«Детская школа искусств» Мошенского муниципального района

Решение по математике 1 класс: ГДЗ по математике Моро, Волкова, Степанова 1 класс 2 часть

Содержание

Урок 50. решение задач в 2 действия - Математика - 1 класс

Математика

1 класс

Урок №50

Решение задач в 2 действия

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Глоссарий по теме:

Задача – это математический рассказ, в котором есть условие и вопрос. Чтобы ответить на вопрос задачи, ее нужно решить.

Части задачи – условие, вопрос, решение, ответ.

Список литературы:

1. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. и др.Математика. 1 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1/ –6-е изд. – М.: Просвещение, 2015. – с.62, 63

2. Волкова С. И. Математика. Проверочные работы. 1 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2014.- с.50, №2, с.51, №2

3. Волкова С. И. Математика. Рабочая тетрадь. 1 кл. 2 часть: учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2016.-с.33

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Решим задачу.

В одной коробке 6 карандашей, во второй на 2 карандаша меньше. Сколько карандашей в двух коробках?

О чём говорится в задаче? Правильно, о коробках и карандашах.

Что нам известно в задаче? Что в одной коробке было 6 карандашей.

Что сказано о количестве карандашей во второй коробке? Их на 2 меньше, чем в первой коробке.

Что нужно узнать в задаче? Сколько карандашей в двух коробках? Сразу можно ответить на вопрос задачи? Сразу ответить на вопрос задачи нельзя, потому что не сказано, сколько карандашей во второй коробке. Как это можно узнать? От шести отнять два. Теперь можно узнать, сколько всего карандашей в двух коробках? Да.

Составим план решения задачи:

1) Сначала надо узнать, сколько карандашей во второй коробке.

2) Потом можно узнать, сколько всего карандашей в двух коробках.

Решение:

1) 6 – 2 = 4 (к.)

2) 6 + 4 = 10 (к.)

Ответ: всего 10 карандашей.

Рассуждая так же, решим следующую задачу.

На верхней полке 6 книг, а на нижней – на 4 книги больше. Сколько книг на двух полках?

О чём говорится в задаче? О полках и книгах.

Сколько книг на верхней полке? Шесть.

Сколько книг на второй полке? Неизвестно, но сказано, что на 4 книги больше. Т.е. их столько же, сколько на верхней полке, и ещё четыре.

Что нужно узнать в задаче? Сколько книг на двух полках.

Можно ли сразу узнать, сколько книг на двух полках? Нет.

Почему? Мы не знаем, сколько книг на второй полке.

Как найти, сколько книг на второй полке?

Нужно к шести прибавить четыре,получится десять книг.

Теперь можем узнать, сколько книг на двух полках? Да.

Составим план решения задачи:

1) Сначала надо узнать, сколько книг на нижней полке.

2) Потом можно узнать, сколько книг на двух полках.

Решение:

1) 6 + 4 = 10 (кн.)

2) 6 + 10 = 16 (кн.)

Ответ: 16 книг на двух полках.

Тренировочные задания.

1. Выберите задачу, которая решается два действия

Варианты ответов:

1. На одной полке стоят 4 книги, на другой - на 3 книги больше. Сколько книг на второй полке?

2. На одной клумбе распустилось 6 тюльпанов, а на другой - на 3 тюльпана меньше. Сколько тюльпанов распустилось на двух клумбах?

3. На первой проволоке 5 шариков, на второй - на 4 шарика больше. Сколько шариков на второй проволоке?

Правильный ответ:

2.На одной клумбе распустилось 6 тюльпанов, а на другой - на 3 тюльпана меньше. Сколько тюльпанов распустилось на двух клумбах?

2. Решите задачу и выделите цветом правильное решение.

В одной вазе лежало 6 яблок, в другой на 3 яблока меньше. Сколько яблок в двух вазах?

Варианты ответов:

Первый вариант: 6 – 3 = 3 (яб.)

Второй вариант: 6 + 3 = 9 (яб.)

Третий вариант:

1) 6-3=3 (яб.)

2) 6+3=9 (яб.)

Вспомним, что эта задача решается в 2 действия, следовательно, верным будет третий вариант.

Правильный ответ:

1) 6-3=3 (яб.)

2) 6+3=9 (яб.)

Урок математики."Решение уравнений" 1 класс

Цель/задачи этапа

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Компетенции/

аспекты компетенции/УУД

Оценивание/формы контроля

Результат

I этап: мотивация к учебной деятельности 1 мин.

Включение  учащихся в учебную деятельность на личностно значимом уровне

Здравствуйте, ребята! А урок математики у нас сегодня непростой: мы отправимся в гости к гномам.

 

Эмоциональный настрой. Приветствуют учителя, проверяют готовность к уроку.

 

 

 

 

 

 

 

II этап: целеполагание 2 мин.

Готовность мышления учащихся и осознание потребности к построению нового способа действий

Не забывайте, что на уроке математики мы развиваем математическую речь, учимся доказывать, рассуждать.

Где играют дружно,

Считают умело,

Там и сказке можно

Появиться смело.

Проявление интереса к материалу изучения.

 

 

Включение в учебный процесс.

III этап: актуализация опорных знаний 7 мин.

Организация подготовки и мотивации к изучению материала, необходимого для «открытия нового знания»

- Слушая песенку, посчитайте, сколько гномов живут в сказочной математической стране.

 

- Жили-были гномики в уютном своём домике,

На лесной опушке, у маленькой речушки.

Братцев этих ровно семь,

Вам они известны все.

Каждую неделю кругом

Ходят братцы друг за другом.

- Догадались, как зовут гномов?

- Назовите третий день недели;  пятый день недели; день предшествующий пятнице; день, идущий воскресеньем и вторником.

- В  математическую страну пускают только самых внимательных и сообразительных. И поможет нам в этом тренажер.

- Старший братец – Понедельник-

Работяга, не бездельник.

Он неделю открывает,

Всех трудиться заставляет.

- Однажды Понедельник распиливал бревно и задумался: сколько ему надо сделать распилов, чтобы получить 4 части этого бревна?

- Вторник очень любит выращивать цветы. И вот однажды у него вырос необычный цветок, на лепестках которого были математические понятия, с которыми мы уже познакомились на уроках математики. (На лепестках написаны следующие понятия: слагаемое, сумма, уменьшаемое, вычитаемое, разность, выражение, равенство, неравенство, часть, целое)

- Перед вами различные математические записи.

 

 

 

 

            
 
 
  
   
 
 
      
 
      
 

 

 

 

 

 

 

 

- Ваша задача – разделить на три группы эти записи и дать каждой группе название, выбрав соответствующую карточку.

- На какие группы можно разделить эти математические записи?

- По какому признаку вы разбили математические записи на группы?

 

 

 

 

- На какие две группы вы могли бы распределить эти выражения?

8-2                          6+2

8-3                          4+4

8-4                          1+7

8-5                          0+8

- Посмотрите внимательно на первый столбик выражений. Какую закономерность вы заметили?

 

- Какими должны быть следующие выражения?

- А какую закономерность вы заметили во втором столбике?

- Какие ещё выражения можно добавить в этот столбик?

- Молодцы, вы уже многое знаете.

- Как вы думаете, сможем ли мы сделать новые открытия или уже всему научились?

- Да, вы совершенно правы. Сегодня на уроке мы узнаем какое-то новое математическое понятие.

 

 

 

А сейчас давайте устно решим  задачу.

- Среда в дупле нашёл у белки

   5 лесных орехов мелких,

   Вот ещё и три лежат.

  Ну и белка! Вот хозяйка!

 Ты орешки сосчитай-ка!

 

- Как вы решили задачу? К какому столбику можно отнести её решение?

 

Слушают песенку и пересчитывают гномов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Демонстрируют знания, умения по теме.

Имена гномов – это названия дней недели.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решают устно логическую задачу, дают ответ: 3 части.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполняют классификацию на доске.

 

 

 

Выражения, равенства, неравенства.

 

Выражение – это запись, в которой числа соединены знаком действий.

Равенство – это запись, в которой числа соединены знаком равенства.

Неравенство - это запись, в которой числа соединены знаками сравнения.

Суммы, разности.

 

 

 

 

 

Уменьшаемые одинаковые, вычитаемые увеличиваются на единицу, значит, разности будут уменьшаться тоже на единицу.

8-6, 8-7, 8-8

 

 

Выражения, представляющие состав числа 8.

 

 

Формулируют свои предположения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Устно решают задачу и аргументируют её решение: 5+3=8

Учебно-познавательная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прием «Решение нестандартных задач ».

 

Фиксация имеющихся предметных учебных знаний (умений), известных способов деятельности.

IV этап: фиксирование затруднения 5 мин.

Создание проблемной ситуации, в результате которой обучающиеся самостоятельно выдвинут цель и задачи  урока в виде вопросов.

- Четверг следует за братом,

У него идей богато,

Он за всё берётся смело,

И работа закипела.

- Сегодня Четверг приготовил вам математическую загадку.

- Кто мне скажет что за предмет стоит у меня на столе?

                 

- Посмотрите на ромашку  подумайте и скажите, какое математическое понятие из тех, что нам уже известны, символизируют весы?

- А почему равенство?

 

- Какой математический знак можно поставить между чашами весов?                                                      

         

 

 

- А  теперь  слева я помещу вот такие символы: ? + ?, а справа – число 9.

- Что получилось?

- Что обозначают в этом равенстве пустые окошечки?

 

- У вас на столах лежат карточки. Попробуйте составить такие равенства, чтобы они были верными.

- Давайте рассмотрим карточки. Нет ли ошибок?

- Состав, какого числа мы с вами повторили?

- Хорошо, а вот Четверг составил так:

2 + х = 9

- Как вы думаете, правильно ли он сделал?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Весы символизируют равенство.

 

 

 

Возможно, потому, что чаши весов уравновешены.

 

Знак «равно»

 

 

 

 

 

Получилось равенство.

 

 

 

Различные слагаемые, сумма которых равна 9.

 

После выполнения задания дети свои карточки вывешиваются на доску.

 

 

Состав числа 9.

 

 

 

Высказывания детей.

Учебно-познавательная,

коммуникативная

Работа в паре

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формирование навыков поисковой деятельности.

Формирование умений учебного сотрудничества, коллективного обсуждения проблем, предположений.

Способность анализировать и действовать с позиции содержания предмета.

V этап: выявление места и причины затруднения 5 мин.

Создание проблемной ситуации, в результате которой обучающиеся самостоятельно выдвинут цели урока.

- Да, ребята, действительно, в этом равенстве есть неизвестное число.

Четверг не знал, какое надо поставить число, поэтому написал «х».

В математике принято неизвестное число обозначать буквами латинского алфавита.

Нам предстоит сегодня ответить на вопросы: как же называется это равенство, как оно решается?

Четверг искал клады, ведь он был гномом-кладоискателем.

Однажды Четверг нашёл сундук, а в нём была записка. Давайте поможем её прочитать.

Алгоритм решения уравнений.

  1. Вспомни правило, как найти целое или часть.
  2. Запиши равенство по плану.
  3. Определи целое и части.
  4. Посчитай.
  5. Запиши уравнение.

- Какое новое понятие вам встретилось?

- Итак, мы с вами встретились с особым равенством. В математике оно называется  уравнением.

 

 

 

 


Неизвестное число здесь обозначено через               . 

 

 

-Мы уже встречались с неизвестным числом. Кто помнит где?

- Как мы обозначали в задачах неизвестное число?

- А можете предположить, как  в уравнении обозначается неизвестное

число?

А в уравнении неизвестное число будем обозначать «Х»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Читают алгоритм решения уравнений с нарушенной последовательностью.

 

 

 

 

 

 

 

 

Называют новое математическое понятие: уравнение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С неизвестным числом мы встречались в задачах.

Знаком вопроса.

 

Варианты  детей.

Учебно-познавательная, информационная, коммуникативная.

Частично поисковые методы, продуктивные методы.

Появление цели урока.

Умение сотрудничать, вступать в дискуссию, анализировать, доказывать, отстаивать свое мнение.

Умение ставить цели, планировать свою работу.

VI этап: построение проекта выхода из затруднения 6 мин.

Организация усвоения детьми нового способа действий при решении примеров с их проговариванием во внешней речи.

 

- Чтобы научиться решать уравнения нам понадобится алгоритм.

Давайте наведём в алгоритме порядок и  расставим всё на свои места.

Алгоритм решения уравнений.

  1. Запиши уравнение.
  2. Определи целое и части.
  3. Вспомни правило, как найти целое и части.
  4. Запиши равенство по правилу.
  5. Посчитай.

– Решить уравнение – значит узнать, какое число надо поставить вместо «Х», чтобы получилось верное равенство.

- Ребята, а вы сумеете решить уравнение, пользуясь алгоритмом?

Нарисуйте на полях кружок, отвечающий вашим умениям решать уравнение.

       - смогу

 
 
 

 

      - смогу, но сомневаюсь

       - не смогу

     

 

Восстанавливают порядок действий в алгоритме решения уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Осуществляют самооценку.

Учебно-познавательная, коммуникативная

 

Формирование навыков поисковой деятельности.

Формирование умений учебного сотрудничества, коллективного обсуждения проблем, предположений.

Способность анализировать и действовать с позиции содержания предмета.

VII этап:                                                            физкультминутка ( Умение применять правила охраны своего здоровья)

первичное закрепление с проговариванием во внешней  речи 5 мин.

Включение нового знания в систему знаний; повторение и закрепление ранее изученного; организация самостоятельного выполнения каждым обучающимся заданий на новый способ действий; организация самопроверки обучающимися своих решений по эталону; создание ситуации успеха для каждого; предоставление возможности выявления причин ошибок и их исправления.

 

- Давайте сегодня начнём учиться решать уравнения. Попробуем решить в тетради уравнение Четверга. А поможет нам в этом алгоритм, который надо выполнять при решении уравнений. Прочитаем его и подумаем, что мы уже сумеем в нём выполнить.

 

- Кто самый смелый и хочет решить уравнение у доски?

- Вот мы и решили уравнение. Тяжело вам было его решать?

ЭТАЛОН:  х + а = в

                   х = в - а

Выполняют под музыку физические упражнения, представленные в тексте слайда.

 

 

Перечитывают алгоритм с целью определения возможности самостоятельного решения уравнения.

Выполняют решение уравнения в тетради, проговаривая алгоритм решения.

 

После выполнения проверяют работу по эталону.

