«Детская школа искусств» Мошенского муниципального района

Математика виленкин 6 класс номер 27 решение: Номер №27 — ГДЗ по Математике 6 класс: Виленкин Н.Я.

Сайт vpr-klass.com — впр-класс.ком : гдз, решебник, гиа, егэ, решение задач, задания, варианты, подготовка к экзамену, тесты, презентации.

Error in links file

 Сайт vpr-klass.com — впр-класс.ком : гдз, решебник, гиа, егэ, решение задач, задания, варианты, подготовка к экзамену, тесты, презентации. 
Образовательный сайт vpr-klass.com (впр-класс.ком) — готовые решения задач!

У нас вы найдете много учебных материалов: решебники, ГДЗ, тестовые задания, видео уроки, генераторы задач, решения упражнений гиа и егэ.



Расскажи друзьям


Ищи САЙТ в Яндексе и Google по слову:
vpr-klass или впр-класс


Сохрани сайт в закладки — нажми Ctrl+D

Презентации


Детские презентации


Презентации по математике


Презентации по астрономии

Демо-варианты:


ЕГЭ

Математика


Русский язык


Физика


Обществознание


Английский язык


Информатика


История


Биология


Химия


Литература


География


ГИА (ОГЭ)

Математика


Русский язык


Разделы сайта vpr-klass. com (впр-класс)

Последние новости ГИА и ЕГЭ 2017.

ГИА по математике.
ЕГЭ по математике.
КДР по математике.
Математика 1-4 класс.
Математика 5-6 класс.
Алгебра и геометрия 7-9 класс.
Алгебра и геометрия 10-11 класс.
ГДЗ, решебники по математике, алгебре, геометрии.
Онлайн калькуляторы по математике.
Генераторы случайных примеров и задач по математике.
Презентации.
Другие школьные предметы.

Новое на сайте:

Сайт Vpr-klass.com — это учебный-образовательно-познавательный сайт для школьников!

Приветствуем на уникальном сайте помощи всем ученикам 1-11 классов. На образовательном ресурсе полно полезной, учебной информации от способов решения заданий по математике до разных генераторов задач по алгебре и онлайн калькуляторов по геометрии, которые облегчат жизнь школьника. В частности, сделан больший уклон на решебники и ГДЗ, ведь правильная домашняя работа — это хорошие оценки и учеба в школе.

Также имеется достаточно материалов, которые пригодятся к экзаменам в 9-ых и 11-ых классах. Есть много готовых решенных задач ЕГЭ (ГИА, ОГЭ) и упражнений для отличной самоподготовки к экзаменам. Имеются демонстрационные варианты разных лет и онлайн тесты на основе КИМов для качественной самопроверки знаний. Также есть уникальные генераторы заданий, которые помогут учителям создать карточки для учеников. Есть разделы посвещенные контрольным и самостоятельным и проверочным работам для 3-4-ых и 5-6 классов. Помимо прочего имеются полезные презентации для учителей по разным школьным предметам — биология, обж, информатика, кубановедение, химия и другие. Кроме того есть обучающие видео уроки по математике (ЕГЭ, ГИА, КДР) и информатике (ОГЭ), которые принесут огромную пользу старшеклассникам в подготовке к экзаменам 2018 учебного года.



Интересно


ГИА (ОГЭ) по математике

Много разных решений


Тесты ГИА онлайн.


Видео — ГИА 2013: геометрия


Видео — ГИА 2012


Видео — Демо-вариант 2012.


Решение Демо-варианта 2013 года (2014 года).


Задача №1, Вычислить.


Задача №2, Числа и прямая.


Задача №3, Сравнение чисел.


Задача №4, Уравнения.


Задача №5, Графики и формулы.


Задача №6, Прогрессии.


Задача №7, Упростить выражение.


Задача №8, Неравенства, системы неравенств.


Задача №9, Задания по геометрии.


Генератор вариантов ГИА 2014


ЕГЭ по математике

Много разных решений.


