можно также записать в виде:
В задаче множеством из n элементов является исходный набор из 9 пронумерованных карточек, а упорядоченным подмножеством из k элементов – 4 карточки, выложенные в ряд.
Таким образом, при решении задачи мы на частном примере подсчитали, чему равно число размещений из 9 элементов по 4 элемента, т.е. число
В соответствии с формулой (1),
что и было получено в задаче.
Замечание 1. Введенные в данном разделе размещения также называют размещениями без повторений.
Замечание 2. Из формул для числа перестановок и числа размещений вытекает формула
смысл которой заключается в следующем.
Утверждение. Размещение из n элементов по n элементов является перестановкой из n элементов.
Сочетания
Определение 2. Рассмотрим множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называют сочетанием из n элементов по k элементов.
Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается символом
Замечание 3. Важно отметить, что, в отличие от определения размещений, рассмотренные в определении сочетаний подмножества, содержащие k элементов, не являются упорядоченными. Поэтому, если в каждом подмножестве, содержащем k элементов (из определения 2), совершить всевозможные перестановки, количество которых равно k ! , то мы получим все размещения.
Таким образом, справедлива формула:
Следовательно,
откуда вытекает формула
| (2) |
Теперь рассмотрим несколько примеров подсчета числа сочетаний, которые непосредственно вытекают из формулы (2):
В заключение приведем часто используемое равенство, также непосредственно вытекающее из формулы (2):
Замечание 4.
С разделом справочника «Сочетания» близко связан раздел «Бином Ньютона», где приведены и доказаны свойства чисел сочетаний.
С понятиями факториала числа n и перестановок из n элементов можно познакомиться в разделе «Комбинаторика: факториалы и перестановки» нашего справочника.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Комбинаторика. Размещения, перестановки, сочетания | Математика, которая мне нравится
В комбинаторике изучают вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).
Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами Б. Паскаля и П. Ферма по теории азартных игр. Большой вклад в развитие комбинаторных методов внесли Г.В. Лейбниц, Я. Бернулли и Л. Эйлер.
Французский философ, писатель, математик и физик Блез Паскаль (1623–1662) рано проявил свои выдающиеся математические способности.
Круг математических интересов Паскаля был весьма разнообразен. Паскаль доказал одну
из основных теорем проективной геометрии (теорема Паскаля), сконструировал суммирующую машину (арифмометр Паскаля), дал способ вычисления биномиальных коэффициентов (треугольник Паскаля), впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции, сделал существенный шаг в развитии анализа бесконечно малых, сыграл важную роль в зарождении теории вероятности. В гидростатике Паскаль установил ее основной закон (закон Паскаля). “Письма к провинциалу” Паскаля явились шедевром французской классической прозы.
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) — немецкий философ, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. В математике наряду с И. Ньютоном разработал дифференциальное и интегральное исчисление. Важный вклад внес в комбинаторику. С его именем, в частности, связаны теоретико-числовые задачи.
Готфрид Вильгельм Лейбниц имел мало внушительную внешность и поэтому производил впечатление довольно невзрачного человека.
Однажды в Париже он зашел в книжную лавку в надежде приобрести книгу своего знакомого философа. На вопрос посетителя об этой книге книготорговец, осмотрев его с головы до ног, насмешливо бросил: “Зачем она вам? Неужели вы способны читать такие книги?” Не успел ученый ответить, как в лавку вошел сам автор книги со словами: “Великому Лейбницу привет и уважение!” Продавец никак не мог взять втолк, что перед ним действительно знаменитый Лейбниц, книги которого пользовались большим спросом среди ученых.
В дальнейшем важную роль будет играть следующая
Лемма. Пусть в множестве элементов, а в множестве — элементов. Тогда число всех различных пар , где будет равно .
Доказательство. Действительно, с одним элементом из множества мы можем составить таких различных пар, а всего в множестве элементов.
Размещения, перестановки, сочетания
Пусть у нас есть множество из трех элементов . Какими способами мы можем выбрать из этих элементов два? .
Определение. Размещениями множества из различных элементов по элементов называются комбинации, которые составлены из данных элементов по > элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.
Число всех размещений множества из элементов по элементов обозначается через (от начальной буквы французского слова “arrangement”, что означает размещение), где и .
Теорема. Число размещений множества из элементов по элементов равно
Доказательство. Пусть у нас есть элементы . Пусть — возможные размещения. Будем строить эти размещения последовательно. Сначала определим — первый элемент размещения. Из данной совокупности элементов его можно выбрать различными способами. После выбора первого элемента для второго элемента остается способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Поэтому имеем:
Пример.
Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов?
Решение. Искомое число трехполосных флагов:
Определение. Перестановкой множества из элементов называется расположение элементов в определенном порядке.
Так, все различные перестановки множества из трех элементов — это
Очевидно, перестановки можно считать частным случаем размещений при >.
Число всех перестановок из элементов обозначается (от начальной буквы французского слова “permutation”, что значит “перестановка”, “перемещение”). Следовательно, число всех различных перестановок вычисляется по формуле
Пример. Сколькими способами можно расставить ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
Решение. Искомое число расстановки ладей
по определению!
Определение.
k
1. .
Действительно, каждому -элементному подмножеству данного -элементного множества соответствует одно и только одно -элементное подмножество того же множества.
2. .
Действительно, мы можем выбирать подмножества из элементов следующим образом: фиксируем один элемент; число -элементных подмножеств, содержащих этот элемент, равно ; число -элементных подмножеств, не содержащих этот элемент, равно .
Треугольник Паскаля
В этом треугольнике крайние числа в каждой строке равны 1, а каждое не крайнее число равно сумме двух чисел предыдущей строки, стоящих над ним. Таким образом, этот треугольник позволяет вычислять числа .
.
Теорема.
Доказательство. Рассмотрим множество из элементов и решим двумя способами следующую задачу: сколько можно составить последовательностей из элементов данного
1 способ.
Выбираем первый член последовательности, затем второй, третий и т.д. член
2 способ. Выберем сначала элементов из данного множества, а затем расположим их в некотором порядке
Домножим числитель и знаменатель этой дроби на :
Пример. Сколькими способами можно в игре “Спортлото” выбрать 5 номеров из 36?
Искомое число способов
Задачи.
1. Номера машин состоят из 3 букв русского алфавита (33 буквы) и 4 цифр. Сколько существует различных номеров автомашин?
2. На рояле 88 клавиш. Сколькими способами можно извлечь последовательно 6 звуков?
4. Сколькими способами можно разложить 7 разных монет в три кармана?
5. Сколько можно составить пятизначных чисел, в десятичной записи которых хотя бы один раз встречается цифра 5?
6.
Сколькими способами можно усадить 20 человек за круглым столом, считая способы одинаковыми, если их можно получить один из другого движением по кругу?7. Сколько есть пятизначных чисел, делящихся на 5, в записи которых нет одинаковых цифр?
8. На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см нарисована окружность радиуса 100 см, не проходящая через вершины клеток и не касающаяся сторон клеток. Сколько клеток может пересекать эта окружность?
9. Сколькими способами можно расставить в ряд числа так, чтобы числа стояли рядом и притом шли в порядке возрастания?
10. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр , если каждую цифру можно использовать только один раз?
11. Из слова РОТ перестановкой букв можно получить еще такие слова: ТОР, ОРТ, ОТР, ТРО, РТО. Их называют анаграммами. Сколько анаграмм можно составить из слова ЛОГАРИФМ?
12. Назовем разбиением натурального числа представление его в виде суммы натуральных чисел.
Вот, например, все разбиения числа :
Разбиения считаются разными, если они отличаются либо числами, либо порядком слагаемых.
Сколько существует различных разбиений числа на слагаемых?
13. Сколько существует трехзначных чисел с невозрастающим порядком цифр?
14. Сколько существует четырехзначных чисел с невозрастающим порядком цифр?
16. девочек и мальчиков рассаживаются произвольным образом в ряду из мест. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы никакие две девочки не сидели рядом?
17. девочек и мальчиков рассаживаются произвольным образом в ряду из мест. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы все девочки сидели рядом?
MCAS 2013 Практический тест по математике для 10 класса
%PDF-1.6
%
353 0 объект
>/ViewerPreferences>/Metadata 1901 0 R/Pages 349 0 R/OpenAction 858 0 R/StructTreeRoot 131 0 R/Type/Catalog/Lang(EN)/PageLabels 346 0 R>>
эндообъект
1901 0 объект
>поток
2012-09-20T10:34:13-04:002012-09-20T12:08:54-04:002012-09-20T12:08:54-04:00Adobe InDesign CS4 (6.
