«Детская школа искусств» Мошенского муниципального района

Списать математику 5 класс: ГДЗ по математике 5 класс 💡 онлайн решебник с ответами

Содержание

ГДЗ по Математике для 5 класса Истомина Н.Б. на 5

Автор: Истомина Н.Б..

Издательство: Ассоциация 21 век 2014

Математику можно смело отнести к одному из сложнейших предметов в школьной программе. Ребятам мало просто заучить все правила и формулы для того, чтобы получать отличные отметки во время контрольных работ. Все эти знания необходимо применять на практике. Но далеко не все школьники легко усваивают материал по математике. Некоторые ребята больше тянутся к гуманитарным наукам. К тому же даже сами учителя не всегда могут достаточно хорошо «разжевать» новую тему. А родители зачастую слишком заняты на работе, чтобы вовремя оказать помощь. В таких случаях не стоит запускать предмет – необходимо обратиться к проверенной методической литературе.

Можно воспользоваться «ГДЗ по математике 5 класс Истомина (Ассоциация 21 век)».

Что собой представляет учебник

Выбирая издание с готовыми домашними заданиями, необходимо обратить внимание на то, насколько полно оно отражает школьную программу. Но в случае с данным решебником беспокоиться не стоит. В него включены следующие темы:

  1. Натуральные числа и шкалы.
  2. Площади и объемы.
  3. Обыкновенные дроби.
  4. Смешанные числа.
  5. Измерение углов.
  6. Круговые диаграммы.

ГДЗ составлены в соответствии со строгими требованиями ФГОС. При этом были учтены все нюансы, в том числе и разный уровень подготовки школьников. Верные ответы записаны простым и доступным языком, но они имеют максимальную информативную наполненность. А дополнительные схемы и пояснительные комментарии помогут разобраться во всех тонкостях предмета.

В чем заключается польза решебника по математике для 5 класса от Истоминой

Ошибочно считать, что задачник с готовыми ответами может пригодиться только двоечникам или тем, кто сильно отстал от программы. К нему можно обратиться в следующих ситуациях:

  • – при подготовке к тестам и контрольным;
  • – для систематизации новых знаний;
  • – при пропуске нескольких занятий и т. д.

Таким образом, можно смело сказать, что «ГДЗ по математике за 5 класс Истомина Н. Б. (Ассоциация 21 век)» – это многофункциональный справочник. Если ребята будут видеть в пособии только способ списать ответы к домашнему заданию, то ни о какой пользе и речи идти не может. Ученики должны запастись терпением и ответственно работать с ГДЗ. Каждый номер должен быть выполнен самостоятельно. И только после этого стоит открыть онлайн-справочник и выполнить проверку. Такой подход принесет положительные результаты уже после нескольких занятий с задачником.

ГДЗ по математике 5 класс рабочая тетрадь Ерина к учебнику Виленкина

Авторы: Т. М. Ерина

Издательство: Экзамен

Тип книги: Рабочая тетрадь

ГДЗ рабочая тетрадь Математика. 5 класс Т. М. Ерины к учебнику Н. Я. Виленкина выпущена издательством Экзамен. Серия: Учебно-методический комплект. Тетрадь состоит из 1 части (112 страниц).

Учащиеся пятого класса в процессе изучения математики столкнутся с новыми для них темами. Узнают новые понятия и определения, такие как отрезок, треугольник, прямая, луч, плоскость. Также пройдет знакомство со шкалами и координатами. Сложение и вычитание, числовые и буквенные выражения, уравнения, упрощение выражений, окружность и круг, доли, дроби и многие другие сложные темы ждут пятиклассников на этапе дальнейшего изучения предмета. Учащиеся приобретут знания, благодаря которым смогут производить действия с дробями: сравнение, деление, сложение и вычитание. Вычисление среднего арифметического станет легкой задачей для школьников. Наличие теоретических и практических заданий позволит учащимся получить и применить свои знания на практике. Изучение математики – это непростой и трудоемкий процесс, требующий внимательности и усидчивости.

Представленный нашей командой (на сайте ЯГДЗ) решебник ГДЗ к рабочей тетради по математике поможет школьникам верно выполнить домашнее задание, исправить допущенные ошибки, найти ответы на самые трудные практические и теоретические вопросы. Родители учеников всегда смогут быстро и точно проверить выполнение домашнего задания своего ребенка.

1. Обозначение натуральных чисел

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2. Отрезок. Длина отрезка. Треугольник

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

3. Плоскость. Прямая. Луч

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

4. Шкалы и координаты

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5. Меньше или больше

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

6. Сложение натуральных чисел и его свойства

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

7. Вычитание

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

8. Числовые и буквенные выражения

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

9. Буквенная запись свойств сложения и вычитания

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10. Уравнение

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11. Умножение натуральных чисел и его свойства

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12. Деление

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13. Деление с остатком


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

14. Упрощение выражений

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

15. Порядок выполнения действий

1 2 3 4

16. Квадрат и куб числа

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

17. Формулы

1 2 3 4 5 6

18. Площадь. Формула площади прямоугольника

1 2 3 4 5 6 7

19. Единицы измерения площадей

1 2 3 4 5 6

20. Прямоугольный параллелепипед

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

21. Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

22. Окружность и круг

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

23. Доли. Обыкновенные дроби

1 2 3 4 5 6 7 8 9

24. Сравнение дробей

1 2 3 4 5 6 7

25. Правильные и неправильные дроби

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

26. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

1 2 3 4 5 6 7

27. Деление и дроби

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

28. Смешанные числа

1 2 3 4 5 6

29. Сложение и вычитание смешанных чисел

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

30. Десятичная запись дробных чисел

1 2 3 4 5 6

31. Сравнение десятичных дробей

1 2 3 4 5 6 7 8 9

32. Сложение и вычитание десятичных дробей

1 2 3 4 5 6 7 8 9

33. Приближенные значения чисел. Округление чисел

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

34. Умножение десятичных дробей

1 2 3 4 5 6 7 8

35. Деление десятичных дробей на натуральные числа

1 2 3 4 5 6

36. Умножение десятичных дробей

1 2 3 4 5

37. Деление на десятичную дробь

1 2 3 4 5 6

38. Среднее арифметическое

1 2 3 4 5 6 7

39. Микрокалькулятор

1 2 3 4 5

40. Проценты

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

41. Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник

1 2 3 4 5 6 7 8

42. Измерение углов. Транспортир

1 2 3 4 5 6 7

43. Круговые диаграммы

1 2 3 4 5 6 7

Самостоятельные работы по математике за 5 класс к учебнику Виленкина Н.Я. за 1, 2, 3 и 4 четверти

Дата публикации:

.

Самостоятельные на темы: «Натуральные числа и их обозначения», «Сложение и вычитание натуральных чисел», «Сравнение натуральных чисел», «Отрезок, прямая, луч», «Умножение натуральных чисел», «Деление натуральных чисел», «Выражения и уравнения», «Квадрат и куб числа», «Окружность и круг», «Обыкновенные дроби», «Сравнение дробей» и др.

Некоторые понятия к учебному материалу.

1. Натуральные числа – используются для счета предметов в повседневной жизни.
2. Отрезок. Длина отрезка – расстояние между его крайними точками, концами. Обозначается заглавными латинскими буквами, например AB.
3. Шкала – специальная линейка с делениями (штрихами).
4. Единичный отрезок – отрезок с длиной равной единице.
5. Меньше и больше. Меньше, число, которое при счете называется раньше. Больше, число, которое при счете называется позже.
6. Слагаемые числа – числа, которые складываются.
7. Вычитание. Число из которого вычитают – это уменьшаемое. Число, которое вычитается – это вычитаемое. В итоге получаем разность.

Самостоятельная работа №1 (входная работа на повторение)


Вариант I.

1. Определение числа.

а) Определите натуральное число, которое следует за числом 699.
б) Определите натуральное число, которое на две единицы меньше числа 1001.
в) Определите натуральное число, которое на единицу больше числа 239 999.
г) Определите натуральное число, которое на единицу меньше числа 394 000.

2. Решите задачу.

В городском сквере посажено 340 деревьев. А в парке посажено 270 деревьев. На сколько деревьев больше в городском сквере, чем в парке?

3. Решите примеры.

а) 492 + 1 220 = б) 3 495 — 593 =
в) 5112 : 6 = г) 56 * 23 =

Вариант II.

1. Определение числа.

а) Определите натуральное число, которое следует за числом 879.
б) Определите натуральное число, которое на единицу меньше числа 2 000.
в) Определите натуральное число, которое на единицу больше числа 722 999.
г) Определите натуральное число, которое на единицу меньше числа 24 000.

2. Решите задачу.

Рыбаки за первую неделю поймали 395 кг рыбы, а за вторую неделю – 239 кг. На сколько кг было поймано меньше за вторую неделю, чем за первую?

3. Решите примеры.

а) 638 + 1 445 = б) 6 112 — 2 598 =
в) 2688 : 3 = г) 24 * 45 =

Вариант III.

1. Определение числа.

а) Определите натуральное число, которое следует перед числом 699.
б) Определите натуральное число, которое на единицу меньше числа 3 000.
в) Определите натуральное число, которое на единицу больше числа 28 999.
г) Определите натуральное число, которое на единицу меньше числа 12 000.

2. Решите задачу.

В огороде посадили 2 грядки помидор. С первой грядки было собрано 427 помидор, а со второй грядки – 311. На сколько меньше помидор было собрано со второй грядки, чем с первой?

3. Решите примеры.

а) 455 + 3 412= б) 5 332 — 593 =
в) 3648 : 8 = г) 29 * 41 =

Самостоятельная работа №2 на тему: «Натуральные числа и их обозначения»


Вариант I.

1. Запишите следующие числа 3 раза подряд и запишите полученное в результате число в виде словосочетания.

а) число 20;
б) число 49.

2. Представьте следующие словосочетания в числовом виде.

а) Шесть миллиардов пятьсот три тысяча семь.
б) На единицу больше чем пятьсот девять тысяч девятьсот девяносто девять.

3. Определите все возможные трехзначные числа, состоящие из следующих чисел (числа не должны повторяться).

a) 2, 3 и 7.
b) 4, 0 и 9.

Вариант II.

1. Запишите следующие числа 3 раза подряд и запишите полученное в результате число в виде словосочетания.

а) число 60;
б) число 38.

2. Представьте следующие словосочетания в числовом виде.

а) Восемь миллиардов триста одна тысяча три.
б) На единицу больше чем сто девять тысяч девятьсот девяносто девять.

3. Определите все возможные трехзначные числа, состоящие из следующих чисел (числа не должны повторяться).

a) 1, 3 и 9.
b) 2, 4 и 0.

Вариант III.

1. Запишите следующие числа 3 раза подряд и запишите полученное в результате число в виде словосочетания.

а) число 30;
б) число 58.

2. Представьте следующие словосочетания в числовом виде.

а) Два миллиарда шестьсот два миллиона триста.
б) На единицу больше чем семьсот пять тысяч девятьсот девяносто восемь.

3. Определите все возможные трехзначные числа, состоящие из следующих чисел (числа не должны повторяться).

a) 5, 2 и 8.
b) 1, 3 и 0.

Самостоятельная работа №3


Вариант I.

1. Переведите из одной единицы измерения в другую.

а) 8 дм 43 см = . .. см б) 5 км 549 м = … м
в) 7 см 18 мм = … мм г) 249 см =… дм … см

2. Начертите отрезок AB, равный 17 см 5 мм. Отметьте на нем точки C и D. AC равно 10 см 4 мм, CD равно 4 см 9 мм. Чему равна длина отрезка DB?

3. Решите задачу.

Перед домом построили забор. Забор держится на 18 столбах, расстояние между столбами составляет пять метров. Каково расстояние между шестым и четырнадцатым столбами?

4. Начертите четырехугольник ABCD. Отметьте точкой T середину стороны BC. Соедините точки B и D, А и T. Выпишите все многоугольники, которые образовались.


Вариант II.

1. Переведите из одной единицы измерения в другую.

а) 4 дм 23 см = … см б) 25 км 50 м = … м
в) 16 см 65 мм = … мм г) 456 см =… дм … см

2. Начертите отрезок AB, равный 15 см 4 мм, отметьте на нем точки C и D. AC равен 8 см 2 мм, CD равен 3 см 7 мм. Чему равна длина отрезка DB?

3. Решите задачу.

Перед домом построили забор. Забор держится на 19 столбах, расстояние между столбами составляет 4 метра. Каково расстояние между третьим и восьмым столбами?

4. Начертите четырехугольник ABCD. Отметьте середину AB и поставьте точку N. Проведите отрезки DN и АС. Выпишите все многоугольники, которые образовались.


Вариант III.

1. Переведите из одной единицы измерения в другую.

а) 19 дм 5 см = … см б) 21 км 678 м = … м
в) 43 см 8 мм = … мм г) 503 см =… дм … см

2. Начертите отрезок AB, равный 13 см 2 мм, отметьте на нем точки C и D. AC равен 7 см 3 мм. CD равен 3 см 6 мм. Чему равна длина отрезка DB?

3. Решите задачу.

Перед домом построили забор. Забор держится на 16 столбах, расстояние между столбами составляет 3 метра. Каково расстояние между пятым и одиннадцатым столбами?

4. Начертите четырехугольник ABCD. Отметьте середину CD и поставьте точку М. Проведите отрезки BM и АС. Выпишите все многоугольники, которые образовались.

Самостоятельная работа №4 на тему: «Сравнение натуральных чисел»


Вариант I.

1. Сравните числа.

а) 3 485 660 … 3 458 660 б) 303 559 … 330 559
в) 2 596 440 … 2 569 440 г) 45 696 … 44 696

2. Представьте в виде двойного неравенства: 18 т 347 кг … 18 т 4 ц 59 кг … 18 568 кг.


Вариант II.

1. Сравните числа.

а) 34 686 887 … 34 868 887 б) 3 855 … 3 585
в) 40 955 999 … 40 595 999 г) 455 776 … 445 776

2. Представьте в виде двойного неравенства: 13 км 845 м … 14675 м … 13 км 845 м 3 дм.


Вариант III.

1. Сравните числа.

а) 678 881 … 687 881 б) 782 223 … 728 223
в) 2 490 606 … 2 490 660 г) 13 799 … 13 977

2. Представьте в виде двойного неравенства: 15 т 475 кг . .. 15657 кг … 157 ц 35 кг.


Самостоятельная работа №5 на тему: «Сложение и вычитание натуральных чисел»


Вариант I.

1. Выполните сложение.

а) 348 588 667 + 239 586 394 = б) 93 955 483 + 495 868 991 =
в) 23 394 596 + 5 697 345 = г) 3 949 532 + 405 669 =

2. Выполните вычитание.

а) 348 588 667 — 283 745 733 = б) 93 955 483 — 22 394 583 =
в) 23 394 596 — 192 485 = г) 3 949 532 — 4 348 483 =

3. Решите задачу.

Мастерская закупила 560 гаек. На ремонт первой машины потребовалось 203 гайки, а на ремонт второй машины – еще 293 гайки. Сколько гаек осталось в мастерской?

4. Решите задачу.