Онлайн тесты.


Видео уроки ЕГЭ по математике.


Генератор вариантов ЕГЭ 2014


Книги, справочники


Решение демо варианта ЕГЭ по математике 2014


Задания B1, задача.


Задания B2, диаграммы.


Задания B5, уравнения.


Задания B8, производная.


Задания B10, вероятность.


ОГЭ по информатике

Видео уроки

Copyright © 2017 vpr-klass.com | Если какой-либо из материалов нарушает ваши авторские права, просим немедленно связаться с Администрацией!!! Наш e-mail: [email protected] | Правообладателям | sitemap. xml

Начало Вселенной | Александр Виленкин

Мы живем после великого взрыва — Большого взрыва, который произошел 13,7 миллиарда лет назад. Во время Большого взрыва Вселенная была заполнена огненным шаром, плотной смесью энергетических частиц и излучения. Почти столетие физики изучали, как огненный шар расширялся и охлаждался, как частицы объединялись в атомы и как галактики и звезды постепенно стягивались под действием гравитации. Эта история теперь изучена в мельчайших количественных деталях и подтверждается многочисленными данными наблюдений.

1

Однако остается вопрос, действительно ли Большой взрыв был началом Вселенной. Начало в чем? Чем вызвано? И определяется чем или кем? Эти вопросы побудили физиков сделать все возможное, чтобы избежать космического начала.

В этом эссе я расскажу, где мы сейчас находимся.

Теорема Пенроуза о сингулярности

Проблема стоит перед нами с самого начала научной космологии. В 19В 20-х годах русский математик Александр Фридман дал математическое описание расширяющейся Вселенной, решив уравнения общей теории относительности Альберта Эйнштейна. Фридман предположил для простоты, что распределение материи во Вселенной совершенно однородно. Его решения имели загадочную особенность: по мере того, как эволюция Вселенной прослеживается в обратном направлении во времени, плотность материи и кривизна пространства-времени растут безгранично, становясь бесконечными за конечное время назад.

2 Момент бесконечной плотности является космологической сингулярностью. В этот момент математические выражения, входящие в уравнения общей теории относительности, становятся плохо определенными, и эволюция не может продолжаться. Казалось бы, это предполагает, что у Вселенной действительно было начало, но не поддающееся описанию законами физики.

Физики первоначально надеялись, что сингулярность может быть артефактом упрощающего предположения Фридмана об идеальной однородности и что она исчезнет в более реалистичных решениях уравнений Эйнштейна. Роджер Пенроуз закрыл эту лазейку в середине 19-го века.60-х годов, показав, что при очень общем предположении сингулярность неизбежна. 3 При нулевом условии сходимости гравитация всегда заставляет световые лучи сходиться.

4 Это означает, что плотность материи или энергии, измеренная любым наблюдателем, не может быть отрицательной. Вывод справедлив для всех известных форм классической материи.

Доказательство Пенроуза основано на понятии неполной геодезической. В общей теории относительности траектории материи представлены прямыми линиями в пространстве-времени или геодезическими. Если пространство-время свободно от сингулярностей, все геодезические должны иметь бесконечную протяженность. Геодезическая, встречающая сингулярность, не может быть расширена дальше. Такие геодезические неполны. Пенроуз показал, что пространство-время, удовлетворяющее условию нулевой сходимости (и некоторым дополнительным мягким предположениям), должно содержать неполные геодезические. Сингулярность кажется неизбежной.

Аргумент Пенроуза был не совсем убедительным. Хотя классическая материя удовлетворяет условию нулевой сходимости, квантовые флуктуации могут создавать области с отрицательной плотностью энергии.

5 В экстремальных условиях, близких к Большому взрыву, большое значение имеют квантовые флуктуации. Аргумент Пенроуза больше не применим.