Учебно-познавательная, информационная, коммуникативная.

 

Самостоятельно работают по алгоритму, ориентированы на получение конкретного результата, излагают, объясняют учебный материал устно.

VIII этап: самостоятельная работа с самопроверкой по эталону 5 мин.

Самопроверка умения применять новое знание в типовых условиях.

- Пятница с Субботой любят маленьких  пичуг. Они часто кормят их хлебными крошками и зёрнышками. Однажды рано утром к ним прилетела маленькая птичка, которая принесла в клюве свёрток. Когда гномы его развернули, то увидели вот это. (задание на слайде)

А теперь попробуйте сами решить уравнения, работая в паре.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ребята решают уравнения.

Учебно-познавательная, коммуникативная.

Работа в паре (взаимопроверка). Самостоятельная работа в тетради (самопроверка)

 

Понимание смысла задания; возможность применить первоначальные способы поиска информации; осуществление взаимоконтроля по ходу выполнения задания

IX этап: включение в систему знаний и повторений 6 мин.

Включение нового знания в систему знаний, повторение и закрепление ранее изученного.

«Золото добывают из земли, а знания -из книги»

- Откроем и мы книгу, которая помогает нам постичь премудрости сложной, но интересной и увлекательной науки – математики.

 

 

Составляют по рисунку уравнения и решают их с комментированием.

Учебно-познавательная, коммуникативная

Работа по учебнику.

Формирование личного отношения к содержанию пословицы

X этап: рефлексия учебной деятельности на уроке 2 – 3  мин.

Осознание обучающимися своей учебной деятельности;

самооценка результатов своей деятельности и всего класса.

Так и жили гномики

В чистом своём домике

На лесной опушке

На радость всем зверюшкам!

- Сегодня на уроке мы с вами были в гостях у весёлых, трудолюбивых гномов. Мы повторили решение примеров в пределах 10, решали уравнения. Все сегодня работали со старанием, показали своё трудолюбие.

- С каким новым понятием мы познакомились сегодня на уроке?

Какую задачу мы ставили в начале урока?

- Удалось ли решить поставленную задачу?

- Сможете самостоятельно решить уравнение?

Нарисуйте на полях кружок, отвечающий вашим умениям решать уравнение.

       - смогу

 
 
 

 

      - смогу, но сомневаюсь

       - не смогу

     

- Выберите подходящую фразу и продолжите:

1. Сегодня мне удалось …

2. Теперь я умею …

3. Мне это необходимо для …

- Я говорю вам всем сегодня: «Молодцы! Спасибо за урок!»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На данном этапе фиксируется новое содержание, изученное на уроке, и организуются рефлексия и самооценка учениками собственной учебной деятельности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дети заканчивают предложения в зависимости от своего состояния, впечатления от урока.

Учебно-познавательная

 

Оценивание разного вида деятельности на уроке;

формирование умения адекватно оценивать свою деятельность.

        

Задачи для первого класса по математике

  • Школьное образование
(20 голосов: 4.2 из 5)

Оправ­ляя ребенка в пер­вый класс, роди­тели все­гда меч­тают о том, что их чадо будет отлично учиться и по всем пред­ме­там полу­чать только выс­шие оценки. И если чте­нию научить малыша совсем не сложно, то пони­мать и решать мате­ма­ти­че­ские задачи детям не все­гда легко. Чтобы пер­во­класс­ник успе­вал по мате­ма­тике в школе, роди­тели либо нани­мают репе­ти­тора, что не все­гда финан­сово оправ­дано, либо пыта­ются зани­маться с детьми само­сто­я­тельно. В этом мате­ри­але мы рас­ска­жем, как под­тя­нуть пер­во­класс­ника по мате­ма­тике в домаш­них усло­виях, рас­ска­жем о раз­лич­ных типах задач и о мето­дах их решений.

Как учить ребенка математическому счету

Роди­тели пер­во­класс­ни­ков должны пом­нить о том, что в воз­расте 5–7 лет у детей еще плохо раз­вито абстракт­ное мыш­ле­ние. Вспом­ните сказку о Бура­тино, когда он счи­тал яблоки, кото­рые якобы забрал «Некто». Так и ребе­нок 5–7 лет еще не в состо­я­нии пред­ста­вить усло­вие задачи.

Лучше всего поль­зо­ваться нагляд­ными посо­би­ями, кото­рые ребе­нок смо­жет уви­деть, потро­гать. Это могут быть счет­ные палочки, кубики или кар­тинки, выре­зан­ные из кар­тона (напри­мер, набор кар­тон­ных ежи­ков, цве­точ­ков, листи­ков и про­чего). Выкла­ды­вайте перед ребен­ком все усло­вие задачи из нагляд­ных мате­ри­а­лов: было столько-то, доба­вили или отняли столько-то. Так ему будет проще пони­мать усло­вие задачи и легче нахо­дить ее решение.

Еще один важ­ный момент при обу­че­нии детей состоит в том, что ребе­нок дол­жен научиться отли­чать задачи друг от друга по типам. Для этого можно ори­ен­ти­ро­вать его на какие-то клю­че­вые слова. Напри­мер, если в задаче упо­ми­на­ются слова «доба­вили», «при­несли», «при­ле­тели», «при­бе­жали» и дру­гие, обо­зна­ча­ю­щие при­со­еди­не­ние, то это задача на сложение.

Пони­мая, к какому типу отно­сится та или иная задача, ребе­нок научится опре­де­лять нуж­ный алго­ритм реше­ния и успешно справ­ляться с заданием.

Задачи на сложение для первоклассников

Как уже гово­ри­лось, задачи на сло­же­ние имеют общий при­знак – при­со­еди­не­ние. Еще одним при­зна­ком задач на сло­же­ние есть сло­во­со­че­та­ние «сколько всего» в вопросе задания.

Ребе­нок дол­жен научиться четко пони­мать, что если в усло­вии есть при­со­еди­не­ние чего-либо, то ему нужно скла­ды­вать име­ю­щи­еся цифры. Ребе­нок дол­жен пони­мать, что такое пер­вое сла­га­е­мое, вто­рое сла­га­е­мое и сумма, и уметь нахо­дить их в усло­вии задания.

Чтобы ребе­нок хорошо осва­и­вал уст­ный счет, ему необ­хо­димо регу­лярно зани­маться сче­том «в уме». Если вы на кани­ку­лах, хотя бы один раз в день зада­вайте ему при­меры для раз­ви­тия памяти. Зани­маться можно даже по дороге в школу или в секции.

Пять-десять при­ме­ров еже­дневно не слиш­ком уто­мят пер­во­класс­ника, но при­не­сут много пользы для его даль­ней­шей учебы.

Ниже при­ве­дены задачи для пер­во­класс­ни­ков на сло­же­ние. Для удоб­ства мы их раз­били на вари­анты, чтобы при заня­тиях на дому вы могли про­ре­ши­вать с ребен­ком уже ском­плек­то­ван­ные задания.

Вариант 1

  • Наташа про­чи­тала за кани­кулы 5 книг, а Катя про­чи­тала 4 книги. Сколько книг дети про­чи­тали вме­сте за каникулы?
  • На одной ветке яблони висело 6 яблок, а на дру­гой – 7. Сколько яблок было на обеих вет­ках яблони?
  • В классе на окне стоят цветы в горш­ках. На пер­вом окне стоит 2 цветка, на вто­ром 3 цветка, а на тре­тьем 1 цве­ток. Сколько всего цве­тов в классе?
  • В семье Алеши живет 2 маль­чика и 1 девочка. В семье Тани – 1 девочка и 1 маль­чик. У Сережи в семье живут 2 маль­чика, а у Кати – только 1 девочка. Сколько всего дево­чек живет в семьях всех детей? А сколько мальчиков?
  • По резуль­та­там оце­нок за 1 чет­верть в 1‑А классе 10 отлич­ни­ков, 14 хоро­ши­стов и 2 тро­еч­ника. В 1‑Б классе – 8 отлич­ни­ков, 12 хоро­ши­стов и 3 тро­еч­ника. А в 1‑В – 11 отлич­ни­ков, 11 хоро­ши­стов и 4 тро­еч­ника. Сколько отлич­ни­ков, хоро­ши­стов и тро­еч­ни­ков во всей парал­лели пер­вых классов?

Вариант 2

  • Наташе 8 лет, сколько ей будет через 3 года? Через 4 года, через 10 лет?
  • В мага­зине кан­це­ля­рии Насте понра­ви­лись фло­ма­стеры за 18 руб­лей. У нее есть 10 руб­лей, 5 руб­лей, 2 рубля и 1 рубль. Хва­тит ли девочке денег на покупку?
  • На про­гулку вышли 6 дево­чек и 12 маль­чи­ков. Сколько всего детей вышли на прогулку?
  • У Саши пачка счет­ных пало­чек. Из них 10 крас­ные, 8 синие и 12 жел­тые. Сколько всего пало­чек в пачке?
  • На день рож­де­ния к Полине при­шли 4 подружки и 5 дру­зей. Сколько всего детей будет сидеть за празд­нич­ным сто­лом? (здесь важно, чтобы ребе­нок не забыл посчи­тать саму Полину, ответ в задачке – 10 детей).

    Вариант 3

  • Дети при­шли в парк и уви­дели птиц, пла­ва­ю­щих на озере: 8 лебе­дей и 12 уток. Сколько всего птиц пла­вало на озере?
  • На суб­бот­нике в школе дети сажали саженцы. Петя поса­дил 2 саженца, Антон – 3, Наташа с Катей 2 саженца. Сколько всего сажен­цев поса­дили дети?
  • В коробке на столе лежали кон­феты. Маша съела 5 кон­фет, Алена – 3 кон­феты, Настя – 6 кон­фет, а Коля съел 6 кон­фет и коробка опу­стела. Сколько кон­фет было в коробке с самого начала?
  • В кол­лек­ции Марины 20 откры­ток. У Юли тоже 20 откры­ток. Сколько всего откры­ток у девочек?
  • У Севы было 20 марок, ему пода­рили еще 4 марки. Сколько всего марок стало у Севы?

 

Вариант 4

  • Мама поса­дила 20 кустов огур­цов и 17 кустов поми­до­ров. Сколько всего кустов рас­те­ний поса­дила мама?В поне­дель­ник в сто­ло­вую при­везли 8 сто­лов, во втор­ник – 7 сто­лов, а в чет­верг – еще 10. Сколько всего сто­лов полу­чила сто­ло­вая за неделю?
  • Паша и папа пошли в поход. В пер­вый день они про­шли 12 км. Во вто­рой – 10 км, в тре­тий – 8, а в чет­вер­тый 11. Какой путь пре­одо­лели папа и Паша?
  • В зоо­парке живет 12 обе­зьян, 8 тиг­ров, 2 слона, 6 мед­ве­дей и 4 енота. Сколько всего живот­ных в зоопарке?

Важно! Если каж­дый день про­ре­ши­вать один вари­ант зада­ний на сло­же­ние с ребен­ком, то на кон­троль­ных он будет пока­зы­вать бле­стя­щие результаты.

  • В 1‑А классе 13 маль­чи­ков и 12 дево­чек. В 1‑Б классе 12 маль­чи­ков и 15 дево­чек, а в 1‑В классе 10 маль­чи­ков и 12 дево­чек. Сколько всего маль­чи­ков и сколько дево­чек во всех пер­вых классах?

Задачи на вычитание для первоклассников

Задачи на вычи­та­ние тоже имеют свои при­знаки и осо­бен­но­сти. В усло­вии все­гда можно встре­тить какое-то из харак­тер­ных сло­во­со­че­та­ний: «сколько оста­лось», «было столько-то, из них…», «было столько-то, столько-то ушло/улетело/убежало/испортилось и т.д.» и про­чие. Здесь тоже важно пони­мать, что такое пер­вое сла­га­е­мое, вто­рое сла­га­е­мое и сумма, уметь нахо­дить их в усло­вии зада­ния, потому что задачи на вычи­та­ние явля­ются обрат­ными от сло­же­ния. И поня­тия здесь немного дру­гие: умень­ша­е­мое, вычи­та­е­мое, разность.

Ниже при­ве­дены задачи для пер­во­класс­ни­ков на вычи­та­ние. Для удоб­ства мы их тоже раз­били на вари­анты, чтобы при выпол­не­нии домаш­них зада­ний дети могли про­ре­ши­вать уже ском­плек­то­ван­ные задания.

Здесь есть задачи как на нахож­де­ние остатка («сколько оста­лось»), так и на умень­ше­ние («на сколько изме­ни­лось число»).

Вариант1

  •  Андрей живет на 7 этаже, а Алена на 3 этажа ниже. На каком этаже живет Алена?
  • У Володи 17 маши­нок, а у Саши нет ни одной. Володя пода­рил Саше 8 маши­нок. Сколько у него осталось?
  • Наташе 12 лет, а ее брату Сереже на 7 лет меньше. Сколько лет Сереже?
  • В саду росло 10 яблонь, а груш – на 4 меньше. Сколько груш росло в саду?
  • За пер­вый день Мила про­чи­тала 24 стра­ницы в книге, а за вто­рой на 3 меньше. Сколько стра­ниц про­чи­тала Мила во вто­рой день?

Вариант 2

  •  В школь­ной биб­лио­теке дети полу­чают книги. Петя взял 8 книг, Алеша – на 2 книги меньше, чем Петя, а Ваня на 3 книги больше чем Алеша. Сколько книг взял каж­дый маль­чик? Сколько книг они взяли вместе?
  • На столе в вазе лежало 25 ягод. Марина съела 4 ягоды, Алиса съела 6 ягод, Мила съела 3 ягоды, а осталь­ные ягоды доела Катя. Сколько ягод съели Марина и Алиса? Мила и Катя? Сколько ягод съела Катя?
  • На столе сто­яло 10 таре­лок, а в рако­вине – на 6 меньше. Сколько таре­лок было в раковине?
  • Сереже 15 лет, его сестре Ларисе на 4 года меньше. А самому млад­шему брату Борису – на 7 лет меньше, чем Ларисе. Сколько лет Ларисе и Борису?
  • Мама поса­дила 30 кустов огур­цов, 17 кустов взо­шли. Сколько всего кустов огур­цов пропало?

