Найти решебник по алгебре 10 класс: ГДЗ по Алгебре 10 класс

Пояснение:

Как показано в приведенном выше примере, мы вычисляем значение переменной из одного уравнения и подставляем его в другое.

Нам дано, что

у = 24 — 4х —— (1)
2x + y / 2 = 12 —— (2)

Здесь мы выбираем уравнение (1) для вычисления значения x. Поскольку уравнение (1) уже находится в самая упрощенная форма:

(Подставляя это значение y в уравнение (2), а затем решая для x дает)

2x + (24-4x) / 2 = 12 —— (2) (∵ y = 24 — 4x)
2x + 24 / 2- 4x / 2 = 12
2x + 12 — 2x = 12
12 = 12

Вы можете подумать, что это тот же сценарий, что обсуждался выше (24 = 24). Но ждать! Вы слишком рано пытаетесь сделать вывод. В предыдущем сценарии результат 24 = 24 был получен потому, что мы поместили значение переменной в то же уравнение, что и используется для его вычисления. Здесь мы этого не сделали.

Результат 12 = 12 имеет какое-то отношение к природе системы уравнений, которую мы даны.Независимо от того, какой метод решения вы можете использовать, решение системы линейных уравнения лежит в единственной точке, где их линии пересекаются. В этом сценарии две строки в основном одинаковы (одна линия над другой. На следующем рисунке показан этот сценарий.

Такая система называется зависимой системой уравнения. И решение такой системы — это вся линия (каждая точка на линии — это точка пересечения двух линий)

Следовательно, решением данной системы уравнений является вся строка: y = 24 — 4x

Другой возможный сценарий:

Подобно этому примеру, существует другой сценарий, в котором замена одной переменной в уравнение 2 ^и приводит к результату, аналогичному показанному ниже:

23 = –46

или

5 = 34

Такой сценарий возникает, когда не существует решения данной системы уравнений. Т.е., когда две линии вообще не пересекаются ни в одной точке.

Следовательно, в случае такого результата, когда кажется, что ваши основные математические правила не работают, простой вывод заключается в том, что решения данной системы не существует. Такая система уравнений называется системой Несогласованная .

10 лучших приложений по алгебре для загрузки для Android и iPhone

Никто не любит домашнее задание! Хорошо, что сегодня дети живут во времена, когда существуют лучшие приложения по алгебре. Эти приложения улучшат навыки и подход любого учащегося к решению проблем.

All Digital School предоставляет только лучшие ресурсы для родителей, учеников и учителей. Помимо нашего каталога ресурсов, у нас также есть форум сообщества и группа в Facebook. У нас есть это и многое другое.

Если вашим детям нужен надежный помощник по вычислению чисел, эти 10 лучших приложений по алгебре взорвут калькуляторы из воды.

Лучшие приложения по алгебре для Android и iPhone

Независимо от того, используют ли ваши дети или ученики iPad, iPhone или Pixels для учебы, эти лучшие приложения по алгебре помогут им справиться с любой популярной викториной.

Wolfram | Альфа

Цены:

• 2 доллара.99
• 6,99 долларов США за ежемесячную подписку
• 65,99 долларов США за годовую подписку

С задиристым именем действительно классное приложение. WolframAlpha — это приложение для решения уравнений и многое другое.

Wolfram | Alpha — это компактный Google для гиков с дополнительными возможностями! Он обладает вычислительным интеллектом, который отвечает даже на нематематические вопросы. Он даже может создавать отчеты. Но в отличие от Google, он может отвечать на вопросы и давать конкретные решения математических задач, например, пошаговые действия.2 + 29x + 6 дюймов, понимание финансовых вопросов, расчет единиц измерения и измерения. Вы даже можете задать викторины из фильмов и вопросы, связанные со здоровьем. Например, если вы хотите узнать калорийность различных блюд быстрого приготовления, вы можете просто спросить Wolfram | Alpha.

Wolfram | Alpha имеет как бесплатную, так и премиальную версии, но некоторые пользователи клянутся, что первой уже более чем достаточно. Если ваш ребенок изучает STEM, это приложение ему пригодится.

Графический калькулятор X

Цена: бесплатно

X известен как лучшая упрощенная альтернатива аппаратным калькуляторам.Это одно из лучших приложений по алгебре, особенно для студентов, изучающих естественные науки.

Помимо универсального калькулятора, в нем также есть решатель для алгебраических, квадратичных, линейных и полиномиальных уравнений с двумя переменными. Он имеет расширенные функции, такие как Sin, Cos, Ln, E и т. Д. Вы также можете создавать 2-мерные графики, статистические списки и матрицы.