Так обстояли дела до начала 1980-х, когда Алан Гут представил идею космической инфляции. 6

Вечная инфляция

Инфляция — это период сверхбыстрого, ускоренного расширения в ранней истории Вселенной. За доли секунды крошечная субатомная область взрывается до размеров, превышающих всю наблюдаемую в настоящее время Вселенную. Расширение происходит за счет ложного вакуума.

Вакуум обычно считают пустым пространством, но, согласно современной физике элементарных частиц, пустое не есть ничто. Вакуум — это физический объект, наделенный плотностью энергии и давлением. Он может находиться в нескольких различных состояниях или вакууме. Свойства и типы элементарных частиц различаются от одного вакуума к другому.

Гравитационная сила, вызванная ложным вакуумом, необычна тем, что она отталкивающая. Чем выше энергия вакуума, тем сильнее отталкивание. Такой вакуум нестабилен. Он распадается на низкоэнергетический вакуум, а избыточная энергия производит огненный шар из частиц и излучения. Ложные вакуумы не были изобретены для целей инфляции. Их существование следует из физики элементарных частиц и общей теории относительности.

Теория инфляции предполагает, что в какой-то ранний период своей истории Вселенная занимала высокоэнергетический ложный вакуум. Затем отталкивающие гравитационные силы вызвали сверхбыстрое экспоненциальное расширение Вселенной. Существует характерное время, за которое размер Вселенной удваивается. В зависимости от модели время удвоения может составлять всего 10 -37 секунды. Примерно за 330 удвоений Вселенная увеличивается в 10 100 раз. Каким бы ни был ее первоначальный размер, Вселенная очень быстро становится огромной. Поскольку ложный вакуум нестабилен, он в конечном итоге распадается, образуя огненный шар, что означает конец инфляции. Огненный шар продолжает расширяться по инерции и развивается в соответствии со стандартной космологией Большого взрыва.

Инфляция объяснила некоторые загадочные особенности Вселенной, вопросы, которые была вынуждена принять космология Большого взрыва. Он объяснил расширение Вселенной, ее высокую температуру и наблюдаемую однородность. Инфляционная теория предсказывала, что евклидова геометрия описывает Вселенную в самых больших масштабах. Он также предсказал почти независимый от масштаба спектр возмущений малой плотности, вызванных квантовыми флуктуациями во время инфляции. Эти прогнозы подтвердились.

Теория инфляции привела к пересмотру нашего взгляда на вселенную. Инфляция не заканчивается везде сразу. Области, в которых ложный вакуум распадается несколько позже, вознаграждаются большим инфляционным расширением, поэтому области ложного вакуума имеют тенденцию размножаться быстрее, чем они распадаются. В нашем космическом соседстве инфляция закончилась 13,7 миллиарда лет назад; в отдаленных частях вселенной это все еще продолжается. Такие регионы, как наш, постоянно формируются. Этот бесконечный процесс называется вечной инфляцией. Вечная инфляция носит общий характер; и предсказывается большинством моделей.

Ложное затухание вакуума зависит от модели. В этом эссе я сосредоточусь на моделях, в которых это происходит посредством зарождения пузырьков. Распад вакуума подобен кипению воды. Низкоэнергетические области выглядят как микроскопические пузырьки и сразу же начинают расти со скоростью, быстро приближающейся к скорости света. Затем пузыри разлетаются в результате инфляционного расширения, освобождая место для новых пузырей. Мы живем в одном из таких пузырей, но можем наблюдать лишь небольшую его часть. Как бы быстро мы ни двигались, мы не можем догнать расширяющуюся границу нашей Вселенной.

Наша вселенная — автономная.

Вечная инфляция открывает интригующую возможность. Если инфляция продолжается и продолжается в будущем, могла ли она также продолжаться и продолжаться в прошлом? 7 Вселенная без начала избавит от необходимости спрашивать, как она началась.

Как это часто бывает в физике, непреодолимая сила вот-вот натолкнется на неподвижное препятствие.