Вариант 3

  • Дети пошли в лес за гри­бами. Дима нашел 10 сыро­е­жек и 7 белых гри­бов. Таня нашла на 3 сыро­ежки меньше, и на 2 белых меньше. Сколько и каких гри­бов нашла Таня?
  • В пер­вом доме 12 подъ­ез­дов, во вто­ром доме на 4 подъ­езда меньше, чем в пер­вом. А в тре­тьем доме на 6 подъ­ез­дов меньше чем в пер­вом. Сколько подъ­ез­дов в каж­дом из домов?
  • В пер­вой кор­зине 23 яблока, а во вто­рой на 11 яблок меньше. Сколько яблок в обеих корзинах?
  • В спек­такле участ­во­вали 12 дево­чек, а маль­чи­ков на 3 меньше. Сколько маль­чи­ков участ­во­вало в спектакле?
  • В одной вазе стоит 15 роз, а в дру­гой на 8 меньше. Сколько роз во вто­рой вазе?

Вариант 4
  •  Кон­феты стоял 30 руб­лей, а хлеб на 15 руб­лей дешевле. Сколько стоит хлеб?
  • Бабушка испекла пирожки. С кар­тош­кой 30 штук, с повид­лом на 10 меньше, чем с кар­тош­кой, а с капу­стой на 5 меньше, чем с кар­тош­кой. Сколько и каких пирож­ков испекла бабушка?
  • В авто­бусе ехало 20 муж­чин. Жен­щин было на 5 меньше, чем муж­чин, а детей – на 7 меньше, чем жен­щин. Сколько всего людей ехало в автобусе?
  • В школь­ной биб­лио­теке дети полу­чают книги. Саша взял 5 книг, Миша – на 2 книги меньше, чем Саша, а Сережа на 2 книги больше чем Миша. Сколько книг взял каж­дый маль­чик? Сколько книг они взяли вместе?
  • На поливку ого­рода израс­хо­до­вали 20 ведер воды. На грядки с капу­стой пошло 12 ведер. Сколько пошло на грядки с морковкой?

Задачи на сравнение для первоклассников

  •  Задачи на срав­не­ние направ­лены на нахож­де­ние какого-либо числа, мень­шего или боль­шего от исход­ного. В прин­ципе, в какой-то мере их можно отне­сти к зада­чам на сло­же­ние или вычи­та­ние, поэтому эти задачи мы решили не рас­пи­сы­вать по вари­ан­там, а при­ве­сти несколько подоб­ных примеров:
  • На крыше сидело 10 кошек: 7 чер­ных и 3 серых. На сколько чер­ных кошек больше, чем серых?
  • В деревне у бабушки есть куры и утки. Кур 18, а уток – 15. На сколько кур больше, чем уток.
  • У Тани 3 куклы, а у Дины – на 4 больше. Сколько кукол у Дины? На сколько кукол у Тани меньше?
  • Марине 14 лет, а Мише 9. На сколько лет Марина старше Миши?
  • В гараже стоит 8 машин. Из них 3 гру­зо­вых и 5 лег­ко­вых. На сколько гру­зо­вых машин меньше, чем легковых?
  • Диме на день рож­де­ния пода­рили подарки. Сна­чала мама и папа пода­рили 2 подарка, потом дру­зья при­несли 5 подар­ков. На сколько подар­ков больше стало у Димы?
  • В пер­вый день кани­кул Юра решил 5 задач, во вто­рой – 7, а в тре­тий – 2. На сколько задач больше решил Юра во вто­рой день?
  • На сколько задач меньше чем в пер­вый решил Юра в тре­тий день? А на сколько меньше задач он решил в тре­тий день, чем во второй?
  • У Сони было 3 апель­сина и 10 яблок. На сколько яблок больше, чем апельсинов?

  • У Оли 3 зайца и 2 белки. У Милы 5 кукол и 1 мишка. У кого больше игру­шек и на сколько?

  • На лугу пас­лись коровы. К ним при­шли 7 коз и всего стало 15 живот­ных на лугу. Сколько было коров?

    Задачи на логику для первоклассников

     Раз­ви­тию логи­че­ского мыш­ле­ния уже посвя­ща­лись ста­тьи с реко­мен­да­ци­ями педа­го­гов и переч­нями упраж­не­ний и зада­ний. Здесь мы при­ве­дем несколько логи­че­ских задач, кото­рые поз­во­лят не только раз­ви­вать, но и тре­ни­ро­вать логику первоклассников.

  • Что легче? Кило­грамм ваты или кило­грамм гвоздей?В ста­кан, кружку и чашку налили чай, ком­пот и какао. В кружке не какао. В чашке не какао, и не ком­пот. Что и во что налили?
  • Сколько паль­цев на 3 руках?
  • Сколько лап у 4 кошек?
  • Сколько рук у 10 детей?
  • Лена и Миша уви­дели в море 2 паро­хода. Сколько паро­хо­дов уви­дел каж­дый из детей?
  • Из-под кро­вати тор­чат хво­стики котят. Сколько всего котят, если видно 7 хвостиков?
  • За забо­ром спря­та­лись собаки. Из-под забора видно 12 лап, сколько всего собак за забором?
  • На столе лежат 5 пер­си­ков и 8 груш. Сколько всего будет яблок и слив?
  • На столе стоят 2 ста­кана с моло­ком. Петя выпил молоко и поста­вил стан на стол. Сколько ста­ка­нов на столе?
  • Из школы вышел Ваня. Навстречу ему шли 3 девочки. Сколько детей шло из школы?
  • Из дома в школу шли семь пер­во­класс­ни­ков: Петя, Маша, Лиза, Гриша, Толя, Миша и Лариса, и 4 вто­ро­класс­ника: Сережа, Таня, Мила и Ваня. Сколько дево­чек шло в школу?
  • Чтобы попасть в театр 2 доче­рям и 2 мате­рям пона­до­би­лось 3 билета. Как такое могло случиться?
  • Миша старше Лены на 2 года. На сколько он будет старше Лена через 5 лет?
  • Лена и Милана поса­дили по 10 цвет­ков и закон­чили работу одно­вре­менно. Милана начала работу раньше. Кто из дево­чек рабо­тал медленнее? 

    Вместо заключения

    Мате­ма­ти­че­ское раз­ви­тие пер­во­класс­ни­ков имеет огром­ное зна­че­ние в их обра­зо­ва­нии. Решая при­меры и задачи, ребе­нок при­об­ре­тает новый опыт, зна­ния и навыки. Учится логи­че­ски и мате­ма­ти­че­ски мыс­лить, нахо­дить реше­ние из раз­лич­ных ситу­а­ций, более успешно осва­и­вать смеж­ные науки в даль­ней­шей учебе.

    Нельзя пус­кать на само­тек успе­ва­е­мость детей, и нужно вся­че­ски стре­миться помочь им в этом слож­ном деле, как учеба в пер­вом классе. Ведь именно в это время закла­ды­ва­ется фун­да­мент его даль­ней­шей учебы в школе.

    Математика 1 класс. Видео

По грани вычислимого

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон

Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;

  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;

  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;

  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;

  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;

  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Еще один важнейший вопрос — сила рандомизированных алгоритмов. Это процедуры, использующие в своей работе случайные биты. С одной стороны, в результатах могут возникнуть ошибки. С другой стороны, они могут работать значительно эффективнее детерминированных, а если ошибки маловероятны, то алгоритмы вполне можно использовать. Например, задолго до AKS-алгоритма были известны вероятностные тесты простоты. Они используются и сейчас, так как работают гораздо быстрее изобретения индийских математиков, а вероятность ошибки очень мала.

Но есть ряд задач, для которых известны лишь вероятностные полиномиальные алгоритмы, а детерминированные требуют огромного перебора или другой экспоненциально долгой процедуры. Это в принципе невозможно изменить или мы просто пока не придумали подходящий алгоритм? Обычно эту проблему формулируют как вопрос о равенстве P и BPP.

Для задач из класса P существуют полиномиальные детерминированные алгоритмы, а для задач из класса BPP — вероятностные. На первый взгляд проблема равенства P и NP и проблема равенства P и BPP очень похожи: и в NP, и в BPP есть задачи, для которых неизвестно полиномиальных алгоритмов. Тем не менее, многие исследователи считают, что ответы разные: P≠NP, но P=BPP. Ниже мы увидим, почему.

Я знаю пароль

Получив представление о ключевых проблемах теоретической информатики, можно начать знакомство с достижениями Вигдерсона. Среди них наиболее широко известна концепция доказательств с нулевым разглашением (zero-knowledge proofs), разработанная совместно с Одедом Гольдрайхом и Сильвио Микали.

Карьера Вигдерсона связана с двумя странами: Израилем и США. Закончив в 1980 году бакалавриат в Технионе (Хайфа), он поступил в Принстонский университет, где через три года защитил диссертацию под руководством Ричарда Липтона (очень рекомендуем его блог о сложности вычислений «Потерянное письмо Гёделя»).

После нескольких краткосрочных позиций в калифорнийских университетах он вернулся в Израиль, где стал профессором Еврейского университета в Иерусалиме. Затем он несколько раз возвращался на временные позиции в Принстоне, а в 1999 году возглавил специальную программу по компьютерным наукам и дискретной математике в Институте перспективных исследований — знаменитом месте, где работали такие титаны науки, как Альберт Эйнштейн, Курт Гёдель и Джон фон Нейман, и где был создан первый компьютер, программа которого не была выполнена «в железе», а хранилась в памяти, как у подавляющего большинства современных устройств. Программа нацелена на краткосрочные (от года до трех) визиты молодых ученых и интенсивные исследования и обсуждения. За время ее существования получено множество блестящих результатов, а несколько участников, включая и самого Вигдерсона, получили премию Гёделя — главную награду в области теоретической информатики.

Объяснить, что это такое, можно на таком примере. Пусть Боб решает какую-то головоломку, например, судоку, а Алиса знает решение. Боб уже отчаялся и вот-вот бросит поиск, а Алиса хочет его приободрить, убедив, что решение точно есть. Как это сделать, не выдав никакой подсказки? Оказывается, есть универсальная многораундовая процедура: Алиса хитрым образом шифрует решение, а потом по запросу Боба точечно расшифровывает, так что прочитанный фрагмент убеждает Боба, что решение было правильным, но при этом не раскрывает никакой информации о самом решении.

Опишем один раунд одной из возможных процедур подробнее. Вначале Алиса шифрует известное ей решение судоку простейшим шифром замены. Будем считать, что она заменяет цифры 1,2,...,9 на буквы A,B,...,I, но выбирает соответствие случайным образом.

Но зашифрованное решение целиком предъявлять нельзя, иначе Боб легко восстановит исходное. Поэтому все ячейки закрываются «шторками». А Боб делает одно из следующих действий:

  • открыть все шторки в произвольной строке и убедиться, что каждая буква встречается ровно один раз;
  • открыть произвольный столбец;
  • открыть произвольный квадрат 3×3;
  • открыть поля, на которых изначально стояли цифры. На них проверяется корректность замены: одинаковые цифры должны замениться на одинаковые буквы, а разные на разные.

Таким образом, всего есть 28 разных проверок (9 строк, 9 столбцов, 9 квадратов плюс проверка на корректность замены). Если у Алисы есть решение, то она честно проведет все манипуляции и пройдет все проверки. Если решения нет, то где-то должна быть ошибка — и Боб с вероятностью хотя бы 1/28 ее обнаружит. При этом никакой информации про решение Боб не узнает: при первых 27 проверках он увидит только случайную перестановку букв от A до I, а при 28-й — случайную замену исходного условия. Если повторить процедуру достаточно много раз, то сжульничавшей Алисе должно исключительно повезти, чтобы Боб ни разу не наткнулся на ошибку. Если Алиса каждый раз выбирает случайный шифр заново, то Боб все так же не узнает никакой секретной информации.

Пусть Боб не может решить такую головоломку судоку

Алиса же знает решение головоломки

Алиса шифрует известное ей решение случайным шифром замены: вместо цифр подставляет буквы. Ни исходное решение, ни шифрованное не показываются Бобу.

Затем Алиса закрывает все клетки шифрованного решения непрозрачными шторками

Боб может попросить открыть случайно выбранный столбец и убедиться, что все буквы разные

Альтернативно Боб может попросить открыть случайную строку

Третий вариант запроса Боба — случайно выбранный квадрат 3х3

Наконец, Боб может попросить открыть все ячейки, соответствующие исходному условию, и проверить корректность замены. После того, как Боб сделал один из запросов, Алиса уничтожает зашифрованное решение и генерирует шифр заново

Остается вопрос, как реализовать «закрытие и открытие шторок», если между Алисой и Бобом нет физического контакта. В работе Вигдерсона показано, что это можно сделать на основе любой односторонней функции: требуется специальный протокол «привязки к сообщению». Кроме того, этот алгоритм можно распространить с судоку на любую задачу с быстрой проверкой решения, то есть на весь класс NP. Заметим, что именно для судоку есть более простой физический протокол, основанный на тасовании карт, но его сложнее переделать в криптографический.

Какая от этого практическая польза? На основе концепции нулевого разглашения можно построить систему аутентификации, устойчивую к фишингу, краже паролей при помощи поддельных сайтов. Пользователь будет доказывать серверу, что знает подходящий пароль, не раскрывая никакой информации об этом пароле. Взломщик, не знающий пароля, не сможет ничего доказать серверу, а поддельный сервер не сможет ничего узнать о пароле пользователя. На этом строится протокол SRP, он внесен в стандарты, его используют при идентификации ProtonMail, iCloud и некоторые банковские приложения, а появившийся несколько лет назад протокол OPAQUE обещает устранить ряд недостатков SRP.

Тем не менее, в большинстве случаев аутентификация работает менее надежными способами, и на короткое время сервер получает пароль в исходном виде. Более широкому распространению протоколов с нулевым разглашением мешает как определенная инерция мышления разработчиков, так и требования обратной совместимости: например, такой сценарий требует нескольких раундов общения и потому его исполнение в существующих браузерах может быть затруднено.

Хорошие случайности

Пожалуй, наиболее глубок и разносторонен вклад Вигдерсона в теорию вероятностных вычислений. Заметьте, что и одним из ключевых элементов описанной схемы для судоку было случайное шифрование. Именно благодаря нему Боб ничего не узнавал о решении по открытой информации. Но часто рандомизация помогает и решению чисто алгоритмических задач, преобразованию входа в выход.