Что касается интерфейса приложения, вы можете настроить его с помощью светлой или темной темы. Он имеет математический дисплей и позволяет редактировать или экспортировать результат, если вы хотите поделиться им.

X прост в освоении и очень удобен для студентов. У него определенно есть что предложить, чем физические и графические калькуляторы.

Photomath

Цены:

• Бесплатная версия
• Бесплатная пробная версия Photomath Plus
• Pro — Photomath Plus

Photomath не новичок в мире математических приложений. Это знает почти каждый учащийся с гаджетом, у которого проблемы с математикой.И есть несколько веских причин, по которым это одно из самых популярных, если не одно из лучших приложений для алгебры.

Photomath бесплатен и готов к использованию в автономном режиме. Лучше всего его использовать студенты, которые хотят учиться где угодно — в классах, в автобусе, в библиотеке и т. Д. Это так удобно.

Photomath также является одним из наиболее полных математических приложений. Он охватывает алгебраические уравнения, геометрию, тригонометрию, исчисление и статистику. Это поможет вам понять проблемы со словами, предоставив больше контекста и объясняя их.

Вы также можете получить доступ к пошаговым действиям, многочисленным предложениям по решению и анимированным руководствам. Вы также не проиграете с интерактивным графиком и встроенным научным калькулятором.

Photomath — это гигант, которого нельзя пропустить — его великолепные качества просто выделяют его.

Мозг

Цена:

• Бесплатная версия
• 23,99 долл. США — Brainly Plus — Годовая подписка

Brainly — это «Quora» для домашних заданий учащихся.Здесь студенты задают вопросы по домашнему заданию и получают ответы от студентов, сертифицированных специалистов и экспертов по предмету.

В Brainly вы можете рассчитывать на быстрые ответы. С 200 миллионами участников на сайте это неудивительно. Вы можете спросить о чем угодно, не только об алгебраических уравнениях — вы можете спросить об истории, географии, химии, физике, философии и даже о тех вещах, которые не дают вам уснуть по ночам.

В этом приложении студент может даже стать мастером.Вы можете помочь своим однокурсникам выполнить домашнее задание, предоставив им ответы. И вы не сделаете это бесплатно — вы будете зарабатывать баллы по пути.

Brainly бесплатен, но если вы хотите больше хороших вещей, вы можете подписаться на Brainly Plus.

Socratic — Помощь по математике и домашним заданиям

Цена: бесплатно

Итак, это одно умное приложение. Сократик делает то, что у него получается лучше всего — помогает вам отвязаться от сложных вещей.Учащиеся старших классов и студенты колледжей могут держать это в своих телефонах — и они никогда не смогут остаться в темноте со своим домашним заданием.

В приложении есть гигантская база данных, любезно предоставленная Google AI, в которой вы можете копать, используя свой голос, клавиатуру или камеру. Что это за ресурсы? Есть видео, тщательно подобранные учебные пособия, наглядные уроки и пошаговые объяснения.

Вы сможете не только решать алгебраические уравнения, но и отвечать на вопросы по географии, философии, экологии, истории, физике и т. Д.

Socratic — это та рука помощи, которую вы хотели бы зажать, когда находитесь в вихре проектов, заданий и экзаменов.

Mathway

Цены:

• Бесплатно
• $ 19,99 — Ежемесячная подписка

Mathway идет вперед во всем, что связано с математикой. Он решает уравнения, и это хорошо получается. Неважно, почесываете ли вы голову при выполнении задания по алгебре или математического анализа, Mathway поможет расчистить путь.

В приложении вы можете решать предалгебру, алгебру, тригонометрию и исчисление. Как ты это делаешь? Вы просто набираете проблему или вопрос в приложении и ждете некоторое время, чтобы получить бесплатные и бесплатные ответы. Вы можете получить их мгновенно, а также можете нажать, чтобы получить пошаговое объяснение.

Если ваши руки уже болят от письма или вы не можете найти нужный символ для уравнения, вы также можете сфотографировать проблему или вопрос.

Mathway — отличный инструмент для учебы.Он не претендует на то, чтобы быть чем-то большим, чем он есть, и именно поэтому многие студенты любят использовать его для решения своих сложных задач.

Математика с друзьями

Цена: бесплатно

Если вам нужно нечто большее, чем просто помощник по учебе, тогда сыграйте в игру. Просто поставьте «Математику с друзьями» на первое место в списке.