Теорема Борде-Гута-Виленкина

Препятствие можно найти в теореме Борде-Гута-Виленкина (БГВ). 8 Грубо говоря, наша теорема утверждает, что если Вселенная в среднем расширяется, то ее история не может бесконечно продолжаться в прошлом. Точнее, если средняя скорость расширения положительна вдоль данной мировой линии или геодезической, то эта геодезическая должна закончиться через конечное время. Разные геодезические, разные времена. Важным моментом является то, что прошлая история Вселенной не может быть полной. Схема доказательства приведена в Приложении.

Теорема BGV допускает некоторые периоды сжатия, но в среднем выигрывает расширение. Объем Вселенной увеличивается со временем. Инфляция не может быть вечной и должна иметь какое-то начало.

Теорема BGV широка в своей общности. Он не делает никаких предположений о гравитации или материи. Гравитация может быть притягивающей или отталкивающей, световые лучи могут сходиться или расходиться, и даже общая теория относительности может прийти в упадок: теорема все равно останется в силе.

Несколько физиков построили модели вечной вселенной, в которых теорема БГВ больше не актуальна. Джордж Эллис и его сотрудники предположили, что конечная замкнутая Вселенная, в которой пространство замкнуто само на себя, как поверхность сферы, могла бы существовать вечно в статическом состоянии, а затем взорваться при инфляционном расширении. 9 При усреднении за бесконечное время скорость расширения будет равна нулю, и теорема БГВ не будет применяться. Эллис построил классическую модель стабильной замкнутой Вселенной и представил механизм, вызывающий начало расширения. Эллис не заявлял, что его модель реалистична; это было задумано как доказательство концепции, показывающее, что вечная вселенная возможна. Не так. Статическая Вселенная нестабильна по отношению к квантовому коллапсу. 10 Она может быть стабильной по законам классической физики, но в квантовой физике статическая вселенная может совершить внезапный переход в состояние исчезающего размера и бесконечной плотности. Как бы ни была мала вероятность коллапса, Вселенная не могла существовать бесконечное количество времени до начала инфляции.

Есть еще один способ, которым вселенная могла быть вечной в прошлом. Он мог пройти через бесконечную последовательность расширений и сжатий. Это понятие на короткое время было популярно в 1930-х годах, но затем от него отказались из-за его явного противоречия второму закону термодинамики. Второй закон требует, чтобы энтропия возрастала в каждом цикле космической эволюции. Если бы Вселенная уже совершила бесконечное число циклов, она достигла бы состояния теплового равновесия и, следовательно, состояния максимальной энтропии. Вся энергия упорядоченного движения обратилась бы в теплоту, во всем царила бы однородная температура.

Мы не находимся в таком состоянии.

Идея циклической Вселенной была недавно возрождена Полом Стейнхардтом и Нилом Туроком. 11 Они предположили, что в каждом цикле расширение больше, чем сжатие, так что объем Вселенной увеличивается. Энтропия Вселенной, которую мы можем сейчас наблюдать, может быть такой же, как энтропия какой-либо подобной области в более раннем цикле; тем не менее, общая энтропия Вселенной увеличилась бы, потому что объем Вселенной теперь больше, чем был раньше. С течением времени и энтропия, и общий объем неограниченно растут, и состояние максимальной энтропии никогда не достигается. Максимальной энтропии нет. 12

Проблема с этим сценарием заключается в том, что в среднем объем Вселенной все еще растет, и поэтому можно применить теорему БГВ. Это сразу же приводит к выводу, что циклическая вселенная не может быть вечной в прошлом.

Божье доказательство

Теологи приветствовали любое свидетельство начала Вселенной как свидетельство существования Бога. «Что касается первопричины Вселенной, — писал британский астрофизик Эдвард Милн, — это остается дополнить читателю, но без Него наша картина будет неполной». 13 Некоторые ученые опасались, что космическое начало невозможно описать научными терминами. «Отрицать бесконечную продолжительность времени, — утверждал Вальтер Нернст, — значило бы предать самые основы науки». 14

Ричард Докинз, Лоуренс Краусс и Виктор Стенгер утверждали, что современная наука не оставляет места для существования Бога. Была организована серия дебатов между наукой и религией, в которых атеисты, такие как Докинз, Дэниел Деннет и Краусс, обсуждали теистов, как Уильям Лейн Крейг. 15 Обе стороны обращались к теореме БГВ, обе стороны обращались ко мне — из всех людей! — для лучшего понимания.