Представьте, что вы попали в центр лабиринта Минотавра. Минотавр пока спит, и точно известно, что выход есть, так что у вас есть время на побег. Проблема в том, что лабиринт очень большой и многоуровневый, все комнаты похожи друг на друга, а никаких средств записи у вас нет. Так что вы не сможете составлять карту по мере обхода лабиринта и не сможете запомнить, какие комнаты уже обошли. Если бы лабиринт был плоским, можно было бы действовать по правилу левой руки: взяться за стену и на всех развилках поворачивать налево — так вы обойдете весь лабиринт и в какой-то момент наткнетесь на выход. Но для сложной пространственной структуры такой метод уже не сработает: никакого естественного порядка обхода ввести не получится. Оказывается, неплохим решением в такой экстремальной ситуации будет случайное блуждание: оказавшись в новой комнате, выбирайте случайно любую из соседних. В среднем вы доберетесь до выхода достаточно быстро, хотя если очень не повезет, то останетесь в лабиринте навсегда.

Использование случайности в алгоритмах ставит несколько важных вопросов. Один мы уже упоминали: нельзя ли придумать процедуру для решения той же задачи, но без использования случайных битов? Для задачи о лабиринте Минотавра можно, что доказал один из коллег Виндерсона — Омер Рейнгольд. Но для других, более сложных задач ответ неизвестен. Другой вопрос более практичен: откуда брать случайные биты в достаточном количестве для работы наших алгоритмов и процедур взаимодействия? И насколько повлияет качество случайных битов на точность ответа и надежность протокола?

Давайте сначала разберемся с качеством случайности. Ее источники разделяют на два вида: генераторы истинно случайных чисел и генераторы псевдослучайных чисел. Генераторы истинно случайных чисел получают данные из какого-то природного, технического или социального процесса, который протекает случайным образом. Это может быть, например, радиоактивный распад, атмосферные течения, шум аудиокарты, движение мышкой пользователя или котировки на бирже. Есть и специально сконструированные квантовые приборы, в которых стоит лазер, излучающий один фотон, полупроницаемое зеркало и два регистратора, проверяющих, отразился фотон от зеркала или нет. Но какая бы ни была природа процесса, регистрирующий прибор будет неизбежно вносить искажения, так что выдаваемые им биты могут иметь те или иные скошенности или корреляции.

В то же время генераторы псевдослучайных чисел на самом деле являются полностью детерминированными процедурами, но их выход «очень похож» на случайный, так что часто используется вместо него. Примером генератора «на коленке» является такой алгоритм: возьмите четырехзначное число, не оканчивающееся на два нуля, возведите его в квадрат и получите число восьмизначное (если получилось меньше знаков, добавьте в начало недостающие нули). Теперь возьмите серединку, то есть число, образованное знаками с 3-го по 6-й. Это будет следующее число, с которым можно проделать ту же процедуру, и дальше она повторяется по циклу. Например, начнем с числа 2021. Возведя в квадрат, получим 04084441. Серединка — 0844. Снова возведя в квадрат, получим 00712336. Серединка — 7123. Дальше получится 7371, 3316, 9958, 1617, 6146, 7733, 7992, 8720 и так далее. Никакой явной закономерности не просматривается, хотя процедура порождения очень простая. Конечно, у процедуры есть недостатки: например, число 3792 неожиданно переходит само в себя. На практике используют более продвинутые генераторы, но, например, для лотерей псевдослучайные числа не подойдут в принципе.

Для приложений важно как качество случайных битов, так и их количество. Эти требования противоречат друг другу: при «массовом производстве» битов будет возникать разного рода «брак». Предположим, что у нас есть два источника: один очень хороший, но медленный (например, лотерейный барабан), другой низкого качества, но быстрый (например, сеть автоматических метеостанций). Оказывается, есть способ скомбинировать эти источники, получив достаточно много достаточно хороших битов: нужно применить экстрактор. Это детерминированная функция, которой можно «скормить» небольшое количество почти идеальных случайных битов и очень много битов среднего качества, и получить большое число очень хороших случайных битов. В зависимости от того, как измеряется и чему равняется качество и количество битов на входе и выходе, определяется качество самого экстрактора.

Вклад Вигдерсона состоит в разработке нескольких конструкций эффективных экстракторов. Наиболее известный инструмент — зигзаг-произведение, введенное в совместной работе с Салилом Вадханом и уже упомянутым Омером Рейнгольдом и нашедшее применение также в построении других объектов, например, экспандеров. Это графы, которые одновременно достаточно разрежены и хорошо связаны. Они используются в самых разных областях, но в том числе позволяют сократить количество случайных битов, которые использует вероятностный алгоритм. Экспандеры также известны как графы-расширители, а за другие их явные конструкции была вручена премия Абеля 2020 года.

Итак, использование экстрактора позволяет достичь того же результата вычислений с использованием случайных битов худшего качества, а использование экспандера — с использованием меньшего количества случайных битов. А можно ли и вовсе избавиться от их использования и полностью дерандомизировать вероятностный алгоритм? Под дерандомизацией понимается преобразование вероятностного алгоритма в детерминированный, но имеющий нечто общее с исходным. Именно дерандомизацией был в конечном счете получен AKS-алгоритм проверки простоты. Алгоритм Рейнгольда побега из лабиринта Минотавра также получен из случайного блуждания при помощи экспандеров. Может быть, есть и универсальная процедура? С другой стороны, почему же она пока не открыта?

Весьма удивительный ответ на этот вопрос дается в серии работ, из которых особенно выделяются статья Вигдерсона с Ноамом Нисаном «Трудность против случайности» («Hardness vs. Randomness») и две статьи Вигдерсона с Расселлом Импальяццо о дерандомизации при различных предположениях. В работе с Нисаном строится специальная конструкция генератора псевдослучайных чисел на основе произвольной «трудновычислимой» функции. Если эта функция по-настоящему трудновычислима, то генератор настолько хорош, что позволяет заменить вероятностную работу на ограниченный перебор. В работах с Импальяццо уточняется, при каких предположениях нужная трудновычислимая функция найдется.

В первой из них она строится в предположении, что некоторые задачи из NP требуют обязательно либо экспоненциального перебора, либо экспоненциального предвычисления. (Технически это предвычисление определяется как микросхема, заранее изготовленная для задачи известного размера. Если этой микросхеме подать на вход условие задачи, она должна отдать на выходе правильный ответ.) Такое предположение (экспоненциальная гипотеза) сильнее, чем просто P≠NP, но более эффективных алгоритмов, чем экспоненциальные, для ряда NP-задач нет.

Во второй статье с Импальяццо используется предположение без всяких микросхем и предвычислений. Условие заключается в том, что сила вероятностных алгоритмов хоть немного ограничена: BPP≠EXP, то есть хоть какая-то задача, решаемая детерминированно за экспоненциальное время, не может быть решена за полиномиальное время вероятностно. Удивительно, но пока что никто не умеет доказывать, что это верно. Заключение же теоремы слабее, чем в варианте с микросхемами: для любой задачи, решаемой вероятностно, есть достаточно быстрый (но не полиномиальный, а только субэкспоненциальный) детерминированный алгоритм, который решает эту задачу верно, но не всегда, а лишь для подавляющего большинства входов.

Таким образом, на вопрос о силе рандомизированных алгоритмов можно ответить так. Если P=NP, то они ничего не дают (об этом было известно еще с начала 1980-х). Если NP «сильно больше» P, то они тоже ничего не дают. И только в промежутке между этими гипотезами вероятностные вычисления могут быть сильнее детерминированных.

Все еще P≠NP

Тут мы возвращаемся к центральной проблеме теоретической информатики и в некотором смысле всей математики — проблеме равенства P и NP. Почему большинство исследователей верят, что они не равны, но при этом не могут этого доказать? На первый вопрос ответов много, но одним из самых убедительных доводов является существование NP-полных задач (к ним относятся, например, судоку на поле N2 x N2, «Морской бой» и «Сапер» — хотя насчет правильной формализации последнего все еще идут дискусии). NP-полные задачи — «самые сложные»: к ним можно свести любую задачу из NP, так что если какая-то из них решается эффективно, то P=NP.

Сводимость можно понимать как переформулировку одной задачи в терминах другой. Например, существование решения можно записать на формальном языке как математическую теорему, так что задача о доказуемости теорем будет NP-полной. Удивительно, что NP-полных задач очень много. Более того, подавляющее большинство задач из NP либо являются NP-полными, либо эффективно решаются непереборным алгоритмом (и потому лежат в P). Лишь для совсем небольшого числа задач вопрос классификации открыт, и со временем их число уменьшается (как с проверкой простоты). Полиномиальные алгоритмы могут быть весьма нетривиальными, как и доказательства NP-полноты. Тем не менее, нигде эти два множества не соприкасаются. Наблюдается эффект «невидимого забора»: ни один из методов, используемых для полиномиального решения, не работает для NP-полных задач, и ни один из инструментов доказательства NP-полноты не подходит для задач из P. При этом если бы P совпадало с NP, то полиномиальные и NP-полные задачи тоже были бы одним и тем же множеством! И что бы тогда означала та структура, которую мы наблюдаем?

Иллюстрация эффекта «невидимого забора». Слева показана наблюдаемая ситуация: почти все задачи относятся либо к полиномиально разрешимым, либо к NP-полным, есть лишь небольшое число NP-промежуточных. Теорема Ладнера утверждает, что при P≠NP такие промежуточные должны быть. Справа показана гипотетическая ситуация в случае P=NP: все задачи из NP за двумя исключениями одновременно полиномиально разрешимы и NP-полны. Исключения — это тривиальные задачи, где ответ всегда «да» или всегда «нет»

Однако несмотря на огромные усилия и даже объявленную премию в миллион долларов, никто не смог доказать, что P≠NP. За полвека исследований оказалось, что целые группы методов доказательства принципиально не могут сработать.

Говорят о так называемых «барьерах» к доказательству. Первый из них — барьер релятивизации — был открыт еще в 1970-х. Можно помыслить компьютеры, подключенные к «черному ящику» — устройству, которое мгновенно решает заложенную в него задачу. Такие черные ящики называют «оракулами», и они способны значительно ускорить вычисления. При этом они могут ускорить и собственно вычисления, и проверку корректности решений, так что и класс P, и класс NP могут расшириться. Так вот, есть оракул, при котором P=NP, и есть оракул, при котором P≠NP. Это значит, что доказательство любого из этих фактов должно ломаться при вычислениях с оракулами, что исключает различные рассуждения, использующие диагональный метод.

Но в 1980-х годах стали появляться комбинаторные рассуждения, которые преодолевали этот барьер. Появился такой план: попробовать доказать, что все задачи из P лежат в каком-то комбинаторно простом множестве, в котором не лежит какая-то задача из NP. Такого рода рассуждения стали называть естественными доказательствами. Однако этот план потерпел крах: оказывается, если существуют односторонние функции, то естественные доказательства не приведут к неравенству P и NP. Метафорически рассуждение можно изложить так: если P≠NP, то искать доказательства теорем сложно — но тогда сложно искать и доказательство того, что P≠NP.

Затем, в 1990-х годах, появилось несколько замечательных теорем, доказанных при помощи алгебраических рассуждений о многочленах над конечными полями. Это, прежде всего, теорема IP=PSPACE и PCP-теорема. Они преодолевали оба известных барьера, и возникла надежда, что они пригодятся и для решения проблемы равенства P и NP.

Однако Вигдерсон в соавторстве со Скоттом Ааронсоном воздвиг третий барьер, названный барьером алгебризации. Это аналог барьера релятивизации, но для оракулов специального вида — алгебраических. Таким образом, и алгебраические техники тоже были отброшены. Сейчас известны рассуждения, преодолевающие все три барьера, но как их приложить к проблеме P и NP, пока никто не знает.

Мы упомянули лишь о некоторых темах, входящих в область научных интересов Вигдерсона. Конкретно они в той или иной степени связаны с определением границ того, что в принципе можно вычислить: сведение класса NP-задач к P, односторонние функции, доказательства с нулевым разглашением, генерация случайных битов, дерандомизация. Они не выстраиваются в прямую линию, но идут, скорее, по окружности.

Помимо этого, Вигдерсон занимается сложностью доказательств, теорией распределенных вычислений, сложностью логических схем, алгоритмами дискретной оптимизации, теоретическими основами искусственного интеллекта и другими вопросами. Какой бы темой он ни занимался, в его работах сочетаются концептуальная глубина и красивейшая математика. Недавно он выпустил книгу «Mathematics and computation», в которой описал личный взгляд на теорию сложности вычислений и использование в ней математических конструкций. Эта книга прекрасно подойдет для читателей, в некоторой степени уже знакомых с математикой и желающих получить общее представление о теоретической информатике.

Даниил Мусатов

самых неправильно понятых математических стандартов в 1-м классе

Я был так рад написать этот пост, потому что более половины своей 23-летней педагогической карьеры я провел в 1 -м классе . Мне нравится этот класс, и мне особенно нравится богатый математический материал, который студенты получают в течение года обучения!

Как я уже говорил в своем последнем посте, обучение математике в начальных классах невероятно сложно, и стандарты могут быть легко неправильно поняты. Вот почему я изучал согласованные материалы, учился у Core Advocates и постоянно углубляю собственное понимание математического содержания.Давайте рассмотрим несколько примеров!

Инструкция Инструкция Инструкция
Стандартный Общая инструкция смещения
1.OA.A.1 Используйте сложение и вычитание в пределах 20 для решения словесных задач, включающих ситуации сложения, взятия из, сложения, разборки и сравнения с неизвестными во всех позициях, например, с использованием объектов, рисунков , и уравнения с символом неизвестного числа для представления проблемы. Инструкция не включает все типы задач из таблицы сложения и вычитания *.

Инструкция по типам задач подчеркивает одни ситуации больше, чем другие, и рассматривает сложение как более важное значение, чем вычитание.

Инструкция включает в себя приемы получения ответов, такие как обучение ключевым словам, вместо поддержки математического мышления и осмысления.

* Общие ситуации сложения и вычитания можно найти здесь .

1.OA.B.3 Применяйте свойства операций как стратегии сложения и вычитания.* Примеры: Если известно 8 + 3 = 11, то также известно 3 + 8 = 11. (Коммутативное свойство сложения.) Чтобы сложить 2 + 6 + 4, можно сложить вторые два числа, чтобы получилась десятка, поэтому 2 + 6 + 4 = 2 + 10 = 12. (Ассоциативное свойство сложения.)

* Студентам не нужно использовать формальные термины для этих свойств.

фокусируется на процедурном обучении свойствам операций вместо построения понимания свойств, почему они работают математически и как их можно использовать при сложении и вычитании.