0.5)
did:A678AABF2E03E211B6438BDEFA0C62BFadobe:docid:indd:c8b19f21-7b6f-11dd-adab-808bb953f3f8proof:pdfxmp.iid:A578AABF2E03E211B6438BDEFA0C62BFxmp.did:948718B636E2E111B2F5D5DD8B048274adobe:docid:indd:c8b19f21-7b6f-11dd- adab-808bb953f3f8default
iid:928718B636E2E111B2F5D5DD8B0482742012-08-09T12:03:04-04:00Adobe InDesign 6.0/
iid:0E697F090EFCE11193A6809DFCEB648E2012-09-11T10:12:46-04:00Adobe InDesign 6.0/
iid:72B5485E1CFCE11193A6809DFCEB648E2012-09-11T10:26:27-04:00Adobe InDesign 6.0/
0072.00Inchesuuid:84BA40C0A5CBDD11BDF4ACDE4BEA577Duuid:82BA40C0A5CBDD11BDF4ACDE4BEA577DВступительные онлайн-тесты для старших классов
Вступительные тесты для старших классов — математика и словесность
В Keystone мы поддерживаем уникальные сильные стороны и интересы каждого учащегося с помощью интерактивной и увлекательной учебной программы для старших классов, которая помогает учащимся усвоить цели урока, адресовать обучение пробелы и продолжать свой путь к успеху после окончания учебы.
Учебная программа средней школы Keystone позволяет учащимся учиться в интерактивном, богатом мультимедийными средствами учебном плане в удобном для них темпе.
Наша цель — подготовить учащихся к успеху, поместив их на правильный уровень по каждому предмету, который они изучают. Потратив время на то, чтобы ваш ребенок прошел один или несколько тестов для поступления в среднюю школу, вы сможете лучше определить, какой уровень математики или языковых курсов лучше всего подходит.
Перед сдачей экзамена ознакомьтесь с приведенными ниже рекомендациями. Затем следуйте приведенным ниже инструкциям по оцениванию.
Подготовка к вступительным экзаменам в средней школе
Учащиеся должны выделять не менее одного часа на выполнение каждого вступительного экзамена в старшую школу в месте, где их ничто не отвлекает. Если вы не можете сдать экзамен за один присест, планируйте завершить его не более чем за два сеанса.
Выделите немного времени перед началом экзамена, чтобы подготовить свое рабочее место, избегая мест с интенсивным движением вашего дома. Убедитесь, что у вас есть доступ к бумаге и карандашам, чтобы вам не приходилось искать эти предметы, когда это необходимо.
Сдача вступительных экзаменов в среднюю школу
Доступ к каждому тесту можно получить по ссылкам ниже. Грамматика и композиция — это базовый курс языковых искусств Keystone. Чтобы определить, стоит ли вам начинать изучение грамматики и композиции, вы можете сдать наш вступительный экзамен по словесности.
Экзамен по математике 1-го уровня (готовность к алгебре 1)
Экзамен по математике 2 уровня (готовность к алгебре 2)
Экзамен по математике 3 уровня (готовность к предварительному исчислению или тригонометрии)
Экзамен по словесности, уровень 1 (грамматика и сочинение)
Не забудьте выполнить все вопросы, используя отведенное место и обратную сторону экзаменационного листа для решения задач.
Ответьте на каждый вопрос четко и полностью. Не полагайтесь на сторонние ресурсы или поддержку семьи или друзей, чтобы сдать вступительные экзамены в среднюю школу. Если предоставляется дополнительная помощь, результаты не будут точно отражать уровень размещения, и вы можете записаться на курс, к которому вы не готовы.
Выставление оценок за вступительные экзамены в среднюю школу
Родитель, опекун, учитель, репетитор или другой специалист в области образования может выставлять оценки за экзамен, используя следующие коды:
Математический уровень 1 Ответный ключ
Математический уровень 2 Ключ ответа
Математический уровень 3 Ключ ответа
Ключ к ответу на 1 уровень словесности
Пожалуйста, имейте в виду следующие требования при оценке вступительных тестов средней школы:
Все ответы должны быть помечены как «Правильно» или «Неверно».
За каждый правильный ответ начисляется один («1») балл.Ответ на сочинение оценивается в 20 баллов. Используйте раздел таблицы эссе ключа для ответов, чтобы определить балл.
Внизу каждой страницы запишите общее количество баллов, начисленных за эту страницу.
С помощью таблицы результатов найдите экзамен по названию. Затем найдите балл, который был получен на экзамене. В соответствии с этой оценкой вы найдете рекомендуемый план действий.
За каждый правильный ответ начисляется один («1») балл.Результаты могут указывать на необходимость пройти еще один тест для поступления в среднюю школу. Если это так, выберите правильный вступительный экзамен выше и завершите его, как указано.
После того, как все соответствующие экзамены будут сданы, можно будет выбрать курс. Обязательно обратитесь к Таблице результатов для получения дополнительных предложений по выбору курсов. После выбора курсов просмотрите каталог курсов, чтобы получить подробную информацию о курсе.