Космологический аргумент в пользу существования Бога состоит из двух частей. Первый простой:

  • все, что начинает существовать, имеет причину;
  • вселенная начала существовать;
  • следовательно, у Вселенной есть причина. 16

Вторая часть утверждает, что причиной должен быть Бог.

Теперь я хотел бы обсудить первую часть аргумента. Современная физика может описать возникновение Вселенной как физический процесс, не требующий причины.

Ничто не может быть создано из ничего, говорит Лукреций, хотя бы потому, что закон сохранения энергии делает невозможным создание ничего из ничего. Для любой изолированной системы энергия пропорциональна массе и должна быть положительной. Любое начальное состояние до создания системы должно иметь ту же энергию, что и состояние после ее создания.

В этом рассуждении есть лазейка. Энергия гравитационного поля отрицательна; 17 возможно, что эта отрицательная энергия могла бы компенсировать положительную энергию материи, делая полную энергию космоса равной нулю. Собственно, именно это и происходит в замкнутой вселенной, в которой пространство замыкается само на себя, подобно поверхности сферы. Из законов общей теории относительности следует, что полная энергия такой Вселенной обязательно равна нулю. Другой сохраняющейся величиной является электрический заряд, и снова оказывается, что полный заряд должен обращаться в нуль в замкнутой Вселенной.

Я проиллюстрирую эти утверждения для случая электрического заряда, используя двумерную аналогию. Представьте двумерную замкнутую вселенную, которую мы можем представить как поверхность земного шара. Предположим, мы поместили положительный заряд на северный полюс этой вселенной. Тогда линии электрического поля, исходящие от заряда, обернутся вокруг сферы и сойдутся на южном полюсе. Это означает, что там должен присутствовать отрицательный заряд равной величины. Таким образом, мы не можем добавить положительный заряд в замкнутую вселенную, не добавив в то же время равный ему отрицательный заряд. Таким образом, общий заряд замкнутой Вселенной должен быть равен нулю.

Если все сохраняющиеся числа замкнутой вселенной равны нулю, то ничто не препятствует спонтанному созданию такой вселенной из ничего. А согласно квантовой механике с некоторой вероятностью произойдет любой процесс, не запрещенный строго законами сохранения. 18

Новорожденная вселенная может иметь множество различных форм и размеров и может быть заполнена различными видами материи. Как обычно в квантовой теории, мы не можем сказать, какая из этих возможностей реализуется на самом деле, но можем рассчитать их вероятности. Это говорит о том, что может существовать множество других вселенных.

Создание квантов похоже на квантовое туннелирование через энергетические барьеры в квантовой механике. Элегантное математическое описание этого процесса можно дать в терминах вращения Вика. Время выражается с помощью мнимых чисел, введенных только для удобства вычислений. Различие между измерениями времени и пространства исчезает. Это описание очень полезно, так как оно обеспечивает удобный способ определения вероятности туннелирования. Наиболее вероятными являются вселенные с наименьшим начальным размером и самой высокой энергией вакуума. Как только Вселенная сформирована, она сразу же начинает расширяться из-за высокой энергии вакуума.

Это начало истории вечной инфляции.

Можно было бы представить, что замкнутые вселенные выскакивают из ничего, как пузыри в бокале шампанского, но эта аналогия не совсем точна. Пузыри лопаются в жидкости, но в случае вселенных нет пространства, из которого они могли бы лопнуть. Зародышевая замкнутая вселенная — это все пространство, которое существует, за исключением несвязанных пространств других закрытых вселенных. За его пределами нет ни пространства, ни времени.