Инструкция делает упор на изучении словарного запаса, обучая только терминам и их определениям, вместо понимания математических концепций и идей, лежащих в основе терминологии.

Примечание. Использование точного математического языка важно, но учащимся не нужно запоминать или запоминать термины. Акцент делается на понимании и использовании свойств операций.

1.OA.D.7 Поймите значение знака равенства и определите, верны или ложны уравнения, включающие сложение и вычитание.Например, какие из следующих уравнений верны, а какие нет? 6 = 6, 7 = 8-1, 5 + 2 = 2 = 5, 4 + 1 = 5 + 2. Инструкция упрощает значение знака равенства путем процедурной обработки операций вместо того, чтобы дать учащимся понимание того, что знак равенства означает одинаковость величин по обе стороны от знака равенства в уравнении (независимо от того, присутствует ли число или выражение).

Инструкция фокусируется на том, чтобы всегда решать каждую сторону знака равенства, вместо того, чтобы иногда использовать стратегии или математические рассуждения, чтобы определить, когда уравнение является истинным или ложным.

1.NBT.B.3 Сравнивать двузначные числа на основе значений разряда десятков и единиц, записывая результаты сравнений с помощью символов>, = и <. не связывает разряды с пониманием того, что две цифры в двузначных числах представляют собой десятки и единицы, используемые при сравнении. Инструкция

фокусируется на процедурах сравнения чисел, а не на понимании количества двузначных чисел.

1.NBT.C.4 Сложение в пределах 100, включая двузначное число и однозначное число, и добавление двузначного числа и числа, кратного 10, с использованием конкретных моделей или чертежей и стратегий, основанных на разряде, свойствах операций и / или взаимосвязь между сложением и вычитанием, свяжите стратегию с письменным методом и объясните используемую аргументацию. Поймите, что при сложении двузначных чисел добавляются десятки и десятки, единицы и единицы; а иногда надо составить десятку. Инструкции и задачи, которые предоставляются учащимся, ограничиваются задачами, в которых одно из двух дополнений всегда является однозначным числом или десятичным числом.

Инструкция приближается к стандартному алгоритму и не связывает конкретные и графические представления, основанные на понимании числовых значений.

1.MD.A.2 Выразите длину объекта как целое число единиц длины, положив несколько копий более короткого объекта (единицы длины) встык; поймите, что измерение длины объекта - это количество единиц длины одинакового размера, которые охватывают его без зазоров или перекрытий. Ограничение контекстами, в которых измеряемый объект охвачен целым числом единиц длины без пропусков или перекрытий. фокусируется на процедурах измерения вместо построения понимания повторяющихся единиц длины при измерении (используйте одну единицу многократно, от начала до конца, без пропусков, начиная с одной конечной точки).

Инструкция включает измерения с использованием стандартных единиц измерения или стандартных измерительных инструментов, таких как линейки.

Давайте подробнее рассмотрим два ключевых стандарта: 1.OA.D.7 и 1.NBT.C.4. Оба эти стандарта представляют собой основную работу для 1 класса и играют важную роль в последовательном продвижении обучения математике в начальной школе.Как учитель, я много изучал эти стандарты!

1.OA.D.7

Поймите значение знака равенства и определите, верны ли уравнения, включающие сложение и вычитание. Например, какие из следующих уравнений верны, а какие нет? 6 = 6, 7 = 8-1, 5 + 2 = 2 = 5, 4 + 1 = 5 + 2.

В моем классе, когда я ставил истинные / ложные задачи с выражением по обе стороны от знака равенства, я учил студентов всегда сначала решать обе стороны.Я бы последовал за этим сравнением количеств: если количества были одинаковыми, то это было верно, а если не то же самое, это было ложно. Беседуя с коллегами и посещая другие классы, я обнаружил, что многие учителя используют тот же метод. Узнав больше об этом стандарте, я понял, что превратил это обучение в процедуру, и студенты не смогли лучше понять знак равенства.

Аспектом Rigor, предусмотренным в этом стандарте, является концептуальное понимание.Задача математического обучения состоит в том, чтобы учащиеся поняли , что величины по обе стороны от знака равенства должны быть одинаковыми, в противном случае уравнение не имеет смысла с математической точки зрения. Знак равенства не означает получение ответа, а означает нечто гораздо более глубокое! Это показывает, что количества одинаковы или равны.

Я не только систематизировал то, что должно было быть концептуальным обучением, я также упустил возможность сделать упор на рассуждение и математическое мышление, основанное на числах и операциях.Например, в задаче 4 + 4 = 3 + 9 учащимся не нужно ничего добавлять. Они должны уметь рассуждать, что 4 + 4 не больше 9, а 3 + 9 должно быть больше 9, поэтому без добавления чего-либо (кроме известного факта 4 + 4) это уравнение должно быть ложным. Всякий раз, когда мы можем сделать упор на математическом осмыслении в наших инструкциях, мы должны использовать эту возможность !!

1.NBT.C.4.

Сложить в пределах 100, включая двузначное число и однозначное число, и прибавить двузначное число и число, кратное 10, с использованием конкретных моделей или чертежей и стратегий, основанных на разряде, свойствах операций и / или взаимосвязь между сложением и вычитанием, свяжите стратегию с письменным методом и объясните используемую аргументацию.Поймите, что при сложении двузначных чисел добавляются десятки и десятки, единицы и единицы; а иногда надо составить десятку.

Я выбрал этот стандарт, потому что его неправильно понимал как учитель первого класса, пока у меня не появилась возможность углубить свое понимание, углубившись в учебную программу, соответствующую стандартам. Я думал, что стандарт требует, чтобы все задачи, с которыми работают студенты, выглядели примерно так: 23 + 6 , 42 + 4 и 38 + 3 или 23 + 60 , 42 + 40 и . 38 + 30 .Во всех этих примерах одно из слагаемых всегда либо однозначное число, либо кратное десяти. Как оказалось, я неправильно понял этот стандарт!

Изучая в качестве учителя учебную программу, соответствующую стандартам, я столкнулся со многими проблемами, такими как 23 + 36, 42 + 54 и 38 + 27. Итак, как эти двузначные дополнения могут соответствовать этому стандарту и способствовать работе, которая будет выполняться в 2 nd класс? Я также задавался вопросом, как избежать процедурных инструкций и вместо этого сосредоточить внимание на понимании ценности операции сложения.Давайте посмотрим на 23 + 36 и воспользуемся примерами студенческих работ ниже:

Как вы можете видеть, в одном примере ученик разложил 36 на 30 и 6, затем сложил 23 + 6 в качестве первого шага, добавив единицы и единицы. Затем ученик сложил 29 + 30, добавив десятки и десятки, чтобы найти всю сумму. Этот метод соответствует стандарту.

В другом примере ученик разложил оба числа в развернутую форму, затем сложил единицы и десятки по отдельности (20 + 30 и 3 + 6), а затем сложил 50 + 9.Студент в этом случае использовал графическое представление и связал его с записанными уравнениями. Этот метод также соответствует стандарту.

Другая часть этого стандарта предполагает понимание того, что «иногда необходимо составить десятку». Как первоклассник может решить такую ​​задачу (например, 38 + 27), при этом соблюдая стандарт? Опять же, давайте посмотрим на образцы студенческих работ ниже:

Как видите, один студент разложил 27 на 25 и 2, затем сложил 38 + 2, создав эквивалентную задачу 40 + 25.Этот ученик знал, что 2 необходимо, чтобы сделать следующую декаду числом 40, и смог разложить 27, чтобы получить 2. С помощью этого метода ученик составил новую десятку.

Другой ученик добавил единицы к единицам, составив новую десятку, а затем добавил десятки к десяткам, используя графическое представление, основанное на разряде. Затем ученик решил, добавив 50 + 15. Оба метода входят в сферу применения стандарта.

Мне нравится гибкость, допускаемая в этих задачах, создание условий для различных методов решения и различных типов мышления учащихся.Все методы решения основаны на разрядах и построены на плавном добавлении в пределах 100 и сложении трехзначных чисел в 2 и классах и являются основой для глубокого понимания будущих алгоритмов.

Надеюсь, этот пост помог вам по-другому взглянуть на сложное изучение математики, которое происходит в первом классе! Я хотел бы прочитать ваши комментарии или услышать от вас в Твиттере! (@ mrsmillergrade1). С этой серией блогов я также снижаю свои оценки, так что следите за обновлениями моего поста о детском саду, который выйдет в ближайшее время!

Mathwire.com | Решение проблем

Mathwire.com Темы

  • Детский сад
  • 1-2 классы
  • 3–4 классы
  • 5–6 классы
  • 7–8 классы
  • Рубрики
  • Ссылки на сайты, посвященные решению проблем
  • Участки подготовки к тестированию


  • Эти задачи предназначены для учащихся детского сада.

    • Задачи с узорами: визуальные узоры, требующие от учащихся рисовать то, что будет дальше.& nbsp Учителя должны попросить учащихся объяснить, откуда они знают, что будет дальше, чтобы у учащихся развивалась способность объяснять свое мышление.
    • Задачи о животных просят учащихся решать задачи о домашних и животных.
    • Образцы фигур: образцы фигур, которые заставляют учащихся рисовать то, что будет дальше. & nbsp Учителя должны попросить учащихся объяснить, откуда они знают, что будет дальше, чтобы у учащихся развивалась способность объяснять свое мышление.
    • Проблемы с едой: учащиеся решают задачи, связанные с едой, рисуя, чтобы выяснить, сколько всего было съедено печенья, пиццы, кексов.
    • В задачах «Зимние забавы» используются снеговики, санки и варежки, чтобы вовлечь детей в процесс решения задач.
    • Задачи по математике для детского сада
    • Рабочие листы по математике для учеников K-8

    Эти задачи предназначены для учащихся 1-2 классов:

    • Самая большая сумма - это задание ученикам расставить заданные цифры, чтобы получить наибольшую сумму.
    • Наименьшая сумма предлагает учащимся расположить заданные цифры, чтобы получить наименьшую сумму.
    • Наибольшая разница предлагает учащимся расположить указанные цифры так, чтобы получить наибольшую разницу.
    • Наименьшая разница предлагает учащимся расположить указанные цифры так, чтобы разница была наименьшей.
    • Бин-Бэг оценивает понимание учащимися значения разряда с помощью длинных чисел и кубов с основанием десять.
    • Дни рождения требует от учащихся интерпретировать данные в виде гистограммы.
    • Class Gardens измеряет понимание учащимися территории и периметра.
    • Справедливая игра оценивает понимание учащимися вероятности с помощью спиннер-игр.
    • Четно-нечетная игра требует, чтобы учащиеся интерпретировали данные в таблице подсчетов.
    • Pet Survey требует, чтобы учащиеся использовали данные в таблице частот, чтобы построить гистограмму и ответить на вопросы о ней.
    • Задачи по математике для 1 класса
    • Задачи по математике для 2 класса
    • Информационный бюллетень Math Stars: решение задач для талантливых студентов-математиков
    • Рабочие листы по математике для учеников K-8

    Эти задачи предназначены для учащихся 3-4 классов:

    • Pattern Block Fraction Design требует, чтобы учащиеся заполняли форму узорами, чтобы создать дизайн, отвечающий определенным требованиям.& nbsp Учащиеся также должны написать дробь, описывающую часть общего дизайна, представленную каждым блоком с различным цветовым узором.
    • Spinner Game представляет студентам таблицу частоты вращений и требует от студентов создать гистограмму результатов и нарисовать счетчик, который даст эти результаты. & nbsp Учащиеся должны обосновать предложенный счетчик, объяснив, как он соответствует данным.
    • Fraction Game имитирует игру Fraction War, но учащиеся должны нарисовать представление каждой дроби и объяснить, кто победил, на основе рисунков.
    • Симметрия блоков узоров предлагает учащимся использовать блоки узоров для заполнения формы так, чтобы дизайн имел вертикальную или горизонтальную линию симметрии.
    • Симметрия блока шаблона: учащиеся должны создать дизайн блока шаблона, чтобы удовлетворить заданные условия, включая симметрию линий и количество различных используемых частей блока шаблона.
    • Дизайн блока с узором (класс 3) требует, чтобы учащиеся создали дизайн, соответствующий указанным критериям.
    • Узор «Блочный дизайн» (4 класс) требует, чтобы учащиеся создали дизайн, соответствующий указанным критериям.
    • Координатная геометрия (4 класс) требует, чтобы учащиеся нанесли указанные точки, соединили точки, чтобы сформировать фигуру, а затем ответили на геометрические вопросы о фигуре.
    • Field Trip (4 класс) требует от учащихся решить реальную задачу разделения и решить, как поступить с оставшейся частью.
    • Марш муравьев оценивает понимание учащимися концепции умножения как массивов.
    • Парад третьего класса также оценивает понимание учащимися концепции умножения как массивов.
    • Гаражная распродажа - это выкройка на основе домино.
    • TV Survey - это пример проблемы анализа данных с вопросами, разработанными для каждого уровня Таксономии Блума.
    • Наибольшая трехзначная сумма предлагает учащимся расположить заданные цифры, чтобы получить наибольшую сумму, и объяснить свои рассуждения.
    • Наименьшее трехзначное различие предлагает учащимся расположить заданные цифры так, чтобы получить наименьшее различие, и объяснить свои рассуждения.
    • High-Number Toss - 1 предназначена для измерения понимания учащимися разряда, используемого в одноименной математической игре на каждый день. & nbsp Для успешного решения задачи учащиеся должны быть знакомы с игрой.
    • High-Number Toss - 2 предназначена для измерения понимания учащимися разряда, используемого в одноименной математической игре на каждый день. & nbsp Для успешного решения задачи учащиеся должны быть знакомы с игрой.
    • Назови это число - 1 предназначено для измерения понимания учащимися разряда, используемого в одноименной математической игре на каждый день.& nbsp Для успешного решения задачи учащиеся должны быть знакомы с игрой.
    • Назови это число - 2 предназначено для измерения понимания учащимися разряда, используемого в одноименной математической игре на каждый день. & nbsp Для успешного решения задачи учащиеся должны быть знакомы с игрой.
    • Любимые оболочки - это проблема с шаблоном, которую можно решить с помощью изображения или таблицы ввода / вывода.
    • Площадь и периметр - 1 был разработан для оценки понимания учащимися разницы между площадью и периметром.
    • Площадь и периметр - 2 был разработан для оценки понимания учащимися разницы между площадью и периметром.
    • Исследование формы
    • было разработано, чтобы помочь учащимся развить представление о том, что две фигуры с одинаковым периметром не обязательно имеют одинаковую площадь и наоборот.
    • Осенний парад
    • Marathon Training - это шаблонная задача, которая побуждает студентов использовать таблицу ввода / вывода для организации данных и решения.
    • Сбор тыквы - еще одна проблема с шаблоном, которую можно решить с помощью изображения или таблицы ввода / вывода. предоставлено Шеннон Коллиер, Школа Джозефа К. Карузо, Кинсбург, Нью-Джерси
    • Baseball Season - это шаблонная задача, которую можно легко решить с помощью таблицы значений.
    • Пособие Энтони предоставляет дополнительную практику.
    • Cheerleader Competition был разработан, чтобы оценить понимание учащимися умножения как массива.
    • Открытые математические задачи из Института Франклина онлайн предлагает ежемесячные задачи по теории чисел; Геометрия; Измерение; Паттерны, алгебра и функции; Данные, статистика и вероятность. & nbsp На сайте предлагается три разных уровня сложности для каждой нити.
    • Задачи по математике для 3 класса
    • Опись по математике для 3-го класса: Интернет-школа
    • Задачи по математике для 4 класса
    • Информационный бюллетень Math Stars: решение задач для талантливых студентов-математиков
    • Рабочие листы по математике для учеников K-8


    Эти задачи предназначены для учащихся 5–6 классов.