В концертном зале стояло 454 стула. Для проведения концерта принесли 123 новых стула, а после антракта – еще 13 стульев. Сколько всего стульев стало в концертном зале?

Вариант II.

1. Выполните сложение.

а) 3 484 558 + 9 499 834 = б) 93 955 483 + 394 585 665 =
в) 3 495 863 + 35 384 588 = г) 5 697 291 + 34 405 669 =

2. Выполните вычитание.

а) 4 856 342 — 3 495 384 = б) 283 495 864 — 232 485 965 =
в) 5 965 493 — 3 449 594 = г) 23 455 303 — 19 485 588 =

3. Решите задачу.

В рулоне было смотано 327 м ленты. В первый день использовали 103 м, а во второй день – ещё 205 м. Сколько метров осталось в рулоне?

4. Решите задачу.

В магазине находилось 4 т 150 кг сахара. В первый день привезли 340 кг сахара, а во второй день – еще 4 ц сахара. Сколько кг сахара стало в магазине?

Вариант III.

1. Выполните сложение.

а) 2 399 388 + 239 586 394 = б) 435 483 + 495 868 991 =
в) 34 567 784 + 13 412 345 = г) 6 563 544 + 23 876 554 =

2. Выполните вычитание.

а) 455 586 661 — 283 745 733 = б) 40 954 586 — 22 394 583 =
в) 495 568 222 — 448 568 338 = г) 3 949 532 — 2 349 588 =

3. Решите задачу.

В моток смотано 459 м провода. В первый день истратили 119 м, а на второй день – 239 м провода. Сколько метров провода осталось в мотке?

4. Решите задачу.

На складе находилось 3 т и 450 кг муки. В первый день привезли 560 кг, через неделю привезли еще 5 ц муки. Сколько кг муки стало на складе?

Самостоятельная работа №6


Вариант I.

1. Найдите значение выражения: ( а + 46 ) : ( b — 48 ), если а = 35 и b = 57.

2. Упростите выражения.

а) с + 239 — 93;
б) 485 — 483 + d.

3. Составьте уравнение для решения задачи и решите его.

Было задумано некоторое число. К нему прибавили число 194, а потом прибавили ещё число 110 и получили число 322. Какое число было задумано?

4. Решите уравнения.

a) (305 — ( ( 45 + х ) — 32 ) + 96 = 223;
б) 38 + ( 69 — y ) + 74 = 172.

Вариант II.

1. Найдите значение выражения: ( а — 34 ) * ( b + 9 ), если а = 60 и b = 11.

2. Упростите выражения.

а) 594 — 69 — а;
б) 149 + b — 54.

3. Составьте уравнение для решения задачи и решите его.

Было задумано некоторое число. Из этого числа вычли число 424, а затем прибавили число 392. В итоге, получилось число 632. Какое число было задумано?

4. Решите уравнения.

a) 209 — ( ( 145 + х ) — 12 ) + 96 = 123;
б) 18 + ( 159 — y ) + 34 = 172.

Вариант III.

1. Найдите значение выражения: ( а — 68 ) : b + 2 339, если а = 92 и b = 8.

2. Упростите выражения.

а) с + 239 — 193;
б) 485 — d + 384.

3. Составьте уравнение для решения задачи и решите его.

Было задумано некоторое число. Из этого числа вычли число 209, а затем прибавили число 47. В итоге, получилось число 217. Какое число было задумано?

4. Решите уравнения.

a) ( 111 — ( 45 + х ) ) + 96 = 123;
б) 29 + ( 59 — y ) + 15 = 72.

После завершения второй четверти, учащиеся должны:
1. уметь умножать натуральные числа и использовать эти знания;
2. уметь производить деление натуральных чисел, в том числе и деление с остатком, и использовать эти навыки при решении задач;
3. знать распределительное свойство умножения, уметь применять это свойство при устных вычислениях и при решении задач;
4. знать, что такое возведение числа в степень. Понимать, что такое корень и куб числа;
5. понимать, что такое формула, и как производить вычисления по формуле.

Самостоятельная работа №7 на тему: «Действия с натуральными числами. Умножение»


Вариант I.

1. Выполните умножение.

а) 283 * 46 = б) 29 * 473 = в) 841 * 93 = г) 19 * 632 =
д) 570 * 340 = е) 930 * 730 = ж) 5100 * 360 = з) 560 * 230 =

2. Умножьте числа, используя наиболее удобный порядок действий.

а) 25 * 491 * 4 * 200 =
б) 4 * 324 * 25 * 300 =

3. Расположите уравнения в порядке убывания, не производя никаких действий.

35 * 34 = 34 * 33 = 34 * 36 = 32 * 32 =

4. Решите задачу.

В двухэтажной школе всего 32 кабинета и в каждом кабинете по 12 парт. В трехэтажной школе 45 кабинетов и в каждом кабинете по 14 парт. Сколько всего парт необходимо городским школам, если в городе 8 двухэтажных и 5 трехэтажных школ?

Вариант II.

1. Выполните умножение.

а) 342 * 57 = б) 64 * 268 = в) 342 * 89 = г) 32 * 864 =
д) 920 * 560 = е) 470 * 990 = ж) 2300 * 630 = з) 430 * 540 =

2. Умножьте числа, используя наиболее удобный порядок действий.

а) 25 * 376 * 4 * 500 =
б) 4 * 265 * 25 * 200 =

3. Расположите уравнения в порядке убывания, не производя никаких действий.

85 * 84 = 84 * 83 = 84 * 86 = 82 * 82 =

4. Решите задачу.

В поселке построено 18 домов. Из них 4 трехэтажных, 6 двухэтажных, остальные одноэтажные дома. В трехэтажных домах – 18 окон, в двухэтажных – 14 окон, в одноэтажных – 8 окон. Сколько окон необходимо для 4 таких же посёлков?

Вариант III.

1. Выполните умножение.

а) 563 * 24 = б) 32 * 441 = в) 324 * 87 = г) 23 * 728 =
д) 220 * 680 = е) 240 * 580 = ж) 7500 * 290 = з) 920 * 630 =

2. Умножьте числа, используя наиболее удобный порядок действий.

а) 25 * 376 * 4 * 300 =
б) 4 * 641 * 25 * 100 =

3. Расположите уравнения в порядке убывания, не производя никаких действий.

65 * 64 = 64 * 63 = 64 * 66 = 62 * 62 =

4. Решите задачу.

В один мешок помещается 26 кг картофеля, или 34 кг муки, или 38 кг сахара. Сколько всего весит груз, если в машину погрузили 32 мешка картофеля, 38 мешков муки и 52 мешка сахара?

Самостоятельная работа №8 на тему: «Деление натуральных чисел»


Вариант I.

1. Выполните деление.

а) 475 860 : 5 = б) 8 412 : 4 = в) 492 000 000 : 1 000 =
г) 270 930 : 3 = д) 386 240 : 5 = е) 19 688 : 23 =

2. Решите уравнения.

а) X : 85 = 2 210 б) 36 690 : Y = 10 в) 792 : X = 4
г) 15 * ( 39 : X ) = 45 д) Y : 42 = 168 е) 65 065 : Y = 1 001

3. Решите задачу.

Фермеру необходимо вспахать поле размером 318500 м. За сколько дней он вспашет поле, если известно, что за день он может вспахать 45 500 м?

4. Остаток равен 18, неполное частное – 35 и делитель – 23. Найдите делимое.


Вариант II.

1. Выполните деление.

а) 489 560 : 5 = б) 36 690 : 3 = в) 657 000 : 1 000 =
г) 960 552 : 6 = д) 522 240 : 2 = е) 67 065 : 85 =

2. Решите уравнения.

а) X : 26 = 456 б) 4 760 : Y = 85 в) 792 : X = 8
г) 35 * ( 54 : X ) = 315 д) Y : 3 = 3015 е) 524 : Y = 131

3. Решите задачу.

Станок производит 1200 заготовок за 1 час. Сколько минут нужно машине, чтобы приготовить 48 000 заготовок?

4. Остаток равен 33, неполное частное – 41 и делитель – 25. Найдите делимое.


Вариант III.

1. Выполните деление.

а) 236 560 : 4 = б) 36 690 : 6 = в) 612 345 000 : 1 000 =
г) 960 440 : 8 = д) 678 350 : 2 = е) 31 464 : 69 =

2. Решите уравнения.

а) X : 25 = 14 б) 1 820 : Y = 28 в) 1 836 : X = 6
г) 52 * Y = 468 д) Y : 3 = 7 659 е) 1048 : Y = 131

3. Решите задачу.

Комбайн убирает 30 га пшеницы за 1 час. Сколько дней ему нужно, чтобы убрать площадь равную 1200 га, если в день он будет работать по 10 часов?

4. Остаток равен 24, неполное частное – 25 и делитель – 28. Найдите делимое.


Самостоятельная работа №9 на темы: «Выражения, уравнения и решение уравнений», «Квадрат и куб числа»


Вариант I.

1. Решите примеры.

а) 34 + ( 239 — 606 : 6 ) * 4 — 393 : 3 =
б) 152 =
в) 73 =
г) ( 14 + 7 )2 — ( 5 + 13 )2 + 287 =

2. Упростите выражение и найдите его значение при с=34: 47с + 34 — 58 + 12с — 58.

3. Решите уравнения.

а) 15 * х = 945
б) 3 * y — 45 = 44

4. Решите задачу.

Бабушка и внучка слепили 124 пельмени. Сколько пельменей слепили бабушка и сколько внучка, если бабушка лепила в 3 раза быстрее, чем внучка?

Вариант II.

1. Решите примеры.

а) 472 — ( 29 + 124 : 4 ) — 72 : 8 =
б) 182 =
в) 63 =
г) ( 5 + 27 )2 — ( 4 + 12 )2 — 64 =

2. Упростите выражение и найдите его значение при с=12: 19с + 57 — 58с + 29с — 38 + 5с.

3. Решите уравнения:

а) 15 * х = 180
б) 12 * y + 36 = 96

4. Решите задачу.

Инженер и студент отремонтировали 248 приборов. Инженер ремонтировал приборы в 3 раза быстрее, чем студент. Сколько приборов починил каждый?

Вариант III.

1. Решите примеры.

а) 365 + ( 299 — 342 : 2 ) * 5 — 687 : 3 =
б) 172 =
в) 83 =
г) ( 4 + 7 )2 — ( 5 + 23 )2 + 787 =

2. Упростите выражение и найдите его значение при с=12: 47 + 56с — 6с + 34 — 12с.

3. Решите уравнения.

а) 32 * х = 1280
б) 8 * y + 36 = 356

4. Решите задачу.

Портной и его ученик сшили 213 фартуков. Портной работал в 2 раза быстрее, чем его ученик. Сколько фартуков сшил портной, а сколько ученик?

Самостоятельная работа №10 на темы: «Окружность и круг». «Обыкновенные дроби»


Вариант I.

1. Нарисуйте окружность с центром в точке X и радиусом 4 см 6 мм. Нарисуйте отрезок CD так, чтобы он проходил через центр окружности и пересекал ее в точках C и D. Как называются отрезки СX и СD? Определите их длину.

2. Решите задачу.

Оля нашла 26 грибов, из них 18 маслят. Какую часть грибов составляют маслята?

3. Решите задачу.

Рыбаки поймали 112 кг рыбы. Из них 1028 – караси. Сколько карасей поймали рыбаки?

4. Решите задачу.

Коля прочитал 85 страниц журнала, что составило 512 от общего числа страниц. Сколько страниц в журнале?

Вариант II.

1. Нарисуйте окружность с центром в точке Y и радиусом 3 см 8 мм. Нарисуйте отрезок EF так, чтобы он проходил через центр окружности и пересекал ее в точках E и F. Как называются отрезки YE и EF? Определите их длину.

2. Решите задачу.

Коля собрал в корзину 31 фрукт, из них 22 фрукта – это груши. Какую часть собранных фруктов составляют груши?

3. Решите задачу.

Школьники собрали 104 кг овощей. 1326 от общего числа овощей составляют помидоры. Сколько кг помидор собрали школьники?

4. Решите задачу.

Мастер отремонтировал 35 приборов, что составило 512 от общего количества приборов. Сколько всего приборов надо отремонтировать мастеру?

Вариант III.

1. Нарисуйте окружность с центром в точке Z и радиусом 2 см 6 мм. Нарисуйте отрезок GH так, чтобы он проходил через центр окружности и пересекал ее в точках G и H. Как называются отрезки GZ и GH? Определите их длину.

2. Решите задачу.

У Саши есть 29 карандашей. Из них 19 карандашей – это простые карандаши. Какую часть карандашей составляют цветные карандаши?

3. Решите задачу.

Мастер сделал 312 деталей. Из них 324 часть деталей – деревянные. Сколько деревянных деталей сделал мастер?

4. Решите задачу.

Ребята из 5 класса собрали 32 кг ягод. Это составляет 324 от всего количества собранных ягод. Сколько всего ягод было собрано?

Самостоятельная работа №11 на тему: «Сравнение дробей»


Вариант I.

1. Задан луч длиной в 12 единиц. Отметьте на числовом луче:

а) 212 части б) 612 части 23 части 54 части

2. Сравните дроби.

а) 2338 и 1618

б) 2145 и 1526

3. Найдите три решения неравенства.

а) 2122< x < 2222

б) 711 < z < 811

4. При каких значениях х:

а) дробь х22 будет правильной?

б) дробь 15х будет неправильной?

Вариант II.

1. Задан луч длиной в 15 единиц. Отметьте на числовом луче:

415 части 315 части 35 части 23 части

2. Сравните дроби.

а) 2634 и 1517

б) 2249 и 1821

3. Найдите три решения неравенства.

а) 1920 < x < 2020

б) 79 < z < 89

4. При каких значениях y:

а) дробь y19 будет правильной?

б) дробь 23y будет неправильной?

Вариант III.

1. Задан луч длиной в 18 единиц. Отметьте на числовом луче:

218 части 618 части 23 части 56 части

2. Сравните дроби.

а) 2631 и 1819

б) 2341 и 1718

3. Найдите три решения неравенства.

а) 910< y < 1010

б) 57 < z < 67

4. При каких значениях z:

а) дробь z29 будет правильной?

б) дробь 13z будет неправильной?

Самостоятельная работа №12 на тему: «Сложение и вычитание обыкновенных дробей»


Вариант I.

1. Решите примеры.

а) 2631 + 1831631;

б) 171255125 + 106125;

в) 1939 + ( 1839639 ) — 1339;

2. Решите уравнения.

а) x + 618 = 1618

б) 1325 — ( y + 625 ) = 425

3. Решите задачу.

Первый спортсмен пробежал 57 км, а второй спортсмен за тоже время пробежал 67 км. На сколько метров больше пробежал первый спортсмен?

4. Решите задачу.

Из мешка взяли 29 части муки, а потом – ещё 39 части. В мешке осталось 14 кг. Сколько кг муки было в мешке?

Вариант II.

1. Решите примеры.

а) 1538 + 12381138;

б) 231928192 + 48192;

в) 1956 + ( 21561256 ) — 1656;

2. Решите уравнения.