Почему Вселенная возникла из ничего? Причина не нужна. Если у вас есть радиоактивный атом, он распадется, а квантовая механика дает вероятность распада за заданный интервал времени, скажем, за минуту. Нет никакой причины, по которой атом распался именно в этот момент, а не в другой. Процесс совершенно случайный. Для квантового сотворения Вселенной не нужна причина.

Теория квантового сотворения — не более чем спекулятивная гипотеза. Неясно, как и можно ли это проверить наблюдательно. Тем не менее это первая попытка сформулировать проблему космического происхождения и решить ее количественным путем. 19

Неразрешимая тайна

Ответ на вопрос «Было ли у Вселенной начало?» то есть: «Вероятно, так и было». У нас нет жизнеспособных моделей вечной вселенной. Теорема БГВ дает нам основания полагать, что такие модели просто невозможно построить.

Когда физики или богословы спрашивают меня о теореме БГВ, я с радостью отвечаю. Но я считаю, что эта теорема ничего не говорит нам о существовании Бога. Остается глубокая тайна. Законы физики, описывающие квантовое создание Вселенной, также описывают ее эволюцию. Это, кажется, предполагает, что они существуют независимо.

Что именно это означает, мы не знаем.

А почему у нас такие законы? Почему не другие законы?

У нас нет возможности приступить к раскрытию этой тайны.

Приложение: математические детали

В этом приложении я набросал доказательство теоремы БГВ.

Начните с однородной, изотропной и пространственно плоской Вселенной с метрикой:

ds2=dt2-a2tdx→2.

Скорость расширения Хаббла равна H=a˙/a, где точка обозначает производную по времени t. Мы можем представить себе, что Вселенная заполнена сопутствующими частицами, движущимися по времениподобным геодезическим x→=const. Рассмотрим инерциального наблюдателя, мировая линия которого есть xµ(τ), параметризованного собственным временем τ. Для наблюдателя с массой m 4-импульс равен Pμ=m dxμ/dτ, так что dτ=(m/E)dt, где E=P0=p2+m2 обозначает энергию, а p — величину 3 -импульс. Из геодезического уравнения движения следует, что p∝1/a(t), так что pt=a(tf)/a(t)pf, где pf обозначает импульс в некоторый отсчетный момент времени tf.

Таким образом:

∫titfHτdτ=∫a(ti)a(tf)m dam2a2+pf2a2(tf)=Fγf-Fγi≤Fγf,

, где ti

Обратите внимание:

Fγ=12lnγ+1γ-1,

, где γ=1/1-νотн2 — фактор Лоренца, а νотн=p/E — скорость наблюдателя относительно сопутствующей частицы.

Для любого несопутствующего наблюдателя γ>1 и Fγ>0.

Скорость расширения, усредненная по мировой линии наблюдателя:

Hav=1τf-τi∫titfHτdτ.

Предположим, что

Ср>0,

и из первого уравнения следует, что

τf-τi≤FγfHav.

Отсюда следует, что любая несопутствующая направленная в прошлое времяподобная геодезическая, удовлетворяющая условию Hav>0, должна иметь конечную собственную длину и, следовательно, должна быть неполной в прошлом.

Нет апелляции к однородности и изотропности в произвольном пространстве-времени. Представьте, что Вселенная заполнена конгруэнтностью сопутствующих геодезических, представляющих пробные частицы, и рассмотрим несопутствующий геодезический наблюдатель, описываемый мировой линией xµ(τ). 20 Пусть uµ и νµ обозначают 4-скорости пробных частиц и наблюдателя.

Тогда фактор Лоренца наблюдателя относительно частиц равен

γ=uμνμ.

Чтобы охарактеризовать скорость расширения в общем пространстве-времени, достаточно сосредоточиться на геодезических пробных частицах, пересекающих мировую линию наблюдателя.

Рассмотрим две такие геодезические, встречающиеся с наблюдателем в моменты времени τ и τ+∆τ.