    • Bake Sale требует, чтобы учащиеся работали задом наперед, чтобы решить задачу.
    • Обезьяний бизнес также требует от студентов работать в обратном направлении, чтобы выяснить, сколько кокосов было перед тем, как каждая обезьяна съела один и забрала треть того, что осталось.
    • Задание по чтению требует, чтобы учащиеся выяснили, какую страницу они прочитали последней, учитывая только результат двух последних страниц.
    • Исследование факторов дает ученикам задачу перечислить все факторы чисел 1-25 и определить числа как обильные, неполные, совершенные, простые.& nbsp Учащиеся могут обращаться к этому списку во время игры в Factor Blaster или Factor Game.
    • Лист записи «Тринадцать способов» был разработан для учащихся, чтобы записать тринадцать способов закрасить диаграмму, чтобы представить 1/2, как указано на веб-сайте PBS Cyberchase, указанном на листе для записи.
    • MATH TV: видео для решения задач предназначены для учащихся средних школ. & nbsp Учащиеся могут выбрать одну из нескольких интерактивных задач со словами, а затем просмотреть видео-решение для каждой.
    • Открытые математические задачи из Института Франклина онлайн предлагает ежемесячные задачи по теории чисел; Геометрия; Измерение; Паттерны, алгебра и функции; Данные, статистика и вероятность. & nbsp На сайте предлагается три разных уровня сложности для каждой нити.
    • Задачи по математике для 5 класса
    • Опись по математике для 5-го класса: Интернет-школа
    • Задачи по математике для 6 класса
    • Головоломки и сложные задачи: сезонные задачи по математике для математического класса средней школы
    • Миссия на миллион долларов просит студентов решить, какая зарплата является лучшим предложением за один месяц работы: один миллион долларов или один цент в первый день, два цента во второй день, четыре цента в третий день и т. Д.
    • Информационный бюллетень Math Stars: решение задач для талантливых студентов-математиков
    • Рабочие листы по математике для учеников K-8

    Эти задачи были разработаны для учащихся 7-8 классов.

    • Исследование экспонентов ставит перед учащимися задачу определить различные закономерности в единицах цифр чисел, возведенных в разную степень.
    • MATH TV: видео для решения задач предназначены для учащихся средних школ.& nbsp Учащиеся могут выбрать одну из нескольких интерактивных задач со словами, а затем просмотреть видео-решение для каждой.
    • Открытые математические задачи из Института Франклина онлайн предлагает ежемесячные задачи по теории чисел; Геометрия; Измерение; Паттерны, алгебра и функции; Данные, статистика и вероятность. & nbsp На сайте предлагается три разных уровня сложности для каждой нити.
    • Задачи по математике для 7 класса
    • Задачи по математике для 8 класса
    • Нью-Йорк: образец открытого теста с ответами для 8-х классов
    • Нью-Йорк Образцы решений теста открытого ответа для 8-х классов
    • Опись 8-го класса по математике: Интернет-школа
    • Головоломки и сложные задачи: сезонные задачи по математике для математического класса средней школы
    • Миссия на миллион долларов просит студентов решить, какая зарплата является лучшим предложением за один месяц работы: один миллион долларов или один цент в первый день, два цента во второй день, четыре цента в третий день и т. Д.
    • Информационный бюллетень Math Stars: решение задач для талантливых студентов-математиков
    • Рабочие листы по математике для учеников K-8

    Эти ссылки представляют собой общие рубрики решения проблем в различных форматах.

    • Exemplars Основная рубрика: Головоломка Рубрика
    • Образцы Термометр Рубрика
    • Образцы Студенческая Рубрика: только слова
    • Образцы классической математики Рубрика
    • Образцы пересмотренной стандартной рубрики NCTM


    Эти ссылки предоставляют дополнительные задания по решению проблем для учащихся всех классов.

    • Математические приключения Макса
    • Math Maven's Mysteries (Загадки Math Maven's Mysteries)
    • Задача недели по основам математики
    • Aunty Math: математические задания для детей
    • Уголок головоломки AIMS
    • Рисунок: Математические задачи для всей семьи
    • Математические задачи
    • Ole Miss Проблемы недели
    • Примеры задач математической лиги
    • Вопросы по математике TIMSS для 4-8 классов
    • Задача недели по математике
    • Коды и шифры
    • Примеры проблем
    • Гарвардский проект сбалансированной оценки
    • Набор заданий в классе: математика
    • Интерактивные задания по математике из Центрального школьного округа
    • Примеры вопросов WASL по математике: для классов K-12
    • Задания по математике от Центрального школьного округа Арлингтона
    • Интернет-школа: инвентаризация математики

    Эти ссылки побуждают учащихся развивать логическое мышление и использовать шаблоны для решения этих головоломок и головоломок.

    • Ежедневная судоку для детей
    • Игра Add 'em Up
    • All Out Game
    • Place It: воссоздайте квадрат из кусочков
    • Дворец Пазлов Эриха
    • Master Mind Game (Мастер игры разума)
    • Приложение Mastermind Game
    • Simon Says Game
    • Peg Game
    • The Set Game Daily Puzzle (Пазл на каждый день)
    • Math Gym Аркада

    Эти ссылки ведут на общие сайты по подготовке к тестам, где представлены вопросы в формате с несколькими вариантами ответов, на которые студенты могут ответить в Интернете.

    • Стратегии чтения и математики: сборник ссылок для подготовки к экзаменам по языку и математике для Gr. 3-6.
    • Практика подготовки к тесту на основе оценки и обучения на основе стандартов Brainchild. & nbsp Выберите «Онлайн-экзамен», затем щелкните соответствующее состояние.
    • Математика Houghton Mifflin: Практика подготовки к экзаменам для 1–6 классов. & nbsp На сайте также есть статья «Станьте лучше тестируемым», в которой обсуждаются стратегии сдачи тестов для учащихся 1–6 классов.
    • SAT Math Pro: видеоуроки по запросу

    Бесчисленных задач со словами в первом классе: эффективная стратегия, которая работает!

    Готовы сделать проблему словарных задач делом прошлого, реализовав бесчисленных текстовых задач в первом классе (или любой другой степени, если на то пошло)? Тогда вы попали в нужное место!

    Останься со мной.

    Признайся. Большинство из нас предпочли бы провести неделю перерыва, чем научить своих первоклассников решать словесные задачи.Снова и снова мы с ужасом наблюдаем, как наши ученики случайным образом складывают числа в словесную задачу, чтобы получить «ответ». Мы чувствуем себя безнадежными, студенты - безнадежными, и мы боремся с желанием вообще пропустить проблемы со словами.

    НАЖМИТЕ ЗДЕСЬ, чтобы получить БЕСПЛАТНО свои бесчисленные задачи со словами и план урока

    Я прав?

    Посмотрите, можете ли вы относиться к этому сценарию:

    Мы представляем нашим студентам задачу со словами, которая представляет собой НЕ простую задачу «часть-часть-целое», в которой сумма неизвестна.Зачем нам это делать? Потому что для большинства из нас наши стандарты гласят, что первоклассники должны уметь решать все типы задач для сложения и вычитания с неизвестно в во всех позициях .

    Как известно, друзья мои, это непростая задача.

    Проблема, которую мы представляем, такова:

    В автобусе 6 студентов. Еще больше студентов садятся в автобус. Сейчас в автобусе 9 студентов.Сколько еще студентов село в автобус?

    Мы сидим и ждем - чувствуя себя под водой, затаив дыхание, ожидая . Просто один ученик с по действительно обработает и поймет , о чем спрашивает проблема.

    Мы прищуриваем глаза и собираемся… надеясь, что мы не услышим очень уверенного ответа из 15!

    Но мы делаем.

    У нас почти , всегда делаю.

    Большинство наших первоклассников имеют тенденцию случайным образом брать числа в словесной задаче и складывать их вместе.

    Почему?

    Потому что они крошечные люди, которых еще не научили, как обрабатывать то, что задают в текстовой задаче, а также какая важная информация необходима для решения проблемы.

    Решение?

    Бесчисленные проблемы со словами!

    Заинтересованы?

    Оставайтесь со мной, пока я проведу вас через 5 простых шагов , которые помогут вам справиться с бесчисленными задачами со словами в вашем собственном классе.

    (Престижность блестящего Брайана Бушарта за то, что он придумал этот спаситель стратегии . Эта единственная стратегия может полностью изменить способности наших учеников решать задачи со словами. Это меняет правила игры.)

    Но сначала ... Что такое проблемы с бесчисленными словами?

    Бесчисленные проблемы со словами - это всего лишь… проблемы со словами, которых нет числа. Однако они не остаются без числа , это просто , изначально представленные таким образом .

    Первоначально удалив все числа в текстовой задаче, учащимся предоставляется возможность обработать то, что действительно происходит в ситуации на .

    Давайте воспользуемся приведенным выше примером. Версия без номера будет выглядеть так:

    В автобусе едут студенты. Еще больше студентов садятся в автобус. Сейчас в автобусе много студентов.

    А теперь представьте, что мы только что представили этот сценарий нашим студентам.

    Как видите, номера были удалены, , как и вопрос . Когда числа и вопрос убраны, ученики больше не спешат складывать числа так же быстро, как пчелы, роящиеся к рожкам ванильного мороженого в жаркий летний день.

    Что происходит с их мыслительным процессом?

    Внезапно нашим ученикам приходится сбавлять скорость и обрабатывать , что на самом деле происходит в этой ситуации.

    Они должны визуализировать и думать .Это фантастика, потому что в реальной жизни нам не нужно решать аккуратные уравнения. Настоящая математика включает в себя мышление, обработку и решение проблем.

    Итак, как это выглядит от начала до конца?

    Вот 5 простых шагов для решения бесчисленных задач со словами в первом классе - или любой другой в этом отношении:

    НАЖМИТЕ ЗДЕСЬ, чтобы получить БЕСПЛАТНЫЕ задачи со словами и план урока.

    Шаг 1. ПРЕДСТАВЬТЕ ЗАДАЧУ С БЕСЧИСЛЕННЫМ СЛОВОМ С НОМЕРАМИ И ВОПРОСОМ ПЕРВОНАЧАЛЬНО УДАЛЕННЫМ

    Выберите задачу со словом из учебной программы по математике или напишите ее самостоятельно.Уберите числа и вопрос, затем прочтите его студентам.

    Спросите учащихся, что происходит в рассказе, и попросите их внимательно изучить любую математику, которую они видят.

    Пусть они думают, соединяются, делятся своими идеями.

    Вот несколько возможных ответов:

    • Есть автобус с детьми.
    • В автобус садятся еще дети.
    • В конце истории в автобусе больше детей, чем в начале.
    • Это проблема с присоединением, потому что в автобус садится все больше детей.

    (Примечание: потребуется время и практика использования стратегии задачи с бесчисленными словами, прежде чем некоторые из наших учеников получат подобные ответы, но, проявив немного терпения, это произойдет.)

    Шаг 2: МОЗГОВОЙ ШТУРМ, ЧТО ВОПРОС

    МОЖЕТ БЫТЬ , ЗАТЕМ ОТКРОЙТЕ ВОПРОС

    На этом этапе мы попросим наших учеников подумать, спариться, поделиться тем, что может быть вопросом .

    Поощряя наших учеников думать о том, что «можно спросить», мы поощряем их выявлять и обрабатывать важные аспекты проблемы.

    Когда мы впервые просим наших учеников сделать это, мы можем встретить пустые взгляды. Держись крепче. Используйте время ожидания … .как нет завтра.

    Ваше терпение окупится. Этот процесс становится намного проще. По мере того как наши ученики сталкиваются с большим количеством проблем, они становятся удивительными «детективами».

    Вы можете услышать такие ответы:

    • Сколько студентов ехали в автобусе в конце?
    • Может быть.Сколько студентов было в автобусе вначале?
    • Сколько еще студентов село в автобус?

    После мозгового штурма раскрывает фактический вопрос в словесной задаче и перечитывает задачу учащимся.

    Шаг 3: Попросите учащихся ОПРЕДЕЛИТЬ

    КАКАЯ ИНФОРМАЦИЯ НЕОБХОДИМА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ, ЗАТЕМ ОТКРЫТЬ ИНФОРМАЦИЮ.

    К этому моменту ученики знают, в чем заключается вопрос.Теперь спросите их, могут ли они решить проблему.

    Конечно, они скажут, что не могут.

    Здесь мы попросим их подумать, сопоставить, поделиться той информацией, которая им нужна для решения проблемы.

    Опять же… .эта часть процесса потребует большого терпения в начале нашего пути к бесчисленным проблемам со словами, но наше терпение окупится в десять раз - гарантированно.

    После того, как учащиеся провели мозговой штурм и поделились информацией, необходимой для поиска решения проблемы, начните показывать числа по одному и обсуждать.

    Пример разговора может выглядеть так:

    «Хорошо, мои маленькие математики. Ты прав! Нам нужно знать, сколько студентов было в автобусе в начале рассказа. И я вам скажу.