Math With Your Friends — обучающая мобильная игра. Это похоже на «Слова с друзьями», но для студентов-математиков и групповых групп, которым нравятся числа.

В приложении вы можете играть с плитками, на которых вместо букв отображаются числа и операторы (+, -, /, * и +). И вместо того, чтобы составлять слова, вам нужно составлять математические уравнения, используя плитки, а затем набирать очки.

Math with Your Friends есть встроенный чат. Вы также можете зарабатывать монеты и получать удовольствие, используя режим Challenger.

Это отличная игра-ледокол, которая все еще научит вас больше знакомиться с алгебраическими уравнениями.

MathPapa — Калькулятор алгебры

Цены:

• Бесплатно
• 9,99 долл. США — ежемесячная подписка
• 49,99 долл. США — Обновление Pro

Как и Mathway, MathPapa является прямым стрелком. Вы можете получить то, что вам обещали.

Используя MathPapa, вы можете решать линейные и квадратные уравнения и неравенства. Вы также можете оценивать выражения, квадратные множители и уравнения графиков.Также есть возможность просмотреть пошаговые решения.

В приложении вы можете просто ввести свое уравнение и дождаться просмотра пошагового объяснения решения. Просто запомните символ, который распознает калькулятор MathPapa.

MathPapa одинаково любим как учениками, так и учителями и родителями. Если вам нужен родительский совет в выполнении домашнего задания, MathPapa может вам помочь!

Cymath

Цены:

Cymath — это как надежный друг — он помогает вам решить вашу проблему и понимает даже самые запутанные анекдоты и почерк.Да, вы можете сделать снимок своего рукописного математического уравнения, и Cymath поможет вам его решить.

Приложение предлагает пошаговое решение широкого круга математических задач. Вы можете ответить на домашнее задание по алгебре, тригонометрии и даже графике. Он может заниматься генерацией графов, асимптотами, перехватами и многим другим.

Если вы получаете платную подписку, вы можете даже выйти за рамки пошагового объяснения. Вы также можете узнать, почему был сделан шаг, и прочитать объяснение.После подписки больше не будет надоедливой рекламы.

Cymath — надежный решатель алгебры, и вы можете использовать его для решения любой математической задачи, с которой в настоящее время имеете дело.

Калькулятор MyScript

Цены:

• Бесплатно
• 2,99 $ — Платная версия

Наконец, у нас есть этот уникальный решатель алгебраических уравнений. MyScript обещает превратить ваш обычный лист бумаги в интерактивный цифровой.А затем вы можете приступить к удалению этих цифр и букв.

В приложении вы можете редактировать жесты, добавлять новые элементы и решать, будут ли результаты в десятичных, дробных или смешанных числах. Вы также можете писать уравнения на холсте, не используя клавиатуру. Перетаскивание чисел — тоже не проблема.

Если вы учитесь в группе, вы также можете экспортировать уравнения. MyScript Calculator — одно из лучших приложений для алгебры, и было бы ошибкой упустить его.

Заключение

Это лучшие приложения по алгебре, которые вы могли бы найти, когда математика доставляет вам трудные времена. Возможно, они не сделают вас умнее, но наверняка подтолкнут вас к этому.

Связанные вопросы

Какие математические приложения для малышей самые лучшие?

Вы можете попробовать Zoolingo, приложение, в котором есть дошкольные игры, головоломки и задания. Его можно загрузить бесплатно и доступно на 16 языках.

Какое бесплатное математическое приложение самое лучшее?

Мы настоятельно рекомендуем Photomath. Это одно из важнейших, если не самое лучшее приложение по алгебре, а самое главное, оно бесплатное!

Хотите узнать больше о математических приложениях и ресурсах?

All Digital School — это место номер один для поиска ваших онлайн-школ. Хотите получать последние новости от учителей и родителей? Почему бы не зарегистрироваться на нашем сайте?

Вы также можете зарегистрироваться через свою учетную запись Facebook или Google. Нажмите любую из кнопок ниже.

Знаете ли вы другие приложения для решения алгебраических уравнений? Не стесняйтесь поделиться ими с нашими однокурсниками и учителями в комментариях ниже!

Заданий по алгебре

Добро пожаловать на страницу рабочих листов по алгебре в Math-Drills.com, где неизвестные являются общими, а переменные — нормой. На этой странице вы найдете рабочие листы по алгебре в основном для учащихся средних школ по таким темам алгебры, как алгебраические выражения, уравнения и функции построения графиков.