а) x — 512 = 312

б) 1823 — ( 723 + y ) = 523

3. Решите задачу.

Расстояние от дачи до пруда равно 35 км, а от дачи до леса равно 45 км. На сколько метров расстояние от дачи до пруда больше, чем расстояние от дачи до леса?

4. Решите задачу.

Из погреба вытащили 312 части картофеля, а потом – ещё 212 части. После этого в погребе осталось 56 кг картофеля. Сколько картофеля было в погребе?

Вариант III.

1. Решите примеры.

а) 1928 + 12281628;

б) 1317611176 + 49176;

в) 2742 + ( 1242642 ) — 1242;

2. Решите уравнения.

а) x + 1223 = 2023

б) 2835 — ( y + 1635 ) = 435

3. Решите задачу.

Расстояние от школы до больницы равно 89 км, а от школы до бассейна равно 49 км. На сколько метров расстояние от школы до больницы больше, чем расстояние от школы до бассейна?

4. Решите задачу.

Из рулона отрезали 38 части ткани, а потом – ещё 28 части. После этого в рулоне осталось 32 метра ткани. Сколько метров ткани было в рулоне?

Самостоятельная работа №13 на тему: «Сложение и вычитание смешанных чисел»


Вариант I.

1. Решите примеры.

а) 4 1928 + 6 1228;

б) 5 13176 — 2 11176;

в) 12 2743 + 3 1243.

2. Решите уравнения.

а) 23 1838 + х =36 1228;

б) 7 1416 — y = 3 1116;

в) y + 18 2753 = 24 1353;

3. Решите задачу.

В первый день в мастерской использовали 23 318 метра проволоки, а во второй день – ещё 18 218 части. После этого в рулоне осталось 32 метра проволоки. Сколько метров проволоки было в рулоне?

Вариант II.

1. Решите примеры.

а) 3 1322 + 3 1222;

б) 8 15126 — 4 15126;

в) 13 2249 + 3 1449.

2. Решите уравнения.

а) 2 1843 + х = 3 443;

б) 17 1519 — y = 12 1219;

в) y — 18 3856 = 24 2756.

3. Решите задачу.

В первый день в школе покрасили 17 523 метра коридора, а во второй день – ещё 23 423 метра. Сколько метров было покрашено за 2 дня?

Вариант III.

1. Решите примеры.

а) 5 1923 + 6 1223;

б) 7 1348 — 3 1148;

в) 82 2578 + 34 1278

2. Решите уравнения.

а) 6 1729 + х = 23 429;

б) 8 15128 — y = 6 12128;

в) y — 18 3847 = 5 2747.

3. Решите задачу.

Фермер убрал 13 613 метра грядки в первый день, а на следующий день – ещё 18 313 метра. После двух дней работы осталось убрать 6 метров. Какова длина грядки?

Самостоятельная работа №14 на темы: «Десятичная запись дробных чисел».

«Сравнение десятичных дробей»
Вариант I.

1. Заданные дроби представьте, как десятичные дроби.

а) 5 5910
б) 6 1100

в) 17 1371000

2. Сравните числа.

а) 5,596 и 5,629
б) 7,34 и 7,339
в) 0,684 и 0,6840

3. Переведите из одной единицы измерения в другую.

а) представьте в тоннах: 92 ц; 887 кг; 14 т 12 кг;
б) представьте в квадратных дециметрах: 8 м 2; 57 см 2; 8 м2 77 дм2.

4. Отметьте точки: 0,2; 0,8; 1,1; 2,3; 2,1; 3,7 на числовом отрезке, равном 5 единицам.


Вариант II.

1. Заданные дроби представьте, как десятичные дроби.

а) 18 591000

б) 710

в) 7 137100

2. Сравните числа.

а) 35,97 и 35,971
б) 8,449 и 8,540
в) 0,92 и 0,920

3. Переведите из одной единицы измерения в другую.

а) представьте в тоннах: 3 ц; 239 кг; 23 т 28 кг;
б) представьте в квадратных дециметрах: 13 м 2; 2 см 2; 87 м2 32 дм2.

4. Отметьте точки: 0,5; 0,7; 1,1; 2; 2,3; 3,5 на числовом отрезке, равном 6 единицам.


Вариант III.

1. Заданные дроби представьте, как десятичные дроби.

а) 15 43100

б) 9 231000

в) 510

2. Сравните числа.

а) 29,345 и 29,354
б) 171,89 и 171,889
в) 0,93 и 0,930

3. Переведите из одной единицы измерения в другую.

а) представьте в тоннах: 18 ц; 56 кг; 3 т 9 кг;
б) представьте в квадратных дециметрах: 4 м 2; 23 см 2; 2 м2 56 дм2.

4. Отметьте точки: 0,4; 0,5; 1,4; 1,9; 2,4; 3,0 на числовом отрезке, равном 4 единицам.


Самостоятельная работа №15 на темы: «Сложение и вычитание десятичных дробей». «Округление чисел»


Вариант I.

1. Решите примеры на сложение десятичных дробей.

а) 29,3 + 4,35 =
б) 68,9 + 19,1 =
в) 0,68 + 6,4 =

2. Решите примеры на вычитание десятичных дробей.

а) 35,1 — 13,2 =
б) 37 — 27,3 =
в) 13,28 — 5,327 =

3. Решите задачу:

В первый день плот проплыл 14,8 км, во второй день – на 1 км 700 м больше, чем в первый день. В третий день плот проплыл на 600 м меньше, чем во второй день. Сколько всего км проплыл плот?

4. Округлите:

а) целую часть числа 2539,48190 до сотен, до десятков, до единиц;
б) дробную часть числа 2539,48190 до тысячных, до сотен, до десятков.

Вариант II.

1. Решите примеры на сложение десятичных дробей.

а) 79,3 + 8,15 =
б) 18 + 8,8 =
в) 0,93 + 23,4 =

2. Решите примеры на вычитание десятичных дробей.

а) 48,2 — 4,98 =
б) 96 — 48,6 =
в) 37,67 — 13,168 =

3. Решите задачу.

В первом пакете было 15,7 кг песка, во втором – на 350 г больше, чем в первом. В третьем – на 1200 г меньше, чем в первом. Сколько кг песка в трех пакетах?

4. Округлите:

а) целую часть числа 3462,9470 до сотен, до десятков, до единиц;
б) дробную часть числа 3462,9470 до тысячных, до сотен, до десятков.

Вариант III.

1. Решите примеры на сложение десятичных дробей.

а) 34,3 + 13,11 =
б) 8 + 47,7 =
в) 0,123 + 23,942 =

2. Решите примеры на вычитание десятичных дробей.

а) 69,2 — 7,88 =
б) 91,76 — 18,6 =
в) 8,94 — 5,452 =

3. Решите задачу.

3 дня бабушка пекла блины. В первый день она использовала 1,2 кг муки, во второй день – на 500 г меньше, чем в первый день, а на третий день – на 300 г больше, чем во второй день. Сколько муки она использовала за три дня?

4. Округлите:

а) целую часть числа 4392,73910 до сотен, до десятков, до единиц;
б) дробную часть числа 4392,73910 до тысячных, до сотен, до десятков.

Самостоятельная работа №16 на тему: «Умножение десятичных дробей на натуральные числа»


Вариант I.

1. Выполните умножение.

а) 8,3 * 8 = б) 7,12 * 34 = в) 0,235 * 93 = г) 1,93 * 100 =

2. Найдите значение выражения: х + ( 3,74х — 1,474х ) при х=3; 100; 374; 1000.

3. Решите задачу.

Одновременно навстречу друг другу из двух деревень, расстояние между которыми составляет 45,8 км, вышли пешеходы. Скорость первого пешехода составляет 4,2 км/ч, а скорость второго – 4,5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 4 часа?

4. Решите задачу.

Машина проехала 360 км за 6 часов. Какое расстояние она преодолеет, передвигаясь с той же скоростью, за 14 часа, за 2 13 часа?

Вариант II.

1. Выполните умножение.

а) 7,48 * 12 = б) 3,57 * 7 = в) 0,873 * 87 = г) 1,698 * 1000 =

2. Найдите значение выражения: 5х + ( 6,59х + 2,483х ) при х=5; 100; 324; 1000.

3. Решите задачу.

Одновременно в противоположных направлениях из города выехали 2 машины. Скорость первой машины составляет 54,7 км/ч, а скорость второй – 76,2 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

4. Решите задачу.

Велосипедист преодолел 72 км за 3 часа. Какое расстояние он преодолеет, перемещаясь с той же скоростью, за 56 часа, за 2 13 часа?

Вариант III.

1. Выполните умножение.

а) 9,4 * 6 = б) 8,34 * 56 = в) 0,517 * 62 = г) 6,787 * 1000 =

2. Найдите значение выражения: ( 8,45х — 3,594х ) — х при х=8; 100; 843; 1000.

3. Решите задачу.

Одновременно навстречу друг другу из двух городов выехали мотоциклы. Расстояние между городами составляет 234,8 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 34,5 км/ч, а скорость второго – 56,2 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

4. Решите задачу.

Моторная лодка прошла 24 км за 2 часа. Какое расстояние она пройдет, перемещаясь с той же скоростью, за 14 часа, за 3 13 часа?

Самостоятельная работа №17 на тему: «Деление десятичных дробей на натуральные числа»


Вариант I.

1. Выполните деление.

а) 2,729 : 6 = б) 283,85 : 4 = в) 4 : 13 = г) 0,095 : 10 =

2. Решите уравнения.

а) 5X — 0,4 = 23,6 б) 48,2 : Y = 10,4

3. Решите задачу.

За два дня рабочие отремонтировали 3,6 км дороги. В первый день они отремонтировали 1/4 части дороги. Сколько км дороги они отремонтировали во второй день?

4. Решите задачу.

4 класс и 5 класс собирали макулатуру. Пятиклассники собрали в 2 раза больше макулатуры, чем ребята из 4 класса. Вместе они собрали 239,7 кг. Сколько кг собрали ребята из 5 класса и сколько ребята из 4 класса?

Вариант II.

1. Выполните деление.

а) 5,837 : 7 = б) 291,49 : 5 = в) 5 : 18 = г) 0,023 : 10 =

2. Решите уравнения.

а) 8X + 2,8 = 18,6 б) 28,1 : Y = 12,4

3. Решите задачу.

За два дня бригада собрала 147,6 кг ягод. В первый день они собрали 4/9 части урожая ягод. Сколько кг ягод они собрали во второй день?

4. Решите задачу.

Две бригады собирали картофель. Первая бригада собрала в 3 раза больше картофеля, чем вторая. Обе бригады вместе собрали 49,6 ц урожая. Сколько центнеров картофеля собрали первая бригада и сколько вторая бригада?

Вариант III.

1. Выполните деление.

а) 4,752 : 9 = б) 472,49 : 6 = в) 7 : 19 = г) 0,044 : 10 =

2. Решите уравнения.

а) 5X + 2,5 = 24 б) 14,2 : Y = 3,4

3. Решите задачу.

За 2 дня мотоциклист преодолел 394,1 км. В первый день он проехал 47 части пути. Сколько км он проехал во второй день?

4. Решите задачу.

Мама собрала в 5 раз больше ягод, чем дочка. Вместе они собрали 34,5 кг ягод. Сколько ягод собрала мама и сколько дочка?

Самостоятельная работа №18 на тему: «Среднее арифметическое»


Вариант I.

1. Найдите среднее арифметическое четырех чисел: 4,5; 5,6; 4,9; 5,1.

2. Решите задачу.

В течение часа машина двигалась со скоростью 67,5 км/ч, в течение второго часа – со скоростью 51,6 км/ч. В течение третьего часа её скорость составила 72,3 км/ч. Какова средняя скорость машины? Сколько км она преодолела за 3 часа?

3. Решите задачу.

Среднее арифметическое трех чисел составляет 14,5. Первое число – 14,1, а второе число на 0,8 больше третьего числа. Назовите эти числа.

4. Решите задачу.

Расстояние между двумя деревнями равно 340 км. Автомобиль преодолел половину пути со скоростью 58 км/ч, а вторую половину – со скоростью 49 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути?

Вариант II.

1. Найдите среднее арифметическое четырех чисел: 12,3; 12,9; 11,6; 13,1.

2. Решите задачу.

В течение первого часа спортсмен шел со скоростью 11,2 км/ч, в течение второго часа – со скоростью 10,7 км/ч, а в течение третьего часа его скорость составила 9,8 км/ч. Какова средняя скорость спортсмена? Какое расстояние он прошел за 3 часа?

3. Решите задачу.

Среднее арифметическое трех чисел составляет 28,5. Первое число – 28,2, а второе на 0,9 больше третьего числа. Назовите эти числа.

4. Решите задачу.

Расстояние между двумя городами составляет 52 км. Первую половину пути велосипедист передвигался со скоростью 18 км/ч, а вторую половину – со скоростью 22 км/час. Какова средняя скорость велосипедиста на всем протяжении пути?

Вариант III.

1. Найдите среднее арифметическое четырех чисел: 9,1; 9,9; 11,1; 10,7.

2. Решите задачу.

В течение первого часа лодка двигалась со скоростью 15,5 км/ч, во второй час движения её скорость составила 17,4 км/ч, а в течение третьего часа – 12,7 км/ч. Какая средняя скорость лодки? Сколько км она преодолела за 3 часа?

3. Решите задачу.

Среднее арифметическое трех чисел составляет 13,2. Первое число – 13,9, а второе – на 0,7 больше третьего числа. Назовите эти числа.

4. Решите задачу.

Расстояние между двумя деревнями составляет 24 км. Первую половину пути пешеход двигался со скоростью 8 км/ч, а вторую половину – со скоростью 9 км/ч. Какова средняя скорость пешехода на всем протяжении пути?

Самостоятельная работа №19 на тему: «Проценты, задачи на проценты»


Вариант I.

1. Решите задачу.

В спортивной секции занимается 60 учеников, из них 70% составляют девочки. Сколько мальчиков занимается в спортивной секции?

2. Решите задачу.

Ребята четвертых и пятых классов собирали макулатуру. Ребята пятого класса собрали 150 кг макулатуры, что составило 60% общего веса собранной макулатуры. Сколько кг макулатуры собрали ребята?

3. Решите задачу.

Из 15 кг яблок получается 12 кг яблочного пюре. Каков процент выхода пюре из яблок?

Вариант II.

1. Решите задачу.

В 5 классе числится 30 учеников, 60% из них – мальчики. Сколько девочек учится в 5 классе?

2. Решите задачу.

2 бригады собирали помидоры. Первая бригада собрала 320 кг помидор, что составило 40% от общего урожая. Сколько всего помидор собрали обе бригады?

3. Решите задачу.

Из 60 семян взошли 55 растений. Найдите процент всхожести семян.

Вариант III.

1. Решите задачу.

В школе работает 40 человека. Из них 80% – женщины. Сколько мужчин работает в школе?

2. Решите задачу.

Бабушка и внучка собирали яблоки. Бабушка собрала 30 кг яблок, что составило 80% от общего сбора. Сколько кг яблок собрали бабушка и внучка вместе?