Определите параметр

H=lim∆τ→0∆ur∆r,

, где ∆ur — относительная скорость частиц в направлении движения наблюдателя, а ∆r — расстояние между частицами. Обе величины вычисляются в системе покоя одной из частиц.

Для однородной и изотропной Вселенной это определение сводится к параметру Хаббла.

Параметр расширения может быть выражен полной производной,

H=ddτFγτ.

Интеграл от H вдоль мировой линии наблюдателя по-прежнему определяется разностью F(γ) на ее концах. Выводы об однородных и изотропных вселенных немедленно переносятся на родовые вселенные.

Остается нулевой наблюдатель, описанный нулевой геодезической. При этом роль собственного времени τ играет аффинный параметр. BGV показал, что при подходящей нормировке τ скорость расширения составляет

H=ddτFγτ,

с Fγ=1/γ и γ, определенным

H=lim∆τ→0∆ur∆r.

Ясно, что Fγ>0, и рассуждения проходят как прежде.

Теперь возможна строгая формулировка теоремы БГВ. Пусть λ — времяподобная или нулевая геодезическая, максимально продолженная в прошлое, и пусть C — времяподобная геодезическая конгруэнция, определенная вдоль λ.

Если скорость расширения C, усредненная вдоль λ, положительна, то λ должно быть неполным в прошлом.

запрос ссылки — Хорошая книга по комбинаторике

спросил

Изменено 2 месяца назад

Просмотрено 63к раз

$\begingroup$

Что бы вы порекомендовали для углубленной вводной книги по комбинаторике? Книга, которая не только рассказывает вам о принципе умножения, но и показывает всю логику вопросов с полными доказательствами. Книга должна быть для первокурсника колледжа. Вы знаете хорошую книгу на эту тему?

Спасибо.

  • комбинаторика
  • ссылка-запрос
  • мягкий вопрос
  • книга-рекомендация
  • большой список

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Мои личные фавориты:

  • Введение в комбинаторный анализ [Риордан]
  • Конкретная математика [Грэм, Кнут, Паташник]
  • Перечислительная комбинаторика, том. $1$ [Ричард Стэнли]

(не всегда ознакомительный, но для любителей считать — must have)

Если вам нужны действительно простые, но интересные книги, вам может понравиться книга Бруальди (хотя, видимо, в этой книге много ошибок). Также могут быть интересны некоторые главы из книги Феллера о вероятности (том $1$).

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Попробуйте Принципы и приемы комбинаторики Чен Чуан Чонг и Ко Хи Менг или Комбинаторика Питера Кэмерона. Последний более продвинутый и имеет больше тем.

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Если студент вообще склоняется к информатике, я бы порекомендовал Knuth et. Конкретная математика др.. Он полон твердой математики и направлен на создание математических инструментов для CS. Помимо этого, более новым дополнением, которое выглядит многообещающим, является «Комбинаторика, 2-е изд.» Рассела Мерриса. Он дает довольно широкое введение, а также дает углубленную работу и примеры.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Это не совсем то, что вам нужно, но вы можете посмотреть «Генерирующая функционалология». Второе издание бесплатное, и его можно скачать здесь http://www.math. upenn.edu/~wilf/DownldGF.html

Книга о порождающих функциях, полезных в комбинаторных рассуждениях.

$\endgroup$

$\begingroup$

Хорошим предложением является Комбинаторные задачи и упражнения Ласло Ловаша.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Мне очень нравится «Курс перечисления» Мартина Айгнера.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

В прошлом семестре у меня был первый вводный урок по теории графа и комбинаторике. Книга, которую мы использовали, была довольно ужасной, поэтому я огляделся и нашел копию «Комбинаторики и теории графов» Харриса и др. др. и мне это очень понравилось. В книге очень много тем, и объяснения очень по делу. Особенно мне понравились разделы о числах Рамсея.

Все вопросы по делу и иллюстрируют некоторые важные концепции, что тоже приятно. Например, в разделе о проблеме счастливого конца упражнения реконструируют несколько исторических доказательств и знакомят вас с другими проблемами, такими как проблема пустого многоугольника.