Эта страница начинается с некоторых пропущенных рабочих листов для младших школьников. Затем мы сразу переходим к алгебре, помогая студентам распознавать и понимать основной язык, связанный с алгеброй. Остальная часть страницы посвящена некоторым основным темам, с которыми вы столкнетесь в модулях алгебры.Помните, что, обучая студентов алгебре, вы помогаете создавать будущих финансовых гениев, инженеров и ученых, которые решат все проблемы нашего мира.

Алгебра намного интереснее, когда вещи более реальны. Решать линейные уравнения намного веселее с двумя весами, загадочными мешочками и кучей мармеладов. Многие учителя используют плитки алгебры, чтобы помочь студентам понять различные темы алгебры. И нет ничего лучше набора осей координат для решения систем линейных уравнений.

Самые популярные задания по алгебре на этой неделе

Рабочий лист свойств и законов чисел

Коммутативный закон

Коммутативный закон или коммутативное свойство гласит, что вы можете изменить порядок чисел в арифметической задаче и при этом получить те же результаты. В контексте арифметики он работает только с операциями сложения или умножения , но не с смешанными операциями сложения и умножения.Например, 3 + 5 = 5 + 3 и 9 × 5 = 5 × 9. Забавное занятие, которое вы можете использовать в классе, — это мозговой штурм нечисловых вещей из повседневной жизни, которые являются коммутативными и некоммутативными. Например, надевание носков является коммутативным, потому что вы можете надеть правый носок, затем левый, или вы можете надеть левый носок, затем правый носок, и вы получите тот же результат. Однако надевание нижнего белья и брюк не является обязательным.

Ассоциативный закон

Ассоциативный закон или ассоциативное свойство позволяет изменять группировку операций в арифметической задаче с двумя или более шагами без изменения результата.Порядок чисел остается неизменным в ассоциативном законе. Как и в случае с законом коммутативности, применяется к задачам только сложения или только умножения. Его лучше всего рассматривать в контексте порядка операций, поскольку он требует, чтобы в первую очередь работали со скобками. Пример ассоциативного закона: (9 + 5) + 6 = 9 + (5 + 6). В этом случае не имеет значения, добавляете ли вы сначала 9 + 5 или 5 + 6, вы получите тот же результат. Студенты могут вспомнить несколько примеров из своего опыта, например, ставить предметы на поднос во время обеда.Они могут сначала положить на поднос молоко и овощи, затем бутерброд, или начать с овощей и бутерброда, а затем добавить молоко. Если их лоток выглядит одинаково оба раза, они смоделировали ассоциативный закон. Можно утверждать, что чтение книги является ассоциативным или неассоциативным, поскольку потенциально можно сначала прочитать последние главы и при этом понять книгу так же, как и тот, кто читает книгу обычным способом.

Обратные отношения с

Обратные отношения охватывают навыки предварительной алгебры, призванные помочь студентам понять взаимосвязь между умножением и делением, а также взаимосвязь между сложением и вычитанием.

Обратные отношения с

Пропущенные числа или неизвестные в таблицах уравнений

Отсутствующие числа в таблицах уравнений трех типов: пробелы для неизвестных, символы для неизвестных и переменные для неизвестных.

Рабочие листы с пропущенными номерами с

В этих таблицах неизвестное ограничено стороной вопроса в уравнении, которая может быть слева или справа от знака равенства.

Рабочие листы с пропущенными числами с

Равенства с добавлением

Рабочие листы с пропущенными числами с неизвестными

Решение простых линейных уравнений

Рабочие листы по алгебраическим выражениям

Использование распределительного свойства

Дистрибутивность — важный навык в алгебре. Проще говоря, это означает, что вы можете разделить один из множителей при умножении на слагаемые, умножить каждое слагаемое отдельно, сложить результаты, и вы получите тот же ответ. Это также полезно в мысленной математике, и пример этого должен помочь проиллюстрировать определение. Рассмотрим вопрос 35 × 12. Разделение 12 на 10 + 2 дает нам возможность ответить на вопрос мысленно, используя свойство распределенности. Сначала умножьте 35 × 10, чтобы получить 350. Во-вторых, умножьте 35 × 2, чтобы получить 70.Наконец, прибавьте 350 + 70, чтобы получить 420. В алгебре свойство распределения становится полезным в тех случаях, когда нельзя легко сложить другой множитель перед умножением. Например, в выражении 3 (x + 5) нельзя сложить x + 5, не зная значения x. Вместо этого свойство распределения можно использовать для умножения 3 × x и 3 × 5, чтобы получить 3x + 15.