3. Решите задачу.

При перемалывании 40 кг зерна получили 25 кг муки. Найдите процент выхода муки.

Округление чисел — правила и примеры для дробей и сумм

Округленное число имеет примерно такое же значение , что и число, с которого вы начинаете, но оно на менее точное.


Например, 341, округленное до ближайшей сотни, равно 300. Это потому, что 341 ближе по значению к 300, чем к 400. При округлении до ближайшего доллара 1,89 доллара США превращаются в 2 доллара США, потому что 1,89 доллара США ближе к 2 долларам, чем к 1 доллару.

Правила округления

Вот общее правило округления:

  • Если после округляемого числа следует 5, 6, 7, 8 или 9, округлите число в большую сторону. Пример: 38 с округлением до ближайшей десятки — это 40 1
  • Если после округляемого числа следует 0, 1, 2, 3 или 4, округлите число в меньшую сторону. Пример: 33 с округлением до ближайшей десяти — 30

До чего округлить?

При округлении числа сначала нужно спросить: до чего вы его округляете? Числа можно округлять до ближайших десяти, ближайшей сотни, ближайшей тысячи и т. Д.

Рассмотрим число 4827.

  • 4827 с округлением до десяти — 4830
  • 4827 с округлением до ближайшей сотни — 4800
  • 4827 с округлением до ближайшей тысячи — 5000

Все числа справа от места округления до нуля . Вот еще несколько примеров:

  • 34 с округлением до десяти — 30
  • 6 809 с округлением до ближайшей сотни — 6 800
  • 1 951 с округлением до ближайшей тысячи — 2 000

Округление и дроби

Округление дробей работает точно так же, как , как округление целых чисел. Единственное отличие состоит в том, что вместо округления до десятков, сотен, тысяч и т. Д. Вы округляете до десятых, сотых, тысячных и т. Д.

  • 7,8199 с округлением до ближайшей десятой — 7,8
  • 1,0621 с округлением до сотых составляет 1,06
  • 3,8792 с округлением до ближайшей тысячной составляет 3,879

Вот совет: до не запутайтесь при округлении длинных десятичных знаков, смотрите только на число в месте округления и число, которое следует за ним. Например, чтобы округлить 5,38247 до ближайшей сотой, просто посмотрите на число в разряде сотых — 8 и следующее за ним число — 2. Тогда вы можете легко округлить до 5,38.

Округление и суммы

Округление позволяет упростить вычисление сумм. Например, в продуктовом магазине вы можете купить товары по следующим ценам:

Если вы хотите узнать, сколько они будут стоить, вы можете сложить цены ручкой и бумагой или попытаться добавить их в твоя голова. Или вы можете сделать это простым способом? Вы можете оценить, округлив до ближайшего доллара, например:

Округляя, вы можете легко вычислить, что вам потребуется около 6 долларов, чтобы заплатить за продукты. Это довольно близко к точной цифре в 5,82 доллара.

Как видите, при нахождении округленной суммы быстрее всего округлить числа перед их сложением.

1. Некоторые статистики предпочитают округлять 5 до ближайшего четного числа. В результате примерно в половине случаев 5 будет округлено в большую сторону, а примерно в половине случаев — в меньшую.Таким образом, округление 26,5 до ближайшего четного числа будет равно 26? Оно будет округлено в меньшую сторону. И если округлить 77,5 до ближайшего четного числа, получится 78 — оно будет округлено в большую сторону.

Fact Monster / Информация, пожалуйста, База данных, 2008 Pearson Education, Inc. Все права защищены.

Числа округления

Что такое «округление»?

Округление означает упрощение числа , но сохранение его значения близким к тому, что было.

Результат менее точен, но его проще использовать.

Пример: 73 с округлением до десяти — 70 , потому что 73 ближе к 70, чем к 80. Но 76 увеличивает до до 80.

Общий метод

Есть несколько различных методов округления. Здесь мы рассмотрим общий метод , используемый большинством людей.

Сначала несколько примеров (пояснения следуют):

Как округлить числа

  • Решите, какую последнюю цифру нужно оставить
  • Оставьте то же самое, если следующая цифра меньше 5 (это называется округлением в меньшую сторону )
  • Но увеличьте его на 1, если следующая цифра равна 5 или больше (это называется округлением в большую сторону )

Пример: округлить 74 до ближайшего 10

  • Мы хотим оставить «7» (она находится в позиции 10)
  • Следующая цифра — «4», которая меньше 5, поэтому никаких изменений в «7» не требуется.

Ответ: 70

(74 округляются в меньшую сторону)

Пример: округлить 86 до ближайшего 10

  • Мы хотим оставить «8»
  • Следующая цифра — «6», что составляет 5 или более, поэтому увеличьте «8» на 1 до «9».

Ответ: 90

(86 «округлены»)

Итак: когда первая цифра удалена, равно 5 или больше, увеличьте последнюю цифру , оставшуюся на 1.

Почему 5 повышается?

5 находится посередине … так что может идти вверх или вниз. Но нам нужен метод, с которым все согласны.

Итак, подумайте о спорте: у нас должно быть одинаковое количество игроков в каждой команде, верно?

  • 0,1,2,3 и 4 находятся в команде «вниз»
  • 5,6,7,8 и 9 в команде «вверх»

И это «обычный» метод округления. Прочтите о других методах округления.

Фермер насчитал на поле 87 коров, но когда он собрал их, у него было 90.

Округление десятичных знаков

Сначала определитесь, какой номер останется, когда мы закончим.

  • Округление до десятых означает, что в нужно оставить одно число после десятичной точки.
  • Округление до сотых означает, что в нужно оставить два числа после десятичной точки.
  • и др.

3,1416 с округлением до сотых составляет 3,14


, поскольку следующая цифра (1) меньше 5

3,1416 с округлением до тысячных долей 3,142


, поскольку следующая цифра (6) больше 5

1,2735 с округлением до десятых составляет 1,3

, поскольку следующая цифра (7) — это 5 или больше

Чтобы округлить до «такого количества десятичных знаков», посчитайте это количество цифр от десятичной точки:

1,2735 с округлением до 3 знаков после запятой составляет 1.274

, поскольку следующая цифра (5) — это 5 или больше

Округление целых чисел

Мы можем округлить до десятков, сотен и т. Д. В этом случае мы заменяем удаленные цифры нулем.

134,9 с округлением до десятков 130

, так как следующая цифра (4) меньше 5

12 690 с округлением до тысяч 13 000

, поскольку следующая цифра (6) — это 5 или больше

15,239 округляем до единиц 15

, поскольку следующая цифра (2) меньше 5

Округление до значащих цифр

Чтобы округлить до «такого количества» значащих цифр, подсчитывает цифры слева направо , а затем округляет оттуда.

1,239 с округлением до 3 значащих цифр 1,24

, поскольку следующая цифра (9) — это 5 или больше

134,9 с округлением до 1 значащей цифры — 100

, поскольку следующая цифра (3) меньше 5

Если есть ведущие нули (например, 0,006), не считайте их, потому что они нужны только для того, чтобы показать, насколько мало число:

0,0165 с округлением до 2 значащих цифр составляет 0,017

, поскольку следующая цифра (5) — это 5 или больше

Калькулятор значащих цифр

(Попробуйте увеличить или уменьшить количество значащих цифр. Также попробуйте числа с большим количеством нулей перед ними, например 0,00314, 0,0000314 и т. Д.)

математических игр для детей 5-х классов в App Store

Мы делаем математику увлекательной и увлекательной. Более 30 миллионов детей используют программу Splash Math, чтобы повысить уверенность в себе, увеличить результаты и добиться прогресса в математике.

Splash Math — это комплексная математическая программа, согласованная с учебным планом, которая усиливает математические концепции с помощью самостоятельной и адаптивной практики.

*** Награды и признание для серии Splash Math *** Программа
Splash Math в настоящее время используется более чем 30 миллионами детей и получила несколько престижных наград.
• Победитель «Gold Stevie Award» (2013) в категории «Образование и справочная информация»
• Победитель «Tabby Awards» (2012) в категории «Лучшее приложение для образования и обучения»
• Победитель «Лучшего приложения для учащихся начальной школы» ( 2011) от BestAppEver. com
• В списках Apple — «Любимые сотрудники», «Новые и заслуживающие освещения в печати»

*** Обзоры ***
«Математика для 5-го класса: общие основные рабочие листы по математике Splash — это ресурс с богатым содержанием. с интерактивными таблицами и несколькими аркадными играми.Дети могут использовать приложение, чтобы практиковать навыки, зарабатывая призы и открывая игры «. — Common Sense Media

» Это приложение предоставляет уроки, игры и викторины практически по всем аспектам математики в 5-м классе. Дизайн более дружелюбный и продуманный. чем другие виртуальные рабочие тетради, которые вы можете загрузить на iPad ». — AppoLearning

« Математика для 5-го класса: Splash Math Worksheets — безусловно, самая полная учебная тетрадь по математике в магазине приложений. Благодаря великолепному интерфейсу и уникальной функции скретчборда это одно из лучших образовательных приложений.»- Famigo

*** Информация о программе ***
Охват содержания: 41+ математических концепций (5 класс)
Учебный план: Общие основные государственные стандарты
Доступ: iPad, iPhone, настольные компьютеры и ноутбуки

*** Ключевые особенности Splash Math Grade 5 ***
+ Программа для самостоятельной математической практики
+ Объяснение неправильных ответов
+ Блокнот для грубой работы
+ Виртуальные награды и игры
+ Отслеживайте прогресс с помощью панели управления прогрессом в реальном времени
+ Прогресс синхронизируется на нескольких iPad, настольные компьютеры и ноутбуки.
+ HD-графика и звуковые эффекты для потрясающего игрового процесса.

*** ОБЩИЕ ТЕМЫ ***
StudyPad содержит лучшие математические приложения, соответствующие общим основным стандартам, с практически бесконечным количеством вопросов. Это приложение охватывает следующие темы:

1. Разрядное значение — Обобщение понимания разряда до десятичных до тысячных разрядов
2. Числовое значение — Сравнение, порядок и округление десятичных чисел
3. Алгебра — Написание и оценка числовых выражений, работа с Числами Выкройки
4.Умножение — плавно умножайте до трехзначных чисел на двухзначные числа
5. Деление — делите на двухзначные числа
6. Дроби — сложение, вычитание и умножение, в отличие от дробей, деление с использованием дроби и целого числа
7. Десятичная арифметика — Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей с точностью до сотых
8. Измерения — преобразование величин из одной единицы измерения в другую в рамках той же системы измерения
9. Геометрия — Координатные плоскости и графики, иерархическая классификация форм, объемов твердых тел

*** Планы подписки ***
• Планы: 29,99 долл. США в квартал или 59,99 долл. США в год
• Бесплатная пробная версия: мы предлагаем бесплатный пробный период, прежде всего планы.
• Отменить в любое время: плата не взимается, если план отменен до окончания пробного периода.
• Продление: автоматическое продление можно отключить в любое время в настройках учетной записи. Подписка автоматически продлевается, если автоматическое продление не отключено по крайней мере за 24 часа до окончания текущего периода.
• Политика конфиденциальности: https://www.splashmath.com/privacy
• Условия использования: https://www.splashmath.com/terms-of-use

*** Политика возврата ***
Пользователь может отменить подписку и автоматически продлить в любое время, и со следующего платежного цикла не будет взиматься дополнительная плата за кредитную карту. Полный или частичный возврат средств за текущую подписку за активный период подписки не предоставляется.

*** Контакт ***
• Facebook: http://www.facebook.com/SplashMath
• Twitter: @splashmath
• Веб-сайт: https: // www.splashmath.com

Округление до ближайшей сотни

При округлении до ближайшей сотни числа «проживающих» в красных областях (до 850) на числовой прямой округляются до 800. Цифры в синих областях округлены до 900.

Опять же, расстояние имеет значение. Числа от 801 до 849 ближе к 800, чем до 900.
Числа от 851 до 899 ближе к 900, чем к 800. А «средний парень» 850 округляется до 900: 850. ≈ 900.

1. Отметьте цифры в виде точек на числовой прямой (приблизительно) и округлите их до 800 или 900.

а.

804 ≈ ____________

859 ≈ ____________

г.

825 ≈ ___________

850 ≈ ___________

г.

860 ≈ ___________

847 ≈ ___________

г.

808 ≈ ___________

892 ≈ ___________

При округлении до ближайшей сотни посмотрите на ДЕСЯТКИ ЦИФРЫ номер.

  • Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, вы получите округлить до предыдущей сотни.
  • Если эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, вы округлите до следующей сотни.
728 ≈? Цифра десятков равна 2, так округлить вниз:

728 ≈ 700

471 ≈? Десятки пальцев 7, так округлить:

471 ≈ 500

956 ≈? Цифра десятков равна 5, так округлить:

956 ≈ 1000

2. Округлите эти числа до ближайшей сотни.

а.

416 ≈ ___________

837 ≈ ____________

г.

529 ≈ ___________

960 ≈ ___________

г.

670 ≈ ___________

557 ≈ ___________

г.

254 ≈ ___________

147 ≈ ___________

С этой числовой прямой все работает аналогично при округлении до ближайшего сто :

  • Числа до 2450 (среднее число) округляются до 2400.
  • Числа после 2450 округляются до 2500.
  • И «средний парень», 2 450 человек, округляется в большую сторону.

3. Округлите эти числа до 2400 или до 2500. Вы можете использовать числовую строку выше, чтобы помочь вам.

а. 2,412 ≈ __________ г. 2,429 ≈ __________
г. 2,478 ≈ ___________ г. 2,490 ≈ ___________

Правила округления

При округлении до ближайшей сотни посмотрите на ДЕСЯТКИ ЦИФРЫ номер.

Если цифра десятков равна 0, 1, 2, 3 или 4, вы округлите в меньшую сторону до предыдущей сотни.

728 ≈? Цифра десятков равна 2, так округлить вниз:

728 ≈ 700

Примечание: цифра сотен не меняет .

Если эта цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, вы округлите до следующей сотни.

471 ≈? Цифра десятков равно 7, поэтому округлите в большую сторону:

471 ≈ 500

Примечание: цифра сотен увеличивается на единицу , с 4 до 5.

Округлите ли вы в большую или меньшую сторону, цифры десятков и единиц изменятся на нули .

4. Округлите эти числа до ближайшей сотни.

а. 6216 ≈ _________ г. 5,923 ≈ _________
г. 1,670 ≈ _________ г. 8 254 ≈ _________
e. 8,019 ≈ _________ ф. 2157 ≈ _________
г. 1,772 ≈ _________ ч. 6 849 ≈ _________
и. 801 ≈ _________ Дж. 255 ≈ _________
к. 9,562 ≈ _________ л. 3,501 ≈ _________

Примечание особенно! 4 952 ≈?

Теперь цифра десятков равна 5, поэтому мы округляем в большую сторону. Цифра сотен (9) увеличивается на единицу (до десяти сотен). Но мы нельзя изменить 9 на 10, иначе мы получим 41052!