Вот очень положительный обзор, который я недавно прочитал: http://www.maa.org/reviews/combinatoricsgraphs.html

Редактировать: я не уверен, что эта книга подходит конкретно для вашей ситуации, но я настоятельно рекомендую это тем не менее.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Мне нравится Миклош Бона, Введение в перечислительную комбинаторику ; это очень хорошо написано и не требует много фона. Из уже упомянутых книг мне нравятся Graham, Knuth, & Patashnik, Concrete Mathematics — это не совсем книга по комбинаторике, но она предлагает отличное рассмотрение многих комбинаторных инструментов; это, вероятно, требует немного большей математической зрелости, чем Бона. Хороший следующий шаг за пределы относительно элементарного уровня — Уилф, , генерирующая функционалология . Tucker, Applied Combinatorics , очень элементарный, но дает достойный вкус очень широкому кругу комбинаторных тем.

$\endgroup$

$\begingroup$

Мне очень нравится книга Бенджамина и Куинна «Доказательства, которые действительно имеют значение: искусство комбинаторных доказательств».

$\endgroup$

$\begingroup$

Еще не упоминалось (старое, но полезное):

Курс комбинаторики Ван Линта и Уилсона (обложка книги с карточными мастями).

Множество небольших глав, несколько сложных концепций, базовый график, теория кодирования и дизайна.

$\endgroup$

$\begingroup$

Что-то, что часто игнорируется, — это «Контуры Шаума: комбинаторика» В. К. Балакришнана. Множество небольших примеров, с которыми справится даже новичок, наглядно показывают, «как это сделать».

$\endgroup$

$\begingroup$

Есть несколько превосходных книг по комбинаторике, в которых также рассматривается применимость комбинаторики как в математике, так и за ее пределами:

а. Прикладная комбинаторика Фреда Робертса

б. Прикладная комбинаторика Алана Такера

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Путь к комбинаторике для студентов , авторы Титу Адрееску и Зуминг Фэн знакомит с предметом, представляя большое количество задач (многие из которых взяты с олимпиад и других соревнований) и охватывает широкий спектр методов и результатов.

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Попробуйте также «Заметки по вводной комбинаторике» Полии, Тарьяна и Вудса. Более ранняя версия находится в свободном доступе в Интернете.

$\endgroup$

$\begingroup$

Прикладная комбинаторика Алана Такера — хорошая книга. Он короткий, не сложный для понимания, требует решения множества задач и разделен на два раздела: теория графов в разделе 1 и комбинаторика (генерирующие функции, методы подсчета и т. д.) в разделе 2.

$\endgroup$

$\begingroup$

Книга Алана Такера довольно нечитабельна. Я бы избегал этого. Текст Ника Лоера по биективной комбинаторике гораздо более тщательный, и он читается так, как будто кто-то объясняет вам математику. Он довольно хорошо сочетает в себе строгость и доступность.

$\endgroup$

$\begingroup$

На мой взгляд, «Основные методы комбинаторной теории» Коэна — хорошее введение для тех, кто впервые знакомится с предметом. Если вы хотите увидеть много выдающихся идей, я предлагаю Proofs that Really Count Бенджамина/Куинна. Для полных исследований хорошо подойдут знаменитые 2 тома Стэнли

$\endgroup$

$\begingroup$

1.Введение в комбинаторику Алана Сломсона/Прикладная комбинаторика Алана Такера.

2.Принципы и приемы комбинаторики/Путь к комбинаторике для магистрантов.

3. Комбинаторная математика Виленкина. У него задачи с олимпиады СССР по математике

$\endgroup$

$\begingroup$

Очень хорошим введением в предмет является Комбинаторика: введение Фатикони

$\endgroup$

$\begingroup$

Удивительно, что никто не упомянул «Лекции по построению функций» С.

2 Comments

Add Yours →

Добавить комментарий