Правила экспонент и свойства

Практика с

Как сказано в названии, эти рабочие листы включают только основные вопросы по правилам экспоненты. Каждый вопрос имеет дело только с двумя экспонентами; запутанные сложные термины и вещи, которые мог бы понять более продвинутый студент, остаются в покое. Например, 4 ² равно (2 ² ) ² = 2 ⁴ , но эти рабочие листы просто оставляют его как 4 ² , поэтому студенты могут сосредоточиться на изучении того, как умножать и делить показатели более или менее. в изоляции.

Линейные выражения и уравнения

Рабочие листы линейных уравнений, включая упрощение, построение графиков, оценку и решение систем линейных уравнений.

Знание языка алгебры может помочь понять смысл словесных задач и ситуаций за пределами школы. В этих рабочих листах студентам предлагается преобразовать фразы в алгебраические выражения.

Комбинирование одинаковых терминов — это то, что часто происходит в алгебре. Студенты могут познакомиться с темой и немного попрактиковаться с этими рабочими листами. Полоса поднимается с добавлением и вычитанием версий, которые вводят круглые скобки в выражения. Для студентов, которые хорошо разбираются в дробях, упрощение простых рабочих листов алгебраических дробей представляет собой небольшую проблему по сравнению с другими рабочими листами в этом разделе.

Линейное уравнение

Построение графиков линейных уравнений и чтение существующих графиков дает учащимся наглядное представление, которое очень полезно для понимания концепций наклона и пересечения по оси Y.

Решение линейных уравнений с мармеладом — это увлекательное занятие для студентов, впервые изучающих алгебраические понятия. В идеале вам понадобятся непрозрачные пакеты без массы, но поскольку это невозможно (часть без массы), здесь есть небольшое условие, которое на самом деле поможет студентам лучше понять уравнения. Любые мешки, которые вы используете, должны быть сбалансированы по другую сторону уравнения с пустыми мешками.

Наверное, лучший способ проиллюстрировать это на примере.Давайте используем 3 x + 2 = 14. Вы можете распознать x как неизвестное, что на самом деле является количеством мармеладов, которые мы кладем в каждый непрозрачный пакет. Число 3 в 3 x означает, что нам нужно три сумки. Лучше всего наполнить пакеты необходимым количеством мармеладов вне поля зрения учащихся, чтобы им действительно пришлось решать уравнение.

На одной стороне весов с двумя чашами поместите три пакета с мармеладом размером x в каждом и два рыхлых мармелада, чтобы представить + 2 часть уравнения.С другой стороны баланса поместите 14 мармеладов и три пустых мешка, которые, как вы заметите, необходимы для правильного «баланса» уравнения. А теперь самое интересное … если ученики удаляют две рыхлые мармеладки с одной стороны уравнения, все становится неуравновешенным, поэтому им нужно удалить две мармеладки с другой стороны весов, чтобы сохранить равновесие. Кушать мармелад необязательно. Цель состоит в том, чтобы изолировать мешочки с одной стороны весов без каких-либо рыхлых желейных бобов, сохраняя при этом равновесие.

Последний шаг — разделить сыпучие мармеладки с одной стороны уравнения на то же количество групп, что и мешков. Это, вероятно, даст вам хорошее представление о том, сколько мармеладов в каждом пакете. Если нет, съешьте и попробуйте еще раз. Теперь мы понимаем, что это не сработает для каждого линейного уравнения, поскольку трудно получить отрицательные желе-бобы, но это еще одна обучающая стратегия, которую вы можете использовать для алгебры.

Несмотря на внешность, уравнения типа a / x не являются линейными.Вместо этого они принадлежат к другому виду уравнений. Они хороши для объединения их с линейными уравнениями, поскольку они вводят понятие действительных и недействительных ответов для уравнения (то, что позже будет называться областью определения функции). В этом случае неверными ответами для уравнений в форме a / x являются те, при которых знаменатель становится равным 0.

Линейные системы

Квадратичные выражения и уравнения

Квадратные выражения и рабочие листы уравнений, включая множители, факторизацию и решение квадратных уравнений.

Рабочие листы факторизации квадратичных выражений в этом разделе содержат множество практических вопросов для студентов, чтобы отточить свои стратегии разложения.Если вы предпочитаете рабочие листы с квадратными уравнениями, см. Следующий раздел. Эти рабочие листы бывают разных уровней, самые простые — в начале. Коэффициенты ‘a’, упомянутые ниже, являются коэффициентами члена x ² , как в общем квадратичном выражении: ax ² + bx + c. В этом разделе также есть рабочие листы для вычисления суммы и произведения и для определения операндов для пар суммы и произведения.