Вместо этого эти десять сотен дают новую тысячу , поэтому цифра тысяч увеличивается. одним.Это как если бы «49» превратилось в «50». Итак, получаем 4,9 52 ≈ 5,0 00

5. Округлите эти числа до ближайшей сотни.

а. 6,986 ≈ _________ г. 5,973 ≈ _________
г. 1,981 ≈ _________ г. 4,945 ≈ _________
e. 2,932 ≈ _________ ф. 9,969 ≈ _________
г. 966 ≈ _________ ч. 9,982 ≈ _________
и. 798 ≈ _________
6. Округлите эти числа до ближайшей сотни.
Поместите каждый ответ в головоломку с крестиками.
Через:

а. 2,264 ≈ _______

г. 4973 ≈ _______

г. 4 248 ≈ _______

г. 545 ≈ _______

Вниз:

эл. 3709 ≈ _______

ф. 672 ≈ _______

г. 5,370 ≈ _______

ч. 8,816 ≈ _______

а. эл.
б.
ч.
ф. г.
г.
г.

7. Введите округленные числа.

а. Обычно Мэри получает около __________ спама в день, но 9 мая она получила около ___________ спама.

г. За рабочую неделю с 07.05 по 11.05 ей пришло около __________ спама.

Спам-сообщения Мария получила

Дата Спам округлить до ближайшего 100
Пн 5/7 125
Вт 5/8 97
Вт 5/9 316
Чт 5/10 118
Пт 5/11 106

См.

Также

Листы бесплатного округления
Создавайте бесплатные распечатываемые рабочие листы для округления целых чисел для 2–6 классов.Рабочие листы настраиваются, генерируются каждый раз случайным образом и доступны в виде файлов PDF или html.


Разница между стандартным и детальным вычетом

Разница между стандартным и детализированным вычетом сводится к простой математике. Стандартный вычет снижает ваш доход на одну фиксированную сумму. С другой стороны, детализированные вычеты состоят из списка допустимых расходов. Вы можете подать заявку на то, что больше всего снижает ваш налоговый счет.

Прочтите, чтобы понять разницу между стандартным вычетом и детализированным вычетом.

Стандартный вычет

Когда мы слышим вопрос «что такое стандартный вычет?» — мы думаем о двух вещах. Во-первых, давайте начнем с определения. Стандартный вычет — это фиксированная сумма в долларах, которая уменьшает ваш налог на прибыль. Ваш стандартный вычет зависит от вашего статуса регистрации. Во-вторых, вы можете узнать, каковы стандартные суммы вычетов.Их:

  • Для регистрации холостого или женатого отдельно — 12 400 долларов
  • Для совместной регистрации в браке или соответствующей требованиям вдовы (вдовы) — 24 800 долларов
  • Для главы семьи — 18 650 долларов

Ваш стандартный вычет увеличивается, если вы слепой или в возрасте 65 лет и старше. Она увеличивается на 1 650 долларов, если вы одиноки или глава семьи, и на 1300 долларов, если вы женаты или имеете право на вдову.

Большинство налогоплательщиков требуют стандартного вычета. Стандартный вычет:

  • Позволяет вам делать налоговые вычеты, даже если у вас нет расходов, которые могут претендовать на детализированные вычеты
  • Устраняет необходимость детализировать вычеты, такие как медицинские расходы и благотворительные пожертвования
  • Позволяет вам избежать ведения записей и квитанций о ваших расходах на случай вас проверяет IRS

Не оставляйте деньги на столе

Подавайте налоговые декларации и получайте все скидки и вычеты, которых вы заслуживаете. Наши налоговые профи могут помочь вам подать заявку лично или виртуально, или вы можете подать ее самостоятельно через Интернет.

Что такое постатейный вычет?

После определения стандартных вычетов мы рассмотрим, «что такое детализированные вычеты?» Детализированные вычеты также уменьшают ваш скорректированный валовой доход (AGI), но работают иначе, чем стандартные вычеты. В отличие от стандартного вычета, размер детализированных вычетов в долларах отличается от налогоплательщика к налогоплательщику. В то время как стандартные вычеты — это, как следует из названия, — стандартная (или фиксированная) сумма, детализированные вычеты рассчитываются путем сложения всех применимых вычетов с последующим вычитанием этого числа из вашего налогооблагаемого дохода.

Вот пример использования сумм 2020 года: если вы холост и ваш AGI составляет 40 000 долларов с детализированными вычетами в размере 14 000 долларов, ваш налогооблагаемый доход составляет 26 000 долларов. Если вы решите использовать стандартный вычет, вы сократите AGI только на 12 400 долларов, в результате чего ваш налогооблагаемый доход составит 27 600 долларов, поэтому в этом случае вы захотите сделать вычеты по статьям.

Когда проводить разбивку по элементам или использовать стандартный вычет?

В некоторых ситуациях имеет смысл перечислить детали вместо стандартного вычета в форме 1040.Детализация налоговых вычетов имеет смысл, если вы:

  • Составьте детализированные вычеты, которые в сумме превышают стандартный вычет, который вы получили бы (как в приведенном выше примере).
  • Имел большие наличные медицинские и стоматологические расходы
  • Выплаченные проценты по ипотеке и налоги на недвижимость на вашем доме
  • Произошел крупный незастрахованный несчастный случай (пожар, наводнение, ветер) или убытки от кражи
  • Сделали крупные взносы в квалифицированные благотворительные организации
  • Имели убытки от азартных игр
  • Имелись другие допустимые вычеты, такие как связанные с обесценением рабочие расходы инвалида или возврат подлежащих сумм на иск о праве на сумму более 3000 долларов

Стандартный вычет vs.

постатейные вычеты — государственные налоговые льготы

Есть одна ситуация, когда вы можете захотеть детализировать вычеты, даже если ваши общие детализированные вычеты меньше вашего стандартного вычета. Возможно, вы захотите сделать это, если вы заплатите меньше налогов между федеральными налогами и налогами штата. Это может произойти, если вы включите в свои федеральные декларации и декларации штата и получите более крупную налоговую льготу, чем если бы вы подали заявку на стандартный вычет в декларации федерального уровня и декларации штата. Обратите внимание, что в некоторых штатах не разрешены вычеты по статьям, например, в Мичигане или Массачусетсе.

Вопросы о применении детального вычета по сравнению со стандартным вычетом

У вас есть дополнительные вопросы о том, следует ли претендовать на детализированный или стандартный вычет? Наши налоговые профи говорят на сложном языке налогов и стремятся помочь вам лучше понять ваши налоги.

Назначьте встречу с одним из наших налоговых профи сегодня.

Первые математические навыки и учащиеся с математической сложностью

Дети идут в начальную школу с различными математическими навыками.Некоторые дети понимают основы чисел и математики, в то время как другие борются с основами счета, распознавания чисел, понимания символов, количественного различения и концепций сложения и вычитания. Часто этот набор начальных числовых навыков называется числовым чувством, или начальным умением считать. Студенты должны освоить и понять эти компетенции, прежде чем переходить к более сложным математическим задачам. В этой статье описываются важные ранние числовые навыки и дается описание того, как этим навыкам можно научить учащихся, испытывающих трудности с математикой.

РАННИЕ ЧИСЛОВЫЕ КОМПЕТЕНТНОСТИ И УЧАЩИЕСЯ С МАТЕМАТИЧЕСКИМИ ТРУДНОСТЬЮ

Перед тем, как решать задачи по алгебре, геометрии, дробям и вычислениям, учащиеся должны хорошо разбираться в числах (Malofeeva, Day, Saco, Young, & Ciancio, 2004). Иногда это называется числовым смыслом (например, Jordan, 2007; Kaminski, 2002; Wagner & Davis, 2010) или ранним числом (например, Aunio, Hautamaki, Sajaniemi, & Van Luit, 2009; Bryant et al., 2011; VanDerHeyden et al., 2011). Независимо от используемого термина, конструкция относится к ранним численным компетенциям, которые лежат в основе развития компетенций в математике. В этой статье мы называем этот набор навыков ранними числовыми компетенциями.

Что такое ранние численные навыки?

Хотя не существует единого определения ранних числовых компетенций, несколько исследователей определили ранние числовые компетенции, которые важны для молодых студентов (Berch, 2005; Bryant et al., 2011; Герстен и Чард, 1999; Гриффин и Кейс, 1997; Кауфманн. Хэндл и Тони, 2003; Lago & DiPerna, 2010). См. Диаграмму начальных численных компетенций. Некоторые темы (например, числовые значения или базовые комбинации чисел) требуют предварительных знаний по другим темам (например, распознавание чисел или сравнение чисел). Мы представляем эти ранние числовые компетенции как совокупность, потому что развитие учащихся ранних числовых компетенций не всегда линейно, и учащиеся различаются по срокам, по которым они приобретают эти навыки.

Ранние числовые компетенции

Важность ранних числовых компетенций

Дети идут в школу (то есть в детский сад) с широким набором начальных числовых компетенций. Некоторые дети уже знают числа, знают их названия и могут решать простые задачи на сложение и вычитание; другим сложно определить числа и считать от 1 до 10 (Lembke & Foegen, 2009). Раннее участие в числовой деятельности дома, в дошкольном учреждении или в детском саду играет важную роль в формировании у учеников детского сада ранних числовых компетенций (Baroody & Benson, 2001; Jung, 2011: Skwarchuk, 2009).Чем больше учащиеся знакомятся с ранними числовыми компетенциями в играх, рассказах или играх до начала формального обучения, тем лучше они понимают строительные блоки математики (Ramani & Siegler, 2008).

Одним из признаков того, что эти ранние числовые навыки важны, является то, что они предсказывают более поздние достижения в математике. Например, Locuniak и Jordan (2008) протестировали 198 учеников весной детского сада по ранним численным мерам и снова зимой второго класса по мерам беглости вычислений.Учащиеся с показателями ниже 25-го процентиля в начале детского сада были отнесены к группе риска плохого развития математики. Первые числовые меры включали вопросы о счете, знании чисел, невербальном вычислении, числовых комбинациях и задачах рассказа. Измерение беглости вычислений состояло из 25 комбинаций чисел сложения и 25 чисел вычитания. Ранняя числовая компетентность, измеренная в детском саду, была важным показателем беглости вычислений во втором классе. Более 50% учащихся из группы риска (выявленных в детском саду) по-прежнему показывают результаты ниже 25-го процентиля во втором классе, а 25% учащихся из группы риска показывают результаты между 25-м и 50-м процентилями. Результаты Локуньяка и Джордана показывают, что многие учащиеся с более слабыми математическими навыками в детском саду будут продолжать демонстрировать более низкие результаты по математике после детского сада. Jordan, Kaplan, Locuniak и Ramineni (2007) обнаружили аналогичную картину с 277 учениками от детского сада до первого класса. На способность распознавать числа в осеннем детском саду приходилось 66% отклонений в тестах по математике и решению задач, проводимых в конце первого класса. Другие исследования (Duncan et al., 2007; Jordan, Glutting, Ramineni, & Watkins, 2010) также указывают на то, что первые навыки работы с числами позволяют прогнозировать успеваемость по математике в более поздних классах.

Трудности с ранними числовыми компетенциями

Многие молодые студенты испытывают трудности с ранними числовыми компетенциями (Lembke & Foegen, 2009; Lloyd, Irwin, & Hertzman, 2009). В Соединенных Штатах различия проявляются в начале обучения в школе: некоторые дети приходят в школу с установленным набором начальных числовых компетенций: другие демонстрируют гораздо более низкие результаты при начальных числовых задачах (Jordan et al. , 2007). Например, Jordan, Kaplan, Ramineni и Locuniak (2009) применяли ранние числовые методы подсчета, распознавания чисел, сравнения, числовых комбинаций и задач рассказа в детском саду. Учащиеся с низкими доходами в их выборке продемонстрировали значительно более низкие начальные числовые баллы, чем их сверстники со средним доходом. Хотя низкий доход может быть не единственным фактором, способствующим различиям в ранней числовой компетенции, Jordan et al. (2009) продемонстрировали, что учащиеся детского сада демонстрируют разный уровень навыков счета в раннем возрасте.Та же тенденция характерна для студентов из других стран (Ee, Wong, & Aunio, 2006; Lloyd et al., 2009). Например, финские учащиеся в возрасте от 5 до 7 лет с особыми потребностями (т. Е. Синдром дефицита внимания, языковые трудности или трудности в развитии) продемонстрировали значительно более низкие показатели в начале обучения, чем учащиеся без особых потребностей (Aunio et al., 2009).

Поскольку учащиеся с более низкими результатами в начальных задачах счисления часто демонстрируют более низкую математическую компетентность в более поздних начальных и средних школах (Duncan et al. , 2007), раннее выявление и раннее вмешательство являются ключевыми (Dowker, 2005). Хотя выявление учащихся, испытывающих трудности, может быть затруднено из-за неадекватных оценок (Mazzocco, 2005), а некоторых учащихся ошибочно определяют как учащихся, испытывающих трудности в математике (Locuniak & Jordan, 2008), исследования показывают, что раннее вмешательство может помочь учащимся в их начальных навыках счета (Berch, 2005; Bryant et al., 2011; Fuchs et al., 2005a).

Раннее численное обучение

Основываясь на экспериментальной работе со студентами, которые борются с математикой, Fuchs et al.(2008) предоставили несколько рекомендаций по важным компонентам обучения математике. Инструкция должна быть четкой с акцентом на концептуальные и процедурные знания. Обучение должно быть осмысленным, чтобы минимизировать проблемы, а практика и повторение должны быть частью любой учебной программы. Fuchs et al. также подчеркнули использование инструментов мотивации, встроенных в инструкции, чтобы помочь учащимся вести себя при выполнении задания и контролировать успеваемость. Мониторинг успеваемости учеников важен для того, чтобы у учителей были объективные индикаторы того, когда ученик реагирует на текущую учебную программу неадекватно и вряд ли приведет к достижению цели.Когда данные ученика указывают на неадекватный ответ, учитель корректирует учебную программу ученика.

Gersten et al. (2009) выделили подробное обучение, использование стратегий, вербализацию учащихся, использование визуальных представлений, мониторинг прогресса и использование различных примеров в качестве важных учебных практик для учащихся, которые борются с математикой. Добавляя к этим пунктам, Герстен и Чард (1999) предложили работать над беглостью математики, чтобы интегрировать инструкции по концепциям и процедурам с достаточной практикой.Эти рекомендации особенно важны для учащихся с математическими трудностями, и следующие примеры демонстрируют, как эти важные учебные рекомендации, когда они используются для обучения навыкам вычисления в раннем возрасте, полезны для учащихся с математическими трудностями.

Например, Bryant et al. (2011) работали с первоклассниками (N = 224), которые показали результаты ниже 35-го процентиля при ранней числовой оценке компетенций. Некоторые ученики (n = 151) были назначены на начальную числовую программу, тогда как другие ученики (n = 73) остались в своем обычном учебном классе для обучения математике.Репетиторство в малых группах для студентов начальных этапов числовой программы длилось 22 недели, четыре занятия в неделю, 25 минут каждое. Студенты участвовали в подробном обучении с управляемой и независимой практикой по процедурным и концептуальным идеям счета, числовым отношениям, наборам из 10, числовым комбинациям и разряду. На итоговом тесте студенты, которые участвовали в ранней числовой программе, показали значительно более высокие результаты, чем студенты из контрольной группы, с величиной эффекта (ES) 0,18 при сравнении величины, 0.47 по числовым последовательностям, 0,39 по разрядам и 0,55 по числовым комбинациям сложения и вычитания.