    Шесть студентов были в автобусе в начале рассказа. Я вычеркну слово «некоторые» и напишу 6.

    .

    Давайте теперь прочтем сюжетную задачу.

    «В автобусе 6 студентов. Еще больше студентов садятся в автобус. Сейчас в автобусе много студентов.Сколько еще студентов садится в автобус? »

    Можете ли вы решить проблему сейчас? Почему нет?"

    Здесь учащиеся будут думать, объединяться, делиться дополнительной информацией, необходимой им для решения проблемы. Затем продолжите с ними разговор.

    Это может выглядеть примерно так:

    «Да! Ты прав. Нам также нужно знать, сколько студентов было в автобусе в конце нашей истории.

    Я расскажу вам эту информацию.

    В конце нашей истории в автобусе было 9 студентов. (Мы хотим написать цифру 9 в нужном месте.)

    Хорошо, мальчики и девочки, вам нужна дополнительная информация для решения этой проблемы? » (Попросите учащихся подумать, спариться, поделиться.)

    Шаг 4: Дайте студентам время решить проблему со словами, используя стратегию их выбора

    К настоящему времени наши студенты нашли время, чтобы по-настоящему понять проблему слов , они определили, какая информация им нужна для решения проблемы, и они готовы к работе .

    Здесь мы делаем шаг назад и даем нашим ученикам время для продуктивной борьбы, поскольку они работают над проблемой, используя любые подходящие им стратегии. Некоторые захотят нарисовать картинки. Некоторые захотят использовать манипуляторы. А некоторые захотят писать и решать уравнения.

    Пусть.

    Эта свобода выбора позволяет нашим ученикам работать на соответствующем уровне развития и участвовать в решении серьезных проблем.

    Пока наши ученики заняты решением задачи, мы хотим побродить по комнате, а займется своим делом .Для студентов, которые «застряли», мы захотим осторожно сдвинуть их с места, используя стратегические вопросы. Например:

    • Что происходит в истории?
    • Это проблема , соединяющая или , разделяющая ?
    • Что вы знаете и что пытаетесь выяснить?
    • Какую стратегию вы могли бы использовать для решения проблемы?

    Студентам, которые быстро решили задачу, мы захотим посмотреть, смогут ли они решить ее, используя другую стратегию.

    Шаг 5: ОБРАЩАЙТЕСЬ К СТУДЕНТАМ СВОИМИ ОТВЕТАМИ И СТРАТЕГИЯМИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ WORD

    После того, как учащиеся решат проблему, мы попросим их поделиться своими ответами, а также , как они решили проблему. Сначала позвольте им поделиться с партнером, а затем мы хотим стратегически выбрать несколько студентов, чтобы поделиться им со всей группой.

    Мы хотим выбрать несколько студентов, которые использовали различных стратегий для решения задачи.

    Почему?

    Во-первых, он учитывает математического мышления всех учащихся. Мы никогда не хотим, чтобы учащиеся стеснялись использовать манипуляторы или рисовать картинки. И мы не хотим заставлять учащихся, находящихся на стадии репрезентации, чувствовать, что они должны использовать манипуляторы или рисовать изображения. Поэтому мы выберем учащихся, которые расскажут, кто решил проблему с помощью различных стратегий - манипуляций, изображений и уравнений.

    Это также способ применения модели различных стратегий без угрозы.Когда мы моделируем стратегию, ученики склонны думать, что это правильный путь, для решения проблемы. Когда учащиеся видят различных стратегий, разделяемых их сверстниками, они начинают усваивать тот факт, что существует множество эффективных стратегий для решения математических задач, и это может побудить студентов расправить крылья и попробовать их.

    Наконец, когда студенты делятся своими математическими рассуждениями, будь то с партнером или со всем классом, это углубляет их собственное понимание математики.

    ПРОБЛЕМЫ БЕЗЧИСЛЕННЫХ СЛОВ В ПЕРВОМ УРОВНЕ - ИТОГ

    Если у вас есть ученики, которые случайным образом складывают числа в текстовые задачи, чтобы «получить» ответы, ЛУЧШИЙ СПОСОБ вылечить эту болезнь - использовать бесчисленные словесные задачи. .

    Когда числа и вопросы изначально удаляются из задачи со словами, учеников вынуждены остановиться, подумать и по-настоящему осмыслить , что именно происходит в данной ситуации.

    Это то, что нам нужно .

    Если мы печем торт и по рецепту требуется чашка муки, а у нас есть только четверть мерного стакана, нам нужно выяснить, как решить нашу проблему. Нам не дают уравнения для решения. В реальной жизни так не бывает.

    Реальная математика - это решение реальных жизненных проблем понятными для нас способами. Итак, наша работа - воспитывать математических мыслителей. И стратегия решения бесчисленных словесных проблем - способ сделать это.

    Хорошие новости ... Вам не нужно ничего особенного, чтобы реализовать эту стратегию.Вы можете просто использовать возникшие у вас проблемы со словами, убрать цифры и не раскрывать вопрос правильно.

    Однако, если вы ищете исчерпывающий ресурс «СДЕЛАНО ДЛЯ ВАС», который сэкономит ваше время и гарантированно увлечет ваших учеников, у нас есть следующие годовые наборы. Эти наборы включают в себя бесчисленное количество задач со словами, которые нужно обработать в рамках всей группы или небольшой группы с использованием интерактивной доски, а также распечатанные задачи для самостоятельной практики.Все типы задач представлены с неизвестным во всех позициях, что действительно заставляет студентов задуматься. Щелкните по ссылкам, чтобы узнать больше.

    До следующего раза,

    Давайте оставаться позитивными и обогатить умы и сердца окружающих.

    Учителя первого класса, готовы сегодня попробовать множество словесных задач? У нас есть БЕСПЛАТНАЯ БЕСПЛАТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ!

    учебных целей по математике для учащихся

    учебных целей по математике - школа Дотан-Брук Вот список навыков и концепций, по которым учащиеся оцениваются на каждом уровне обучения.

    Детский сад

    • Знать последовательность счета до 100
    • Подсчитайте и скажите количество объектов
    • Чтение и запись цифр на 20
    • Сравнить числа
    • Понять понятие сложения и вычитания
    • Понять значение разряда (11-19)
    • Определить и описать формы
    • Используйте стратегии для точного решения проблем
    • Обоснуйте свое мышление
    • Начать использовать математический язык

    Первый класс
    • Увеличить последовательность счета до 120
    • Чтение и запись цифр на 120
    • Сравните два двузначных числа с помощью <,>, =
    • Представляйте и решайте задачи сложения и вычитания
    • Работа с уравнениями сложения и вычитания
    • Свободно складывать и вычитать в пределах 20
    • Понимание разряда десятков и единиц
    • Сообщите и запишите время на полчаса
    • Разум с формами и их атрибутами
    • Используйте стратегии для точного решения проблем
    • Обоснуйте свое мышление
    • Начать использовать математический язык

    Второй класс
    • Представление и решение задач сложения и вычитания
    • Запоминать факты сложения и вычитания в пределах 20
    • Разница в значениях в тысячах
    • Свободно складывать и вычитать с точностью до 100
    • Измерьте и оцените длину в стандартных единицах
    • Скажите и запишите время до пяти минут
    • Решите проблемы со словами с деньгами
    • Разум с формами и их атрибутами
    • Используйте стратегии для точного решения проблем
    • Обоснование своего мышления
    • Критика мышления других
    • Используйте математический язык

    Третий класс
    • Сложить и вычесть в пределах 1000
    • Представляйте и решайте задачи умножения и деления
    • Умножение и деление в пределах 100
    • Запоминание фактов умножения двух однозначных чисел
    • Решите задачи со словами, используя четыре операции (+, -, x, ÷)
    • Развивайте понимание дробей как чисел
    • Решите проблемы, связанные с измерением, чтобы включить время
    • Понять понятие площади и периметра
    • Разум с формами и их атрибутами
    • Используйте стратегии для точного решения проблем
    • Обоснуйте свое мышление
    • Критика мышления других
    • Используйте точный математический язык

    Четвертый класс
    • Используйте четыре операции с целыми числами для решения задач
    • Выполнять многозначные арифметические операции
    • Понимание эквивалентности дробей и порядок заказа
    • Сложить и вычесть дроби, а дробь умножить на целое число
    • Решение задач со словами, связанных с операциями над дробями (+, -, x)
    • Понимание десятичной системы счисления дробей и сравнение десятичных дробей
    • Решение проблем, связанных с измерением и преобразованием результатов измерений
    • Понимать понятия углов и измерять углы
    • Нарисуйте и обозначьте линии и углы
    • Классифицируйте фигуры по свойствам их линий и углов
    • Используйте стратегии для точного решения проблем
    • Обоснуйте свое мышление
    • Критика мышления других
    • Используйте точный математический язык

    5 класс
    • Написать и интерпретировать числовые выражения
    • Анализируйте закономерности и взаимосвязи
    • Значение разряда с десятичными знаками
    • Операции с многозначными целыми числами, дробями и десятичными дробями
    • Решите задачи со словами, связанные с операциями над дробями
    • Преобразование одинаковых единиц измерения в данной системе измерения
    • Понимать концепции объема и связывать объем с умножением и сложением
    • Классифицируйте двумерные фигуры по категориям на основе их свойств
    • Используйте стратегии для точного решения проблем
    • Обоснуйте свое мышление
    • Критика мышления других
    • Используйте точный математический язык

    Математика для первого класса: задачи со словами

    Когда первоклассники начинают изучать математику, учителя часто используют словесные задачи и примеры из реальной жизни, чтобы помочь ученикам понять сложный язык математики.Это создает основу для высшего образования, которое студенты будут продолжать как минимум в течение следующих 11 лет.

    К тому времени, когда они закончат первый класс, ученики должны знать основы счета и числовых моделей, вычитания и сложения, сравнения и оценки, основных разрядов, таких как десятки и единицы, данных и графиков, дробей, двух и трехмерных фигур. , а также время и деньги на логистику.

    Следующие PDF-файлы для печати помогут учителям лучше подготовить учащихся к усвоению этих основных понятий по математике.Читайте дальше, чтобы узнать больше о том, как задачи со словами помогают детям достичь этих целей до окончания первого класса.

    Как задачи со словами помогают первоклассникам учить математику

    Деб Рассел

    Распечатать PDF-файл: Рабочий лист задачи Word 2

    Задачи со словами, подобные тем, которые представлены во втором PDF-файле для печати, помогают учащимся понять контекст, в котором нам нужна математика, и использовать ее в повседневной жизни, поэтому важно, чтобы учителя убедились, что их ученики понимают этот контекст, а не просто приходят к ответу на основе математика задействована.

    Он предназначен для понимания учащимися практического применения математики. Если вместо того, чтобы задать ученикам вопрос и ряд чисел, которые необходимо решить, учитель предложит ситуацию вроде «Салли хочет поделиться конфетами», ученики поймут, что проблема заключается в том, что она хочет разделить их поровну, и решение предоставляет средства для этого.

    Таким образом, учащиеся могут понять значение математики и информацию, которую им нужно знать, чтобы найти ответ: сколько конфет у Салли, со сколькими людьми она делится и хочет ли она отложить их на потом?

    Развитие этих навыков критического мышления в связи с математикой необходимо учащимся, чтобы они продолжали изучать этот предмет в более старших классах.

    Формы тоже имеют значение!

    Деб Рассел

    Распечатать PDF-файл: Рабочий лист задачи Word 3

    При обучении первоклассников начальным предметам математики с помощью рабочих листов с задачами со словами речь идет не только о представлении ситуации, в которой персонаж имеет несколько предметов, а затем теряет их, но и о том, чтобы учащиеся понимали основные дескрипторы для форм и времени, размеров , и суммы денег.

    В этом связанном листе, например, в первом вопросе учащимся предлагается определить форму на основе следующих подсказок: «У меня 4 стороны одинакового размера, и у меня 4 угла.Что я? »Ответ, квадрат, можно будет понять только в том случае, если ученик запомнит, что никакая другая форма не имеет четырех равных сторон и четырех углов.

    Точно так же второй вопрос о времени требует, чтобы учащийся мог рассчитать добавление часов к 12-часовой системе измерения, в то время как в пятом вопросе учащемуся предлагается определить шаблоны и типы чисел, задавая вопрос о нечетном числе, которое больше шести, но меньше. чем девять.

    Каждый из связанных рабочих листов выше охватывает полный курс понимания математики, необходимый для завершения первого класса, но важно, чтобы учителя также проверяли, чтобы их ученики понимали контекст и концепции, лежащие в основе их ответов на вопросы, прежде чем позволить им перейти ко второму. по математике.