Независимо от того, используете ли вы метод проб и ошибок, вычисляя квадрат или общую квадратную формулу, эти рабочие листы включают множество практических вопросов с ответами.В первом разделе рабочие листы включают вопросы, в которых квадратичные выражения равны 0. Это делает процесс факторингом квадратичных выражений с дополнительным шагом нахождения значений для x, когда выражение равно 0. Во втором разделе параметр выражения обычно равны чему-то отличному от x, поэтому в начале есть дополнительный шаг, чтобы квадратное выражение стало равным нулю.

Другие полиномиальные и мономиальные выражения и уравнения

Факторинговые листы неквадратичных выражений разного уровня сложности.

Факторинговые выражения, которые

Факторинговые выражения

Факторинговые выражения

Неравенства с графиками

Рабочие листы неравенств, включая запись неравенства, которая соответствует графику, и отображение неравенств на числовой прямой.

Решение простых уравнений

Решение уравнения — это процесс получения того, что вы ищете, или решения относительно с одной стороны от знака равенства и всего остального с другой. Вы действительно сортируете информацию. Если вы решаете для x , вы должны получить x на одной стороне отдельно.

Уравнения сложения и вычитания

Некоторые уравнения включают только сложение и / или вычитание.

Пример 1

Решите для x .

х + 8 = 12

Чтобы решить уравнение x + 8 = 12, вы должны получить x отдельно с одной стороны. Поэтому вычтите 8 с обеих сторон.

Чтобы проверить свой ответ, просто подставьте свой ответ в уравнение:

Пример 2

Решите относительно и .

y — 9 = 25

Чтобы решить это уравнение, вы должны получить y отдельно с одной стороны.Поэтому прибавьте 9 к обеим сторонам.

Для проверки просто замените y на 34:

Пример 3

Решите для x .

х + 15 = 6

Чтобы решить, отнимите 15 с обеих сторон.

Для проверки просто замените x на –9:

Обратите внимание, что в каждом из приведенных выше случаев используются противоположные операции ; то есть, если в уравнении есть сложение, вы вычитаете с каждой стороны.

Уравнения умножения и деления

Некоторые уравнения включают только умножение или деление. Обычно это происходит, когда переменная уже находится на одной стороне уравнения, но существует либо несколько переменных, например 2 x , либо часть переменной, например

или

Таким же образом, как при сложении или вычитании, вы можете умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, , если оно не равно нулю , и уравнение не изменится.

Пример 4

Решите для x .

3 x = 9

Разделите каждую часть уравнения на 3.

Для проверки замените x на 3:

Пример 5

Решите относительно и .

Чтобы решить, умножьте каждую сторону на 5.

Для проверки замените y на 35:

Пример 6

Решите для x .

Чтобы решить, умножьте каждую сторону на.

Или, без отмены,

Обратите внимание, что слева вы обычно не пишете, потому что это всегда отменяется до 1 x или x .

Комбинации операций

Иногда для решения уравнения требуется более одного шага. В большинстве случаев сначала выполните этап сложения или вычитания. Затем, после того, как вы отсортировали переменные в одну сторону, а числа в другую, умножьте или разделите, чтобы получить только одну из переменных (то есть переменную без номера или 1 перед ней: x , а не 2 x ).

Пример 7

Решите для x .

2 x + 4 = 10

Вычтите 4 с обеих сторон, чтобы получить 2 x на одной стороне.

Затем разделите обе стороны на 2, чтобы получить x .

Чтобы проверить, подставьте свой ответ в исходное уравнение:

Пример 8

Решите для x .

5x — 11 = 29

Добавьте 11 с обеих сторон.

Разделите каждую сторону на 5.

Для проверки замените x на 8:

Пример 9

Решите для x .

Вычтем по 6 с каждой стороны.

Умножаем каждую сторону на.

Для проверки замените x на 9:

Пример 10

Решите относительно и .

Добавьте 8 с обеих сторон.

Умножаем каждую сторону на.

Для проверки замените y на –25:

Пример 11

Решите для x .

3 x + 2 = x + 4

Вычтем 2 с обеих сторон (то же самое, что прибавить –2).

Вычтите x с обеих сторон.

Обратите внимание, что 3 x — x совпадает с 3 x — 1 x .

Разделите обе стороны на 2.

Для проверки замените x на 1:

Пример 12

Решите относительно и .

5 y + 3 = 2 y + 9

Вычтем 3 с обеих сторон.