Fuchs et al. (2005a) также проводил обучение по числовым методам для первоклассников (N = 127), которые испытывали трудности с математикой. Учащиеся были случайным образом распределены для раннего обучения численным навыкам (n = 64) или для участия в обычном обучении математике без дополнительных занятий (n = 63). Студенты получали репетиторство в течение 16 недель, три раза в неделю, по 40 минут за сеанс. Репетиторство было сосредоточено на начальных навыках работы с числами, таких как идентификация и написание чисел, использование символов, счет, разметка, а также комбинации сложения и вычитания.По окончании репетиторства ученики, получившие репетиторство, превзошли учеников без репетиторства по тестам на добавление фактов (ES = 0,40), фактов вычитания (ES = 0,14), вычислений (ES = 0,57), концепций и приложений (ES = 0,67) и задач по рассказам. (ES = 0,70).

В других странах ранние программы счисления также показали, что они улучшают успеваемость учащихся, испытывающих трудности, по математике. Кауфманн и др. (2003) работали с шестью учениками с математическими трудностями. Эти студенты участвовали в начальной числовой программе в течение 6 месяцев три раза в неделю по 25 минут в каждой сессии.Учащиеся узнали о счетах, символах, фактах, равных 10, фактах сложения и вычитания, а также о расстановке ценностей с помощью явных инструкций и работы от конкретного (т. Е. Манипуляций) к абстрактному (т. Е. Решения задач с числами и символами). Шесть учеников продемонстрировали значительный рост в ходе программы по сравнению со сверстниками, не испытывавшими трудностей по математике. Кауфманн, Делазер, Поль, Семенца и Даукер (2005) расширили эту работу, сравнив раннюю числовую программу, ориентированную на процедурное и концептуальное обучение, с программой, ориентированной на обучение базовым навыкам.Студенты, участвовавшие в процедурной и концептуальной программе, продемонстрировали значительный выигрыш в показателях подсчета, мощности, сравнений и вычислений по сравнению со студентами, которые участвовали в программе основных навыков. Ван Луит и Шопман (2000) работали с учениками детского сада (N = 124), которые показали результаты ниже 25-го процентиля по раннему числовому критерию. Половине студентов было назначено раннее обучение числовому обучению; другая половина участвовала в их обычной школьной программе.Ранние числовые инструкции были сосредоточены на навыках счета, а обучение было явным и интерактивным и следовало последовательности от конкретного к репрезентативному и абстрактному (Hudson & Miller, 2006). После двадцати 30-минутных занятий студенты, которые участвовали в ранней числовой программе, превзошли учащихся контрольной группы в ранних числовых измерениях, таких как сравнение чисел, счет и понимание значения чисел.

Эти результаты ранних численных исследований в Соединенных Штатах и ​​за рубежом показывают, что учащиеся-математики, испытывающие трудности, извлекают выгоду из программ, ориентированных на ранние численные навыки.Все инструкции в этих программах были четкими и были сосредоточены на обучении студентов значению (т.

РАННИЕ ЧИСЛОВЫЕ КОМПЕТЕНЦИИ

В этой статье мы выделяем четыре основные категории ранних числовых компетенций: счет, сравнение чисел, понимание символов, а также концепции сложения и вычитания. В этом разделе мы описываем каждую из этих категорий и то, как учащиеся могут бороться с навыками в этой категории.Затем мы представляем пример вмешательства, чтобы помочь студентам, которые борются с этими ранними числовыми компетенциями. Наконец, мы даем рекомендации для практикующих.

Подсчет

Подсчет — это не только повторение «1, 2, 3, 4, 5.…». Студенты часто могут считать до 10, но они могут не понимать, что означают числа (Bermejo, Morales, & deOsuna, 2004; Брюс и Трелфолл, 2004). Например, учащиеся могут не придавать значения своему счету или осознавать, что числовые слова отображаются на счетных элементах.Подсчет включает пять принципов: стабильный порядок, взаимно однозначное соответствие, мощность, абстракцию и нерелевантность порядка (Gelman & Gallistel, 1978). Студенты могут бороться с одним или несколькими из этих принципов (Bruce & Threlfall, 2004). Эти принципы часто комбинируются (например, учащиеся произносят числовые названия и указывают на каждый подсчитываемый объект), и поэтому эти принципы следует практиковать вместе (Camos, Barrouillet, & Fayol, 2001).

Многие учащиеся развивают навыки счета еще до поступления в детский сад (Gelman & Gallistel, 1978).Однако некоторые ученики приходят в школу с недостаточными навыками счета или непониманием принципов счета. Например, многие учащиеся могут без труда сосчитать до пяти, но они могут столкнуться с трудностями при подсчете больших наборов (т. Е. Наборов, превышающих 5 или 6), совершать больше ошибок и не понимать, как использовать счет для определения количества элементов в задании. набор (Carrasumada, Vendrell, Ribera, & Montserrat, 2006). Однако навыкам счета можно научить и улучшить с помощью инструкций и практики (Camos et al., 2001; Xin & Holmdal, 2003). Часто полезный способ понять, понимают ли учащиеся принципы счета, — это продемонстрировать счет и неправильный счет с помощью марионетки (Гири, Хоард, Берд-Крейвен, Ньюджент и Нумти, 2007; Малдун, Льюис и Фрэнсис, 2007). Рекомендации по обучению счету могут быть основаны на знании (или отсутствии) навыков счета марионеток. Например, если ученик говорит, что марионетка неправильно считать справа налево ученика, тогда ученик должен получить инструкции по принципу подсчета, не имеющему отношения к порядку.

Для подсчета учащиеся должны знать числовые слова по порядку (Slusser & Sarnecka, 2011), концепция называется стабильный порядок. Эти слова обычно произносятся в прямом порядке (например, «один, два, три, четыре, пять»), и последовательность этих счетных слов должна использоваться последовательно (Frye, Braisby, Lowe, Maroudas, & Nicholls, 1989 ). Стабильный порядок часто изучается и практикуется с помощью песен, песнопений или рассказов.

Кроме того, при подсчете учащиеся должны считать каждый предмет только один раз (Van De Walle, Karp, & Bay-Williams, 2010).Это называется индивидуальной перепиской . Практикуя индивидуальную переписку, ученикам легче отслеживать элементы в ряду или элементы, которые были помечены и разделены, чем элементы, которые подсчитываются случайным образом (Potter & Levy, 1968). Чтобы считать с использованием однозначного соответствия, учащиеся должны знать названия чисел, ценить стабильный порядок и понимать взаимосвязь между счетами и названиями чисел (Potter & Levy, 1968). Индивидуальная переписка часто практикуется путем раздачи элементов (например, файлов cookie) и обеспечения того, чтобы каждый учащийся получил один файл cookie (Van De Walle et al., 2010).

Комбинируя стабильный порядок и взаимно однозначное соответствие, учащиеся начинают подсчитывать наборы объектов, чтобы определить число в наборе (т. Е. Принцип мощности ). При подсчете набора предметов окончательный счет (например, «4» после подсчета четырех динозавров) представляет набор. Количество элементов относится к пониманию того, что окончательный или последний счет представляет собой общее количество подсчитанных элементов (Bermejo et al., 2004). Часто это практикуется, когда учеников просят сосчитать набор предметов, а затем просят их ответить на вопрос: «Сколько?» (Малдун, Льюис и Фриман, 2003).

Хотя принцип подсчета абстракции не является необходимостью для подсчета, студентам полезно понимать, что любые объекты могут составлять набор (Frye et al., 1989). Например, счетный набор не обязательно должен содержать только лягушек. В счетный набор могут входить лягушки, жабы, грузовики и карандаши. Подсчет может применяться к любому набору элементов, независимо от того, насколько абстрактными они могут быть. Подобно абстракции, нерелевантность порядка не так важна, как другие принципы подсчета (Kamawar et al., 2010). Принцип нерелевантности порядка диктует, что порядок, в котором подсчитываются предметы, не имеет значения, пока каждый предмет подсчитывается только один раз (т. Е. Взаимно однозначное соответствие). Многие студенты считают слева направо и сверху вниз, потому что именно так они читают по-английски, поэтому этих студентов может сбить с толку тот факт, что счет не обязательно должен производиться линейно.

Студенты должны перейти от подсчета заданий один за другим к субитизации (Брюс и Трелфолл, 2004; Ханнула, Расанен и Лехтинен, 2007). Субитизация — это способность мгновенно распознать, сколько элементов находится в группе. См. Примеры субитализации. Учащиеся должны уметь смотреть на каждый из примеров и сразу распознавать четыре прямоугольника, три круга, один шестиугольник и шесть квадратов. Часто студенты, которые борются с математикой, борются с субитизацией (Schleifer & Landerl, 2011), но практика может помочь улучшить их навыки (Clements, 1999; Fischer, Köngeter, & Hartnegg, 2008). Субитизация часто рассматривается как центральный компонент ранней числовой компетенции, и мы упоминаем об этом здесь, потому что учащиеся могут субитизировать (вместо подсчета), чтобы сравнивать суммы и работать со сложением и вычитанием.

Оценка количества

Субитизация связана с оценкой детьми количества, связанной с этим ранней числовой компетенцией. Иногда это называют количественной дискриминацией, величиной или сравнением чисел. На самом базовом уровне ученики смотрят на два числа (например, 4 и 9) и отвечают на вопрос: «Что больше?» (9) или «Что меньше?» (4). Учащиеся могут использовать манипуляторы или изображения, чтобы помочь различить эти две величины. Студентам легче различать величины, которые намного дальше друг от друга (например,g., 9 и 2), чем более близкие по величине (например, 9 и 8; Murray & Mayer, 1988). Сравнивая более крупные двузначные числа, учащимся легче различать числа, где разряды десятков различаются, чем когда декады совпадают, а разряды единиц различаются (Ganor-Stern, Pinhas, & Tzelgov, 2009).

Учащиеся с трудностями в математике часто испытывают затруднения при сравнении чисел и хуже справляются с задачами сравнения, чем их сверстники без трудностей по математике (De Smedt & Gilmore, 2011; Holloway & Ansari, 2009).Интересно, что учащиеся могут лучше выполнять задачи с числовой величиной, не связанные с числовыми символами (Rousselle & Noel, 2007). Например, при представлении группы из шести конфет и четырех конфет учащиеся могут определить, что шесть — это больше, чем четыре. Когда учащимся нужно сравнить два числовых символа (например, «6» и «4»), это обычно больше. сложно (Де Смедт и Гилмор, 2011).

Учащиеся дошкольных учреждений, которым для сравнения представлены два набора, часто не учитывают и используют принцип мощности для сравнения двух наборов.Обычно студенты вместо этого полагаются на визуальный (т.е. несимволический) осмотр (Zhou, 2002). Опора на визуальное сканирование может помочь учащимся только на некоторое время, как правило, когда числа от 1 до 3. Поэтому инструкции по счету для определения различий между наборами могут быть полезны (Muldoon et al., 2003). Часто ученики не понимают, что для сравнения можно использовать счет, потому что учителя обычно спрашивают: «Сколько?» с каждым заданием на подсчет вместо вопросов типа «На сколько меньше?» или «У кого больше?»

Математические символы

С начальными навыками счета, в конечном итоге ученики будут ассоциировать счет (например.g., one, two, three) с числовыми символами (например, 1, 2, 3). Студенты часто могут повторять числовые слова в стабильном порядке, использовать взаимно однозначное соответствие и понимать количество элементов без использования цифровых символов. Учащиеся также могут сравнивать суммы без использования цифровых символов (т. Е. При наличии визуального представления двух наборов). Однако после того, как учащиеся пойдут в детский сад, большинство действий, связанных со счетом и сравнением чисел, требует, чтобы учащиеся знали числовые символы и значение этих символов для выполнения математических задач.Математические символы важны, потому что большая часть математики представлена ​​с помощью символов.

Десять цифровых символов (например, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9) могут использоваться по отдельности или вместе для представления любого числа (например, 14 597). Помимо десяти числовых символов, ученики младших классов изучают два символа операций: знак плюса (+) для сложения и знак минус (-) для вычитания. Студенты также используют знак равенства (=) в числовых предложениях. Учащиеся также могут использовать символы неравенства для значений больше (>) и меньше (<) при сравнении сумм.Студенты обычно изучают числовые символы раньше любых других символов (Zhou, Wang, Wang, & Wang, 2006).

Учащимся необходимо научиться писать и интерпретировать символы, потому что они не придают значения символам автоматически. Значение символов развивается со временем и с практикой. Например, учащиеся узнают, что «три» или * * * или три медведя-манипулятора могут быть представлены письменным символом 3 и наоборот. Учащиеся должны научиться складывать предметы вместе, когда они видят символ плюса (+), и брать предмет или находить разницу, когда они видят символ минуса (-).Многие студенты понимают операции, обозначенные знаками плюс и минус, но меньшее количество студентов правильно интерпретируют знак равенства и символы неравенства (например, Hattikudur & Alibali, 2010; Matthews & Rittle-Johnson, 2009; McNeil, 2008). Знак равенства следует понимать как символ отношения, указывающий на наличие сбалансированной связи между числами по обе стороны от знака равенства (=) (Jacobs, Franke, Carpenter, Levi, & Battey, 2007). Символы неравенства (<и>) также следует понимать как относительные, причем одна сторона символа представляет большую или меньшую величину.

К сожалению, ученики неправильно понимают символы, поскольку учителя дают инструкции или практику, которые не способствуют полному пониманию символа (Capraro, Ding, Matteson, Capraro, & Li, 2007; McNeil, 2008). Например, студенты часто практикуют сотни уравнений типа 2 + 3 = _, которые требуют небольшого понимания знака равенства в реляционной манере (Пауэлл, в печати). Напротив, студенты, даже те, кто борется с математикой, учатся интерпретировать знак равенства в зависимости от отношений с помощью соответствующих инструкций и практики (Powell & Fuchs, 2010).Однако без надлежащего обучения и практики учащиеся продолжают неправильно использовать или неверно истолковывать символы в средней и старшей школе (Knuth, Alibali, Hattikudur, McNeil, & Stephens, 2008; Rownree, 2009; Verikios & Farmaki, 2010).

Концепции сложения и вычитания

Изучение концепций сложения и вычитания не обязательно означает овладение счетом, сравнением чисел и математических символов. Дети часто могут решать простые задачи на сложение и вычитание, представленные без символов (т. е., представленный устно и / или решенный с помощью манипуляций или подсчета голосов; Кобб, 1987; Sherman & Bisanz, 2009). Однако адекватные навыки счета, сравнения и знания символов необходимы для выполнения большинства задач на сложение и вычитание, которые ставятся перед учащимися младших классов начальной школы.