Имя: *
Фамилия: *
Адрес электронной почты: *
Уровень образования: *
-Select-Начальная школаСредняя школаСтаршая школа
Страна: *
-Select-United StatesAlbaniaAlgeriaAmerican SamoaAndorraAngolaAnguillaAntarcticaAntigua and BarbudaArgentinaArmeniaArubaAustraliaAustriaAzerbaijanBahamasBahrainBangladeshBarbadosBelarusBelgiumBelizeBeninBermudaBhutanBoliviaBosnia and HerzegovinaBotswanaBouvet IslandBrazilBritish Indian Ocean TerritoryBrunei DarussalamBulgariaBurkina FasoBurmaBurundiCambodiaCameroonCanadaCape VerdeCayman IslandsCentral African RepublicChadChileChinaChristmas IslandCocos (Keeling) IslandsColombiaComorosCongoCongoCook IslandsCosta RicaCroatiaCyprusCzech RepublicDenmarkDjiboutiDominicaDominican RepublicEast TimorEcuadorEgyptEl SalvadorEnglandEquatorial GuineaEritreaEspanaEstoniaEthiopiaFalkland IslandsFaroe IslandsFijiFinlandFranceFrench GuianaFrench PolynesiaFrench Southern TerritoriesGabonGambiaGeorgiaGermanyGhanaGibraltarGreat BritainGreeceGreenlandGrenadaGuadeloupeGuamGuatemalaGuineaGuinea-BissauGuyanaHaitiHeard and McDonald IslandsHondurasHong KongHungaryIcelandIndiaIndonesiaIrelandIsrael ItalyCote d’IvoireJamaicaJapanJordanKazakhstanKenyaKiribatiKorea (South)KoreaKuwaitKyrgyzstanLao People’s Democratic RepublicLatviaLebanonLesothoLiberiaLiechtensteinLithuaniaLuxembourgMacauMacedonia MadagascarMalawiMalaysiaMaldivesMaliMaltaMarshall IslandsMartiniqueMauritaniaMauritiusMayotteMexicoMicronesiaNorthern Mariana IslandsMoldovaMonacoMongoliaMontserratMoroccoMozambiqueMyanmarNamibiaNauruNepalNetherlandsNetherlands AntillesNew CaledoniaNew ZealandNicaraguaNigerNigeriaNiueNorfolk IslandNorthern IrelandNorwayOmanPakistanPalauPanamaPapua New GuineaParaguayPeruPhilippinesPitcairnPolandPortugalPuerto RicoQatarReunionRomaniaRussiaRussian FederationRwandaSaint Kitts and NevisSaint LuciaSaint Vincent and the GrenadinesSamoa (Independent)San MarinoSao Tome and PrincipeSaudi ArabiaScotlandSenegalSeychellesSierra LeoneSingaporeSlovakiaSloveniaSolomon IslandsSomaliaSouth AfricaSouth KoreaSpainSri LankaSt.
ЕленаСв. Pierre and MiquelonSurinameSvalbard and Jan Mayen IslandsSwazilandSwedenSwitzerlandTaiwanTajikistanTanzaniaThailandTogoTokelauTongaTrinidadTrinidad and TobagoTunisiaTurkeyTurkmenistanTurks and Caicos IslandsTuvaluUgandaUkraineUnited Arab EmiratesUnited KingdomUnited States Minor Outlying IslandsUruguayUzbekistanVanuatuVatican City State (Holy See)VenezuelaViet NamVirgin Islands (British)WalesVirgin Islands (U.S.)Wallis and Futuna IslandsWestern SaharaYemenZambiaZimbabwe
Состояние: *
-Select-AlabamaAlaskaArizonaArkansasCaliforniaColoradoConnecticutDistrict of ColumbiaDelawareFloridaGeorgiaHawaiiIdahoIllinoisIndianaIowaKansasKentuckyLouisianaMaineMarylandMassachusettsMichiganMinnesotaMississippiMissouriMontanaNebraskaNevadaNew HampshireNew JerseyNew MexicoNew YorkNorth CarolinaNorth DakotaOhioOklahomaOregonPennsylvaniaRhode IslandSouth CarolinaSouth DakotaTennesseeTexasUtahVermontVirginiaWashingtonWest VirginiaWisconsinWyoming
Номер телефона: *
Я: *
-Select-Parent/GuardianStudent School Official
Предоставляя эту информацию, вы соглашаетесь с тем, что представитель K12 или школы свяжется с вами напрямую по указанному номеру, будь то лицо или устройство, которое будет автоматически набирать ваш домашний или мобильный телефон.