Вычтем 2 y с обеих сторон.

Разделите обе стороны на 3.

Для проверки замените y на 2:

Иногда вам нужно упростить каждую сторону (объединить одинаковые термины) перед фактическим запуском процесса сортировки.

Пример 13

Решите для x .

3 х + 4 + 2 = 12 + 3

Во-первых, упростите каждую сторону.

Вычтем 6 с обеих сторон.

Разделите обе стороны на 3.

Для проверки замените x на 3:

Пример 14

Решите для x .

4 x + 2 x + 4 = 5 x + 3 + 11

Упростите каждую сторону.

6 x + 4 = 5 x + 14

Вычтем 4 с обеих сторон.

Вычтите 5 x с обеих сторон.

Для проверки замените x на 10:

Как найти f (x) — Алгебра 1

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Решайте уравнения с квадратными корнями — элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Решите радикальные уравнения
• Использование квадратного корня в приложениях

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

1. Упростить: ⓐ ⓑ.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (Рисунок) и (Рисунок).
2. Решить:.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
3. Решить:.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Решите радикальные уравнения

В этом разделе мы будем решать уравнения, в которых переменная находится в подкоренном выражении квадратного корня. Уравнения этого типа называются радикальными уравнениями.

Радикальное уравнение

Уравнение, в котором переменная находится в корневом выражении квадратного корня, называется радикальным уравнением.

Как обычно, при решении этих уравнений, то, что мы делаем с одной стороной уравнения, мы должны делать и с другой стороной. Поскольку возведение величины в квадрат и извлечение квадратного корня являются «противоположными» операциями, мы возведем в квадрат обе стороны, чтобы удалить знак корня и найти переменную внутри.

Но помните, что когда мы пишем, мы имеем в виду главный квадратный корень. Так всегда. Когда мы решаем радикальные уравнения, возводя обе части в квадрат, мы можем получить алгебраическое решение, которое будет отрицательным.Это алгебраическое решение не было бы решением исходного радикального уравнения; это постороннее решение. Мы видели посторонние решения и при решении рациональных уравнений.

Для уравнения:

ⓐ Есть решение? Ⓑ Есть решение?

Для уравнения:

ⓐ Есть решение? Ⓑ Есть решение?

ⓐ нет ⓑ

Для уравнения:

ⓐ Есть решение? Ⓑ Есть решение?

ⓐ нет ⓑ

Теперь посмотрим, как решить радикальное уравнение.Наша стратегия основана на соотношении извлечения квадратного корня и возведения в квадрат.

Как решать радикальные уравнения

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решите радикальное уравнение.

1. Выделите радикал на одной стороне уравнения.
2. Возведите обе части уравнения в квадрат.
3. Решите новое уравнение.
4. Проверьте ответ.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Когда мы используем знак корня, мы имеем в виду главный или положительный корень. Если в уравнении квадратный корень равен отрицательному числу, это уравнение не будет иметь решения.

Решить:.

Решение

Решить:.

Решить:.

Если одна сторона уравнения является биномом, мы используем формулу биномиальных квадратов, когда возводим ее в квадрат.

Биномиальные квадраты

Не забывайте про средний семестр!

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Когда перед радикалом стоит коэффициент, мы также должны возвести его в квадрат.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решение

Решить:.

Решить:.

Иногда после возведения в квадрат обеих частей уравнения внутри радикала остается переменная. Когда это произойдет, мы повторяем шаги 1 и 2 нашей процедуры. Выделяем радикал и снова возводим в квадрат обе части уравнения.

Решить:.

Решение

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решение

Решить:.

Решить:.

Использование квадратного корня в приложениях

По мере прохождения курсов в колледже вы будете сталкиваться с формулами, включающими квадратные корни во многих дисциплинах. Мы уже использовали формулы для решения геометрических приложений.

Мы будем использовать нашу стратегию решения проблем для геометрических приложений с небольшими изменениями, чтобы дать нам план решения приложений с формулами из любой дисциплины.

Решайте приложения с помощью формул.

1. Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. При необходимости нарисуйте фигуру и пометьте ее данной информацией.
2. Укажите , что мы ищем.
3. Назовите то, что мы ищем, выбрав переменную для его представления.
4. Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для ситуации. Подставьте в данную информацию.
5. Решите уравнение , используя хорошие методы алгебры.
6. Отметьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
7. Ответьте на вопрос полным предложением.