Приступая к изучению числовых комбинаций сложения и вычитания (т. Е. Основных фактов), студенты часто работают над простыми задачами с помощью манипуляторов. По мере практики студенты меньше полагаются на манипуляторы и больше полагаются на свои пальцы при счете (Groen & Resniek, 1977).Поскольку при решении комбинаций чисел сложения и вычитания часто используется счет, навыки счета важны (Baroody, Bajwa, & Eiland, 2009). В большинстве случаев молодые студенты используют счет по одному в качестве механизма счета по умолчанию. Счет по два или другие приращения или использование навыков субитализации не распространены до второго класса или позже (Camos, 2003). Затем учащиеся переходят от счета к решению числовых комбинаций, используя стратегии рассуждения или по памяти. Мастерство и беглость, конечно же, являются конечной целью числовых комбинаций.Как правило, к концу первого класса ученики должны знать все 100 комбинаций чисел сложения и 100 вычитания (Baroody et al., 2009).

Начиная с сложения и вычитания, учащиеся часто решают задачи на сложение более успешно, чем задачи на вычитание (Шински, Чан, Коулман, Моксом и Ямамото, 2009). Это связано с тем, что учащиеся учатся считать вперед задолго до того, как им удастся считать в обратном направлении. Навыки сложения учащихся, даже учащихся, которые борются с математикой, обычно сильнее, чем их навыки вычитания.Это проявляется в том, что многие ученики решают задачи на вычитание более эффективно, когда они используют навыки сложения (Torbeyns, De Smedt, Stassens, Ghesquière, & Verschaffel, 2009). Например, при решении задачи 14 — 9 = _ многим ученикам легче подумать: «Что я могу добавить к 9, чтобы получить 14?» и может быть использована стратегия подсчета вперед.

Хотя учащиеся могут понять принцип вычитания, они часто отстают в своей способности понять, что вычитание является обратным сложению (Baroody, Lai, Li, & Baroody, 2009).Поскольку учащиеся не понимают автоматически обратную связь между сложением и вычитанием, эту концепцию следует сделать более явной через инструкции и практику (Baroody, 1999). Студенты, которые понимают взаимосвязь между сложением и вычитанием (т.е. сложение является обратным вычитанию и наоборот), демонстрируют лучшие концептуальные знания и лучшие результаты вычитания, чем студенты, которые не понимают эту взаимосвязь (Gilmore & Papadatou-Pastou, 2009).

Стратегии подсчета (т. Е. Подсчет для поиска ответа на комбинацию чисел сложения или вычитания) помогают учащимся решать комбинации. Однако не все учащиеся используют стратегию подсчета (Saxton & Cakir, 2006). Некоторые студенты просто догадываются. Для многих студентов, особенно тех, кто борется с ранними навыками работы с числами, полезны стратегии подсчета для решения числовых комбинаций, и их можно освоить с относительной легкостью. Есть несколько стратегий подсчета, которые студенты могут использовать при решении числовых комбинаций сложения и вычитания.См. Диаграммы. При подсчете всего учащиеся отсчитывают первое слагаемое, отсчитывают второе слагаемое, а затем считают оба слагаемых вместе, начиная с 1. Обычно это первая стратегия подсчета для сложения, которую применяют студенты (Fuson & Secada, 1986). Стратегия подсчета всего не очень эффективна и, учитывая количество требуемых подсчетов, часто приводит к неправильным ответам. Студенты обычно отказываются от использования подсчета всех в пользу более продвинутой стратегии «подсчета» или «расчета на» (Fuson & Secada, 1986).Подсчет может быть выполнен двумя способами: начать с большего слагаемого и подсчитать меньшее слагаемое (т. Е. Стратегия «мин», потому что ученик считает минимальное количество) или наоборот (т. Е. Стратегия «макс.», Потому что студент считает максимальную сумму). Прежде чем студенты узнают коммутативное свойство сложения (т. Е. Порядок сложения не влияет на сумму), они часто начинают с первого слагаемого в числовом предложении (например, 4 из 4 + 9 = _), не осознавая большая эффективность, начиная с большего слагаемого и считая меньшее слагаемое (Groen & Parkman, 1972).Например, если представить 5 + 9 = _, учащиеся начинают с 9 и считают еще 5: «10, 11, 12, 13, 14». Студенты часто разрабатывают эту стратегию счета на основе опыта и практики (Weiland, 2007), но может быть необходимо, особенно для студентов, которые борются с математикой, дать подробные инструкции по этой более эффективной стратегии счета (Powell, Fuchs, Fuchs, Cirino и Флетчер, 2009).

Стратегии подсчета

С каждой из этих стратегий учащиеся могут поднимать пальцы, складывать пальцы или касаться пальцами.Студенты могут работать ладонями к себе или от них. Кроме того, учащиеся могут считать слева направо или справа налево. Они могут начать считать указательным, большим или другим пальцем.

Чтобы решить числовые комбинации на вычитание, ученики часто ведут обратный отсчет. То есть они начинают с уменьшаемого и отсчитывают количество вычитаемого. Если 9 — 4 = _, ученики начинают с 9 и считают 4: «8, 7, 6, 5.» Обратный отсчет или обратный отсчет затруднен для студентов, особенно для студентов с математическими трудностями, потому что беглость обратного счета ограничена по сравнению с беглым обратным счетом (Passolunghi & Cornoldi, 2008).Ученики также склонны делать гораздо больше ошибок, считая в обратном порядке, чем в обратном направлении. Более эффективная стратегия решения задач на вычитание — это подсчет. Учащиеся начинают с вычитаемого и считают до убавляемого. Если 9 — 4 = _, ученики начинают с 4 и считают «5. 6. 7, 8, 9. ” Они считают 5 пальцев или делают 5 счетов, поэтому 9 — 4 = 5. Эта стратегия использует навыки быстрого прямого счета учащихся и зарекомендовала себя как полезная стратегия для учащихся с трудностями в математике (Fuchs et al., 2009; Fuchs, Powell, et al., 2010). Использование подсчета для вычитания также подчеркивает тот факт, что вычитание представляет собой разницу между двумя суммами (то есть уменьшаемым и вычитаемым).

С помощью сложения и вычитания практика использования стратегий счета и работа над беглостью речи улучшает успеваемость учащихся, испытывающих трудности (Fuchs, Powell, et al., 2010). Учащимся необходимо понимать концепции, лежащие в основе числовых комбинаций (Baroody, Lai, et al., 2009), но им также необходимо предоставить рутинную, даже ежедневную практику, чтобы развивать беглость и помогать учащимся часто и правильно связывать основы проблемы и их ответы (Fuchs, Powell, et al., 2010). Это приводит к тому, что учащиеся создают представления в долговременной памяти, и помогает учащимся полагаться на наиболее эффективную стратегию решения задач сложения и вычитания: автоматический поиск ответов (Fuchs et al., 2011). По этой причине учащимся необходимо попрактиковаться во всех комбинациях чисел, особенно в комбинациях чисел, состоящих из двузначных цифр (например, 9 + 7 = 16; 14-8 = 6), потому что они, как правило, гораздо больше знакомятся с более простыми комбинациями чисел (Hamann И Эшкрафт, 1986).

ПРИМЕР РАННЕЙ ЧИСЛЕННОЙ ВМЕШАТЕЛЬСТВА ДЛЯ БОРЬБЫ УЧАЩИХСЯ

Мы обсудили четыре ранние числовые навыки: счет, сравнение чисел, понимание символов и концепции сложения и вычитания. Хотя это не исчерпывающий список начальных числовых компетенций, эти четыре являются критически важными компонентами эффективной ранней числовой программы для учащихся, испытывающих трудности. Эти четыре компонента связаны друг с другом и дополняют друг друга по мере того, как учащиеся изучают все больше и больше математики в младших классах начальной школы.Хотя учащиеся могут испытывать трудности с одной или несколькими из этих начальных числовых компетенций, обучение и практика могут улучшить начальные числовые навыки учащихся.

В этом следующем разделе мы опишем начальную числовую программу для первоклассников, испытывающих трудности с математикой. Мы описываем эту программу, чтобы проиллюстрировать, как учителя и родители учащихся, испытывающих трудности, могут включить четыре ранние числовые компетенции, обсуждаемые в этой статье, в успешную учебную программу для учащихся, испытывающих трудности.Это не единственное доступное раннее численное вмешательство, поэтому учителя должны изучить варианты, прежде чем выбирать программу для своих учеников. Galaxy Math, , также называемый Number Rockets, (Fuchs et al., 2011), был разработан, чтобы помочь предотвратить долгосрочные трудности в математике, устраняя ранние дефициты числовых навыков и продвигая знания чисел и навыки с числовыми комбинациями и другими ключевые компоненты учебной программы по математике для первого класса. Программа называется Galaxy Math , потому что на всех уроках используется космическая тема, которая помогает мотивировать учащихся.Репетиторы поощряют студентов «Стремиться в галактику математики!» и студенты используют математические манипуляторы в форме ракет. См. Пример таблицы мотивации на тему галактики.

Galaxy Math Мотивационная таблица

Экспериментальное исследование Galaxy Math

В начале первого класса учащиеся с согласия родителей были проверены для выявления тех, кто подвержен риску неадекватного развития математики, хотя у большинства учащихся не было диагностировано в школе. неспособность к обучению.Этих учеников случайным образом распределили для продолжения их обычной школьной программы (то есть контрольной группы) или одной из двух версий Galaxy Math. В обеих версиях Galaxy Math основное внимание (25 минут каждого 30-минутного урока) уделяется типам начальных числовых навыков, обсуждаемых в этой статье. Одна версия Galaxy Math (стандартная версия) добавляла 5 минут практики в конце каждого занятия; в другой версии добавлено 5 минут игр.В обоих условиях обучения. Galaxy Math учащихся прошли 48 индивидуальных занятий три раза в неделю.

См. Список модулей и концепций Galaxy Math . В Блоке 1 ученики используют такие манипуляторы, как числовая линия, подсчет бобов и «Мистер. Greater Gator », чтобы узнать величины, потренироваться в счете, сравнить числа и выучить символы. См., Например, упражнения по подсчету и изучение терминологии равный. Эти задания проводятся во время первых нескольких уроков Galaxy Math. См. Образец числовой строки. Числа в числовой строке увеличиваются в размере по мере увеличения числа, чтобы помочь учащимся понять величину чисел. Посмотрите на мистера Большого Аллигатора. У этого аллигатора широко открытая пасть с символами неравенства (то есть больше или меньше знаков), наложенными на открытую пасть. Учащиеся узнают, что аллигатор очень голоден и хочет съесть большее количество, когда ему предложат два количества. Открытый рот всегда смотрит на большее число.Также в Блоке 1 ученики изучают стратегии подсчета для подсчета (для сложения) и подсчета (для вычитания). При подсчете учащиеся держат меньшее слагаемое на пальцах, а затем считают, складывая по одному пальцу за раз, пока не останется ни одного пальца (например, сжатый кулак). Например, с 3 + 6 ученик поднимает 3 пальца и затем считает: «7» (складывает 1 палец), «8» (складывает еще один палец), «9» (складывает последний палец). Ответ — это последнее число, которое произносит учащийся (в данном случае 9).Подсчет — это одна из разновидностей стратегии подсчета. Подсчет оказался полезным для первоклассников, потому что он помогал им следить за подсчетом суммы. Счет для вычитания ученики начинают со сжатым кулаком. Они начинают с вычитания и пальцами считают до минимума. Например, с 9–3 учениками считается «4, 5, 6, 7, 8, 9» (каждый раз поднимая другой палец). Когда ученики достигают минимума, они подсчитывают количество пальцев (в данном случае 6), и 6 записываются как ответ.В Блоке 1 учащиеся также решают сюжетные задачи с помощью манипуляторов, изображений или действий. Например, когда ему задают вопрос: «У Джона в тележке с продуктами 4 яблока. Он кладет в тележку еще 1 яблоко. Сколько яблок сейчас в тележке Джона? » студенты могли рисовать яблоки или использовать манипулятивные блоки для решения задачи.

ТАБЛИЦА 1

912 наименьшие числа с числовой строкой
Единица Уроки Темы
1 1–3 Числовая строка (0–9)
Подсчет Чтение и запись чисел
Подсчет объектов
Использование рук для отображения чисел меньше 10
4 Использование рук для отображения чисел меньше чем 10
Обсуждение 0 и чисел 11–19
Подсчет вперед
Отсчет назад
5
6, 7 Сравнение чисел с языком и символами
8 Концепция сложения
Значение + и =
9 Добавление 1 с номером строка
Использование манипуляторов, изображений и действий для решения сюжетных задач
10 Сложение 0 и 1 с числовой строкой
Использование манипуляторов, изображений, и действия для решения сюжетных задач
11 Подсчет
12 Сложение 0, 1 и 2 с подсчетом
13 Концепция вычитания
Значение — Проверка учета на добавление
14 Сложение и вычитание 1 с числовой строкой
Использование манипуляторов, изображений и действий для решения сюжетных задач
15 Сложение 0 и 1 с номером строка
Использование манипуляторов, изображений и действий для решения сюжетных задач
16 Подсчет
17 Сложение и вычитание 0, 1 и 2 с подсчетом в / вверх
18 Просмотр счета в / в
2 19–20 Двойные
3 21–24 5 Set
25–28 6 наборов
29–32 7 наборов
33–36 8 Набор
37–40 9 Набор
41–44 10 Набор
45–48 11 Набор
49–52 12 Установить
4 53 Номер строки до 100
Номера 20–29
54–56 Номер строки до 100
Сложение двух цифр
57 Счет по десяткам
Использование рук для представления десятков и единиц
58 Введение для размещения стоимости
59 Введение в стержни и кубики
Re группировка 10 кубиков в 1 стержень
60 Перегруппировка
61 Представление одно- и двузначных чисел стержнями и кубиками
Значение 0 на месте значение
62 Представление одно- и двузначных чисел стержнями и кубами
63 Определение больших и малых чисел с помощью разряда и числовой строки
64– 66 Практика разметки
5 67–74 Обзор

В Модуле 2 учащиеся используют бобы и числовую линию, чтобы узнать о числах с двойным числом от 0 до 6 (т.е., 0 + 0, 1 + 1, 2 + 2, 3 + 3, 4 + 4, 5 + 5, 6 + 6, 0 — 0, 2 — 1, 4 — 2, 6 — 3, 8 — 4 , 10 — 5, 12 — 6). Двойные упражнения практикуются на ранних этапах программы, потому что ученики обычно не испытывают особых трудностей с запоминанием двойных чисел, а учащиеся могут использовать их для решения других числовых комбинаций (Van De Walle et al., 2010).