    - Mathseeds

    Порядковые номера
    51 Дополнение к 10 с двумя и тремя группами Операции Дополнение Решите сложение трех целых чисел. Используйте стратегию расчета. Представляйте цифры с объектами для решения задач сложения. Поймите знак равенства и определите, верны ли уравнения сложения.
    52 2D-фигуры - сортировка и группировка Геометрия Форма Распознавайте и классифицируйте знакомые двухмерные формы.Составляйте двухмерные фигуры. Сопоставьте двухмерные формы с их именами. Определяйте формы как двумерные или трехмерные.
    53 Вычитание (2) Операции Вычитание Представляйте объекты записанными цифрами для решения задач на вычитание. Представьте написанное число с объектами для решения задач на вычитание. Найдите неизвестное число в уравнении вычитания. Найдите пары чисел, которые составляют 10.
    54 Время - Часы Измерение Время Укажите и запишите время в часах с половиной часов.Используйте аналоговые и цифровые часы. Используйте сравнительный язык: больше времени, меньше времени.
    55 Длина - ближний и дальний Измерение Длина Сравните и выберите, что длиннее или короче. Сортируйте объекты по высоте. Опишите положение и движение, используя повседневный язык местоположения и направления. Используйте сравнительный язык: рядом, далеко, сзади, впереди, рядом, большой, маленький, короткий, высокий, самый длинный, самый короткий.
    56 Номер строки Номер Подсчет Сосчитайте до 20.Прочтите числовые слова до двадцати. Порядковые номера, считая вперед и назад. Подсчитайте, чтобы ответить на вопросы типа «Сколько?». Подключите счет к сложению. Дополнение к модели для дополнений к 10.
    57 Позиция (1) Расположение Позиция Следуйте инструкциям в знакомые места. Понимайте слова позиции, когда даете и следуете указаниям: вправо, влево, вверху, внизу, рядом, между, вперед, внизу.
    58 Вычитание - использование числовой прямой Операции Вычитание Решите задачи на вычитание, используя числовую линию.Представляйте объекты записанными цифрами для решения задач на вычитание. Представьте написанное число с объектами для решения задач на вычитание. Найдите неизвестное число в уравнении вычитания.
    59 Площадь Измерение Площадь Понять, что площадь измеряет, сколько покрывает поверхность. Сортируйте объекты по высоте. Отсортируйте объекты по площади. Сравните, чтобы определить и заказать область. Подсчитайте, чтобы измерить площадь. Используйте сравнительный язык: большой, маленький, низкий, высокий, самый большой, самый маленький.
    60 Счет 20-30 Номер Подсчет Считайте до 30, начиная с любого числа. Читать и писать цифры. Изобразите количество предметов письменной цифрой. Составляйте двузначные числа, используя десятки и единицы. Сравните группы объектов. Используйте сравнительный язык: больше, меньше.
    61 Целые и половинки Номер Фракции Разбиение объектов пополам.Определите и раскрасьте половину различных 2D-форм. Признайте, что делитесь поровну между двумя, каждая доля равна половине. Прочтите обозначение дробей.
    62 3D-объекты - сортировка и группировка Измерение 3D-форма Определите фигуры в стопке. Определите формы, которые катятся. Определите формы, которые скользят. Назовите 3D-объекты. Определите количество сторон и углов трехмерного объекта.
    63 Номер Подсчет Чтение и представление позиции с использованием порядковых номеров в последовательности.
    64 Деньги Номер Деньги Считайте и заказывайте деньги. Решайте проблемы сложения с помощью монет. Решите проблемы сложения, связанные с деньгами.
    65 Дополнение к 20 Операции Дополнение Решите сложение трех целых чисел. Используйте стратегию расчета. Решите задачи сложения с помощью числовой прямой. Решайте задачи на сложение, считая по двоек. Составляйте числа от 11 до 19 в десятки и единицы.Сделайте числовые связи для чисел до 20.
    66 Половинки и четверти Номер Фракции Разбиение предметов на половинки и четверти. Найдите и раскрасьте половину и четверть различных двухмерных фигур. Признайте, что делите поровну между двумя, тремя и четырьмя. Прочтите обозначение дробей.
    67 Счет 30-40 Номер Подсчет Считайте до 40, начиная с любого числа.Читать и писать цифры. Изобразите количество предметов письменной цифрой. Составляйте двузначные числа, используя десятки и единицы. Соедините число с 30 тремя слагаемыми.
    68 Вычитание - найти разницу Номер Вычитание Решите задачи на вычитание, используя функцию «Найти разницу». Представляйте объекты записанными цифрами для решения задач на вычитание. Представьте написанное число с объектами для решения задач на вычитание.Найдите неизвестное число в уравнении вычитания.
    69 Объединение фигур (2D и 3D) Геометрия Фигуры 2D и 3D Составьте двухмерные фигуры, чтобы создать составную фигуру. Составьте трехмерные фигуры, чтобы создать составную фигуру.
    70 Время - часы и половина прошедшего Измерение Время Укажите и запишите время в часах с половиной часов.Используйте аналоговые и цифровые часы. Используйте сравнительный язык: больше времени, меньше времени.
    71 Обмен Операции Группа и доля Разделите коллекцию объектов на две, три, четыре или шесть равных групп.
    72 Двухместные (2) Номер Дополнение Решите задачи сложения, используя удвоения как стратегию. Сравните группы объектов. Используйте сравнительный язык: больше, меньше.Найдите пары чисел, которые составляют 10. Решите сложение трех целых чисел. Сделайте числовые связи для чисел до 20.
    73 Масса - тяжелая и легкая (2) Измерение Масса Сравните и закажите, что тяжелее или легче. Используйте сравнительный язык: тяжелый, тяжелый, самый тяжелый, легкий, легкий, самый легкий, баланс.
    74 Группировка Операции Группа Сортировка и описание коллекции объектов как группы.Представляйте умножение как группы посредством равного распределения. Определите коллекции с одинаковым количеством объектов. Отсчитайте группы, чтобы ответить на вопросы типа «Сколько?». Пропустите счет, чтобы узнать общую сумму.
    75 Счет 40-50 Номер Подсчет Считайте до 50, начиная с любого числа. Читать и писать цифры. Составляйте двузначные числа, используя десятки и единицы. Сделайте числовые связи для чисел до 20. Сделайте числовые связи для чисел до 30 с тремя сложениями.
    76 Знак равенства Номер Подсчет Обратите внимание на знак равенства. Определите, истинно ли уравнение со знаком равенства или нет. Сделайте числовые связи для чисел до 20.
    77 Счетчик пропусков по 2 и 5 с Номер Подсчет Решите задачи на счет двоек и пятерок. Решайте задачи по счету числовой прямой по двоек и пятеркам. Найдите группы из двух человек.Отсчитайте группы, чтобы ответить на вопросы типа «Сколько?».
    78 Позиция (2) Расположение Позиция Следуйте инструкциям в знакомые места. Понимайте слова позиции, когда даете и следуете указаниям: вправо, влево, вверху, внизу, рядом, между, вперед, внизу.
    79 Счет по 10 сек Номер Подсчет Сортировка объектов в группы по десять. Распознайте десять как связку из десяти единиц.Пропустить счет по десяткам. Составляйте двузначные числа, используя десятки и единицы. Подсчитывайте и создавайте коллекции, разделяя числа с использованием разряда.
    80 Данные (1) Статистика Графики Представляйте данные с помощью объектов и рисунков. Сортируйте данные и представляйте их с помощью меток. Поймите индивидуальную переписку. Ответьте на вопросы о данных.
    81 Счет 50-70 Номер Подсчет Считайте до 70, начиная с любого числа.Читать и писать цифры. Номера заказов в числовой строке. Номера заказов на числовой таблице. Сравните группы объектов. Используйте сравнительный язык: больше, меньше. Подсчитывайте и создавайте коллекции, разделяя числа с использованием разряда.
    82 Шанс (1) Статистика Шанс Определите результаты знакомых событий. Используйте повседневный случайный язык: случится, не случится, может случиться, возможно, невозможно. Используйте сравнительный язык: более вероятно, менее вероятно.
    83 Деньги (2) Деньги Сложение и вычитание Решить проблемы сложения, связанные с деньгами. Найдите монеты и банкноты. Сопоставьте деньги с символами: $, c. Сравните стоимость предметов. Используйте банкноты и монеты разного достоинства для определения суммы. Решите проблемы вычитания, требующие изменений.
    84 Измерение длины Измерение Длина Сравните и выберите, что длиннее или короче.Измерьте и сравните длину пар предметов, используя единые неформальные единицы. Сортируйте объекты по длине. Используйте сравнительный язык: длиннее, длиннее, короче, короче.
    85 Найди отличия (2) Номер Вычитание Решите задачи на вычитание, используя функцию «Найти разницу». Представляйте объекты записанными цифрами для решения задач на вычитание. Решите задачи на вычитание, используя числовую прямую. Представьте написанное число с объектами для решения задач на вычитание.Найдите неизвестное число в уравнении вычитания.
    86 Подсчет 70-100 Номер Подсчет Считайте до 100, начиная с любого числа. Читать и писать цифры. Номера заказов в числовой строке. Номера заказов на числовой таблице. Сравните группы объектов. Используйте сравнительный язык: больше, меньше. Разберитесь в значении знака равенства, чтобы определить истину или ложь.
    87 Время: половина прошлого (цифровой) Измерение Время Укажите и запишите время в часах с половиной часов.Используйте аналоговые и цифровые часы.
    88 Торговые десятки Операции Значение места и добавление Сортировка объектов в группы по десять. Распознайте десять как связку из десяти единиц. Составляйте двузначные числа, используя десятки и единицы. Подсчитывайте и создавайте коллекции, разделяя числа с использованием разряда. Номера заказов на числовой таблице.
    89 Вместимость (2) Измерение Вместимость Используйте сравнения, чтобы решить, что больше или меньше.Используйте сравнительный язык: пусто, полно, меньше всего, больше всего. Сравните вместимость с использованием различных контейнеров. Измерьте вместимость контейнера, используя неформальные единицы.
    90 Подсчет пропусков (2) Номер Подсчет Пропустить счет до двоек и пятерок. Соедините числа с числами до 20. Решите задачи на сложение трех целых чисел. Используйте повторное сложение, чтобы моделировать и отвечать на вопросы умножения.
    91 Почти двойные до 20 Номер Дополнение Решите проблемы сложения, используя стратегию близких удвоений.Используйте сначала добавить к десяти как стратегию сложения. Пропустить счет до пяти. Найдите разные суммы, которые вместе составляют одно и то же число. Решите сложение трех целых чисел. Сделайте числовые связи для чисел до 20. Считайте и создавайте числа, разделяя числа с помощью разряда.
    92 Изменить с 20 $ Операции Вычитание Решить проблемы сложения, связанные с деньгами. Найдите монеты и банкноты. Матч деньги, используя символы: $, c. Сравните стоимость предметов.Используйте банкноты и монеты разного достоинства для определения суммы. Решите проблемы вычитания, требующие изменений.
    93 Количество фактов Семей Номер Значение места Решать задачи, используя свойство коммутативности сложения. Плавно прибавляйте к 10. Распознавайте различные комбинации чисел, которые образуют семейства числовых фактов. Обратите внимание на знак равенства. Определите, верны ли уравнения сложения или нет. Субитизируйте небольшие группы объектов в различные формации.
    94 Позиция (2) Расположение Позиция Следуйте инструкциям в знакомые места. Понимайте слова положения, когда даете и следуете указаниям: вправо, влево, вверх, внизу, внизу, внизу, вверху, рядом, между, рядом, вперед, внизу, по часовой стрелке, против часовой стрелки.
    95 Добавить в пределах 100 (двузначное + однозначное) Операции Значение места и добавление Добавьте двузначное число и однозначное число.Используйте стратегии, основанные на размещаемой стоимости. Сложите двузначные числа, иногда требуя составить десятку. Добавьте числовую строку. Номера заказов на числовой таблице. Решайте проблемы сложения, используя в качестве стратегии расчет. Решайте проблемы со словами, используя сложение. К двузначному числу прибавьте число, кратное десяти. Распознавайте различные комбинации чисел, которые образуют семейства числовых фактов.
    96 Перемычка (10, 20, 30) Операции Дополнение Решите проблемы сложения, используя стратегию «мост к десяти».Решите задачи сложения с помощью числовой прямой. Напишите уравнения для решения задач сложения. Обратите внимание на знак равенства. Определите, верны ли уравнения сложения или нет. Используйте сравнительный язык: больше, меньше. Решайте задачи сложения, используя стратегию прыжков. К двузначному числу прибавьте число, кратное десяти.
    97 Данные (2) Статистика Данные Представляйте данные с помощью объектов и рисунков. Сортируйте данные и представляйте их с помощью меток.Поймите индивидуальную переписку. Ответьте на вопросы о данных.
    98 Сложить и вычесть десятки до 10 Операции Сложение и вычитание Сложите и вычтите число, кратное десяти, к двузначному числу. Сложите и вычтите числовую строку. Сложите и вычтите, используя числовую диаграмму. Обратите внимание на знак равенства. Определите, верны ли уравнения сложения или нет. Решайте проблемы сложения, используя стратегию расчета. Субитизируйте небольшие группы объектов в различные формации.
    99 3D-объекты (2) Геометрия 3D-объект Распознавать и сортировать двумерные формы, являющиеся гранями трехмерных объектов. Определите призмы. Определите грани призм. Узнавайте особенности призм. Определите объекты в форме призм.
    100 Вычитание неизвестных чисел Номер Вычитание Найдите неизвестное число в уравнении вычитания.Решайте задачи, используя коммутативное свойство сложения. Плавно прибавляйте к 10. Распознавайте различные комбинации чисел, которые образуют семейства числовых фактов. Решайте задачи на вычитание, используя стратегию счета. Решите проблемы вычитания, требующие изменений.

    Один меньше, один больше. Рабочие листы и учебные пособия по математике для первого класса.

    Число и операции (NCTM)

    Понимание чисел, способов представления чисел, отношений между числами и систем счисления.

    Развивайте чувство целых чисел, представляйте и используйте их гибкими способами, включая связывание, составление и разложение чисел.

    Соединяйте числовые слова и цифры с величинами, которые они представляют, используя различные физические модели и представления.

    Быстро вычисляйте и делайте разумные оценки.

    Разработайте и используйте стратегии для вычислений целых чисел с упором на сложение и вычитание.

    Развивайте беглость с помощью базовых числовых комбинаций для сложения и вычитания.

    Алгебра (NCTM)

    Используйте математические модели для представления и понимания количественных соотношений.

    Моделируйте ситуации, которые включают сложение и вычитание целых чисел с использованием предметов, изображений и символов.

    Координаторы учебной программы 1-го класса (NCTM)

    Числа, операции и алгебра: развитие понимания сложения и вычитания и стратегий для базовых фактов сложения и связанных с ними фактов вычитания

    Дети разрабатывают стратегии сложения и вычитания целых чисел на основе их раньше работали с небольшими числами.Они используют различные модели, в том числе дискретные объекты, модели на основе длины (например, длины соединяющих кубов) и числовые линии, для моделирования «часть-целое», «добавление к», «удаление из» и «сравнение». 'ситуации для развития понимания значений сложения и вычитания и стратегии решения таких арифметических задач. Дети понимают связь между счетом и операциями сложения и вычитания (например, сложение двух - это то же самое, что «считать на два»). Они используют свойства сложения (коммутативность и ассоциативность) для сложения целых чисел, и они создают и используют все более изощренные стратегии, основанные на этих свойствах (например,g., «составление десятков») для решения задач на сложение и вычитание с использованием основных фактов. Сравнивая различные стратегии решения, дети связывают сложение и вычитание как обратные операции.

    Число и операции: развитие понимания отношений целых чисел, включая группировку в десятки и единицы

    Дети сравнивают и упорядочивают целые числа (по крайней мере, до 100), чтобы понять и решить проблемы, связанные с относительными размерами этих чисел. Они думают о целых числах от 10 до 100 как о группах десятков и единиц (особенно распознавая числа от 11 до 19 как одну группу из десяти и определенные числа единиц).

    Добавить комментарий

    ©2021 «Детская школа искусств» Мошенского муниципального района