Мы использовали формулу, чтобы найти площадь прямоугольника длиной L и шириной W . Квадрат — это прямоугольник, у которого длина и ширина равны. Если мы допустим s как длину стороны квадрата, площадь квадрата равна.

Формула дает нам площадь квадрата, если мы знаем длину стороны.Что, если мы хотим найти длину стороны для данной области? Затем нам нужно решить уравнение для s .

Мы можем использовать формулу, чтобы найти длину стороны квадрата для заданной площади.

Площадь квадрата

Мы покажем это в следующем примере.

Кэти хочет посадить квадратный газон перед своим двором. У нее достаточно дерна, чтобы покрыть площадь в 370 квадратных футов. Используйте формулу, чтобы найти длину каждой стороны ее газона.Округлите ответ до ближайшей десятой доли фута.

Серджио хочет сделать квадратную мозаику в качестве инкрустации для стола, который он строит. У него достаточно плитки, чтобы покрыть площадь в 2704 квадратных сантиметра. Используйте формулу, чтобы найти длину каждой стороны его мозаики. Округлите ответ до ближайшей десятой доли фута.

Еще одно применение квадратных корней связано с гравитацией.

Падающие предметы

На Земле, если объект падает с высоты футов, время в секундах, которое потребуется, чтобы достичь земли, определяется по формуле

Например, если объект падает с высоты 64 фута, мы можем вычислить время, необходимое для достижения земли, подставив его в формулу.

Чтобы объект, упавший с высоты 64 фута, достиг земли, потребуется 2 секунды.

Кристи уронила свои солнцезащитные очки с моста на высоте 400 футов над рекой. Используйте формулу, чтобы определить, сколько секунд потребовалось солнцезащитным очкам, чтобы добраться до реки.

Вертолет сбросил спасательный пакет с высоты 1296 футов. Используйте формулу, чтобы определить, сколько секунд потребовалось, чтобы пакет достиг земли.

Мойщик окон сбросил ракель с платформы на высоте 196 футов над тротуаром. Используйте формулу, чтобы определить, сколько секунд прошло, чтобы ракель достиг тротуара.

Сотрудники полиции, расследующие автомобильные аварии, измеряют длину следов заноса на тротуаре.Затем они используют квадратные корни, чтобы определить скорость в милях в час, с которой машина ехала до того, как затормозила.

Следы заноса и скорость автомобиля

Если длина пятен заноса составляет d футов, то скорость с автомобиля до того, как были применены тормоза, может быть определена по формуле

После автомобильной аварии следы заноса одной машины достигли 190 футов. Воспользуйтесь формулой, чтобы определить скорость автомобиля до того, как были задействованы тормоза.Округлите ответ до ближайшей десятой.

Следователь ДТП измерил следы заноса автомобиля. Длина следов заноса составляла 76 футов. Воспользуйтесь формулой, чтобы определить скорость автомобиля до того, как были задействованы тормоза. Округлите ответ до ближайшей десятой.

Следы заноса автомобиля, попавшего в аварию, были длиной 122 фута. Воспользуйтесь формулой, чтобы найти скорость автомобиля до того, как были задействованы тормоза. Округлите ответ до ближайшей десятой.

Ключевые понятия

• Для решения радикального уравнения:
  1. Выделите радикал на одной стороне уравнения.
  2. Возведите обе части уравнения в квадрат.
  3. Решите новое уравнение.
  4. Проверьте ответ. Некоторые полученные решения могут не работать в исходном уравнении.
• Решение приложений с помощью формул
  1. Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны.При необходимости нарисуйте фигуру и пометьте ее данной информацией.
  2. Укажите , что мы ищем.
  3. Назовите то, что мы ищем, выбрав переменную для его представления.
  4. Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для ситуации. Подставьте в данную информацию.
  5. Решите уравнение , используя хорошие методы алгебры.
  6. Отметьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
  7. Ответьте на вопрос полным предложением.
• Площадь квадрата
  
• Падающие предметы
  • На Земле, если объект падает с высоты футов, время в секундах, которое потребуется, чтобы достичь земли, определяется по формуле.
• Следы заноса и скорость автомобиля
  • Если длина пятен скольжения составляет d футов, то скорость с автомобиля до того, как были применены тормоза, может быть определена по формуле.

Письменные упражнения

Объясните, почему уравнение вида не имеет решения.

1. ⓐ Решите уравнение.
2. ⓑ Объясните, почему одно из найденных «решений» на самом деле не было решением уравнения.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

Глоссарий

радикальное уравнение

Уравнение, в котором переменная находится в подкоренном выражении квадратного корня, называется радикальным уравнением