В Модуле 3 учащиеся начинают изучать комбинации чисел в наборах. Каждый набор включает в себя все числовые комбинации с суммой и уменьшением в качестве номера целевого набора. Например, набор 5 состоит из комбинаций альтернативных чисел с суммой 5 или 5 в качестве уменьшаемого (т.е., 0 + 5, 1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1, 5 + 0, 5 — 0, 5 — 1, 5 — 2, 5 — 3, 5 — 4, 5 — 5 ). Репетиторы начинают с 5-го подхода и продолжают 12-й подход. Работая над каждым набором, тьютор проводит с учеником пять заданий. Во-первых, наставник и ученик используют кубы unifix, чтобы увидеть, как кубики можно комбинировать различными способами, чтобы получить комбинации чисел сложения и вычитания набора. См. Примеры из 5 комплекта. С помощью манипуляторов учащиеся также могут увидеть, как 1 + 4, 4 + 1, 5-1 и 5-4 связаны как «семья», а второе задание каждого урока фокусируется на семьях, составляющих соответствующий набор.В-третьих, учащиеся либо отвечают на задачи из набора цифр на листе, либо показывают все комбинации из набора чисел с помощью управляемых ракет. Затем наставник и ученик вместе решают задачу-рассказ, в которой используется комбинация чисел из набора. Учащийся решает задачу и объясняет, почему задача рассказа относится к конкретному набору чисел. Пятое упражнение каждый день — это устный обзор предыдущих наборов чисел.

Примеры манипуляции с 5 наборами

Для каждого набора учащиеся работают от одного до четырех уроков.После первого урока в наборе каждый последующий урок начинается с теста на усвоение карточек, с помощью которого учащиеся могут перейти к следующему набору, правильно ответив на карточки. Студенты должны ответить в течение 3 секунд, не более одной ошибки. Студенты, которые достигли мастерства до полного набора из четырех уроков в каждом наборе, завершают 12 наборов. Другие учащиеся завершают набор из 10, а затем переходят к разделу 4. Это правило обеспечивает соответствующий охват содержания.

В Блоке 4 основное внимание уделяется разряду: счет от десятков до 100, отображение и запись единиц и десятков, перегруппировка и сложение двузначных чисел.Студенты также просматривают наборы чисел во время этого раздела. Блок 5 предназначен для учащихся, демонстрирующих мастерство при работе с наборами чисел. В этом модуле учащиеся рассматривают числовые наборы и концепции разметки.

За последние 5 минут каждого занятия Fuchs et al. (2011) изолировали влияние практики обеспечения. Для этого половина студентов в исследовании систематически практиковалась в течение последних 5 минут; другая половина играла в игры. В условиях практики и игр содержание было тем же: материал, относящийся к уроку того дня.Случайное задание определяло, участвовали ли учащиеся в играх или в тренировках в конце урока.

В условии игры учащиеся играют в игры с управляемыми ракетами для отработки концепций. Например, в одной игре учащиеся вращаются, чтобы узнать, сколько ракет вызывается на космическую станцию, и помещают это количество ракет на игровое поле. Затем они снова вращаются, чтобы увидеть, сколько ракет отозвано назад, на землю, и снимают соответствующее количество ракет с доски.Затем они генерируют числовое предложение, представляющее эту серию событий. В играх репетиторы побуждают учащихся знать ответ или использовать пальцы, бобы или числовые линии для вычисления ответа. Репетиторы объясняют, что «знать ответ сразу же» является предпочтительной стратегией, если ученик уверен в ответе.

В условиях практики учащиеся отрабатывают материалы уроков с помощью упражнения «Собери или побей свой результат», основанного на флэш-карточках. Например, после введения наборов сложения / вычитания учащиеся практикуют числовые комбинации.Репетиторы поощряют детей извлекать комбинацию из памяти или, если они не уверены в ответе, используют стратегию счета, которую они изучили в Galaxy Math , чтобы решить комбинацию. Когда ученик отвечает правильно, флеш-карта складывается стопкой на стол. Когда ученик отвечает неправильно, репетитор требует, чтобы ученики использовали стратегию подсчета (то есть подсчет или подсчет), чтобы найти правильный ответ. Исправленная карта кладется в стопку на столе. По истечении 90 секунд учащийся отображает количество правильно отвеченных флеш-карточек.См. Образец графика флеш-карты. Затем у студентов есть два шанса встретить или побить свой первый результат на карточке.

Тренировочная графическая карта

В обоих случаях наставники поощряют поведение при выполнении задания и мотивацию к тяжелой работе (Fuchs et al., 2008), используя программу систематического вознаграждения. Репетиторы учат студентов, что поведение при выполнении задания означает внимательность и упорные попытки правильно ответить на вопросы. Учащиеся узнают, что поведение при выполнении задания важно для «прыжка в галактику математики».«Учащиеся зарабатывают стикеры за выполнение заданий и усердную правильную работу. Они размещают свои наклейки на диаграмме Galaxy Math (см.). Учащиеся получают приз (например, маленькую игрушку, наклейку или карандаш), когда достигают Солнца на карте галактики.

Результаты исследования (Fuchs et al., 2011) показали, что учащиеся, участвовавшие в репетиторстве Galaxy Math , улучшили свои знания чисел, простой арифметики, более сложных вычислений и текстовых задач значительно лучше, чем учащиеся контрольной группы.Учащиеся, участвовавшие в практике, улучшили больше, чем учащиеся игр, по простой арифметике и более сложным вычислениям, без ущерба для их числовых знаний или успеваемости по задачам со словами. Это, наряду с другими ранними исследованиями численного вмешательства (например, Bryant et al., 2011; Fuchs et al., 2005b), демонстрирует положительные результаты для учащихся из групп риска, когда раннее численное вмешательство происходит рано и с интенсивностью. Fuchs et al. (2011) исследование также показывает особую важность включения частых, хорошо продуманных практик, поддерживающих правильное реагирование.

ПРЕДЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ПРАКТИКОВ

По мере того, как учащиеся входят в детский сад и часто переходят в первый класс с разной степенью ранней математической компетентности, практикующие должны проводить раннюю оценку и раннее вмешательство, чтобы помочь учащимся, которые борются с основами математики. Что касается оценки, мер мониторинга прогресса (например, Lembke & Foegen, 2009; Seethaler & Fuchs, 2011) и мер скрининга, направленных на конкретные математические навыки (например, Geary et al., 2007; Jordan et al., 2009) можно использовать для определения того, какие учащиеся заслуживают раннего численного вмешательства.

После выявления учащихся, которым в детском саду или первом классе сложно овладеть числовыми навыками на начальном этапе, практикующим необходимо оценить начальные числовые программы и выбрать программу, которая наилучшим образом соответствует потребностям их учеников.

Основываясь на экспериментальной работе с молодыми студентами (например, Bryant et al., 2011; Fuchs et al., 2011), программы начальных числовых компетенций должны включать следующее: (a) четкое обучение, сфокусированное на концептуальных знаниях и процедурных навыках, (b) последовательность инструкций, которая имеет смысл и актуальность, (c) обзор ранее преподаваемых тем, (d) практика текущих тем и (e) беглость работы над комбинации чисел сложения и вычитания.Направление обучения (например, навыки счета, концепции сложения) следует определять в зависимости от потребностей учащихся. Одна программа не может быть лучшей для всех студентов, поэтому практикующие должны следить за успеваемостью студентов, пока студенты участвуют в обучении, чтобы определить реакцию. Если учащиеся не демонстрируют надлежащего обучения, их учебную программу следует изменить, чтобы сформировать программу, адаптированную к потребностям учащегося.

Поскольку первые навыки счета в детском саду предопределяют математические достижения в более поздних классах (Duncan et al., 2007; Jordan et al., 2010), своевременное вмешательство учащихся, которым не хватает навыков в начальных числовых компетенциях, имеет жизненно важное значение. Исследователям необходимо продолжать совершенствовать ранние числовые оценки и вмешательства, которые помогут школам своевременно выявлять и принимать эффективные меры для обеспечения компетентности учащихся в основных строительных блоках математики.

Самые неправильно понятые стандарты математики в 5-м классе

В моих последних сообщениях мы исследовали наиболее неправильно понимаемые стандарты элементарной математики в 3 и 4 классах.Мне нравятся беседы, которые я веду с преподавателями математики, и приветствую присоединиться к большему количеству людей! Меня можно найти в Твиттере здесь: @few_rebecca, или оставьте мне комментарий ниже!

В этом посте мы погрузимся в наиболее неправильно понимаемые стандарты начальной школы в 5-м классе. Опять же, речь идет не о том, чтобы судить наших коллег, а о том, чтобы глубоко изучить практику преподавания математики в 5-м классе и вместе узнать больше о стандартах.

В инструкции Инструкция
Стандартный Общая инструкция с несовпадением
5.NBT.A.1

Помните, что в многозначном числе цифра в одном месте представляет в 10 раз больше, чем она представляет в месте справа от него, и 1/10 того, что оно представляет в месте слева от него.

Инструкция ориентирована на умножение на 10 или деление на 10, чтобы понять концепцию значения разряда, не расширяя понимание учащимися десятичной системы и величины цифр в числах на отношения между соседними пробелами. Кроме того, упускаются возможности развить понимание отношения цифр в целых числах к отношениям десятичных дробей.
5.NBT.B.6

Находите частные целых чисел с делительными до четырех цифр и делителями с двумя цифрами, используя стратегии, основанные на разрядах, свойствах операций и / или взаимосвязи между умножением и делением. Проиллюстрируйте и объясните расчет с помощью уравнений, прямоугольных массивов и / или моделей площадей.

основное внимание уделяется стандартному алгоритму деления многозначных чисел, и / или учащиеся изучают мнемонику, которая помогает им запомнить шаги, которые необходимо выполнить при делении многозначных чисел.

Язык «по стандартному алгоритму» (для многозначного деления) не вводится в стандарты до 6 класса.

Связи с размещением стоимости, свойствами и моделями, используемыми для представления деления, не производятся учащимися или не создаются вовсе.

5.NBT.B.7

Сложить, вычесть, умножить и разделить десятичные дроби до сотых, используя конкретные модели или чертежи и стратегии, основанные на разряде, свойствах операций и / или соотношении между сложением и вычитанием; свяжите стратегию с письменным методом и объясните используемую аргументацию.

Инструкция сосредоточена на шагах, которые необходимо выполнить для завершения, а не на установлении связей с тем, что они уже знают о системе десятичной основы. Пример приведен ниже.

Для умножения десятичных знаков:

  • Умножайте как обычно, игнорируя десятичные дроби.
  • Определите общее количество цифр после десятичных знаков исходных чисел.
  • Поместите такое же количество цифр после десятичной точки в произведении.

Учащиеся не применяют то, что они знали о разрядах и модели площади из четвертого класса, поскольку они начинают изучать десятичное умножение.

5.NF.B.4

Применяйте и расширяйте предыдущие представления об умножении для умножения дроби или целого числа на дробь.

Инструкция ограничена шагами процедуры. Вот пример:

Для умножения правильных дробей:

  • Упростите дроби, если не в самом низком выражении.
  • Умножьте числители дробей, чтобы получить новый числитель.
  • Умножьте знаменатели дробей, чтобы получить новый знаменатель.
  • Упростите свой ответ.

В инструкции отсутствует использование конкретных манипуляций или рисование моделей, чтобы продемонстрировать умножение правильных дробей как получение дроби дроби. (Это поддерживает концептуальное понимание и дает наглядное свидетельство того, что в продукте меньше факторов.)

5.NF.B.5

Интерпретируйте умножение дробей как масштабирование. (изменение размера)

фокусируется на шагах, перечисленных в приведенном выше примере, без понимания умножения как масштабирования.

Когда учащиеся интерпретируют умножение как масштабирование, они сравнивают размер продукта с размером одного фактора на основе размера другого фактора, не выполняя указанное умножение и не объясняя, почему умножение данного числа на дробь больше 1 приводит к продукту, большему, чем заданное число.(Или почему умножение заданного числа на дробь меньше 1 дает результат меньше заданного числа.)

5.NF.B.7
Применяйте и расширяйте предыдущие представления о делении, чтобы делить единичные дроби на целые числа и целые числа на единичные дроби.
При делении целых чисел на единичные дроби инструкция фокусируется на преобразовании целого числа в дробь со знаминателем, равном единице, и умножении на обратную величину делителя.

Для деления единичной дроби на целое число инструкция фокусируется на умножении знаменателя дроби и целого числа.

Когда обучение ограничивается процедурами, учащиеся упускают возможность рассуждать о том, сколько групп ½ входит в 3 или что происходит, когда правильная дробь разбивается на большее количество частей.

Сколько раз мы слышали, как кто-то говорит: «Когда мы умножаем, произведение всегда больше» или «Когда я делю, мой ответ всегда меньше». Наверное, несколько раз за время обучения. Когда я слышу эти заявления, моя первая реакция: «Правда? Всегда?»

Неточные математические обобщения приводят к неправильному пониманию важных математических понятий.Эти заблуждения могут иметь непредвиденные последствия для наших студентов. Я хочу углубиться в два стандарта, которые опровергают приведенные выше утверждения и призывают всех нас быть более точными в нашем математическом языке и общении.

Первый — 5.NF.B.4: Применяйте и расширяйте предыдущие представления об умножении для умножения дроби или целого числа на дробь.

Когда я вижу проблему типа ½ x ¾, я говорю себе, что такое ½ от? В контексте задач умножения «из» означает умножать.Такое мышление помогает мне визуализировать проблему и обдумывать следующие шаги.

Давайте посмотрим на ½ из ¾, используя две модели площади:

Модель площади умножения дробей позволяет учащимся увидеть, что умножение дробей приводит к меньшему продукту и помогает построить чувство числа дроби, чувство числа, относящееся к дробям, а не к целым числам. Эта модель также может быть наглядным, чтобы показать, что две фракции близки к одной, в результате получается продукт, близкий к единице.

Второй стандарт, который мы рассмотрим вместе, — это 5.NF.B.7: Применяйте и расширяйте предыдущие представления о делении для деления дробей единиц на целые числа и целых чисел на дроби единиц. Приведенные ниже контекстные задачи из «Иллюстративной математики» позволяют студентам применять то, что они знают о математике, в реальных ситуациях.

Какую из следующих проблем можно решить, найдя 3 ÷ 1/2? Откуда вы знаете?

  1. Шона покупает трехфутовый бутерброд для вечеринки.Затем она разрезает бутерброд на кусочки, каждая из которых имеет длину 1/2 фута. Сколько штук она получит?
  2. Фил готовит 3 литра супа на обед. Его семья съедает половину супа на обед. Сколько литров супа семья Фила съедает на ужин?
  3. Пират находит три фунта золота. Чтобы защитить свое богатство, он прячет золото в двух сундуках с сокровищами с равным количеством золота в каждом сундуке. Сколько фунтов золота в каждом сундуке?
  4. Лев использовал половину мешка муки, чтобы испечь хлеб.Если он использовал 3 стакана муки, сколько стаканов было в мешке для начала?

Две проблемы, которые мы можем решить, разделив 3 на 1/2, — это «a» и «d». Для проблемы «а» мы можем рассуждать об ответе, не предоставляя модели. У Шоны есть бутерброд длиной 3 фута. Если она разрежет этот бутерброд на кусочки так, чтобы каждый кусок был длиной ½ фута, и хочет знать, сколько ломтиков она получит, Шона действительно спросит: «Сколько групп по 1/2 в 3?» Для задачи «d» мы можем предположить, что если 3 стакана муки составляют половину мешка, то для начала в мешке было 6 стаканов муки.

Добавить комментарий

©2021 «Детская школа искусств» Мошенского муниципального района